Formulas y Diagramas para vigas

ING: JOHNNY JARA RAMOS FORMULAS Y DIAGRAMAS PARA VIGAS
UNIVERSIDAD NACIONAL DEL ALTIPLANO
V
R
Momento
Mmax
L
2
V
Corte
R
L
2
L
x
q
a+R1
q
Corte
Mmax
Momento
V1
R1
V2
R2
x
a
L
cb
q
Viga Simplemente Apoyada – Carga Uniformemente Distribuida
2
Lq
VR








 x
2
L
qVx
)xL(
2
xq
Mx 


IE384
Lq5
)centroelen(f
4
max



)xxL2L(
IE24
xq
f 323
x 



Viga Simplemente Apoyada – Carga Uniforme Parcialmente Distribuida
)bc2(
L2
bq
)cacuando.(maxVR 11 



)ba2(
L2
bq
)cacuando.(maxVR 22 



)ax(qR))ba(yacuandox(V 1X 








q2
R
aR)
q
R
axpara(M 1
1
1
max
xR)axcuando(M 1x 
2
1x )ax(
2
q
xR))ba(yaxcuando(M 
)xL(R))ba(xcuando(M 2x 
8
2
max
Lq
M



Corte
Momento
Mmax
R1
q
R1
V1
R2
V2
L
a
x
q
R1/q1
Mmax
R1
V1
Momento
Corte
V2
R2
a
x
L
cb
q1
q2
Viga Simplemente Apoyada – Carga Uniforme Parcialmente Distribuida En Un
Extremo
)aL2(
L2
aq
VR 11 



L2
aq
VR
2
22



xqR)axcuando(V 1x 
q2
R
q
R
xparaM
2
11
max








2
xq
xR)axcuando(M
2
1x


)xL(R)axcuando(M 2x 
)xL)aL2(xa2)aL2(a(
LIE24
xq
)axcuando(f 3222
x 



)a2xL(4x
LI24E
x)(Laq
a)x(cuandof 22
2
x 



Viga Simplemente Apoyada – Carga Uniforme Parcialmente Distribuida En Cada
Extremo
L2
cq)aL2(aq
VR
2
21
11



L2
aq)cL2(cq
VR
2
12
22



xqR)axcuando(V 11x 
aqR))ba(yaxcuando(V 11x 
)xL(qR))ba(xcuando(V 22x 
1
2
1
11
1
1
max
q2
R
)aqRcuando
q
R
xpara(M


2
2
2
22
2
2
max
q2
R
)cqRcuando
q
R
Lxpara(M


2
xq
xR)axcuando(M
2
1
1x


)ax2(
2
aq
xR))ba(yaxcuando(M 1
1x 



q
L
Mmax
Momento
R1
V1
L
3
Corte
R2
V2
x
L
L/2
Corte
Momento
Mmax
R
V
L/2
R
V
x q
2
)xL(q
)xL(R))ba(xcuando(M
2
2
2x


Viga Simplemente Apoyada – Carga Aumentando Uniformemente Desde Cero Hasta
“q”; De Un Extremo A Otro.
En estas ecuaciones:
2
Lq
W


3
W
VR 11 
3
W2
VR 22


2
2
x
L
xW
3
W
V


39
LW2
3
L
xparaMmax









)xL(
L3
xW
M 22
2x 



IE
LW
01304.0
15
8
1Lxparaf
3
max












)L7xL10x3(
LIE180
xW
f 4224
2x 



Viga Simplemente Apoyada – Carga Aumentando Desde Cero Uniformemente Hasta
“q”; Desde Ambos Extremos Al Centro.
En estas ecuaciones:
2
Lq
W


2
W
VR 
)x4L(
L2
W
2
L
xcuandoV 22
2x 








6
LW
)centroelen(Mmax


















 2
2
x
L3
x2
2
1
xW
2
L
xcuandoM
IE60
LW
)centroelen(f
3
max




x
L
L/2
Mmax
R
Corte
V
R
L/2
V
P
Momento
L
x
b
Momento
Mmax
a
R1
V1
Corte
R2
V2
P
222
2x )x4L5(
LIE480
xW
f 



Viga Simplemente Apoyada – Carga Concentrada En El Centro De La Viga
2
P
VR 
4
LP
)Pdeaplicaciondepuntoelen(Mmax


2
xP
2
L
xcuandoMx








IE48
LP
)Pdeaplicaciondepuntoelen(f
3
max



)x4L3(
IE48
xP
2
L
xcuandof 22
x 









Viga Simplemente Apoyada – Carga Concentrada En Cualquier Punto De La Viga
L
bP
)bacuando.(maxVR 11


L
aP
)bacuando.(maxVR 22


L
baP
PdeaplicaciondepuntoelenM

)(max
`
L
xbP
)axcuando(Mx


LIE27
)b2a(a3)b2a(baP
bacuando
3
)b2a(a
xenfmax














LIE3
baP
22
a



)xbL(
LIE6
xbP
)axcuando(f 222
x 




L
x
R
Mmax
V
Momento
a
Corte
a
R
V
P P
x
L
a
M1
Momento
R1
V1
M2
b
Corte
R2
V2
P P
)axxL2(
LIE6
)xL(aP
)axcuando(f 22
x 



Viga Simplemente Apoyada – Dos Cargas Concentradas Iguales, Ubicadas
Simétricamente Respecto A Los Extremos
PVR 
aP)asargclasentreubicado(Mmax 
xP)axcuando(Mx 
)a4L3(
IE24
aP
)centroelenubicado(f 22
max 



)xa3aL3(
IE6
xP
)axcuando(f 22
x 



)ax3xL3(
IE6
aP
))aL(yaxcuando(f 22
x 



Viga Simplemente Apoyada – Dos Cargas Concentradas Iguales, Ubicadas
Asimétricamente Respecto A Los Extremos
)baL(
L
P
)bacuando(maxVR 11 
)abL(
L
P
)bacuando(maxVR 22 
)ab(
L
P
))bL(yaxcuando(Vx 
aR)bacuando(maxM 11 
bR)bacuando(maxM 22 
)ax(PxR))bL(yaxcuando(M 11 

L
Corte
Momento
x
M1
R1
a
V1
P1
M2
R2
b
V2
P2
Momento
Mmax
Corte
R
V
x
L
q
Viga Simplemente Apoyada – Dos Cargas Concentradas No Iguales, Ubicadas
Asimétricamente Respecto A Los Extremos
L
bP)aL(P
VR 21
11


L
)bL(PaP
VR 21
22


111 PR))bL(yaxcuando(V 
aR)PRcuando(maxM 1111 
bR)PRcuando(maxM 2222 
)ax(PxR))bL(yaxcuando(M 11x 
Viga En Voladizo – Carga Uniformemente Distribuida
LqVR 
xqVx 
2
Lq
)empotradoextremoen(M
2
max


2
xq
M
2
x


IE8
Lq
)libreextremoen(f
4
max



)L3xL4x(
IE24
q
f 434
x 



Momento
Mmax
Corte
R
V
L
P
x
a
Corte
Momento
Mmax
b
R
V
x
L
P
Viga En Voladizo – Carga Concentrada En El Extremo Libre
PVR 
LP)empotradoextremoen(Mmax 
xPMx 
IE3
LP
)libreextremoen(f
3
max



)xxL3L2(
IE6
P
f 323
x 


Viga En Voladizo – Carga Concentrada En Cualquier Punto De La Viga
PVR 
bP)empotradoextremoen(Mmax 
)ax(P)axcuando(Mx 
)bL3(
IE6
bP
)libreextremoen(f
2
max 



IE3
bP
3
a



)bx3L3(
IE6
bP
)axcuando(f
2
x 



)xLb3(
IE6
)xL(P
)axcuando(f
2
x 




L
(3/8)L
M1
Momento
V1
R1
Corte
q
x
Mmax
L/4
R2
V2
(3/11)L
R2
Mmax
M1
Momento
L/2
V1
Corte
R1
L/2
V2
L
x
P
Viga Empotrada Apoyada– Carga Uniformemente Distribuida
8
Lq3
VR 11

 ;
8
Lq5
VR 22


xqRV 1x 
8
Lq
M
2
max


2
1 Lq
128
9
L
8
3
xenM 






2
xq
xRM
2
1x


IE185
Lq
331(
16
L
xenf
4
max









)x2xL3L(
IE48
xq
f 323
x 



Viga Empotrada Apoyada– Carga Concentrada En El Centro De La Viga
16
P5
VR 11

 ;
16
P11
VR 22


16
LP3
)empotradoextremoen(Mmax


32
LP5
)Pdeaplicaciondepuntoelen(M1


16
xP5
)
2
L
xcuando(Mx







 

16
x11
2
L
P)
2
L
xcuando(Mx
5IE48
LP
5
1
Lxenf
3
max









IE768
LP7
3
p



)x5L3(
IE96
xP
)
2
L
xcuando(f 22
x 




ESTRUCTURAS DE MADERA ANEXOS CAPÍTULO III
UNIVERSIDAD MAYOR DE SAN SIMON FACULTAD DE CIENCIAS Y TECNOLOGIA
M1
Momento
R
Pa
2
M2
R2
a
x
L
Corte
V
R1
b
V
P
L
)(1 -L
a
L2
M1
Momento
2
L
2(1 - a
L )
Corte
V1
2
x
R1
2
q(L+a)
V3
M2
a
V2
R2
x1
)L2x11()Lx(
IE96
P
)
2
L
xcuando(f 2
x 


Viga Empotrada En Un Extremo Y Apoyada En El Otro – Carga Puntual En
Cualquier Punto
 L2a
L2
bP
VR 3
2
11 


 ;  22
322 aL3
L2
aP
VR 



aRcarga)depuntoel(EnM 11 
L)(a
L2
baP
empotrado)extremoelM2(En 2




xRa)x(CuandoM 1x 
a)(xPxRa)x(CuandoM 1x 
222
322
22
22
max
)aL(3
)a(L
IE3
aP
)
aL3
aL
LxenL0.414a(Cuandof








aL2
a
IE6
baP
)
aL2
a
Lxen0.414La(Cuandof
2
max







a)(3L
LIE12
baP
carga)depuntoel(Enf 3
32
a 



)ax2Lx(3aL
LIE12
xbP
a)x(Cuandof 222
3
2
x 



L)2axax(3Lx)(L
LIE12
aP
a)x(Cuandof 2222
3x 



Viga Apoyada Con Volado A Un Extremo-Carga Uniformemente Distribuida
)a(L
L2
q
VR 22
11 

 ; 2
322 a)(L
L2
q
VVR 


)a(L
L2
q
V 22
3 

 : aqV2 
xqRapoyos)(EntreV 1x 
)x(aqvolado)el(ParaV 11x 
22
22
2
1 a)(La)(L
8L
q
)
L
a
1
2
L
x(EnM 






2
aq
)R(EnM
2
22


L)xa(L
2L
xq
apoyos)(EntreM 22
x 


2
1x )x(a
2
q
volado)el(ParaM 1

)x2aL2aLxx2L(L
LIE24
xq
apoyos)(Entref 22223224
x 




Momento
Mmáx
x
L
Corte
V1
R1
a
x1
R2
q·a
V2
R1
V1
Momento
Mmáx
L
Corte
x
V2
x1
a
R2
P
)x4axx6aLL(4a
IE24
xq
volado)el(Paraf
3
1
2
11
2321
1x 



Viga Apoyada Con Volado A Un Extremo – Carga Uniforme Al Extremo Del
Volado
L2
aq
VR
2
11



a)L(2
L2
aq
VVR 212 



aqV2 
)x(aqvolado)el(ParaV 11x 
2
aq
)R(EnM
2
2max


2L
xaq
apoyos)(EntreM
2
x


2
1x )x(a
2
q
volado)el(ParaM 1

IE318
Laq
)
3
L
xenapoyos(Entref
22
max



a)3(4L
IE24
aq
a)xenvoladoel(Paraf
3
1max 



)x(L
LIE12
xaq
apoyos)(Entref 22
2
x 



)x4axx6aL(4a
IE24
xq
volado)el(Paraf
3
1
2
11
221
x 



Viga Apoyada Con Volado A Un Extremo-Carga Puntual Al Extremo del Volado
L
aP
VR 11

 ; a)(L
L
P
VVR 212 
PV2 
aP)R(EnM 2max 
L
xaP
apoyos)(EntreMx


)xP(avolado)el(ParaM 1x1

IE39
LaP
)
3
L
xenapoyos(Entref
2
max



a)(L
IE3
aP
a)xenvoladoel(Paraf
2
1max 




V2
x1
L
Mmax
a
Corte
V1
R1
Momento
b
R2
x P
L
b
M1
a
V2
M1
Mx1
V1
x
Momento
x1
Corte
R1
q·L
c
M2
V3
V4
R2
)x(L
LIE6
xaP
apoyos)(Entref 22
x 



)x3ax(2aL
IE6
xP
volado)el(Paraf
2
11
1
x 



Viga Apoyada Con Volado A Un Extremo – Carga Puntual en Cualquier Punto
Entre Apoyos
L
bP
b)acuando(maxVR 11


L
baP
carga)depuntoel(EnMmax


L
xbP
a)x(CuandoMx


LIE27
2b)(a3a2b)Pab(a
b)acuando
3
2b)a(a
x(Enfmax





LIE3
baP
carga)depuntoel(Enf
22
a



)xb(L
LIE6
xbP
a)x(Cuandof 222
x 



)axxL(2
LIE6
x)(aP
a)x(Cuandof 22
x 



L
a)(L
LIE6
xbaP
f 1
x1




Viga Con Volado En Ambos Extremos –Volados Diferentes - Carga Uniformemente
Distribuida
2c)(L
b2
Lq
R1 


 ; 2a)-(L
b2
Lq
R2



aqV1  ; 112 VRV 
423 VRV  : cqV4 
)xq(aRL)x(CuandoV 11x 
111x xq-Vvolado)el(ParaV 
cq-Rc)a(CuandoV 2m 
2
aq
-M
2
1

 ;
2
cq
M
2
2








 a
2q
R
RM 1
13
L
aP
b)acuandomax(VR 22



0.2113L
M1
x
L
V
L
2
R
Mmax
V
Momento
L
2
Corte
q
R
Mmax
L
2
L
4
Momento
Corte
L
2
V
Mmax
V
L
x
R
P
R
2
x)q(a
xRa)-
q
R
xcuando(maxM
2
1
1
x


Viga Empotrada En Ambos Extremos – Carga Uniformemente Distribuida
2
Lq
VR








 x
2
L
qVx
12
Lq
extremos)los(enM
2
max


24
Lq
centro)(AlM
2
1


 22
x 6xL6Lx
12
q
M 
IE
Lq



384
centro)fmax(Al
4
2
2
x x)(L
IE24
xq
f 



Viga Empotrada En Ambos Extremos – Carga Puntual En El Centro
2
P
VR 
8
LP
extremos)losenycentro(AlMmax


 L4x
8
P
)
2
L
xCuando(Mx 
IE
LP



192
centro)fmax(Al
3
x)4(3L
IE84
xP
)
2
L
xCuando(f
2
x 




M2
V2
R
Corte
M1
V1
Ma
Momento
a
L
x
R
b
P
Mmax
L
Momento
7L
16
V1
M1
Corte V2
L
x
R1
q·L
R2
V3
R3
Viga Empotrada En Ambos Extremos – Carga Puntual En Cualquier Punto
b)(3a
L
bP
b)acuando(maxVR 3
2
11 


b)3(a
L
aP
b)acuando(maxVR 3
2
22 


2
2
1
L
baP
b)acuando(maxM


2
2
2
L
baP
b)acuando(maxM


3
22
a
L
baP2
carga)depuntoel(EnM


2
2
1x
L
baP
xRa)x(CuandoM


2
23
max
b)(3aIE3
b2Pa
)
b3a
La2
en xba(Cuandof





3
33
a
LIE3
baP
carga)depuntoel(Enf



bx)3ax(3aL
LIE6
xbP
a)x(Cuandof 3
22
x 



Viga Continua – Dos Tramos Iguales – Carga Distribuida Uniformemente En Un
Tramo
Lq
16
7
VR 11 
Lq
8
5
VVR 322 
Lq
16
1
VR 33 
Lq
16
9
V2 
2
Lq
512
49
)
16
7
Mmax(En x  L

Mmax
Momento
L
2
L
V1
R1
Corte
M1
V2
V3
L
L
2
P
R2 R3
L
Momento
Mmax
V1
M1
V2 Corte
L
a
R1
b
R2
P
V3
R3
2
21 Lq
16
1
)Rapoyoel(EnM 
8x)(7L
16
xq
L)x(CuandoMx 


Viga Continua – Dos Tramos Iguales – Carga Puntual Al Centro De Un
Tramo
P
32
13
VR 11 
P
16
11
VVR 322 
P
32
3
VR 33 
P
32
19
V2 
LP
64
13
carga)depuntoelMmax(En 
LP
32
3
)Rapoyoel(EnM 21 
Viga Continua – Dos Tramos Iguales – Carga Puntual En Cualquier Punto De Un
Tramo
a))a(L(4L
L4
bP
VR 2
311 



a))b(L(2L
L2
aP
VVR 2
3322 



a)(L
L4
baP
VR 333 



a))b(L(4L
L4
aP
V 2
32 



a))(La(4L
L4
baP
carga)depuntoelMmax(En 2
3




a)(L
L4
baP
)Rapoyoel(EnM 221 




q·Lq·L
v3
M2
Momento
M1
V2
R2
L
Corte
V1
R1
V2
L
R3
V2
a
M2
Momento
a
V1
R1
P
a
M1
a
Corte
V2
V3
R2
P
R3
Viga Continua – Dos Tramos Iguales – Carga Uniformemente Distribuida
L q
8
3
VRVR 3311
Lq
8
10
R2 
Lq
8
5
VmaxV2 
8
Lq
M
2
1


128
Lq9
)
8
3L
(M
2
2

En
IE185
Lq
R3)yR1desde0.46L,(Enf
4
max



Viga Continua – Dos Tramos Iguales – Dos Cargas Puntuales Situadas Al Centro De
Cada Tramo
P
16
5
VRVR 3311
P
8
11
V2R 22 
P
16
11
R1PV2 
2max VV 
16
LP3
M1


32
LP5
M2


xRa)x(CuandoM 1x 

Mx1
x1
Momento
L1
Corte
V1
M1
L2
V3
V2
x2
Mx2
V4
R1
q·L2q·L1
R2 R3
Mm2
ba
Mm1
Momento
a
V1
M1
b
V2
V3
Corte
V4
R1
P
R2
P
R3
Viga Continua – Dos Tramos Diferentes – Carga Uniformemente Distribuida
2
Lq
L
M
R 1
1
1
1


31212 RRLqLqR 
2
Lq
L
M
VR 2
2
1
43


11 RV 
112 RLqV 
323 RLqV 
34 RV 
)L8(L
LqLq
M
21
3
1
3
2
1



2
xq
xR)
q
R
x(CuandoM
2
1
11
1
11x


2
xq
xR)
q
R
x(CuandoM
2
2
23
3
22x


Viga Continua – Dos Tramos Diferentes – Carga Puntual situada En El Centro De
Cada Tramo
2
P
L
M
R 1
1
1
1 
31212 RRPPR 
2
P
L
M
R 2
2
1
3 
11 RV 
112 RPV 
323 RPV 
34 RV 











21
2
22
2
11
1
LL
LPLP
16
3
M
aRM 1m1


bRM 3m2


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