circuitos logicos MATEMATICA LOGICA EJERCICIOS

Lic.Mat. PATRICIA ISABELAGUILAR INCIO
LÓGICA
PROPOSICIONAL

¿Qué es la lógica?
La Lógica es la Ciencia que
expone las leyes, modos y
formas de raciocinio.-
Álgebra Moderna – Lógica Proposicional
¿Qué aporte le hace la Lógica a
la Matemática?
De acuerdo a la respuesta
anterior, podemos asegurar
que la simbología que usa la
lógica, ayuda a la Matemática
en todos sus razonamientos.-

¿Qué es una proposición?
Una proposición es toda oración de la cual se puede
decir que es verdadera o falsa.
Por ejemplo:
Hoy es lunes
Toda proposición se la representa con letras minúsculas
y preferentemente las últimas del abecedario, o sea:
p, q, r, s, t, u
V
F

LOS CONECTIVOS LÓGICOS
 Ó -:NO
: “Y”
: “O” EN SENTIDO INCLUYENTE
: ENTONCES O IMPLICA
 : SI Y SOLO SI
 : “O” EN SENTIDO EXCLUYENTE
Los conectivos lógicos son símbolos que sirven para
formar proposiciones con otras proposiciones. Estos son:

PROPOSICIONES SIMPLES Y
COMPUESTAS
Una proposición se dice que es simple o atómica, si no
está afectada por conectivos lógicos. Caso contrario, se
dice que la proposición es compuesta o molecular.
PROPOSICIÓN
SIMPLE: p
COMPUESTA: p  q

TABLA DE VALORES DE VERDAD
¿Qué es una tabla de valores de verdad?
Una tabla de valores de verdad de una proposición, es
una tabla que se arma con los posibles valores de
verdad de las proposiciones simples que la componen,
con la finalidad de obtener el valor de verdad de la
proposición dada.-
¿Cuántos valores de verdad debe llevar una tabla?
O sea que, si el número de proposiciones simples que
componen una proposición es 5, los valores de verdad
serán:
32
25


valores
nº
s
proposione
n
nes
proposicio
n
A
valores
n º
2
º 2
'
º 


Operaciones proposicionales
LA NEGACIÓN
La negación de la proposición p es ~p, cuya tabla de
valores de verdad es la siguiente:
Como conclusión podemos decir que la negación es
verdadera si la proposición simple es falsa y viceversa.
p ~ p
V
F
F
V

La disyunción o suma lógica
La disyunción de las proposiciones p y q es la proposición
pvq, donde p y q se llaman disyuntivos, y cuya tabla de
Como conclusión podemos decir que la disyunción es
verdadera si al menos uno de los disyuntivos también lo
es.-
p q p  q
V
V
F
F
V
F
V
F
V
V
V
F

La conjunción o producto lógico
La conjunción de las proposiciones p y q es la proposición
pq, donde p y q se llaman conjuntivos, y cuya tabla de
Como conclusión podemos decir que la conjunción es
verdadera si ambos conjuntivos también lo son.-
p q p  q
V
V
F
F
V
F
V
F
V
F
F
F

El condicional o la implicación
El condicional de las proposiciones p y q es la proposición
pq, donde p se llama antecedente y q consecuente, cuya
tabla de valores de verdad es la siguiente:
Como conclusión podemos decir que el condicional es
falso si el antecedente es verdadero y el consecuente es
falso (2º línea de la tabla).-
p q p  q
V
V
F
F
V
F
V
F
V
F
V
V

Condiciones necesarias y suficientes
p condición SUFICIENTE
para q (q si p)
q condición NECESARIA
para p (p sólo si q)
p q p  q
V
V
F
F
V
F
V
F
V
F
V
V

El bicondicional de las proposiciones p y q es la
proposición pq, cuya tabla de valores de verdad es la
siguiente:
Como conclusión podemos decir que el bicondicional es
verdadero si los valores de verdad de las proposiciones
simples que la componen son iguales.-
El bicondicional o la doble implicación
p q p  q
V
V
F
F
V
F
V
F
V
F
F
V

La diferencia simétrica
La diferencia simétrica de las proposiciones p y q es la
proposición p v q, cuya tabla de valores de verdad es la
siguiente:
Como conclusión podemos decir que la diferencia
simétrica es verdadera si los valores de verdad de las
proposiciones simples que la componen son distintos.-
p q p  q
V
V
F
F
V
F
V
F
F
V
V
F

Tautología
Definición
Se dice que una proposición es una tautología, si es
verdadera independientemente de los valores de
verdad de las proposiciones simples que la componen.-
Por
ejemplo: p q (pq)  [(pq)  (q p)]
V V
V F
F V
F F
V
F
F
V
F
V
V
V
F
V
F
F
V
V
V
1 1 2
3

Contradicció
n
Definición
Una proposición es una contradicción, si es falsa
independientemente de los valores de verdad de las
proposiciones simples que la componen
Por
ejemplo: p q (p q)  - [(p q)  (q  p)]
V V
V F
F V
F F
V
F
F
V
1
V
F
V
V
1
V
V
F
V
2
V
F
F
V
3
F
V
V
F
4
F
F
F
F

Contingencia
Definición
Una proposición es una contingencia si no es ni verdadera
ni falsa independientemente de los valores de verdad de
las proposiciones simples que la componen
Por
ejemplo:
p q (p q) v [(p q)  (q  p)]
V V
V F
F V
F F
V
F
F
V
1
V
F
V
V
1
V
V
F
V
2
V
F
F
V
3
V
F
F
V

LEYES LÓGICAS
Una ley lógica es una proposición verdadera.-
1º) Involución
La negación de la negación de una proposición, es
equivalente a la misma proposición
p -(-p)  p
V
F
F
V
1
V
F
2
V
V

2º) Idempotencia de la conjunción
La conjunción de una misma proposición es equivalente
a la misma proposición.-
p (p  p) 
p
V
F
V
F
1
V
V

3º) Idempotencia de la disyunción
La disyunción de una misma proposición es equivalente
a la misma proposición.-
p (p  p) 
p
V
F
V
F
1
V
V

4º) Conmutatividad de la
conjunción
La conjunción es conmutativa
p q (p  q)  (q 
p)
V
V
F
F
V
F
V
F
V
F
F
F
1
V
F
F
F
1
V
V
V
V

5º) Conmutatividad de la
disyunción
La disyunción es conmutativa
p q (p  q)  (q 
p)
V
V
F
F
V
F
V
F
V
V
V
F
1
V
V
V
F
1
V
V
V
V

6º) Asociatividad de la
conjunción
La conjunción es asociativa
p q r (p  q)  r  p  (q 
r)
V
V
V
V
F
F
F
F
V
V
F
F
V
V
F
F
V
V
F
F
F
F
F
F
1
V
F
F
F
F
F
F
F
2
V
F
V
F
V
F
V
F
V
F
F
F
V
F
F
F
1
V
F
F
F
F
F
F
F
2
V
V
V
V
V
V
V
V

7º) Asociatividad de la
disyunción
La disyunción es asociativa
p q r (p  q)  r  p  (q 
r)
V
V
V
V
F
F
F
F
V
V
F
F
V
V
F
F
V
V
V
V
V
V
F
F
1
V
V
V
V
V
V
V
F
2
V
F
V
F
V
F
V
F
V
V
V
F
V
V
V
F
1
V
V
V
V
V
V
V
F
2
V
V
V
V
V
V
V
V

8º) Ley de De Morgan (de la conjunción)
La negación de una conjunción es equivalente a la
disyunción de las negaciones.-
p q -(p  q)  -p 
-q
V
V
F
F
V
F
V
F
V
F
F
F
1
F
V
V
V
3
V
V
V
V
F
V
V
V
2
F
F
V
V
1
F
V
F
V
2

9º) Ley de De Morgan (de la disyunción)
La negación de una disyunción es equivalente a la
conjunción de las negaciones.-
p q -(p  q)  -p 
-q
V
V
F
F
V
F
V
F
V
V
V
F
1
F
F
F
V
3
V
V
V
V
F
F
F
V
2
F
F
V
V
1
F
V
F
V
2

10º) Distributividad de la conjunción con respecto a la
disyunción
La conjunción es distributiva con respecto a la
disyunción
p q r (p  q)  r  (p  r)  (q
 r)
V
V
V
V
F
F
F
F
V
V
F
F
V
V
F
F
V
F
V
F
V
F
V
F
V
V
V
V
V
V
F
F
1
V
F
V
F
V
F
F
F
2
V
F
V
F
F
F
F
F
1
V
F
F
F
V
F
F
F
2
V
F
V
F
V
F
F
F
3
V
V
V
V
V
V
V
V

11º) Distributividad de la disyunción con respecto a la
conjunción
La disyunción es distributiva con respecto a la
conjunción
p q r (p  q)  r  (p  r)  (q
 r)
V
V
V
V
F
F
F
F
V
V
F
F
V
V
F
F
V
F
V
F
V
F
V
F
V
V
F
F
F
F
F
F
1
V
V
V
F
V
F
V
F
2
V
V
V
V
V
F
V
F
1
V
V
V
F
V
V
V
F
2
V
V
V
F
V
F
V
F
3
V
V
V
V
V
V
V
V

10º) Las implicaciones asociadas
p  q Directa q  p Recíproca
-p  -q Contraria -q  -p Contra - recíproca
p  q q  p
Recíprocas
-p  -q -q  -p
Recíprocas
Contrarias
Contrarias
Contra
- recíprocas
Contra
- recíprocas

Propiedad
Las implicaciones contrarecíprocas son equivalentes.
O sea
que:
p q p  q  -q  -p
V
V
F
F
V
F
V
F
V
F
V
V
1
F
V
F
V
1
F
F
V
V
2
V
F
V
V
3
V
V
V
V

11º) Negación de una implicación
La siguiente proposición es una tautología, o sea:
p q (p  q)  -(p  -q)
V
V
F
F
V
F
V
F
V
F
V
V
1
F
V
F
V
1
F
V
F
F
2
V
F
V
V
3
V
V
V
V
-(pq)  -[-(p  -
q)
 -(-p  q)
-(pq)  -[-(p  -q) p  -q
Ahora:
Pero:
(pq)  -(p  -q)  -p 
Ahora:

12º) La doble implicación y la implicación
La doble implicación es equivalente a la conjunción de la
implicación y su recíproca.
p q (p  q)  [(pq) 
(qp)
V
V
F
F
V
F
V
F
V
F
F
V
1
V
F
V
V
1
V
V
F
V
2
V
F
F
V
3
V
V
V
V

13º) La diferencia simétrica y la doble implicación
La diferencia simétrica es equivalente a la negación de la
doble implicación.
p q (p  q)  - (p 
q)
V
V
F
F
V
F
V
F
F
V
V
F
1
V
F
F
V
1
F
V
V
F
2
V
V
V
V

CIRCUITOS LÓGICOS
p q
p
q
EN SERIE EN PARALELO
p  q p  q

Circuito en
serie
p(V) q(V)
V
p(V) q(F)
F
p(F) q(V)
F
p(F) q(F)
F
p q p  q
V
V
F
F
V
F
V
F
V
F
F
F

Circuito en paralelo
p(V)
q(V) V
p(V)
q(F) V
p(F)
q(V) V
p(F)
q(F) F
p q p  q
V
V
F
F
V
F
V
F
V
V
V
F

¿Cómo se trabaja para hacer un circuito lógico de
proposiciones que no son conjunciones, disyunciones o
negaciones?
Por ejemplo, sea
p 
q
 -(p  q)  -[(pq)  (qp)]  -(pq)  -(qp)
 (p  -q)  (q  -
p) p -q
q -p

RAZONAMIENTO DEDUCTIVO
 
 
q
pi ,
Un razonamiento es deductivo sí y sólo sí, las premisas
son la evidencia de la verdad de la conclusión.-
 
i
p Premisas
q Conclusión

(p1  p2  p3  p4  p5  p6  p7  p8 ... pn)
 q
V
V
F
F
V
F
V
F
V
F
V
V

VERDADERAS
V
E
R
D
A
D
E
R
A
(p1  p2  p3  p4  p5  p6  p7  p8 ... pn)
 q V
E
R
D
A
D
E
R
A
Un razonamiento deductivo se
dice que es VÁLIDO, si no es
posible que de premisas
VERDADERAS se obtenga una
conclusión FALSA

p1
p2
p3
p4
::
::
::
q
V
V
Por ejemplo
p  q
-r  -q
-(-p  -t)
t s
-r
s

Reglas de
inferencias
Llamamos reglas de inferencias a todo esquema válido
de razonamiento.
Algunas de ellas son:
Ley de Modus
Ponens
p  (pq) 
q
p
pq
q
p q p  (pq) 
q
V
V
F
F
V
F
V
F
V
F
V
V
V
F
F
F
V
V
V
V

Ley de Modus Tolens
-q  (pq)  -p
-q
pq
-p
p q -q  (pq)  -
p
V
V
F
F
V
F
V
F
V
F
V
V
F
V
F
V
V
V
V
V
F
F
F
V
F
F
V
V

Ley del silogismo hipotético
 (pq)  (qr)  (pr)
pq
qr
pr
p q r (pq)  (q r)  (p
r)
V
V
V
V
F
F
F
F
V
V
F
F
V
V
F
F
V
V
F
F
V
V
V
V
V
F
F
F
V
F
V
V
V
F
V
F
V
F
V
F
V
F
V
F
V
V
V
V
V
F
V
V
V
F
V
V
V
V
V
V
V
V
V
V

Ley del silogismo disyuntivo
-q  (pq)  p
-q
p  q
p
p q -q  (p q) 
p
V
V
F
F
V
F
V
F
V
V
V
F
F
V
F
V
V
V
V
V
F
V
F
F

p  q
-r  -q
-(-p  -t)
t s
-r
s
Por ejemplo:
1)
2)
3)
4)
5)
1) p  q
2) q  r de 2 ICR
3) p  t de 3 LDM e
INV
4) t  s
5) -r
s
1) pr de 1)2) LSH
2) p t
3) ts
4) -r
s
1) -p de 1)4) LMT
2) p  t
3) ts
s
1) t de 1)2) LSD
2) t s
s
t(V)
s(V)
(V)

LA FUNCIÓN PROPOSICIONAL
Una función proposicional en una variable x es toda
oración en la que figura la variable como sujeto u
objeto directo, la cual se convierte en proposición para
cada especificación de x.-
Por ejemplo:
P(x): x es impar
P(-4): -4 es impar (F) P(5): 5 es impar (V)

P(x,y):x es divisor de y
P(-2,6):-2 es divisor de 6 (V)
P(10,2):10 es divisor de 2 (F)
CUANTIFICADORES
UNIVERSAL: x:P(x)
EXISTENCIAL: x/P(x)

NEGACIÓN DE UN CUANTIFICADOR UNIVERSAL
Todos los números enteros son
impares
x:x es impar
Negando el cuatificador queda:
x:P(x)
-x:x es impar -x:P(x)
No Todos los números enteros son
impares
Existen números enteros que no son impares
x/x no es impar x/-P(x)
-x:P(x)x/-P(x)

NEGACIÓN DE UN CUANTIFICADOR EXISTENCIAL
Existen números enteros que son
impares
x/x es impar
Negando el cuatificador queda:
x/P(x)
-x/x es impar -x/P(x)
No existen los números enteros que son
impares
Todos los números enteros no son
impares
x:x no es impar x:-P(x)
-x/P(x)x:-P(x)

La negación de un cuantificador, es equivalente al otro
cuantificador con la negación de la función
proposicional
Por ejemplo:
Cualquiera que sea entero, existe otro que sumado a él de cero
P(x,y): x+y=0 x,y/x+y=0
Su negación es:
-x,y/x+y=0  x/y:x+y0
x/-(y/x+y=0) 
-x,y/x+y=0  x/y:x+y≠0

RAZONAMIENTO INDUCTIVO
Un razonamiento inductivo es aquel que partiendo de
casos particulares, podemos generalizar, y demostrar
de esta forma una propiedad.-
Por ejemplo, demostrar la propiedad conmutativa de la
adición en los números naturales
1+5 = 5+1
7+10 = 10+7
100+32=32+100
Si a y b   a+b=b+a

TEOREMA
En todo triángulo, la suma de los ángulos interiores es
igual a dos rectos.
H) Sea c
b
a

T) R
c
b
a 2






a
b
c
A
D)
a’ c’
R
c
b
a 2
'
' 





ac
A Cortadas por cb
ab 


 '
a
a


 '
c
c R
c
b
a 2






Un teorema es un esquema válido de
razonamiento donde el conjunto de premisas
se denomina HIPÓTESES y la conclusión
TÉSIS

REDUCCIÓN ALABSURDO
H  T  -T  -H
En todo triángulo, la suma de los ángulos interiores es igual
a dos rectos.
H) Sea c
b
a

T) R
c
b
a 2






a
b
c
A
D)
a’ c’
R
c
b
a 2






ac
A Cortadas por cb
ab 


 '
a
a


 '
c
c
R
c
b
a 2
'
' 





¡ABSURSDO!
0
180








c
b
a
c
b
a


IDEA Y REALIZACIÓN
Lic. Mat. PATRICIA ISABELAGUILAR INCIO
Departamento de Formación General
UNIVERSIDAD CÉSAR VALLEJO
2013

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