Blog
- 2. PARA PENSAR … Un granjero decide criar patos y compra una cierta cantidad entre machos y hembras. Se empiezan a reproducir y la población crece en función del tiempo y este crecimiento esta dado por la fórmula p(t)=-2t²+20t+22 , en donde p es el número de patos y t los años transcurridos a) ¿Cuántos patos compró? b) ¿Cuándo se da la mayor población de patos y cuántos patos son? c) ¿Cuándo hay 184 patos? d) ¿En algún momento se extinguen? Si es así, ¿Cuándo?
- 3. PARA APRENDER … La fórmula del crecimiento de los patos está dada por la ley p(t)=-2t²+20t+22 ¿A qué tipo de función corresponde ? Recordemos las características de las funciones que conocemos hasta ahora
- 4. FUNCIÓN LINEAL Una función lineal tiene la forma con a y b reales ¿Corresponde esta forma a la función del crecimiento de los patos?
- 5. FUNCIÓN CUADRÁTICA A la función polinómica de segundo grado se la denomina Los términos de la función reciben los siguientes nombres y = a x² + b x + c Término cuadrático Término lineal Término independiente
- 6. LA FÓRMULA DEL CRECIMIENTO DE LOS PATOS ES … Una función cuadrática !!! Recordemos algunas características de esta función
- 7. La representación gráfica de una función cuadrática es una Para realizar su gráfico se deben calcular los elementos de la misma y luego representarla.
- 8. Son los puntos de intersección de la gráfica y el eje x, vale decir que f(x) =0 Su cálculo se realiza con la fórmula Bhaskara
- 9. Ordenada al origen Es el punto de intersección de la gráfica con el eje y, vale decir que Eje de simetría Es la recta que tiene por ecuación
- 10. Vértice de la parábola
- 11. VOLVAMOS AL PROBLEMA DEL GRANJERO Para poder responder las cuestiones planteadas nos será muy útil visualizar el gráfico de la función de crecimiento que viene dada por la fórmula p(t)=-2t²+20t+22 Realiza la misma en tu carpeta , hallando previamente sus elementos
- 12. GRAFICO EN GEOGEBRA Ahora comparemos tu gráfico con el obtenido utilizando el enlace a Geogebra Introduce los valores de los coeficientes y observa el gráfico
- 13. ENTONCES , ¿QUÉ PUNTO DEL GRÁFICO RELACIONARÍAS CON LA PREGUNTA A) ¿CUÁNTOS PATOS COMPRÓ?
- 14. SI TU RESPUESTA FUE ORDENADA AL ORIGEN :MUY BIEN !!! Como la función que determina el crecimiento esta dada por la fórmula p(t)=-2t²+20t+22 , en donde p es el número de patos y t los años transcurridos, la cantidad de patos que compró el granjero corresponde a un tiempo = 0 , es decir debemos hallar su imagen p(0) que nos arroja un resultado de 22 patos. Este valor es que corresponde a la ordenada al origen . Podemos corroborarlo observando nuevamente el gráfico de nuestra función .
- 15. AHORA, ¿COMO PODEMOS AVERIGUAR ¿CUÁNDO SE DA LA MAYOR POBLACIÓN DE PATOS Y CUÁNTOS PATOS SON? ¿Qué elemento de la parábola se relaciona con este punto ?
- 16. EL VÉRTICE !! BUENA RESPUESTA !!! El vértice, en este caso, corresponde al valor del máximo absoluto de la función cuadrática , por lo tanto sus coordenadas nos darán los valores del momento en que tendremos la población máxima de patos y a cuánto ascenderá.
- 17. ¿CÓMO INTERPRETAMOS LOS VALORES DEL VÉRTICE ? Las coordenadas del mismo son ( 5 ; 72 ) Entonces la respuesta sería … b) La mayor cantidad de patos se dará en 5 años y será de 72 patos a) La mayor cantidad de patos se dará en 72 años y será de 5 patos
- 18. PODRÍA SER LA OPCIÓN A ? ABSURDO !! ¿Sería posible que el valor máximo de patos sea menor que la población inicial ? Por otro lado , sería lógico pensar que el granjero tuviera que esperar tanto tiempo para lograr esta situación ?
- 19. SI TU ELECCIÓN FUE LA B ) EXCELENTE !! La variable independiente de esta función corresponde al tiempo, por lo que la coordenada x del vértice nos indica el tiempo en que el crecimiento alcanzará el punto máximo , es decir en 5 años La variable dependiente de esta función corresponde al número de patos , por lo que la coordenada y del vértice nos dice a cuánto ascenderá el número máximo, que será de 72 patos
- 20. VEAMOS LA PREGUNTA C) ¿CUÁNDO HAY 184 PATOS? Como vimos , el número de patos corresponde a la variable dependiente, y el tiempo a la variable independiente. Es decir si sabemos que el números de patos , nuestra incógnita será el tiempo 184 =-2t²+20t+22 Así nos quedará planteada una ecuación de 2° grado que ya sabemos resolver.
- 21. ENTONCES ¿CUANDO HABRÁ ESA CANTIDAD DE PATOS ? Después de haber resuelto la ecuación cuadrática podemos afirmar que habrá 184 patos a los
- 22. RECORDAR !!! Para resolver una función cuadrática es necesario previamente igualar a 0 , por lo que la ecuación 184 =-2t²+20t+22 nos quedaría 0=-2t²+20t-162
- 23. LA RESPUESTA SERÁ ¡¡¡ NUNCA!!! La ecuación planteada no tiene solución en el conjunto de los números Reales . Por otro lado analizando la respuesta del apartado anterior , si el número máximo de patos que puede obtener el granjero es de 72 , nunca va a tener 184.
- 24. D) ¿EN ALGÚN MOMENTO SE EXTINGUEN? SI ES ASÍ, ¿CUÁNDO? Si los patos se extinguen eso equivaldría a decir que la cantidad de patos es 0 , por lo que la función nos quedaría así 0 = -2t²+20t+22 ¿Podemos relacionar la solución de esta ecuación a algún elemento de la parábola ?¿A cual ?
- 25. LAS RAÍCES Como ya vimos las raíces son los valores de la variable independiente tales que f(x) =0 En nuestra función los valores de las raíces son Corroboremos con el gráfico
- 26. PERO …AMBOS VALORES SERÁN SOLUCIÓN DE LA CUESTIÓN PLANTEADA ?
- 27. SI TU RESPUESTA FUE SI… NO ES CORRECTA Recuerda que la variable independiente de este problema es el tiempo , ¿ Podemos pensar en tiempo de -1 año ?
- 28. SI TU RESPUESTA FUE NO BUEN TRABAJO !!! No debemos olvidar que la variable independiente de este problema es el tiempo , por lo que no admite valores negativos. Por lo tanto podemos afirmar que los patos se extinguirán a los 11 años que es el valor que corresponde a la raíz positiva de nuestra parábola.
- 29. TRABAJO PARA CASA Con lo que aprendimos hoy los invito a resolver una nueva situación problemática Un arquero tira una flecha cuya altura (en metros) en función del tiempo (en segundos) está dada por la fórmula a) ¿Cuánto tiempo demora en llegar al piso? b) ¿Desde qué altura fue lanzada? c) ¿En qué instante alcanza la altura máxima?¿Cuál es dicha altura? d) ¿En que instante alcanza una altura de 12 m?
- 30. RESPUESTA : a) 8 segundos b) 8 metros c) La altura máxima la alcanza a los 3 s y es de 12,5 m d) A los 2 y a los 4 segundos