![Cuando estudiamos el problema del área y el problema de la distancia analizamos que
tanto el valor del área debajo de la gráfica de una función como la distancia recorrida por
un objeto se puede calcular aproximadamente por medio de sumas o bien exactamente
como el límite de una suma.
[f(x0) + f(x1) + f(x2) + ……………………… + f(xn–1)] D x =
(se utiliza el valor de la función en el extremo izquierdo de cada subintervalo)
[f(x1) + f(x2) + f(x3) + ……………………… + f(xn)] D x =
(se utiliza el valor de la función en el extremo derecho de cada subintervalo)
[f(t1) + f(t2) + f(t3) + ……………………… + f(tn)] D x =
(se utiliza el valor de la función en cualquier punto de cada subintervalo)
Este tipo de límites aparece en una gran variedad de situaciones incluso cuando f no es
necesariamente una función positiva. Teniendo en cuenta lo expresado surge la
necesidad de dar un nombre y una notación a este tipo de límites.
Definición 1: Si f es una función continua sobre el intervalo [a, b], entonces la integral
definida de f de a a b, que se indica es el número:
= [f(x0) + f(x1) + f(x2) + ……………………… + f(xn–1)] D x o bien
= donde x0 = a, xn = b y D x = .
(la función se evalúa en el extremo izquierdo de cada subintervalo [xi-1, xi] con i = 1, .., n)
Definición 2: Si f es una función continua sobre el intervalo [a, b], entonces la integral
definida de f de a a b, que se indica es el número:
= [f(x1) + f(x2) + f(x3) + ……………………… + f(xn)] D x](https://image.slidesharecdn.com/cuandoestudiamos-121119175526-phpapp02/85/Cuando-estudiamos-1-320.jpg)
![= donde x0 = a, xn = b y D x = .
(la función se evalúa en el extremo derecho de cada subintervalo [xi-1, xi] con i = 1, .., n)
Definición 3: Si f es una función continua sobre el intervalo [a, b], entonces la integral
definida de f de a a b, que se indica es el número:
= [f(t1) + f(t2) + f(t3) + ……………………… + f(tn)] D x
= donde x0 = a, xn = b y D x = .
(la función se evalúa en cualquier punto ti de cada subintervalo [xi-1, xi] con i = 1, .., n)
El número a es el límite inferior de integración y el número b es el límite superior de
integración .
Notación y terminología:
Cuando se calcula el valor de la integral definida se dice que se e valúa la integral.
La continuidad asegura que los límites en las tres definiciones existen y dan el mismo
valor por eso podemos asegurar que el valor de es el mismo
independientemente de cómo elijamos los valores de x para evaluar la función (extremo](https://image.slidesharecdn.com/cuandoestudiamos-121119175526-phpapp02/85/Cuando-estudiamos-2-320.jpg)
![derecho, extremo izquierdo o cualquier punto en cada subintervalo). Enunciamos
entonces una definición más general.
Definición de integral definida: Sea f una función continua definida para a £ x £ b.
Dividimos el intervalo [a, b] en n subintervalos de igual ancho D x = . Sean x0 = a y
xn = b y además x0, x1, ...., xn los puntos extremos de cada subintervalo. Elegimos un
punto ti en estos subintervalos de modo tal que ti se encuentra en el i-ésimosubintervalo
[xi-1, xi] con i = 1, .., n.
Entonces la integral definida de f de a a b es el número = .
La integral definida es un número que no depende de x. Se puede utilizar cualquier letra
en lugar de x sin que cambie el valor de la integral.
Aunque esta definición básicamente tiene su motivación en el problema de cálculo de
áreas, se aplica para muchas otras situaciones. La definición de la integral definida es
válida aún cuando f(x) tome valores negativos (es decir cuando la gráfica se encuentre
debajo del eje x). Sin embargo, en este caso el número resultante no es el área entre la
gráfica y el eje x.
Observación: La suma que aparece en la definición de integral definida se
llama suma de Riemann en honor al matemático alemán BernahrdRiemann. Su definición
incluía además subintervalos de distinta longitud.
Definición de las sumas de Riemann: Sea f una función definida en el intervalo cerrado [a,
b] y sea una división (partición) arbitraria de dicho intervalo
a = x0 £ x1£ x2 £ x3 £ ......... £ xn-1 £ xn = b donde D xi indica la amplitud o longitud del i-
ésimosubintervalo. Si ti es cualquier punto del i-ésimosubintervalo la suma , xi-
1 £ ti £ xi se llama suma de Riemann de f asociada a la partición .
Si bien la integral definida había sido definida y usada con mucha anterioridad a la época
de Riemann él generalizó el concepto para poder incluir una clase de funciones más
amplia. En la definición de una suma de Riemann, la única restricción sobre la función f es
que esté definida en el intervalo [a, b].](https://image.slidesharecdn.com/cuandoestudiamos-121119175526-phpapp02/85/Cuando-estudiamos-3-320.jpg)
Cuando estudiamos
- 1. Cuando estudiamos el problema del área y el problema de la distancia analizamos que tanto el valor del área debajo de la gráfica de una función como la distancia recorrida por un objeto se puede calcular aproximadamente por medio de sumas o bien exactamente como el límite de una suma. [f(x0) + f(x1) + f(x2) + ……………………… + f(xn–1)] D x = (se utiliza el valor de la función en el extremo izquierdo de cada subintervalo) [f(x1) + f(x2) + f(x3) + ……………………… + f(xn)] D x = (se utiliza el valor de la función en el extremo derecho de cada subintervalo) [f(t1) + f(t2) + f(t3) + ……………………… + f(tn)] D x = (se utiliza el valor de la función en cualquier punto de cada subintervalo) Este tipo de límites aparece en una gran variedad de situaciones incluso cuando f no es necesariamente una función positiva. Teniendo en cuenta lo expresado surge la necesidad de dar un nombre y una notación a este tipo de límites. Definición 1: Si f es una función continua sobre el intervalo [a, b], entonces la integral definida de f de a a b, que se indica es el número: = [f(x0) + f(x1) + f(x2) + ……………………… + f(xn–1)] D x o bien = donde x0 = a, xn = b y D x = . (la función se evalúa en el extremo izquierdo de cada subintervalo [xi-1, xi] con i = 1, .., n) Definición 2: Si f es una función continua sobre el intervalo [a, b], entonces la integral definida de f de a a b, que se indica es el número: = [f(x1) + f(x2) + f(x3) + ……………………… + f(xn)] D x
- 2. = donde x0 = a, xn = b y D x = . (la función se evalúa en el extremo derecho de cada subintervalo [xi-1, xi] con i = 1, .., n) Definición 3: Si f es una función continua sobre el intervalo [a, b], entonces la integral definida de f de a a b, que se indica es el número: = [f(t1) + f(t2) + f(t3) + ……………………… + f(tn)] D x = donde x0 = a, xn = b y D x = . (la función se evalúa en cualquier punto ti de cada subintervalo [xi-1, xi] con i = 1, .., n) El número a es el límite inferior de integración y el número b es el límite superior de integración . Notación y terminología: Cuando se calcula el valor de la integral definida se dice que se e valúa la integral. La continuidad asegura que los límites en las tres definiciones existen y dan el mismo valor por eso podemos asegurar que el valor de es el mismo independientemente de cómo elijamos los valores de x para evaluar la función (extremo
- 3. derecho, extremo izquierdo o cualquier punto en cada subintervalo). Enunciamos entonces una definición más general. Definición de integral definida: Sea f una función continua definida para a £ x £ b. Dividimos el intervalo [a, b] en n subintervalos de igual ancho D x = . Sean x0 = a y xn = b y además x0, x1, ...., xn los puntos extremos de cada subintervalo. Elegimos un punto ti en estos subintervalos de modo tal que ti se encuentra en el i-ésimosubintervalo [xi-1, xi] con i = 1, .., n. Entonces la integral definida de f de a a b es el número = . La integral definida es un número que no depende de x. Se puede utilizar cualquier letra en lugar de x sin que cambie el valor de la integral. Aunque esta definición básicamente tiene su motivación en el problema de cálculo de áreas, se aplica para muchas otras situaciones. La definición de la integral definida es válida aún cuando f(x) tome valores negativos (es decir cuando la gráfica se encuentre debajo del eje x). Sin embargo, en este caso el número resultante no es el área entre la gráfica y el eje x. Observación: La suma que aparece en la definición de integral definida se llama suma de Riemann en honor al matemático alemán BernahrdRiemann. Su definición incluía además subintervalos de distinta longitud. Definición de las sumas de Riemann: Sea f una función definida en el intervalo cerrado [a, b] y sea una división (partición) arbitraria de dicho intervalo a = x0 £ x1£ x2 £ x3 £ ......... £ xn-1 £ xn = b donde D xi indica la amplitud o longitud del i- ésimosubintervalo. Si ti es cualquier punto del i-ésimosubintervalo la suma , xi- 1 £ ti £ xi se llama suma de Riemann de f asociada a la partición . Si bien la integral definida había sido definida y usada con mucha anterioridad a la época de Riemann él generalizó el concepto para poder incluir una clase de funciones más amplia. En la definición de una suma de Riemann, la única restricción sobre la función f es que esté definida en el intervalo [a, b].