El metodo-hungaro
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El documento describe el método húngaro para resolver problemas de asignación de minimización. El método implica 3 pasos: 1) encontrar los costos mínimos en cada fila y columna para construir una matriz de costos reducidos, 2) trazar líneas para cubrir todos los ceros en la matriz, 3) encontrar el menor elemento no cubierto y restarlo/sumarlo para actualizar la matriz. Se ilustra con un ejemplo de asignar 4 operarios a 4 máquinas para minimizar el tiempo total.
El metodo-hungaro
- 1. EL MÉTODO HÚNGARO Este algoritmo se usa para resolver problemas de minimización, ya que es más eficaz que el empleado para resolver el problema del transporte por el alto grado de degeneración que pueden presentar los problemas de asignación. Las fases para la aplicación del método Húngaro son: Paso 1: Encontrar primero el elemento más pequeño en cada fila de la matriz de costos m*m; se debe construir una nueva matriz al restar de cada costo el costo mínimo de cada fila; encontrar para esta nueva matriz, el costo mínimo en cada columna. A continuación se debe construir una nueva matriz (denominada matriz de costos reducidos) al restar de cada costo el costo mínimo de su columna. Paso 2: (En algunos pocos textos este paso se atribuye a Flood). Consiste en trazar el número mínimo de líneas (horizontales o verticales o ambas únicamente de esas maneras) que se requieren para cubrir todos los ceros en la matriz de costos reducidos; si se necesitan m líneas para cubrir todos los ceros, se tiene una solución óptima entre los ceros cubiertos de la matriz. Si se requieren menos de m líneas para cubrir todos los ceros, se debe continuar con el paso 3. El número de líneas para cubrir los ceros es igual a la cantidad de asignaciones que hasta ese momento se pueden realizar. Paso 3: Encontrar el menor elemento diferente de cero (llamado k) en la matriz de costos reducidos, que no está cubierto por las líneas dibujadas en el paso 2; a continuación se debe restar k de cada elemento no cubierto de la matriz de costos reducidos y sumar k a cada elemento de la matriz de costos reducidos cubierto por dos líneas (intersecciones). Por último se debe regresar al paso 2. Notas: 1. Para resolver un problema de asignación en el cual la meta es maximizar la función objetivo, se debe multiplicar la matriz de ganancias por menos uno (-1) y resolver el problema como uno de minimización. 2. Si el número de filas y de columnas en la matriz de costos son diferentes, el problema de asignación está desbalanceado. El método Húngaro puede proporcionar una solución incorrecta si el problema no está balanceado; debido a lo anterior, se debe balancear primero cualquier problema de asignación (añadiendo filas o columnas ficticias) antes de resolverlo mediante el método Húngaro. 3. En un problema grande, puede resultar difícil obtener el mínimo número de filas necesarias para cubrir todos los ceros en la matriz de costos actual. Se puede demostrar que si se necesitan j líneas para cubrir todos los ceros, entonces se pueden asignar solamente j trabajos a un costo cero en la matriz actual; esto explica porqué termina cuando se necesitan m líneas. Mediante el siguiente ejemplo vamos a ilustrar la manera de aplicar el método Húngaro a la solución de un problema de asignación de minimización: Una factoría tiene cuatro operarios, los cuales deben ser asignados al manejo de cuatro máquinas; las horas requeridas para cada trabajador en cada máquina se dan en la tabla adjunta; el tiempo a laborar por cada operario en cada una de las máquinas se pretende que sea mínimo, para lo cual se busca la asignación óptima posible. OPERARIOS MAQUINAS 1 2 3 4 Antonio 10 14 16 13 Bernardo 12 13 15 12 Carlos 9 12 12 11 Diego 14 13 18 16
- 2. Planteamiento del Modelo Primal: MIN W = 10 X11+ 14 X12+ 16 X13+ 13 X14+ 12 X21+ 13 X22+ 15 X23+ 12 X24+ + 9 X31+ 12 X32+ 12 X33+ 11 X34+ 14 X41+ 16 X42+ 18 X43+ 16 X44 sujeto a las siguientes restricciones: Aplicando el método Húngaro tenemos: 1 2 3 4 A 10 14 16 13 B 12 13 15 12 C 9 12 12 11 D 14 16 18 16 Restamos 10, 12, 9 y 14 (costos mínimos de cada fila) de cada elemento en cada una de las filas correspondientes: 1 2 3 4 A 0 3 6 3 B 0 1 3 0 C 0 3 3 2 D 0 2 4 2 En la matriz anterior trazamos el menor número de líneas (3), de manera tal que cubran todos los ceros (Método de Flood): 1 2 3 4 A 0 3 3 3 B 0 0 0 0 C 0 2 0 2 D 0 1 1 2 En la matriz anterior trazamos el menor número de líneas (3), de manera tal que cubran todos los ceros (Método de Flood):
- 3. 1 2 3 4 A 0 2 3 2 B 1 0 1 0 C 0 1 0 1 D 0 0 1 1 Solución Optima Unica:A-1, B-4, C-3 y D-2.Lo anterior quiere decir que Antonio va a laborar en la máquina 1 (10 horas), Bernardo en la máquina 4 (12 horas), Carlos va a trabajar en la máquina 3 (12 horas) y Diego en la máquina 2 (16 horas). La combinación óptima de los recursos para este problema de minimización de asignación es de 50 horas, resultantes de adicionar las asignadas a cada uno de los operarios en cada una de las máquinas.Dicho valor corresponde al valor óptimo de la función objetivo. Cuando se tiene un problema de asignación de maximización se puede resolver de las siguientes formas: o Se multiplica la función objetivo por menos uno y se resuelve como un problema de minimización. o Se determina el costo más elevado de la tabla, se resta este costo de todos los elementos del tablero y se resuelve como un problema de minimización. PROBLEMA DE ASIGNACIÓN GENERALIZADO Si suponemos que existen m trabajadores y cada uno de ellos tiene cierta cantidad de recursos disponibles y existen n tareas que deben llevarse a cabo, el problema de asignación generalizado puede plantearse de la siguiente manera: Sujeta a: bj: Cantidad de recursos para el i - esimo trabajador rij: Recursos del trabajador i – ésimo necesarios para realizar laj – ésima tarea. Cij: Costo para que el trabajador i – ésimo lleve a cabo la j – ésima tarea. El primer conjunto de restricciones asegura que no se utilizan más recursos de los que están disponibles para cada trabajador; el segundo conjunto de restricciones afianza el hecho que cada uno de los trabajos lo lleva a cabo un solo trabajador.