Euler 1
- 3. “Dado que la escritura del universo es la mas perfecta y obra de un creador sapientísimo, nada sucede en el universo sin obedecer alguna regla de máximo o mínimo” Leonhard Euler (1713-1783)
- 4. • Euler: El genio más prolífico • Apuntes Bibliográficos • Aportes para resolución de ecuaciones de cuarto grado
- 5. Trabajo en: • Buques • Acústica y la teoría de la armonía musical • Teoría clásica de los números • Teoría analítica de los números
- 6. Principales obras: • Libro Mechanica • Introduction in analysis in infinitorum • Institutiones claculi diffentialis • Investigo sobre números complejos • Presento una demostración sobre el teorema fundamental del algebra • Cartas de Euler dirigidas a una princesa alemana
- 7. • Escribió un influyente texto de algebra sobre el movimiento de la luna • En tres volúmenes desarrollo intuitiones calculi integralis
- 8. METODO DE EULER Para exponer este método, consideremos la ecuación: x4 + 2x3 + 4x2 + 2x + 1 = 0 (A) Los reescribimos como dos factores cuadráticos reales x2 + px + 1 y x2 + qx + 1
- 9. ya que al multiplicarlos, obtenemos: x4 + (p + q)x3 + (pq + 2)x2 + (p + q)x + 1 (B) con coeficientes: 1, p + q, pq + 2, p + q, 1, que resultan ser los mismos al leerlos empezando por la izquierda o por la derecha; por tanto, al comparar la ecuación anterior con la ecuación (A), tenemos que: p + q = 2 y pq = 2
- 10. de esto obtenemos: (p – q)2 = (p + q)2 – 4pq= (2)2 – 4(2) = 4 – 8 = – 4 entonces: p – q = 2i, y como p + q = 2, tenemos: p = 1 + i y q = 1– i. Por otro lado, sabemos que: (x2 + px + 1)(x2 + qx + 1) = 0
- 11. y al sustituir p y q, se obtiene: (x2 + (1 + i)x + 1)(x2 + (1 – i)x + 1) = 0 es necesario conocer las factorizaciones de cada factor imaginario anterior, esto es:
- 13. Euler observó que puede escribirse como un número de la forma u + vi y que puede escribirse como u – vi: elevando al cuadrado cada una de las igualdades anteriores obtenemos: 2i – 4 = u2 – v2 + 2uvi
- 14. –2i – 4 = u2 – v2 – 2uvi, al sumarlas y restarlas resultan: u2 – v2 = –4 y uv = 1 además: (u2 + v2)2 = (u2 – v2)2 + 4u2v2 = (–4)2 + 4(1) = 16 + 4 = 20
- 15. por tanto con lo que: y en consecuencia:
- 16. Como vemos, u y v son reales, con lo cual:
- 17. ahora, es claro que el producto de (1’) y (3’) es real, al igual que el producto de (2’) y (4’), a saber:
- 18. En conclusión, la ecuación x4 + 2x3 + 4x2 + 2x + 1 = 0 puede reducirse al producto de dos factores reales de segundo grado, estos son:
- 19. donde,