Euler tutor de elementos finitos

Euler. Programa Didáctico de Elementos Finitos 35
Euler, Programa Didáctico de Elementos Finitos
Dorian Luis Linero Segrera*
RESUMEN
Este artículo muestra las características del programa
Euler como herramienta para el aprendizaje del método
de loselementos finitos, con énfasis en elanálisis estructural.
Euler puede resolver entre otros lossiguientes problemas:
análisis matricial estático de armaduras y pórticos planos,
análisis de estabilidad, evaluación de frecuencias y modos
de vibración en pórticos planos, deformaciones en vigas y
en elementos sometidos a fuerza axial y otros problemas
controlados por la ecuación diferencial de campo
unidimensional indicada en este artículo. Además, se
pueden solucionar problemas de torsión en secciones no
circulares, flujo potencial, transferencia de calor y otros
problemas controlados por la ecuación diferencial de campo
bidimensional mostrada en este documento. También es
posible resolver problemas de elasticidad bidimensional
en condición plana de esfuerzos y en condición plana de
deformaciones.
Al operar el programa, el usuario debe escribir una de
las instrucciones necesarias para obtener las cantidades de
interés. Las instrucciones disponibles se clasifican así:
edición de matrices, operaciones matriciales básicas,
solución de sistemas de ecuaciones simultáneas, ensamblaje
de matrices y vectores, numeración de grados de libertad,
valores y vectores propios. Existen también instrucciones
para la creación de matrices elementales como: funciones
de forma, matriz gradiente, matriz de rigidez, vector de
términos independientes, contribución interelemental,
matriz de transformación y matriz de constantes elásticas.
ABSTRACT
This article explains the characteristics of the Euler
software, which was used as a learning tool on finite element
method with emphasis on structural analysis.
Euler can solve the following problems, among others:
static matríx analysis of truss and plane frames; stability
analysis, evaluation of frequencies and vibration modes in
plane frames, displacement in beams and in elements
subjected to axial force and other problems controlled by
the one-dimensional field differential equation that is shown
in the article. Furthermore, the program can solve: torsion
ofnoncircular sections, irrotational flow,heat transfer, and
other problems controlled by two-dimensional field
differential equation that is shown in the article. The
program also allows for solutions to problems of two-
dimensional elasticity: plane stress or plane strain.
In order to operate the program, the user should write,
one by one, the necessary instructions to obtain the
quantities of interest. The available instructions are
classifiedas follows:matrix edition, basic matrix operations,
simultaneous equation systems, matrix and vector
assemblage, numeration of freedom degrees, eigenvalues
and eigenvectors. Futhermore, the creation of matrix
elements as shape functions, gradient vector, stiffness
matrix, force vector, interelement contribution,
transformation matrix and constant elastic matrix.
INTRODUCCIÓN
Euler es un programa didáctico que tiene como finalidad
ayudar en el aprendizaje de la modelación numérica de
problemas de ingeniería, utilizando la técnica de los elementos
finitos.
El programa fue un proyecto de investigación elaborado por
el autor entre 1997 y 1999, bajo la dirección del profesor
Gustavo Cifuentes Cifuentes. Durante el segundo año de
trabajo, las versiones preliminares del programa se probaron
con los estudiantes de Taller I1I, asignatura del programa de
pregrado en Ingeniería Civil de la Universidad Nacional de
Colombia, dedicada a la modelación numérica de problemas
de Ingeniería. Muchos de los comentarios de los estudiantes
sirvieron en la elaboración de la versión definitiva del programa.
En el desarrollo de este proyecto de investigación se
diferencian tres campos de estudio que vinculados permitieron
obtener como resultado final el Programa Didáctico de
Elementos Finitos: EULER. El primero es el método de los
'Ingeniero Civil, M.Sc. Estructuras, Profesor Asistente, Departamento de Ingeniería Civil,
Universidad Nacional de Colombia, Sede Bogotá, D.e.

36 Revista Ingeniería e Investigación No. 46 Agosto de 2000
elementos finitos y el análisis matricial de estructuras, sin olvidar
que este último es tan sólo un caso especial de los elementos
finitos. En segunda instancia, hay algunas tesis pedagógicas que
incluyen la metodología para el desarrollo de materiales en la
enseñanza asistida por computador y las características del
software educativo. Finalmente, el campo de la programación
estructurada de computadores es el que permite convertir los
algoritmos en rutinas del programa.
El programa se bautizó con el nombre de EULER, en honor
al matemático suizo Leonard Euler (1707 - 1783) quien
contribuyó de manera importante al desarrollo de las matemáticas
y de la ingeniería. Uno de sus múltiples aportes fue el cálculo
variacional, herramienta matemática utilizada en el método de
los elementos finitos.
JUSTIFICACiÓN
El computador es actualmente una herramienta indispensable
en el desarrollo de la ingeniería estructural; sin embargo, en el
proceso de aprendizaje puede convertirse en un elemento
peligroso que reduzca el interés del estudiante en el
procedimiento, acostumbrándolo a obtener automáticamente los
resultados del problema.
Si la misión es mostrar y enseñar los principios necesarios
para resolver un problema, es. importante que el estudiante
construya paso a paso su propio procedimiento de solución; en
contraste, con el manejo de los programas comerciales, que no
permiten ver y controlar los procesos de cálculo. Para cumplir
con la misión de enseñar los principios básicos se pueden plantear
dos alternativas:
La primera consiste en olvidar el ordenador y permitir que el
estudiante haga todo con lápiz, papel y calculadora de bolsillo,
de tal manera que él mismo establezca el algoritmo de cálculo.
Sin embargo, este método invierte mucho tiempo en operaciones
básicas haciendo tedioso el proceso y en algunos casos desviando
la atención en el objetivo final del problema.
La segunda alternativa eonsiste en cambiar la forma de realizar
las operaciones matriciales sin que el alumno pierda el control
del algoritmo. En lugar de hacer las operaciones manualmente,
se utiliza algún programa que se encargue de esta labor. El
Programa Didáctico de Elementos Finitos EULER es uno de
esos programas.
OBJETIVOS
El objetivo principal es crear un software que estimule el
aprendizaje, apoyando al proceso de enseñanza en el campo de
los elementos finitos con énfasis en el análisis estructural.
Particularmente, el programa busca cumplir con los siguientes
objetivos:
• Proporcionar al estudiante un grupo de instrucciones con las
cuales pueda realizar todas las operaciones entre matrices que
él estime necesarias para resolver un problema uni o bi-
dimensional utilizando el método de los elementos finitos.
• Servir de apoyo a las asignaturas que traten temas relacionados.
• Motivar el aprendizaje con un entorno gráfico agradable y
funcional.
l. CARACTERÍSTICAS PEDAGÓGICAS DEL PROGRAMA
A continuación se describen las características del programa
que pueden contribuir en el proceso de aprendizaje de la técnica
de los elementos finitos. [3]
Con Euler, el usuario debe cons1lUirun grupo de instrucciones
que al ejecutarse generen la solución del problema o, si es el
caso, muestren los errores de procedimiento. Lo anterior permite
pensar que el programa genera un ambiente interactivo con quien
esté sentado frente al ordenador.
El estudiante puede complementar y profundizar en su estudio
solucionando problemas no incluidos en el curso, pero
controlados por las mismas ecuaciones diferenciales.
El programa mantiene un entorno gráfico agradable y
motivador que funciona con iconos y menús desplegables. Por
ejemplo, la geometría del problema se puede almacenar haciendo
clic sobre la malla en la ventana gráfica y los términos de las
matrices se pueden diferenciar por colores según su signo.
El código del programa incluye controles de error que
mantienen su estabili·dad mostrando el tipo de operación
inadecuada. Los archivos de datos se modifican desde el
programa con rutinas vinculadas a iconos o menús desplegables
en lugares específicos del programa.
El asistente para crear instrucciones cuenta con cajas de texto
que contienen una descripción de la instrucción y de sus
parámetros. Además, el programa dispone de un menú de ayuda
organizado por temas que incluye el manual del usuario, el
manual de instrucciones y los ejemplos de aplicación.
El programa no tiene un desarTOllo lineal, es decir, no está
limitado por un diagrama de flujo que establezca el
procedimiento solucionador de un problema. A cambio, dispone
de todas las instrucciones necesarias para hacerlo y deja que el
estudiante cree por sí mismo el procedimiento.
11. CARACTERÍSTICAS TÉCNICAS DEL PROGRAMA
Los siguientes párrafos describen la capacidad del programa,
la estructura del mismo y el proceso que permite agregar una
nueva instrucción.
A. CAPACIDAD DEL PROGRAMA
El paquete incluye el archivo ejecutable, las librerías
dinámicas y los archivos de ayuda,

Los requisitos mínimos de software y hardware para ejecutar
el programa son los siguientes:
• Sistema operativo: Windows 95 o 98.
• Procesador: Pentium I.
• Memoria RAM: 16Mb.
• Espacio mínimo en el disco duro: 20Mb.
Las matrices del programa se almacenan en una base de
datos; cuando una instrucción las requiere, se leen del disco
duro y se cargan en la memoria RAM con el fin de realizar las
operaciones numéricas. Obtenida una matriz con resultados,
se escriben sus términos en la base de datos. Por lo tanto, la
capacidad del programa está controlada por la posibilidad de
leer y escribir matrices de gran tamaño en el disco duro.
El programa EULER es capaz de tener matrices reales hasta
de 500 tilas por 500 columnas que ocuparían aproximadamente
250 Kb en memoria RAM, 7 Mb en una base de datos o 1,2
Mb en un archivo plano de texto.
Con esta capacidad de tamaño de matrices reflejada en la
magnitud del archivo de base de datos, se puede establecer el
número máximo aproximado de nudos utilizados en la solución
de diferentes tipos de problemas, tal como se muestra en el
Cuadro l.
Cuadro l. Capacidad de Euler para diferentes tipos de problemas
Tipos de problema Capacidad
Unidimensionales------------------------_---------_------------------------------
C::(l.~p() ~i~i~~I1~iQI1.(lJ_(1 g.l"Jl()r 1111~()2 ~_ºº__I1~~os
§1(lsticicia~_p!(l_I1(l_ _ _
p.rl1_1,l9:lI~(l_pl_al1(l
Pórtico plano
500 nudos
250 nudos
250 nudos-------------------
160 nudos
La velocidad de operación se reduce notablemente a medida
que aumenta el tamaño de la matriz, ya que todas las matrices
involucradas se leen y se escriben en la base de datos durante
cada instrucción y sólo permanecen en memoria RAM cuando
se realizan los cálculos numéricos.
Es común que el proceso de mostrar todos los términos de
una matriz de gran tamaño, diferenciados por colores según su
signo. demande mucho más tiempo que las mismas operaciones
numéricas.
B. ESTRUCTURA DEL PROGRAMA FUENTE
Euler está compuesto por formularios y módulos escritos
en lenguaje Microsoft Visual Basic 5.0. Cada módulo del código
del programa contiene las rutinas asociadas a una familia de
instrucciones. Por ejemplo: el archivo ModRG.bas contiene
el código de las instrucciones de creación de matrices de rigidez.
Existen dos archivos de bases de datos tipo Microsoft Access
vinculados al funcionamiento del programa. El primero, el
archivo PDEFMD_, es el prototipo de archivo para almacenar
matrices; en otras palabras, cada vez que se crea un nuevo
problema se hace una copia de este archivo con el nombre del
problema y la extensión MDB. El otro archivo, llamado
BDAYUDA.MD_, contiene los textos de ayuda inmediata de
las instrucciones.
En el proceso de instalación, los archivos PDEFMD_ y
BOAYUDA.MD estarán ubicados automáticamente en la
misma carpeta que contenga al archivo ejecutable. La
disposición en el disco duro de estos archivos es indispensable
para el buen funcionamiento del programa.
Las bases de datos, a diferencia de los archivos planos,
permiten capturar y almacenar un valor específico de un registro
sin tener que leer todo el archivo. En el programa EULER,
cada término de las matrices del problema se lee y se almacena
en un registro de las tablas MatReal y MatEntera.
C. MODIFICACIÓN DEL PROGRAMA FUENTE
Con conocimientos en Microsoft Visual Basic, es posible
adicionarle instrucciones al programa fuente y aumentar su
funcionalidad. El proceso consiste en escribir en el programa
fuente la rutina de cálculo, adicionar una línea en la rutina de
control, compilar y, finalmente, agregar los textos de ayuda
en una base de datos preestablecida.
D. ALCANCE
El alcance del programa está definido por los problemas
físicos indicados a continuación, resueltos de una forma
didáctica.
Euler permite analizar la respuesta estática de armaduras y
pórticos planos. Además, calcula las frecuencias y los modos
de vibración y de pandeo de pórticos planos.
También es posible resolver problemas controlados por las
Ecuaciones Diferenciales 1 y 2. Por ejemplo, el cálculo de la
detlexión de una viga y la evaluación de los desplazamientos
de elementos sometidos a fuerza axial, puede hacerse
resolviendo la Ecuación Diferencial l. Los problemas
bidimensionales de torsión en secciones no circulares, flujo
potencial y transferencia de calor, están controlados por la
Ecuación Diferencial 2.
Dd'~+Q=O
de
Ecuación l. Ecuación difrrencin! de campo uni dim ensional
/) -a'l/! + /) a-'I/! -GI/!+Q ~ () Ecuación 2. Ecuación diferencial de campo bi iutñ ensional
'ilx' 'av-
4>: jilllci/m de aproximacion /J, Q, D, D ' C;: constantes de las ecuaciones diferenciales.

Finalmente, otros problemas de la Mecánica de gran
importancia en la Ingeniería Civil, que se pueden resolver, son
los de elasticidad en condición plana de esfuerzos y en
condición plana de deformaciones.
En el programa pueden utilizarse los elementos armadura y
pórtico plano, clásicos del análisis matricial de estructuras. En
el campo específico de los elementos finitos, se incluyen los
elementos unidimensional lineal, triangular lineal y rectangular
bilineal; los dos últimos se clasifican a su vez, según tengan
uno o dos grados de libertad por nudo.
E. OPERACIÓN DEL PROGRAMA
Quien empieza a utilizar el programa debe saber que Euler
consiste en un pseudo lenguaje donde las instrucciones
permiten realizar aquellas operaciones entre matrices que se
usan en el método de los elementos finitos.
Existen tres entornos de control en el programa dedicados a
la edición de matrices, a la creación de instrucciones y a la
visualización. El entorno de control de matrices permite crear,
copiar, eliminar, renombrar, imprimir, modificar o
sencillamente, visualizar los términos de las matrices utilizadas.
Se compone de dos ventanas: la primera muestra el listado de
matrices existentes (Figura l)y la segunda muestra los términos
de una matriz específica (Figura 2). Las matrices se manejan
con tablas tipo hoja de cálculo que permiten modificar sus
términos con facilidad.
x
I er..,Nu ....... IIIrÍI=
ADO
~- _...., JKl 2 2.
HG 2 2. -.0._ O><t 9 2.
~
GG 1 2.
-.0·-0,..", 1 2.
OP 11 2.
.
KJ
• 2• -tipo
ELE
• "
~
I!~'--F.T 5
"ASO 2
" IIQ,--
~
EJmNr~
~"I
Figura l. Entorno de control de matrices. Lista de matrices. La tabla indica
las matrices existentes y sus características. Es posible realizar las
operaciones indicadas en los botones o crear una nueva matriz escribiendo
su nombre y tamaño en las cajas de texto ubicadas en la parte derecha de la
ventana.
El entorno de control de instrucciones se encarga de editar,
compilar y ejecutar un grupo de instrucciones escritas por el
usuario en una ventana tipo editor de texto (figura 3). Cuenta
con un menú desplegable que contiene las instrucciones del
programa. Al seleccionar un comando aparece una pequeña
ventana que explica la función de la instrucción y de cada uno
de sus parámetros. El entorno gráfico utiliza el ratón sobre el
área de dibujo para modificar las matrices especiales que
contienen nudos, elementos, restricciones y grados de libertad
del sistema (figura 4). Por ejemplo, al hacer clic sobre un nudo
se despliega una ventana que le permite al usuario modificar
las coordenadas x y y del nudo.
x
·l._E;{)' 1.1957E-;ij, ~=.o7
1.0034E.ñ7· ·1.8654E;¡¡] ·1.7777E.o,
oocm+('(J~ 1),000001-(I) -2.2665E:+07
o-OCói.~ o-~+oo' 8.959(E.(Ij -1304SE+07
~o~~ ~~_1"OO· _o~~+t!J; o.oon:~oo·
~=:~~~=::~c=:~~=::o 1llG:..00 o ())XE tOO 0"((((( ..00;
000:0:.00 OOCOJE.OO oron.oo;
4.9364E..a:i OOln:I:..c()~
~~~~~ ?~.~j
Figura 2. Entorno de términos de la matriz. Términos de una matriz. Los
términos se diferencian por colores, así: azul positivo, rojo negativo y gris
cero.
ftlil'"i1'Wjirirl,iilili'IUI@,i,ilif.j ij'MW!i"'·hi1t.!{!i!Q1Iit!!'I!!ftftif§ca@!!Is., di j" xii
• P1RTICION DE LA I'IJ.TRIZ DE RIGU)[Z
~'0'lIId (,cIo6n tIPR..sm f......, ~ -l4J.!J
~~I~llIIlm~
Cdltor de Mo.,c •• r'",-,-.-t-",,-.,"",. -r-,,"",.-,,-,.-, -~----------~~
l:HSA!IV,rS,rst.tu:.z
UlS.I.!IV.rS,P'St,l:Lt,J
EN!lurv,rs,rst,I:LE."
)<f
,LE
"K[
rt
FSE
FS
mo
«oc
"CHE
A'Al
na
Al
"'
I!:DSUB,K,KDD,J3,33
!:tlSUIl,K,KDC,33,4,1.J1
• SOLUClctl D!:L SIST[IU.
IITKUL T. KDe. rte. 'le
I'ITRl:STA,rs,rtC,rIC
SQLCHLK,KDD,rIC,rI
• Vl:R SOLUClctl
lDIIIP,rI .
~
~.
J
'_
~
"'RlC4.N!:,XY,l,6,7,2.1.35.0.?S
l:DSUBII.rl,rn,tLt,l
IITIIULT.NE,"U,rIl
[DSU8fI,rt,rIl,[L!:,2
RTlIULT,N1:,rU,rI2
lDSUBII,rt,rIl,ELl,3
IITIIULT,Nl.rIl,rl3
lDSUBII,rt.rU:.[Ll:.4
IITJIULT,Nl,rtl,rI1
.-Figura 3. Entorno de Control de Instrucciones. El menú desplegable
contiene las instrucciones del programa que deben ser ecritas en el editor de
instrucciones, el cual ocupa la mayor parte de la ventana. En el costado
izquierdo se observa el listado de matrices existentes que pueden
observarse, haciendo clic sobre el botón Editar
xl
~tooo..- r.- .J4IlIl
I!il .oJ 41 AJ ilJ ~l IItJl¡"j~ ILxJ (5 {!;f!.4n.::J
." ." 0"
" "0" ""t, a
ra &i2 " "
"
',.
" , , '" ra., " . "00; ~,
"
s s
'" te
15
., , , ~,.,
., "a
, u
o, 'Il ."
Figura 4. Entorno de Control Gráfico. Se puede observar una malla de
elementos finitos limitados por lineas rectas y conectados mediante nudos.
Los elementos y los nudos están numerados secuencialmente.

Euler. Programa Didáctico de Elementos Finitos
Para operar el programa, el usuario debe escribir una a
una las instrucciones que le permitan obtener las cantidades
de interés. Las 87 instrucciones disponibles se muestran en
el menú desplegable de la ventana de Control de Instrucciones,
y se clasifican así:
• Instrucciones de edición de matrices que permiten crear,
copiar, renombrar y mostrar una matriz; además se pueden
crear submatrices a partir de una matriz original.
• Instrucciones de operaciones matriciales básicas tales como:
suma, resta, multiplicación, inversión, transposición,
factorización y cálculo del determinante de una matriz.
• Instrucciones que permiten la solución de sistemas de
ecuaciones simultáneas utilizando el método de Gauss-
Jordan o el de Cholesky modificado [8]. para matrices
simétricas.
• Instrucciones de ensamblaje de matrices y vectores [4]. El
ensamblaje es una suma de matrices elementales de rigidez
o de términos independientes, organizada según la
numeración de los grados de libertad del sistema.
• Instrucciones de numeración de los grados de libertad. Son
dos instrucciones que permiten numerar automáticamente
los grados de libertad de los nudos y crear la matriz de
incidencias. La matriz de incidencias contiene los grados
de libertad asociados a cada uno de los elementos.
• Instrucciones para la solución de problemas de Valores y
Vectores Propios [1] utilizando el método de la iteración
inversa, el método de Jacobi estándar o el método de Jacobi
general. El problema de Valores Propios consiste en dar
solución no trivial a un sistema homogéneo de ecuaciones
simultáneas.
• Conversión de archivos de texto en matrices.
• Instrucciones para la creación de las matrices de constantes
elásticas. En las relaciones esfuerzo-deformación de un
material linealmente elástico, el vector de esfuerzos es el
resultado de la multiplicación de la matriz de constantes
· elásticas y del vector de deformaciones unitarias.
• Instrucciones de creación de matrices elementales [6]. Las
matrices elementales son aquéllas que están asociadas con
las características de cada elemento. Existen instrucciones
que crean diferentes tipos de matrices como: funciones de
forma, operadores diferenciales actuando sobre funciones
de forma, rigidez, términos independientes, transformación
y contribución interelemental.
Los temas de ayuda del programa consisten en un grupo
de archivos con formato HTML, que permiten observar el
manual del usuario, el manual de instrucciones y los ejemplos
de aplicación.
39
111. CAMPO DE APLICACIÓN DEL PROGRAMA COMO
HERRAMIENTA PEDAGÓGICA
En general, el programa es aplicable en el proceso de
aprendizaje del método de los elementos finitos y del análisis
matricial de estructuras. Además, permite la solución de
algunos problemas de dinámica y de estabilidad en pórticos
planos.
Las asignaturas del Programa Curricular de Ingeniería Civil
de la Universidad Nacional de Colombia, en las cuales EULER
podría colaborar son: Análisis Estructural 1,Análisis Estructural
11y Taller m. Las dos primeras involucran el análisis matricial
estático y dinámico de estructuras y la última tiene que ver
con la modelación numérica de problemas de la Ingeniería Civil
utilizando la técnica de los elementos finitos.
En la Maestría en Estructuras, también en la Universidad
Nacional de Colombia, el programa podría ser útil en
asignaturas como Elementos Finitos, Análisis Matricial
Avanzado, Análisis Dinámico de Estructuras, Diseño por
Computador y Teoría de la Estabilidad.
IV. EJEMPLO DE APLICACIÓN
Una lámina delgada de 60 x 60 x 3 cm- está sujeta a una
carga distribuida w de 10 kN/cm2
, aplicada en el tercio medio
de dos caras opuestas como se muestra en la Figura 5.
Figura 5. Lámina cuadrada sometida a carga distribuidas en el tercio me-
dio. En virtud de la doble simetría, solo se modela la región achurada. Las
dimensiones indicadas están dadas en cm.
El material tiene un módulo de elasticidad de 20.000 kNJcm2
y una relación de Poisson de 0,25.
El objetivo del problema es calcular los desplazamientos y
los esfuerzos en diferentes puntos de la lámina. [6,7]
A. DISCRETIZACIÓN DEL MEDIO CONTINUO
Debido a que el problema es doblemente simétrico se puede
analizar solamente una cuarta parte de la lámina. La simetría
también permite establecer los desplazamientos restringidos

en dirección X en el borde 1 - 13 Y en dirección Y en el lado
1 - 4.
Figura 6. Discretización del medio continuo. Se muestra 1/4 de lámina
dividida por 3 elementos rectangulares bilineales y 12 elementos triangula-
res lineales. El asterisco indica el nudo inicial del elemento.
La Figura 6 muestra la malla de elementos finitos y las
respectivas restricciones en los nudos. Se utilizaron 3 elementos
rectangulares bilineales y 12 triangulares lineales. El asterisco
indica el primer nudo de cada elemento.
B. PROCEDIMIENTO
En términos generales, el procedimiento utilizado para
resolver un problema de elasticidad plana con el programa
EULER es el siguiente:
1.Definir la geometría del problema con la matriz de nudos, la
matriz de elementos y la matriz de grados de libertad por
nudo. Estas tres matrices se pueden construir desde el control
gráfico o desde el control de matrices. Los términos de cada
una de ellas son:
Matriz de nudos: XY Matriz grad.libertad Matriz de elementos: ELE
por nudo: NUDGL
y
O.OOE+OO O.OOE+OO O O I 2 6 5
l.OOE+OI O.OOE+OO 1 O 2 3 7 6
2.00E+OI O.OOE+OO 2 O 3 4 8 7
3.00E+OI O.OOE+OO 3 O 5 6 10 O
O.OOE+OO 1.00E+OI O 4 5 10 9 O
1.00E+OI 1.00E+OI 5 6 6 7 11 O
2.00E+OI 1.00E+Ol 7 8 6 11 10 O
3.00E+Ol 1.00E+Ol 9 lO 7 8 12 O
O.OOE+OO 2.00E+Ol O 11 7 12 11 O
1.00E+OI 2.00E+Ol 12 13 9 10 14 O
2.00E+OI 2.00E+Ol 14 15 9 14 13 O
3.00E+0l 2.00E+Ol 16 17 10 11 15 O
O.OOE+OO 3.00E+Ol O 18 io 15 14 O
1.00E+Ol 3.00E+Ol 19 20 11 12 16 O
2.00E+Ol 3.00E+0l 21 22 11 16 15 O
3.00E+OI 3.00E+OI 23 24
La matriz de Nudos contiene las coordenadas X - Y de los
nudos de un sistema o de parte de él. El número del nudo
corresponde al número de la fila de la matriz. La primera
columna debe contener la coordenada X y la segunda la
coordenada Y. En conclusión tendrá 2 columnas y tantas filas
como nudos se estén considerando.
La matriz de grados de libertad contiene la numeración dada
a los grados de libertad asociados a cada nudo. Esta numeración
permite diferenciar los grados de libertad presentes en el
sistema. El número del nudo corresponde al número de la fila
de la matriz. El número de columnas corresponde al número
de grados de libertad por nudo.
Cuando no se desea considerar cierto grado de libertad, por
ejemplo, en una restricción, simplemente se le asigna un cero
en el término respectivo. En el ejemplo de aplicación los grados
de libertad representan los desplazamientos X y Y de cada nudo
como se indica en la figura 7. Si como resultado se desea
observar el desplazamiento en X del nudo 11, el valor
corresponderá al grado de libertad número 14.
La matriz de elementos es una matriz entera donde los
términos de cada fila contienen los nudos asociados a un
elemento específico y definidos en dirección antihoraria. El
número del elemento corresponde al número de la fila de la
matriz. Cada columna contiene un nudo del elemento; por
ejemplo, para un elemento rectangular con nudos 1, J, K YM,
la primera columna debe contener el número del nudo 1 del
elemento, la segunda el del nudo J, la tercera el del nudo K y la
cuarta el del nudo L. Por lo tanto, el número de columnas
depende del número de nudos que tenga cada elemento.
En sistemas donde se combinan elementos con diferente
cantidad de nudos, el número de columnas de la matriz de
elementos se establece según el elemento con mayor número
de nudos. Para los elementos con menor número de nudos se
incluirán ceros en las columnas restantes.
2. Utilizando la instrucción adecuada, crear la matriz de
incidencias. Esta matriz contiene en cada una de sus filas la
numeración de los grados de libertad asociados a los nudos
de cada uno de los elementos. También se le denomina matriz
de grados de libertad de los elementos. El número del
elemento corresponde al número de la fila de la matriz de
incidencias. Para problemas de dos grados de libertad por
nudo, las primeras dos columnas de la matriz contienen la
numeración de los grados de libertad del primer nudo del
elemento, las siguientes dos contendrán los respectivos grados
de libertad del segundo nudo del elemento y así
sucesivamente.
3. Crear las matrices de rigidez de los elementos triangulares y
rectangulares.
4. Ensamblar la matriz de rigidez global, es decir, establecer el
equilibrio del sistema.
5. Crear el vector de términos independientes de los elementos.
En los problemas de Elasticidad, este vector corresponde a
la fuerza equivalente actuando en los nudos.
6. Ensamblar el vector de términos independientes.

Euler. Programa Didáctico de Elementos Finitos
7. Calcular los desplazamientos de los nudos mediante la
solución de un sistema de ecuaciones simultáneas.
8. Crear la matriz de operadores diferenciales actuando sobre
funciones de forma, también llamada matriz gradiente. Debe
calcularse la matriz gradiente en el lugar del elemento donde
se desean encontrar los esfuerzos. En particular, para el
elemento triangular lineal la matriz gradiente es igual en
cualquier punto dentro del elemento.
9. Calcular las deformaciones unitarias, a partir del producto
entre la matriz gradiente y el vector de desplazamientos
nodales.
10. Crear la matriz de constantes elásticas. Deben definirse
tantas matrices como materiales tenga el problema, ya que
dependen del módulo de elasticidad y de la relación de
Poisson.
11. Calcular los esfuerzos mediante el producto entre la matriz
de constantes elásticas y el vector de deformaciones unitarias
correspondiente.
El cuadro 2 muestra los resultados organizadamente. Los
nudos y los grados de libertad están numerados como se
muestra en las figuras 6 y 7, respectivamente.
Cuadro 2. Resultados del ejemplo de aplicación. En el cuadro de la izquier-
da se muestran los desplazamientos en los nudos y en el cuadro ubicado a la
derecha se ilustran esfuerzos en los elementos. Las columnas ex, ay, oxy,
corresponden al esfuerzo normal en x, normal en y y cortante en el plano xy,
respectivamente. El asterisco indica que los esfuerzos fueron calculados en
el centro del elemento.
Nudo Desplazamientos
X (cm) y (cm)
1 0,000000 0,000000
2 0,001221 0,000000
3 0,001921 0,000000
4 0,002148 0,000000
5 0,000000 -0,003165
6 0,001127 -0,002335
7 0,001626 -0,001116
8 0,001769 -0,000287
9 0,000000 -0,006294
10 0,000729 -0,004610
11 0,001005 -0,002117
12 0,001102 -0,000699
13 0,000000 -0,009772
14 -0,000732 -0,007035
15 -0,000554 -0,002665
16 -0,000389 -0,000828
Esfuerzos (kN/cm')
Elemento aX ay oxy
1' 1,038 -5,240 0,295
2' 0,358 -3,362 0,332
3' 0,021 -1,398 0,062
4 1,191 -4,253 0,346
5 -0,113 -6,286 1,347
6 0,529 -1,868 0,478
7 -0,627 -4,708 1,677
8 0,087 -0,802 0,129
9 -0,326 -2,082 0,637
10 0,263 -4,784 0,177
11 -3,417 -7,811 2,189
12 0,295 -1,023 0,748
13 -0,913 -5,078 2,327
14 0,138 -0,223 -0,059
15 0,059 -1,082 0,223
En el cuadro 3 se presenta el archivo de texto que contiene
las instrucciones que permiten calcular los desplazamientos y
la distribución de los esfuerzos en la lámina. Las líneas que
empiezan con asterisco son comentarios.
Los resultados del proceso están contenidos en diferentes
matrices o, si el usuario lo prefiere, en un archivo de texto. El
cuadro 4 muestra una parte del archivo de salida del problema
de ejemplo.
41
150 kN 150 kN
Figura 7. Numeración de grados de libertad. Las flechas indican los grados
de libertad desconocidos. Las dimensiones están dadas en cms. Los apoyos
son de primer género excepto uno de segundo género ubicado en el extremo
inferior izquierdo.
CONCLUSIONES
Los resultados obtenidos para diferentes problemas
analizados con Euler fueron los mismos que los encontrados
utilizando programas comerciales de Elementos Finitos,
Adicionalmente, al comparar la solución analítica contra la
obtenida utilizando una malla adecuada de elementos finitos
se encontraron pequeñas diferencias.
El lenguaje de programación utilizado en el desarrollo de
esta aplicación permitió combinar la versatilidad de las rutinas
de cálculo, con un entorno agradable y cómodo para el usuario.
Después de dos semestres de uso de las versiones
preliminares del programa, se pudo observar un dinamismo
en los estudiantes para modelar diferentes problemas de
Ingeniería, llevándolo a una motivación especial en su proceso
de aprendizaje. Además, la cantidad de problemas resueltos
durante el curso aumentó sustancialmente, sin perder la esencia
del procedimiento,
Sin embargo, algunas conclusiones acerca del potencial
didáctico del programa están aún por verse. Es necesario seguir
observando y comparando lo que el estudiante realmente está
ganando al utilizar el programa.
RECOMENDACIONES PARA NUEVAS VERSIONES DEL PROGRAMA
Euler tiene la posibilidad de aumentar el número de
instrucciones, adicionando nuevas rutinas y compilando de
nuevo; lo cual permite estudiar otros temas de la ingeniería,
tales como, la elasticidad tridimensional [9] y los sólidos
axisimétricos[6]. En el campo específico de la ingeniería
estructural se podrían realizar inicialmente, análisis estáticos

y dinámicos de pórticos espaciales [5], membranas y placas
[9]; dejando para más adelante el análisis no lineal [6].
También es posible resolver problemas de elasticidad plana,
utilizando nuevos tipos de elementos como: lagrangianos,
cuadrilaterales lineales, triangulares cuadráticos e
* ELASTICIDAD PLANA
* LAMINA DE ACERO
* CREAR INCIDENCIAS
NGLELE,NUDGL,ELE,INC
*CREAR RIGIDEZ
RGTRIANEL,K1,XY,5,6,lO,20000,O.25,3
RGTRIANEL,K2,XY,5,lO,9,20000,O.25,3
RGRECEL,KR,XY,1,2,6,5,20000,O.25,3
* ENSAMBLAR MATRIZ DE RIGIDEZ
EDCREARM,K,24,24
ENSAMKM,K,KR,INC,l
ENSAMKM,K,KR,INC,2
ENSAMKM,K,KR,INC,3
ENSAMKM,K,K1,INC,4
ENSAMKM,K,K1,INC,6
ENSAMKM,K,K1,INC,8
ENSAMKM,K,K1,INC,lO
ENSAMKM,K,K1,INC,12
ENSAMKM,K,K1,INC,14
ENSAMKM,K,K2,INC,5
ENSAMKM,K,K2,INC,7
ENSAMKM,K,K2,INC,9
ENSAMKM,K,K2,INC,11
ENSAMKM,K,K2,INC,13
ENSAMKM,K,K2,INC,15
BDMAT,K
* CREAR Y ENSAMBLAR FUERZAS
VIFSTRIANEL,V11,XY,13,14,3,O,-lO,JK
EDCREAR,V,24,1
ENSAMV,V,V11,INC,11
* CALCULO DE DESPLAZAMIENTOS
SOLCHLK,K,V,D
EDIMP,D
* CALCULO DE ESFUERZOS
ELASP,E,20000,O.25
BTRIANEL,B1,XY,5,6,lO
BTRIANEL,B2,XY,5,lO,9
BRECEL,BRC,XY,1,2,6,5,5,5
* ESFUERZOS EN LOS ELEMENTOS
* EN EL CENTRO PARA RECTANGULARES
EDCREAR,SE,3,15
* ELEMENTO 1 EN EL CENTRO
EDSUBM,D,DE,INC,1
MTMULT,BRC,DE,DE
MTMULT,E,DE,S
EDADSUB,SE,S,l,l
isoparamétricos en general [8]
Para la solución de cualquiera de los problemas adicionales
antes mencionados es indispensable contar con rutinas que
construyan automáticamente las matrices elementales.
Cuadro 3. Archivo de Instrucciones del ejemplo de aplicación. Cada renglón contiene una instrucción con sus correspondientes parámetros separados
por comas. El asterisco indica un comentario.
EDSUBM,D,DE,INC,2
MTMULT,BRC,DE,DE
MTMULT,E,DE,S
EDADSUB,SE,S,1,2
EDSUBM,D,DE,INC,3
MTMULT,BRC,DE,DE
MTMULT,E,DE,S
EDADSUB,SE,S,1,3
* ELEMENTO 4
EDSUBM,D,DE,INC,4
EDSUB,DE,DE,6,1
MTMULT,B1,DE,DE
MTMULT,E,DE,S
EDADSUB,SE,S,1,4
* ELEMENTO 5
EDSUBM,D,DE,INC,5
EDSUB,DE,DE,6,1
MTMULT,B2,DE,DE
MTMULT,E,DE,S
EDADSUB,SE,S,1,5
* ELEMENTO 15
EDSUBM,D,DE,INC,15
EDSUB,DE,DE,6,1
MTMULT,B2,DE,DE
MTMULT,E,DE,S
EDADSUB,SE,S,1,15
* MOSTRAR ESFUERZOS EN LOS ELEMENTOS
* SXX: PRIMERA COL.
* SYY: SEGUNDA COL.
* SXY: TERCERA COL.
* CADA FILA CONTIENE LOS ESFUERZOS
* DEL ELEMENTO CORRESPONDIENTE
* AL NUMERO DE LA FILA
MTTRAN,SE
EDIMP,SE

Matriz: D numo filas: 24 numo columnas: 1 tipo: R
el
F1 1.2205E-03
F2 1. 9205E-03
F3 2.1477E-03
F4 -3.1648E-03
F5 1.I274E-03
F6 -2.3348E-03
F7 1.6255E-03
F8 -1.1163E-03
F9 1.7691E-03
FIO -2.8731E-04
Fll -6.2939E-03
F12 7.2944E-04
F13 -4.6104E-03
F14 1.0046E-03
F15 -2.1166E-03
F16 1.1017E-03
F17 -6.9896E-04
F18 -9.7721E-03
F19 -7.3226E-04
F20 -7.0354E-03
F21 -5.5380E-04
F22 -2.6647E-03
F23 -3.8927E-04
F24 -8.2772E-04
Matriz: SE numo filas: 15 numo columnas: tipo: R
el e2 e3
F1 1. 0378E+OO -5.2401E+OO 2.9477E-01
F2 3.5774E-01 -3.3616E+OO 3.3216E-01
F3 2.1242E-02 -1. 3983E+OO 6.2137E-02
F4 1.19I4E+OO -4.2534E+OO 3.4569E-01
F5 -1.1272E-01 -6.2864E+OO 1.3468E+OO
F6 5.2919E-OI -1.8684E+OO 4.7806E-01
F7 -6.2670E-01 -4.7080E+OO 1.6767E+OO
F8 8.6757E-02 -8.016IE-01 1.2924E-OI
F9 -3.2637E-01 -2.0822E+OO 6.3737E-01
F10 2.6283E-01 -4.7842E+OO 1.7744E-01
Fll -3.4172E+OO -7.8106E+OO 2.1894E+OO
F12 2.9463E-01 -1.0226E+OO 7.4835E-01
F13 -9.1260E-01 -5.0780E+OO 2.3271E+OO
F14 1. 3847E-01 -2.2290E-01 -5.8655E-02
F15 5.8655E-02 -1.0816E+OO 2.2.'90E-01
II
Cuadro 4. Parte del archivo de salida del ejemplo de aplicación. Se muestra la matriz D que contiene los desplazamientos X y Y en los nudos y la matriz
SE que contiene los esfuerzos en cada elemento. Las columnas el, e2 y e3 de la matriz SE contienen el esfuerzo normal en x, normal en y y cortante en el
plano xy, respectivamente. La numeración de las filas corresponde al número del nudo en la matriz D y al número del elemento en la matriz SE.
Las operaciones matriciales básicas, la solución de sistemas
de ecuaciones simultáneas y los procedimientos de ensamblaje
y numeración de grados de libertad, hacen parte de las
instrucciones comúnmente utilizadas en los problemas de
elementos finitos. No hace falta crear los procedimientos
anteriores, ya que el programa cuenta con una completa librería
de instrucciones asociadas con todas esas operaciones.
ubicados exclusivamente en sus esquinas. Esto implica
modificar sustancialmente el código de esta parte del
programa en el momento de introducir elementos espaciales
o planos de muchos nudos.
La ventana control gráfico del programa permite la
visualización y generación de elementos de 2 a 4 nudos
Hacia el futuro, puede ser importante utilizar la ventana
gráfica para mostrar resultados como: desplazamientos en
los nudos, diagramas de fuerzas internas, distribución de
esfuerzos y deformaciones unitarias.

BmLIOGRAFIA
I.BATHE, Klaus-Jürgen, Finite Element Procedures,Primera edición, Prentice Hall, New
Jersey, Estados Unidos, 1996.
2.ClFUENTES C., Gustavo, Notas de clase de Elementos Finitos. Primera edición,
Universidad Nacional de Colombia, Facultad de Ingeniería, Santafé de Bogotá,
Colombia, 1996.
3.DIAZ J., el al, Instrumentos de trabajo y metodología de desarrollo de materiales
para enseñanza asistida por ordenador. (EAOl. 1986.
4.GERE W. Y WEAVER J., Matrix Analysis of Framed Structures.Van Nostrand
Reinhold, New York, Estados Unidos, 1990.
5.McGUIRE, William y GALLAGHER, Richard. Matrix Structural Analysis. Primera
edición, John Wiley, New York, Estados Unidos, 1979.
6.sEGERLlN, Larry, Applied Finite Element Analysis, Segunda Edición, Jhon Wiley &
Son, New York, Estados Unidos, 1984.
7.TIMOSHENKO, S., Y GERE, J. M., Theory of Elastic Stability, Segunda edición,
McGraw Hill, New York, Estados Unidos, 1961.
8.URIBE E., Jairo, Microcomputadores en Ingeniería Estructural, Universidad Nacional
de Colombia y ECOE ediciones, Santafé de Bogotá, Colombia, 1995.
9.wEAVER, William y JOHNSTON, Paul, Finite Elements for Structural Analysis,
Primera edición, Prentice Hall. New Jersey, Estados Unidos, 1984.
IO.zIENKIEWICZ, O. C., El Método de los Elementos Finitos, Volumen 1, Cuarta
Edición, Me Graw Hill & CIMNE. Barcelona, España, 1995.

Euler tutor de elementos finitos

Más contenido relacionado

Destacado (11)

Similar a Euler tutor de elementos finitos (20)

Último (20)

Euler tutor de elementos finitos