Exposición (tablero)
- 1. Procedimientos de la exposición (Viète) Para la ecuación x 2 2bx c , Viète logra identificar una relación entre los coeficientes de la ecuación y sus soluciones. Hagamos las sustituciones m 2b y n c , de tal manera que podamos expresar la ecuación dada como x 2 mx n 0 . Ahora, se sabe que esta ecuación tiene dos soluciones x1 y x2 (que aún no se conocen), así que se puede expresar como una factorización de la siguiente forma: x2 mx n x x1 x x2 Al desarrollar el miembro derecho de la ecuación resulta x 2 mx n x x1 x x2 2 x mx n x2 xx2 xx1 x1 x2 2 2 x mx n x x x1 x2 x1 x2 De lo anterior se observa que las relaciones entre coeficientes y sus soluciones son las siguientes: m x1 x2 n x1 x2 Que son justamente a las que llega Viète. Es decir que en nuestra ecuación inicial x1 x2 2b x1 x2 c De ser esto cierto, existirán valores para x1 y x 2 de tal manera que al plantear la expresión x x1 x x2 y la desarrollemos entonces volvamos a la expresión x2 mx n o lo que es equivalente, a la expresión x 2 2bx c.
- 2. Tenemos ya las ecuaciones x1 x2 2b (1) x1 x2 c (2) Despejando a x1 de (1) se obtiene x1 2b x2 (3) Y este valor se sustituye en (2) x2 2b x2 c 2 2bx2 x2 c 2 x2 2bx2 c 0 Lo que se obtuvo fue una función de segundo grado con incógnita x 2 . Esta la podemos resolver con cualquier método que se conozca, ya que lo que está tratando de hacer no es solucionar la ecuación, sino justificar el hecho de que se cumplan las relaciones entre coeficientes y soluciones. Resolvamos esta ecuación por medio de una cuadrática: 2b 4b 2 4c x2 2 x2 b b2 c De aquí se obtienen entonces dos posibles valores para x 2 . Al sustituir en (3) cada uno de estos valores, se genera, a su vez, dos posibles valores para x1 * x1 2b b b2 c b b2 c ** x1 2b b b2 c b b2 c
- 3. Entonces, en resumen, tenemos las siguiente posibilidades para x1 y x 2 x1 x2 2 2 b b2 c b b2 c b b c b b c Ahora esta situación divide nuestro problema en tres casos, ya que debemos sustituir en la expresión x x1 x x2 las posibles combinaciones y observar cuál de ellas nos permite regresar a la expresión original. Caso 1 Tomar el valor b b2 c para x1 y x2 x b b2 c x b b2 c 2 2 x b b2 c x2 2 b b2 c x b b2 c 2 x b b2 c x2 2bx 2 x b 2 c b 2 2b b 2 c b 2 c 2 x b b2 c x2 2x b b2 c 2b 2 c 2b b 2 c Para que esta ecuación sea igual a x 2 2bx c se debería cumplir que b b b2 c y c 2b2 c 2b b2 c . Lo que solamente es posible si b 0 y c 0 , lo que deformaría nuestra ecuación en el caso trivial x 2 0 del que ya se conocen las soluciones. Por tanto esta combinación de valores x1 y x 2 no son solución de la ecuación.
- 4. Caso 2 Tomar el valor b b2 c para x1 y x2 x b b2 c x b b2 c 2 2 x b b2 c x2 2 b b2 c x b b2 c 2 x b b2 c x2 2bx 2 x b 2 c b 2 2b b 2 c b 2 c 2 x b b2 c x2 2x b b2 c 2b 2 c 2b b 2 c Para que esta ecuación sea igual a x 2 2bx c se debería cumplir que b b b2 c y c 2b2 c 2b b2 c . Lo que solamente es posible si b 0 y c 0 , lo que deformaría nuestra ecuación en el caso trivial x 2 0 del que ya se conocen las soluciones. Por tanto esta combinación de valores x1 y x 2 no son solución de la ecuación. Caso 3 Tomar el valor x1 b b2 c y x2 b b2 c x b b2 c x b b2 c x b b2 c x b b2 c x 2 bx bx x b 2 c x b2 c b b2 c b b2 c b2 b2 c x b b2 c x b b2 c x2 2bx c Por tanto esta combinación de valores x1 y x 2 son los opuestos aditivos de las soluciones x1 y x2 de la ecuación. Las soluciones de la ecuación cumplen la relación de coeficientes y soluciones, además son de la forma x1 b b2 c
- 5. x2 b b2 c