Ecuaciones de variable separable
0 recomendaciones6,087 vistas
Este documento describe las ecuaciones diferenciales de variable separable, incluyendo su definición, método de solución y ejemplos. Una ecuación diferencial de variable separable puede escribirse como dy/dx = f(x)/g(y) o dy/dx = f(x)g(y). Para resolverla, se integran ambos lados de la ecuación después de separar las variables, lo que produce una solución implícita. Se proporcionan dos ejemplos resueltos para ilustrar el método.
Ecuaciones de variable separable
- 2. ECUACIONES DIFERENCIALES DE VARIABLE SEPARABLE Diego Sandoval Departamento de Matem´aticas, f´ısica y Estad´ıstica Universidad de La Sabana
- 3. EDO DE VARIABLE SEPARABLE DEFINICI ´ON EDO DE VARIABLE SEPARABLE DEFINICI ´ON Una ED ordinaria de primer orden, se dice que es de variable separable si se puede escribir de la forma: dy dx = f(x) g(y) o equivalentemente de la forma: dy dx = f(x)g(y) EJEMPLOS DE EDO DE VARIABLE SEPARABLE 1 dy dx = sin x y2 2 dy dx = 3x2y3 3 y = 1 yx2 − y 4 5exdy = dx y2
- 4. EDO DE VARIABLE SEPARABLE M´ETODO DE SOLUCI ´ON M´ETODO DE SOLUCI ´ON En general si la ecuaci´on esta escrita de la forma dy dx = f(x) g(y) podemos reescribir la ecuaci´on agrupando en cada lado de la igualdad las partes correspondientes a cada variable (de aqu´ı el nombre de variable separable): g(y)dy = f(x)dx Ahora podemos aplicar el operador integral a ambos lados de la ecuaci´on y solucionar las integrales correspondientes: g(y)dy = f(x)dx Si F (x) = f(x) y G (y) = g(y); del paso anterior obtenemos la soluci´on impl´ıcita: G(y) = F(x) + C
- 5. EDO DE VARIABLE SEPARABLE EJEMPLOS EJEMPLOS EJEMPLO Solucionar la ecuaci´on dy dx = sin x y2 Primero reorganizamos la ecuaci´on separando las variables y2 dy = sin xdx Integramos a ambos lados y2 dy = sin xdx Para obtener y3 3 = − cos x + C, que ser´ıa una soluci´on impl´ıcita a la ecuaci´on diferencial, si podemos despejar y obtenemos una soluci´on expl´ıcita como: y = 3 √ −3 cos x + C
- 6. EDO DE VARIABLE SEPARABLE EJEMPLOS EJEMPLOS OTRO EJEMPLO Solucionar la ecuaci´on y = 1 yx2 − y Primero reorganizamos la ecuaci´on separando las variables ydy = dx x2 − 1 Integramos a ambos lados ydy = dx x2 − 1 Para obtener y2 2 = −1 2 ln |x + 1| + 1 2 ln |x − 1| + C, que ser´ıa una soluci´on impl´ıcita a la ecuaci´on diferencial, si podemos despejar y obtenemos una soluci´on expl´ıcita como: y = ln |x − 1| − ln |x + 1| + C
- 7. BIBLIOGRAF´IA ZILL, D., CULLEN, M., Ecuaciones diferenciales con problemas con valores en la frontera, octava edici´on, Cengage Learning, Mexico, DF, 2014. BOYCE, W., DIPRIMA, R., Elementary Differential Equation and Boundary Value problems, Novena edici´on, JohnWiley and Sons, Inc. USA, 2009. NAGLE, R.K., SAFF, E.B., Fundamentos de Ecuaciones Diferenciales, Addison- Wesley, Iberoamericana, 1992. POLKING, J., BOGGESS, A., ARNOLD, D., Differential equations with boun- dary value problems, Segunda edici´on, Pearson Prentice Hall, 2005.