Formulario sum
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Este documento define la sumatoria y presenta algunas de sus propiedades y fórmulas. La sumatoria de una sucesión de números ak desde p hasta q, denotada como Σk=p q ak, representa la suma de los términos ak desde el índice p hasta el índice q. El documento explica propiedades como que la sumatoria de una suma es la suma de las sumatorias, pero la sumatoria de un producto no es igual al producto de las sumatorias. También presenta teoremas como el del cambio de escala y el del
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IV. F´ormulas
F1) De la Constante.
q
k=p
c = c + c + c + . . . + c
(q−p+1) veces
= c · (q − p + 1)
F2) De la Geom´etrica.
q
k=p
ck
= cp
+ cp+1
+ cp+2
+ . . . + cq
=
cp · (1 − cq−p+1)
1 − c
F3) De las Potencias.
i)
n
k=1
k = 1 + 2 + 3 + . . . + n =
1
2
n(n + 1)
ii)
n
k=1
k2
= 12
+ 22
+ 32
+ . . . + n2
=
1
6
n(n + 1)(2n + 1)
iii)
n
k=1
k3
= 13
+ 23
+ 33
+ . . . + n3
=
1
4
n2
(n + 1)2
F4) Telesc´opica.
i)
q
k=p
[ Tk+1 − Tk ] = (Tp+1 − Tp) + (Tp+2 − Tp+1) + (Tp+3 − Tp+2) + . . . + (Tq+1 − Tq) = Tq+1 − Tp
ii)
q
k=p
[ Tk − Tk+1 ] = (Tp − Tp+1) + (Tp+1 − Tp+2) + (Tp+2 − Tp+3) + . . . + (Tq − Tq+1) = Tp − Tq+1
LA SOLUCION A TUS PROBLEMAS DE MATEMATICAS
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Formulario sum
- 1. www.guiamath.net FORMULARIO - SUMATORIA I. Definici´on Sean ak una sucesi´on, y p, q ∈ N ∪ {0} tales que p ≤ q. Entonces, q k=p ak = ap + ap+1 + ap+2 + . . . + aq II. Propiedades P1) Sumatoria de una suma (resta), es la suma (resta) de las sumatorias q k=p (ak ± bk) = q k=p ak ± q k=p bk P2) Sumatoria de un producto (cuociente), NO es el producto (cuociente) de las sumatorias i) q k=p (ak · bk) = q k=p ak · q k=p bk ←− ojo!! ii) q k=p ak bk = q k=p ak q k=p bk ←− ojo!! P3) Sumatoria de una constante por una sucesi´on, es la constante por la sumatoria de la sucesi´on q k=p α · ak = α · q k=p ak ←− α es una constante. Es decir, No tiene variable k!! III. Teoremas T1) Del cambio escala q k=p>1 Ak = q k=1 Ak − p−1 k=1 Ak T2) Del reloj q k=p Bk = q±c k=p±c B(kc) LA SOLUCION A TUS PROBLEMAS DE MATEMATICAS http://www.guiamath.net FORMULARIO — SUMATORIA
- 2. www.guiam ath.net IV. F´ormulas F1) De la Constante. q k=p c = c + c + c + . . . + c (q−p+1) veces = c · (q − p + 1) F2) De la Geom´etrica. q k=p ck = cp + cp+1 + cp+2 + . . . + cq = cp · (1 − cq−p+1) 1 − c F3) De las Potencias. i) n k=1 k = 1 + 2 + 3 + . . . + n = 1 2 n(n + 1) ii) n k=1 k2 = 12 + 22 + 32 + . . . + n2 = 1 6 n(n + 1)(2n + 1) iii) n k=1 k3 = 13 + 23 + 33 + . . . + n3 = 1 4 n2 (n + 1)2 F4) Telesc´opica. i) q k=p [ Tk+1 − Tk ] = (Tp+1 − Tp) + (Tp+2 − Tp+1) + (Tp+3 − Tp+2) + . . . + (Tq+1 − Tq) = Tq+1 − Tp ii) q k=p [ Tk − Tk+1 ] = (Tp − Tp+1) + (Tp+1 − Tp+2) + (Tp+2 − Tp+3) + . . . + (Tq − Tq+1) = Tp − Tq+1 LA SOLUCION A TUS PROBLEMAS DE MATEMATICAS http://www.guiamath.net