Formulario algebra I
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1. El documento describe las leyes lógicas y propiedades de conjuntos, incluyendo la ley de no contradicción, la ley del tercero excluido, la asociatividad, la conmutatividad y las leyes de De Morgan. 2. También explica conceptos geométricos como sistemas de coordenadas, ecuaciones de rectas, círculos y parábolas, así como transformaciones de coordenadas. 3. Finalmente, introduce los elementos básicos de elipses como centro, vértices, focos, directrices
Formulario algebra I
- 1. LEYES LúGICAS Y PRÜTDIEI}Á.ÜES T}E CüNJUb.{TOS LEYES LÓGICAS CON C> ll,:11,,,,.¡ 1.- tltvoLUcrÓN - (-p) c. p 2.- IDEMPOTENCIA p^p<.)p pvpop 3.- ASOCIATIV/ (p"q)^rc)pn(q,rr) (p"q)vr(:)pv(qvr) (Pt q)rzrc:)Pv(qvr) 4.- DISTRIBUTIVA p ^ (ct v r) o (p " q) 1z (pn r) p v (q ^ r).¡ (p v Q) ¡ (p.', r) 5.- CONMUTATIVA p^q<;>q^p pvq(:>q,'p p,/qc)qvp 6.. LEYES DE " DE MORGAN'' -(p"q)¿?-pv-q -(p ., q) <r -p ^ ^.q *(p <r q)o ^.p o q -(p=q) ep^^q 7.. LEY DE LA CONDICIONAL (p*q) ó(^pvq) 8.. LEY LTE LA CONTRARECIP, (p * q)r) ("-q * ^p) 9.. LEY DE LA BÍCONDICIONAL (poct)c¡(p*q) n(q=p) 10.- I-EY DE IDENTIDAD pnVcrp pvf:c>p 11.- LE.T Dtr. ABSORCIÓN pnF<'-rF pvVe'V 12.. LEY DEL COMPLEKIEN'|-O pn-poF pw^'pcrV 13.- LEY P^(Pvq)<*rP pv(p^q)<1 p 14.- LEY p^(-pvq)opnq PROPIEDAÜES DE CONJUNTOS 1.- tNvoLUClÓN (A")" = A 2..IDEMPOTENCIA Ar¡A=A Au.,A=A 3.- ASOCIAI'IVA (AnB)r-rC=Ar'(Br-'C) (A t., B)r.; C = A t., (tJ,.r C) (AAB) AC=AA(BAC) 4.- DISTRI'TUTIVA. A n (B ur C) = (A n B) q, (A r-'C ) A u, (B ^ Q) = (A u B) r' (A r..., C) 5.- CONMUTATIVA AnB=Br'A A'.-,,8=BtrA AAB=BAA S.- LEYES DE "DE MORGAN' (AnB)c'=Act-,Bc (A r-r B)c = Ac .-, Bc 7.- NEUTROS. AnU=A Ar.:rl.'=¡ B_- Ar-,U=lJ Anrtr=rlr 9.- LEYES DE COI/IPLEMENTO. A.'' Ac = ,h At..,Ac=U 10.- LEY ^ Ari(Ar-rB)=¡1 Aur(AnB) =4 11.- LEY " An(Act'B)=Ar-'Il Aur(AcnB)=At-.,8 12.- PROP. DE LA DIFERENCIA. A-B=Ar-rBc CONECTIVOS Y SIGNIFICADOS 1) 2) ,.. 3) v. 4) :) q' ¡^ 6)u -)q 2 - tJl.t'.7 r)0 (:' ^[r ,1.- S.ll. p )/g) (y/4 r NO Y (también) O (senticlo incluyente) Entonces Sl y sólo sl O (setrtido exclt-tyerrte) REGLAS DE INFERENCIA :Jl {q 6.- /.C. p cl p^q B.- SIMPL. P^q fvS 7.- A.D. p p'@ w(^,D/Olc)Dv
- 2. S¡STEMAS DE COORDENADAS OX: Eje de las abscisas. OY: Eje de las ordenadas. Distancia entre dos puntos P'Q=i*r-*,i %Q=iyr-y,l r. "- d = J(* z -x.,)', (y, - ),,)' áiu¡r¡¿n de un segmentr: en una razón Si Pt y Pr son extremos de un segmenlo del punto de división P, son: RECTANGULARES. dada: ",f, ,las coorcJenadas P z$a.yz) lQ(xz,Y,) i) Si r>0, ii) Si r<0, iii) Si r=1, {= Pendiente de una recta: i) .r" ángulo de inclinación 0' < ct < '180". i¡) S¡ 0" < q < 90" su pendiente es positiva. iii) Si 90" < a < 180" su pendiente es negativa. m = t¿¡no = Yi_L'_ (pendiente) Xz -- Xt Rectas paralelas y perpendiculares: i) Si Lr es paralela a L2, enlonces [r11 = rn2. ii) Si L1 es perperrclicular a L7, entonces fii,.1112 = -'l Angulo entre dos rectas: Si L1 y L2 son dos rectas que se cortan con pendienles m1 y m2 respeclivamente, y si 0 es el ángulo entre L, y Lz, entonces: m- -m-tanO= ¿ ' 1+ m,m, Tal que L2 sea Ia recta con mayor ángulo de inclinación, y 0 '* 90". ei punto P es interno al segmento dirigido P,P, . el punto P es externo ai segnrento dirigido P,% tenemos el punto medio del segmento dirigido Pr,P2 x1 t-x2 .. Yt+Yz -2 - ' v=-t- Pu (xe.yz) P '(x',yt ) iP(x,v) x, -t nx_ 1-rr Yt+Ut Y=l+r ,r+*1 iP(x,y) ¡ P z(xz,'¡) I I ____t I I I
- 3. Area de un triángulo. El área de un triárrgulo S que tiene A(x¡,x2), B(xz,yz) y C(x3,y3), es: puntos .x=h,heR. .Y=k; keR. .Y-Yr=m(x-xl)" . Y-Yr :!, Y, ; xl *x2. X-X, Xz-X, :y=r¡¡+[. . I * f- = 1 (Ecuación simétrica o seqmentaria de la ab recta). : Ax + By * C = 0 ; A, B, C son constantes arbitrarias. -0. .'l*' Y' t:;l*, Yz - i*. Y¡ por vértices los 1i 1l I Cuyo desarrollo es: 1, S =' lx.v. r Xzy¡ | X¡y, -X,y, - Xry, xry,l 2ttr¿ LA L|NEA RECTA. Ecuaciones Para Una Recta. a) Paralela al eje "y" b) Paralela al eje "x" c) La forma punto pendiente d) La forma de los dos punlos e) Forma pendiente y ordenada al origen f) Forma de las coordenadas al ongen La forma general Forma normal de la ecuación de una recta Reducción a la forma normal -xCoS(u+ysencD-p=S. AB a _ _x+_v+_._ t Jn2 + 82 ¡ J{1* ' Jñ is,Signo del racJical. f = I liA--+ i) Si C * 0, r es de signo conlrario a "C". i¡i) Si C = 0y B *0, ryBtienen mismo signo. iv) Si C = B = 0, ryAtienen el misnlo signo Distancia y Sentido de una Recta a un punto. La distancia dirigida "d" desde la recta dada L. Ax + gy + C = 0, al punto dado p,(x1,y,). ) Ax, -l By, -+ C l.l = - -- +*F*et Bisectriz de un Angulo: DadoLr.Arx+Bry+Cr=0yL2.A2x+Bzy+Cz=0, laecuacióndelabisectrizesdadapor: lA,x + B,y + C,l inrx.r Bry + C, j t,[ü;á: Familia de Rectas que Pasan por ta lntersección de Dos Rectas: Dado'L1: A1x+BrY+C,=0yL2: A2x+BzY+Cz=0,entonceslatercerarectaquepasaporla intersección de L1 y L2 es dada por: ArX + BrY + C' + k(Arx + Bry + Cr) = 0. /b s) h) i)
- 4. C¡RCUh!FERET'¡CIA. Definición.- Una circunferencia es e[ conjunto de puntos del plano cuya distancia (no dirigidas) a un punto fijo son iguales. Ecuación ordinaria de la circunferencia de centro C(h,k) y radio r>0. (x - h)t + (y - k)'= r' Si el centro de la circunferencia está en el origen, entonces h = 0 y k = 0 por tanto su ecuaclón es x2 + y2 = f y recibe el nombre de ecuación de la circunferencia en su forma canónica. Casos Particularcs. a) Circunferencia Tangente al eje "x". En este caso lkl = r. ' (x-h)'t(Y-k)'=k'. b) Circunferencia Tangente al eje "y". En este caso lhl : r; (*-h)'"(y-k)':h' c) Circunferencia Tangente a los ejes coordenados. En este caso lfrl = lt<l = r. ("-h)'*(y-h)'=h' Ecuación General de la Circunferencia. x't-y' +Dx+Ey+F=0 DEh=-; ; k=-; , f =') ') Farnilia de Circunferencias que Pasan por la lntersección de Dos Circunferencias Dadas: Crr X2 + yz +D1x + Ery + Fr = 0 Cz'. x'+ yt + D2x + Ezy + Fz = 0 Entonces '.x'+y' + DrX+ Ery+Fr + k(x2 +y'+ D2x+ Ery+Fr) =0 Eje radical L :(Dr.-Dz)x+(E,-Ez)y+ (F,-Fr¡ = g. TRANSFORMACIÓN DE COORDENADAS Traslación de Ejes: x=x'+h y=y'+k Rotaclón de Ejes: x=)i'cos0-y'sen0 y=x'sen6+y'cos0 V :Vértice. F : Foco. DD': Directriz. LR : Lado Recto. r : Eje de Simetria CE :Cuerda. AB : Cuerda Focal. PF . Radio Vector. x'=x-h y'=y-k. x'=XCoS0+ysen0. y'= _x sen 0 + y cos 0. LA PARÁBOLA. Definición.- Una parábola es el conjunto de todos los puntos en el plano que equidista de una recta fija, llamada directriz y un punto fijo, denominado foco, que no pertenece a la recta.
- 5. Ecuación de la Parábola. Ecuación de la parábola con vértice en el origen de los ejes cooi'denados y eje de simelría en el eje "x": y' =.4px ; LR = lqPl j) Si p > 0, el foco estará en la parte positiva del eje "x" (la concavidad de la grálica esla hacia la derecha). k) Si P < 0, el foco estará en la parte negativa del eje "x" (la concavidad de la gráfica esta hacía la izquierda). Ecuación de la parábola con vértice en el origen de los ejes coordenados y eje de simetria en el eje "y". x2=Apy ; LR=l¿Pi i) Si P > 0, el foco estará en la parle posiiiva del eje "y" (la concavidad de la gráfica esla hacia arriba). . i¡) S¡ p < 0, el foco eslará en la parte negativa del eje "y" (la concavidad de la gráfica esla hacia abajo). Ecuación cle la parábola con vértice (h,k) y eje de simetría paralelo al eje "x". (v-k)'=aP(x-h) Elementos de la parábola: Vértice : v(h'k) Lado Recto ........ - LR = l¿P l- Foco......... . F(h+P,k)- Ecuación de la Directriz ..... X = h- P Coordenadas de tos extremos del lado recto . L(h+P ; t+ iZp l), R(h+P : t< - lZn l¡- Longituddelradiovecior....... : r= lx,-h +Pl LA ELIPSE. Definición.- Una elipse es el conjunto cle todos los puntos del plano colocados de tal manera que la suma de sus distancias de cada uno de ellos a dos puntos flrjos, llamados focos es consiante. Elementos de una Elipse: Centro ........ : C Vértice ........ : (V',Vz). Focos.......... : (F1, F2). Eje focal ...... ; r. Ejenorntal..:f,. Directrices. : DD y D'D'. Lado Recto. : LR¡ ilR' Cuerda Focal : EE'. Diámetro..... : GG'. iladio Vector: (PF1 y PF2). Ecuaciones Canónicas de la Elipse con Centro en el Origen y Eje Focal en el Eje "x": x' v?'.- I'-- =1 a2 b2 P(x,y) f.- ^ l^. h¿ (- vd *u g- . - ' -- --- <1 aa a2a Ecuación de las directrices. X = -f - = + -' . CE . 2a' 2a Distancia entre las directrices: d - - = ---- CE Elementos. b'= a2 - c2. lv¡,1= za ; lnT, I' zc le p,l = zu r-n = 3{ d o
- 6. Ecuación de Ia Elipse en su forma ordinaria de centro {h,k}' ' (*-h)' (v-k)' + --1 a' b2 Elementos. c(h,k). V,(h+a,k); V2(h-a,k). F1(h+c,k), F2(h-c,k). B1(h,k+b); B2(h,k-b). r-n = ?1'- a e* Elementos: c(h,k). V1(h,k+a); V2(h,k-a). Fr(h,k+c); F2(h,k-c). B1(h+b,k); 82(h-b,k). LR = 2bt- a (- ; L (h+c,k+b2ia¡; R (h+c,k-b2/a) ü (h-c,k+b'la); R' (h-c,k-b2/a). x=h+ale d=2a2lc=2ale Radio vectores: [r = á - exr, foco derecho. t2 = á * ex1, foco izquierdo. L (h+b2ia,k+c), R (h,b2la,k+c) L (h+b2la,k-c); R (h-bzia,k-c¡. y=k+a/e d=2a2lc=Zale Radio vectores. rr = 3 - ex1, foco superior. fz = á * ex1, foco inferior. Ecuaciones Canónicas de la Elipse con Cent¡o en el Origen y Eje Focal en el Eje "y": ,.2 ,,2 i-*L=tb' a' Ecuación de las directrices: a'arr-4--+-I-! CC Ecuación de la Elipse en su forma ordinaria de centro (h,k). ("-h)' (v-k)'-n -T-:t b2 a' 9 a e* Ecuación General de la Elipse. Axz + Cy'* Dx + Ey + F = 0 ntr h:-" :k=--:a' 2A 2C pz 12 t:- +!--F 4A 4C A,C>0; A*C t !_2 _ t -'u AC 9
- 7. LA HIPERBOLA. Definición.- Una hipérbola es un conjunto de todos los puntos del plano colocados de tal forma que la diferencia de sus distancias de cada uno de ellos a 2 puntos fijos, llamados focos, es constante. P(x,v) ¿,,' Ecuaciones Canónícas de la Hipérbola con Centro en el Origen y Eje Focal en el Eje "x". rl -yl- -, a2 b2 Elementos: a2av'V' : 2a eje transverso o eje focal' X = l --: ' --, ecuación de ra directriz B,á; = 2b eje conjugaclo o eje normal. c e ; =- - ^ ¡^^^r 2a' 2aF1l-, = 2c distancia focal. d - - :._- distancia entre las direct¡ces. c2-a2=b?'. c e ¡L^7 L 'o--t Y=*Yxasintotas. aa I *; r'-;' c va'rb'Q= =: :,l aa Ecuación de la iiipérbola en su forma ordinaria de centro (h,k). (* _1,)'_ _ (v -k)'_ _ ., 1.f a' b' Elementos: c(h,k). V,(h+a,k); V2(h-a,k). F,(h+c,k); F2(h-c,k) B1(h,k+b); Br(h.k-b). L(h+c, k+b2la); R(h+s, t<-b2ia1. L'(h-c, k+b2la); R'(h-c, k-bz/a). Ecuaciolres Canónicas de la Hipérbola con Centro en el Origen y Eje Focal en el Eje "y" t _r' -,_Á2 b2 - ' a2 .a Y = i---- = * : Ecuación de las directrices: ce x = h :L a/e, Ec. directrices. y - k = f(b/a)(x-h) Asíntolas ¡ = jex, + ai, radio veclor, clerecho,izquierdo. a V=*-..x,b Asintotas IO
- 8. I i t i Ecuación de la Hipórbola en su forma crdinaría de centro (h,k). (y - k)' (x- h)' _ . Erem,entos: -at.----b2'-' C(h'k).y=kta/e,Ec.directrices' Vr(h,k+a): V2(h,k-a). y - ¡a = +(a/b)(x-h) Asíntotas F,(h,k+c);Fz(h,k-c). ¡ = lex, + al. radio vector. superior e inferior. Br(h+b.k):Br(h-b,k). I L(h+b2ia,k+c). R(h-bz/a, k+c). L'1h+b2la.k-c); R'(h-b2ia, k-c). Ecuació¡ Generalde la HiPérbola: Axz- Cy'* Dx + Ey + F = 0. h=-¿?' k=*,,=f r:-F, a2=f, , b' = : 1 rI ! i 1T