Capitulo i

Libro: Cálculo Diferencial
| Capitulo I: Números Reales 1
CAPITULO I: Números reales.
1.1 La recta numérica.
La recta numérica es un dibujo unidimensional de una línea en la que los
números enteros son mostrados como puntos especialmente marcados que están
separados uniformemente. Aunque la imagen de abajo muestra solamente los
números enteros a entre -9 y 9, la recta incluye todos los números reales,
continuando "ilimitadamente" en cada sentido. Frecuente es usada como ayuda
para enseñar la adición y la sustracción simples, implicando especialmente
números negativos.
Está dividida en dos mitades simétricas por el origen, es decir el número cero. En
la recta numérica mostrada arriba, los números negativos se representan en rojo y
los positivos en morado.
La recta numérica real o recta de coordenadas es una representación
geométrica del conjunto de los números reales. Tiene su origen en el cero, y se
extiende en ambas direcciones, los positivos en un sentido (normalmente hacia la
derecha) y los negativos en el otro (normalmente a la izquierda). Existe una
correspondencia uno a uno entre cada punto de la recta y un número real.
Se construye como sigue: se elige de manera arbitraria un punto de una línea
recta para que represente el cero o punto origen. Se elige un punto a una distancia
adecuada a la derecha del origen para que represente al número 1. Esto establece
la escala de la recta numérica.
1.2 Los números reales.
En la matemática elemental se encuentran ya conjuntos importantes, que son
conjuntos de números, de particular interés es el conjunto de los números reales
que se denota por “”
Una de las propiedades más importantes de los números reales es el poderlos
representar por medio de puntos en una línea recta llamada recta numérica.

Elegimos un punto llamado origen para representar el cero, y otros puntos a la
derecha para representar los números 1,2, etc.
Los números a la derecha del cero son los llamados números positivos y los
números a la izquierda de cero son los llamados números negativos. Resulta así
de manera natural una correspondencia entre los puntos de la recta y los números
reales, es decir cada punto representa un número real único, y cada número real
está representado por un punto único.
Números enteros “Z”
Los números enteros son los números reales ... -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...
Los números reales enteros son un subconjunto del conjunto de los números
reales generalmente los denotamos por “Z”. Z R = “Z” Subconjunto de “R”
Una propiedad importante de los enteros es que son cerrados respecto a las
operaciones de adición, multiplicación y sustracción; es decir que la suma, el
producto o la diferencia de dos enteros es a su vez un número entero, sin
embargo el cociente de dos números no es necesariamente un número entero; de
esta manera los enteros no son cerrados con respecto a la división.
Números Racionales “Q”
Los números racionales son los reales que se pueden expresar como la razón o el
cociente de dos enteros. Se denota el conjunto de los núm. racionales por “Q” o
sea que Q = {x|x = p/q donde pZ y qZ}. Observemos que todo número entero
es un número racional, ya que por ejemplo: 8 = 8/1
Los números racionales son cerrados no solamente con respecto a las
operaciones de adicción, multiplicación y sustracción, sino también con respecto a
la división (excepto la división por cero). Es decir que la suma, el producto, la
diferencia y el cociente de dos números racionales es un número racional.
Números Naturales “N”
Los números naturales son los enteros positivos cuyo conjunto se denota por N =
{1,2,3,4,...}. Los números naturales fueron el primer conjunto que se formo y se
usaba principalmente para contar.

Los números naturales son cerrados respecto a la adición y la multiplicación
solamente, ya que la diferencia y el cociente de dos números naturales no son
necesarios un número natural.
3-7 = -4; 3/8 = 0.375 No son números Naturales.
Dentro de los números naturales existe un subconjunto de los llamados números
primos cuya particularidad es que solamente pueden ser divisibles entre la unidad
y ellos mismos.
Números Irracionales “Q’ “
Los números irracionales son los números reales que no son racionales, esto es,
el conjunto de los números irracionales es el complemento del conjunto de los
números racionales “Q” en los números reales “R”, por eso los denotamos por “Q’
“. Ejemplos de números irracionales serian 3, , 2, etc.
DIAGRAM LINEAL DE LOS NÚMEROS
Números Complejos
Números Reales
Racionales Irracionales
Enteros
negativos
Naturales
Enteros
positivos
Cero
Primos

1.3 Propiedades de los números reales.
Si a, b y c son números reales entonces:
Propiedad Operación Definición Que dice Ejemplo
Conmutativa Suma
Multiplicación
a+b = b+a
ab = ba
El orden al sumar o
multiplicar reales no
afecta el resultado.
2+8 = 8+2
5(-3) = ( -3)5
Asociativa Suma
Multiplicación
a+(b+c)=(a+b)+c
a(bc) = (ab)c
Puedes hacer
diferentes asociaciones
al sumar o multiplicar
reales y no se afecta el
resultado.
7+(6+1)=(7+6)+1
-2(4x7)= (-2x4)7
Identidad Suma
Multiplicación
a + 0 = a
a x 1= a
Todo real sumado a 0 se
queda igual; el 0 es la
identidad aditiva.
Todo real multiplicado por 1
se queda igual; el 1 es la
identidad multiplicativa.
-11 + 0 = -11
17 x 1 = 17
Inversos Suma
Multiplicación
a + ( -a) = 0 La suma de opuestos
es cero.
El producto de
15+ (-15) = 0

recíprocos es 1.
Distributiva Suma respecto a
Multiplicación
a(b+c) = ab + ac El factor se
distribuye a cada
sumando.
2(x+8) =
2(x) + 2(8)
Ejercicios
Identifica la propiedad:
5 (4 x 1.2) = (5 x 4) 1.2
14 + (-14) = 0
3 (8 + 11) = 3 (8) + 3 (11)
(5 + 7) 9 = 9 (7 + 5)
Aplica la propiedad indicada:
5(x + 8) (conmutativa de suma)
(3 x 6) 2 (asociativa de multiplicación)
(9 + 11) + 0 (identidad aditiva)
12(x + y) (distributiva)
9(6 + 4) (conmutativa de multiplicación)
(x + y) + z (asociativa de suma)
Otras propiedades
Propiedad de los
opuestos
Que dice Ejemplo

-( -a ) = a El opuesto del opuesto es el
mismo número.
- ( - 9 ) = 9
(-a)( b)= a (-b)= -(ab) El producto de reales con
signos diferentes es
negativo.
( -15) (2) = 15( - 2) = - (15 x 2)
= - 30
( - a)( -b) = ab El producto de reales con
signos iguales es positivo.
( -34) ( - 8) = 34 x 8
-1 ( a ) = - a El producto entre un real y -1
es el opuesto del número
real.
-1 ( 7.6 ) = - 7.6
Propiedades del cero
Propiedad del cero Que dice Ejemplo
a x 0 = 0 Todo real multiplicado por
0 es 0.
16 x 0 = 0
a x b = 0 entonces
a = 0 ó b = 0
Si un producto es 0
entonces al menos uno de
sus factores es igual a 0.
(a+b)(a-b) = 0 entonces
a + b = 0 ó a – b = 0
Recuerda
Operación Definición Que dice Ejemplo
Resta a – b = a + ( - b) La resta es la
suma del opuesto
del sustraendo.
2 – 8 = 2 + (-8) = - 6

División La división es la
multiplicación por
el recíproco del
divisor.

1.3.1 Tricotomía.
La propiedad de tricotomía de números reales indica que, para cualquier dos
números reales a y b, uno del siguiente es exactamente verdad:
a<b, a=b, a>b.
Para cualquier relación de equivalencia R encendido conjunto A, la relación es
tricótoma si para todo el x y y en A exactamente una de xRy, x=y, yRx asimientos.
Una relación tricótoma no es simétrica, no es reflexivo, sino es transitiva.
Propiedades de relaciones tricótomas
Propiedad Ecuación Descripción
Propiedad
simétrica
xRx es siempre
falso.
Una relación tricótoma no es simétrica. Por
ejemplo, la declaración 3<3 es siempre falso.
Propiedad
reflexiva
Si xRy entonces
no yRx
Una relación tricótoma no es reflexiva. Por
ejemplo, 3<4 ⇒ 4≮3.
Propiedad
transitiva
Si xRy y xRz
entonces xRz
Una relación tricótoma es típicamente transitiva.
Por ejemplo, 3<4, 4<5 ⇒ 3<5.
1.3.2 Transitividad.
Si imagináramos que es una recta, donde a la izquierda están los números
negativos, al medio el cero y a la derecha los positivos, entonces, una
interpretación geométrica de la afirmación 𝑥 < 𝑦, es que está a la izquierda de
. Esta manera de visualizar es muy conveniente, ya que permite entender con
mayor claridad, algunas de las propiedades que cumplen los números reales.
Por ejemplo
Si 𝑥 < 𝑦 𝑦 𝑦 < 𝑧 , entonces 𝑥 < 𝑧
La interpretación geométrica de esta propiedad llamada Transitividad, dice que si
es un número real que está a la izquierda de , y está a su vez a la izquierda
de , entonces está a la izquierda de .
Se dijo al principio que "en particular" esta propiedad se cumplía en los reales.
Esto es porque en general puede representar la cardinalidad de conjuntos (con
números), siendo uno de menor o igual cardinalidad que otro.

1.3.3 Densidad.
Dados dos números racionales distintos ∝< 𝛽, siempre existe otro número
racional 𝛾 tal que 𝛼 < 𝛾 < 𝛽.
Para ello, si 𝛼 =
𝑎
𝑏
y 𝛽 =
𝑐
𝑑
, con b y d positivos, basta con tomar
Ejercicio: probar que efectivamente 𝛼 < 𝛾 < 𝛽 (por ejemplo, entre 3/5 y 2/3 se
encuentra 5/8).
Ahora bien, reiterando el proceso de introducir un racional entre cada dos
racionales distintos es claro que entre dos racionales distintos existen infinitos
racionales distintos.
Por ejemplo, ahora entre 3/5 y 5/8 se encuentra 8/13, entre 3/5 y 8/13 se
encuentra 11/18, etc., tenemos así 3/5 < ...... < 11/18 < 8/13 < 5/8 < 2/3.
Por eso se dice que el conjunto de los racionales es un conjunto denso. No tiene
sentido hablar del racional siguiente o anterior a uno dado. Esto es algo que no
ocurría ni en el conjunto de los naturales ni en el de los enteros.
1.3.4 Axioma del supremo.
Sea S un conjunto no vacío de números reales acotado superiormente, existe
entonces un número real y solo uno que es el supremo S.
Comentaremos ahora acerca de otra forma de construir el campo de los números
reales, las cortaduras.
La teoría de los números reales en la forma de Dedekind está basada en la idea
de cortar el dominio de los números racionales, es decir dividimos el conjunto de
todos los números racionales en dos conjuntos no vacíos A y A’ y asumimos que:
i) todo número racional se encuentra en uno y solo uno de los conjuntos A y A’.
ii) todo número del conjunto A es menor que cualquiera del conjunto A’.
El conjunto A es llamado clase baja y el conjunto A’ clase alta. El corte puede ser
denotado por A/A’.
La definición implica que todo número racional más pequeño que el número a de
la clase baja se encuentra en esta clase.
Ejemplos:
Definamos A como el conjunto de los números racionales a que

1.) Satisfacen a < 1, mientras que el conjunto A’ contendrá todos los números a’
tales que a’ ≥ 1.
Fácilmente se observa que en efecto hemos obtenido una cortadura el número 1
se encuentra en la clase A’ y obviamente es el más pequeño del conjunto, por otro
lado 1 no es el número mayor de la clase A puesto que para cada a  A existe un
número racional a1, localizado entre A y la unidad, consecuentemente mayor que
a y además perteneciente a la clase A.
2.) La clase baja contendrá todos los números racionales a tales que a ≤1
mientras que la clase alta contendrá todos los racionales a’ con a’ < 1.
Este ejemplo también es una cortadura, y ahora la clase alta no tiene un elemento
mínimo sin embargo la clase baja si tiene un elemento máximo.
3.) La clase A contiene a todo número racional tal que a2 < 2, mientras que la
clase A contiene a todo número racional que cumple a’2 > 2.
Es fácil ver que este ejemplo también es una cortadura. Ahora la clase A no tiene
un número máximo y la clase A’ no tiene un número mínimo.
Probaremos por ejemplo la primera afirmación (La segunda se podrá probar de
forma análoga).
Sea a un número positivo de la clase A de aquí que a2 < 2. Probaremos que
seleccionando un entero positivo n tal que (a +
1
𝑛
)2 < 2 de modo que a +
1
𝑛
también
se encuentra en la clase A. Esta desigualdad es equivalente a:
𝑎2
+
2𝑎
𝑛
+
1
𝑛2
< 2
2𝑎
𝑛
+
1
𝑛2
< 2 − 𝑎2
y esta última desigualdad se satisface también si n es tal que:
2𝑎 + 1
𝑛
< 2 − 𝑎2
para el cual es suficiente tomar
𝑛 >
2𝑎 + 1
2 − 𝑎2
Por otra parte es importante notar que no existirá una cortadura que tenga
simultáneamente un número máximo a0 en la clase baja y un número mínimo a’0
en la clase alta. En efecto, supongamos que existe tal número y llamémosle c,
entonces c está entre a0 y a’0 de aquí que no pertenece a la clase baja, pues es
mayor que a0 y tampoco a la clase alta ya que es menor que a’0 lo cual contradice
la definición de corte dada. De esta manera las cortaduras pueden ser de tres
tipos, ilustrados en los ejemplos 1, 2, 3. En los dos primeros ejemplos las

cortaduras forman el número racional r (que es la frontera entre las clases A y A’).
En el tercer caso el número frontera no existe y la cortadura define a un nuevo
elemento, un número irracional.
De este modo toda cortadura de la forma 3) define un número irracional α. Este α
reemplaza el faltante número frontera, el está entre todo número a de la clase A y
todo numero a’ de la clase A’. En el ejemplo 3) el nuevo elemento creado es √2.
Entonces para todo número r existirán dos cortaduras que lo definen, los
elementos a < r estarán contenidos en la clase baja y los a’ > r en la clase alta.
1.4 Intervalos y su representación mediante desigualdades.
Intervalos.
Tipos de intervalos
Abiertos.- Un intervalo abierto entre los números A y B esta compuesto entre
todos los números comprendidos en A y B sin incluir los extremos.
Int. Sol. : (a, b) Conj. Sol.  bxax 
Cerrados.- Un intervalo cerrado entre los números A y B es el conjunto de todos
los números comprendidos en A y B incluyendo los extremos.
Int. Sol. : [a,b] Conj. Sol.  bxax 
Semiabiertos.-
Intervalo solución: (a,b] intervalo solución: [a,b)
X
A B
( )
X
A B
X
A B
[ ]
X
A B
X
a b
A
BBbB B
X
a b

Conj. Sol  bxax  Conj. Solución  bxax 
Intervalos Infinitos.- El que abarca todos los numero reales.
Desigualdad
Una desigualdad es una relación matemática en la que se tiene en cuenta el orden
de los números. Podemos decir que: abbababa  ,,,
Lo anterior muestra los símbolos utilizados para denotar una desigualdad. Por
ejemplo, la desigualdad 3 < 10 indica que el número 3 es menor que el 10; la
desigualdad 2
x ≥ 0 expresa el hecho de que el cuadrado de cualquier número
real es siempre mayor o igual que cero.
Si una desigualdad contiene incógnitas, se denomina inecuación.
Las soluciones de una inecuación como -2x + 6 > 0 son aquellos valores de la x
para los que la expresión -2x + 6 es mayor que cero. Las reglas de resolución de
ecuaciones del álgebra se pueden utilizar para resolver inecuaciones, con la
condición de que el sentido de la desigualdad ha de invertirse si se multiplica o
divide por números negativos. Por tanto, para resolver la inecuación -2x + 6 > 0,
primero se resta 6 de ambos lados de la desigualdad, con lo que se obtiene -2x > -
6. A continuación se dividen ambos lados de -2x > -6 por -2, sin olvidarse de
invertir el sentido de la desigualdad pues -2 es negativo.
Esto da x < 3, lo que significa que cualquier valor de x menor que 3 es una
solución de -2x + 6 > 0.. A continuación se dividen ambos miembros de -2x > -6
por -2 sin olvidar el invertir el sentido de la desigualdad, pues -2 es negativo. Esto
a ∞
Int. Sol [a ∞)
Conj. Sol. { X | A ≤ x < ∞ }
-∞ a
Int. Sol (-∞, a)
Conj. Sol. { X | X > A }
-∞ ∞
Int Sol.(-∞, ∞)
Conj. Sol. { X | -∞ < x < ∞ }
{ X | X  R }

nos da x< 3, lo que significa que cualquier valor de x menor que 3 es una solución
de -2x +6>0
Propiedades o leyes de las desigualdades.
1.- Si a los dos miembros de una desigualdad le sumamos o le restamos una
misma cantidad, el sentido de la desigualdad no cambia.
2.- Si a los dos miembros de una desigualdad los multiplicamos o los dividimos por
una misma cantidad positiva el sentido de la desigualdad no cambia, pero habrá
cambios de sentido si los multiplicamos o los dividimos por una misma cantidad
negativa.
3.- Si los dos miembros de una desigualdad son negativos y los elevamos a un
potencia de grado impar el sentido de la desigualdad no cambia, pero habrá
cambios de sentido si los elevamos a una potencia de grado par.
4.- Si se cambian los dos miembros de una desigualdad, ésta cambiara de signo.
De esta manara si a> b, es evidente que b<a.
5.- Si los dos miembros de una desigualdad son positivos y se elevan a una
misma potencia pero negativa el sentido de la desigualdad cambia.

1.5 Resolución de desigualdades de primer grado con una incógnita y de
desigualdades cuadráticas con una incógnita.
Igualdad Absoluta: Es aquella que se verifica para cualquier valor de una
variable, también se les llama identidades.
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2
Sen2 x + Cos2 x = 1
Igualdad Condicional: Es aquella que se verifica solamente por un valor o
determinados valores de la variable. (Son las ecuaciones)
3x + 8=23
3x + 8 - 8 = 23 - 8
.
3
15
3
3

X
x = 5
Desigualdades Absolutas y Condicionales: Así como se tienen igualdades
absolutas e igualdades condicionales, también tenemos desigualdades absolutas
y desigualdades condicionales.
Una desigualdad absoluta es una desigualdad válida para todos los valores reales
de la variable.
Desigualdad Absoluta: 32
x >0
Una desigualdad condicional es válida solo para determinados valores reales de
la variable.
Desigualdad Condicional: 3x – 5 > 0
Las desigualdades condicionales también se les llaman Inecuaciones.

Principios en los que se fundamenta la resolución de las inecuaciones.
La resolución de las inecuaciones se fundamenta en las propiedades expuestas
anteriormente, y en las consecuencias que de ella se derivan.
Prácticamente se emplean las mismas propiedades que se usan en la resolución
de ecuaciones.
Desigualdad Condicional (Inecuación)
Ejemplo 1
3X +8 > 23
3X + 8 - 8 > 23 – 8
3
15
3
3

X
Ejemplo 2
1X
3
2
2X
4
3

3
32X
4
83X 


3 (3X + 8) > 4(2X+3) ; 9X + 24 > 8X + 3
9X – 8X > 12 – 24
Ejemplo 3
8 (2X + 3) ≤ 5 (3X + 4)
16X + 24 ≤ 15X + 20
0 5 ∞
Int. Sol. (5, ∞)
Conj. Sol. { X | X > 5 }
Conj. Sol. { X | 5 < X < ∞ }
-12 0 ∞
Int. Sol (-12, ∞)
Conj. Sol. { X | X > -12 }
-∞ -4 0
Int. Sol (-∞, -4]
Conj. Sol. { X | X ≤ -4 }
X > 5
X > -12

16X – 15X ≤ 20 – 24
Ejemplo 4
13
82
13
52





X
X
X
X
; (2X + 5) (3X -1) ≥ (2X + 8)(3X + 1)
6X2 + 15X - 2X – 5 ≥ 6X2 + 24X + 2X +8
6X2 + 15X – 6X2 -24X ≥ 8 + 5
13
13
13
13



 X
Ejemplo 5
2
43
52
56





X
X
X
X
(6X + 5)(X + 2) < (3X + 4) (2X + 5)
6X2 + 5X +12X + 10 < 6X2 + 15X +8X + 20
6X2 + 5X + 12X - 6X2 – 15X - 8X < 20 -10
5X + 12X -15X -8X < 10
6
10
6
6



 X
Ejemplo 6
(X - 3)2 + (X + 2)2 < 2X2 - 7X + 22
X2 – 6X + 9 + X2 + 4X + 4 < 2X2 + 7X + 22
2X2 – 6X + 4X – 2X2 – 7X < 9
-∞ -1 0
Int. Sol (-∞, -1]
Conj. Sol. { X | -∞ x ≤ -1 }
Int. Sol.: 





 ,
3
5
Conj. Sol.







3
5
xx
-∞ -
3
5
0
Int. Sol (-1, ∞)
Conj. Sol. { x | x >-1 }
3
5
X
x>-1
X ≥ -1
X ≤ -4

-9x<9;
Ejemplo 7
(2X + 5)2 + (X – 1)2 < 5X2 – 3X + 47
4X2 + 20X + 25 + X2 + 1 < 5X2 – 3X + 47
4X2 + 20X + X2 – 2X – 5X2 + 3X < 47 – 21 – 1
21X < 21
21
21
21
X21

Ejemplo 8
7
5
32
3 


X
15 ≤ 2X – 3 < 35
15 ≤ 2X – 3 2X – 3 < 35
15 + 3 ≤ 2X 2X < 35 + 3
18 ≤ 2X 2X < 38
2
X2
2
18

2
38
2
X2

-∞ 0 1
Int. Sol (-∞, 1)
Conj. Sol. { X | X < 1 }
Int. Sol (9, 19)
Conj. Sol. { X | 9 ≤ X < 19 }
0 9 19
X < 1
9 ≤ X X < 19

-1 0 1
I II III
Inecuaciones de 2° Grado.
Ejemplo 9 Resuelva la desigualdad 𝒙 𝟐
− 𝟓𝒙 + 𝟔 ≤ 𝟎
Solución: Primero factorizamos el lado izquierdo
( 𝑥 − 2)( 𝑥 − 3) ≤ 0
Sabemos que la ecuación correspondiente ( 𝑥 − 2)( 𝑥 − 3) = 0 tiene las soluciones
2 y 3. Los números 2 y 3 dividen el eje real en tres intervalos:
(−∞,2) (2,3) (3,∞)
Valores de prueba:
Para Intervalo Sustituir en 𝒙 𝟐
− 𝟓𝒙 + 𝟔 ≤ 𝟎 se tiene
x=1 (−∞, 2) (1)2
− 5(1) + 6 = 2 > 0 𝑛𝑜 𝑠𝑎𝑡𝑖𝑠𝑓𝑎𝑐𝑒 𝑙𝑎 𝑖𝑛𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖ó𝑛
x=5/2 (2,3) (5/2)2
− 5(5/2)+ 6 = −1/4 < 0 𝑠𝑖 𝑠𝑎𝑡𝑖𝑠𝑓𝑎𝑐𝑒 𝑙𝑎 𝑖𝑛𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖ó𝑛
x=4 (3, ∞) (4)2
− 5(4) + 6 = 2 > 0 𝑛𝑜 𝑠𝑎𝑡𝑖𝑠𝑓𝑎𝑐𝑒 𝑙𝑎 𝑖𝑛𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖ó𝑛
Luego leemos en la tabla que 𝒙 𝟐
− 𝟓𝒙 + 𝟔 ≤ 𝟎 es negativo cuando 2 < 𝑥 < 3. Así,
la solución de la desigualdad 𝒙 𝟐
− 𝟓𝒙 + 𝟔 ≤ 𝟎 es { 𝒙| 𝟐 ≤ 𝒙 ≤ 𝟑} = [ 𝟐, 𝟑]
Note que hemos incluido los puntos extremos 2 y 3 porque buscamos valores de x
tales que el producto sea negativo o cero. Solución ilustrada:
+ - +
0 2 3 x
Ejemplo 10 Resuelva la desigualdad 𝑥2
− 1 > 0
𝑥2
− 1 > 0
𝑥2
− 1 = 0
𝑥2
√1
Int. Sol [ 𝟐, 𝟑]
Conj. Sol. { 𝒙| 𝟐 ≤ 𝒙 ≤ 𝟑}
Analizando Int. I
X < - 1; Sea X = -2
(-2)2 – 1 > 0
4 – 1 > 0
3 > 0
Si satisface
Analizando Int. II
X > 1; Sea X = 2
-1 > 0
No satisface
Int.Sol.:
).1()1,( 
Analizando Int III
Para x>1; sea x= 2
(2)2
-1>0
4-1>0
3>0
Si satisface
Conj. Sol.:
 11  xxx
Int. Sol: (-∞, -1) U (1, ∞)
Conj. Sol.: { X | X < -1 U X > 1 }

Ejemplo 11 Resuelva la desigualdad
1072
 xx
01072
 xx
(x – 5) (x – 2) = 0
2 y 5 Son Límites
Inecuaciones Racionales.
Ejemplo12 Resolver la desigualdad 0
23
4

x
3x + 2 = 0
x =
3
2

Analizando Int. I Analizando Int. II
X <
3
2
 ; Sea X = - 1 X >
3
2
 ; Sea X = 0
0
21)3(
4


0
23(0)
4


0
1
4


0
2
4

Int. Sol : (-∞, 2) U (5, ∞)
Conj. Sol. : { X | X < 2 U X > 5 }
I II III
-∞ 0 2 5 ∞
Analizando Int. I
X < 2; Sea X = 0
(0)2 – 7(0)+10 > 0
10 > 0
Si satisface
Analizando Int. II
2 < X < 5; Sea X = 3
(3)2 – 7(3) + 10 > 0
9 – 21 + 10 > 0
-2 > 0
No Satisface
Analizando Int. III
x > 5; Sea x = 6
(6)2 – 7(6) + 10 > 0
34 – 42 + 10 > 0
4 > 0
Si Satisface.

Elaboro: M.C. Alejandra Espinosa Guzmán
3
2
 0
I II
Int. Sol: (
3
2
 , ∞)
Conj. Sol.: { X | X >
3
2
 }
Int. Sol: (-∞,
2
5
 )
Conj. Sol.: { X | X <
2
5
 }
No Satisface. Si satisface
52
3

x
2X + 5 < 0
X <
2
5

X <
2
5
 ; Sea X = -3 X >
2
5
 ; Sea X = 0
0
53)2(
3


0
52(0)
3


0
1
3


0
5
3

-1 ≤ 0
Si Satisface. No Satisface.
-∞
2
5
 0
I II

Int. Sol : (-∞, -3) U (1, ∞)
Conj. Sol. : { X | X < -3 U X > 1 }
Ejemplo 14 Resolver la desigualdad 0
1
3



X
X
x = -3 x = 1
Analizando Int. I Analizando Int. II Analizando Int. III
x < -3; Sea x = -4 -3 < x < 1; Sea x = 0 X > 1; Sea X = 3
0
14
34



0
10
30



0
13
33



0
5
1



-3 > 0 3 > 0
0
5
1
 No satisface. Si satisface.
Si satisface.
1
652



X
XX
x2 – 5x + 6 = 0
(x - 2) (x – 3) = 0
x < -1; Sea x = -2 -1 < x < 2; Sea x = 0
0
12
62)5(2)( 2



0
10
6)05()0( 2



0
1
6104



0
1
6

No Satisface. Si Satisface.
-3 0 1
I II III
1
3
2



x
x
x

Int. Sol : (-1, 2) U (3, ∞)
Conj. Sol. : { X | -1 < X ≤ 2 U X ≥ 3 }
Int. Sol: (-3, -1) U (2, 5)
Conj. Sol.: { x | -3 < x < -1 U 2 < x < 5 }
Analizando III Analizando Int. IV
2 < x < 3; Sea x =
2
5
x > 3; Sea x = 4
0
27
4242)55(425


0
14
65(4)(4) 2



No Satisface. 0
5
2
 Si Satisface.
2
152
2
2



XX
XX
0
2)1)((
3)5)((



xx
xx




Ó
Para Int. I Para Int. II Para Int. III Para Int. IV Para Int. V
0
))((
))((



0
))((
))((



0
))((
))((



0
))((
))((


 0
))((
))((



No Satisface Si Satisface No Satisface Si Satisface No Satisface
I II III IV
-1 0 2 3
I II III IV V
-3 -1 0 2 5

1.6 Valor absoluto y sus propiedades.
Si x es un número real, el valor absoluto de x denotado por |x| se define por
| 𝑥| = {
𝑥 𝑠𝑖 𝑥 > 0
−𝑥 𝑠𝑖 𝑥 < 0
De la definición anterior, es claro que el valor absoluto de un número siempre
es un número real no negativo.
A continuación se dan sin demostrar algunas de las propiedades importantes
del valor absoluto:
axoaxax
axaax
ysi
y
x
y
x
yxxy
yxyx
triangularddesigualdayxyx
xx







.7
.6
0.5
.4
.3
.2
.1 2
Se puede considerar que el valor absoluto de x es la “Medida” del tamaño de x
sin tener en cuenta que x sea positivo o negativo. Por ejemplo.
4
2
8
352
532
532





X
X
X
X
X
1
2
2
2
2
352
532





X
X
X
X
De acuerdo con lo anterior existen dos valores de x, x = 4, x = -1, que
satisfacen la ecuación dada.
-5 0 5

9
9
2723
7223




X
X
XX
XX
1
55
2723
2723
7223





x
x
xx
xx
xx
De los ejemplos anteriores se pueden obtener las siguientes reglas generales
para resolver ecuaciones en las que aparecen valores absolutos.
Si ba  donde b ≥ 0
Entonces a = b ó bien a = -b
Si ba 
Entonces a = b ó bien a = -b
1.7 Resolución de desigualdades que incluyan valor absoluto.
Consideremos ahora desigualdades que incluyen valores absolutos por
ejemplo:
|X| < 5
Implica que la distancia entre x y el origen es menor que 5 unidades, dado que
x puede estar a la derecha o a la izquierda del origen. Podemos afirmar que x
se encuentra entre -5 y 5 esto es - 5<x<5.
Sin embargo otra desigualdad como: |x| > 5 implica que x es menor que 5, y
nuevamente implica que x puede estar a la derecha o la izquierda del origen.
Este resultado se generaliza mediante el siguiente teorema.
AXAXAX
AXAAX


Bienó
( )
-5 0 5

Int. Sol : [
3
11
 , -1)
Conj. Sol. : { X |
3
11
 < X < -1 }
Int. Sol : [
2
3
,
2
9
]
Conj. Sol. : { X |
2
3
< X <
2
9
}
Int. Sol: (-∞, -1) U (4, ∞)
Conj. Sol.: { X | X < -1 U X > 4 }
Resolver la siguiente desigualdad 473 X |
1
743
473



x
x
x
x
3
11
3x74
73x4



Resolver la siguiente desigualdad 362 X
x


2
3
2x63-
36-2x3-
2
9
x
92x
632x



Resolver la desigualdad 532 X
SatisfaceSi
57
57
53-2(-2)
-2XSea-1;X
ónComprobaci
4X
82X
352X
53-2X








SatisfaceSi
59
59
5310
53-2(5)
5XSea4;X
ónComprobaci
1X
22X
352X
532X









-∞ -1 0 4 ∞
0
2
3
2
9

APLICACIONES DE LAS INECUACIONES
1) El fabricante de un cierto articulo puede vender todo lo que produce a un
precio de $60 c/articulo. Gasta $40 en materia prima y mano de obra al
producir cada artículo y tiene unos costos fijos adicionales de $3,000 a la
semana en la operación de la planta. Encuentre el número de unidades que
deberá producir y vender para obtener una utilidad de al menos $1,000 a la
semana.
UTILIDAD = INGRESOS - COSTOS.
Sea x el número de artículos producidos y vendidos a la semana.
Entonces: Ingresos = 60x
Costos: 40x + 3,000
200
20
4000
400020
3000100020
100030004060
1000)300040(60






x
x
x
x
xx
xx
En consecuencia el fabricante deberá producir y vender al menos 200 unidades
o más cada semana.
2) Un administrador de una fabrica deberá decidir si produce sus propios
empaques, que ha estado adquiriendo de proveedores externos a $11 c/uno.
La fabricación de los empaques incrementaría los costos generales de la
empresa en $8,000 y el costo de materias u mano de obra serian de $6 por
cada empaque. Cuantos empaques deberá usar la empresas al mes para
justificar la decisión de fabricar sus propios empaques?
Es decir queremos que:
Costo de fabricación < Costos de adquisición
6x +8000< 11x
11x –6x >8000
5x >8000
600,1
5
8000


x
x
En consecuencia la empresa debe usar al menos 1601 empaques al mes para
justificar el fabricarlos.

3) Una empresa automotriz desea saber si le conviene fabricar sus propias
bandas para el ventilador, que ha estado adquiriendo de proveedores externos
a un precio de $25 cada unidad. La fabricación de las bandas por la propia
empresa incrementaría sus costos fijos en $15,000 al mes, pero solo le costaría
$17 fabricar cada banda. Cuantas bandas deberá utilizar la empresa cada mes
para justificar la fabricación de sus propias bandas?
bandasx
x
x
xx
xx
1875
8
15000
150008
150001725
000,151725





4) Una empresa puede encomendar a un contratista que empaque cada unidad
de su producto a un costo de $2.75. Por otra parte, la empresa puede empacar
sus productos instalando una maquina empacadora: Su instalación
incrementara los costos fijos de la empresa en $2000 al mes, y los costos
mismos de empaquetamiento en $1.50 por unidad. Cuantas unidades tendría
que producir al mes para que la instalación de la maquina fuera rentable?
articulosx
x
x
xx
xx
1600
25.1
2000
200025.1
20005.175.2
75.25.12000





5) El costo de publicación de cada ejemplar de una revista es de $0.35. Los
ingresos por ventas de distribución son de $0.30 por ejemplar .Los ingresos por
publicidad son del 20% sobre los ingresos obtenidos por ventas por encima de
los 2,000 ejemplares. Cuantos ejemplares deberá publicar y vender cada
semana para obtener ingresos semanales de al menos $1,000?

  
ejemplaresx
x
x
x
xxx
xxx
112000
01.
1120
112001.0
120100001.0
1000035.012006.030.0
100035.020.030.0200030.0







PROBLEMAS PROPUESTOS
1) Un fabricante produce x artículos con un costo en mano de obra de
$1.2 dòlares y un costo en materiales de $0.30 por unidad. Los gastos
fijos son de $6,000 dólares. Si cada articulo se vende en $3.00 Cuantos
articulos deberán venderse para que la compañía obtenga utilidades?
Solución: x >4000
2) El Secretario de asuntos estudiantiles de una universidad está haciendo
arreglos para que un grupo de música ofrezca un concierto en las
instalaciones, el grupo cobrara una cuota total de $2440 dólares, o bien una
cuota de $1,000 dólares mas el 40% de lo que se obtenga en taquilla. Es
posible que asistan 800 estudiantes. Cuanto debe costar cada boleto para que
el segundo plan sea más barato que el primero y si se cobra ese máximo
cuánto dinero sobrara para pagar otros gastos de la función?
Se deberá cobrar dolaresx 5.4$
Sobran $1160 dólares.
3) El editor de una revista mensual tiene costos de edición de $0.605 por
ejemplar. El ingreso por ventas de distribución es de $0.70 por ejemplar y los
ingresos por publicidad son el 15% de los ingresos obtenidos por las ventas
que exceden los 20,000 ejemplares. Cuantos ejemplares deberá publicar y
vender cada semana para asegurar utilidades semanales que sobrepasen los
$4,000? X>30500 ejemplares
4) En la actualidad un fabricante tiene 2500 unidades de un producto en su
almacén. El producto se vende en estos momentos a $4 por unidad. Para el
próximo mes el producto aumentara en $0.05 El fabricante desea que los
ingresos totales que se obtengan por la venta de las 2500 unidades no sea
inferior a $2,750 Cual es el número máximo de unidades que puede venderse
este mes? .1000 unidadesx 
5) Una administradora de negocios desea determinar la diferencia entre los
costos de ser propietaria y de rentar un automóvil. Puede rentar un auto por
$135 dólares al mes (sobre una base anual). Según este plan el costo por milla
es de $0.05 dólares Si compra el auto, el gasto fijo anual será de $1,000
dólares y los otros costos sumarian $0.10 dólares por milla. Cuál es el número
mínimo de millas que tendría que conducir al año para hacer que la renta no
sea más costosa que la compra?
.12400 millasx 

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