Factorizacion
- 1. LICEO FERNANDEZ MADRID TUTORIAL DE LOS CASOS DE FACTORIZACION TRABAJO DE COMPUTACION JOSELYN MONTENEGRO MENA 1 CIENCIAS E NUMERO DE LISTA: 29 FACTORIZACION En matemáticas, la factorización (o factoreo) es la descomposición de una expresión matemática (que puede ser un número, una suma, una matriz, un polinomio, etc.) en forma de multiplicación. Factorar es expresar en forma de multiplicación (en factores) a un polinomio. CASOS DE FACTORIZACIÓN Factor común Características: a) Mínimo tiene que tener dos términos como mínimo. b) Tiene que tener una letra o un número común. c) Partes literales en todos los términos. d) El común debe de ser el menor exponente y el menor número de coeficiente. e) Debe ser posible de dividir en factores. Pasos 1). Se extrae el factor común dividiendo todos los términos para un numero que les contenga, y el número sacado viene a ser el primer factor, Así: 5w3 + 10w2- 15w = 5w (el cinco y la w pueden ser divididos para todos los términos en este polinomio) 2). Se divide cada parte de la expresión entre el factor común y el conjunto viene a ser el segundo factor, Asi: 5w3 + 10w2- 15w = 5w (w2+ 2w – 3) Ejemplo: 13z2y2 – 26z3y3+ 52z4y4 = 13z2y2 (-2zy + 4z2y2) Factor Común por Agrupación Características: a).Si los términos de un polinomio pueden reunirse en grupos de términos con un factor común diferente en cada grupo. b) Cuando pueden reunirse en grupos de igual número de términos se le saca en cada uno de ellos el factor común. c) Si queda la misma expresión en cada uno de los grupos entre paréntesis, se la saca este grupo como factor común, quedando así una multiplicación de polinomios. Pasos:
- 2. LICEO FERNANDEZ MADRID TUTORIAL DE LOS CASOS DE FACTORIZACION TRABAJO DE COMPUTACION JOSELYN MONTENEGRO MENA 1 CIENCIAS E NUMERO DE LISTA: 29 Trate desde el principio que nos quede igual los términos de los paréntesis 2ax + 2bx - ay + 5a - by + 5b Agrupo los términos que tienen un factor común (2ax - ay + 5a ) + ( 2bx - by + 5b ) Saco el factor común de cada grupo a ( 2x - y + 5 ) + b (2x - y + 5 ) Como las expresiones encerradas entre paréntesis son iguales: ( 2x -y +5 )(a + b) Ejemplo: 17ax – 17mx + 3ay - 3my + 7az – 7mz = a(17x +3y +7z) - m(17x + 3y +7z) = (17x +3y +7z)(a – m) Diferencia de cuadrados Características a).El producto de la multiplicación de dos binomios cuyo signo del independiente es distinto uno del otro pero el número es igual Pasos: Si se desea factorizar una diferencia de cuadrados debe obtenerse primero la raíz cuadrada de cada término de la diferencia x2 - 9 = x 3 Y después construir con ellas el par de binomios conjugados necesarios para la factorización. (x + 3).(x - 3) Siendo la respuesta igual a : (x + 3).(x - 3) Ejemplo: 36x2 – 9y4 = ( 6x + 3y2 ) ( 6x – 3y2 )
- 3. LICEO FERNANDEZ MADRID TUTORIAL DE LOS CASOS DE FACTORIZACION TRABAJO DE COMPUTACION JOSELYN MONTENEGRO MENA 1 CIENCIAS E NUMERO DE LISTA: 29 Trinomio Cuadrado Perfecto Características: a).El trinomio debe estar organizado en forma ascendente o descendente (cualquiera de las dos). b) Tanto el primero como el tercer término deben ser positivos. c) Asimismo, esos dos términos deben ser cuadrados perfectos (es decir, deben tener raíz cuadrada exacta). d) En otras palabras, el primero y el tercer término deben reunir las características de los términos que conforman una Diferencia de Cuadrados Perfectos. Pasos: Primero debemos ver que se trata de un Trinomio Cuadrado Perfecto .Para ello extraemos la raíz cuadrada tanto del primer como del tercer término. Realizamos el doble producto de las raíces obtenidas y comparamos con el segundo término (sin fijarnos en el signo de éste). Si efectivamente nos da, entonces tenemos un TCP. La factorización de un TCP es un binomio al cuadrado, que se construye anotando las raíces cuadradas del primer y tercer término, y entre ellas el signo del segundo término. Ejemplo: 4 2 Y + 1 + 2y = 4 2 2 2 y + 2y + 1 = ( y +1 ) Combinación de Diferencia de cuadrados con Trinomio Cuadrado Perfecto (TCP) Cracterísticas: a).Debe de tener cuatro términos. b) Tres de estos términos deben de tener raiz cuadrada exacta.
- 4. LICEO FERNANDEZ MADRID TUTORIAL DE LOS CASOS DE FACTORIZACION TRABAJO DE COMPUTACION JOSELYN MONTENEGRO MENA 1 CIENCIAS E NUMERO DE LISTA: 29 c) Si el TCP es el primer término de la Diferencia de Cuadrados, por lo menos dos de los términos que tienen raíz cuadrada exacta deben de ser positivos. d) Si el TCP es el segundo término de la Diferencia de Cuadrados, solamente uno de los términos que tienen raíz cuadrada exacta debe de ser positivo y para determinar el TCP es necesario encerrar en un parentesis los tres términos que lo componen y precederlo de un signo negativo. Pasos: 2 2 2 a + 2ab + b - 25m 2 2 2 = (a + 2ab + b ) - 25m Ordenar los términos en referencia a los casos de Trinomio Cuadrado Perfecto y Diferencia de Cuadrados 2 2 = (a + b) - 25m Factorar el Trinomio y aplicar la resolución como al trabajar con Diferencia de cuadrados = (a + b + 5m)(a + b - 5m). Factorar el Trinomio y aplicar la resolución como al trabajar con Diferencia de cuadrados Ejemplo: 2 2 2 2 2 a -x -y + 2xy = a - (x 2 - 2xy + y ) 2 2 a - (x - y) (a + x - y)(a - x + y). Trinomio Incompleto Características: a).Debe tener exponente de uno de sus extremos múltiplo de 4 b) Debe tener 3 términos c) Tiene que ser para que podamos extraer sus raíces exactas
- 5. LICEO FERNANDEZ MADRID TUTORIAL DE LOS CASOS DE FACTORIZACION TRABAJO DE COMPUTACION JOSELYN MONTENEGRO MENA 1 CIENCIAS E NUMERO DE LISTA: 29 Pasos: Antes de resolver ordenar en forma ascendente o descendente 4 2 2 4 (a +a b + b ) Se le suma y se le resta una misma cantidad que le falta para ser trinomio cuadrado perfecto 4 2 2 4 2 2 2 2 (a +a b + b ) + a b - a b Despues se factora normalmente 4 2 2 4 2 2 (a +2a b + b ) - a b 2 2 2 2 2 (a +b ) - a b 2 2 2 2 (a + b + ab)(a + b – ab ) 2 Trinomio de la forma X + bx + c Características: El coeficiente del primer termino es 1 • El primer término es una letra cualquiera elevada al cuadrado. • El segundo termino tiene la misma letra que el primero con exponente 1 y su coeficiente es una cantidad cualquiera, positiva o negativa. • El tercer termino es independiente de la letra que aparece en el primer y segundo termino y es una cantidad cualquiera, positiva o negativa. Pasos: El trinomio se descompone en dos binomios cuyo primer termino es la raiz cuadrada de x2 o sea “x”. 2 x + 5x + 6 = (x ) (x ) En el primer binomio después de “x” se pone signo (+) por que el segundo termino del trinomio +5x
- 6. LICEO FERNANDEZ MADRID TUTORIAL DE LOS CASOS DE FACTORIZACION TRABAJO DE COMPUTACION JOSELYN MONTENEGRO MENA 1 CIENCIAS E NUMERO DE LISTA: 29 tiene signo (+). En el segundo binomio, después después de “x” se escribe el signo que resulta de multiplicar el signo de +5x por el signo de +6 y se tiene que (+) * (+) = (+) 2 x + 5x + 6 = (x + ) * (x + ) Ahora, como en estos binomios tenemos signos iguales buscamos dos números que cuya suma sea 5 y cuyo producto sea 6. Estos números son 2 y 3, luego. 2 X + 5x + 6 = (x + 2) * (x + 3) Ejemplo: x2 + 7x + 10 = ( x +5)(x+2) El producto de x por x es igual a x2 El producto de 5 por 2 es igual a 10 que es el tercer termino La suma de 5 mas 2 es igual a 7 que es el segundo termino 2 Trinomio de la Forma ax + bx +c Características: 1.El coeficiente del primer término es diferente de 1. 2. La variable del segundo término es la misma que la del primer término pero con exponente a la mitad. 3. El tercer término es independiente de la letra que aparece en el primer y segundo términos del trinomio. Pasos: 4 2 Factorizar 15x - 23x + 4 4 2 =15(15x - 23x + 4) Se multiplica y se divide el trinomio 15 por el coeficiente del primer término. 2 2 =(15x ) - 23(15x) + 60 Se resuelve el producto del primero 15 y tercer término dejando indicado el del segundo término. 2 2 =(15x - 20)(15x - 3) Se factoriza como en el caso del trinomio 2 15 de la forma x + bx + c, o sea, se buscan dos números que multiplicados de 60 y sumados 23. (Se suman por que los signos de los dos factores son iguales) 2 2 =5(3x - 4) 3(5x - 1) Se factorizan los dos binomios resultantes 5.3 sacándoles factor común monomio, se descompone el 15 y por último dividir,
- 7. LICEO FERNANDEZ MADRID TUTORIAL DE LOS CASOS DE FACTORIZACION TRABAJO DE COMPUTACION JOSELYN MONTENEGRO MENA 1 CIENCIAS E NUMERO DE LISTA: 29 4 2 2 2 15x - 23x + 4 = (3x - 4)(5x - 1) Ejemplos: 6x2 - 7x - 3 = 36x2 - 6(7x) - 18 = (6x - 9)(6x + 2) 6 = (6x - 9) (6x + 2) 3 x 2 = (2x-3)(3x + 1) Suma y Diferencia de Potencias Impares Características: 1. Debe tener cuatro términos. 2. Que tanto el primero como el último término sean cubos perfectos 3. Que el segundo término sea aproximadamente el triplo del cuadrado de la raíz cúbica del primer término multiplicado por la raíz cúbica del último término. 4. Que el tercer término sea más que el triplo de la raíz cúbica del último. Pasos: 8x3 – 125 Para poder factorizar el binomio como una diferencia de cubos debemos de obtener la raíz cúbica de cada uno de los términos por separado. Así tenemos que para el primero es 2x y para el segundo es 5. (2x - 5) (4x2 + 10x + 25) La Factorización se forma como el producto de un binomio por un trinomio, de esta manera el binomio se forma por la diferencia de las dos raíces cúbicas obtenidas en el paso anterior. El trinomio se forma elevando al cuadrado el primer término del binomio, mas el producto del primer y segundo término del binomio, mas el segundo al cuadrado. Ejemplo a 3 + b 3 = ( a + b) · ( a 2 − ab + b 2 ) 8x 3 + 27 = (2x + 3) (4x 2 - 6x + 9)
- 8. LICEO FERNANDEZ MADRID TUTORIAL DE LOS CASOS DE FACTORIZACION TRABAJO DE COMPUTACION JOSELYN MONTENEGRO MENA 1 CIENCIAS E NUMERO DE LISTA: 29 Suma y Diferencia de Potencias Pares Pasos: Suma de potencias de exponente par. 1. La suma de potencias de exponente par es descomponible en factores (con coeficientes racionales) cuando los exponentes contienen el mismo factor impar, en cuyo caso dicha suma puede expresarse como suma de potencias con el mismo exponente impar 2. Se aplica la regla similar a la de la suma de potencias de exponente impar. x6 + y6 (x2)3 + (y2)3 (x2 + y2)(x4 - x2y2 + y4) Diferencia de potencias de exponente par. 1. Para descomponer en factores una diferencia de potencias de exponente par basta considerarla como una diferencia de cuadrados. 2. Si los factores resultantes admiten a su vez descomposición en factores, se procede a efectuarla hasta que sean primos todos los factores obtenidos. X6-y6= 3 3 3 3 (x + y )(x -y ) (x + y)(x2-xy + y2)(x-y)(x2 + xy + y2) Ejemplo: Diferencia X8 –y8= 4 4 4 4 (x + y )(x -y ) (x 4 + y 4 )(x 2 + y 2 )(x + y)(x- y) Suma
- 9. LICEO FERNANDEZ MADRID TUTORIAL DE LOS CASOS DE FACTORIZACION TRABAJO DE COMPUTACION JOSELYN MONTENEGRO MENA 1 CIENCIAS E NUMERO DE LISTA: 29 a12 + b12 (x2 + y2)(x4 - x2y2 + y4) (a4 + b4)(a8 - a4b4 + b8) Por Evaluación Características: a). Ordenar descendientemente o ascendentemente b). Obtener divisores del termino independiente (+y -) c) Utilizamos la división sintética con los divisores hasta que el residuo sea cero d) Continuamos dividiendo de igual manera hasta que el nuevo dividendo ya no se pueda Factorar Pasos: P(x) = x5 + 25 como el exponente es IMPAR y el signo POSITIVO, el divisor será(x + 2). X5 + 0 x4 + 0 x3 + 0 x2 + 0 x + 32 Independiente del orden en el cual usemos los dos divisores el resultado será el mismo. Ejemplo: P(x) = x3 + 23 como el exponente es IMPAR y el signo NEGATIVO, el divisor será (x - 2)
- 10. LICEO FERNANDEZ MADRID TUTORIAL DE LOS CASOS DE FACTORIZACION TRABAJO DE COMPUTACION JOSELYN MONTENEGRO MENA 1 CIENCIAS E NUMERO DE LISTA: 29 x3 + 0 x2 + 0 x – 8 completamos el polinomio para aplicar Ruffini.