![ Si A es un anillo, la división euclidiana en A[X] no es
siempre posible. Por ejemplo, en Z[X], los polinomios
con coeficientes enteros, no es posible dividir X² por 2X
+ 3, porque el cociente (trabajando en R[X]) es: X/2, y
no pertenece a Z[X].
La única condición para que sea posible es que
coeficiente dominante (el del monomio de mayor
grado) sea inversible. En el ejemplo detallado, la
división por X - 1 ( = 1X - 1) no causó problema alguno
porque el coeficiente dominante es 1, inversible en Z.](https://image.slidesharecdn.com/divisinpolinomial-120527111125-phpapp01/85/Division-polinomial-13-320.jpg)
División polinomial
- 1. Alexis Covaruubias Oceguera Alejandro Hernández Martínez Luis Alberto Rodríguez Gonzales
- 2. la división polinomial es un algoritmo que permite dividir un polinomio por otro polinomio de igual o menor grado. El algoritmo es una versión generalizada de la técnica aritmética de división larga.
- 3. Encontrar: Se escribe el problema de la siguiente forma (notar que tal como se explicó previamente, se incluye explicitamente el término x, aunque su coeficiente sea cero):
- 4. 1. Dividir el primer término del dividendo por el término de mayor grado del divisor. Poner el resultado arriba de la línea horizontal (x3 ÷ x = x2).
- 5. 2. Multiplicar el divisor por el resultado obtenido en el paso previo (el primer término del eventual cociente). Escribir el resultado debajo de los primeros dos términos del dividendo (x2 * (x-3) = x3 - 3x2).
- 6. 3. Restar el producto obtenido en el paso previo de los términos correspondientes del dividendo original, y escribir el resultado debajo. Tener cuidado al realizar esta operación de colocar el signo que corresponda. ((x3-12x2) - (x3-3x2) = -12x2 + 3x2 = -9x2) Luego, "desplazar hacia abajo" el próximo término del dividendo.
- 7. 4. Repetir los tres pasos previos, excepto que esta vez utilizar los dos términos que se acaban de escribir en el dividendo.
- 8. 5. Repetir el paso 4. Esta vez, no hay nada para "desplazar hacia abajo".
- 9. El polinomio arriba de la línea horizontal es el cociente, y el número que queda (-123) es el resto.
- 10. Ejemplo Sea P = 63X³ - 86X² + 3X + 20 un polinomio de grado 3, y se quiere hallar todas sus raíces. Miremos primero si 0, 1 o -1 es raíz evidente. Por suerte (...) P(1) = 63 - 86 + 3 + 20 = 0. Como xo = 1 es raíz, podemos factorizar por X - 1, lo que hacemos mediante una división euclidiana:
- 12. El resto es nulo, lo que confirma que 1 es raíz, y tenemos: P = (X-1)·Q, con Q = 63X² - 23X - 20. Luego, las raíces de Q se obtienen resolviendo la ecuación de segundo grado Q(x) = 0 y se obtiene y por último se puede completar (y arreglar) la factorización de P: P = (X-1)(7X - 5)(9X + 4).
- 13. Si A es un anillo, la división euclidiana en A[X] no es siempre posible. Por ejemplo, en Z[X], los polinomios con coeficientes enteros, no es posible dividir X² por 2X + 3, porque el cociente (trabajando en R[X]) es: X/2, y no pertenece a Z[X]. La única condición para que sea posible es que coeficiente dominante (el del monomio de mayor grado) sea inversible. En el ejemplo detallado, la división por X - 1 ( = 1X - 1) no causó problema alguno porque el coeficiente dominante es 1, inversible en Z.
- 14. Fin