Bloque V Derivada
- 1. DERIVADA<br />La derivada de una función en un punto nos indica la pendiente de la recta tangente a esa función en ese punto<br />Miremos el gráfico de la función f(x)<br />En el eje x: tomamos un punto x, marcamos un incremento h quedándonos determinado el punto x + h<br />Si hacemos que ese incremento h sea tan chico que la línea que une f(x) y f(x + h) toque la curva en un solo punto tendremos la recta tangente a la curva<br />Veamos cuánto vale la pendiente de ese ángulo α : la pendiente de un ángulo se define como el incremento vertical sobre el incremento horizontal. Por lo tanto esa es la pendiente de la curva en el punto x, es decir ese cociente de incrementos:<br />Δ verticalΔ horizontal=fx+h-f(x)h⟹esto se denomina COCIENTE INCREMENTAL<br />Cuando fuimos “achicando” el valor h, matemáticamente significa limh⟶0 y si queremos calcular la pendiente de la curva, calculamos el límite para h tendiendo a cero de ese cociente incremental<br />limh->0fx+h-f(x)h=f(x)->esta es la definición de derivada en un punto<br />DERIVADA de f(x) se escribe con un tilde f´(x)<br />En otras palabras, la derivada de una función nos indica la TASA DE CAMBIO, es decir, nos indica qué tanto va a variar “y” a medida que varía “x”<br />DERIVADAS POR DEFINICIÓN<br />La manera de calcular una derivada por definición es un poco “engorrosa” pero es necesario conocerla para entender bien el significado de la definición de derivadas<br />Ejemplo 1: Calculemos la derivada de fx=x2 en x = 1<br />Primeros calculamos la derivada de f(x) para cualquier valor de x: para eso partimos de la fórmula de definición de derivadas:<br />Si fx=x2 entonces fx+h=x+h2<br />Luego: <br />limh->0fx+h-f(x)h=limh->0x+h2-x2h=limh->0x2+2xh+h2-x2h=limh->02xh+h2h<br />Ahora sacamos factor común en el numerador<br />limh->0h2x+hh=limh->02x+h=2x+0=2x⟹fx=2x<br />O sea que la derivada de x2 es 2x<br />La derivada de x2 evaluada en el punto x=1 es: <br />fx=x2 ⇒ f(x)=2x ⇒ f(1)=2.1=2<br />REGLAS DE LA DERIVACIÓN<br />FUNCIÓN CONSTANTE<br />fx=k⇒f(x)=0<br />FUNCIÓN POTENCIAL<br />fx=xn⇒f(x)=n.xn-1<br />FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS<br />fx=senx⇒fx=cosx<br />fx=cosx⇒f(x)=-senx<br />LOGARITMO NEPERIANO<br />fx=lnx⇒f(x)=1x<br />FUNCIÓN EXPONENCIAL<br />fx=ax⇒f(x)=ax.lna<br />CASO ESPECIAL DE LA FUNCIÓN EXPONENCIAL<br />fx=ex⇒f(x)=ex<br />DERIVADA DE LA SUMA DE FUNCIONES<br />La derivada de una suma es la suma de las derivadas<br />DERIVADA DE LA RESTA DE FUNCIONES<br />La derivada de una resta es la resta de las derivadas<br />DERIVADA DE UN PRODUCTO DE FUNCIONES<br />Sean ux y vx dos funciones⇒ux.v(x)´=ux.vx+ux.v(x)<br />CASO ESPECIAL DE LA DERIVADA DE UN PRODUCTO: CONSTANTE POR UNA FUNCIÓN<br />k.f(x)´=k.f(x)<br />DERIVADA DE UN COCIENTE DE FUNCIONES <br />Sean ux y vxdos funciones ⇒u(x)v(x)´=ux.vx-ux.v(x)v(x)2<br />Ejemplo 2: Calculemos las derivadas de:<br />a)fx=4 b)fx=x18 c)fx=3x2 d) fx=lnx+x+senx e)fx=x2.cosx f)fx=3x2<br />g)fx=2senx5 h)fx=xlnx i)fx=x2senx<br />REGLA DE LA CADENA<br /> La regla de la cadena sirve para derivar funciones compuestas: f(gx)=f gx.g(x)<br />Ejemplo 3: deriva las siguientes funciones compuestas aplicando la regla de la cadena<br />a)fx=lnx2+1 b)fx=cosx3 c)fx=lnsenx2+2<br />DERIVADAS SUCESIVAS<br />Se llama derivadas sucesivas a:<br />Derivada segunda: es la derivada de la derivada<br />Derivada tercera: es la derivada de la derivada segunda<br />Derivada cuarta: es la derivada de la derivada tercera<br />Se escriben generalmente con números romanos como superíndices:<br />fx:función f(x):derivada 1º f\" (x):derivada 2º fIII(x):derivada 3º fIV(x):derivada 4º<br />Ejemplo 4: calculemos las derivadas sucesivas de fx=x3+3x2-5x+2<br />APLICACIONES DE LA DERIVADA<br />Saber calcular derivadas, sirve por ejemplo para saber dónde una función presenta sus valores máximos y mínimos<br />Como ya sabemos, la derivada de una función en un punto nos indica la pendiente de la recta tangente a esa función en ese punto determinado… ¿qué pasa cuando la función presenta un máximo o un mínimo?<br />En los puntos en que la función presenta máximos y mínimos, la derivada de la función vale CERO<br />Ahora bien, ¿es condición necesaria y suficiente que la derivada sea cero para que la función presente un máximo o un mínimo relativo? La respuesta es NO. Esta es una condición necesaria. No puede haber máximos ni mínimos sin que la derivada sea cero. Pero en cambio, hay casos en los que con que se cumpla esta condición sola no alcanza. <br />Veamos un ejemplo 5:<br />Para asegurarme si en un punto donde la derivada vale CERO, hay o no hay un máximo o mínimo, usaremos tres criterios básicos (cualquiera de los tres es válido):<br />CRITERIO DE LA DERIVADA SEGUNDA<br />Este criterio supone lo siguiente:<br />Ejemplo 6:<br />En el gráfico se ve como en x = -2 hay un máximo y en x = 2 hay un mínimo, pero vamos a comprobarlo con el criterio de la derivada segunda<br />CRITERIO DE LA CONCAVIDAD (SIGNO DE LA DERIVADA)<br />Según este criterio, en los máximos y mínimos no cambia la concavidad, mientras que en los puntos de inflexión, cambia. Además para un máximo la función es “cóncava hacia abajo”, mientras que en un mínimo es “cóncava hacia arriba”<br />¿Cómo me doy cuenta cuál es la concavidad de la función?<br />Por el signo de la derivada 1º o de la derivada 2º. Lo que hay que hacer es estudiar cómo es el signo de la derivada un “poquito a la izquierda” del punto y “un poquito a la derecha” del punto. En realidad ese “poquito” es un infinitésimo.<br />Veamos el siguiente esquema, cuando la derivada en el punto es CERO<br />Veamos un ejemplo 7: primero hallamos los puntos críticos para clasificarlos<br />Ahora bien, habría que ver por el criterio de la concavidad, si los puntos son máximos, mínimos o puntos de inflexión<br />CRITERIO DE LOS VALORES DE LA FUNCIÓN EN UN ENTORNO DEL PUNTO CRÍTICO<br />Lo que hay que ver es si (una vez que sabemos los puntos para los cuales la derivada da CERO) a la izquierda y a la derecha del punto la función es menor o mayor que la función en el punto. Lo veamos gráficamente:<br />Esto lo hacemos para x = -2 y para x = 2 porque sabemos que la derivada de la función en esos puntos es igual a CERO. Vemos primero que pasa en x = -2<br />Vemos ahora que pasa en x = 2<br />Veamos otro ejemplo 8: fx=x3<br />Ahora hay que ver qué pasa en x = 0<br />APLICACIONES DE LA DERIVADA A LA ECONOMÍA<br />ESTÁTICA COMPARATIVA <br />La estática comparativa trata la comparación de distintos estados de equilibrio asociados a diferentes parámetros.<br />Es decir, asumimos un estado de equilibrio inicial, por ejemplo, para un modelo de mercado el equilibrio está representado por un precio y su correspondiente cantidad, determinada por la oferta y la demanda. Si introducimos un cambio que desequilibre el modelo, mediante una variación en el valor de algunos parámetros, el equilibrio se rompe, y las variables deberán experimentar ciertos ajustes hasta alcanzar un nuevo estado de equilibrio para los nuevos valores de los datos.<br />La derivada es la que nos permite comparar el nuevo equilibrio con el anterior.<br />El análisis de esta comparación puede ser cualitativo o cuantitativo. <br />Por ejemplo 9: si estamos interesados en saber si el beneficio crecerá o disminuirá, cuando se incrementa la producción, el análisis será cualitativo, porque solo se considera cuál es la dirección del cambio ( intervalos de crecimiento y de decrecimiento)<br />Si nos referimos a la magnitud del cambio, será cuantitativo y está relacionado con problemas de optimización y la medida del cambio (el análisis cuantitativo incluye el cualitativo)<br />FUNCIÓN MARGINAL<br />Si una función y = representa una función total, entonces la función derivada y = es su función marginal y se define como el cambio en la función total resultante de incrementar en la variable x. Entendiendo como un cambio extremadamente pequeño, entonces:<br /> = = <br />Para variables económicas discretas (por ejemplo producción) se mide en números enteros, el cambio más pequeño posible es de unidad.<br />Para variables económicas continuas (por ejemplo precio, tiempo) el incremento se referirá a un cambio infinitesimal.<br />Como existe una relación entre la derivada de una función y la pendiente de la curva, para cada valor de x la función marginal nos dará la pendiente de la curva de la función total en ese valor:<br /> = = pendiente de la curva en x<br />COSTO MARGINAL E INGRESO MARGINAL<br />Ejemplo 10: Sea la función = +2, donde es el costo total (costo variable + costo fijo) y la cantidad de producción.<br />La función costo marginal es:<br /> = = que mide la variación que sufre el costo total al incrementarse en una unidad la producción.<br />Ejemplo 11: Sea Cq=q2-2q+4, halla el costo marginal<br />En ambos ejemplos se observa que los términos constantes de las funciones (costos fijos) no producen efecto sobre las derivadas de las funciones.<br />Esto da la explicación matemática al principio económico: <br /> EL COSTO FIJO DE UNA EMPRESA NO AFECTA SU COSTO MARGINAL<br />Ejemplo 12: Sea la función Iq=15q-q2 donde I representa el ingreso y q la cantidad producida. Halla la función ingreso marginal. Grafica y saca conclusiones<br />De la misma manera dad la función Beneficio se define beneficio marginal haciendo la derivada 1º<br />ANÁLISIS DE EXTREMOS DE FUNCIONES ECONÓMICAS<br />Para llevar a cabo un proyecto económico en general existen distintas alternativas para su realización, pero de todas estas alternativas elegimos aquella que se “mejor”. Esta es la esencia del problema de OPTIMIZACIÓN. En Economía siempre se desea, por ejemplo MAXIMIZAR el beneficio de una empresa, la utilidad de un consumidor o MINIMIZAR el costo de producción de un producto, estos problemas de maximización o minimización se denominan PROBLEMAS DE OPTIMIZACIÓN.<br />MAXIMIZACIÓN DEL BENEFICIO<br />Uno de los principios básicos de la Economía, en orden a la maximización del beneficio, es que toda empresa debe igualar el costo marginal al ingreso marginal<br />Ejemplo 13: Un oferente en competencia perfecta que se enfrenta a un precio de mercado p = 15, que indica miles de pesos. Si su función costo depende de su producción q, y está representada por Cq=-q3+4q2+10q+1<br />Halla el nivel de producción:<br />Que maximiza su beneficio<br />Que minimiza su beneficio<br />¿Cuáles son los valores extremos del beneficio?<br />Demuestra que IMg es igual al CMg en el nivel de producción de los apartados a) y b)<br />INGRESO MEDIO Y COSTO MEDIO<br />Dada una función de ingreso total llamaremos ingreso medio y lo simbolizaremos , al cociente entre el ingreso total y la cantidad de unidades vendidas o demandadas.<br />Es decir: = representa el ingreso por unidad vendida.<br />Además como el ingreso es = = (precio)<br />EL INGRESO MEDIO ES EL PRECIO DEL PRODUCTO (SON DOS NOMBRES PARA LA MISMA EXPRESIÓN)<br />Análogamente, dada una función de costo total se define costo medio al cociente entre el costo total y la cantidad de unidades producidas.<br />Es decir: = es el costo por cada unidad producida.<br />Las dos definiciones son válidas para > 0<br />RELACIÓN ENTRE EL COSTO MEDIO Y EL COSTO MARGINAL<br />Dada una función costo total consideremos las funciones costo medio = y costo marginal = , entonces:<br />LA FUNCIÓN COSTO MEDIO PRESENTA UN EXTREMO PARA AQUELLOS NIVELES DE PRODUCCIÓN DONDE: <br />- la función es decreciente cuando < <br />- la función es creciente cuando > <br />Como la función pasa de decreciente a creciente, entonces presenta un mínimo en el nivel de producción donde <br /> Figura 19<br />Luego: TODA FUNCIÓN MARGINAL INTERSECA A LA FUNCIÓN MEDIA EN SU EXTREMO<br />Ejemplo 14: Dada la función mostrar que la función interseca a la función en su mínimo<br />