Derivación e integración de varias funciones variables
- 1. Republica Bolivariana de Venezuela Ministerio del Poder Popular para la Educación Universitaria I.U.P Santiago Mariño Derivación e Integración de Funciones de Varias Variables Autor: Leonardo Marcano C.I:27.330.756
- 2. Índice • Introducción. • Límite y continuidad de una función en el Espacio R3. • Derivadas parciales. • Diferencial total. • Gradientes. • Divergencia. • Rotacional. • Plano tangente. • Recta normal. • Conclusión. • Bibliografía. • Anexos.
- 3. Introducción En este apartado estudiaremos el concepto de límite de una función de varias variables y varias de las técnicas que se usan en su cálculo. Luego establecemos la definición de función continua y cómo estudiar la continuidad de una función de varias variables. Se empieza con campos escalares y después se extiende la definición a los campos vectoriales.
- 4. LímiteycontinuidaddeunafunciónenelEspacioR3. Límite escalar Límite en un punto de una función real de variable real y = f (x) de la forma: f :D⊂ IR→IR donde D=(a,b) es un intervalo abierto. En este contexto se dice que dado x0 ∈D∪ {a,b} el límite de la función y = f (x), cuando x tiende a 0 x , es L si ∀ε > 0 existe δ > 0 tal que ∀x ∈D con 0 x ≠ x y tal que | − |< δ 0 x x se tenga que | f (x) − L |< ε . Se destaca que esta definición de límite está basada en la idea “topológica” de proximidad, entre los valores de la variable x con 0 x y los de la función f (x) con L. Es valioso darse cuenta de que esta definición no proporciona ningún método para calcular el límite de una función en un punto. La definición sirve, no obstante, para verificar si dicho límite tiene un valor de terminado. Tenemos que destacar que en el límite de una función en un punto 0 x no influye el valor ( ) 0 f x de la función en dicho punto.
- 5. Para extender este concepto a un campo escalar es necesario ampliar la idea de proximidad en el conjunto IR al espacio 𝐼𝑅 𝑛 . Para ello se introduce la definición de bola abierta en n (que equivale al concepto de entrono de un punto en IR.
- 9. Limites direccionales Los límites direccionales no nos garantizan que exista el límite, simplemente se usan para ver que no existe. Entonces si el límite para un valor y=mx es distinto que para otro y=nx se puede asegurar que no existe el límite, lo mismo que si no existe para una dirección. Pero aunque el límite sea siempre el mismo para todas las direcciones no se puede garantizar nada y a veces para ver que no hay límite se usan otras direcciones, la que dices y=mx^2 sería la dirección dada por una familia de parábolas y el fin es el mismo, demostrar que no existe. Porque aunque fuese igual para todas las y=mx^2 te faltaría probar que coincide con cualquier otra dirección por ejemplo mx^3, 1-e^(mx), cos(mx), etc.
- 10. Derivadas parciales En cálculo diferencial, una derivada parcial de una función de diversas variables, es la derivada respecto a cada una de esas variables manteniendo las otras como constantes. Las derivadas parciales son útiles en cálculo vectorial, geometría diferencial, funciones analíticas, física, matemática, etc. Diferencia total El diferencial total de una función real de varias variables reales corresponde a una combinación lineal de diferenciales cuyos componentes (coeficientes) son los del gradiente de la función.
- 11. Gradiente La generalización del concepto de gradiente para funciones vectoriales de varias variables es el concepto de matriz Jacobiana. El gradiente se representa con el operador diferencial nabla 𝛻 seguido de la función (atención a no confundir el gradiente con la divergencia, esta última se denota con un punto de producto escalar entre el operador nabla y el campo). También puede representarse mediante 𝛻𝑓 o usando la notación 𝑔𝑟𝑎𝑑 𝑓 .
- 12. Divergencia Divergencia La divergencia de un campo vectorial mide la diferencia entre el flujo entrante y el flujo saliente en una superficie que encierra un elemento de volumen dV . Si el volumen elegido solamente contiene fuentes o sumideros de un campo, entonces su divergencia es siempre distinta de cero. La divergencia de un campo vectorial en un punto es un campo escalar, que se define como el flujo del campo vectorial por unidad de volumen conforme el volumen alrededor del punto tiende a cero, para el caso del campo magnético la divergencia viene dada por la ecuación
- 13. donde S es una superficie cerrada que se reduce a un punto en el límite, B es el campo magnético, V es el volumen que encierra dicha superficie S y 𝛻 es el operador nabla, que se calcula de la siguiente forma: La divergencia de un campo es un valor escalar con signo. Si este signo es positivo, quiere decir que el campo emana hacia el exterior de dicho punto y, por tanto, es una fuente o manantial. Si el signo es negativo, el campo converge hacia un punto del interior del volumen, por lo que constituiría un sumidero. Si la divergencia fuese cero el campo neto (diferencia entre las líneas entrantes y salientes) sería nulo. En el caso de los campos magnéticos se ha comprobado la ausencia de fuentes y/o sumideros de ahí que una de sus propiedades sea que su divergencia es nula
- 14. Rotacional Rotacional Se entiende por rotacional al operador vectorial que muestra la tendencia de un campo a inducir rotación alrededor de un punto. También se define como la circulación del vector sobre un camino cerrado del borde de un área con dirección normal a ella misma cuando el área tiende a cero (Ecuación 1).
- 15. Aquí, 𝛻𝑠 es el área de la superficie apoyada en la curva C , que se reduce a un punto. El resultado de este límite no es el rotacional completo (que es un vector), sino solo su componente según la dirección normal a 𝛻𝑠 y orientada según la regla de la mano derecha. Para obtener el rotacional completo deberán calcularse tres límites, considerando tres curvas situadas en planos perpendiculares. El rotacional de un campo se puede calcular siempre y cuando este sea continuo y diferenciable en todos sus puntos.
- 16. El resultado del rotacional es otro campo vectorial que viene dado por el determinante de la siguiente ecuación:
- 17. Plano tangente Se llama plano tangente a una superficie en un punto al plano que contiene a todas las rectas tangentes de todas las curvas trazadas sobre la superficie que pasan por el punto. Si no todas las tangentes están sobre el mismo plano, entonces se dice que no existe el plano tangente. Analíticamente, esto significa que, para que exista el plano tangente a una superficie en un punto de la misma, la función que define la superficie ha de ser diferenciable en ese punto. Si la función está expresada en forma explícita 𝑍 = 𝑓(𝑥, 𝑦), su plano tangente en el punto P ha de contener todas las rectas tangentes a la superficie en el punto P. En particular, ha de contener las rectas tangentes en las direcciones de los ejes x e y, por lo que los vectores: 𝑣 𝑡𝑥 = 1,0, 𝑓𝑥(𝑥0, 𝑦0) y 𝑣𝑡𝑦 = 0,1, 𝑓𝑦(𝑥0, 𝑦0) están contenidos en el plano.
- 19. Recta Normal Se llama recta normal a una superficie en un punto de la misma, a la recta que pasa por P(𝑋0, 𝑌0 , 𝑍0) y tiene por vector director al vector normal a la superficie en dicho punto; es decir, la recta perpendicular al plano tangente a la superficie en P. Como vector normal a la superficie y se pueden usar de manera indistinta cualquiera de los vectores gradiente 𝛻𝑓 𝑋0, 𝑌0 o 𝛻𝐹 𝑋0, 𝑌0 . Las ecuaciones paramétricas de la recta normal son: {𝑋, 𝑌, 𝑍} = {𝑋0, 𝑌0, 𝑍0} + {−𝑓𝑥 (𝑥0, 𝑦0) . −𝑓𝑦(𝑥0, 𝑦0), 1} 𝑡 O {𝑋, 𝑌, 𝑍} = {𝑋0, 𝑌0, 𝑍0} + {𝐹𝑥 (𝑥0, 𝑦0, 𝑧0) , 𝐹𝑦 (𝑥0, 𝑦0, 𝑧0) , 𝐹𝑧 (𝑥0, 𝑦0, 𝑧0) } 𝑡 Las ecuaciones simétricas de la recta normal son:
- 21. Conclusión La derivación e integración representan cálculos de importancia para todo el que quiera ahondar en algún problema matemático, para ello se parte por el tema pasado de funciones de varias variables, esta vez se incluyo el tema de limites de dichas funciones y su resolución, por otra parte también se tomo en cuenta la continuidad de esos limites así como su derivada, secuencialmente también se estudio lo que es derivadas parciales, diferencial total, gradiente, rotacional, divergencia, plano tangente y recta normal.
- 22. Bibliografía Medina Luis (2019) plano tangente y recta normal https://www.academia.edu/11468228/6_6_PLANO_TANGENTE_ Y_RECTA_NORMAL Rúa maxwell (2011) rotacional y divergencia http://quintans.webs.uvigo.es/recursos/Web_electromagnetism o/ magnetismo_rotacionalydivergencia.html Wikipedia (2019) gradiente, diferencial https://es.wikipedia.org/wiki/Gradiente https://es.wikipedia.org/wiki/Diferencial_total