Ejercicio tabla de_frecuencia
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El documento explica cómo construir una tabla de frecuencia para datos continuos cuando hay demasiados valores únicos. Se agrupan los datos en intervalos de clase para resumir la información. Se muestra un ejemplo con datos de horas de funcionamiento de bombillos donde se construyen 7 intervalos de clase agrupando los valores entre 299-685 horas, 685-1071 horas, etc. La tabla resultante muestra la frecuencia absoluta y relativa de cada intervalo de clase.
Ejercicio tabla de_frecuencia
- 1. Tabla de Frecuencia para datos continuos. Algunas veces, la tabla simple de frecuencias, no es adecuada, pues hay demasiados valores con frecuencia absoluta igual a uno, lo que no justifica considerarlos por separado; o la muestra tiene muchos valores distintos y la tabla se hace demasiada extensa. Estos datos representan un rango muy amplio. En estos casos, nos conviene agrupar en lo que se llama “Intervalo de clase”. Intervalo de clase: Intervalos empleados en la Tabla de Frecuencia Estadística, capaz de contener diversas medidas de una variable. Consta de un límite inferior (Li) y un límite superior (Ls). Ejemplo: Se tienen los siguientes datos, que representan el numero de horas que se mantuvieron funcionando cada uno de los 40 bombillos que se sometieron a prueba, pertenecientes a la producción de cierta fabrica . 900, 500, 450, 1900, 1200, 1250, 2500, 550, 1650, 1200, 1000, 550, 950, 600, 750, 1300, 850, 350, 1400, 700, 300, 1100, 300, 1600, 1500, 1000, 1800, 900, 500, 650, 2000, 1000, 2000, 450, 750, 850, 600, 3000, 350 y 1500. Evidentemente, son demasiados valores y muchos de ellos aparecen una sola vez, por lo que se decide a utilizar intervalos de clase. El único factor negativo, es que al agruparlos de esta forma, se pierde inevitablemente parte de la información (en este caso las vidas utiles de cada bombillo) y se generan pequeños errores estadísticos, basados en la agrupación. Obviamente, el intervalo seleccionado, no debería ser tan amplio como para perder demasiada información, ni tan pequeño pues no tendría sentido el haber agrupado en intervalos. Es importante que todos los datos asignados a una clase, se puedan considerar, sin gran error, iguales al valor medio del intervalo, entonces, se usará dicho valor como representante de todos los de la clase. Ahora:
- 3. Esta cantidad de intervalos no debería ser mucho, debido a que no se cumpliría el objetivo de resumir la información, y no tan pocos intervalos, ya que se perdería mucha información. Numero de intervalos (K): Cantidad de intervalos de los cuales se compone una tabla de frecuencia . No existe una formula, ni principios únicos para establecer el numero de intervalos. En general optaremos por manejar un número de intervalos conveniente entre 5 y 15. Algunos autores han propuestos formulas que permiten ayudar en la tarea de conseguir el número ideal de intervalos. Nosotros optaremos por la raíz cuadrada del umero de datos, esto es, raíz de 40, y aproximamos el resultado por exceso a k = 7 Una vez que decidimos utilizar 7 intervalos, veamos cuál es el procedimiento para asignar los valores a las distintas clases: 1. Buscamos el valor máximo y mínimo entre los datos, que hemos llamado valores extremos, y realizamos la diferencia, que hemos denominado rango. Rango = 3000 - 300 = 2700 2. Calculamos el ancho o amplitud de la clase, que es el cociente entre el rango y el número de intervalos. Amplitud = 2700 = 385,71 7 Como este valor debe ser entero, para simplificar los cálculos, en caso de que sea decimal, lo aproximamos siempre al entero superior. Es decir, que la amplitud en este caso será 386. 3. Si multiplicamos la amplitud por el número de intervalos, obtenemos el rango real. Rango Real = 7 * 386 = 2702
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- 5. Se observa que en cuando se hallo la amplitud, se aproximó el entero superior, pues de lo contrario el rango nos quedaría menor a 2700. Como consecuencia, al construir las clases, nos encontraríamos con valores de la población o muestra que no pertenecerían a ninguna clase. El rango real ( 2702) es superior al rango anterior ( 2700) en 2. Entonces los que sobran, debemos considerarlos en el primer y último intervalo. Hay distintas formas de hacerlo, solamente tenemos que tener en cuenta que 300 es el valor mínimo de los datos, 3000 el valor máximo y que todos los valores deben estar en alguna clase. Una forma es considerar el límite inferior del intervalo como el valor mínimo ( 300) menos uno, y entonces el límite superior del último intervalo, resultará incrementado en uno, con lo que repartimos los dos sobrantes. Luego, en nuestro caso, el extremo inferior del primer intervalo es : 300 – 1 = 299 Si no hubiera diferencia entre el rango y el rango real, consideramos el valor mínimo de la muestra o población como el mínimo inferior del primer intervalo. 4. Se construyen los intervalos de la siguiente manera: a 299 se le suma la amplitud y se obtiene el extremo superior de la primera clase: 299 + 386 = 685 Este 685 a su vez será el límite inferior del segundo intervalo y así se repite el procedimiento hasta obtener los 7 intervalos. 5. Se asignan los datos de la muestra al intervalo que corresponden, logrando así la frecuencia absoluta de cada clase. Se consideran los intervalos de tal forma que incluyen el extremo inferior, pero no al superior. Si hubiera algún intervalo que quedara vacío, es decir, sin ningún valor, se debe replantear el número de intervalos. En nuestro ejemplo los Intervalos de clases quedaron conformados de la siguiente manera: 1º Intervalo = 299 – 685 2º Intervalo = 685 – 1071 3º Intervalo = 1071 – 1457 4º Intervalo = 1457 – 1843 5º Intervalo = 1843 – 2229 6º Intervalo = 2229 – 2615
- 6. 7º Intervalo = 2615 - 3001 2 3
- 7. Siguiendo los pasos anteriores se tiene: Monto de los préstamo s Li -- Ls Marca de clase (Mi) Conteo Frecuenci a absoluta (fi) Frecuenci a Relativa (hi) Frecuenci a absoluta Acumulad a (Fi) Frecuencia relativa Acumulada (Hi ) 299 – 685 492 ///////////// 13 0,325 13 0,325 685 - 1071 878 /////////// 11 0,275 24 0,600 1071 - 1457 1264 ////// 6 0,150 30 0,750 1457 - 1843 1650 ///// 5 0,125 35 0,875 1843 - 2229 2036 /// 3 0,075 38 0,950 2229 - 2615 2422 / 1 0,025 39 0,975 2615 - 3001 2808 / 1 0,025 40 1,000 TOTAL 40 1,00 Ya se sabe qué significan las columnas fi ( Frecuencia absoluta) , Fi ( Frecuencia absoluta Acumulada) . La columna hi corresponde a las frecuencias relativas, y nos indica que proporción del total de los datos corresponde a cada clase. Por ejemplo, el 0,325 significa que el 32,5 % de los bombillos tuvieron una vida util entre 299 y 685 horas. Las calculamos dividiendo la frecuencia absoluta de cada clase por el número total de datos de la muestra ( Tamaño de la muestra). Por ejemplo: 0,325 = 13 4 0 Se observa que la suma de esta columna debe ser 1, es decir 100 %.
- 8. Se recuerda que la columna Fi, corresponde a las frecuencias acumuladas. Por ejemplo, el 5º valor, 38, se obtuvo como: 13 + 11 + 6 + 5 + 3. En la práctica se puede obtener como 35 + 3, es decir a la frecuencia acumulada anterior, se suma la frecuencia absoluta del intervalo. 2 4
- 9. Este valor 38 indica que hubo 38 bombillos cuya vida útil fue a lo sumo 2229 horas, es decir la frecuencia acumulada es el número de datos que son menores o iguales al extremo superior del intervalo. La columna Mi, se denomina “Marca de Clase” y es el valor medio de cada intervalo. Se utilizan para representar a todos los datos del intervalo. Se calcula sumando los límites del intervalo y dividiendo esta suma por dos. Por ejemplo para el primer valor: 492 = 299 + 685 2 Si se deseara comparar una muestra con otra previamente agrupada, es muy importante que se escoja el mismo agrupamiento, pues si se ignora esta convención, sería muy difícil comparar los resultados de los diferentes estudios.