Expo fibonacci

Estructuras de Datos AvanzadasDiego SánchezArthur Oviedo

AgendaResumen de Heaps BinariosFibonacci Heaps

Resumen de Heaps BinariosEs un árbol binario casi completo.Satisface la propiedad de orden del heap ( MAX-Heap: key[hijo] <= key[padre] )Se representa con un arreglo. PARENT(i)

return ⌊i/2⌋ -LEFT(i)return 2i

return 2i + 1Heaps BinariosSon utizados para:Implementar HeapSort (Algoritmo de ordenamiento )T(n) = O( n log n) S(n) = O(n)Implementar colas de prioridadUtilizados en algoritmos importantes: Dijkstra (Ruta mínima en un grafo), Prim( Árbol de expansión mínimo)Simulación discreta de eventos(Colas de procesos, Colas de impresión)

Mantener la propiedad del heap O(lg n)

Crear un Heap a partir de un conjunto de elementos dados O(n)

Extraer mínimo/máximo O(lg n)

Incrementar/Decrementar llave O(lg n)

Unión de dos heaps O(n)Resumen de Heaps Binarios

DefiniciónConjunto de árboles ordenados(min-heaps)

RepresentaciónUtilizamos listas circulares doblemente enlazadas para mantener la lista de las raíces de cada árbol: left[x], right[x]Hay un puntero min[H] hacia el menor elemento del heapCada nodo tiene una referencia a su padre p[x]. p[x] = NIL si x es una de las raícesCada nodo tiene una referencia a alguno de sus hijos child[x]. child[x] = NIL si el nodo es una hojaUtilizamos listas circulares doblemente enlazadas para mantener a la lista de hijos de un nodon[H] = # de nodos en el Heapdeg[x] = # hijos del nodo x

Función Potencialt(H) = # de árboles en la lista de raíces del heapm(H) = # de nodos marcados del heap

D(n)D(n) = Grado (Número de hijos) máximo de cualquiernodo en un Fibonacci Heap de n nodos.CostoExtraermínimo = O(D(n))D(n) ≤ log N, donde = (1 + 5) / 2

Heap de FibonacciOperacionesCrear heapInsertar nodoUnión de dos Fibonacci HeapsExtraer mínimoDecrementar llaveEliminar nodo

Creación de un nuevo HeapMAKE-FIB-HEAP: Reserva espacio para el heap. n[H] = 0min[H] = NILΦ(H) = 0O(1)

Insertar NodoFIB-HEAP-INSERT(H, x)1 degree[x] ← 02 p[x] ← NIL3 child[x] ← NIL4 left[x] ← x5 right[x] ← x6 mark[x] ← FALSE7 concatenate the root list containing x with root list H8 if min[H] = NIL or key[x] < key[min[H]]9 thenmin[H] ← x10 n[H] ← n[H] + 1

Costo de InserciónComo, t(H′) = t(H)+1 and m(H′) = m(H) Incremento de la función potencial=((t(H) + 1) + 2 m(H)) - (t(H) + 2 m(H)) = 1.Costo Real = O(1)Costo Amortizado = O(1) + 1 = O(1)Estamos pagando 1 unidad de costo amortizado constante por cada inserción

Dar mínimo elementoFIB-HEAP-MIN(H)1 returnmin[h]Cambio Función potencial = 0

Costo Amortizado = O(1) + 0 = O(1)Unión de dos Fibonacci HeapsFIB-HEAP-UNION(H1, H2)1 H ← MAKE-FIB-HEAP()2 min[H] ← min[H1]3 concatenate the root list of H2 with the root list of H4 if(min[H1] = NIL) or(min[H2] ≠ NIL and min[H2] < min[H1])5 thenmin[H] ← min[H2]6 n[H] ← n[H1] + n[H2]7 free the objects H1 and H28 returnH

Costo de UniónCambio Función Potencial = Φ(H) - (Φ(H1) + Φ(H2)) = (t(H) + 2m(H)) - ((t(H1) + 2 m(H1)) + (t(H2) + 2 m(H2))) = 0Costo Amortizado = O(1) + 0 = O(1)

Extrayendo el mínimoFIB-HEAP-EXTRACT-MIN(H)1 z ← min[H]2 ifz ≠ NIL3 then for each child x of z4 do add x to the root list of H5 p[x] ← NIL6 remove z from the root list of H7 ifz = right[z]8 thenmin[H] ← NIL9 else min[H] ← right[z]10 CONSOLIDATE(H)11 n[H] ← n[H] - 112 returnz

Extrayendo el mínimo (Consolidate)CONSOLIDATE(H)1 for i ← 0 to D(n[H])2 do A[i] ← NIL3 for each node w in the root list of H4 do x ← w5 d ← degree[x]6 whileA[d] ≠ NIL7 do y ← A[d] ▹ Another node with the same degree as x.8 ifkey[x] > key[y]9 then exchange x ↔ y10 FIB-HEAP-LINK(H, y, x)11 A[d] ← NIL12 d ← d + 113 A[d] ← x14 min[H] ← NIL15 for i ← 0 to D(n[H])16 do ifA[i] ≠ NIL17 then add A[i] to the root list of H18 if min[H] = NIL or key[A[i]] < key[min[H]]19 thenmin[H] ← A[i]FIB-HEAP-LINK(H, y, x)1 remove y from the root list of H2 make y a child of x, incrementing degree[x]3 mark[y] ← FALSE

Costo de extraer mínimoCosto RealO(D(n)) ->El nodomínimomáximotenía D(n) hijosO(D(n) + t(H)) ->Las raícesquequedan son: Las queyahabían más los nuevos hijosO(D(n)+t(H))Cambio en el costo amortizado#Raíces antes = t(H)Máximo número de raíces después = D(n) +1 Cambio de potencial = D(n)+1-t(H)Costo amortizadoCosto total + Cambio potencial = O(D(n)+t(H)) + D(n) + 1 - t(H) = O(D(n))

Decrementar LlaveFIB-HEAP-DECREASE-KEY(H, x, k)1 ifk > key[x]2 then error "new key is greater than current key"3 key[x] ← k4 y ← p[x]5 if y ≠ NIL and key[x] < key[y]6 then CUT(H, x, y)7 CASCADING-CUT(H, y)8 ifkey[x] < key[min[H]]9 thenmin[H] ← xCUT(H, x, y)1 remove x from the child list of y, decrementing degree[y]2 add x to the root list of H3 p[x] ← NIL4 mark[x] ← FALSECASCADING-CUT(H, y)1 z ← p[y]2 ifz ≠ NIL3 then if mark[y] = FALSE4 thenmark[y] ← TRUE5 else CUT(H, y, z)6 CASCADING-CUT(H, z)

Expo fibonacci

Más contenido relacionado

La actualidad más candente (20)

Similar a Expo fibonacci (20)

Último (20)

Expo fibonacci