Calculo ii

INTEGRALES DEFINIDAS

Calculamos la integral definida por cambio
de variable.

Hallamos los nuevos límites de integración.

Integramos por partes.

También se puede hacer sin transformar los
límites de integración y volviendo a la
variable inicial.

CALCULO DE AREA

Calcular el área del recinto limitado por la
curva y = 4x − x2 y el eje OX.

En primer lugar hallamos los puntos de corte
con el eje OX para representar la curva y
conocer los límites de integración.

Hallar el área limitada por la recta x + y = 10,
el eje OX y las ordenadas de x = 2 y x = 8.

En segundo lugar se calcula la integral:

Hallar el área de la región del plano
encerrada por la curva y = ln x entre el punto
de corte con el eje OX y el punto de abscisa x
= e. Calcular el área limitada por la curva y = 6x2 −
3x3 y el eje de abscisas.

En primer lugar calculamos el punto de corte
con el eje de abscisas.

Por ser la elipse una curva simétrica, el área
pedida será 4 veces el área encerrada en el
primer cuadrante y los ejes de coordenadas.
Calcular el área de las regiones del plano
limitada por la curva f(x) = x3 − 6x2 + 8x y el
eje OX.

Hallamos los nuevos límites de integración.

El área, por razones de simetría, se puede
escribir:

Calcular el área limitada por la curva y = x2 -
5x + 6 y la recta y = 2x.
Hallar el área de una elipse de semiejes a y b.
En primer lugar hallamos los puntos de corte
de las dos funciones para conocer los límites
de integración.

De x = 0 a x = 4, la parábola queda por
encima de la recta.

Calcular el área limitada por las gráficas de
las funciones 3y = x2 e y = −x2 + 4x.

En primer lugar representamos las parábolas
a partir del vértice y los puntos de corte con
los ejes.

De x = 1 a x = 6, la recta queda por encima de
la parábola.

Calcular el área limitada por la parábola y2 =
4x y la recta y = x.
Hallamos también los puntos de corte de las
funciones, que nos darán los límites de
integración.

Hallar el área de de la región limitada por las
funciones:
La gráfica del coseno queda por encima de la
y = sen x, y = cos x, x = 0. gráfica del seno en el intervalo de
integración.
En primer lugar hallamos el punto de
intersección de las funciones:

TEOREMA DEL VALOR MEDIO

Hallar el valor de c, del teorema de la media,
de la función f(x) = 3x2 en el intervalo [−4,
−1].

Como la función es continua en el intervalo
[−4, −1], se puede aplicar el teorema de la
media.

La gráfica del coseno queda por encima de la
gráfica del seno en el intervalo de
integración.

La solución positiva no es válida porque no
Hallar el área de de la región limitada por las pertenece al intervalo.
funciones:
2. ¿Es aplicable el teorema del valor medio
y = sen x, y = cos x, x = 0. del cálculo integral a la siguiente función en
el intervalo [0, 1]?
En primer lugar hallamos el punto de
intersección de las funciones:

Como la función es continua en [0, 1], se
puede aplicar el teorema de la media.

LONGITUD DE ARCO Operamos de la siguiente manera:

La longitud de arco de la parábola
semicúbica, entre los puntos
y hacemos una substitucion:

solución Para la mitad superior de la curva,

así que, con la ecuacion de la longitud de
sacamos la primitiva y por el
arco,
Teorema fundamental del cálculo:

La longitud de arco es 6.10

Calcular la longitud de arco de la grafica de

en el intervalo (0,8).
Si sustituimos , entonces
Empezamos despejando X en terminos de
. Cuando , ;
cuando , ; por lo tanto,
. El intervalo (0,8) de la
variable x corresponde al intervalo (1,5) de la
variable y.

La longitud de arco esta dada por:

Encontrar la longitud de arco para la función
=
dada: para el intervalo de [0,1].

Derivamos la función y obtenemos lo

siguiente luego por las ecuaciones
=
de longitud de arco obtenemos esto:

=

=

=

Calcular la longitud de la curva en el intervalo
[4,0] de la función.

.

derivamos la función :

.

Simplificando y elevando al cuadrado

.

Ahora sustituimos en la integral para calcular
la longitud

Integrando por sustitución, queda

L=

Hallar la longitud del arco de curva
en el intervalo [0, 1].

VOLUMEN

Hallar el volumen del tronco de cono
engendrado por la rotación alrededor OX del
área limitada por y = 6 − x, y = 0, x = 0, x = 4.

Calcular el volumen engendrado al girar
alrededor del eje OX el recinto limitado por
las gráficas de y = 2x −x2, y = −x + 2.

Puntos de intersección entre la parábola y la
recta:

Calcular el volumen que engendra un
triángulo de vértices A(3, 0), B(6, 3), C(8, 0) al
girar 360° alrededor del eje OX.

Ecuación de la recta que pasa por AB:

Ecuación de la recta que pasa por BC:

La parábola está por encima de la recta en el
intervalo de integración.

Hallar el volumen del cuerpo revolución
engendrado al girar alrededor del eje OX, la
región determinada por la función f(x) = 1/2
+ cos x, el eje de abscisas y las rectas x = 0 y x
= π.

Calculo ii

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