Capítulo v cointegración

CURSO: INTRODUCCIÓN A
LA ECONOMETRÍA
APLICADA A LAS FINANZAS
COINTEGRACIÓN
23 de junio de 2016

OBJETIVOS Y ESQUEMA
Objetivos.
Proveer herramientas básicas de econometría y su aplicación directa a las
finanzas.
Capítulo 4:
Relaciones a largo plazo en finanzas. Cointegración.

CAPÍTULO V. Relaciones a largo plazo en finanzas. Cointegración
Razones por las cuales los test de no estacionariedad son
necesarios.
Existen ciertas razones de importancia de que la data de
estacionariedad debe tratarse diferente de aquellas no estacionarias.
Como sabemos las series estacionarias presentan una media, varianza
y covarianza constante para cada rezago dado.
.- La estacionariedad de las series pueden influenciar fuertemente su
comportamiento y propiedades. Para series estacionarias un shock
(cambio inesperado en una variable o en el valor del término de error
durante un particular período de tiempo) declina gradualmente en t+1,
t+2, etc. Esto se puede contrastar con data no estacionaria, la cual la
persistencia del shock de mantiene infinitamente.
.- Data no estacionaria genera regresiones espúreas. Si dos variables
estacionarias son generadas como series aleatorias independientes,
cuando una de esas variables es regresada respecto a la otra, el ratio t
del coeficiente beta (pendiente) debería esperarse no ser significativa-

mente diferente de cero. (t ratio cae dentro de la región de aceptación
de la Ho), el R2 debería ser alto y las variables no se relacionan unas
con las otras (DW=0 No ACR). Si las variables tienen tendencia en el
tiempo habrán R2 elevados a pesar de que las variables son totalmente
no relacionadas.
Ejemplo de una regresion espúrea: Dos set de datos independientes (no
estacionarios) y y x son generados con muestras de 500 datos. Se
calculan 1.000 veces el R2 con diferentes muestras de 500 datos y se
obtiene una distribución de R2 donde la mayor frecuencia de datos está
cercana a cero. Si la data es no estacionaria, las pruebas de
significancia no son posibles para validar si la regresión es buena.

La figura infra muestra que a pesar de que uno debería esperar valores
R2 de cada regresión cercanas a cero ya que las series son
independientes, en realidad, para un set de datos, el R2 es mayor que
0,9 mientras que mayor a 0,5 se ubican más del 16% del tiempo (ver
ilustración).
200
160
120
80
40
R2
Frecuencia

Asimismo, si una variable es regresada sobre otra no relacionada, (95%
del tiempo el t-ratio se ubicará entre ± 2). Como lo muestra en el
ejemplo ilustrativo del gráfico siguiente, el t-ratio de una regresión de
variables no estacionarias puede tomar valores enormes (alrededor del
98% de los casos puede tomar valores por encima de 2 cuando debería
ser mayor que 2 en aproximadamente 5% del tiempo). Así, no es posible
validar pruebas de hipótesis sobre parámetros de la regresión si la data
no es estacionaria.

Datos financieros son característicamente no estacionarios por lo cual
es necesario diferenciarlos. (tendencias a largo plazo o cercanos a raiz
unitaria). Si datos estacionarios presentan diferentes órdenes de
integración (para llevarlos a ser estacionarios) y son combinados, esta
combinación tendrá un orden de integración igual al mayor orden de
integración de los datos. Luego, los residuales tendrán un orden de
integración en niveles y estacionario. Así las variables son cointegradas
(tienen relación de largo plazo).
Si una serie no estacionaria yt debe ser diferenciada d veces para lograr
ser estacionaria entonces se dice que la data es integrada en orden d.
yt ̴ I(d), así que si yt ̴ I(d), entonces Δd yt ̴ I(0) terminología de
aplicación de diferencias (difference operator), Δ, d veces lidera un
proceso I(0)  estacionario, proceso que no posee raíces unitarias. En
realidad, aplicando el operador de diferencias mas de d veces en un
proceso I(d) deberá todavía resultar en una serie estacionaria (pero con
una estructura MA (promedios móviles) en los términos de error).

Una serie I(0) es una serie estacionaria, mientras una serie I(1) contiene
una raíz unitaria. Una Serie I(2) contiene dos raíces unitarias y así debería
requerir dos diferenciaciones para inducir estacionariedad. La mayoría de
las series de tiempo de datos financieros y económicos contienen una raíz
unitaria sola. Algunos casos de datos financieros que posiblemente
contienen dos raíces unitarias son los salarios nominales y los índices de
precios al consumidor.
Cointegración: Ecuación el cual relaciona 2 o más procesos con raíces unitarias no espúreas, pero que
correctamente describe la data. Es, integrar la dinámica de corto plazo con el equilibrio de largo plazo. Un
importante tema en econometría es la necesidad de integrar la dinámica del corto plazo con el equilibrio de
largo plazo y la teoría de cointegración desarrollada por Granger (1981) y elaborada por Engle y Granger
(1987) maneja este tema de integración.
En la mayoría de los casos, si dos variables que son I(1) están linealmente
combinadas, entonces la combinación será también I(1). Y más
generalmente, si las variables con diferentes órdenes de integración están
combinadas, la combinación tendrá un orden de integración igual al más
largo. Ilustración: Modelo de regresión que contiene todas las variables
I(1): Yt = β1 + β2 X2t + β3 X3t + ut

Cointegración:
Despejando Ut = Yt - β1 - β2 X2t - β3 X3t
Los residuales pueden ser expresados en esta manera como una
combinación lineal de las variables. Típicamente esta combinación lineal
de variables I(1) serán también I(1), pero debería ser obviamente
deseable obtener residuales que sean I(0). La respuesta es que la
combinación de variables I(1) serán I(0). En otras palabras
estacionarias, si las variables están cointegradas.

Engle-Granger.
Una relación cointegrada podría ser vista como un fenómeno de
equilibrio a largo plazo, desde que es posible que las variables
cointegradas podrían desviarse de su relación en el corto plazo, pero
esta asociación debería retornar a su equilibrio en el largo plazo.
Un set de variables se dicen cointegradas, si la combinación lineal de
ellas es estacionaria. Muchas series de tiempo son no estacionarias
pero se “mueven juntas” en el tiempo, esto es, que existe algunas
influencias en las series (por ejemplo fuerzas del mercado), el cual
implica que las dos series rebotan por alguna relación en el largo plazo.

Test de raices unitarias
Yt = 2Yt-1 – Yt-2 + ut tiene dos raices unitarias. Es necesario diferenciar la
data dos veces. Uso Augmented Dickey Fuller Test (ADF).
Número Óptimo de rezagos: La frecuencia de la data ayuda a decidir. Si
la data es mensual rezagos=12, trimestral=4 (pero si data es por hora,
dias?). Segunda opción: Criterios de información Akaike, Schwarz,
Hannan-Quinn, etc.
Si se usan pocos rezagos no se removerá ACR pero si hay demasiados se
incrementará lo errores estándares y se incrementa el uso de los grados de
libertad.

Ejemplos de relaciones de largo plazo (cointegración) entre
variables Financieras.
.- Precios Spot y Futuro de un commodity o activo determinado.
.- Ratio de precios relativos y tipo de cambio.
.- Precio de las acciones y sus dividendos.
.- Cointegración entre los mercados de bonos internacionales.
.- PPP equilibrio en el tipo de cambio de largo plazo entre dos países es
igual al ratio de los niveles de precios relativos.
Cointegración es definir el equilibrio de largo plazo entre las
variables, pero la diferencia entre ellas (término de error) es
estacionaria.

Modelos de corrección de errores
Consideremos dos series yt y xt las cuales son I(1). El modelo que uno
puede considerar estimar es:
Δyt = βΔxt + ut
Una definición de relación a largo plazo empleada en econometría
implica que las variables convergen sobre los valores a largo plazo y
que no cambian más, así yt = yt-1 = y y xt = xt-1 = x.
En consecuencia, todos los términos diferenciados serán cero en la
fórmula anterior, es decir, Δyt = 0; Δxt = 0 y así todo en la ecuación se
cancela. Así la regresión anterior no tiene solución a largo plazo y como
consecuencia no tiene nada que decir de que x y y tienen una relación
de equilibrio.

Modelos de corrección de errores
Por ejemplo consideremos la siguiente ecuación:
Δyt = β1Δxt + β2 (yt-1 - ∂ xt-1 ) + ut
Coeficiente de Cointegración
Este modelo es denominado Modelo de Corrección de Errores o modelo
de Corrección de Equilibrio. yt-1 - ∂ xt-1 es denominado como el Término
de Corrección de Errores, ya que yt y xt está cointegrada con coeficiente
de cointegración ∂, entonces yt-1 - ∂ xt-1 será I(0) a pesar de que los
constituyentes son I(1) entonces así es válido el uso de MCO y
procedimientos estándares de inferencia estadística en dicha regresión.
Relación a
Corto plazo
Velocidad de ajuste
al equilibrio.
Término de corrección de errores.
(o término de corrección de equilibrio )

Métodos de estimación de parámetros en sistemas cointegrados
I.- Método de 2 pasos de Engle Granger:
Paso 1:
Asegurémonos que las variables individuales son I(1), luego estimamos la
regresión de Cointegración utilizando MCO (OLS). No se puede hacer
alguna inferencia sobre los estimados de los coeficientes en esta regresión
(solo la estimación de parámetros). Salvemos los residuales de la regresión
cointegrada, ut. Luego probemos que estos residuales sean I(0). Si es así,
vamos al Paso 2. Si no, (es decir, son I(1)) estimemos el modelo
conteniendo sólo las primeras diferencias.
Paso 2:
Usemos los residuales del paso 1 como una variable en el modelo de
corrección de errores:
Δyt = β1Δxt + β2 (ut-1 ) + vt donde ut-1 = yt-1 – Ώ xt-1 La combinación de
variables no estacionarias las cual es estacionaria es también conocida se

I.- Método de 2 pasos de Engle Granger:
En este caso el vector de cointegración debería ser (1- Ώ).
Este método (Engle-Granger) sufre de algunos problemas:
1.- Pérdida de poder en pruebas de raíces unitarias y pruebas de
cointegración (finite sample problem).
2.- Sesgo de ecuaciones simultáneas causalidad entre y y x corre en ambas
direcciones, lo cual requiere al investigador normalizar una variable
(especificar una variable como dependiente y las otras como
independientes), forzando el tratamiento de y y x asimétricamente pese a
que no hay razones teóricas de realizar esto.
3.- Se puede estimar hasta una sola relación de cointegración entre las
variables cada vez. Pero si se tienen 3 variables pueden haber más
relaciones linealmente independientes de cointegración.

II.- Técnica de Johansen
Supongamos un set de variables (g>=2) las cuales son I(1) en la cual
pensemos que existe cointegración. Un VAR con k rezagos conteniendo
estas variables podrían ser:
Y1t= β10 + β11 y1t-1 + α11 y2t-1 + .… + α1k y1t-k + u1t
Y2t= β20 + β21 y2t-1 + α21 y1t-1 + …. + α2k y1t-k + u2t
o, similarmente:
Yt = β1 yt-1 + β2 yt-2 + …+ βk yt-k + ut
(gx1) (gxg)(gx1) (gxg)(gx1) (gxg)(gx1) (gx1)

II.- Técnica de Johansen (cont.)
Para usar las pruebas de Johansen el VAR anterior necesita ser cambiado
hacia un modelo de Vector de Corrección de Errores (VECM) de la forma:
Δyt = ЛΔyt-k + Γ1 Δyt-1 + Γ2 Δyt-2 + ….. + Γk-1 Δyt-(k-1) + ut
donde: Л = (∑βi ) – Ig (Matriz de coeficientes a largo plazo, donde se centra
la técnica de Johansen, se llama Long Run Coefficient Matrix ya que desde
el equilibrio todos los Δyt-i serán ceros y definiendo el término de error ut
hacia su valor esperado dejará Лyt-k = 0.
las pruebas de Cointegración entre las y´s es calculada viendo el Rank de la
matriz Л vía sus Eigen valores (Eigenvalues). El Rank de una matriz es igual
al número de raíces características (Eigenvalores) que son diferentes a
cero. Los valores Eigen se denotan como λi y son puestos en orden
ascendente:
λ1 >= λ2 >= … >= λn si λi son las raíces en este contexto ellas deben ser

menores que 1 en valor absoluto y positivo y λ1 deberá ser el mayor
(cercano a uno) mientras λg será el más pequeño (más cercano a cero). SI
LAS VARIABLES NO ESTÁN INTEGRADAS, el rank de Л no será
significativamente diferente de cero, así que λi ≈ 0 para todo i. La prueba
estadística realmente incorpora ln (1- λi ) en lugar de λi pero todavía cuando
λi =0, ln(1- λi ) = 0.
Test de Cointegración:
λtrace (r) = - T ∑ ln(1- λi) y λmax (r, r+1) = - T ln(1- λr+1)
Donde r es el número de vectores de Cointegración bajo la hipótesis nula y
λi es el valor estimado del ith eigen valor de la matriz Л.
A medida que más grande sea λi más largo y negativo será ln (1- λi ) y como
consecuencia más largo será el test estadístico. Un valor significantemente
diferente de cero indica una cointegración más significativa.

λtrace es una prueba global donde Ho es que el número de vectores de
cointegración es menor o igual que r, contra una alternativa general no
especificada de que exista mas de r. Comienza con p eigen valores y
sucesivamente el más largo es removido. λtrace = 0 cuando todos los λi = 0
para i =1, ….g
λmax = conduce tests separados en cada valor eigen y tiene como Ho que el
número de vectores de Cointegración es r contra una alternativa de r+1.
Johanse y Juselius (1990) provee valores críticos para las dos estadísticas.
La distribución de los test estadísticos no es estándar y los valores críticos
dependen del valor de g-r, el número de componentes no estacionarios así
como constantes incluidos en cada ecuación.

II.- Técnica de Johansen
Ho: r=0 versus H1: 0 <r <= g Ho: No Cointegración.
Ho: r=1 versus H1: 1 <r <= g
Ho: r=2 versus H1: 2 <r <= g
…….
Ho: r= g-1 versus H1: r = g
P-Value o Prob. debe ser cercano a cero o menos de 0,05 0% probabilidad
de caer en Ho de no Cointegración, es decir hay Cointegración.
Si el t stat es mayor que el valor crítico de la tablas de Johansen…..Se
rechaza la Ho de no Cointegración.
La primera prueba envuelve Ho de no existencia de vectores de
Cointegración.

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Análisis cointegración con E-views
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Series no estacionarias y cointegración en EViews

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