Elasticidad

Michel Velázquez
Química
viernes 1 de mayo del
2014

INTRODUCCION
• En el siguiente tema sabremos
que es la elasticidad y como se
compone la ya mencionada

• La elasticidad es estudiada por la teoría de la elasticidad, que
a su vez es parte de la mecánica de sólidos deformables. La
teoría de la elasticidad (ETE) como la mecánica de sólidos
(MS) deformables describe cómo un sólido (o fluido
totalmente confinado) se mueve y deforma como respuesta a
fuerzas exteriores. La diferencia entre la TE y la MS es que la
primera sólo trata sólidos en que las deformaciones son
termodinámicamente reversibles y en los que el estado
tensiones en un punto en un instante dado dependen sólo
de las deformaciones en el mismo punto y no de las
deformaciones anteriores (ni el valor de otras magnitudes en
un instante anterior). Para un sólido elástico la ecuación
constitutivafuncionalmente es de la forma:

donde denota el conjunto de tensores simétricos de segundo orden
del espacio euclídeo. Si el sólido es homogéneo el valor de la función
anterior no dependerá del segundo argumento.
La propiedad elástica de los materiales está relacionada, como se ha
mencionado, con la capacidad de un sólido de
sufrirtransformaciones termodinámicas reversibles e
independencia de la velocidad de deformación (los sólidos
viscoelásticos y los fluidos, por ejemplo, presentan tensiones
dependientes de la velocidad de deformación). Cuando sobre un
sólido deformable actúan fuerzas exteriores y éste se deforma se
produce un trabajo de estas fuerzas que se almacena en el cuerpo
en forma de energía potencial elástica y por tanto se producirá un
aumento de la energía interna. El sólido se comportará
elásticamente si este incremento de energía puede realizarse de
forma reversible, en este caso se dice que el sólido es elástico.

¿Qué es la elasticidad?
• La elasticidad es una medida de la sensibilidad de
la cantidad demandada o de la cantidad ofrecida
ante el cambio en alguno de sus factores
determinates.
Los compradores normalmente compran una
cantidad mayor de un bien cuando su precio se
reduce, cuando su renta es mayor, cuando los
precios de los bienes sustitutivos son más altos o
cuando los precios de los bienes
complementarios son más bajos. En función de la
variable en la que basemos nuestro análisis
tendremos distintos tipos de elasticidad.

• Elasticidad-precio de la demanda. Mide el
grado en que la cantidad demandada
responde a una variación del precio del bien.
• Elasticidad renta de la demanda. Mide el
grado en que la cantidad demandada de un
bien responde a una variación de la renta de
los consumidores: variación porcentual de la
cantidad demandada entre la variación
porcentual de la renta.

• Elasticidad cruzada de la demanda. Variación
porcentual de la cantidad demandada del
bien i entre la variación porcentual del precio
del bien j.
• Elasticidad de la oferta. Variación porcentual
experimentada por la cantidad ofrecida de un
bien cuando varía su precio en 1 por 100,
manteniéndose constantes los demás factores
que afectan a la cantidad ofrecida.

• La elasticidad es estudiada por la teoría de la elasticidad, que
a su vez es parte de la mecánica de sólidos deformables. La
teoría de la elasticidad (ETE) como la mecánica de sólidos
(MS) deformables describe cómo un sólido (o fluido
totalmente confinado) se mueve y deforma como respuesta a
fuerzas exteriores. La diferencia entre la TE y la MS es que la
primera sólo trata sólidos en que las deformaciones son
termodinámicamente reversibles y en los que el estado
tensiones en un punto en un instante dado dependen sólo
de las deformaciones en el mismo punto y no de las
deformaciones anteriores (ni el valor de otras magnitudes en
un instante anterior). Para un sólido elástico la ecuación
constitutiva funcionalmente es de la forma

• donde denota el conjunto de tensores simétricos de segundo
orden del espacio euclídeo. Si el sólido es homogéneo el valor de la
función anterior no penderá del segundo argumento.
• La propiedad elástica de los materiales está relacionada, como se
ha mencionado, con la capacidad de un sólido de
sufrir transformaciones termodinámicas reversibles e
independencia de la velocidad de deformación (los sólidos
viscoelásticos y los fluidos, por ejemplo, presentan tensiones
dependientes de la velocidad de deformación). Cuando sobre un
sólido deformable actúan fuerzas exteriores y éste se deforma se
produce un trabajo de estas fuerzas que se almacena en el cuerpo
en forma de energía potencial elástica y por tanto se producirá un
aumento de laenergía interna. El sólido se comportará
elásticamente si este incremento de energía puede realizarse de
forma reversible, en este caso se dice que el sólido es elástico.

• Elasticidad lineal [editar]
• Un caso particular de sólido elástico se presenta cuando las
tensiones y las deformaciones están relacionadas linealmente,
mediante la siguiente ecuación constitutiva:
• Cuando eso sucede se dice que el sólido es elástico lineal. La teoría
de la elasticidad lineal es el estudio de sólidos elásticos lineales
sometidos a pequeñas deformaciones de tal manera que además
los desplazamientos y deformaciones sean "lineales", es decir, que
las componentes del campo de desplazamientos u sean muy
aproximadamente una combinación lineal de las componentes
del tensor deformación del sólido. En general un sólido elástico
lineal sometido a grandes desplazamientos no cumplirá esta
condición. Por tanto la teoría de la elasticidad lineal sólo es
aplicable a:

• Sólidos elásticos lineales, en los que tensiones y
deformaciones estén relacionadas linealmente (linealidad
material).
• Deformaciones pequeñas, es el caso en que deformaciones
y desplazamientos están relacionados linealmente. En este
caso puede usarse el tensor deformación lineal de Green-
Lagrange para representar el estado de deformación de un
sólido (linealidad geométrica).
• Debido a los pequeños desplazamientos y deformaciones a
los que son sometidos los cuerpos, se usan las siguientes
simplificaciones y aproximaciones para sistemas estables:

• Las tensiones se relacionan con las superficies
no deformadas
• Las condiciones de equilibrio se presentan
para el sistema no deformado
• Para determinar la estabilidad de un sistema
hay presentar las condiciones de equilibrio
para el sistema deformado.

• Tensión
• Componentes del tensor tensión en un punto P de un
sólido deformable.
• La tensión en un punto se define como el límite de la
fuerza aplicada sobre una pequeña región sobre un
plano π que contenga al punto dividida del área de la
región, es decir, la tensión es la fuerza aplicada por
unidad de superficie y depende del punto elegido, del
estado tensional de sólido y de la orientación del plano
escogido para calcular el límite. Puede probarse que la
normal al plano escogido nπ y la tensión tπ en un punto
están relacionadas por:

• Donde T es el llamado tensor tensión, también
llamado tensor de tensiones, que fijada una base vectorial
ortogonal viene representado p or una matriz
simétrica 3x3:Donde la primera matriz es la forma común
de escribir el tensor tensión en física y la segunda forma
usa las convenciones comunes en ingeniería. Dada una
región en forma de ortoedro con caras paralelas a los ejes
coordenados situado en el interior un sólido elástico
tensionado las componentes σxx, σyy y σzz dan cuenta de
cambios de longitud en las tres direcciones, pero que no
distorsinan los ángulos del ortoedro, mientras que las
componentes σxy, σyz y σzx están relacionadas con la
distorsión angular que convertiría el ortoedro en un
paralelepípedo.

• Deformación [editar]
• En teoría lineal de la elasticidad dada la pequeñez
de las deformaciones es una condición necesaria
para poder asegurar que existe una relación lineal
entre los desplazamientos y la deformación. Bajo
esas condiciones la deformación puede
representarse adecuadamente mediante
el tensor deformación infinitesimal que viene
dada por:

• Los componentes de la diagonal principal
contienen los alargamientos (dilataciones),
mientras que el resto de los componentes del
tensor son los medios desplazamientos. Las
componentes están linealmente relacionadas
con los desplazmientos mediante esta
relación:

Ecuaciones constitutivas de Lamé-Hooke
Las ecuaciones de Lamé-Hooke son
las ecuaciones constitutivas de un
sólido elástico lineal, homogéneo e
isótropo, tienen la forma:
En el caso de un problema
unidimensional, σ = σ11, ε =
ε11, C11 = E y la ecuación anterior se
reduce a:

• Donde E es el módulo de elasticidad
longitudinal o módulo de Young y G el módulo de
elasticidad transversal. Para caracterizar el
comportamiento de un sólido elástico lineal e
isótropo se requieren además del módulo de
Young otra constante elástica, llamada coeficiente
de Poisson (ν) y el coeficiente de temperatura (α).
Por otro lado, las ecuaciones de Lamé para un
sólido elástico lineal e isótropo pueden ser
deducidas del teorema de Rivlin-Ericksen, que
pueden escribirse en la forma:

Ciertos materiales muestran un comportamiento sólo
aproximadamente elástico, mostrando por ejemplo
variación de la deformación con el tiempo o fluencia
lenta. Estas deformaciones pueden ser permanentes o
tras descargar el cuerpo pueden desaparecer (parcial o
completamente) con el tiempo (viscoplasticidad,
viscoelasticidad). Además algunos materiales pueden
presentarplasticidad es decir pueden llegar a exhibir
pequeñas deformaciones permanentes, por lo que las
ecuaciones anteriores en muchos casos tampoco
constituyen una buena aproximación al
comportamiento de estos materiales.
Ecuaciones de equilibrio

Equilibrio interno [editar]
Cuando las deformaciones no
varían con el tiempo, el campo
de tensiones dado por el tensor
tensión representa un estado de
equilibrio con las fuerzas de
volumen b = (bx,by,bz) en todo
punto del sólido, lo cual implica
que el campo de tensiones
satisface estas condiciones de
equilibrio:

Elasticidad no lineal
En principio, el abandono del supuesto de pequeñas
deformaciones obliga a usar un tensor deformación no
lineal y no infinitesimal, como en la teoría lineal de la
elasticidad donde se usaba el tensor deformación lineal
infinitesimal de Green-Lagrange. Eso complica mucho
las ecuaciones de compatibilidad

. Además matemáticamente el problema se complica, porque las
ecuaciones resultantes de la anulación de ese supuesto incluyen
fenómenos de no linealidad geométrica(pandeo, abolladura, snap-
through,...).
Si además de eso el sólido bajo estudio no es un sólido elástico lineal
nos vemos obligados a substituir la ecuaciones de Lamé-Hooke por otro
tipo de ecuaciones constitutivas capaces de dar cuenta de la no
linealidad material. Además de las mencionadas existen otras no
linealidades en una teoría de la elasticidad para grandes deformaciones.
Resumiendo las fuentes de no linealidad serían:1

• El tensor deformación no se relaciona
linealmente con el desplazamiento ,
concretamente es una aplicación cuadrática
del gradiente de deformación: .
• Para muchos materiales la ecuación
constitutiva es no lineal.
• Las ecuaciones de equilibrio sobre el
dominio ocupado por el sólido, escrito en
términos del segundo tensor de Piola-
Kirchhoff son nolineales: y . Donde es
el difeomorfismo que da la relación entre
los puntos antes y después de la
deformación.

• En algunos casos, como las cargas muertas las fuerzas
que aparecen en los segundos miembros de las
ecuaciones experesados en el dominio de referencia
incluyen no linealidades, por ejemplo cuando en la
configuración deformada aparece una presión normal a
la superficie, eso comporta que
• Las condiciones de incomprensibilidad, de positividad
del jacobiano de la deformación, o de la inyectividad
en el caso de contactos que evian la autopenetración
del sólido deformado también imponen ecuaciones
adicionales que se expresan en forma de ecuaciones no
lineales.

Ejemplo de la :elasticidad física

conclusión
A la conclusión que llegamos fue que la elasticidad es
una medida de la sensibilidad la cantidad demandada
o de la cantidad ofrecida ante el cambio en alguno de
sus factores determinates. Los compradores
normalmente compran una cantidad mayor de un
bien cuando su precio se reduce, cuando su renta es
mayor, cuando los precios de los bienes sustitutivos
son más altos o cuando los precios de los bienes
complementarios son más bajos. En función de la
variable en la que basemos nuestro análisis
tendremos distintos tipos de elasticidad.

•Gracias por su
atencion
prestada al tema

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