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Geometría trilce

A
ANTONIOGUTIERREZROSE

1. Un ángulo es la figura geométrica determinada por la reunión de dos rayos que tienen el mismo origen pero no son alineados. Se clasifican los ángulos por su medida en agudos, rectos y obtusos. 2. Se definen conceptos como bisectriz, ángulos adyacentes, complementarios y suplementarios. 3. Se explican propiedades de ángulos comprendidos entre rectas paralelas como ángulos correspondientes, alternos internos y conjugados.

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TRILCE 9 Capítulo ÁNGULOS 1 Definición : Es la figura geométrica determinada por la reunión de dos rayos no alineados que tienen el mismo origen. º O A B Elementos 1. Vértice : O 2. Lados : OA y OB Notación : * Ángulo AOB : )  AOB, B Ô A * Medida del ángulo AOB : m )  AOB = . Región Interior de un ángulo Región Exterior de un ángulo Clasificación de los Ángulos por su Medida : º 0º < < 90º º * Ángulo Agudo º  = 90º º * Ángulo Recto º * Ángulo Obtuso 90º < < 180º º Bisectriz de un ángulo : º O A B º bisectriz º º N M L bisectriz
10 Geometría Ángulos Adyacentes : Ángulos Consecutivos : º º aº bº cº dº º º º º     º+ º+ º+ º = 180º Observaciones : º º º º º      º+ º+ º+ º+ º = 360º Ángulos Complementarios aº bº aº + bº = 90º Ángulos Suplementarios   º + º = 180º º º Ángulos Adyacentes Suplementarios : A C B O Los ángulos AOB y BOC también se les denomina par lineal. A C B O Las bisectrices de todo par lineal son perpendiculares.    
TRILCE 11 Ángulos Opuestos por el vértice º º º º Observaciones : Es necesario recordar los siguientes ángulos comprendidos entre rectas paralelas. º º º º º º   º = º   º = º   º + º = 180º * Alternos Internos * Correspondientes * Conjugados L1 L2    a b c * Si : L1 // L2 L1 L2 aº bº * Si : L1 // L2 xº    º+ º+ º+ = aº+bº+cº xº = aº + bº
12 Geometría 01. Si: OM es bisectriz del ángulo AOB, calcule "xº". 7xº-10º 5xº+40º A M B O 02. Calcule "xº". 4xº+20º 3xº+50º 03. Calcule : º 2       . 3 º  120º 2 º  3 º  04. Calcule "xº", si : L // L 1 2 . L1 L2 3xº 2xº 80º 05. Si : L // L 1 2 , calcule "xº". L1 L2 4xº 80º 60º 3xº 06. Si : L // L 1 2 , calcule "xº". L1 L2 60º xº xº xº Test de aprendizaje preliminar
TRILCE 13 07. En el gráfico, las medidas de los ángulos AOB y BOC son suplementarios y la m )  AOC = 80°. Calcule la m )  AOB. B C A O 80º 08. Si : L // L 1 2 , calcule : º º º º        . L1 L2     100º º º º º 09. Si : L // L 1 2 , calcule "xº". L1 L2 60º 100º xº 10. Calcule "xº". 100º 3xº xº Practiquemos : 11. Se tienen los ángulos AOB y BOC consecutivos y miden 20° y 30° respectivamente. Calcule la medida del ángulo que forman sus bisectrices. 12. El doble del complemento de la medida de un ángulo es 120°. ¿Cuánto mide el ángulo? 13. Si un ángulo es el doble de su suplemento, ¿Cuánto mide el ángulo?
14 Geometría 14. La diferencia de la medida de dos ángulos consecutivos AOB y BOC es 80°. Calcule la m )  DOB, si : OD es bisectriz del ángulo AOC. 15. ¿Cuánto mide el ángulo formado por las bisectrices de dos ángulos adyacentes y complementarios? 16. Si al complemento de un ángulo se le disminuye 10°, éste resulta ser el suplemento del triple del ángulo. Calcule el complemento de la mitad del ángulo. 17. Se tienen los ángulos consecutivos AOB, BOC y COD, tal que los ángulos AOC y AOB son complementarios; m )  AOD + m )  AOB = 120°. Calcule la m )  DOC. 18. El doble de la medida un ángulo es mayor que otro en 30°. Si los ángulos son conjugados internos comprendidos entre rectas paralelas, ¿En cuánto se diferencian las medidas de estos ángulos? 19. Se tiene los ángulos consecutivos AOB; BOC y COD, tal que : m )  AOD = 148° y m )  BOC = 36°. Calcule la medida del ángulo formado por las bisectrices de los ángulos AOB y COD. 20. Se trazan los rayos coplanares y consecutivos OA , OB , OC y OD , determinándose los ángulos consecutivos AOB, BOC, COD y DOA que miden 90°,   7 ,   10 y 100°. Calcule el complemento de   . Problemas propuestos 21. Si : L // L 1 2 , calcule "xº". L1 L2 160º xº+aº 40º 3xº 20+aº a) 18° b) 16° c) 15° d) 10° e) 25° 22. Si : L // L 1 2 , calcule   . L1 L2   º º º+100º 130º   º º a) 10° b) 15° c) 25° d) 20° e) 30°
TRILCE 15 23. Si la sexta parte del suplemento del complemento de un ángulo es igual a 1/3 de 9° menos que su complemento, calcule la medida del ángulo. a) 32° b) 16° c) 48° d) 24° e) 30° 24. Un ángulo mide los 2/3 de un ángulo recto y otro ángulo los 4/5 de un ángulo recto, calcule el complemento de su diferencia. a) 30° b) 78° c) 18° d) 48° e) 60° 25. Calcule : "xº", si : 2 1 L // L . L1 L2 xº 2xº 2xº a) 80° b) 18° c) 70° d) 20° e) 75° 26. Si : L // L 1 2 , calcule "xº". L1 L2 xº  2º 2º º º a) 90° b) 70° c) 60° d) 40° e) 30° 27. Si : L // L 1 2 , calcule "xº". L1 L2 xº 120º a) 10° b) 20° c) 25° d) 30° e) 45° 28. Si : L // L 1 2 , calcule "xº". L1 L2  5º º 4º 3  º 2º º º º xº º a) 154° b) 115° c) 130° d) 144° e) 120° 29. En el gráfico, calcule "xº", siendo : L // L 1 2 . L1 L2 º º º º 4x 3xº xº º a) 35° b) 20° c) 30° d) 45° e) 37° 30. Calcule "xº", si : L // L 1 2 . L1 L2 º º º 3xº 2xº º a) 18° b) 9° c) 27° d) 30° e) 20° 31. Si : L // L 1 2 , calcule "xº". L2 x 6x x º º º a) 15° b) 10° c) 12,5° d) 22° e) 22°30'
16 Geometría 32. Si : L // L 1 2 , calcule : a° + b° + c° + d° + e°. L1 L2 aº dº bº eº cº a) 180° b) 520° c) 480° d) 360° e) 720° 33. Si : L // L 1 2 , calcule "xº". L1 L2 34º 48º   xº a) 34° b) 48° c) 82° d) 98° e) 49° 34. El doble del complemento de un ángulo sumado con el suplemento de otro ángulo es igual al suplemento del primer ángulo. Calcule la suma de las medidas de dichos ángulos. a) 100° b) 45° c) 90° d) 180° e) 160º 35. El doble del complemento de un ángulo aumentado en el triple del suplemento del doble de dicho ángulo nos da 480°. Calcule el suplemento de la medida de dicho ángulo. a) 30° b) 60° c) 120° d) 150° e) 135° 36. La diferencia de las medidas de dos ángulos es 40° y el triple del suplemento del ángulo doble del primero es igual al duplo del complemento del suplemento del ángulo triple del segundo. Calcule la medida de dichos ángulos. a) 60° y 60° b) 30° y 90° c) 45° y 75° d) 70° y 50° e) 40° y 80° 37. Si : L // L 1 2 , calcule el máximo valor entero de "xº", siendo el ángulo CAB agudo. L1 L2 3x 2x A B C º a) 18° b) 17° c) 16° d) 15° e) 12° 38. Dados los rayos consecutivos : OA1 , OA 2 , OA 3 , .... OAn , contenidos en un mismo plano, donde "n" ángulos consecutivos y la suma de 2 ángulos consecutivos es siempre agudo. Calcule el menor valor entero que puede tener "n"? a) 6 b) 7 c) 8 d)9 e) 10 39. Si : DC // AB , 2 3 DCQ ) m BAQ ) m    y m )  AQC = 100°, calcule el complemento del ángulo DCQ. B D A Q C a) 20° b) 60° c) 50° d) 70° e) 80° 40. Calcule "xº", siendo : L // L 1 2 . L1 L2     xº a) 60° b) 75° c) 105° d) 135° e) 140°
TRILCE 17 41. Calcule "xº", si : aº + bº = 50° y L // L 1 2 . L1 L2 120º x 80º b a º º º a) 40° b) 50° c) 70° d) 60° e) 65° 42. En el gráfico, el rayo OP es bisecriz del ángulo AOD, siendo : m )  POC - m )  BOP = 20°. Calcule m )  AOB - m )  COD. O D A B P C a) 22° b) 40° c) 25° d) 10° e) 20° 43. En el gráfico, calcule el máximo valor entero de "yº". xº- 2yº 3yº+ xº a) 50° b) 35° c) 41° d) 40° e) 52° 44. Si : L // L 1 2 y n //m, calcule "xº". m 39º x 4x 54º C L1 L2 n a) 20° b) 30° c) 33° d) 35° e) 40° 45. En el gráfico :      78 º º y L // L 1 2 , calcule "xº".   xº L1 L2 º º º º a) 76° b) 78° c) 70° d) 90° e) 82° 46. En el gráfico, calcule el mínimo valor entero de "xº".   xº   a) 46° b) 48° c) 54° d) 56° e) 63° 47. Si : L // L 1 2 , calcule "xº". L1 L2    x 2      3   º a) 143° b) 127° c) 150° d) 135° e) 165° 48. Si : L // L 1 2 , calcule "xº". Si :      220 º º . L1 L2 º  º  xº 3   3 a) 10° b) 20° c) 30° d) 40° e) 50°
18 Geometría 49. Si : L // L 1 2 y      110 º º , calcule "xº". L1 L2   xº º  º a) 35° b) 45° c) 40° d) 30° e) 25° 50. Calcule la razón aritmética del máximo y mínimo valor entero que puede tomar "xº", si " " es la medida de un ángulo agudo, en el gráfico L // L 1 2 . L1 L2  xº 83º a) 90° b) 85° c) 87° d) 88° e) 86° 51. Del gráfico, calcule el valor de la razón aritmética entre x e y, cuando "xº" toma su mínimo valor entero. xº-yº 2yº+xº 5xº a) 8° b) 3° c) 4° d) 5° e) 6° 52. Si un ángulo mide 180° es dividido en "n" ángulos consecutivos y congruentes : 1  , 2  , 3  , .... n  , calcule la medida del ángulo que forman las bisectrices de 5  y 8  , sabiendo que las bisectrices de 3  y 2 n  son perpendiculares. a) 44° b) 45° c) 48° d) 52° e) 54° 53. Sean : AOB, BOC, COD, DOE y EOF ángulos consecutivos tales que : m )  AOF = 154° y m )  AOD = m )  BOE = m )  COF. . Calcule la m )  BOC, si la medida del ángulo formado por la bisectriz del ángulo COD y el rayo OE es igual a 54°. a) 23° b) 28° c) 63° d) 36° e) 75° 54. Del gráfico, calcule el máximo valor entero impar de "xº", si "  " es la medida de un ángulo agudo. . x  x º a) 100° b) 120° c) 130° d) 133° d) 145° 55. Del gráfico, calcule el valor de " " cuando "x" toma su mínimo valor entero par. Si : L // L 1 2 . L1 L2  x x x- º º a) 34° b) 32° c) 28° d) 29° e) 30° 56. Según el gráfico, calcule "xº", si : L // L 1 2 . x L1 L2   121º 44º a) 66° b) 85° c) 77° d) 70° e) 80° 57. Calcule "xº", si : L // L 1 2 L3 // y a° - b° = 36°.   aº xº bº º º L1 L2 L3 a) 54° b) 72° c) 36° d) 63° e) 52°
TRILCE 19 58. Si el suplemento del complemento de la mitad del mayor ángulo que forman la bisectriz del ángulo adyacente a un ángulo " " y el lado no común es 140°, calcule " " . a) 10° b) 12° c) 15° d) 20° e) 30° 59. En el gráfico : L // L 1 2 , L // L 3 4 , L // L 5 6 , calcule : xº+yº. L2 L1 L3 x 110º 55º y L5 L4 L6 a) 170° b) 180° c) 210° d) 235° e) 245° 60. En el gráfico, calcule ) x (  , cuando "x" sea máximo. . Siendo :    ) a a 6 ( x 2 . x  a) 0° b) 39° c) 35° d) 36° e) 30°
20 Geometría Claves Claves 21. 22. 23. 24. 25. 26. 27. 28. 29. 30. 31. 32. 33. 34. 35. 36. 37. 38. 39. 40. d e d b b c d d b c e e d d a e c d c d 41. 42. 43. 44. 45. 46. 47. 48. 49. 50. 51. 52. 53. 54. 55. 56. 57. 58. 59. 60. c d b c b a d c a d c e a d d c d d d b
21 TRILCE Definición : A E B F C H Elementos 1. Vértices : A, B, C 2. Lados : AB, BC y AC 3. Ángulos Interiores : < ) A, B, C < ) < ) Exteriores : EAB, FBC, BCH < ) < ) < ) Notación : ABC  , ABC T , etc. Se denomina región triangular a la reunión de los puntos interiores con el conjunto de puntos de sus lados. * Observaciones : Capítulo TRIÁNGULOS 2 Propiedades Básicas 1. Aº Bº Cº Aº + Bº + Cº = 180º 2. eº 2 eº 3 eº 1 eº + eº + eº = 360º 1 2 3
22 Geometría 3.    yº xº zº xº = º + º yº = º + º zº = º + º       4. b c a b - c < a < b + c 5. xº º º º xº = º + º + º    Líneas Notables en el Triángulo 1. Mediana A B C M BM : mediana b b 2. Bisectriz A B C I BI : bisectriz interior º º A B C L L : bisectriz exterior  
23 TRILCE 3. Altura A B C BH : altura H A B C AF : altura F 4. Mediatriz A B C L L : mediatriz de AC b b * Ceviana A B C F BF : ceviana interior A B C E BE : es ceviana exterior Relaciones Angulares 1. Bº xº 2 B 90 x          2.    Bº 2 B 90 x       xº
24 Geometría 3.     Bº xº 2 B x    4. xº A B C  H I 2 x    BH : altura BI : bisectriz       
25 TRILCE 01. En el gráfico, el triángulo ABC es equilátero, calcule "xº". 80º xº A B C 02. En el gráfico, calcule "xº". 130º 4x 3x-10 03. En el gráfico, calcule "xº".   xº   150º 04. En el gráfico, calcule ) º º (    . 120º 100º   º º 05. En el gráfico, calcule "xº", si : AB = BQ = QF = FC. xº A B Q C F 06. En el gráfico, calcule "xº".   100º xº   Test de aprendizaje preliminar
26 Geometría 07. En el gráfico, AB = DC, calcule " º " .  º A B C º º 5 D 3 º 08. En el gráfico mostrado, ¿cuál de los segmentos es el de menor longitud? 60º 61º 59º 6 3 º B C D E F A 60º 60º 61º 61º 09. Calcule "xº".     xº 60º 10. Calcule la m )  BDC.    B C D A 60º  Practiquemos : 11. Calcule el ángulo que forman las perpendiculares trazadas desde el vértice B de un triángulo ABC a las bisectrices interiores de los ángulos A y C, si : m )  B = 110°. 12. Las medidas de los ángulos internos de un triángulo están en progresión aritmética cuya razón es 10. Calcule la medida de cada ángulo. 13. En un triángulo ABC (m )  B>90°), se sabe que : BC = 2 cm y AC = 5 cm. Calcule el valor o valores enteros que puede adoptar AB.
27 TRILCE 14. En un triángulo acutángulo, dos de sus lados suman 30u. Calcule el mayor valor entero que puede tomar la altura relativa al tercer lado. 15. Los lados de un triángulo isósceles miden 5 u y 13 u. Calcule su perímetro. 16. En un triángulo ABC, m )  A = 2(m )  C), la bisectriz interior BD prolongada intersecta en "E" a la bisectriz exterior del ángulo C. Si : DE = 8u. Calcule CE. 17. En un triángulo ABC, la medida del ángulo formado por la bisectriz interior del ángulo A, y la bisectriz exterior del ángulo C es siete veces la medida del ángulo B. Calcule la medida del ángulo B. 18. Los catetos de un triángulo rectángulo ABC, miden : AB = 16 u, BC = 30 u, se traza la altura BH y las bisectrices BP , y BQ de los ángulos ABH y HBC respectivamente. Calcule PQ. 19. En un triángulo ABC, la suma de las medidas de los ángulos B y C es 105°. Si la medida del ángulo A excede a la medida del ángulo B en 4°. Calcule la medida del ángulo C. 20. En el gráfico, NM = NC y CB es bisectriz del ángulo ACN. Calcule la m )  BAC. B A C 40º N M Problemas propuestos 21. Las medidas de los ángulos internos de un triángulo son proporcionales a los números 3, 4 y 5. Calcule la medida de cada ángulo. a) 60°, 80° y 100° b) 40°, 60° y 80° c) 30°, 40° y 50° d) 45°, 60° y 75° e) 36°, 48° y 60° 22. Calcule la medida del ángulo formado por la altura y la bisectriz que parten del vértice A de un triángulo ABC. Sabiendo que : m )  A + 2(m )  C) = 100°. a) 20° b) 30° c) 40° d) 50° e) 60° 23. Los catetos de un triángulo rectángulo ABC miden AB = 8 u; BC = 15 u. Se traza la altura BH y las bisectrices BP y BQ de los ángulos ABH y HBC respectivamente. Calcule PQ. a) 2 u b) 4 u c) 5 u d) 6 u e) 3 u
28 Geometría 24. En el gráfico, calcule "xº", si : AD y BC son bisectrices de los ángulos A y C respectivamente. B A D C xº 60º 20º a) 130° b) 100° c) 120° d) 70° e) 110° 25. Calcule la medida de los ángulos de un triángulo ABC, si: 3(m )  B) = 2(m )  A) y 3(m )  C) = 7(m )  A). a) 20°, 30°, 130° b) 45°, 30°, 105° c) 48°, 32°, 100° d) 51°, 34°, 195° e) 60°, 40°, 80° 26. Dado el triángulo ABC; si por el vértice C se traza CH perpendicular a AB y también la bisectriz exterior del ángulo C y la diferencia de las medidas de los ángulos A y B es 26°. Calcule la medida del ángulo que forma la bisectriz y la perpendicular. a) 110° b) 123° c) 103° d) 77° e) 96° 27. En el triángulo ABC, AD es la altura correspondiente al lado BC y BE es la bisectriz del ángulo B, las cuales se cortan en F. Si : m )  A = 64° y m )  C = 42°. Calcule la medida del ángulo AFB. a) 127° b) 150° c) 170° d) 132° e) 130° 28. Calcule "x°". 80º     xº A B C a) 140° b) 130° c) 120° d) 110° e) 125° 29. Sobre el lado BC de un triángulo ABC, se ubica el punto "D", tal que la medida del ángulo ADC es igual a la semisuma de los ángulos interiores de A y B. Calcule BD, si además : AC = 12 u y BC = 16 u. a) 14 u b) 10 u c) 8 u d) 4 u e) 6 u 30. Calcule "xº".   xº  130º  a) 15° b) 20° c) 25° d) 30° e) 50° 31. En el gráfico, calcule "xº".    xº xº  a) 12° b) 18° c) 24° d) 36° e) 60° 32. En un triángulo ABC, m )  A = 2m )  C, AB = 4 u. Calcule el máximo y mínimo valor entero que puede tomar el lado BC . a) 8 u y 7 u b) 5 u y 4 u c) 5 u y 2 u d) 7u y 6 u e) 5 u y 3 u 33. Si dos lados de un triángulo son 15 u y 18 u, el tercer lado puede ser : a) 1 u b) 2 u c) 12 u d) 35 u e) 3 u 34. El ángulo CAD es igual a tres veces el ángulo CAB y el ángulo BCA es mayor al ángulo CBA. El mayor lado del triángulo ABC es : C D B A a) BC b) AB c) AC d) Puede ser AC o BC dependiendo de la forma del triángulo. e) No se puede determinar los datos.
29 TRILCE 35. Calcule " º " .    60º 50º   a) 110° b) 110° c) 90° d) 55° e) 60° 36. Calcule : º º º      . º º 70º º a) 70° b) 100° c) 110° d) 140° e) 130° 37. En el triángulo ABC, m )  A = 80°, m )  B = 60°. Si : AN y BM son alturas, calcule : "xº". B A C N M xº a) 40° b) 140° b) 120° d) 50° e) 60° 38. Calcule el número de triángulos escalenos que tienen todos los lados enteros y de perímetro 22 cm. a) 5 b) 6 c) 4 c) 7 e) 8 39. En el gráfico, calcule la suma de las medidas de los ángulos señalados.       a) 405° b) 180° c) 390° d) 450° e) 360° 40. En un triángulo ABC, se traza la ceviana BT , si : AB = AT, BC = AC. Calcule el máximo valor entero de la m )  CBT. . a) 36° b) 35° c) 30° d) 45° e) 44° 41. En el gráfico, el triángulo ABC es equilátero. Calcule "xº".  xº 70º  B A C a) 10° b) 45° c) 36° d) 72° e) 30° 42. En el gráfico, AB = BC, DE BC  y el ángulo BEC mide 35°. Calcule " º " . º D C E A B a) 32° 30' b) 30° 30' c) 27° 30' d) 20° 15' e) 20° 5' 43. Sea el triángulo ABC en el cual se cumple que : m )  ABC = 64°, m )  ACB = 72° y BM y CP bisectrices de los ángulo ABC y ACB respectivamente; dichas bisectrices se intersectan en el punto I (incentro). Además, se traza la altura BH . Calcule la medida de los ángulos BIC y MBH. a) 112° y 16° b) 120° y 12° c) 11° y 14° d) 110° y 12° e) 112° y 14°
30 Geometría 44. En el gráfico, BH es altura del triángulo ABC y BD es bisectriz del ángulo ABC. Calcule "xº". B A C   xº D H 3 a)  2 b)  c) 2 /  d) 3 / 2 e) 3 /  45. En el gráfico, calcule el máximo valor entero de   . Si : x° + y° + z° > 300°. º 2 º  3 º  yº zº xº 6 º  a) 22° b) 23° c) 24° d) 25° e) 26° 46. En el gráfico, las medidas de los ángulos interiores del triángulo ABC están dadas en grados sexagesimales. Calcule el menor valor entero (en grados sexagesimales) que puede tomar "bº". B A C 2bº-aº a -b º º a +b º º a) 45° b) 46° c) 40° d) 35° e) 36° 47. Calcule "xº".    xº  4xº a) 18° b) 20° c) 22° d) 25° e) 30° 48. En el gráfico, calcule "xº". º º xº º 3 3º xº a) 60° b) 45° c) 36° d) 72° e) 30° 49. En el gráfico, calcule "xº". Si :        50 b a .       xº a b a) 62° b) 66° c) 63° d) 64° e) 65° 50. En el gráfico : x+y+z = 240° y a+b+c = 170°. Calcule : º º º      . º º º c x z a b y a) 60° b) 80° c) 100° d) 140° e) 50° 51. La bisectriz de uno de los ángulos de un triángulo escaleno, forma con el lado opuesto dos ángulos que son entre sí como 7 es a 13. Calcule el menor de los ángulos del triángulo asumiendo que la medida que la medida en grados de cada uno de los tres ángulos es un número entero menor que 80º. a) 24º b) 25º c) 26º d) 27º e) 28º
31 TRILCE 52. Calcule "xº", si ; AM = NC. B M C A N 60º 20º xº 80º a) 40° b) 60° c) 80° d) 90° e) 70° 53. En el gráfico, calcule "x° ".   2 2     xº 60º a) 45° b) 60° c) 30° d) 90° e) 75° 54. En el gráfico, calcule "xº". º º º º xº º º º 40º º a) 115° b) 125° c) 135° d) 14° e) 140° 55. Dado un triángulo ABC equilátero, se ubica el punto D exterior al triángulo, tal que el segmento BD intersecta al lado AC . Si m )  ADC > 90°, AD = 8u y CD = 15u. Calcule el menor perímetro entero del triángulo ABC. a) 52 u b) 24 u c) 22 u d) 46 u e) 48 u 56. En el gráfico, calcule "xº", AB = BC, EF = FD. 58º 94º F C D B E A xº a) 20° b) 15° c) 30° d) 18° e) 25° 57. En el gráfico : PA = 2 u y BR - RC = 3 u. Calcule PQ.  A B R C P Q 2   3  a) 6 u b) 5 u c) 4 u d) 3 u e) 7 u 58. En un triángulo ABC, se traza la bisectriz interior BM , si : m )  ACB =  º, º º CAB ) m      y la medida del ángulo exterior del ángulo A es " " , donde : AB = 8u, MC =3u. Calcule BC. a) 10 u b) 11 u c) 12 u d) 13 u e) 14 u 59. En un triángulo ABC se traza la ceviana BP , si : AB = PC. m )  BAC = 10  º, m )  BCA = 2  º. m )  CBP =  º. Calcule "  º". a) 5º b) 8º c) 9º d) 10º e) 12º 60. En un triángulo ABC, se traza la ceviana BT , si : BC = AT y m )  BAC = 60º - 2xº ; m )  CBT = xº, m )  BCA = 2xº. Calcule la m )  CBT. . a) 5º b) 8º c) 10º d) 12º e) 15º
32 Geometría Claves Claves 21. 22. 23. 24. 25. 26. 27. 28. 29. 30. 31. 32. 33. 34. 35. 36. 37. 38. 39. 40. d c a d b c c a a c d c d e b d a a d c 41. 42. 43. 44. 45. 46. 47. 48. 49. 50. 51. 52. 53. 54. 55. 56. 57. 58. 59. 60. a a e b c b b d e e b c b b a d b b d c
TRILCE 33 Definición : Dos segmentos, dos ángulos o dos figuras geométricas en general, serán congruentes si tiene la misma forma y el mismo tamaño. Para la congruencia de dos triángulos, se postulan los siguientes casos : Postulado (LAL)    Postulado (ALA)      Postulado (LLL)  Postulado (LLA)    Capítulo CONGRUENCIA DE TRIÁNGULOS 3 Propiedad de la Bisectriz  O F E H  OH OF EH EF   Propiedad de la Mediatriz A P B b b PA = PB El  APB es isósceles. Teorema de la Base Media B A C N M MN : base media MN // AC 2 AC MN  c a c a
34 Geometría Teorema de la Menor Mediana en el Triángulo Rectángulo B A C M 2 AC BM  b b b En el Triángulo Isósceles * B A C E G H F Si : AB = BC AH = EF + EG * B A S C P H Q Si : AB = BC CH = PQ - PS TRIÁNGULOS NOTABLES * De 30° y 60° 60º 30º 2a a 3 a * De 45° y 45° b 2 b 45º 45º b * De 37° y 53° 53º 37º 3k 5k 4k * De 2 53 53º/2 n 2n * De 2 37 37º/2 l l 3 * De 15° y 75° 15º 75º h a 4 a h  * De 30° y 75° 30º 75º h b 2 b h 
TRILCE 35 01. En el gráfico, calcule AB, si : BC = 15 u. B A C 45º 37º 02. En el gráfico, calcule "x". x 10 u 45º 37º 03. En el gráfico, ED = 12u. Calcule AC. B A C E D 30º 15º 04. En el gráfico, calcule "xº". 2BP = PC. B A C   P x 05. En el gráfico, PM es mediatriz de AC . Calcule AB. Si : PC = 8 m. M B A C  2 P 06. En un triángulo ABC, se ubican los puntos medios M y N de AB y BC respectivamente. El segmento que une los puntos medios de MC y NA mide 2u. Calcule AC. Test de aprendizaje preliminar
36 Geometría 07. En el gráfico, calcule QN, si : AC = 10 u y MQ = 4u , AM = MB, BN = NC. B A C M N Q 08. En el gráfico, calcule PH, si : BH = 36 u. (AP = PM) y (BM = MC). A B H C M P 09. Calcule "xº". x 5 u 6 u 5 u º 10. En el gráfico, calcule PQ, si : AB = 6 u y AC = 8 u, BQ = QC. B A C Q   P Practiquemos : 11. En el gráfico : AC = 16 m. Calcule AP . (AB = PC). B C A P   2 5 12. En el gráfico : AB = BC, BM = 1 u, calcule AD. 45º B C D A M
TRILCE 37 13. En el gráfico, calcule : "xº", si los triángulos ABR y PBC son equiláteros. B C A R x P 14. En el gráfico, calcule el perímetro del triángulo. 12 m 10 m 60º 15. En el gráfico, calcule MN, si : AH = 5 u, BH = 12 u.  A B H C  N M 16. En un triángulo ABC, la medida del )  ABC es igual a 128°. Las mediatrices de AB y BC cortan a AC en los puntos R y S, respectivamente. Luego, la suma de las medidas de los ángulos ABR y SBC es : 17. En el gráfico, BM = MC. Calcule "xº". A C B M 30º 15º x 18. En el gráfico, calcule "xº". BP = PC y AM = MP . B A C   P x Q M 18 u 19. En el gráfico : AH = 2 u y HC = 8 u. Calcule AB. 2  A B H C
38 Geometría 20. En el gráfico, AM y CN son bisectrices exteriores del A y C, AB = 6 u, BC = 12 u, AC = 16 u. Calcule MN. A C M N B Problemas propuestos 21. Calcule BD, si : CD = 8 u.   A B C D a) 8 u b) 4 u c) 16 u d) 2 u e) 12 u 22. En el gráfico, AM = MC. Calcule 3 º  .  2 45º B C A M a) 10° b) 12° c) 5° d) 15° e) 18° 23. En el gráfico, BC = 18 u, AC = 6 u y "M" es el punto medio de AB. Calcule MQ.   Q B M A C a) 10 u b) 12 u c) 13 u d) 14 u e) 15 u 24. En el gráfico, calcule BC, si : HM = 6 u.   A B H C M a) 9 u b) 12 u c) 15 u d) 18 u e) 24 u 25. En el gráfico, AB = BC. Calcule QC, si : AQ = 8 u; PC = 2 u.     A B Q C P a) 4 u b) 8 u c) 3 u d) 6 u e) 12 u 26. En el gráfico, calcule la m )  ABM. Si : AM = MC. A B C 53º 2 37º 2 M a) 37° b) 53° c) 45° d) 60° e) 90°
TRILCE 39 27. Sea ABC un triángulo escaleno. La mediatriz de BC corta a AC en "F" y se cumple que: AB = AF = FC. Calcule la m )  ACB. a) 53° b) 15° c) 30° d) 37° e) 60° 28. En el gráfico, calcule "xº", si : BC = MC. x  M B A C   2 º a) 20° b) 25° c) 30° d) 45° e) 37° 29. En el gráfico, calcule " º " . 30º  2 0 º 70º 10º º a) 9° b) 10° c) 15° d) 22,5° e) 30° 30. Se ubica un punto P en el interior de un triángulo ABC, tal que : AP = AB = BC, si : m )  ACP = 30°, m )  CAP = 10°. Calcule la m )  BAP . . a) 20° b) 40° c) 30° d) 10° e) 15° 31. En el gráfico, calcule : "xº", si : AD = DC. A B C D 45º xº xº a) 15° b) 20° c) 25° d) 30° e) 35° 32. En el gráfico, calcule "xº", si : AD = DC. A B C D 30º 105º xº a) 10° b) 12° c) 15° d) 20° e) 30° 33. En el gráfico, calcule "xº", si : AB = AD + DC. xº 2xº xº B A C D a) 10° b) 12° c) 15° d) 18° e) 36° 34. En un triángulo ABC se traza la ceviana BD , tal que : CD AB  y D está en el lado AC . Además : m )  ABD = 60° y m )  BAC = 20°. Calcule la m )  BCA. a) 15° b) 30° c) 25° d) 22° 30' e) 20° 35. En el gráfico, calcule AE. Si : BC = 36 u y EC = 24 u. AB = AC.   2  B E A C a) 61 u b) 62 u c) 64 u d) 66 u e) 60 u 36. En el gráfico, AT = 5 u, BC = 10 u. Si : AM = MC. Calcule TB.   B C L T M A
40 Geometría a) 11 u b) 12 u c) 13 u d) 14 u e) 15 u 37. En el gráfico mostrado, AB = CD. Calcule : "xº". xº A B C 2xº D a) 9° b) 12° c) 18° 30' d) 14° e) 21° 30' 38. En el gráfico, calcule : " º " . AB = PQ y AQ = QC. º 6º 2º B P A C Q a) 10° b) 18° c) 20° d) 30° e) 15° 39. En el gráfico, ABC es un triángulo isósceles (AB = BC). AC // PQ ; PE = 3u; PF = 5u y NQ = 7 u. Calcule QD. B D E P F Q A C N a) 12 u b) 13 u c) 14 u d) 15 u e) 16 u 40. En el gráfico mostrado, AB = CD. Calcule "x". A B C D x 90º-2x 2x a) 8° b) 10° c) 12° d) 15° e) 18° 41. En el gráfico, calcule : "xº". Si : AB = BC. 2xº xº 90+2xº B A C a) 22° 30' b) 20° 30' c) 18° 20' d) 18° 30' e) 20° 18' 42. En el gráfico mostrado : DE = 18 u, FC = 24 u, GC = 16 u. Calcule MN, si : M y N puntos medios de EF y DG , respectivamente. B E F M D N A G C 53º a) 16 u b) 15 u c) 12 u d) 17 u e) 18 u 43. En el gráfico, calcule "xº". Si : AB = BR = MC y AM = MC. 2xº xº B R C A M a) 5° b) 10° c) 12° d) 15° e) 18° 44. En el gráfico, calcule "xº", si : AD = DC. A B C D 2xº xº 30º a) 30° b) 10° c) 15° d) 18° e) 20° jhsf
TRILCE 41 45. En el gráfico, calcule "xº". Si : BP = AC y AD = DP .  xº  2 B C D A P a) 90° b) 60° c) 45° d) 120° e) 150° 46. En el gráfico, calcule " º " . º º º 3º 2º a) 8° b) 10° c) 15° d) 18° e) 20° 47. En el gráfico, calcule " º " . 3º 5º 2º 5º 3º a) 9° b) 12° c) 10° d) 15° e) 18° 48. En el gráfico, calcule "xº", si : AB = CD. xº xº 30º B C A D a) 9° b) 10° c) 12° d) 15° e) 18° 49. En el gráfico mostrado, AB = CD. Calcule " º  ". A B C D 90º- º 4º º a) 10° b) 12° c) 15° d) 20° e) 25° 50. En un triángulo ABC, se traza la ceviana BF , si : AB = FC, m )  BAC = 30°, m )  FBC = 45°. Calcule m )  BCA. a) 12º b) 15º c) 20º d) 30º e) 22º 30' 51. En el gráfico mostrado, calcule "xº". 10º 100º 10º 20º xº a) 5° b) 8° c) 10° d) 12° e) 15° 52. En el gráfico, calcule "xº", si : AD = BC. 2xº 3xº 6xº A B C D a) 10° b) 12° c) 20° d) 15° e) 18° 53. En el gráfico, calcule "xº", si : AD = BC. A B C D 30º-xº 30º+x 30º a) 12° b) 15° c) 10° d) 18° e) 20°
42 Geometría 54. En el gráfico : BC = AD, calcule " º " . 2º º 2º 3º B C A D a) 10° b) 12° c) 15° d) 18° e) 20° 55. En el gráfico, calcule "x", si : AB = DC. A B C D 2x 60º+x x a) 10° b) 15° c) 20° d) 45°/2 e) 15°/2 56. En el gráfico, calcule "xº". Si : AQ = QC = BC. 2xº xº B A C Q a) 10° b) 15° c) 18° d) 30° e) 22° 30' 57. Si : M, N y P puntos medios de BC , AB y AC respectivamente. Calcule "xº", si además : BE = 2u y BD = 4u. xº 2  2  C A P M E D B N a) 30° b) 35° c) 31° d) 36° e) 37° 58. Calcule "xº", en función de : " " . Si : AM = MC. 2 2 30º 4 5 º +  x B A C M a)  2 b)  c)    15 c)    30 e)    60 59. En el gráfico, calcule "xº", si : AB = DC. A B C D xº 18º 48º a) 10° b) 12° c) 15° d) 18° e) 20° 60. En el gráfico, calcule : "xº", si : AD = BC. A B C D 30º xº 12º a) 5° b) 6° c) 9° d) 10° e) 12°
TRILCE 43 Claves Claves 21. 22. 23. 24. 25. 26. 27. 28. 29. 30. 31. 32. 33. 34. 35. 36. 37. 38. 39. 40. a c b b d e c c b b d e e e e e c e d b 41. 42. 43. 44. 45. 46. 47. 48. 49. 50. 51. 52. 53. 54. 55. 56. 57. 58. 59. 60. a d b c b c c e d e c d b c d d c c b b
TRILCE 45 Capítulo POLÍGONOS 4 Definición : Sean 1 P , 2 P , 3 P , .... n P una sucesión de "n" puntos distintos de un plano con n  3. Los segmentos 2 1 P P , 3 2 P P , 4 3 P P , .... n 1 n P P  , 1 n P P ; son tales que ningún par de segmentos con un extremo común sean colineales y no exista un par de segmentos que se intersecten en puntos distintos de sus extremos. Entonces, la reunión de los "n" segmentos se denomina Polígono.   P1 P2 P3 P4 P5 P6 Pn Elementos : 1. Vértices : 1 P , 2 P , 3 P , .... 2. Lados : 2 1 P P , 3 2 P P , ..... 3. Ángulos : * Internos : )  1 P , )  2 P , .... * Externos :  , ...... 4. Diagonal : 5 3 P P , 6 4 P P , ..... Los Polígonos se clasifican en : 1. Por el número de lados : * Triángulo  3 lados * Cuadrilátero  4 " * Pentágono  5 " * Exágono  6 " (o hexágono) * Heptágono  7 " * Octógono  8 " * Eneágono  9 " o nonágono * Decágono  10 " * Endecágono  11 " * Dodecágono  12 " * Pentadecágono  15 " * Icoságono  20 " 2. Por sus lados y ángulos * Polígono Convexo * Polígono no Convexo * Polígono Equilátero * Polígono Equiángulo      
46 Geometría * Polígono Regular B C A D O O G H F I E J * Polígono Irregular PROPIEDADES I. Máximo número de diagonales trazadas desde 1 vértice. (n-3) diagonales II. Número total de diagonales. 2 ) 3 n ( n ND   III. En los polígonos convexos, la suma de las medidas de los ángulos internos es de : ) 2 n ( 180 Si    IV. En todo polígono convexo, la suma de las medidas de los ángulos extenos es de 360°. Sex = 360º V. En el polígono equiángulo. eº eº eº eº iº iº iº iº iº n 360 Exterior ) m    n ) 2 n ( 180 Interior ) m     VI. En el polígono regular.  eº iº iº eº eº º iº iº O   : medida del ángulo central. Se =    360 S n 360 e       n ) 2 n ( 180 i    
TRILCE 47 01. En el octógono regular, calcule " º  ". º 02. Calcule la suma de las medidas de los ángulos interiores en el gráfico. 03. ABCDE es un polígono regular. Calcule "xº". x A E D C B º 04. En el polígono mostrado : AB = BC = CD = DE = a, CD AC  , DE AD  . Calcule el perímetro del polígono mostrado. C D E B A 05. El gráfico muestra un polígono regular. Calcule : xº - yº. x y º º 06. En un polígono, la suma de las medidas de sus ángulos internos es 540°, el número de lados de dicho polígono es : Test de aprendizaje preliminar
48 Geometría 07. En un polígono, la diferencia de la suma de los ángulos internos y la suma de ángulos externos es igual a 720°. Calcule el número de diagonales de dicho polígono. 08. En un polígono equiángulo, la relación entre las medidas de un ángulo interior y otro exterior es como 5 a 1. Calcule el número de diagonales del polígono. 09. La medida del ángulo interior de un polígono regular es igual a la medida de su ángulo central. El polígono es un : 10. En el gráfico, se presenta parte de un polígono regular de "n" lados. Calcule "n". A B C D E F G 164º Practiquemos : 11. Calcule el número de lados de un polígono convexo, si desde cuatro vértices consecutivos se puede trazar 45 diagonales. 12. En un hexágono ABCDEF : BC = 4u, AB = 3u, CD = 6u, DE = 5u. Calcule el perímetro del hexágono equiángulo mencionado. 13. Se tiene un octógono equiángulo ABCDEFGH en el cual : AB =2 m; BC = 2 m; CD = 3m. Calcule AD. 14. Cada lado de un polígono regular mide 6 cm y el perímetro equivale al número que expresa el total de diagonales en cm. Calcule la medida de un ángulo central. 15. Desde 7 vértices consecutivos de un polígono se han trazado 55 diagonales. Calcule el número de diagonales totales del polígono.
TRILCE 49 16. En un hexágono convexo ABCDEF : m )  B = 140º, m )  E = 150º, m )  C + m )  D = 330º. Calcule la medida del ángulo que forman las rectas AB y FE al intersectarse. 17. En un polígono equiángulo ABCDEF ... las bisectrices de los ángulos ABC y DEF son perpendiculares. Calcule el número de diagonales de dicho polígono. 18. Si a un polígono se le incrementa el número de lados en 2, cada ángulo interno aumenta en 15°. El polígono es : 19. Si el número de lados de un polígono regular aumenta en 10, su ángulo interior aumenta en 3°. Calcule el número de lados del polígono original. 20. En un polígono regular, se cumple que la suma de las medidas de un ángulo central, un ángulo exterior y un ángulo interior es 210°. Calcule el número total de diagonales. Problemas propuestos 21. Calcule la suma de las medidas de los ángulos internos de un polígono, sabiendo que si se aumenta en tres el número de lados, el número de diagonales aumenta en 27. a) 1260° b) 1360° c) 1560° d) 1460° e) 1600° 22. En un polígono regular la diferencia de un ángulo interno y un ángulo externo está comprendida entre 30° y 40°. Calcule el número de lados de dicho polígono. a) 5 b) 6 c) 7 d) 8 e) 10 23. Se tiene un octágono regular ABC-DEFGH. Calcule la medida del ángulo formado por las diagonales BE y CH . a) 30° b) 45° c) 60° d) 90° e) 120° 24. Si un polígono regular tiene "n" lados y se suman el valor de la suma de sus ángulos internos, externos y centrales se obtiene (200n)°. Calcule el número de diagonales que tiene dicho polígono. a) 119 b) 152 c) 104 d) 135 e) 170 25. Los ángulos internos B, C y D de un polígono convexo miden 170°, 160° y 150° respectivamente. Calcule la medida del menor ángulo formado por los lados AB y DE . a) 50° b) 60° c) 70° d) 80° e) 40° 26. ABCDE es un pentágono regular y BCPQ es un cuadrado interior al pentágono. Calcule la m )  DBP . . a) 6° b) 8° c) 9° d) 10° e) 12° 27. Calcular el número de lados de un polígono equiángulo ABCDEF ......, si las mediatrices de AB y EF forman un ángulo cuya medida es 36°. a) 10 b) 20 c) 30 d) 40 e) 50 28. Calcule el número de lados del polígono regular cuyo ángulo interno es (p+15) veces el ángulo exterior, y además se sabe que el número de diagonales es 135p. a) 80 b) 85 c) 90 d) 95 e) 100
50 Geometría 29. Dadas las siguientes proposiciones : I. Cada ángulo interior de un hexágono regular mide 120°. II. En el decágono, se pueden trazar 36 diagonales. III. El polígono regular cuyos ángulos exteriores mi- den 36° es un decágono. Son verdaderas : a) Sólo I y III b) Sólo II c) Sólo I y II d) Sólo III e) Sólo II y III 30. Calcule el número de diagonales que se puede trazar en un polígono regular de vértices 1 A , 2 A , 3 A , ..... n A , sabiendo que las mediatrices de 2 1A A y 4 3A A forman un ángulo que mide 30°. a) 189 b) 230 c) 170 d) 275 e) 252 31. Dos números consecutivos, representan los números de vértices de dos polígonos convexos. Si la diferencia de los números de diagonales totales es 3. El polígono mayor es : a) Icoságono b) Nonágono c) Pentágono d) Eptágono e) Endecágono 32. Se tiene un polígono regular cuyo semiperímetro es "p" y el número que expresa su número de diagonales es igual al perímetro. Además su ángulo interior es "p" veces su ángulo exterior. Calcule la longitud del lado del polígono regular. a) 1/3 b) 1/5 c 1/4 d) 1 e) 1/2 33. El polígono, en el que su número de lados es igual a su número de diagonales es : a) Pentágono b) Hexágono c) Dodecágono e) Nonágono e) Octógono 34. Si la suma de las medidas de los ángulos internos de dos polígonos convexos difieren en 720° y sus ángulos centrales difieren en 7,5°. Indicar si el cociente mayor que la unidad de los lados de los dos polígonos convexos es igual a : a) 1,53 b) 1,23 c) 1,13 d) 1,43 e) 1,33 35. Si a un polígono se le aumenta un lado, su número de diagonales aumenta en 6. Si se le disminuye un lado, el número de diagonales disminuye en : a) 6 b) 3 c) 5 d) 2 e) 4 36. Si a un polígono se le aumenta 2 lados, el número de diagonales aumenta en 15. Calcule la mitad de la medida del ángulo externo de dicho polígono. a) 45° b) 60° c) 40° d) 120° e) 90° 37. En cierto sistema de medida, la suma de las medidas de los ángulos internos de un triángulo 4 3 K. Calcule la suma de las medidas de los ángulos internos en un decágono convexo. a) 6 K b) 5 K c) 7 K d) 10 K e) 8 K 38. En el gráfico ABCDE y AFE son regulares, GD = 10u. Calcule la distancia de D a GC . C D B G F A E a) 3 u b) 4 u c) 8 u d) 6 u e) 5 u 39. Se inscribe un rectángulo en un cuadrado, tal que sus lados sean paralelos a las diagonales del cuadrado. Calcule la relación entre los perímetros del cuadrado y del rectángulo. a) 2 b) 3 c) 2 d) 2 2 e) 4 40. Calcule el número de lados de un polígono equiángulo ABCDEF .....; si las mediatrices de AB y EF forman un ángulo de 36°. a) 15 b) 10 c) 20 d) 40 e) 10 ó 40 41. En un polígono equiángulo desde (n-7) lados consecutivos se pueden trazar (n-1) diagonales medias. Calcule la medida de un ángulo interior. a) 130° b) 132° c) 134° d) 135° e) 140° 42. Calcule el número de polígonos equiángulos convexos existen de modo que la medida de su ángulo interno en grados sexagesimales está representado por un número entero. a) 24 b) 22 c) 18 d) 30 e) 21
TRILCE 51 43. En un polígono convexo de "n" lados. Calcule la suma de las medidas de los ángulos formados al prolongar los lados del polígono. a) 180°n b) 360°n c) 90°(n-2) d) 180°(n-4) e) 360°(n-2) 44. El menor ángulo de un polígono mide 139°, y las medidas de los otros ángulos forman, con la del primero, una progresión aritmética de razón 2°. Calcule el número de lados del polígono. a) 10 b) 9 c) 12 d) 15 e) 20 45. Calcule el mayor número de lados de un polígono equilátero ABCDEF ...... ; si las mediatrices de AB y EF forman un ángulo cuya medida es 36°. a) 10 b) 12 c) 30 d) 14 e) 15 46. En un polígono convexo de "n" lados, desde (n-4) vértices consecutivos se trazan (4n+3) diagonales. Calcule la suma de las medidas de los ángulos interiores del polígono. a) 1040° b) 1140° c) 1240° d) 1340° e) 1800° 47. En un hexágono regular ABCDEF, cuyo perímetro es igual a 72u, se traza la bisectriz interior FM en el triángulo ABF y sobre FD se toma el punto Q, tal que: AF = FQ y BF QM  = {P}. Calcule PQ. a) 4 u b) 8 u c) 10 u d) 12 u e) 16 u 48. Calcule "xº", si ABCDE es un pentágono regular. (ED = DP). B A C E D 42º xº P a) 42° b) 45° c) 48° d) 54° e) 60° 49. De uno de los vértices de un polígono convexo, se puede trazar (x - 3) diagonales, entonces la suma de las medidas de sus ángulos interiores equivale a ...... ángulos rectos. a) 2x b) 2x - 4 c) x + 4 d) 2x + 8 e) x 50. En cierto polígono convexo, el menor ángulo interno mide 135° y los demás ángulos internos están en progresión aritmética de razón 3°. Calcule el número de lados. a) 12 b) 13 c) 14 d) 15 e) 17 51. En el nonágono regular AB ... HI, las diagonales BD y CF miden "a" y "b" unidades respectivamente. Calcule la distancia del vértice E, a la diagonal BH. a) 2 b a  b) b - a c) 2 2 a d) 2 3 b e) ab 52. Las medidas de los ángulos interiores de un trapezoide forman una progresión aritmética. Si la medida del cuarto ángulo es nueve veces la del segundo, calcule la medida del tercer ángulo interior. a) 81° b) 54° c) 71° d) 27° e) 108° 53. ABCD es un cuadrilátero donde el ángulo A es recto, m )  B = m )  C = 60° y 2AB - BC = 6 3 u. Calcule CD. a) 6 3 u b) 6 u c) 2 3 u d) 3 2 u e) 3 u 54. Al disminuir en 6° la medida de cada ángulo interno de un polígono regular, resulta otro polígono regular cuyo número de diagonales es los 3/5 del número de diagonales del polígono original. Calcule el número de lados del polígono original. a) 9 b) 10 c) 12 d) 15 e) 20 55. En un pentágono ABCDE : m )  B = m )  D = 90° y los ángulos restantes congruentes. Calcule la distancia del vértice A al lado ED , si : BC = 4 cm y CD = 10 cm, AB = 4 3 cm. a) 3 cm b) 7 cm c) 6 cm d) 8 cm e) 5 cm 56. En un pentágono convexo ABCDE : AB = BC y CD = DE (CD > BC); si : BD = K y m )  B = m )  D = 90°. Calcule la distancia del punto medio de AE a BD . a) 2 K b) 2K c) 3 K 2 d) K e) 3 K
52 Geometría 57. Dado el polígono equiángulo PQRST ... tal que las prolongaciones de PQ y TS se cortan en A. Si el ángulo PAS es agudo, calcule el máximo número de lados del polígono. a) 12 b) 13 c) 14 d) 10 e) 11 58. Los lados de un polígono regular de "n" lados, n > 4, se prolongan para formar una estrella. El número de grados en cada vértice de la estrella, es : a) n 360 b) n 180 ) 4 n (  c) n 180 ) 2 n (  d) n 90 180  e) n 180 59. El número de diagonales de un polígono convexo excede en 16 a la diferencia entre el número de ángulos rectos a que equivale la suma de sus ángulos interiores y el número de vértices del polígono. El polígono es : a) Octógono. b) Decágono. c) Pentágono. d) Exágono. e) N. A. 60. Si la medida de cada ángulo interior de un polígono regular de "n" lados se disminuye en 5°, su número de diagonales disminuye en (5n-3). Calcule "n". a) 18 b) 24 c) 30 d) 36 e) 42
TRILCE 53 Claves Claves 21. 22. 23. 24. 25. 26. 27. 28. 29. 30. 31. 32. 33. 34. 35. 36. 37. 38. 39. 40. a a d d b c d c a e c d a e c a a e c d 41. 42. 43. 44. 45. 46. 47. 48. 49. 50. 51. 52. 53. 54. 55. 56. 57. 58. 59. 60. d e d c a e d e b d d a a d c a e b a b
TRILCE 55 Capítulo CUADRILÁTEROS 5 Definición : Son aquellas figuras determinadas al trazar cuatro rectas secantes y coplanares, que se intersectan dos a dos. Los segmentos que se determinan son sus lados y los puntos de intersección son sus vértices. Aº Bº Cº Dº Convexo Aº+Bº+Cº+Dº = 360º º xº º º No Convexo xº = º + º + º    A B C D B A D C Clasificación I. Trapezoides Trapezoide Asimétrico Trapezoide Simétrico B C A D A B C D II. Trapecios BC // AD Bases B C A D T. Escaleno A B C D T. Isósceles   T. Rectángulo B C A D B C D A
56 Geometría III. Paralelogramos º º º º B C D A AB // CD BC // AD  = 90º Romboide Rombo A B C D A B C D Rectángulo Cuadrado B C A D A B C D Propiedades Básicas I. En el Trapecio a b M N MN : Base media MN // Bases b a PQ // Bases * * MN = a+b 2 P Q PQ = a - b 2 II. En el Paralelogramo B C A D AO = OC BO = OD * a b n m a+b = n+m * A B C D O
TRILCE 57 III. En todo Cuadrilátero P Q R S PQRS es un paralelogramo B C A D
58 Geometría 01. En la prolongación del lado AD de un rectángulo ABCD, se ubica el punto E, tal que : m )  ADB = m )  DCE, BD = 4 u y CE = 3 u. Calcule AE. 02. En el gráfico, calcule la m )  BEA, si : ABCD es un cuadrado y BF = 3(AF). B C A D E F 03. En el gráfico, calcule "xº", si ABCD es un cuadrado. B C A D x x º º 04. Calcule " º " en el gráfico, si : ABCD es un cuadrado y "M" y "N" son puntos medios. B C A D  N M º 05. En un cuadrado ABCD, se prolonga AD hasta "P". Luego se traza la perpendicular AQ hacia PC que corta a CD en M. Calcule la m )  DPM. 06. Las diagonales de un rombo miden 20 dm y 48 dm. Calcule el perímetro del rombo. 07. Del gráfico, calcule "xº". x     x 2x B C D A º º Test de aprendizaje preliminar
TRILCE 59 08. En el gráfico, si : ABCD es un romboide, calcule BF, sabiendo que : BC = 7 u y CD = 5 u.   A B C D F 09. En el gráfico, si : ABCD es un romboide, AD = 8 u; AB = 5u. Calcule DN.   A B C D M N 10. En el gráfico, se muestran los cuadrados A, B y C. Calcule: Perímetro de A + Perímetro de B Perímetro de C A B C Practiquemos : 11. En los lados BC y CD del cuadrado ABCD, se ubican los puntos M y P , respectivamente, tal que : CP = PD y m )  APM = 90°. Calcule la m )  AMB. 12. En el gráfico, si : ABCD es un paralelogramo, PQ = 12u, EF = 17 u. Calcule : EL.   A B C D L P Q F E 13. En el gráfico ABCD un trapecio ) AD // BC ( . Calcule la m )  ADC. A B C D 4u 8u 6u 14u 14. Las diagonales de un trapecio miden 12 cm y 18 cm. Calcule el máximo valor entero que puede tomar la longitud de la mediana de dicho trapecio.
60 Geometría 15. En un trapecio rectángulo ABCD. m )  A = m )  B = 90°, m )  D = 75° ; AD = 2(AB). Calcule la medida del ángulo BCA. 16. Los lados AB , BC y CD de un trapecio ABCD son de igual longitud. Si AD es paralela a BC y tiene el doble de la longitud de BC , la diagonal AC mide : 17. En el gráfico, si : BC // AD y ABCD, es un trapecio isósceles. Calcule : AD, EC = 5 m. A B C D E 30º 30º 18. En un trapecio, la suma entre la mediana y el segmento que une los puntos medios de las diagonales es 32 cm. Calcule la longitud de la base mayor. 19. Las diagonales de un trapecio son perpendiculares y miden 6u y 8u. Calcule la longitud de la mediana. 20. La suma de las longitudes de las diagonales de un trapezoide es 20. Calcule el perímetro del cuadrilátero que resulta al unir consecutivamente los puntos medios de los lados del trapezoide. Problemas propuestos 21. En el gráfico se muestra un trapecio ABCD, de bases AB y CD , se trazan las bisectrices de los ángulos A y D que se cortan en R, y las bisectrices de los ángulos B y C que se cortan en S. Calcule RS, si : AB = 4 u, CD = 12 u, AD = 7 u y BC = 9 u. D A B C a) 0 b) 8 u c) 19/2 u d) 13/2 u e) 3/2 u 22. En un cuadrilátero convexo ABCD, el ángulo m )  A = 9° y m )  B = 4°. Calcule la medida del ángulo formado por las bisectrices de los ángulos C y D. a) 6° 30' b) 7° 20' c) 7° 55' d) 9° 00' e) 12° 00' 23. En el gráfico, los lados AB y CD son paralelos. Si : AB = 5 u y AC = 12 u, calcule : CD. A B C D  2  a) 15 u b) 16 u c) 18 u d) 17 u e) 10 u
TRILCE 61 24. En el gráfico : BC = PA y AD = BP . Calcule "xº". xº B C A D P a) 53° b) 30° c) 60° d) 45° e) 37° 25. En el gráfico, calcule " º " . Si : PL = LM = NM. P N L M   45º- º º a) 20° b) 10° c) 12° d) 30° e) 15° 26. En el gráfico, calcule " º " , si ABCD es un rombo. . MH = 1 u, y D dista de BC 3 u.  A B C D H M O º º a) 26° 30' b) 15° c) 18° d) 30° e) 10° 27. En gráfico mostrado, MNOP es un trapecio, si : S punto medio de OU y QU // RS . Siendo : QU = 12 m, calcule TR.     N O R S T M Q P U a) 1 m b) 1,5 m c) 2 m d) 3 m e) 4 m 28. En un trapecio ABCD, la base menor AB es igual a la altura AH ; si : m )  A = 135° y el )  B = 150°. Calcule el perímetro del trapecio, si : AB = AH = 20 cm. a) 195,920 cm b) 200 cm c) 182,920 cm d) 162,920 cm e) 170,500 cm 29. En el gráfico, se muestra un romboide ABCD. Si las distancias de B, A y D a la recta son 2,4m; 3,6m; 7,9m, respectivamente, calcule la distancia de C a la recta L. B C A D L a) 1 m b) 1,5 m c) 1,9 m d) 2 m e) 2,5 m 30. Dado un cuadrado, al unir los puntos medios de sus lados se obtiene otro cuadrado. Si se efectúa este procedimiento cuatro veces más se tendrá un cuadrado. Calcule la razón entre las longitudes de los lados del cuadrado inicial y el último que se obtuvo. a) 2 b) 4 2 c) 2 2 d) 5 2 e) 3 2 31. En el gráfico ABCD, es un paralelogramo y DX = BY. Si el perímetro del triángulo BCE es : a+2b, el perímetro del triángulo CDX es : b-2a, y el perímetro del triángulo CFY es p. Calcule : ab 6 p2  . D C E B A F X Y a) 2 2 b a  b) 2 2 b 2 a 3  c) 2 2 b 3 a 2  d) 2 2 b 9 a  e) 2 2 b a 9 
62 Geometría 32. El gráfico 1 es un cuadrado de lado 4m, tomando los puntos medios de los lados AB y BC se construye el gráfico 2. En el segundo paso, tomando los puntos medios de los segmentos 1 AP , 1 1Q P , 1 1R Q y C R1 se construye el gráfico 3. Si se efectúa este procedimiento 10 veces, calcule la longitud de la "escalera" que se obtiene. A B D C P1 R1 Q1 A D C A D C fig. 1 fig. 2 fig. 3 a) 2 4 m b) 2 10 m c) 2 40 m d) 10 4 m e) 8 m 33. En el gráfico mostrado, se tiene un rectángulo ABCD, en el cual : AD = 2(CD), y donde : m )  OMA = m )  BPO. Si : MN y PQ se intersectan en O, de modo que : PO = 2 cm, QO = 4 cm y MO = 5 cm, calcule NO. B C P M N A D Q O a) 8 cm b) 10 cm c) 7 cm d) 9 cm e) 6 cm 34. En el gráfico : ABCD es un cuadrado, y  = 20°. Calcule : " º " . D C A B    º a) 120° b) 105° c) 115° d) 100° e) 110° 35. En el gráfico, PQ = 12 3 u y 3 8 QR  u, calcule : PS + RS. 120º S R P Q a) 60 u b) 63 u c) 64 u d) 65 u e) 66 u 36. En el gráfico, ABCD es un trapecio CD // BM ; AF = 18 cm y FC = 12 cm. Calcule EF. B C E F A D M a) 6 cm b) 4 cm c) 10 cm d) 8 cm e) 5 cm 37. En un trapecio ABCD, la base mayor es AD . Al trazarse las bisectrices del ángulo B y el ángulo exterior C, intersectan a la base AD y a su prolongación en P y Q respectivamente. Si : AB + BC = 24 m y CD + AD = 30 m, calcule la longitud del segmento que une los puntos medios de PC y BQ . a) 1 m b) 2 m c) 3 m d) 4 m e) 5 m 38. Se tiene un paralelogramo ABCD. Se construyen exteriormente los triángulos equiláteros ABM y BCN. Por M se traza la perpendicular MH a ND , calcule la medida del ángulo HMB, si el ángulo NDC mide 46°. a) 16° b) 14° c) 18° d) 11° e) 20° 39. En un trapecio ABCD ) CD // AB ( . Si : AB = 8m; BC = 6m; AD = 10m y CD = 18m; las bisectrices de los ángulos A y D se intersectan en el punto M y las bisectrices de los ángulos B y C se intersectan en el punto N. Calcule MN. a) 4 m b) 5 m c) 6 m d) 4,5 m e) 5,5 m
TRILCE 63 40. De las siguientes proposiciones, las verdaderas (V) o falsas (F) son : I. Si el trapecio tiene sus diagonales congruentes; entonces, es necesariamente inscriptible a una cir- cunferencia. II. En un trapecio escaleno, una diagonal puede ser también altura. III. Si un polígono equiángulo está escrito en una cir- cunferencia es necesariamente un polígono regu- lar. a) VVF b) FVF c) VFV d) FFF e) VVV 41. En un romboide ABCD, con AB < BC, se trazan las bisectrices interiores de sus cuatro ángulos. Dichas bisectrices al intersectarse, forman un : a) Rombo. b) Cuadrado. c) Rectángulo. d) Trapecio. e) Otros cuadriláteros. 42. En un rombo ABCD, M es punto medio de CD y la diagonal BD corta a AM en punto R. Si : RM = 5u y m )  DRM = 53°, calcule BD. a) 18 u b) 35 u c) 30 u d) 36 u e) 40 u 43. En el rectángulo ABCD de la figura, la longitud de los segmentos AB y FC son respectivamente 2 m y 4 m. Si los segmentos AE y EM son iguales, calcule el perímetro del rectángulo.     D C F M A E B a) 48 b) 30 c) 36 d) 24 e) 28 44. En un trapecio rectángulo ABCD, recto en A y D; la base menor AB mide 4 y la mediana ME del trapecio mide 6 (M en AD ) se ubica sobre AD el punto P , tal que : PB = PC y m )  BPC = 90°. Calcule MP . . a) 1 b) 1,5 c) 2 d) 2,5 e) 3 45. En un cuadrado ABCD, sobre la recta AD, se ubican los puntos P y Q, tal que : P , A, D y Q están en ese orden. Calcule la medida del ángulo formado entre PC y BQ , siendo el punto medio de AD punto medio de PQ y m )  PCQ = 90°. a) 75° b) 60° c) 63,5° d) 52,5° e) 67,5° 46. En un cuadrilátero ABCD : m )  B = m )  D = 90° , m )  BCD = 45°, luego se trazan BD AP  , BD CQ  . Calcule BD, si : AP = 4 m, CQ = 20 m. a) 16 m b) 24 m c) 30 m d) 40 m e) 50 m 47. Es un cuadrado ABCD, por D se traza una recta que interseca en N a AB . Si la proyección ortogonal de A y C sobre dicha recta son los puntos P y Q respectivamente, calcule la razón entre PQ y la distancia del centro del cuadrado a dicha recta. a) 1 b) 1/2 c) 3 d) 2 e) 2 48. En un trapecio isósceles ABCD ( AD // BC y BC<AD); se construyen exteriormente los triángulos equiláteros CED y ADF; además: AE y BF se intersectan en O. Calcue BO, si: AO = 3u; OE = 4u y OF = 5u. a) 1 u b) 2,5 u c) 2 u d) 3,5 u e) 4 u 49. En el gráfico, los puntos M, N y R son puntos medios de los lados AB, BC y CA. Si : MM' + RR' + NN' = 25 u, calcule : BB'. B M N M' B' R' N' A R C a) 20 u b) 22 u c) 23 u d) 24 u e) 25 u
64 Geometría 50. En un paralelogramo ABCD, se tiene que (AB<BC) y BD = 6u. Se construye exteriormente al triángulo equilátero AMD; en cuyo interior se ubica el punto F, tal que el triángulo AFB es equilátero. Calcule la longitud del segmento que une los puntos medios de FB y MD . a) 3 u b) 3 3 u c) 3 u d) 6 u e) 6 2 u 51. Dado un cuadrado ABCD; se ubica M punto medio de CD y se traza BM CN  (N  AD ). Calcule : BN/QM; si : Q es la intersección de NC con BM . a) 1 b) 2 c) 3 d) 5 e) 4 52. En un trapecio MNOP ) OP // MN ( ; NO = 4u, OP = 6u, m )  M = 30° y m )  O = 120°. Calcule MN. a) 10 u b) 12 u c) 14 u d) 7 u e) 9 u 53. En un trapezoide MNOP : m )  M = m )  O = 90°. Se trazan NR y PL perpendiculares a MO. Si PL - NR = 3(MO). Calcule la m )  MPO. . a) 10° b) 12° c) 18,5° d) 22,5° e) 30° 54. En el lado CD de un cuadrado ABCD, se ubica el punto P , tal que : m )  BAP = 75°. Calcule la m )  BQC, siendo Q punto medio de AP . a) 53° b) 45° c) 75° d) 60° e) 90° 55. En un trapecio ABCD ) AD // BC ( ; se sabe que : AD - BC = 2(AB) y m )  ABC = 4m )  ADC. Calcule la m )  BCD. a) 160° b) 127° c) 143° d) 150° e) 135° 56. En un paralelogramo ABCD, se ubica el punto "F" en AD , de modo que : m )  ABF = m )  BCF; FC = 2DC. Calcule la longitud del segmento que tiene por extremos los puntos medios de BF y FC , si : BF = 12u. a) 4 u b) 8 u c) 9 u d) 12 u e) 6 u 57. En el gráfico, ABCD es un rectángulo. (O : intersección de las diagonales). OCFE : es un cuadrado. Si : MB = a. Calcule EL. B C M O A L D F E a) a b) 2 a c) 2 a 3 d) 3 a 2 e) 3 a 4 58. En el gráfico, ABCD y EFCR son un paralelogramo y un cuadrado, 2 BO  u, DE = 1u. (O : intersección de las diagonales del paralelogramo). Calcule la m )  FCD. B A C R D E F 45º O a) 53°/2 b) 60° c) 37° d) 30° e) 37°/2 59. Se tiene un paralelogramo ABCD, por C se traza la perpendicular a CD , la cual intersecta en E a la prolongación de AD . Si: AD = 8 u y m )  CBD = 2(m )  CED), calcule ED. a) 16 u b) 8 u c) 2 2 u d) 2 4 u e) 32 u 60. Del gráfico mostrado, ABCD es un cuadrado. Si : BH = 2 u, ND = 3 u y NP = 11u. Calcule "xº". P xº B C D A H N a) 16° b) 30° c) 37°/2 d) 26°30' e) 15°
TRILCE 65 Claves Claves 21. 22. 23. 24. 25. 26. 27. 28. 29. 30. 31. 32. 33. 34. 35. 36. 37. 38. 39. 40. c a d d c d a d c b d e c e a d c a b c 41. 42. 43. 44. 45. 46. 47. 48. 49. 50. 51. 52. 53. 54. 55. 56. 57. 58. 59. 60. c d d c c a d c e b d c c d d d a a a c
TRILCE 67 Capítulo CIRCUNFERENCIA 6 Definición : Es el lugar geométrico de todos los puntos del plano que equidistan de otro punto de su plano denominado centro. La distancia mencionada recibe el nombre de radio. Elementos de la Circunferencia E F P Q O B C A L1 L2 T * Centro : O * Radio : OB * Diámetro : BC * Cuerda : EF * Arco : EB * Flecha o sagita : PQ * Secante : 1 L * Tangente : 2 L * Punto de Tangencia : T * Perímetro : L = Longitud de la circunferencia. L = 2 r  r  radio   phi r 2 L    = 3,1415926 ....... Posiciones relativas de dos Circunferencias Coplanares * Circunferencias Exteriores d d > R + r * Circunferencias Tangentes Exteriores d r R d = R + r * Circunferencias Secantes d r R R - r < d < R + r * Circunferencias Ortogonales d r R 2 2 2 r R d  
68 Geometría * Circunferencias Tangentes Interiores R r d d < R - r * Circunferencias Interiores R r d d < R - r * Circunferencias Concéntricas R r d = cero R r Esta región se denomina corona o anillo circular. Observación : "d"  distancia entre los centros. Propiedades Fundamentales 1. O r P L * P  punto de tangencia * L   OP r OP   2.   B A C O AB = AC 3. B A C O Si : AB OC  MB AM  CB AC  M 4. A E F B AB // EF FB AE  Si :
TRILCE 69 5. A B C D DC AB  CD AB  Si : 6. S A B Q E P T F PQ ST y EF AB   Teorema de Poncelet A B C r r : inradio AB + BC = AC + 2r Teorema de Pitot r AB + CD = BC + AD * Este teorema es válido para todo polígono circunscrito cuyo número de lados es un número par. B C D A Teorema de Steiner A B C D AB - CD = AD - BC Observaciones * Q y F  puntos de tangencia p  semi-perímetro del triángulo ABC. 2 c b a p    p AF AQ    A B C p F Q
70 Geometría 01. En el gráfico, calcule PA, si : A y B son puntos de tangencia. A P B x +x 2 2x+6 02. En el gráfico : AB = 7 cm, CD = 7,5 cm y AD = 4 cm. Calcule BC. B C A D r 03. En el trapecio isósceles : AD = BC = 8 cm. Calcule la longitud de la mediana del trapecio. ) DC // AB ( . A B C D 04. Calcule "xº", si "T" es punto de tangencia. AO = OB = BP = 1 u. xº T A B O P 05. Calcule el perímetro del triángulo ABC. A B C 10u 4u 1u 06. Calcule "xº", si "O" es centro. (T : punto de tangencia). 4xº xº T A C B O Test de aprendizaje preliminar
TRILCE 71 07. La distancia entre los centros de dos circunferencias coplanares es 5 cm. Si sus radios miden 2,5 cm y 1,5 cm, las circunferencias son : 08. Si : AO = EC. Calcule : " º " .   A D E C B R O º º 09. Dado el romboide ABCD donde: m )  A=64°, los centros de las circunferencias inscritas a los triángulos ABD y BCD son O y O1 respectivamente. Calcule la m<ODO1 . 10. Siendo : P , Q y T puntos de tangencia. Calcule "xº". R O O Q P T x R 1 º Practiquemos : 11. Una circunferencia está inscrita en un trapecio isósceles ABCD ( AD // BC ). Si : AB = 12 cm. Calcule la longitud de la mediana de dicho trapecio. 12. ¿En qué relación están las longitudes de los radios de las circunferencias inscrita y circunscrita a un triángulo equilátero? 13. En una circunferencia de centro "O", se ubica la cuerda BC de 80 u de longitud. Si el radio de la circunferencia mide 41 u, calcule la distancia de "O" hacia la cuerda. 14. En el gráfico, calcule : x°. (B y T son puntos de tangencia). xº O B A T C
72 Geometría 15. En un triángulo ABC, se sabe que : AB = 8 u, BC = 10 u y AC = 12 u, la circunferencia inscrita determina sobre AC el punto "M". Calcule AM. 16. El punto de tangencia de la circunferencia inscrita en un trapecio rectángulo divide al mayor de los lados no paralelos en segmentos que miden 1 u y 9 u. Calcule la longitud de la mediana del trapecio. 17. En un triángulo ABC acutángulo, la circunferencia inscrita es tangente a AB en N y la circunferencia ex- inscrita relativa a AC es tangente a la prolongación de BA en M. Cacule AC. Si : AN = 3,5 u y AM = 4,5 u. 18. Se tiene un octógono ABCDEFGH circunscrito a una circunferencia, donde : AB = 1 u, BC = 1 u, CD = 1,5 u; DE = 0,5 u; EF = 2u, FG = 2,7 u; HA = 0,8 u. Calcule GH. 19. Marcar verdadero (V) o falso (F), en las siguientes proposiciones : I. La recta que contiene los centros de dos circunfe- rencias secantes es perpendicular a la recta que contiene los puntos comunes a las dos circunfe- rencias. II. El ángulo central de una circunferencia mide 0° (cero grados). III. La mediatriz de toda cuerda contiene al centro del círculo. IV. Ángulo inscrito es aquel cuyo vértice está sobre la circunferencia. 20. Las longitudes de dos circunferencias coplanares están en relación de 7 a 3 y su suma es igual a 20  . Si la distancia entre sus centros es dos veces la diferencia de las longitudes de sus radios, podemos decir que las circunferencias son : Problemas propuestos 21. Los diámetros de dos circunferencias situadas en el mismo plano miden 14 m y 6 m. Si la distancia entre sus centros es 10m. Las circunferencias son : a) Exteriores. b) Interiores. c) Tangentes. d) Secantes. e) Concéntricas. 22. La prolongación de CA de un triángulo ABC intersecta a la circunferencia exinscrita relativa a AB en el punto P . Siendo : CP = 20 u, calcule el perímetro de la región triangular ABC. a) 20 u b) 40 u c) 30 u d) 60 u e) 50 u
TRILCE 73 23. Calcule la longitud del lado del triángulo equilátero inscrito en una circunferencia de 8 cm de diámetro. a) 3 4 cm b) 3 8 cm c) 3 2 cm d) 2 8 cm e) 8 cm 24. Si el radio de la circunferencia se aumenta en 1 u, calcule la razón de la longitud de la nueva circunferencia al diámetro es : a)  b) 2 1 2   c) 2 1 2   d) 2   e) 1 2   25. Calcule la medida del arco ST, si :      257 º º , si : S, P y T son puntos de tangencia. O P   S T º º a) 77° b) 80° c) 103° d) 75° e) 90° 26. En el gráfico : A, B y C son puntos de tangencia. Calcule : "xº". x 9º A B C a) 20° b) 27° c) 36° d) 54° e) 60° 27. En el gráfico mostrado : AB = 12 dm, BC = 8 dm y AC = 10 dm. Calcule : ) FC EB ( . E B A C F a) 4/3 b) 5/3 c) 3/5 d) 2/3 e) 4/7 28. Caclule BC. Si los inradios de los triángulos rectángulos ABCyACDmidenr1 y r2 . A D B C a) 2 2 2 1 r r  d) 2 1 r . r b) r1+r2 e) 2 r r 2 1  c) 2 1 2 1 r r r . r  29. En el gráfico : P , Q, M y N son puntos de tangencia. BP + BQ = 13 u, MN = 6 u. Calcule el inradio del triángulo ABC. C B A M N P Q a) 2,5 u b) 3,5 u c) 4,5 u d) 1,5 u e) 5,5 u 30. El perímetro de un triángulo rectángulo es 24 m y su hipotenusa mide 10 m. Calcule el radio de la circunferencia inscrita. a) 1 m b) 2 m c) 3 m d) 4 m e) 5 m 31. En el gráfico, el triángulo equilátero PQT, inscrito en una circunferencia. Calcule SN, en función del radio R. Si : PS = ST. Q P T S N a) R/2 b) R/3 c) R/4 d) 2 R e) 3 R
74 Geometría 32. En el gráfico, ABCD es un trapecio rectángulo. BC = 10 m, OC = 8 m. Calcule la altura del trapecio. B A D C O a) 4,8 m b) 9,6 m c) 4 m d) 8 m e) 10 m 33. Si uno de los catetos de un triángulo rectángulo mide 15 cm y la distancia del baricentro al ortocentro es 25/ 3 cm. La altura relativa a la hipotenusa en cm mide : a) 13 cm b) 14 cm c) 16 cm d) 12 cm e) 15 cm 34. Los diámetros de dos circunferencias coplanares y las distancias entre sus centros, están en la relación 13 : 10: 1. Estos circunferencias son : a) Secantes. b) Tangentes interiores. c) Interiores. d) Exteriores. e) Concéntricos. 35. En el gráfico : AB = 3 u y BC = 13 u. Calcule AD. A B C D O a) 16 u b) 18 u c) 19 u d) 21 u e) 22 u 36. En dos circunferencias ortogonales de radios R y r respectivamente, se cumple que la distancia d entre sus centros es : a) r R d ) r R ( 4     b) d r R   c) 2 / ) r R ( d 2 / ) r R (     d) 2 2 2 r R d   e) d r R   37. El radio de la circunferencia y el perímetro de un triángulo rectángulo circunscrito a dicha circunferencia miden 3 cm y 50 cm respectivamente. Entonces, el radio de la circunferencia circunscrita al triángulo rectángulo mide : a) 44 cm b) 22 cm c) 11 cm d) 12 cm e) 13 cm 38. Sean O y O' los centros de dos circunferencias tangentes exteriormente cuyos diámetros son 2 u y 6 u respectiva- mente. Calcule el ángulo agudo formado por la recta que une los centros y la tangente común a las circunferencias. a) 60° b) 45° c) 30° d) 15° e) 75° 39. En un triángulo rectángulo, cuya hipotenusa mide 48 cm, se inscribe una circunferencia de longitud 24  cm. ¿Cuál es el perímetro de dicho triángulo? a) 120 cm b) 144 cm c) 96 cm d) 72 cm e) 60 cm 40. Del gráfico, calcule "R". R 37º 15u 6u 5u a) 3 u b) 4 u c) 5 u d) 6 u e) 8 u 41. Calcule "R", si : AB = 9 u y BC = 12 u. (P , Q y T : puntos de tangencia). P O R A B C Q T a) 15 u b) 16 u c) 18 u d) 20 u e) 22 u
TRILCE 75 42. En la gráfico, calcule : R + r, si : AB = 15 u y BC = 8 u. O R C B A r a) 23 u b) 11,5 u c) 10,5 u d) 13,5 u e) 14 u 43. En el gráfico : R = 3 u y r = 1 u. Calcule BE. B E C A D R r a) 3 u b) 4 u c) 5 u d) 6 u e) 7 u 44. En el gráfico, calcule AB, si : CD = 6 cm. B E A C D a) 6 cm b) 8 cm c) 10 cm d) 12 cm e) 9 cm 45. Calcule "r", si : AB = 5 u y BC = 12 u. (T, P y Q son puntos de tangencia). O r B C A T P Q a) 2 u b) 3 u c) 4 u d) 5 u e) 10 u 46. Calcule PT. P y T : puntos de tangencia. C B A 13u 6u P M T H a) 15 u b) 17 u c) 19 u d) 21 u e) 22 u 47. En un cuarto de circunferencia de centro "O" y radios OA , OB ; se toma el punto "E" y luego : OE AH  ; OE BP  (H y P sobre OE ). Calcule EP , si : AH = 15 u y BP = 8 u. a) 1 u b) 2 u c) 3 u d) 4 u e) 5 u 48. Calcule BR, siendo : r = 4u. A B R r P a) 8 u b) 4 u c) 2 4 u d) 2 8 u e) 2 2 u 49. En la figura : AO = OB = JF = FC. Calcule "xº", si : AB es diámetro. . x J F C A O B a) 15° b) 30° c) 45° d) 60° e) 12° 50. Los diámetros de dos circunferencias situadas en el mismo plano están en la relación de 10 a 6 y la distancia entre sus centros es como 5. Tales circunferencias son: a) Tangentes interiormente b) Exteriores c) Interiores d) Tangentes exteriormente e) Secantes
76 Geometría 51. En el gráfico, calcule "xº", si : BC = 6 u, CD = 1 u y EA = 3 u. ("O" centro). x O C B D A E º a) 45° b) 53° c) 55° d) 60° e) 63° 30' 52. En un triángulo rectángulo, calcule la longitud de la hipotenusa, si el radio de la circunferencia inscrita mide 5 cm y el radio de la circunferencia exinscrita relativa a la hipotenusa mide 14 cm. a) 5 cm b) 7 cm c) 6 cm d) 8 cm e) 9 cm 53. En el gráfico, calcule AD. a c b B C M A D a) a + b - c b) b + c - a c) a . b . c d) a + b + c e) 3 c b 2 a   54. En el gráfico : p : semiperímetro del triángulo ABC. Calcule : BF . AE . 2 ) b p )( a p ( R    A B F E C a) 2 b) 1 c) 1/2 d) 2/3 e) 4/3 55. En la figura : AD // BC , mABC = mAD; BC = a y AD = b. Calcule la distancia entre los puntos medios de las flechas de AB y CD . A B C D a) 4 b 3 a  b) 4 b 3 a 2  c) 4 b a 2  d) 4 b 2 a 3  e) 2 b a  56. En una línea recta, se ubican los puntos consecutivos A, B y C (AB > BC); a un mismo lado de dicha recta se trazan las semicircunferencias de diámetros AB y BC respectivamente y por C se traza la tangente CT a una de ellas. Calcular la medida del ángulo formado por BT y la bisectriz del ángulo BCT. . a) 45° b) 30° c) 60° d) 15° e) 37° 57. En el gráfico : AM = 4u; MN = 11u y NB = 5u. Calcule "xº". A M O N B F E xº a) 60° b) 113°/2 c) 90° d) 70° e) 67° 58. ABCD es un cuadrado y "T" es punto de tangencia. Calcule "x°". C D xº A B T a) 6° b) 8° c) 12° d) 16° e) 18°
TRILCE 77 59. Se tiene un triángulo rectángulo ABC circuncrito a una circunferencia de centro I; dicha circunferencia es tangente a los catetos AB y BC en P y Q respectivamente. Las prolongaciones de PI y QI corta a AC en R y L. Las circunferencias inscritas en los triángulos PAR y LQC son tangentes en M y N a AC respectivamente. Calcule MN, si los radios de las circunferencias menores miden 2 u y 3 u. a) 1 u b) 2,5 u c) 4 u d) 5 u e) 6 u 60. En el gráfico : P y Q son puntos de tangencia. Calcule : m + n. P Q n m 10º a) 90° b) 100° c) 110° d) 120° e) 130°
78 Geometría Claves Claves 21. 22. 23. 24. 25. 26. 27. 28. 29. 30. 31. 32. 33. 34. 35. 36. 37. 38. 39. 40. d b b a a c c b b b a b d c c d c c a b 41. 42. 43. 44. 45. 46. 47. 48. 49. 50. 51. 52. 53. 54. 55. 56. 57. 58. 59. 60. c b c d b c b c c e e e d c a a b b d b
TRILCE 79 Capítulo ÁNGULOS EN LA CIRCUNFERENCIA 7 * Ángulo Central  O A B º = mAB * Ángulo Inscrito  B º = A C mBC 2 * Ángulo Seminscrito  º =mEFH 2 E H F * Ángulo Exinscrito  º = mABC 2 A B C * Ángulo Interior º º = mAB+mCD 2 A B D C * Ángulo Exterior xº = mAB - mCD 2 A B D C x xº = mAB - mAC 2 A B C x
80 Geometría  º   º + º = 180º Polígono Inscrito R Circunferencia : circunscrita Radio : circunradio Polígono Circunscrito r Circunferencia : inscrita Radio : inradio CUADRILÁTERO INSCRIPTIBLE Es aquel cuadrilátero que acepta que se le describa una circunferencia por sus cuatro vértices. Para que esto suceda es necesario y suficiente que el cuadrilátero cumpla con una de las dos condiciones siguientes : Primera condición : A B C D ABCD es un cuadrilátero inscriptible Si : º+ º =180º   º º Segunda condición : A B C D º º Si : º = º   ABCD es un cuadrilátero inscriptible Observaciones : * Si un cuadrilátero cumple con una de las dos condiciones, entonces se cumplirán las dos a la vez. * Si un cuadrilátero es inscriptible, entonces la medida de un ángulo interior es igual a la medida del ángulo exterior opuesto.     A B C D ABCD inscriptible * Dado un triángulo al trazar dos alturas, se observa que se determina un cuadrilátero inscriptible. B E F A C AEFC : inscriptible A P Q C B APQC : inscriptible jhsf
TRILCE 81 01. En el gráfico, TP = 4 u y AB = 6 u, calcule : mTL, siendo "T" punto de tangencia. A B O T L P 02. En el gráfico, ABC es un triángulo equilátero. Calcule " º  ".  B D A C 100º º 03. En el gráfico, O es centro y CH = 4 u. Calcule CD. C A B O D H 04. Del gráfico, calcule "xº". Si : P , Q, R, F, S y T, son puntos de tangencia. 40º x B C A Q P R T F S º 05. En el gráfico : 1 O y 2 O son centros de las circunferencias. Q y T son puntos de tangencia. Calcule mPQ. 44º 44º O1 O2 T P Q 06. Se tienen 2 circunferencias de manera que la distancia entre sus centros y los radios de cada una de las circunferencias están en la relación de 3, 4 y 1 respectivamente. Por tanto, las circunferencias serían : Test de aprendizaje preliminar
82 Geometría 07. En el gráfico ABCD un romboide. Calcule "x°", B y D son puntos de tangencia. 15º xº A B C D 08. En el gráfico, calcule : "x°". 100º xº 09. En el gráfico : AC = BC, m )  ACB = 60°, calcule "xº". A B N M C 5 xº xº 10. En el gráfico, calcule " º " . Si : MF = ME.   B F M C A H E º º Practiquemos : 11. En la circunferencia de centro "O", calcule " º " .  20º 50º O A B C 12. Del gráfico, calcule " º " . 2 3 N M A B O R º º
TRILCE 83 13. Del gráfico, calcule "xº". (P es punto de tangencia). P xº 14. Si : A, B y C son puntos de tangencia. Calcule "xº". B A C 68º xº 15. En el gráfico, "T" es punto de tangencia MN // AC y la m )  CAB = 20°. Calcule la m )  TFA. A. M N F T C A B O 16. Se tiene un trapecio ABCD inscrito en una circunferencia ) AD // BC ( . Calcule la m )  BDA, si : mBC + mAD = 100º. 17. Se tiene un triángulo ABC y se traza la bisectriz interior BD , luego se traza una circunferencia que pasa por el vértice B y es tangente a AC en el punto D, además corta a los lados AB y BC en los puntos E y F, calcule la medida del ángulo C, si : mBE = 68°. 18. En el gráfico, P y Q puntos de tangencia, la m )  ABC = 10° y mPR = 32°. Calcule la mQS. Q B R P C A S
84 Geometría 19. En el gráfico, calcule " º  ", si "N" es punto de tangencia.  A M O B N 20. En un triángulo isósceles ABC : (AB = BC) m )  BFE = 32°, siendo E y F los puntos de tangencia sobre los lados AB y AC determinados por la circunferencia inscrita. Calcule la m )  B. Problemas propuestos 21. En el gráfico, calcule la mTP , si : 2(BO) = 3(AB). A T M C B O P a) 37° b) 53° c) 30° d) 60° e) 36° 22. Del gráfico mostrado, calcule "xº".   xº xº 4xº M a) 20° b) 30° c) 37° d) 22,5° e) 18° 23. En el gráfico, calcule AD, si : BD = 4u y AC = 12u.   A D B E C a) 6 u b) 7 u c) 8 u d) 10 u e) 5 u 24. En el gráfico se muestra dos circunferencias tangentes exteriormente en T, y tangentes a dos de los lados del triángulo rectángulo ABC, siendo los puntos de tangencia P , R, S, Q y T. Calcule la medida del ángulo REN. B P E M Q C A R S N T a) 30° b) 37° c) 45° d) 53° e) 60°
TRILCE 85 25. En el gráfico, mABC = 220º, calcule la m )  QPS. B A Q S C P a) 30° b) 40° c) 50° d) 35° e) 80° 26. En el gráfico, calcule "xº", si : mAB + mBC =80º. Donde : A y C son puntos de tangencia. A C B xº a) 50° b) 40° c) 5° d) 35° e) 30° 27. En el gráfico, el punto "H" es el centro de los dos arcos de circunferencia mostrados. T y P puntos de tangencia y la m )  HBC = 50°, calcule m )  BTP . . B T P H A C a) 60° b) 20° c) 40° d) 50° e) 30° 28. En el gráfico, EF = FC. Calcule la mAC. (F y E son puntos de tangencia). A C D B F O E a) 15° b) 18° 30' c) 22°30' d) 26°30' e) 30° 29. En el gráfico : A, B, C y D son puntos de tangencia, ETNB es un romboide y mCD = 3 2 (m )  ALB). Calcule la m )  BNC. A E T D C K B N L a) 2 45 b) 45° c) 135° d) 37° e) 53° 30. Desde un punto "P" exterior a la circunferencia, se trazan las tangentes PA y PB ; en PA está el punto "E", tal que: OE = EP; la tangente EF determina el arco FB (mFB = 32º). Calcule la m )  EOP y "O" : centro de la circunferencia. a) 16° b) 24° c) 32° d) 48° e) 64° 31. En el gráfico, calcule "xº", siendo F punto medio de tangencia, m )  AFB = 30°. 70º x D P E M A F B º a) 50° b) 45° c) 30° d) 40° e) 35° 32. En el gráfico : mAB =100°. Calcule la m )  APQ.  E C D P Q B A  a) 50° b) 60° c) 30° d) 45° e) 55°
86 Geometría 33. Se tiene un triángulo ABC inscrito en una circunferencia; sobre AB y BC se ubican los puntos P y Q, tal que : mPB = mBQ. Calcule : m )  BAC + m )  BEQ, siendo: {E} = PQ BC  . a) 90° b) 100° c) 120° d) 180° e) 160° 34. En el gráfico, calcule la m )  EPF, si : º º    = 140°, E y F son puntos de tangencia. Además : AB // EF . º   P E F A B º a) 120° b) 140° c) 130° d) 150° e) 125° 35. En un triángulo isósceles ABC (AB = BC) se trazan las cevianas AD y BF , que se forman en un punto "E", tal que la m )  DAC = 60°. Calcule la m )  ABE, si el cuadrilátero CDEF es inscriptible. a) 20° b) 60° c) 80° d) 30° e) 5° 36. En el gráfico se muestra un arco de circunferencia ADCB, donde AB es el diámetro del arco de circunferencia se cumple que : m )  CAB = 20°, además : DP es paralelo a AC y DP es tangente al arco. Calcule la m )  PDB. A B C D P a) 45° b) 55° c) 25° d) 65° e) 35° 37. En el gráfico :    62 º ,    68 º ,    50 º . En la circunferencia inscrita, determinados puntos de tangencia son E,F, G. Calcule las medidas de los ángulos GEF, EFG y FGE respectivamente.    B E F M A C G º º º a) 65°, 59°, 56° b) 60°, 60°, 60° c) 50°, 62°, 68° d) 68°, 60°, 62° e) 62°, 68°, 60° 38. En el gráfico, calcule la medida del ángulo BFC, si los arcos AB y DEG miden 80° y 100°, respectivamente. A B C D G E F a) 20° b) 15° c) 30° d) 10° e) 25° 39. En el gráfico, AB y AC son tangentes a la circunferencia. Si : m )  BAC = 72º y los arcos BD, DE y EC son congruentes, calcule la medida del ángulo DBE. B D A E C a) 28° b) 36° c) 40° d) 42° e) 48° 40. En el gráfico, la recta PT es tangente común a las dos circunferencias secantes. Si el ángulo ABC mide 38°. Calcule la medida del ángulo MQN. 38º B P Q T M N A C a) 148° b) 142° c) 138° d) 152° e) 128° 41. Del gráfico, calcule mOB. 15º B O a) 20° b) 35° c) 40° d) 30° e) 50°
TRILCE 87 42. En el gráfico la mBC = 40°. Calcule la m )  PQR. B C Q P R D A a) 120° b) 150° c) 140° d) 160° e) 135° 43. En el gráfico : mAP - mBP = 28º. Calcule lam )  AMB, donde : A, P y B, son puntos de tangencia. P A B M a) 28° b) 21° c) 14° d) 7° e) 30° 44. En el gráfico : mAB = 100°. Calcule "xº". (T es punto de tangencia). xº B A T a) 25° b) 40° c) 45° d) 50° e) 80° 45. En el gráfico, si : BH = 4 u y HE = 6 u. Calcule BC. B C F A D H E a) 2 u b) 3 u c) 4 u d) 5 u e) 6 u 46. En el gráfico : mAB = º y mBC = º. Encuentre la relación correcta : A B C a) º 2 º    b) º º 2 2    c)      90 º 2 º d)      180 º 2 º e)      270 º 3 º 2 47. En el gráfico : mMN = mNP; mAM = mNB = 40°. Calcule "xº". x P R M N R A B º a) 20° b) 25° c) 30° d) 35° e) 40° 48. En el gráfico, calcule "  º" mAB= 50º; A y B son puntos de tangencia. A B O º a) 85° b) 110° c) 80° d) 100° e) 90° 49. En el gráfico, AB = 12 m y "O" es centro de la circunferencia. Calcule OH. O A C H D B F a) 4 u b) 5 u c) 3 u d) 6 u e) 1 u
88 Geometría 50. En el gráfico, calcule "xº", si : A, B, C, D, E; son puntos de tangencia. º x x A C B D O E º a) 30° b) 15° c) 22°30' d) 20° e) 25° 51. En el gráfico, calcule la m )  ABC, si : P , Q, R y T son puntos de tangencia y además : m )  PMT = m )  ABC. B M A P Q R T C a) 30° b) 45° c) 50° d) 60° e) 80° 52. En el gráfico : CD // MP y mAMC + mNB = 160º. Calcule "xº". x A M C N B P D º a) 80° b) 100° c) 50° d) 65° e) 70° 53. En el gráfico : A, B, C y D son puntos de tangencia. mAB = 120º y mAE = 110º. Calcule "xº". x A E D B C º a) 50° b) 40° c) 30° d) 25° e) 20° 54. En el gráfico, mAB = 100º. Calcule "xº". º P B Q C A x a) 50° b) 40° c) 60° d) 70° e) 80° 55. En el gráfico, calcule la m )  MSL. Si : mAP = 100º, mAB = 20º; (P , S y T son puntos de tangencia) y 2 1 L // L . P S A B T L M L1 L2 a) 60° b) 70° c) 80° d) 85° e) 90°
TRILCE 89 56. Del gráfico, calcule "xº".      xº a) 30° b) 45° c) 60° d) 53° e) 90° 57. En el gráfico, calcule "xº", siendo C y D puntos de tangencia. xº E F O D B C A xº a) 50° b) 70° c) 60° d) 65° e) 55° 58. En el gráfico : B, C y D son puntos de tangencia. Calcule la mAB .   A B C D º º a) 2 º 3 b) º 2 c) º  d) 2 º º 90   e) 2 º 90   59. En el gráfico, T y M son puntos de tangencia. Calcule "xº". 100º x 10º T M a) 20° b) 10° c) 15° d) 40° e) 35° 60. En el gráfico, calcule "xº". A, B, C, D y E son puntos de tangencia. A B C D E x a) 30° b) 45° c) 60° d) 90° e) 50°
90 Geometría Claves Claves 21. 22. 23. 24. 25. 26. 27. 28. 29. 30. 31. 32. 33. 34. 35. 36. 37. 38. 39. 40. b b c c b a c d c a e a d b b b a d d b 41. 42. 43. 44. 45. 46. 47. 48. 49. 50. 51. 52. 53. 54. 55. 56. 57. 58. 59. 60. c c a d a d c b d c d a a a c c c b a b
TRILCE 9 1 Capítulo PUNTOS NOTABLES 8 Son los puntos de concurrencia de las líneas notables de un triángulo. I. BARICENTRO : Es el punto de intersección de las 3 medianas de un triángulo. Propiedad : El baricentro determina en cada mediana dos segmentos que están en la relación de 2 es a 1. B A C Q M G N G Baricentro del ABC  BG = 2GN BN 3 1 GN ; BN 3 2 BG   c a b b a c II. INCENTRO : Es el punto de intersección de las 3 bisectrices interiores de un triángulo. B A C       I r r r "I" Incentro del ABC  Propiedades : Primera : El incentro es el centro de la circunferencia inscrita. Segunda : El incentro equidista de los lados del triángulo. (una distancia r)  inradio. . III. ORTOCENTRO : Es el punto de concurrencia de las tres alturas de un triángulo. 1. En un triángulo acutángulo, el ortocentro se encuentra en la región triangular. 2. En un triángulo obtusángulo, el ortocentro es exterior al triángulo. 3. En un triángulo rectángulo, el ortocentro se encuentra en el vértice del ángulo recto.
9 2 Geometría B A C ortocentro A C B ortocentro  Acutángulo  Obtusángulo 1. 2. ortocentro B C A H  Rectángulo 3. IV. CIRCUNCENTRO : Es el punto de intersección de las mediatrices, de los lados de un triángulo. O R R R C B A O R R R C B A "O" Circuncentro del ABC  a c b a b c a b c a b c
TRILCE 9 3 O R R R C B A c a a c Propiedades : 1ra. : El circuncentro es el centro de la circunferencia circunscrita. 2da. : El circuncentro equidista de los vértices del triángulo. (Una distancia R). R  circunradio. . V. EXCENTRO : Es el punto de intersección de dos bisectrices exteriores y una bisectriz interior. Nota : Todo triángulo tiene tres excentros.     E   B A C E Excentro relativo al lado BC Ra Ra Ra Propiedades : 1ra. Propiedad : El excentro es el centro de la circunferencia exinscrita. 2da. Propiedad : El excentro equidista de un lado y de las prolongaciones de los otros dos lados, (una distancia a R ) a R  Exradio relativo a BC .
9 4 Geometría TRIÁNGULOS PARTICULARES 1. TRIÁNGULO MEDIANO : Es el triángulo que se determina al unir los puntos medios de los lados de un triángulo. B A C M N Q G MNQ mediano o complementario del ABC   Propiedad : Baricentro del ABC  Baricentro del MNQ  G c a b a b c 2. TRIÁNGULO EX-INCENTRAL : Es el triángulo que se determina al unir los tres excentros.             A B C E F H O EFH ex-incentral del ABC   Propiedad : Ortocentro del EFH Inc  entro del ABC  O 3. TRIÁNGULO ÓRTICO O PEDAL : Es el triángulo que se determina al unir los pies de las 3 alturas de un triángulo. A B C F H E O    EFH es el órtico del ABC Propiedades : 1ra. Propiedad : Ortocentro del ABC In  centro del EFH  O 2da. Propiedad : Siendo : Ê , F̂ y Ĥ los ángulos internos de EFG. ) Â m ( 2 180 Ĥ m    ) B̂ m ( 2 180 Ê m    ) Ĉ m ( 2 180 F̂ m   
TRILCE 9 5 3ra. Propiedad : A, B y C son excentros del EFH. PROPIEDADES ADICIONALES 1. A B C H O   Siendo : H Ortocentro O Circuncentro   = 2. La distancia del ortocentro a un vértice es el doble de la distancia del circuncentro al lado opuesto del vértice considerado. A B C H O M H Ortocentro O Circuncentro HB = 2 OM 3. El ortocentro, baricentro y circuncentro se encuentran en una misma recta; llamada la Recta de Euler. A B C H O G Recta de Euler H A B G Recta de Euler H Ortocentro G Baricentro O Circuncentro * Acutángulo  * Obtusángulo 
9 6 Geometría 01. En el gráfico : AD y BM son medianas del triángulo rectángulo ABC, y AC = 30 u. Calcule "x" e "y" en metros. A M C B D x y 02. Un triángulo ABC se trazan las alturas AE y BF que se intersectan en "D". Si el ángulo ADC mide 125°. Calcule la m )  ABE. 03. En un triángulo ABC, de baricentro G, m )  BGC = 90°, m )  GBC = 30°; GC = 2m. Calcule AG. 04. En el arco AC de una semicircunferencia de diámetro AC , se ubica el punto"B", tal que "E" es el excentro del triángulo ABC relativo a BC , AE interseca al arco BC en "D"; tal que BD = 2u. Calcule CE. Test de aprendizaje preliminar 05. En un cuadrilátero ABCD; m )  B = 120°; m )  D = 110°, m )  ABD = 60° y m )  ADB = 40°. Calcule la medida del ángulo que forman sus diagonales. 06. La distancia entre el centro de la circunferencia circunscrita a un triángulo rectángulo y el punto de intersección de sus tres alturas es igual a : 07. En un triángulo ABC acutángulo la m )  BAC = 72°. Calcule la m )  OBC, siendo "O" su circuncentro. . 08. En un triángulo ABC se traza la ceviana interior BR , tomando como diámetro AR se traza la semicircunferencia que intersecta a BR en "O". Calcule la m )  BCA, si "O" es el circuncentro del triángulo ABC. 09. En un triángulo ABC de circuncentro "K" y excentro relativo a BC "E". Calcule la m )  BKC, siendo la m )  BEC = 60°.
TRILCE 9 7 14. En un triángulo ABC de incentro "I" y excentro "E" relativo al lado BC , la diferencia entre el exradio relativo a BC y el inradio es dos veces la distancia del vértice C a EI , y además la m )  ABC = 30°. Calcule la m )  ACB. 15. En el gráfico, calcule "xº", si : M y N son puntos medios de CH y AH respectivamente. 60º R M x A C N H B 16. Calcule "xº", si : I, 1 I , 2 I son incentros de los triángulos ABC, AHB y BHC respectivamente. B A C I I1 I2 x H 10. Se tiene un triángulo ABC de ortocentro "O" y circuncentro "K", m )  ABC = 60° en el cual se traza la altura BH . Calcule la m )  KOH, si : m )  AOH = 40°. Practiquemos : 11. En el gráfico, calcule x°, si "E" es el excentro del triángulo ABC. A B E C 40º 25º xº 12. En un triángulo acutángulo ABC, se cumple que : m )  AHC = 2m )  AKC, donde "H" es el ortocentro y "K" el es circuncentro del triángulo ABC. Calcule la m )  B. 13. En un triángulo acutángulo ABC, se ubica el ortocentro "H" y se traza el cuadrado BHGL, G pertenece a BC . Calcule la m )  HGA, si: m )  ABC = 54°.
9 8 Geometría 17. En el gráfico : BO // PQ , "H" y "O" son ortocentro y circuncentro del triángulo ABC, respectivamente. Calcule "xº". B A C H x Q O P º 18. En el gráfico, "G" es el baricentro de la región triangular ABC, calcule BP , si : AG = 12 u y PC = 16 u. ("G" es punto de tangencia). B A P G T C H 19. Se considera el triángulo ABC de ortocentro H. Calcule " º  ". H  B A C  2 20. En el gráfico, "O" es el circuncentro del triángulo ABC. Calcule "xº". xº B A C O
TRILCE 9 9 Problemas propuestos 21. En el gráfico mostrado, "I" es incentro del triángulo ABC, AM = AN y AI = 3u. Calcule : PQ.   4 B Q M P A N C I a) 3 3 u b) 8 u c) 6 u d) 2 6 u e) 2 3 u 22. Se tiene un triángulo rectángulo ABC, recto en B, de incentro I, se traza AC IH  . Calcule HC si su exradio relativo a BC mide 4 m. a) 3 m b) 4 m c) 2 4 m d) 2 m e) 3 4 m 23. En la prolongación de lado AB de un cuadrilátero ABCD se marca el punto E, tal que : m )  EBC = 48°, m )  CBD = 78°, m )  BDC = 30°, m )  ADB = 54°. Calcule la m )  BAC. a) 9° b) 18° c) 36° d) 30° e) 54° 24. Se tiene un triángulo isósceles ABC de base AC , ortocentro "H" y circuncentro "O". m )  OAH = m )  OBC. Calcule la m )  ABO. . a) 15° b) 18° c) 18°30' d) 22°30' e) 26°30' 25. Se tiene un triángulo acutángulo ABC, de ortocentro "H" y circuncentro "O". Calcule la m )  HBO, si : m )  BAC - m )  ACB = 40°. a) 20° b) 30° c) 40° d) 50° e) 60° 26. En el gráfico : "H" es el ortocentro del triángulo ABC, "O" es el circuncentro y 5 6 OB HB  . Calcule la suma de las medidas de los ángulos HCO y OBC. B A C O H a) 30° b) 37° c) 45° d) 53° e) 60° 27. En un triángulo ABC acutángulo de ortocentro "O", la recta de Euler corta en el punto "F" al lado AC. Calcule la m )  FDC. Si AF = 2FC = 2OB. ("D" es circuncentro del triángulo ABC). a) 53°/2 b) 37°/2 c) 45° d) 30° e) 60° 28. En un triángulo ABC, se ubican los puntos interiores "H" (ortocentro) y "O" (circuncentro), m )  ABC = 60°. Calcule la medida del ángulo que forman las rectas BC y HO. a) 30° b) 45° c) 60° d) 90° e) 40° 29. En un triángulo acutángulo ABC de ortocentro "H", la recta de Euler interseca a los lados AB y BC en los puntos P y Q respectivamente, tal que : PB = BQ. Calcule la distancia de P a BC . Si : AH + HC = 18 u. a) 9 u b) 10 u c) 6 u d) 4,5 u e) 3 u 30. En un triángulo ABC, se tiene que : BH = BO, m )  ABH = 2m )  HBO. Calcule la m )  HAO, , siendo "H" el ortocentro y "O" su circuncentro. a) 9° b) 5° c) 10° d) 8° e) 6° 31. Para determinar en un plano la posición de un punto equidistante de 3 puntos A, B y C (que no pertenecen a una línea recta), se busca la intersección de : a) Las bisectrices de los ángulos ABC y BCA. b) Las mediatrices de AB y AC . c) La bisectriz de ABC y la mediatriz de AC . d) La mediatriz de AB y la bisectriz del ángulo ABC. e) La altura y la mediatriz de AB y BC .
100 Geometría 32. Sea un triángulo ABC inscrito en una circunferencia y sean los puntos C', B' y A' los puntos medios de los arcos AB, BC y CA respectivamente. ¿Qué punto notable es el incentro del triángulo ABC para el A'B'C'? a) Ortocentro. b) Incentro. c) Circuncentro. d) Baricentro. e) Excentro. 33. En un cuadrado ABCD en los lados BC y CD se ubican los puntos medios M y N, tal que } P { BN AM   . ¿Qué punto notable es el centro del cuadrado respecto al triángulo NPA? a) Ortocentro. b) Ex-centro. c) Baricentro. d) Incentro. e) Circuncentro. 34. Las prolongaciones de las alturas en un triángulo acutángulo ABC intersectan a la circunferencia circunscrita en los puntos M, N y P . ¿Qué punto notable es el ortocentro del triángulo ABC respecto al triángulo MNP? a) Ortocentro. b) Excentro. c) Baricentro. d) Incentro. e) Circuncentro. 35. En el gráfico, AP = PQ = QC. ¿Qué punto notable es "K" respecto del triángulo ABC? 60º B P Q K A C a) Incentro. b) Circuncentro. c) Ortocentro. d) Baricentro. e) Excentro. 36. En el gráfico mostrado, ¿qué punto notable es "O", para el triángulo ABC? (A, B, puntos de tangencia). O' O A B C a) Incentro. b) Baricentro. c) Ortocentro. d) Circuncentro. e) Excentro. 37. En el gráfico : P , Q y T puntos de tangencia, ¿Qué punto notable es "D" para el triángulo OBA? O Q B D T P A C a) Ortocentro. b) Baricentro. c) Incentro. d) Circuncentro. e) Jerabek. 38. Sobre los lados BC y AD de un rectángulo ABCD se toman los puntos M y P respectivamente, tal que : PMCD es un cuadrado de centro O, si : } Q { } MP AO {   , AB = BQ. Calcule la m )  OAD. a) 15° b) 26°30' c) 22°30' d) 18°30' e) 30° 39. ¿Qué punto notable es el vértice de un ángulo obtuso de un triángulo obtusángulo para su respectivo triángulo pedal? a) Baricentro. b) Circuncentro. c) Incentro. d) Ortocentro. e) Punto de Gergonne. 40. En un triángulo ABC interiormente se ubica el punto "P" y sobre los lados AC y BC los puntos R y Q respectivamente, tal que los triángulos APR y BPQ son equiláteros, además m )  RPQ = 90°. Decir qué punto notable es "P" del triángulo ABC. a) Ortocentro. b) Incentro. c) Baricentro. d) Circuncentro. e) Cualquier punto. 41. En un triángulo isósceles ABC, la : m )  B = 120°. Calcule la m )  IEK, siendo : I : incentro y E : excentro relativo al lado BC y K = circuncentro. a) 15º b) 20º c) 30º d) 25º e) 35º 42. En un triángulo ABC, se sabe que : m )  A = m )  C = 30° y AC = 6 9 dm. Calcule la distancia del circuncentro al excentro del triángulo relativo a BC . a) 9 dm b) 12 dm c) 18 dm d) 21 dm e) 27 m
TRILCE 101 43. En un triángulo acutángulo ABC por A y C se trazan perpendiculares a AC que intersecta a la recta de Euler en M y N respectivamente. Calcule la longitud del circunradio. Si : AM = 2 u, CN = 4 u y BH = BO; donde "H" es el ortocentro y "O" es el circuncentro del triángulo ABC. a) 2 u b) 3 u c) 4 u d) 5 u e) 6 u 44. Los lados AB , BC y AC de un triángulo ABC miden 7 cm; 8 cm y 10 cm respectivamente. Por el incentro, se trazan paralelas a los lados. Calcule la suma de los perímetros de 2 triángulos entre el tercero formado por dichas paralelas que tienen en común el incentro. a) 17 cm b) 2 cm c) 5/3 cm d) 17/7 cm e) 3/2 cm 45. En un triángulo acutángulo ABC por A y C se trazan las perpendiculares a AC que intersecta a la recta de Euler en M y N respectivamente. Calcule BO. Si : AM = a, CN = b y BH = BO, donde : "H" es el ortocentro y "O" es el circuncentro del triángulo ABC. a) 2 b a  b) 3 b a  c) 2 b a  d) a + b e) 2(a+b) 46. Se tiene un triángulo ABC : BC = 48 u y la distancia del incentro al excentro relativo a BC es 50u. Calcule la m )  BAC. a) 16° b) 32° c) 64° d) 74° e) 106° 47. En un triángulo ABC, de excentro "E" relativo a AB . Calcule la medida del ángulo formado por las bisectrices de los ángulos EAB y ECB. Si : m )  ABC = 36°. a) 9° b) 18° c) 27° d) 36° e) 5° 48. En un triángulo actuángulo ABC : m )  A =  . Calcule una de las medidas de los ángulos internos de su triángulo pedal. a)     90 b)     2 90 c)     180 d)     2 180 e) 2 90     49. En el gráfico, calcule x°, siendo "I" el incentro del triángulo ABC y además : mPQ + m RS = 60°. xº B A C I P R Q S a) 60° b) 40° c) 100° d) 90° e) 80° 50. Del gráfico AB es tangente, tal que : AC y DC son diámetros. Calcule "xº".  xº  B A C D a) 30° b) 60° c) 15° d) 37° e) 45° 51. Del gráfico, calcule : x°. 20º 20º 10º 20º xº a) 10° b) 15° c) 20° d) 5° e) 30° 52. Del gráfico, calcule "x°", siendo : H : ortocentro, K : circuncentro y        36 .   B A C H K x a) 18° b) 24° c) 5° d) 72° e) 36°
102 Geometría 53. En un triángulo isósceles ABC : la m )  ABC = 120° y AC = 2 3 u. Calcule la distancia del circuncentro al excentro relativo a BC . a) 2 u b) 3 u c) 2 2 u d) 2 3 u e) 2 5 , 1 u 54. En un triángulo ABC, la m )  BAC = 24°, m )  BCA = 30°; se traza la ceviana BF , tal que AB = FC. Calcule la m )  FBC. a) 60° b) 75° c) 72° d) 84° e) 96° 55. En un triángulo acutángulo ABC, el ortocentro es "H" y el circuncentro es "O". Si la distancia de "O" a AC es 4 cm y AC // HO . Calcule la longitud de la altura relativa a AC del triángulo ABC. a) 10 cm b) 8 cm c) 6 cm d) 14 cm e) 12 cm 56. En el gráfico, calcule "xº", si :   = 80° y M, N y P son puntos de tangencia. º x B M N A C P I º a) 10° b) 20° c) 30° d) 40° e) 50° 57. En el gráfico, "I" es incentro. Calcule IP , si : AC = 3 10 u y m )  ABC = 60°. I O B A C P a) 5 u b) 10 u c) 20 u d) 15 u e) 3 10 u 58. Se tiene una región triangular ABC de baricentro G, con centro en A y radio AG se traza un arco que interseca a AB y AC en M y N, respectivamente, de tal forma que G CM BN   . Calcule BC, si el radio del arco es 4u. a) 8 u b) 7 4 u c) 7 2 u d) 5 6 u e) 10 u 59. Se tiene el triángulo ABC inscrito en una circunferencia, sobre el arco BC se toma el punto P , tal que : BP = 4 2 u. Calcule la distancia entre los ortocentros de los triángulos ABC y APC. a) 2 u b) 4 u c) 6 u d) 2 2 u e) 4 2 u 60. Si la circunferencia inscrita del triángulo ABC es tangente a los lados BC, CA y AB en P , Q y R, respectivamente, las líneas AP , BQ, CR, son concurrente. El punto de concurrencia es llamado. a) Incentro. b) Ortocentro. c) Baricentro. d) Circuncentro. e) Punto de Georgonne.
TRILCE 103 Claves Claves 21. 22. 23. 24. 25. 26. 27. 28. 29. 30. 31. 32. 33. 34. 35. 36. 37. 38. 39. 40. c b b d c b a c a e b a d d b d a c c a 41. 42. 43. 44. 45. 46. 47. 48. 49. 50. 51. 52. 53. 54. 55. 56. 57. 58. 59. 60. c c e e d b c d e e c e c e e c b b e e
TRILCE 105 Capítulo PROPORCIONALIDAD Y SEMEJANZA 9 TEOREMA DE THALES Si tres o más rectas paralelas, son intersecadas por dos rectas secantes a las paralelas; entonces, se determinan entre las rectas paralelas, segmentos proporcionales. d c b a  a b c d L1 L2 L3 m n Si : L1 L2 L3 // // * * m y n secantes Propiedad : B A C x z y w L M N Si : // AC L w z y x  Teorema de Thales en un triángulo. Propiedad de la Bisectriz En un triángulo, los lados que forman el vértice de donde se traza la bisectriz son proporcionales a los segmentos determinados por dicha bisectriz en el lado opuesto o su prolongación. B A C   D a m n * Bisectriz Interior * Bisectriz Exterior n m a c  C a B A   E n m n m a c 
106 Geometría TEOREMA DEL INCENTRO El incentro determina en cada bisectriz dos segmentos que son proporcionales a la suma de los lados que forman el vértice de donde parte la bisectriz y al tecer lado. B A C   D a     b I "I" incentro b a c ID BI   TEOREMA DE MENELAO Si se traza una recta transversal a los lados de un triángulo, se determinan sobre dichos lados 6 segmentos, donde el producto de 3 de ellos no consecutivos es igual al producto de los otros 3 restantes. E D A C F B x m n y q z L L secante m.n.q = x.y.z TEOREMA DE CEVA Si en un triángulo se trazan 3 cevianas interiores concurrentes, se determinan sobre los lados 6 segmentos, donde el producto de 3 de ellos no consecutivos es igual al producto de los otros 3 restantes. E D A C F B x m n y z m.n.q = x.y.z O q * AD , BE y CF cevianas * "O" cevacentro SEMEJANZA Definción : Dos figuras son semejantes se tienen la misma forma, y tamaños distintos. Ejm. : 4u 3u l l l l * * 2 l 2 l 2
TRILCE 107 SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS Dos triángulos son semejantes si tienen sus ángulos respectivamente congruentes y sus lados homólogos respectivamente proporcionales. Lados Homólogos : Se denomina así a aquellos lados que se oponen a ángulos congruentes en triángulos semejantes Primer Caso : Dos triángulos serán semejantes si tienen 2 ángulos internos respectivamente de igual medida.     Segundo Caso : Dos triángulos serán semejantes si tienen dos lados respectivamente proporcionales y el ángulo comprendido entre dichos lados congruentes.  a b  ak bk Tercer Caso : Dos triángulos serán semejantes, si sus tres lados son respectivamente proporcionales. a b ak bk c ck Observaciones : En dos triángulos semejantes, sus lados homólogos, así como sus elementos homólogos : (alturas, bisectrices, medianas, inradios, circunradios, etc.), son respectivamente proporcionales. h B A C    b c a r H E D F    e f d r1 Se cumple : k ...... H h r r f c e b d a 1      
108 Geometría 01. "O" es centro de la semicircunferencia. CP = 8 u; DP = 2 u; AB = 8u. Calcule PB. A D B C O P 02. Calcule el lado del cuadrado, mostrado en la figura, en función de la base "b" del triángulo sobre el cual descansa y de la altura "h" relativa a dicha base. h b 03. Según el gráfico : OD // BC y OD = 2AB. Calcule BC. Si : AD = 4u. O D A C B 04. En el gráfico, BC = 15 u. Calcule DC, si : G es baricentro del triángulo ABC y L es paralela a AB . A B C D G L 05. Del gráfico, calcule MQ, si : BC = 25 u y TC = 4AT. M y T : puntos de tangencia. A B C T M Q 06. En el gráfico, calcule el radio de la cicunferencia mayor donde : OC = 5 m, BC = 4 m. O A B C Test de aprendizaje preliminar
TRILCE 109 07. En el gráfico, se tiene un rectángulo ABCD en el cual : AD = 2CD, y donde : m )  OMA = m )  BPO. Si : MN y PQ se intersectan en O, de modo que : PO = 2 cm, QO = 4 cm y MO = 5 cm. Calcule NO. B C D A M P N O Q 08. Calcule la medida de la hipotenusa del triángulo ABC. Si : 20 y x 2 2   u2 ; 8  l u. l l x y A B C 09. RS = 10 u, ES = 5 u, VE = 3 u. Calcule ST.     R S T V E 10. P , Q y T son puntos de tangencia, a y b son los radios de las semicircunferencias. Determinar la distancia de T a la recta PQ . O O' a b P Q T Practiquemos : 11. En un triángulo ABC, se ubica el incentro "I" sobre la bisectriz BM , de tal manera que : 3IB = 2BM. Calcule AC, si : AB + BC = 24 u. 12. En un triángulo ABC, se trazan las cevianas interiores AM , BN y CL concurrentes en P , de tal manera que: 5AL = 2AB y 9BM = 5BC. Calcule : ) PN PB ( . 13. En un triángulo ABC, se traza la bisectriz interior BF , luego por F se traza AB // FQ (Q en BC ), la bisectriz del ángulo FQC intersecta a AC en R. Si : FR = a y RC = b. Calcule AF.
110 Geometría 14. Del punto medio P del cateto AB de un triángulo ABC, recto en B, se traza la perpendicular PH a la hipotenusa AC . De tal manera que : AH = 6 u y HC = 9 u. Calcule PB. 15. Calcule la longitud de la altura de un trapecio rectángulo, cuyas diagonales son perpendiculares entre sí y las bases miden 6 y 12 unidades. 16. Los lados AB y AC de un triángulo ABC miden 8 m y 10 m. Si la distancia del incentro al excentro relativo a BC es "x" y la distancia del incentro al vértice A es 5 m. Calcule "xº". 17. En un triángulo rectángulo ABC, recto en B, se inscribe un cuadrado PLMN, de modo que el lado PN descansa sobre la hipotenusa AC . Calcule AC, si : LM = 12 u y AP - NC = 10 u. 18. Se tiene un triángulo ABC, sobre los lados AB y BC se construyen exteriormente los cuadrados ABPQ y BCMN. Calcule la medida del menor ángulo que determinan AN y MQ . 19. En un triángulo ABC, se trazan las alturas AM y CN , de modo que : AB = 5 u, NB = 3 u y BC = 6 u. Calcule BM. 20. Se tiene un triángulo ABC, AB = c, BC = a y AC = b; donde la medida del ángulo "A" es dos veces la medida del ángulo "B". Si : b = 4 y c = 5. Calcule : b a . Problemas propuestos 21. En un triángulo ABC, se trazan las alturas BH y CN ; de tal manera que : AN = 12 u, BN = 4 u y AH = 9 u. Calcule HC. a) 15 u b) 13, 8  u c) 14 u d) 13,2 u e) 12, 3  u 22. Las longitudes de los lados de un triángulo son 4, 7 y 10 cm. Si otro triángulo semejante al primero, tiene un perímetro de 147 cm. Calcule la longitud de su lado menor. a) 28 cm b) 24 cm c) 32 cm d) 20 cm e) 48 cm 23. Los lados de un triángulo ABC miden : BC = 6 u, CA = 8 u, AB = 4u, respectivamente. Por un punto M de AB se traza la paralela MN al lado BC . Calcule la longitud de AM, de modo que el perímetro del triángulo MAN sea igual al perímetro del trapecio BMNC. a) 3,5 u b) 2,0 u c) 1,5 u d) 2,5 u e) 3,0 u 24. En un rombo ABCD, de 12 m de lado, se toma el punto medio M de BC . AM corta a BD en G y DM a AC en H. Calcule GH. a) 4 m b) 6 m c) 2 2 m d) 2 3 m e) m
TRILCE 111 25. En un triángulo rectángulo, la bisectriz del ángulo recto divide a la hipotenusa en dos segmentos cuyas longitudes son 3 y 1, respectivamente. El menor de sus ángulos mide : a) 30º b) 45º c) 18º d) 60º e) 15º 26. En un triángulo ABC, se cumple que : m )  BAC = 2m )  BCA; AB = 6 u y AC = 8 u. Calcule BC . a) 21 3 u b) 21 u c) 21 2 u d) 14 2 u e) 14 3 u 27. En la figura mostrada, el punto "O" es el ortocentro del triángulo ABC; BN = 2u, MB = 3u. Calcule OC. AB + BC = 10u. C A B O N M a) 8 3 3 u b) 3 3 8 u c) 3 3 8 u d) 3 2 27 u e) 2 3 3 u 28. Si los radios de dos circunferencias miden 3 y 1 m. La mínima distancia entre los centros es 10 m, entonces la distancia entre el punto de intersección de las tangentes interiores y el punto de intersección de las tangentes exteriores comunes a las dos circunferencias es : a) 14 m b) 7,5 m c) 7 m d) 1,2 m e) 6,5 m 29. Por el baricentro G, de un triángulo ABC se traza una recta que corta a AB en E y a BC en F. Calcule FC. Si : AE = a, EB = b y BF = c. a) a ) c a ( b  b) a ) b a ( c  c) b ) a b ( c  d) b ) a b ( c  e) b ) a b (  30. En la figura, ABCD es un cuadrado y ED = 2 3 u. Calcule NC. B C A D E M N 45º a) 2 u b) 2 u c) 2 2 u d) 3 u e) 2 3 u 31. En un triángulo rectángulo AB recto en B, se trazan las bisectrices interiores AM y CN , de tal manera que : 5 CM 1 AN 1   . Calcule la longitud del radio de la circunferencia inscria en el triángulo ABC. a) 5 u b) 1 u c) 2 u d) 3 u e) 5 1 u 32. En la figura, A y B son puntos de tangencia. Si : MN . PQ = 2 4 2 u . Calcule : AM . BP . . N M Q P A B a) 2 u 2 4 b) 2 u 8 c) 2 u 4 d) 2 u 2 8 e) 2 u 2 6 33. En la figura mostrada, calcule la relación de los perímetros de los triángulos BAM y BCM respectivamente. B A M C a) 1 b) 2 c) 1/2 d) 1/3 e) 3/4
112 Geometría 34. En un triángulo ABC, AB = 3u, BC = 12u. Calcule la longitud de la bisectriz interior BM, si : m )  B = 120°. a) 2 u b) 2,4 u c) 4 u d) 5 u e) 6 u 35. Se tiene un triángulo rectángulo ABC recto en B. Si en AB se ubican los puntos P y Q, tal que : m )  ACP = m )  PCQ = m )  QCB; AP = a y PQ = b. Calcule QB. a) b 2 ) b a ( a  b) b ) b a ( a 2  c) ) b a ( a b  d) ) b a 2 ( a b  e) a 2 ) b a ( b  36. En el gráfico : EF = 3u, FG = 2u. Calcule GH, si : "T" es punto de tangencia. T H E F G a) 1 u b) 2 u c) 3 u d) 4 u e) 2,5 u 37. Se tiene un triángulo ABC acutángulo con AC = 12 m. En su interior, desde un punto "F", se trazan las perpendiculares FD y FE a los lados AB y BC respectivamente. Si : DE = 4 y BF = 6. Calcule el circunradio del triángulo ABC. a) 10 m b) 9 m c) 12 m d) 15 m e) 20 m 38. Sea ABC un triángulo, donde : AB + BC = 18 dm y el segmento que une el incentro con el baricentro es paralelo al lado AC . Calcule AC. a) 6 dm b) 8 dm c) 9 dm d) 12 dm e) 16 dm 39. En un triángulo ABC, se trazan 3 cevianas concurrentes AM , BN y CP ; la prolongación de PM intersecta a la prolongación de AC en Q. Si : AN = a y NC = b. Calcule CQ. a) b a ) b a ( a   b) b a ) b a ( b   c) b 2 a ) b a ( b   d) b a 2 ) b a ( a   e) 2 ) b a ( b  40. En la figura : P , Q, T son puntos de tangencia. Si : RS = a. Calcule AC. B S R P Q A C T a) a b) 2a c) 2 a d) a 3 e) 0,75 . a 41. Del gráfico, calcule "xº", en función de "  º". º xº a a 2a a)  º b) 2  º c) 3  º d) 90º -  º e) 90º - 2  º 42. Si : P , T y R son puntos de tangencia en la figura. Calcule "xº". xº 40º B T P A R C a) 20° b) 30° c) 40° d) 50° e) 60°
TRILCE 113 43. En un paralelogramo, en la prolongación de AB se ubica el punto E, ED interseca a BC y a AC en M y N respectivamente. Calcule ED, si : MN = 9 u y ND = 15 u. a) 20 u c) 16 u d) 40 u d) 25 u e) 31 u 44. En la figura mostrada, el triángulo ABC es isósceles, "O" es el centro de la semicircunferencia MN es tangente a la circunferencia. Si : AM = a y NC = b. Calcule AC. B C A O M N a) ab b) ab 2 c) 2 2 b a  d) b a ab 2  e) b a ab 3  45. En un triángulo ABC, se traza la bisectriz AE que interseca al lado BC en "D". Luego, desde los vértices B, C se trazan las perpendiculares BH , CE a dicha bisectriz. Si: HD = 1 u y DE = 2u. Calcule AH. a) 5 u b) 4 u c) 3 u d) 2 u e) 1 u 46. En un triángulo ABC, se ubican los puntos D, E y F en AB , BC y EC respectivamente, tal que : DE = EF, DF AE  ; AB ED  , por B se traza una recta que intersecta perpendicularmente a la prolongación de AE en H y a la prolongación de AC en G. Si : 2 EH  u y AB = BC = 10 2 u. Calcule BE. a) 7 u b) 2 2 u c) 3 u d) 10 u e) 4 u 47. En un paralelogramo ABCD, por el vértice A se traza la recta secante a la diagonal BD en M, al lado BC en N y a la prolongación de DC en Q. Si : AM = a y MN = b, calcule NQ. a) b b a 2 2  b) a b a 2 2  c) b b a 2 2  d) a b a 2 2  e) b a b 2 2  48. En un triángulo ABC; se traza la mediana AM y sobre ella se ubica el punto P, del cual se trazan las perpendiculares PQ y PR a AB y AC respectivamente. Calcule PR, si : PQ = 3u, AB = 9 u y AC = 12 u. a) 9 u b) 9/2 u c) 9/4 u d) 9/5 u e) 3 u 49. Dado un cuadrilatéro ABCD inscriptible, se prolongan los lados DC y AB , (se cortan en E) y AD y BC (se cortan en F). Las bisectrices, los ángulos DFC y BEC se cortan en "O" y M y N son los puntos medios de AC y BD respectivamente. Calcule la m )  MON. a) 165° b) 160° c) 135° d) 150° e) 180° 50. En un triángulo ABC, se trazan las cevianas BD y BF , tal que : m )  ABD = m )  DBF = 3 FBC ) m  . Si : AD = 3 u, DF = 2 u y FC = 10 u. Calcule la m )  DBF. . a) 45º b) 15º c) 22º d) 45º/2 e) 37º/2 51. En un trapecio rectángulo ABCD, se tiene que : m )  A = 60°, m )  C = m )  D = 90° y BC = CD. En AC se ubica el punto F y se traza AD FM  y AB FN  . Calcule : FN, si : FM = 4u. a) 2 u b) 3 2 u c) 4 u d) 3 4 u e) 8 u 52. En la figura mostrada, calcule MN, si : M, N y P son puntos de tangencia. BH = 2 u y AC = 18 u. M B N A C H P a) 4 u b) 5 u c) 6 u d) 8 u e) 9 u
114 Geometría 53. La circunferencia inscrita del triángulo ABC es tangente al lado AC en "Q", una recta secante al triángulo es tangente a la circunferencia en P , e interseca a los lados AB y BC en M y N respectivamente. } F { ) PQ MC (   , MP = 4 u, QC = 8 u y FC = 10 u. Calcule MF. a) 3 u b) 4 u c) 5 u d) 6 u e) 8 u 54. En un triángulo ABC (recto en B); la m )  BAC = 53°, sea P un punto de la región interior de dicho triángulo, tal que : PA = 15 u, PB = 12u y PC = 20 u. Calcule AC. a) 11 u b) 5 5 4 u c) 5 3 6 25  u d) 5 3 6 25  u e) 3 12 25 5  u 55. En el gráfico : AB = 7u, BC = 9 u y AC = 8 u. Calcule : ET EI . B I T A C E N a) 3/5 b) 3/4 c) 2/5 d) 2/3 e) 5/6 56. De la figura, calcule : PQ . RM, si : ST . LK = 27 u2 . P S R Q T K M L a) 25 u2 b) 25/2 u2 c) 27 u2 d) 27/2 u2 e) 9 u2 57. En un trapecio ABCD AD // BC ( y ) AD BC  , por B se traza una paralela a CD , que intersecta a AC en M y por C se traza una paralela a AB que interseca a BD en N. Calcule la longitud del segmento MN , sabiendo que: BC = 3u, AM = 6u y CM = 4 u. a) 1,40 u b) 1,50 u c) 1,20 u d) 1,25 u e) 1,35 u 58. Si "I" es el incentro del triángulo ABC, y : 3(AH) = 4(RQ) = 6(CT) = 6(TR) = 12 u. Calcule HC. A B J N M I H C T R Q a) 1 u b) 2 u c) 3 u d) 4 u e) 4/7 u 59. En el gráfico mostrado : AE = 4 dm, EF = 2 dm, AM = 5 dm y NC = 12 dm. Calcule la diferencia entre FB y MN. B A C F E H M N a) 1 dm b) 2 dm c) 2,5 dm d) 3 dm e) 4 dm 60. En el gráfico, "I" es el incentro del triángulo ABC y BM es una mediana. Si : 3 2 IB ID  , EB = 6 dm y FM = 4 dm. Calcular EF. B A C I E F D M a) 1 dm b) 1,5 dm c) 2 dm d) 2,5 dm e) 3 dm
TRILCE 115 Claves Claves 21. 22. 23. 24. 25. 26. 27. 28. 29. 30. 31. 32. 33. 34. 35. 36. 37. 38. 39. 40. e a e a a d c b c d e a a b e d b c b c 41. 42. 43. 44. 45. 46. 47. 48. 49. 50. 51. 52. 53. 54. 55. 56. 57. 58. 59. 60. a c d b c d c c e d b c c e a c c a d c
TRILCE 117 * PROYECCIONES ORTOGONALES SOBRE UNA RECTA A' A' B' B' A' B' A A B B B L Proy. de A sobre A' A'B' proyección de AB sobre L L A ** m n c a h B A C b m : proyección de AB sobre AC n : proyección de BC sobre AC AHB   BHC ABC H I. Un cateto es media proporcional entre la hipotenusa y su proyección sobre dicha hipotenusa. m . b c c m b c 2    n . b a a n b a 2    II. La altura relativa a la hipotenusa es media proporcional entre las proyecciones de los catetos sobre dicha hipotenusa. n . m h h n m h 2    III. La suma de los cuadrados de los catetos es igual al cuadrado de la hipotenusa. 2 2 2 b a c   IV. El producto de los catetos es igual al producto de la hipotenusa con la altura relativa a la hipotenusa. c . a = b . h Capítulo RELACIONES MÉTRICAS EN UN TRIÁNGULO RECTÁNGULO 10
118 Geometría V. La suma de los cuadrados de las inversas de los catetos es igual al cuadrado de la inversa de la altura relativa a la hipotenusa. 2 2 2 h 1 a 1 c 1   PROPIEDADES 1. A B R r r . R 2 AB  2. B A C r x R H "r", "R" y "x" inradios de los triángulos AHB, BHC y ABC respectivamente. 2 2 2 R r x  
TRILCE 119 01. Calcule "h". 15 20 h 02. En el gráfico, B es punto de tangencia. AF = 6 dm y AC = 18 cm. Calcule "r". A B C F r 03. La altura de un triángulo rectángulo determina, en la hipotenusa, segmentos de 18u y 32u. Calcule los catetos. 04. Los radios de los semicírculos miden 2,5 dm y 2 dm. Calcule BH. (T : punto de tangencia). A B C H T 05. Calcule "r", si : MT = 9 cm: TN = 2 cm. m )  AOB = 90°. ("T" es punto de tangencia). O r A B N M T 06. Calcule PD, si : BQ = 4,5 cm y QC = 8 cm. B Q C P A D Test de aprendizaje preliminar
120 Geometría 07. P y T son puntos de tangencia. r = 5 u y AT = 9 u. Calcule "x". x r P B A T 08. En un triángulo obtusángulo ABC obtuso en "B", por el punto medio "M" de AC se traza MP perpendicular a BC . Calcule MP , si: AB = 6 u; BP = 3 u y PC = 7 u. 09. En el gráfico : AB = 6 cm y BC = 8 cm. Calcule la distancia de "O" a AC . A B O C 10. Calcule "AN", si : MN = MP . H N M A P b a Practiquemos : 12. Los lados de un triangulo miden 8, 15 y 16 cm. ¿Cuánto se debe quitar a cada lado para que resulte un triángulo rectángulo? 13. La suma de los cuadrados de los lados de un triángulo rectángulo es 200 2 cm . Calcule la longitud de la hipotenusa. 14. Calcule la longitud de la altura relativa a la hipotenusa, si los catetos del triángulo rectángulo miden 6 y 8 cm.
TRILCE 121 15. En un triángulo rectángulo, los catetos miden 24 u y 18 u. Calcule la longitud de la altura de dicho triángulo. 16. Calcule BD, si : AD = 8 cm y DC = 10 cm.  B A C D E  17. Calcule la longitud del inradio de un triángulo isósceles; si su perímetro es igual a 98 cm y su base es igual a 40 cm. 18. En la figura, ABCD es un cuadrado de lado que mide 16, siendo "M" punto medio de AD . Calcule la longitud del radio de la circunferencia. B C A D M 19. Los lados de un triángulo miden 4 u, 5 u y 6 u. ¿Cuánto hay que disminuir a cada lado para que el nuevo triángulo sea triángulo rectángulo? 20. El radio de la circunferencia inscrita en un trapecio isósceles de bases "a" y "b" es : Problemas propuestos 21. En un triángulo PQR (m )  Q = 90°), los catetos PQ y QR miden 30 m y 20 m respectivamente. Calcule la distancia del vértice Q a la mediana RM. a) 8 m b) 9 m c) 10 m d) 11 m e) 12 m 22. En una circunferencia de 5 m de radio, se traza una cuerda AB y sobre ésta se ubica un punto M, de modo que : AM = 3m y MB = 5 m. Calcule a qué distancia está M del centro. a) 10 m b) 11 m c) 13 m d) 15 m e) 3 m 23. Calcule "x", si : R = 16 u y r = 4 u. r x R a) 16/9 u b) 15/8 u c) 2 u d) 3/2 u e) 8/3 u
122 Geometría 24. El lado de un cuadrado ABCD, inscrito en una circunferencia, mide 4 u. "M" es un punto del arco AB, de modo que : MD = 5 u. Calcule MB. a) 6 u b) 5 u c) 2 2 u d) 7 u e) 3 u 25. Dado un rectángulo ABCD, AD = 30 cm y AB = 25 cm, calcule el radio de la circunferencia tangente a BC y que contiene a A y D. a) 16 cm b) 17 cm c) 18 cm d) 20 cm e) 21 cm 26. En un triángulo rectángulo de la figura, la suma de las longitudes BM y MA es igual a la suma de las longitudes BC y CA. Si : BM = x, BC = h y CA = d. Calcule "x". M A C B d h x a) d - h b) d h 2 hd  c) 2 d d) h d h 2 2   e) d 2 d h   27. Se tiene un cuadrado ABCD cuyo lado tiene una longitud igual a "L". Se traza una circunferencia que, pasando por los vértices B y C, es tangente al lado AD . Calcule la longitud del radio de la circunferencia. a) 4L/7 b) 5L/8 c) 3L/5 d) 2L/3 e) 8L/10 28. En un pentágono ABCDE, los lados AE y DE miden 16 u y 8 u respectivamente y : m )  A+m )  B+m )  C+m )  D = 480°. Calcule la distancia del vértice E a la diagonal AD . a) 3 4 u b) 8 u c) 10 u d) 12 u e) 3 3 u 29. Sea ABC un triángulo rectángulo cuyos catetos miden: AB = 40 u y AC = 30 u. Se traza la altura AD relativa a la hiptenusa. Calcule la diferencia entre los perímetros de los triángulos ABD y ACD. a) 24 u b) 30 u c) 48 u d) 20 u e) 26 u 30. Una circunferencia es tangente a dos lados adyacentes de un cuadrado y divide a cada uno de los otros lados en dos segmentos cuyas longitudes son 2 cm y 23 cm. Calcule la longitud del radio de la circunferencia. a) 15 cm b) 16 cm c) 17 cm d) 14 cm e) 19 cm 31. Las medianas de un triángulo rectángulo ABC trazadas a partir de los vértices de los ángulos agudos tienen longitudes de 5 m y 40 m. Calcule la longitud de la hipotenusa. a) 15,0 m b) 13,58 m c) 12,60 m d) 10,1 m e) 7,21 m 32. En un triángulo rectángulo ABC, recto en B, se traza la altura BH ; de tal manera que : AH = 5 u y HC = 7 u. Calcule las longitudes de los catetos. a) u 15 2 y u 13 2 b) u 21 2 y u 15 2 c) u 5 3 y u 7 3 d) u 7 2 y u 5 2 e) u 2 5 y u 2 7 32. En un triángulo rectángulo, las proyecciones de los dos catetos están en relación de 4 a 5. Calcule la relación de dichos catetos. a) 5 2 b) 5 2 c) 5 3 d) 5 e) 5 4 33. En un romboide ABCD, si : BC = 8 u, CD = 5 u y AC = 10 u. Calcule la proyección de BD sobre AC . a) 1,9 u b) 2,9 u c) 3,9 u d) 4,9 u e) 5,9 u 34. Sea ABC un triángulo rectángulo recto en B, cuyas medianas BM y CN son perpendiculares entre sí. Calcule el valor de AB , si : BC = 6. a) 2 3 dm b) 3 2 dm c) 2 6 dm d) 3 6 dm e) 8 dm
TRILCE 123 35. En un trapecio ABCD, AD // BC , AB = 5 u, BC = 6 u, CD = 7 u y AD = 10 u. Calcule : 2 2 BD AC  . a) 192 u2 b) 193 u2 c) 194 u2 d) 195 u2 e) 196 u2 36. Calcule la longitud de la hipotenusa AB de un triángulo rectángulo ABC, sabiendo que : AD = 2 dm, CD = 7 dm. m )  DBC = m )  BAD y que D pertenece a AC . a) 4,5 dm b) 6,5 dm c) 3 4 dm d) 10 dm e) 12 dm 37. Calcule AD, si : CH = 2 dm y HA = 6 dm. B C H A D a) 3 2 dm b) 3 4 dm c) 3 8 dm d) 10 dm e) 12 dm 38. En el gráfico, AE = 80 u y FN = 18 u. Calcule AP . A B E P N F O a) 100 u b) 26 18 u c) 92 u d) 33 15 u e) 82 u 39. AB y CD son dos cuerdas paralelas que se encuentran en una circunferencia de radio "r"; de modo que, la distancia entre dichas cuerdas, es igual a 27 u . Calcule "r", si : AB = 48 u y CD = 30 u. a) 36 u b) 34 u c) 32 u d) 25 u e) 28 u 40. En el gráfico, calcule BC. Si : AB = 5 u, AD = 13 u, AQ = QD. (C : punto de tangencia). B C F D O Q A a) 2 4 u b) 2 5 u c) 2 6 u d) 2 7 u e) 2 8 u 41. Calcule "R" en el gráfico mostrado. (M : punto de tangencia). R 9 15 M a) 15 u b) 16 u c) 17 u d) 18 u e) 20 u 42. El segmento perpendicular a un diámetro desde un punto de la circunferencia mide 12 pulgadas. Si uno de los segmentos que se determina, en el diámetro, mide 4 pulgadas. Calcule la longitud del radio de la circunferencia. a) 5 pulg b) 20 pulg c) 10 pulg d) 15 pulg e) 25 pulg 43. Dado el cuadrado de lado que mide "a", ¿Cuál debe ser el valor de DE, para que el triángulo AEF sea equilátero? A B D E C F a) ) 3 2 ( a u b) ) 1 3 ( a  u c) ) 1 2 ( a  u d) a 3 1 u e) ) 3 2 ( a  u
124 Geometría 44. Se tiene un triángulo ABC donde la media del ángulo A es dos veces la media del ángulo B. Si : AC = 4 u y AB = 5 u. Calcule : AC BC . a) 3 2 b) 6 5 c) 5 6 d) 2 3 e) 2 6 45. Dos circunferencias de centros A y B se intersectan en los puntos C y D. La tangente a la circunferencia de centro A trazada por el punto C pasa por el punto B y la tangente trazada por el punto C a la circunferencia de centro B pasa por el punto A. Si los diámetros de las circunferencias tienen las longitudes de 5 6 cm y 5 12 cm. Calcule CD. a) 11 cm b) 12 cm c) 13 cm d) 14 cm e) 15 cm 46. En el gráfico : EM = 8 u, MC = 25 u y AB = 18 u. AD // EP . Calcule PD. B M C A D E P O a) 21 2 u b) 12 u c) 29 2 u d) 11 u b) 15 3 u 47. Calcule "x" en el gráfico : 48 cm 52 cm x a) 52 cm b) 48 cm c) 47 cm d) 46 cm e) 45 cm 48. En un triángulo rectángulo ABC, recto en B, se traza la altura BH ; de tal manera que: HA = 3 u y HC = AB. Calcule BC. a) 5 u b) ) 5 4 ( 6  u c) 6 u d) 3 +1u e) 5 2 3  u 49. Se tiene el trapecio rectángulo ABCD, m )  A = m )  B = 90°, AB = 60 u, BC = 62 u y AD = 73 u. Calcule CD. a) 61 u b) 63 u c) 65 u d) 68 u e) 75 u 50. Las diagonales AC y BD de un trapecio ABCD miden 5 u y 7u, respectivamente. Calcular la longitud de la mediana, si: BD AC  . a) 3 u b) 2 74 u c) 4 u d) 2 45 u e) 5 u 51. En el gráfico, calcule AT. (T punto de tangencia). T 3u C A B a) 6 2 u b) 7 21 12 u c) 9 2 u d) 3 17 5 u e) 6,5 2 u 52. Sea ABCD un cuadrado de 16 dm de lado. Con centros en A y D describa circunferencias congruentes y de radio AD . Luego, el radio de la circunferencia tangente exteriormente a éstas y al lado BC mide : a) 1 dm b) 2 dm c) 3 dm d) 4 dm e) 5 dm
TRILCE 125 53. ABCD es un rectángulo. BH = 2 u, HC = 8 u. Calcule "x". H A D x B C º a) 30° b) 53°/2 c) 37°/2 d) 53° e) 36° 54. En el gráfico, calcule PT. (T, Q y R son puntos de tangencia). P T 3u 5u 7u Q R a) 8 u b) 2 6 u c) 9 u d) 65 u e) 10 u 55. Se tiene un trapecio isósceles, una de sus diagonales mide 79 2 unidades y el producto de las longitudes de sus bases es igual a 216 2 u . Calcule la longitud de uno de los lados no paralelos. a) 79 u b) 12 u c) 2 6 u d) 10 u e) 5 4 u 56. En el gráfico : AB = 8 u. Calcule PM. (AM = MD) A B C D P M a) 1 u b) 5 6 u c) 5 5 12 u d) 5 3 u e) 5 12 u 57. En el gráfico mostrado, ABCD es un cuadrado. Calcule AO, si : DT = 3 m. (P y T punto de tangencia). D C P T O A B a) 3 m b) 4 m c) 5 m d) 2 5 m e) 2 3 m 58. Calcule BD, si : OA = OB y el producto de radios es 32 2 m . O C D B A r R a) 6 m b) 4 m c) 9 m d) 8 m e) 7 m 59. En el gráfico, ABCD es un romboide, PB = 10 u y PC = 8u . Calcular la longitud de la diagonal BD. A B P C D a) 12 u b) 2 8 u c) 15 u d) 6 4 u e) 7 6 u 60. En el gráfico mostrado, calcule : 2 2 2 2 m b n a  a b n m a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5
126 Geometría Claves Claves 21. 22. 23. 24. 25. 26. 27. 28. 29. 30. 31. 32. 33. 34. 35. 36. 37. 38. 39. 40. e a a d b b b b a c e b b c c a e e d c 41. 42. 43. 44. 45. 46. 47. 48. 49. 50. 51. 52. 53. 54. 55. 56. 57. 58. 59. 60. c b e d b c e e a b c a b d d c e d e d
TRILCE 127 Capítulo RELACIONES MÉTRICAS EN CUALQUIER TRIÁNGULO 11 I. TEOREMA DE EUCLIDES Primer Caso ) 90 (     b a m c cm 2 c b a 2 2 2    Segundo Caso ) 90 (     b a c m cm 2 c b a 2 2 2    Observaciones : De aquí, se deduce la importante relación denominada "Ley de Cosenos", que es válida para todo triángulo.  b a c     Cos . cb 2 c b a 2 2 2 II. TEOREMA DE STEWART b c a x m n mna m . c n . b a . x 2 2 2    III. TEOREMA DE LA MEDIANA b c a ma 2 2 2 2 a c b 2 a m 2    IV. CÁLCULO DE LA BISECTRIZ * Interior a b   x m n n . m b . a x2  
128 Geometría * Exterior a b y t e   b . a e . t y2   V. CÁLCULO DE LA ALTURA (Teorema de Herón) b c a ha Semiperímetro : p 2 c b a p    ) c p )( b p )( a p ( p . a 2 ha     Observaciones * En todo triángulo a ma mb mc c a 4 3 c b a m m m 2 2 2 2 c 2 b 2 a      * En el rectángulo b a m n cualquier punto 2 2 2 2 n m b a    VI. TEOREMA DE LEONARD EULER * Válido para todo cuadrilátero. a b c d P Q B C A D PQ : segmento que une los puntos medios de las diagonales.
TRILCE 129 01. Calcule HC. 12 B A C 16 H 20 u u u 02. Calcule HB. A C B H 20 15 10 u u u 03. Calcule AH, si : AB = 37 u, BC = 15 u y AC = 44 u. B A C H 04. Calcule HA, si : AB = 17 u, BC = 25 u y AC = 12 u. B H A C 05. Calcule la mediana BM. Si : AB = 8 u, BC = 12 u y AC = 6 u. B A C M 06. Si : BM = MC, calcule AM. B A C M 6 u 12 8 u u Test de aprendizaje preliminar
130 Geometría 07. Calcule BH. 13u B A C 15u H 14u 08. Calcule BM. B A C M 10u   8u 12u 09. Calcule BD, si : AB = 4 u, BC = 6 u y AC = 5 u. B A C D   10. Calcule BE, si : AB = 4 u, BC = 3 u y AC = 2 u. º B A C E º Practiquemos : 11. En el gráfico, calcule BM. B A C M 7u   5u 6u 12. En el gráfico, calcule BE. B A E C   7u 6u 5u
TRILCE 131 13. En el gráfico, calcule BF, si : AB = 5 u, BC = 7 u, AF = 4 u y FC = 2 u. B A C F 14. Calcule el lado de un rombo, sabiendo que el punto medio de un lado, dista de los extremos del lado opuesto 9 cm y 13 cm. 15. En un triángulo ABC de lados : AB = 13 u, BC = 15 u y AC = 14 u, se traza la bisectriz interior del ángulo C. Calcule AH, siendo BH la perpendicular trazada a dicha bisectriz. 16. Calcule "x". 3 2 7 x 17. ¿Para qué valores enteros de "x", el triángulo mostrado es obtusángulo? x 3 4 18. Calcule el perímetro de un rombo ABCD, si : MC = 9u, MD = 13 u y M es punto medio de AB . 19. En un triángulo ABC. AB = c, BC = a y AC = b. bc 3 c b a 2 2 2    Calcule la m )  BAC. 20. Los lados AB , AC y BC miden 13 u, 14 u y 15 u respectivamente. Calcule la distancia del punto medio de BC al lado AC .
132 Geometría Problemas propuestos 21. En un triángulo de lados 9 u, 10 u y 13 u. Calcule el valor entero de una de las medianas. a) 8 u b) 9,0 u c) 12 u d) 10 u e) 7,0 u 22. Los lados AB , BC y AC de un triángulo miden 8 u, 10 u y 12 u respectivamente. Por "B" se traza una ceviana BE que divide al lado AC en dos segmentos, AE = 9 u y EC = 3 u. Calcule BE. a) 4 u b) 5 u c) 6 u d) 7 u e) 8 u 23. Los lados de un triángulo rectángulo miden AB = 36 m, AC = 48 cm y BC = 60 m, se traza la altura AH y la bisectriz BP que corta a la altura en "Q". Calcule AQ. a) 14 m b) 16 m c) 18 m d) 20 m e) 22 m 24. En el gráfico : 7 AO1  u y el radio de la circunferencia pequeña mide 3 u. Calcule el radio del cuadrante AOB. O A B M O1 a) 3 2 u b) 5 2 u c) 5 u d) 6 u e) 5 3 u 25. Calcule AB, si : AM = a y MC = b. (AB = BC). B A C M 45º a) 2 2 b a  b) ab 2 c) a - b d) 2 b a 2 2  e) ab b a 2 2   26. Calcule BM, si : BP // OM . AM = 4 u, MP = 5 u y MN = 3 u. A M P O B N a) 29 u b) 5,8 u c) 3 4 u d) 6 u e) 34 u 27. Calcule la longitud del segmento que une los puntos medios de las bases de un trapecio, sabiendo que los lados laterales miden 5 cm y 7 cm y las bases se diferencian en 6 cm. a) 5 2 cm b) 7 2 cm c) 5 3 cm d) 7 3 cm e) 11 2 cm 28. En un triángulo ABC, se trazan la bisectriz interior BD y la mediana BM, tal que : BD = DM. Calcule AC, si: AB . BC = 144 cm2 . a) 18 cm b) 20 cm c) 24 cm d) 28 cm e) 30 cm 29. Calcule la altura de un trapecio ABCD de bases BC = 5u y AD = 26 u y cuyos lados no paralelos miden 13 u y 20 u. a) 8 u b) 10 u c) 12 u d) 2 6 u e) 3 6 u 30. Se ubica un punto "P" de la circunferencia inscrita en un cuadrado ABCD de 4 cm de lado. Calcule : 2 2 2 2 PD PC PB PA    . a) 40 cm2 b) 36 cm2 c) 48 cm2 d) 60 cm2 e) 70 cm2 31. En el gráfico, calcule "r", si : R = 4 u, 2 r1  u. R r r1 a) 1 u b) 2/3 u c) 3/2 u d) 2 u e) 1/2 u 32. En un rectángulo ABCD, se ubica un punto exterior relativo al lado BC, "P", si : PA = 7 u, PB = 5 u, PD = 6 u. Calcule PC. a) 2 3 u b) 3 u c) 3 3 u d) 5 2 u e) 3 2 u
TRILCE 133 33. En un triángulo ABC, exteriormente relativo a BC , se ubica "P", tal que : m )  APB = 90° y m )  BAP = m )  PAC, si : BC = 5 u. Calcule : AB - AC, siendo : 20 PC PB 2 2   u2 a) 7 u b) 15 u c) 10 u d) 30 u e) 2 u 34. En el gráfico, calcule EP . E P 8 O u a) 6 u b) 2 2 u c) 5 u d) 2 4 u e) 4 u 35. Se tiene el triángulo ABC : m )  A = 2m )  B, AB = 12 u y AC = 8 u. Calcule BC. a) 10 u b) 2 8 u c) 15 4 u d) 13 u e) 10 4 u 36. En el gráfico, calcule "r". r 5 3 u u a) 2 u b) 49 120 u c) 5 u d) 15 33 u e) 6 u 37. En un triángulo ABC, sobre BC se marcan M y N, tal que : BM = MN = NC. Si : AB = 7 u, AC = 8 u y BC = 9u. Calcule : 2 2 AN AM  . a) 77 u2 b) 66 u2 c) 44 u2 d) 88 u2 e) 55 u2 38. Sobre el lado BC de un rombo ABCD se ubica el punto medio M, de tal manera que : 40 ) MD ( ) AM ( 2 2   u2 . Calcule el perímetro de la región rombal. a) 40 u b) 32 u c) 28 u d) 20 u e) 16 u 39. En un triángulo ABC, se traza una paralela por B a AC . La bisectriz interior del ángulo A corta a dicha paralela en E. Calcule AE, si : AB = 5 u, BC = 4 2 u y AC = 7 u. a) 4 5 u b) 3 5 u c) 5 u d) 5 5 u e) 2 5 u 40. Si se sabe que las longitudes de los lados de un triángulo ABC, satisfacen la siguiente relación : AC . AB = 2 2 AC BC  . Calcule la m )  BAC, si la m )  ABC = 36°. a) 36° b) 72° c) 58° d) 49° e) 38° 41. En el gráfico, AB = 12 dm y BC = 5 dm. Calcule PQ. A B P C Q a) 13 3 5 dm b) 29 3 2 dm c) 26 16 15 dm d) 26 13 15 dm e) 11 13 20 dm 42. En el gráfico, se tiene el triángulo equilátero ABC, AB = 12 u y BP = 5 u. Calcule MN, siendo N punto medio de BP . A M C P N B a) 87 u b) 2 263 u c) 38 2 u d) 20 u e) 10 2 u
134 Geometría 43. En un triángulo ABC, obtuso en "C" : AB = c, BC = a y AC = b. Calcule la m )  ACB, sabiendo que : ) b a ( c 2 c b a 2 2 2 4 4 4     a) 120° b) 150° c) 115° d) 105° e) 135° 44. En un triángulo, dos lados miden 7 dm y 3 dm, las medianas relativas a dichos lados son perpendiculares entre sí. Calcule la distancia del baricentro al vértice común de dichos lados. a) 2 dm b) 2 dm c) 5 dm d) 2 3 4 dm e) 6 dm 45. En el gráfico, AB = 8 dm, calcule "x". (M, N y Q son puntos de tangencia). A O B x N Q M a) 2 3 dm b) 2 dm c) 3 dm d) 3 3 4 dm e) 2 dm 46. Sea ABCD un romboide donde : BC = 3(AB) y M es punto medio de BC . Calcule CD, si: AM = 9 dm y DM = 6 dm. a) 3 2 dm b) 2 3 dm c) 2 4 dm d) 3 4 dm e) 2 6 dm 47. Calcule la longitud de la hipotenusa AP , sabiendo que : PB =11 u, CB = 7 u, BA = 8 u. B A C P a) 16 u b) 17,8 u c) 297 u d) 295 u e) 19,5 u 48. En el gráfico, calcule la longitud del segmento CD , si : AB es el diámetro de la semicircunferencia. AP = 3 u, PB = 8 u, PQ = 4 u y PM = 6 u.   A B P O D C Q M a) 876 u b) 1009 2 1 u c) 935 u d) 1022 2 1 u e) 984 u 49. Sea ABCD un cuadrilátero donde Ĉ es recto, AB = 13 cm, BC = 20 cm, CD = 10 cm, AD = 17 cm. Calcule la longitud de la proyección de AD sobre la recta que contiene al segmento AB . a) 17 20 cm b 13 10 cm c) 17 15 cm d) 13 21 cm e) 13 20 cm 50. En un triángulo ABC, los lados están representados por tres números enteros consecutivos y el ángulo mayor es doble del menor. Calcule los lados del triángulo. a) 2u, 3u y 4u b) 7u, 8u y 9u c) 6u, 7u y 8u d) 5u, 6u y 7u e) 4u, 5u y 6u 51. En el tirángulo rectángulo ABC, recto en A, los puntos 1 P , 2 P , 3 P y 4 P , dividen a la hipotenusa en cinco partes iguales. 265 AP 2 1  u2 y 160 AP 2 4  u2 . ¿Cuánto mide la hipotenusa? a) 12 u b) 15 u c) 18 u d) 21 u e) 25 u 52. Sea un triángulo ABC de lados AB = AC y BC = 2 u. Si la bisectriz del ángulo B corta al lado opuesto en D y BD = 1 u; entonces, los ángulos A y B miden : a) 60°, 60° b) 90°, 45° c) 100°, 40° d) 120°, 30° e) 150°, 15°
TRILCE 135 53. En un triaángulo ABC, se cumple que : m )  BAC = 2m )  BCA; AB = 6 u y AC = 8 u. Calcule BC. a) 21 3 u b) 21 u c) 21 2 u d) 14 2 u e) 14 3 u 54. En un trapecio, las bases miden 6 u y 16 u, los otros dos lados miden 7 u y 9 u. Calcule la longitud del segmento que une los puntos medios de las bases. a) 6 u b) 10 2 u c) 7 u d) 5 3 u e) 2 11 u 55. Calcule "x", si la longitud del lado del cuadrado es 18 m. x a) 1 m b) 2 m c) 3 m d) 4 m e) 6 m 56. Calcule la longitud del circunradio de un triángulo cuyos lados miden 26 dm, 28 dm y 30 dm. a) 16,125 dm b) 16,25 dm c) 16,89 dm d) 18 dm e) 20 dm 57. En el gráfico, calcule "xº", si : ) BC )( AD ( ) AB ( 2  26º B C A H x D º a) 34° b) 17° c) 23° d) 26° e) 38° 58. En el gráfico, calcule el lado del cuadrado ABCD. Si : AM = a y BL = b. (M y T son puntos de tangencia). B C A D M L T a) 2 2 2 a b a  b) 2 2 2 b a 2 a  c) 2 2 2 b a a  d) ) b a )( b a ( b a2   e) 2 2 b a ab  60. Si ABCD es un cuadrado de lado que mide 40u. Calcule PQ. (P y Q : puntos de tangencia). A B C D P Q a) 61 2 u b) 63 2 u c) 65 2 u d) 69 2 u e) 77 2 u
136 Geometría Claves Claves 21. 22. 23. 24. 25. 26. 27. 28. 29. 30. 31. 32. 33. 34. 35. 36. 37. 38. 39. 40. d c c b d e b c c e b e b d e b a e a b 41. 42. 43. 44. 45. 46. 47. 48. 49. 50. 51. 52. 53. 54. 55. 56. 57. 58. 59. 60. d b e a c b c b d e e d c b d b e e c c
TRILCE 137 I. TEOREMA DE CUERDAS n a b m a.b = m.m II. TEOREMA DE LAS SECANTES C B A E F AC.AB = AF.AE III. TEOREMA DE LA TANGENTE A B C x AB . AC x2  IV. CUADRILÁTERO INSCRITO y x a b c d xy = ac + bd bc ad cd ab y x    Ptolomeo Viette Capítulo RELACIONES MÉTRICAS EN LA CIRCUNFERENCIA 12
138 Geometría 01. Si : AQ = QB; EQ = 4 u y QF = 9 u. Calcule : AB. A E B F Q 02. Si : AQ = QB; EQ = 12 u y QF = 27 u. Calcule : AB. E B F Q A 03. En la figura, calcule AC, si : MC = 2 u, AR = 8 u y PR = 5 u. A R C M P 04. En la figura, calcule AC. Si : MC = 4 u, AR = 16 u y PR = 10 u. A R C M P 05. Del gráfico : AM = MC. Calcular BQ. Siendo : AP = 4 u, PB = 5 u y QC = 3 u. A P M B Q C 06. Si : AB = 3 u; BC = EF; AD = 2 u; DE = 10 u. Calcule : FG. A B D C E F G Test de aprendizaje preliminar
TRILCE 139 07. Si : AB, BC y AQ son valores enteros consecutivos. Calcule AQ. Q  punto de tangencia. A Q B C 08. Si : AB = BC = CD. Calcule AD, si : R = 9 u y r = 7 u. A B C D R r 09. En la figura, calcule BD, si : AH = 8 u, CH = 6 u y HB = 3 u. A C B D H 10. Siendo P y B puntos de tangencia. Calcule CD, si : AB = 4 u y BC = 3 u. A P D C B Practiquemos : 11. Si : CD = DE = 3 u. Calcule AC. R E D A B C r 12. Si Q es punto de tangencia. MN = 9 u; MF = 16 u y 4EP = EF. Calcule : PQ. N M F E P Q
140 Geometría 13. Por un punto interior a una circunferencia de radio 10u, se trazan las cuerdas cumpliéndose que el producto de los 4 segmentos determinados es 625. Calcule la distancia entre el punto mencionado hacia el centro de la circunferencia. 14. Se tiene una circunferencia de diáemtro AB = 6 m, se traza una cuerda CD que corta al diámetro en E y forma un ángulo de 30° con éste. Si la distancia de E al centro es de 2 m. ¿Cuánto mide CD? A E D B C 15. Calcule PC, si : CD = 3 u y AB = 12 u. "P" es punto de tangencia. D C B A P 16. En el gráfico, PM = 9 u, MQ = 4 u. Calcule AM. A P M Q 17. En una circunferencia se trazan AB y EF dos cuerdas secantes en Q, de modo que EF biseca a AB . Si EQ y EQ miden 8 u y 18 u en ese orden. Calcular el valor de AB . 18. Sobre el arco AB de una circunferencia circunscrita a un triángulo equilátero ABC, se ubica un punto P , tal que : AP = 3 u y PB = 5 u. Calcule : AB + PC. 19. En un triángulo acutángulo ABC se trazan las alturas AH y CE , tal que : BE = 2 u, CH = 3 u y BH = 5 u. Calcule AE.
TRILCE 141 20. Se tiene el trapecio ABCD ) AD // BC ( isósceles, tal que : 2 2 2 u 5 4 CD AC   . Calcule el producto de las bases. Problemas propuestos 21. E y F son puntos de tangencia. Marcar la relación correcta : F B A E a) 3 3 3 BF AE AB   b) 2 2 2 BF AE AB   c) BF . AE AB2  d) BF AE BF . AE AB   e) BF AE BF . AE 2 AB   22. En la figura, A es punto de tangencia. AF = BM = MB. Calcule AM, si : FL = 1 u, LG = 8 u. G A F L M B a) 2 u b) 3 u c) 4 u d) 5 u e) 6 u 23. En un triángulo ABC m )  ABC = 60°, cuyo incentro es "I" y AB + BC = 12 u. Calcule OB. (O circuncentro del triángulo AIC). a) 3 6 u b) 6 u c) 12 u d) 4 u e) 3 4 u 24. En la figura, calcule AB, si : PB = 3 u y BQ = 12 u. (O es centro y C punto de tangencia). Q O B C P A a) 2 u b) 4 u c) 5 u d) 6 u e) 8 u 25. En el gráfico : AP = 8 u, PB = 1u y m )  ABC = 90°. Calcule BT. B P T A C a) 2 4 u b) 3 u c) 3,5 u d) 2 2 u e) 2 u 26. Indicar el valor de verdad de las siguientes relaciones, ) Q O (   . O R Q d b c a I. d b c a  II. 4 R d c b a 2 2 2 2 2     III. c a R 2   a) FFF b) VVF c) VVV d) FVV e) FFV
142 Geometría 27. En el gráfico : MC = 12 u y QC = 8 2 u y   = 45º. Calcule DM.  A D M C B Q a) 6 u b) 3 u c) 4 u d) 5 u e) 4,5 u 28. En el gráfico, P es punto de tangencia, AB = 1 u, BC = 6 u y CD = 5 u. Calcule : 2 2 ) PC ( ) PB (  . A B P C D a) 40 u2 b) 36 u2 c) 42 u2 d) 46 u2 e) 30 u2 29. En el gráfico MN es diámetro, OP = 2 u y PQ.PS=60 2 u . Calcular la longitud del radio de la circunferencia. P O Q M R S T N a) 7 u b) 6 u c) 4 u d) 8 u e) 5 u 30. En el gráfico, D es punto de tangencia, DE = 4 u y BF = 2 u. Calcule FG. B A D F G E a) 3 u b) 4 u c) 5 u d) 6 u e) 8 u 31. Se da un cuadrilátero ABCD inscrito en una circunferencia (como en el gráfico), con diagonales que se intersectan en P . Calcule el valor de : PB . PD PC . AP D C B A a) 1/4 b) 1 c) 1/2 d) 1/3 e) 3 32. Según el gráfico : AB = 15 cm, CD = 8 cm. Calcule BC. A B C D a) 11 cm b) 13 cm c) 15 cm d) 17 cm e) 19 cm 33. En el gráfico, AB = 5 cm, BC = 4 cm. Calcule CD. A B D C r a) 3 cm b) 4 cm c) 5 cm d) 6 cm e) 7 cm
TRILCE 143 34. En la figura B y C son puntos de tangencia. Si : AE = 8 u, EC = 4 u. Calcule CD. 60º B C E A D a) 1 u b) 2 u c) 3 u d) 4 u e) 5 u 35. En el gráfico, calcule QN. ("T" punto de tangencia), PT = 9 u, EN = 3 u. T P E N Q M a) 3 u b) 3,5 u c) 4 u d) 4,5 u e) 5 u 36. En el gráfico, B es punto de tangencia. AB = 6u y AP = 4u. Calcule PQ.   O O1 A B Q a) 4 u b) 5 u c) 6 u d) 8 u e) 9 u 37. En la siguiente figura se muestra una semicircunferencia de centro O y radio R. Siendo MB el lado de un polígono inscrito de 18 lados. AN = MP = R. OP = 5u . Calcule MN en función de R. O N M A B P R a) R R 25 2  b) 2 R R 25  c) R R 2 25  d) R R 2 25 2  e) R 2 R 25 2  38. Graficar a una semicircunferencia de diámetro AB . Trazar las cuerdas AF y BE que se intersectan en "Q". Calcule el valor de FB , sabiendo que : AQ = 8 dm, QF = 4 dm, QE = 6 dm. a) 6 3 2 b) 11 3 4 c) 7 3 4 d) 10 3 4 e) 3 16 39. Los centros de la circunferencia inscrita y circunscrita a un triángulo son I y O en ese orden. La prolongación de IO corta a la inscrita en P y a la circunscrita en M, al prolongar OI corta a la inscrita en Q y a la circunscrita en N. Calcule el valor del inradio, si : PM = a y QN = b. a) 3 b a  b) b a ab 2  c) ab c) 2 b a 2 2  e) 2 b a 2 2  40. Calcule : OQ. Si : AP = PS = PQ. S B Q O A P R a) 5 5 R b) 3 3 R c) ) 1 2 ( R  d) ) 1 2 ( 2 R  e) ) 1 2 ( 2 R  41. Calcule : AT, si : m )  ABH = m )  ACB y B = 8. (T es punto de tangencia). B A H C T a) 4 u b) 6 u c) 8 u d) 12 u e) 16 u
144 Geometría 42. En el gráfico : P y Q son puntos de tangencia. Si : AB = 6 u, BQ = 2 u, BC = 3 u, calcule EB. P E Q B C A a) 0,5 u b) 1 u c) 1,5 u d) 2 u e) 1,2 u 43. En el gráfico, calcule AB, si : AL = 5 u y LC = 4 u. (A y D son puntos de tangencia). O L A C D B a) 18 u b) 20 u c) 25 u d) 30 u e) 35 u 44. En una circunferencia se trazan los diámetros perpendiculares AB y CD que se cortan en O, luego se trazan las cuerdas BE y BF, las cuales se intersectan con CO y OD en M y N respectivamente. Si el radio de la circunferencia mide 1 u. Calcule : ) BN )( BF ( BE )( BM (  a) 1 u b) 2 u c) 2 u d) 4 u e) 2 2 u 45. Si : AP = 8 u, AM = 6 u y AB es diámetro. . Calcule MN. A P N M H O B a) 4 u b) 5 u c) 7/3 u d) 10/3 u e) 14/3 u 46. Del gráfico: AO = OB; CD = 3 u; GD= 4 u y FD = 1u. Calcule DE. O F E C A G B a) 2 u b) 2,4 u c) 2,5 u d) 3,5 u e) 3 u 47. En una circunferencia de 16 cm de diámetro se traza una cuerda TD de 12 cm y por T una tangente TP a la circunferencia, siendo PD una secante que pasa por el centro de la circunferencia. La distancia de P a la circunferencia será en cm. a) 52 cm b) 54 cm c) 56 cm d) 58 cm e) 50 cm 48. En el gráfico : 2 1 L // L , AP = 10 u y PC = 8 u. Calcule CQ. P A B Q C L1 L2 a) 10 u b) 12 u c) 11 u d) 16 u e) 18 u 49. Grafique al cuadrilátero inscriptible ABCD, de modo que : AB = BD, m )  BCD = 120°, BC = 6 u y CD = 4 u. Calcule BD. a) 11 2 u b) 13 2 u c) 15 2 u d) 17 2 u e) 19 2 u
TRILCE 145 50. En el gráfico, P y T son puntos de tangencia. Si : AB = a y BD = b, calcule el valor de BC. P C D A T B a) b a 2 ab  b) a b 2 ab  c) b a ab 2  d) b a ab  e) ab ) b a ( 2  51. En un triángulo inscrito en una circunferencia, las sagitas correspondientes a cada lado mide 1 u, 2 u y 3 u. Calcule la medida del menor lado del triángulo. a) 5 u b) 6 u c) 7 u d) 8 u e) 9 u 52. En un triángulo rectángulo ABC recto en B, se traza la ceviana BD = 6u. Si los inradios de los triángulos ABD y CBD son iguales, calcular el producto de los exradios relativos a los catetos. a) 15 2 u b) 18 2 u c) 24 2 u d) 30 2 u e) 36 2 u 53. Según el gráfico, calculr "r" en función de "x" e "y". Si : "x" e "y" tienen valores máximos. A O B r x y a) xy 2 b) 2 y x  c) xy 2 d) xy 2 2 e) 3 y x  54. A y B son puntos de tangencia. Si : EP = 6 u y EF = 4 u. Calcule FG. A F E P G B a) 12 u b) 16 u c) 18 u d) 20 u e) 22 u 55. En el gráfico : NP = 10 u, NO = 15 u, AM = MB = 7 u. Calcule MT, si T es un punto de tangencia. T A M B P N O F E a) 5 u b) 10 u c) 12 u d) 15 u e) 16 u 56. De la figura, AO = OB; OP = 1u; PQ = 3u. (M, N y T, puntos de tangencia). Calcule : BQ . QC. M A C T Q B N O P a) 2 u ) 1 2 (  b) ) 1 3 ( 2  u2 c) ) 1 2 2 ( 4  u2 d) ( 3 2 2  ) u2 e) ) 1 2 ( 5  u2
146 Geometría 57. Una cuerda que mide 2m pertenece a una circunferencia de centro O. Dicha cuerda es dividida en media y extrema razón por un punto M. Calcule el radio de la circunferencia, sabiendo que el punto M dista 1 m del centro O. a) m 2 ) 1 5 (  b) 5 3 7 5 4 4   m c) ) 1 5 (  m d) ) 1 5 ( 2  m e) 5 3 7 5 7 11   m 58. En el gráfico : AH = 12 u, HB = 4 u y BN = 6 u. Calcule ON. B A E F N O H a) 5 u b) 3 5 u c) 3 6 u d) 3 4 u e) 2 5 u 59. Calcule MD, si : ME = 6 u y 2(AM) = 3(CM). M C D B A O E a) 1 u b) 2 u c) 3 u d) 6 u e) 4 u 60. En el gráfico: A y B son puntos de tangencia. Si : DA = a y EB = b. A D P E B a) 2 2 b ab a   b) 2 2 b ab a   c) 2 2 b 2 ab 2 a   d) 2 2 b ab a   e) 2 2 b a a  
TRILCE 147 Claves Claves 21. 22. 23. 24. 25. 26. 27. 28. 29. 30. 31. 32. 33. 34. 35. 36. 37. 38. 39. 40. b c e d b d c d d d b d d b d b d c c c 41. 42. 43. 44. 45. 46. 47. 48. 49. 50. 51. 52. 53. 54. 55. 56. 57. 58. 59. 60. c b d b e c c b e a b e d d d c e e e b
149 TRILCE Capítulo 13 POLÍGONOS REGULARES POLÍGONOS REGULARES A B C O R R H l n l n º º º * Polígono regular ABC......, de n lados * Centro : O * Circunradio : R * Arco o : Central )  n º 360 º   * Lado del polígono inscrito : n l * Apotema: OH * Elemento representativo : AOB  CÁLCULO DEL LADO DE POLÍGONOS REGULARES MÁS USUALES I. Triángulo Equilátero 3 R 3  l  = mAB = 120° A B O R 60° 3 l C 3 R 30° En AOB:  2 3 l 60° º=120° II. Cuadrado 2 R 4  l  = mAB = 90° A B O R 4 l C En el AOB:  R D 4 l =90° 4 l º III. Hexágono Regular R 6  l  = mAB = 60° A B O 60° C En el AOB:  R D 6 l R E F º= 60° IV. Octógono Regular A B O 45° En el AOB:  8 l R R 2 2 R R 2 R 2 45 RCos 2 R R 8 2 2 2 2 2 8 2 2 2 8         l l l ° = mAB = 45° CÁLCULO DEL APOTEMA (Ap) A B O En el AOB:  R R Apotema 2 2 2 1 2 4 2 n 2 R 4 2 4 2 n 2 2 n R 4 Ap Ap R Ap l l l      l n 2 n l - DIVISIÓN DE UN SEGMENTO EN MEDIA Y EXTRE- MA RAZÓN A C B x l (AC>CB) Por definición : 2 ) 1 5 ( 2 x ) x ( x     l l l entonces, la solución es : * AC (o sea "x") es la sección áurea de AB . * 2 ) 1 5 (  se le denomina número áureo. .
Geometría 150 POLÍGONOS REGULARES Triángulo Cuadrado Hexágono Pentágono Octógono Decágono Dodecágono Regular 120° 90° 60° 72° 45° 36° 30° 3 R 3  l 2 R 4  l R 6  l 5 2 10 2 R 5   l 2 2 R 8   l 2 / ) 1 5 ( R 10   l 3 2 R 12  l  Arco o < central ) Lado R : circunradio Si x es la sección áurea de AB. 2 / ) 1 5 ( x   l A B x l
151 TRILCE 01. Si: "O": centro, "T": punto de tangencia. Calcular: "x". O 6 l R A T C x 02. Del gráfico, calcular : "x". O 6 l 3 l R x 03. Calcular "x". 8 l 5 l x 04. Si: 3 AB l  ; 6 AD l  ; 4 BC l  A B C D Entonces, CD es: 05. Si: 3 AB l  ; 10 CD l  . Entonces, x° mide: A B C D P x° 06. Si : R = 6, 3 AB l  , entonces, OM mide : O A B R M Test de aprendizaje preliminar
Geometría 152 07. Calcular: x°, si : 4 AB l  ; 3 AD l  . x A B C D 08. En la figura mostrada se cumple: CD // AB ,    14 AEC ) m y AB es el lado del pentágono regular inscrito en la circunferencia. Hallar AED ) m  . A B C D E 09. Hallar : ABC ) m  . O 4 l 3 l A B C R 10. Del gráfico, 4 4  l , calcular el radio de la circunferencia. O 4 l R A B Practiquemos : 11. ¿Cuál es el polígono regular cuyo lado es el doble de su apotema? 12. Calcular la relación entre el inradio y circunradio de un triángulo equilátero. 13. En un pentágono regular ABCDE, se traza BE y AC que se intersectan en "F". Si: 7 EF  , calcular el lado del pentágono.
153 TRILCE 14. En una circunferencia de radio R, se tiene una cuerda AB que mide 3 R . ¿De qué polígono regular el segmento AB es un lado? 15. Un triángulo equilátero está inscrito en una circunferencia de radio 6. Hallar el lado del hexágono regular inscrito en el triángulo. 16. Diga cuánto mide el lado de un hexágono regular circunscrito a una circunferencia de radio igual a 3 4 . 17. Un cuadrado y un hexágono regular se inscriben en una misma circunferencia; la razón de sus apotemas es: 18. En una misma circunferencia, el cociente del perímetro del hexágono regular circunscrito entre el perímetro del hexágono regular inscrito, es de: 19. Calcular la longitud de una de las diagonales de un pentágono regular cuyo lado mide 2. 20. Si el lado de un pentágono regular mide ) 1 5 (  metros, hallar la suma de las longitudes de todas sus diagonales. Problemas propuestos 21. En un triángulo ABC inscrito en una circunferencia, se tiene que : AB = l3; AC = l4. Calcular la medida del lado BC, si la medida del radio de la circunferencia es 2. a) 2 3  b) 2 6  c) 3 6  d) 3 2  e) 3 2 22. Se tiene un octógono regular inscrito en una circunferencia de radio igual a 2 3 . Hallar el perímetro de aquel polígono que se obtiene al unir consecutivamente los puntos medios de sus lados. a) 12 b) 18 c) 20 d) 24 e) 48 23. Dado un dodecágono regular inscrito en una circunferencia de radio 4 cm. Hallar el perímetro del polígono que se obtiene al unir los puntos medios de sus lados. a) 12 cm b) 18 cm c) 24 cm d) 30 cm e) 36 cm 24. Dado un cuadrado de lado "L", a partir de cada vértice y sobre cada lado se toma un segmento "x", de tal manera que al retirarlos y unir los extremos libres se forme un octágono regular. Hallar "x". a) ) 2 2 ( 2 L  b) ) 1 2 ( 2 L  c) ) 1 2 ( 2 L  d) ) 1 2 ( 2 L  e) ) 2 2 ( 2 L 
Geometría 154 25. En un hexágono regular ABCDEF de lado 13 , las prolongaciones de la diagonal AC y el lado EF se cortan en "P". Hallar PD. a) 10 b) 11 c) 12 d) 13 e) 6,5 26. En un polígono regular ABCDEF... se cumple que 7(m )  BAC) = m )  ABD, AC = 5 2 . Calcular el radio de la circunferencia circunscrita a dicho polígono. a) 5 2 10  b) 3 2  c) 1 5  d) 1 5  e) 5 2 10  27. Un triángulo equilátero está inscrito en una circunferencia de radio 2m. Calcular la suma de las alturas del triángulo. a) 6 m b) 3 6 m c) 9 m d) 3 9 m e) 3 8 m 28. En un triángulo rectángulo ABC recto en B, se traza la ceviana BF, tal que : AB = FB, m )  FBC = 60°; y m 3 2 2 AC   . Hallar la longitud FB. a) 1 m b) 2 m c) 3 m d) 2 m e) 2 2 m 29. Hallar el lado de un polígono regular inscrito en una circunferencia de radio 5cm, si se sabe que su apotema es la diferencia del lado del polígono con el radio de la circunferencia circunscrita. a) 7 cm b) 8 cm c) 9 cm d) 6 cm e) 5 cm 30. Se tiene un cuadrado de lado 2 8 . Si a partir de cada vértice se disminuye una cierta longitud "x" se formarán en cada esquina triángulos rectángulo isósceles. Eliminándolos quedará un polígono de 8 lados. Hallar "x" para que el polígono resultante sea regular. a) ) 2 2 ( 8  b) ) 1 2 ( 8  c) ) 2 2 ( 8  d) ) 1 2 ( 8  e) ) 1 2 2 ( 8  31. Un polígono regular de n lados, cuyo lado mide Ln está inscrito en una circunferencia cuyo radio mide R. Calcular la longitud del lado del polígono regular de doble número de lados que el anterior (L2n), inscrito en la misma circunferencia. a) 2 n 2 2 n 2 L R 4 R R 2 L    b) 2 2 n 2 n 2 R 4 L R 4 L    c) 2 n 2 2 n 2 L R 4 R R 2 L    d) 2 n 2 n 2 L R 4 R R 2 L    e) 2 n 2 n 2 L R 3 R R 2 L    32. Una ventana cuadrada de lado 60 cm tiene la forma del diseño dado. Las curvas son arcos de circunferencia. Entonces, la longitud de fierro usado en la construcción de la ventana, es: a) ) 2 2 1 ( 120    m b) ) 2 2 ( 120    m c) ) 2 1 ( 240    m d) ) 2 2 2 ( 240    m e) ) 2 2 2 ( 120    m 33. En la figura, el triángulo ABC es equilátero, M es punto medio del lado BC y D es punto medio del arco AC. Si x e y representan las longitudes de los segmentos DM y ME respectivamente, hallar x/y. . A B C D E M a) 5/3 b) 2 c) 4 d) 8/3 e) 7/3 34. Los lados AB y BC de un triángulo ABC miden 2m y m ) 1 5 (  , respectivamente. Calcular la m )  A, si : m )  C =18°. a) 20° b) 45° c) 15° d) 30° e) 72° 35. Si el lado del dodecágono regular ABCDEFGHIJKL mide m 3 3 6  , hallar la longitud AE. a) 1 m b) 2 m c) 3 m d) 4 m e) 5 m
155 TRILCE 36. Si el perímetro del rectángulo NELY es 180 cm, indicar el perímetro de la región sombreada. E N Y L a) cm 35 b)  36 cm c)  39 cm d)  38 cm e)  37 cm 37. Hallar la longitud del lado de un dodecágono regular sabiendo que el radio de la circunferencia inscrita en él mide 1cm. a) ) 3 2 (  cm b) ) 3 2 (  cm c) ) 3 2 (  cm d) ) 3 2 ( 2  cm e) ) 3 2 (  cm 38. En la figura "P", divide al diámetro AB en media y extrema razón. Calcular PT, si: 5 2 R   . R A B P T a) 0,5 b) 1 c) 1,5 d) 2 e) 5 39. En un polígono regular ABCDEFG, si: 7 1 AC 1 AD 1   . Calcular AB. a) 6 b) 7 c) 8 d) 9 e) 10 40. Enuneneágonoregular ABCDEFGHI secumpleque: AB+ BD= 14m. Calcular BG. a) 3m b) 7 m c) 11 m d) 14 m e) 21 m 41. Enunpolígonoregularde13ladosABCDEFGHIJKM. AD= a, AE= b. Calcular JD. a) a+ b b) b a ab  c) 2 2 b a  d) ab b2  e) ab a2  42. ABCD es un cuadrado de lado 2 dm, A, B y D son centros. Calcular el valor de PQ . A B C D P Q a) 3 2 2  dm b) 3 2  dm c) 2 2  dm d) 3 2 2  dm e) ) 2 1 5 (  dm 43. El cateto menor de un triángulo rectángulo mide : 2 2  , y es igual a la longitud de la bisectriz interna relativa a la hipotenusa. Hallar la longitud de la hipotenusa. a) 1 m b) 2 m c) 3 m d) 4 m e) 6 m 44. ABCD es un cuadrado cuyo lado mide 3 2 4  . Calcular la distancia de "F" al punto medio "E" del FD. A B C D F E a) 2 b) 2 2 c) 6 d) 4 e) 3 4 45. En un triángulo ABC, donde : m )  A = 45° y m )  C = 15°, se trazan las alturas AH y CQ . Hallar: QH, si: AC = 20 m. a) 10 m b) 2 5 m c) ) 1 5 ( 2  m d) 5 m e) 2 2 10  m 46. Dado un triángulo ABC obtuso en "A", de tal manera: 2 AB  , 1 5 BC   y la    18 C ) m . Determinar la B ) m  . a) 18° b) 9° c) 27° d) 54° e) 36°
Geometría 156 47. Calcular el lado del polígono regular de 16 lados circunscrito a una circunferencia de radio 2 2 2   . a) 2 2 2 4   b) 2 2 2   c) 2 2 2 2   d) 2 2 2 2   e) 2 2 2   48. En un octógono regular ABCDEFGH inscrito en una circunferencia en el arco BC, se ubica el punto "P" de manera que: PD y PF miden "m" y 2 n . Hallar: "PH". a) 2n + m b) m + n c) 2m - n d) n m mn  e) 2n - m 49. En la figura, calcular AB, si : BC = 5 5  . (B, punto de tangencia). 18º B A C a) 2 1 5  b) 1 5  c) ) 1 5 ( 3  d) ) 1 5 ( 5  e) ) 1 5 ( 2 2  50. En la figura, ABCDE es un pentágono regular. Calcular EP , si : MN = 2. A E C B M N P D a) ) 2 5 ( 2  b) ) 1 5 ( 2  c) ) 1 5 ( 4  d) ) 2 5 ( 8  e) ) 1 5 ( 4  51. Calcular la flecha correspondiente a una cuerda que subtiende un arco de 144° en una circunferencia de 8 unidades de diámetro. a) ) 1 2 ( 2  b) 5 5  c) 2 2  d) 1 5  e) 2 2  52. Se tiene un polígono regular inscrito en una circunferencia de radio R, cuyo apotema mide "a" unidades. Calcular el apotema de otro polígono regular del doble número de lados que el anterior, si cuyos perímetros son iguales. a) 2 2 a R  b) 2 aR c) Ra d) 2 a R e) a R 2 53. La sección áurea del segmento AB es BC , la sección de AC es AM , la sección áurea de AM es AF. . Si : BC = 4, calcular AF. a) ) 1 5 ( 2  b) ) 1 5 ( 2  c) ) 2 5 ( 4  d) 1 5  e) ) 1 5 ( 3  54. En un dodecágono regular ABCDEFGHIJKL, AE y CF se intersectan en P . Calcular PE, si : BC = 2 2 . a) 1 b) 2 c) 2 3 d) 3 e) 5 55. En un romboide ABCD, se cumple que BC = AC, hallar: BD, si: m )  CAD = 30° y m 3 2 5 AD   . a) 2 m b) 3 2 m c) 2 3 m d) 13 m e) 6 2 m 56. En un triángulo rectángulo ABC, el ángulo "C" mide 11°15' y la hipotenusa AC es igual a m 2 2 4 2  . Hallar la menor altura del triángulo. a) 1 m b) 2 m c) 2 m d) 2 2 m e) 2 2  m 57. Si ABCD es un cuadrado cuyo lado mide 180 cm, hallar el perímetro de la región sombreada. A B C D
157 TRILCE a) cm 53 b)  55 cm c)  56 cm d)  57 cm e)  58 cm 58. Se tiene un octógono regular ABCDEFGH inscrito en una circunferencia de radio R. Hallar la distancia de A al punto medio de ED . a) 2 3 10 2 R  b) 2 2 R 2  c) 2 2 R 2  d) 2 3 8 2 R  e) 2 R 2 59. En un triángulo ABC, se trazan las cevianas CF y AE cumpliéndose que:      135 AEC ) m AFC ) m y, ,    120 B ) m . Calcular EF, si : AC= 2 2 . a) 2 3  b) 3 2 2  c) 3 2  d) 3 2  e) 3 2 2  60. En la figura, 2 2 2 OP    . Calcular BC. O A B C 11°15' P a) 2 2 2   b) 2 2 4  c) 2 2  d) 2 2 2 2   e) 2 2
Geometría 158 Claves Claves 21. 22. 23. 24. 25. 26. 27. 28. 29. 30. 31. 32. 33. 34. 35. 36. 37. 38. 39. 40. b d c a d a c a b b c b e d c e d d b d 41. 42. 43. 44. 45. 46. 47. 48. 49. 50. 51. 52. 53. 54. 55. 56. 57. 58. 59. 60. e d b d a c c e e a b d c b d a a a e d
159 TRILCE ÁREA DE LA REGIÓN TRIANGULAR * Forma Básica h b b h 2 h . b A  * Forma Trigonométrica a b    Sen . A 2 b . a * Fórmula de Herón a b c p : Semiperímetro ) c p )( b p )( a p ( p A     ÁREA EN FUNCIÓN DE LOS RADIOS * Con el Inradio Válido para todo polígono circunscrito. A = p . r r p : semiperímetro * Con el Circunradio R 4 c . b . a A  a c R b * Con los Exradios ra rb rc a b c B A C c b a r ) c p ( A r ) b p ( A r ) a p ( A       c b a r . r . r . r A  c r 1 b r 1 a r 1 r 1    r : Inradio del triángulo ABC. Capítulo 14 ÁREAS DE LAS REGIONES POLIGONALES Y RELACIONES DE ÁREAS
Geometría 160 CASOS PARTICULARES * Triángulo Equilátero l l l 4 3 2 A l  * Triángulo Rectángulo b a A = a . b 2 A = m.n n m ÁREADELAREGIÓNCUADRANGULAR * Paralelogramo h b A = b . h * Cuadrilátero Inscrito p : Semiperímetro a b c d ) d p )( c p )( b p )( a p ( A      * Trapecio h . A 2 ) b B (   h b B * Cualquier cuadrilátero  b d b y d longitudes de las diagonales   Sen . A 2 d . b RELACIONES DE ÁREAS Primera Relación A F C B AABF AFBC = AF FC Consecuencias : S 2S b 2b 3n 5n 3A 5A * * S b b * * S S S S S S S Observaciones : A A A A
161 TRILCE Segunda Relación a b A1  A2 m n  Si : º 180 ó         n . m b . a 2 A 1 A  Tercera Relación h1  h2 A B C P R Q    ~ Si : PQR ~ ABC   2 2 2 2 1 2 2 PQR ABC k h h PR AC A A     * Válido para todo par de polígonos semejantes. Cuarta Relación En todo cuadrilátero convexo y B A x A.B = x.y En todo cuadrilátero x A B C D AABCD x = 2 Observaciones : En el trapecio, se cumple que: * A = a.c a c * A B C D M ACMD = AABCD 2 * x = y x y * P Q P = Q
Geometría 162 01. En la figura, el triángulo ABC es equilátero y AC // MN . Hallar el área de la región triangular ABN, si: AC = 12 y AM = 10. B A C M N 02. Hallar el área de la región triangular ACN, si : R = 20 y PD = 24. A B C D P O N R 03. En la figura se tienen un cuadrado cuyo lado mide 2, si M y N son puntos medios. Hallar el área de la región sombreada. (T : punto de tangencia). A B C N D M T 04. ABCD es un trapecio cuya área de su región es igual a 2 ) 3 7 ( 3  m2. Hallar la abscisa del vértice C. Y A B(2;3) C D 60° 0 1 X 05. En la figura, el área de la región del triangular OAD es igual a los 5/16 del área del trapecio isósceles OABC. Las coordenadas del punto medio del segmento AB son: Y A B C D 0 X 2 8 10 06. Hallar el área de la región del triángulo ABC, si : AD = 13, AB = 5 y el triángulo BCD es equilátero. B C D A Test de aprendizaje preliminar
163 TRILCE 07. La siguiente figura está formada por dos cuadrados de lado "a". Si el área del triángulo ABC = 2 m 7 10  . Calcular el área de la región sombreada. a/2 a 2 a 2 A B C 08. En la siguiente figura, M, N, P , Q; son los puntos medios de los lados del cuadrado ABCD. Si el lado del cuadrado ABCD es 25 m, calcular el área de la región sombreada. A B C D M Q N P 09. Hallar el área de la región triangular PQC, si ABCD es un cuadrado y (PQ)(AB)=20. A B C D P   Q 10. En la figura, si el triángulo tiene base "b" y altura "h", entonces, el área de la región del rectángulo inscrito es: h b x Practiquemos : 11. Calcular el área de la región de un triángulo equilátero, sabiendo que el radio de la circunferencia inscrita mide 2. 12. Se tiene un triángulo isósceles cuyos lados de igual longitud miden b cm. Para obtener un triángulo con la mayor área posible, el tercer lado debe tener una longitud de: 13. El triángulo, que puede ser inscrito en una semicircunferencia de radio "r", tiene una región cuya área es máxima y su valor es:
Geometría 164 14. En un triángulo rectángulo de hipotenusa 50u y, donde el cateto es el doble del otro, calcular el área de la región del triángulo. 15. Hallar la razón entre las áreas de una región triangular equilátera y una región cuadrada, si estas regiones son isoperimétricas. 16. El área de la región de un cuadrado es 100 2 m ; está inscrito en una circunferencia. ¿Cuál es el área de la región del cuadrado que se puede inscribir en la mitad de la misma circunferencia? 17. Se tienen 3 circunferencias tangentes exteriormente dos a dos. Hallar el área de la región del triángulo que se forma al unir sus centros, si se sabe que el producto desusradioses8 m3 y la suma de sus radios es 6m. 18. Calcular el área de la región de un triángulo equilátero que tiene por altura el radio de la circunferencia circunscrita a otro triángulo equilátero de 18 m2 de área de su región. 19. En un triángulo ABC, isósceles con BC AB  , la altura que parte de B mide 8 m y el perímetro 32 m. El área de la región triangular es: 20. Si en un triángulo las alturas miden 12cm, 15cm y 20cm, entonces, el área de su región en cm2 es: Problemas propuestos 21. Los radios de las circunferencias exinscritas relativas a los catetos de un triángulo rectángulo miden 4 y 8. Hallar el área de la región del triángulo. a) 100 b) 12 c) 32 d) 80 e) 16 22. En un triángulo, sus exradios valen 2u, 3u y 6u. Hallar el área de la región triangular. a) 12 2 u b) 2 2 u c) 6 2 u d) 16 2 u e) 8 2 u 23. Tres lados de un cuadrilátero convexo valen 3u, 4u y 3u. ¿Cuál de los siguientes valores puede ser el área de la región cuadrangular? a) 13 2 u b) 14 2 u c) 15 2 u d) 18 2 u e) 26 2 u 24. En un semicírculo, se encuentra inscrito un cuadrado "S" de 120 cm2 de área. Determinar el área de la región del cuadrado inscrito en todo el círculo. S a) 240 cm2 b) 300 cm2 c) 600 cm2 d) 220 cm2 e) 150 cm2
165 TRILCE 25. En un triángulo ABC se traza la circunferencia ex- inscrita relativo al lado BC , tangente en M y P las prolongaciones de los lados AB y AC respectivamente, siendo "O" centro de dicha circunferencia. Si : AB = 10, BC = 17 y AC = 21. Hallar el área de la región triangular OMP . a) 47,6 b) 57,6 c) 67,6 d) 77,6 e) 71,2 26. En un triángulo ABC, se sabe que AB = 8, BC = 9. ¿Para qué valor de AC el área de la región triangular ABC será máxima? a) 16 b) 17 c) 145 d) 135 e) 115 27. En un triángulo isósceles, la base mide 15 y la altura relativa a uno de los lados iguales mide 12. Calcular el área de la región triangular. a) 50 b) 75 c) 90 d) 100 e) 150 28. Los lados de un triángulo miden 26 , 18 y 20 . Calcular el área de esta región triangular. a) 6 b) 9 c) 12 d) 15 e) 18 29. La longitud del lado de un cuadrado ABCD es 6 cm. Se construye exteriormente el triángulo equilátero CED y se traza AE . Calcular el área de la región triangular AED. a) 6cm2 b) 9 cm2 c) 12 cm2 d) 8 cm2 e) 10 cm2 30. La base de un triángulo isósceles es 2 . Si las medianas trazadas hacia los lados congruentes se cortan perpendicularmente, entonces, el área de la región triangular es : a) 2 b) 3 c) 1,5 d) 2,5 e) 3,5 31. En un triángulo ABC, se conoce que la altura BH y la mediana BM trisecan al ángulo ABC. Calcular el área de la región triangular ABC, si: HM = 1m. a) 2 2 m2 b) 2 4 m2 c) 3 2 m2 d) 3 4 m2 e) 3 8 m2 32. Las alturas de un triángulo miden 6u, 8u y 12u. Hallar el área de la región triangular. a) 5 24 2 u b) 5 5 32 2 u c) 5 3 16 2 u d) 455 2 u e) 15 5 64 2 u 33. En un hexágono regular de lado L, se unen los puntos medios de cuatro lados opuestos dos a dos. Luego, se unen los puntos medios de los lados del rectángulo que se formó, obteniéndose un cuadrilátero. Hallar el área de la región limitada por este cuadrilátero. a) 2 L ) 8 / 3 ( b) 2 L ) 4 / 3 3 ( c) 2 L ) 8 / 3 3 ( d) 2 L ) 4 / 3 ( e) 2 L ) 2 / 3 ( 34. Desde el vértice de uno de los ángulos agudos de un rombo se trazan perpendiculares de 2 cm de longitud hacia las prolongaciones de los lados opuestos. Si la distancia entre los pies de dichas perpendiculares es 3cm. Hallar el área de la región limitada por el rombo. a) 7 3 32 b) 7 30 c) 7 2 35 d) 6 5 36 e) 6 2 39 35. El áreadelaregióntriangular esde150m2. Además, se sabe que el segmento que une el punto de intersección de las medianas con el punto de intersección de las bisectrices es paralelo a uno de los catetos. Calcular los catetos. a) 60 m y 5 m b) 25 m y 12 m c) 15 m y 20 m d) 30 m y 10 m e) 50 m y 6 m 36. ABCD es un cuadrado. E está en AD y F está en la prolongación de DC , de modo que FB EB  . Si el área de la región ABCD es 256 y el área de la región triangular EBF es 200, determinar CF. a) 3 / 3 25 b) 9 c) 3 / 3 20 d) 12 e) 3 / 2 17 37. De todos los rectángulos de perímetro 24 y dimensiones enteras, las dimensiones del rectángulo de área máxima: a) Son 5 y 7. b) Son 8 y 4. c) Son 9 y 3. d) No pueden determinarse. e) 6 y 6. 38. Sobre los catetos de un triángulo rectángulo ABC, de longitudes 5 y 7 respectivamente, construimos dos triángulos rectángulos isósceles ADB y BEC, tomando AB y BC por hipotenusas. Calcular el área de la región del polígono resultante. a) 30 b) 26 c) 28 d) 36 e) 45
Geometría 166 39. En un triángulo rectángulo, cuyos catetos tienen una longitud de 50 m y 120 m, se inscribe un rectángulo que tiene dos de sus lados contenidos por los catetos y uno de sus vértices está en la hipotenusa. Determinar el área máxima de dicha región rectangular. a) 1200 m2 b) 1500 m2 c) 1750 m2 d) 2000 m2 e) 2500 m2 40. Sobre los lados de un cuadrado ABCD, de lado igual a "L" se localizan, a igual distancia de los vértices, los puntos P, Q, R y S, que al unirse determinan el cuadrilátero PQRS tal como se muestra en la figura. Entonces, los valores de x que hacen que la región PQRS tenga área mínima y máxima, son respectivamente. A B C D R Q S P x x x x L a) L/3, L/2 b) L/2, L/4 c) 0, L/2 d) L/5, L e) L/2, 0 41. Hallar el área de la región de un polígono regular inscrito en una circunferencia de radio R, sabiendo que el doble de su perímetro es igual al perímetro del polígono regular del mismo número de lados, pero circunscrito a la circunferencia dada. a) 2 4 3 R 3 b) 2 3 2 R 3 c) 2 5 4 R 2 d) 2 R 2 e) 2 5 6 R 2 42. En el gráfico, hallar el área de la región sombreada, si: PO = 16. (Q, R, O  punto de tangencia). A D C R O P Q a) 256 b) 135 c) 128 d) 144 e) 121 43. Sobre cada uno de los lados de un triángulo equilátero se construyen exteriormente cuadrados, cuyos perímetros son iguales a 16 unidades. Calcular el área de la región triangular cuyos vértices son los centros de los cuadrados. a) 16 b) ) 3 3 2 ( 2  c) ) 3 3 2 ( 4  d) ) 3 3 2 ( 8  e) ) 2 3 ( 4  44. Siendo ABCD un cuadrado de lado "a"; hallar el área de la región sombreada, si A y C son centros de los arcos BD. A B C D a) 4 7 2 a b) 2 14 2 a c) 3 14 2 a d) 8 7 2 a e) 4 21 2 a 45. Según el gráfico, calcular el área de la región sombreada; si TB = a. ("T" es punto de tangencia). A T B C M 75° 30° a) a2/2 b) a2/4 c) 4 3 2 a d) a2 e) 2 3 2 a 46. Sea ABC un triángulo rectángulo isósceles ) 90 B ) m (    . Exteriormente, construya el cuadrado ACDE. BE y BD cortan a AC en los puntos "M" y "N" en ese orden. Si el área de la región triangular MBN es de "S" cm2. Calcular el área de la región cuadrada ACDE. a) 6.S cm2 b) 8.S cm2 c) 10.S cm2 d) 12.S cm2 e) 24.S cm2 47. En una circunferencia, de centro "O" y diámetro AB , se ubica el punto "P", tal que: AP = PB; se trazan las cuerdas PS y PR y que intersecan a AB en los puntos M y N, se traza RH perpendicular a AB , si : AM = 4; NH = 2 y HB =1. Además: m )  SOR = 90º. Calcular el área de la región triangular MNR. a) 2 2 11 5 u b) 13 6 u2 c) 2 11 3 u2 d) 2 171 u2 e) 3 17 2 u2
167 TRILCE 48. Se tiene un cuadrado ABCD, sobre BC y CD se ubican los puntos M y N respectivamente. Si : BM = 3u; ND = 2u, calcular el área de la región triangular MCN, si la    45 MAN ) m . a) 24 u2 b) 12 u2 c) 6 u2 d) 15 u2 e) 25 u2 49. Las áreas de las regiones del octágono regular y del dodecágono regular inscritos en una misma circunferencia están en la relación de : a) 3 / 2 b) 2 / 2 3 c) 3 / 2 2 d) 4 / 2 e) 4 / 2 3 50. Un triángulo ABC, se encuentra inscrito en una circunferencia de radio R; se traza la altura AH y luego las perpendiculares HP y HQ y hacia los lados AB y AC (en ese orden). Si : PQ = a, calcular el área de la región triangular ABC. a) 2 aR b) 4 ) R a (  c) aR d) R a2 e) (a+R)2 51. En la figura, AB = 7 y BC = 6 y AC = 11. Calcular el área de la región sombreada, si "I" es incentro del triángulo ABC. (T, P y R, puntos de tangencia). A B C I T P a) 10 6 b) 6 8 c) 5 10 d) 3 12 e) 24 52. Del gráfico, si I1 e I2 son los incentros de los triángulos ABH y HBC, respectivamente, hallar el área de la región "Sx" en función de S1 y S2. A B C I 1 I2 S 2 S1 Sx H a) S1+S2 b) 2 2 S 1 S  c) 2 1S S d) 2 2 2 1 S S  e) 2 S 1 S 2 S 1 S  53. Si los radios de los círculos son 3 y 4, hallar el área de la región sombreada. a) 50 b) 51,12 c) 53,6 d) 56,9 e) 56,4 54. Exteriormente a los lados del triángulo ABC se construyen los triángulo rectángulo APB, BQC y ALC, tal que : AB PC  , AQ BC  y BL AC  . Hallar el área de la región triangular ABC si el área de los regiones triangulares APB, BQC y ALC son 1, 2 y 3 u2, respectivamente. a) 7 2 2 u b) 13 2 u c) 2 7 2 u d) 14 2 u e) 21 3 2 u 55. El área de la región triangular ABC es 5m2; se tiene una recta exterior al triángulo a la cual se trazara las perpendiculares AP , BQ y CR . Hallar el área de la región triangular que se forma al unir los puntos medios de : AP , BQ y CR. a) 10 2 m b) 3 2 m c) 3,5 2 m d) 2 2 m e) 2,5 2 m 56. Si la altura de un trapecio rectángulo es 6 y sus diagonales son perpendiculares, hallar el área mínima de la región limitada por el trapecio. a) 12 b) 72 c) 36 d) 24 e) 8 57. En la figura mostrada, calcular el área de la región sombreada, siendo: m 2 2 AB  y AB = BC. A B C E 15° a) 2 m 2 6 b) ) 1 3 (  m2 c) 2 2 m2 d) ) 1 3 6 (  m2 e) 3 2 m2
Geometría 168 58. En la figura, si ABCD es un cuadrado, CM = MD, calcular el área de la región sombreada, siendo: AB = 4m. (T : punto de tangencia). A B C D M T Q a) 2 m2 b) 4 m2 c) 5 m2 d) 6 m2 e) 7 m2 59. Del gráfico mostrado, hallar el área de la región sombreada, si : BE = a, EC = b, a2+b2+ab = 5. ABCD : cuadrado. A B C D E a) 5 b) 5/2 c) 5/3 d) 25 e) 35 60. En un triángulo ABC inscrito en una circunferencia de centro "O", se trazan los diámetros AD , CF y BE , las áreas de las regiones triangulares BDC, AFB y AEC miden 5, 3 y 4m2 respectivamente. Calcular el área de la región triangular ABC. a) 10 m2 b) 12 m2 c) 14 m2 d) 18 m2 e) 15 m2
169 TRILCE Claves Claves 21. 22. 23. 24. 25. 26. 27. 28. 29. 30. 31. 32. 33. 34. 35. 36. 37. 38. 39. 40. c c a b b c b b b c c b c a c d a d b e 41. 42. 43. 44. 45. 46. 47. 48. 49. 50. 51. 52. 53. 54. 55. 56. 57. 58. 59. 60. a c b d a d a c b c a d e d e c b c b b
Geometría 170 RELACIÓN DE ÁREAS DE REGIONES POLIGONALES 01. Si el área del triángulo ABC es de 90 dm2, calcular el área de la región sombreada. A B C n 2n 02. El área de la región sombreada es de 12dm2. Calcular el área de la región triangular ABC. A B C 03. ¿Qué fracción del área de la región del triangular ABC, representa el área de la región sombreada? A B C 04. Si el área del paralelogramo ABCD es de 24cm2, calcular el área de la región sombreada. A B C D Q M 05. El área de la región cuadrangular ABCD es de 48 dm2. Calcular el área de la región sombreada. A B C D 06. Si el área de la región del triángulo ABC es 36 2 u , calcular el área de la región sombreada. B C A 3a a 2b b 2c c P
171 TRILCE 07. Calcular el área de la región del trapecio mostrado. B C D A 4 16 08. El área de la región triangular ABC es 24 2 m . Calcular el área de la región sombreada. B C A P Q c a b b b c a 09. Si el área de la región del triángulo ABC es 40 2 u , calcular el área de la región sombreada. c a 3a B C A b c b 10. En la figura, ABCD es un paralelogramo. Calcular x S . S1 S2 Sx P B C D A Practiquemos : 11. En un trapecio cuyas bases miden 3m y 1m, se traza una paralela a las bases para dividirlo en dos figuras equivalentes. ¿Cuál es la longitud de dicha paralela? 12. En un cuadrilátero convexo ABCD, se toma el punto medio M de la diagonal AC . Calcular el área de la región triangular MBD, sabiendo que las áreas de la región de los triángulos ABD y BDC miden 40 y 60 m2, respectivamente. 13. Sea un cuadrilátero ABCD; los puntos medios de sus lados determinan el paralelogramo PQRS; los puntos medios de los lados de éste determinan otro paralelogramo MNLT. Si los puntos medios de este último determinan un rombo que limita una región de 72m2, entonces, el área de la región del cuadrilátero ABCD, es :
Geometría 172 14. En un triángulo ABC, se traza el segmento BD con D sobre el lado AC . También trazamos el segmento CE con E sobre el lado AB . Si sabemos que: 36 13 AC AB  y 5 12 AE CD  , hallar : ) AEC ( Área ) BDC ( Área   . 15. Dado un triángulo equilátero cuya área de su región es 2 u 3 9 . Se traza dos rectas paralelas a la base, que dividen al triángulo en tres regiones equivalentes. ¿Cuál es la longitud de la paralela más cercana a la base? 16. Dado un triángulo ABC, cuya área de su región es 18 2 m , se traza la altura BH . Si la mediatriz de AC interseca a BC en N, calcular el área de la región cuadrangular ABNH. 17. En un triángulo ABC, se trazan las alturas AH y CP . Calcular la razón entre el área de la región triangular PBH y el área de la región cuadrangular APHC, si además : m )  ABC = 53º. 18. Hallar el área de las región de un triángulo isósceles ABC, sabiendo que : AB = BC = 30 cm, y que la perpendicular a BC en su punto medio M, corta a AB en E y que : 5 1 EB AE  19. Las diagonales de un trapecio dividen a éste en cuatro triángulos. Hallar el área del trapecio, si las áreas de los triángulos adyacentes a las bases son iguales a 1,69 2 cm y 1,21 2 cm . 20. Se tiene un cuadrilátero ABCD, siendo "O" punto de la intersección de sus diagonales. Sabiendo que : OA = x, OB = 2x, OC = 8x, OD = 5x, y que el área de la región triangular BOC es igual a 48 2 m ; el área de la región del cuadrilátero, en 2 m , será :
173 TRILCE Problemas propuestos 21. En la figura, 2AB = AC = CD = DE y las rectas horizontales son paralelas. Sea : x = área de la región triangular ABH y sea: z = área del cuadrilátero FGCE. Luego, z x es: F E A B C D G H a) 1/16 b) 5/72 c) 1/14 d) 1/32 e) 3/32 22. La figura ABCD es un cuadrado de lado "a". El vértice A se une con los puntos medios de los lados BC y CD ; luego se traza el segmento que une los puntos medios de AB y AD . Hallar el área de la región triangular ARQ. A B C D M N R Q S T a) a2/9 b) 3a2/8 c) a2/24 d) a2/6 e) a2/12 23. Se tiene un triángulo ABC inscrito en una circunferencia. La tangente en A, a la circunferencia, corta en P a la prolongación de CB ; si: 3AC.CP = AB.AP y el área de la región triangular APC es "k" unidades cuadradas. Hallar el área de la región triangular APB. a) 2 3 K u b) 5 K 2 u2 c) 7 K u2 d) 5 K u2 e) 4 3 K u2 24. Dos circunferencias se encuentran separadas y la distancia entre sus centros, A y B es 8 cm, siendo sus diámetros de 4 y 10 cm, respectivamente. De A, se traza una secante que corta en R y S a la otra circunferencia, donde RS = 6 cm. Si P es la proyección de R sobre AB , calcular el área de la región triangular RPB. a) 2 cm ) 3 4 18 (  b) ) ( 8 3 7 24 cm2 c) ) ( 8 3 7 12 cm2 d) ) ( 4 3 5 20 cm2 e) ) ( 4 3 4 28 cm2 25. El área de la región del triángulo ABC es "S". Si : AM = MB y AE = EF = FC, hallar el área de la región sombreada. A B M E F C a) 20 S b) S 20 3 c) 10 S d) 8 S e) 20 S 7 26. Dado un cuadrado ABCD sobre los lados BC y CD se toman los puntos M y N respectivamente tal que:    45 MAN ) m ; BD interseca a AM y AN en los puntos P y Q respectivamente. Si : F } MQ { } PN {   ; si la prolongación de AF corta a MN en "k", tal que: AF=10 y FK=2. Hallar el área de la región triangular MCN. a) 12 b) 24 c) 20 d) 40 e) 42 27. Del gráfico :    60 TPQ ) m , mTM=mAM, AN = NQ. Calcular el área de la región sombreada en función de R. A B M N P T O Q R a) 2 8 7 R 3 b) 3 R2 c) 5 R2 d) 5 3 7 R2 e) 5 7 18 R2
Geometría 174 28. En un triángulo ABC, se trazan BP y BQ perpendiculares a las bisectrices exteriores de los ángulos A y C respectivamente. Luego, se traza IM perpendicular a AC (I: incentro del triángulo ABC). Calcular el área de la región triangular ABC, si el área de la región PIQM 64 u2. a) 64 u2 b) 32 u2 c) 16 u2 d) 128 u2 e) 24 u2 29. Graficar el cuadrilátero ABCD y ubicar M y N puntos medios de BD y AC respectivamente. En MN , ubicar el punto P. Si las áreas de las regiones triangularesDAP ,APB,CPDyCPBsonS1, S2, S3 y S4 respectivamente, hallar la relación que cumplen S1, S2, S3 y S4. a) 4 2 3 1 S . S S . S  b) 4 3 2 1 S S S S    c) 4 3 3 2 S . S S . S  d) 4 1 3 2 S S S S    e) 4 S 3 S 2 S 1 S  30. La figura muestra al cuadrado ABCD donde DQ PC  . Indicar la relación correcta entre las áreas de las regiones sombreadas. A B C D Q P A2 A3 A1 a) A3 = A2-A1 b) 2 1 A 2 A 3 A   c) 1 1 2 2 2 3 A A A   d) 2 1 A 2 A 3 A   e) ) A )( A ( ) A ( 1 2 2 3  31. En la figura: 5BT= 3AT. Calcular la razón de las áreas de las regiones triangulares BCF y ADE. (T, E y F  puntos de tangencia). A B C D E T F a) 3/5 b) 1/3 c) 1/2 d) 9/25 e) 5/8 32. En la figura, A, B y C representan las áreas de las regiones sombreadas. Determinar la relación correcta entre dichas regiones. A B C a) AC B  b) C = A+B c) AB C  d) B =4ABC e) A = 2C-B 33. Si ABCD es un cuadrado, encontrar la relación entre A, B y C. A B C D A B C a) A + B = C b) B + C = A c) B + C = 2A d) A + C = B e) A + C = 2B 34. Si ABCD es romboide, hallar la relación de las áreas : S1, S2, S3 y S4; si : AB // MP . A B C D S1 S2 S3 S4 P M a) S1 + S2 = S3 + S4 b) S1 + S4 = S2 + S3 c) S1 + S3 = S2 + S4 d) S1 . S2 = S3 . S4 e) S1 . S3 = S2 . S4 35. Si "G" es el baricentro del triángulo ABC y además (PQ)2+(PR)2+(QR)2 = 3, hallar la suma de las áreas de las regiones de los cuadrados mostrados. A B C N S Q P T G R a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5
175 TRILCE 36. Exteriormente a una recta, se marca el punto "O" y se traza los rayos OA , OB, OC y OD (A, B, C, D están sobre la recta y forman una cuaterna armónica) sobre OA y OC se toman los puntos E y F. . Si: M } OB { } EF {   y OD // EF . Hallar: FOM ulo del triáng Área EOM ulo del triáng Área a) 1 b) 1/2 c) 1/3 d) 1/4 e) 1/5 37. Si T, P y Q son puntos de tangencia, hallar la relación entre S1, S2 y S3. S1 S2 S3 P T Q a) S2 = S1+S3 b) 3S3 = 2(S1+S2) c) 2S2 = 3S1-S2 d) 3S1 = S2+S3 e) 2S1 = S2+S3 38. Si: (AM).(ND)=(BM).(CN); hallar "X" en función de A y B. A B C D N M X A B a) A+2B b) 2A+B c) 2(A+B) d) A+B e) 3(A+B)/2 39. En un triángulo ABC, el segmento que une el incentro y el baricentro es paralelo a la base AC y el inradio mide 2. Calcular el área de la región triangular ABC, si: AC = 8. a) 21 b) 24 c) 18 d) 16 e) 12 40. Los lados de un triángulo miden 15u, 20u y 25u. Calcular el área de la región triangular formada por el incentro, baricentro y circuncentro del triángulo. a) 5 b) 2,5 c) 5/3 d) 10/3 e) 25/12 41. Calcular el área de la región triangular correspondiente a un triángulo isósceles, en el cual la base mide 16 cm y el circunradio 10 cm, siendo el triángulo obtusángulo. a) 32 2 cm b) 16 2 cm c) 48 2 cm d) 30 2 cm e) 34 2 cm 42. Hallar el área de la región del hexágono regular circunscrito a una circunferencia, sabiendo que el área de la región del hexágono regular inscrito en la misma circunferencia es 540. a) 840 b) 720 c) 650 d) 600 e) 540 43. Se tiene un hexágono regular de 4m de lado, se construyen circunferencias de 2m de radio, tangentes exteriores a cada lado en su punto medio. ¿Cuál es el área de la región del hexágono obtenido al unir los centros de la circunferencia? a) 3 6 9  b) 3 2 18  c) 3 24 36  d) 3 18 27  e) 3 30 45  44. En un triángulo ABC, los lados AB , BC y AC , miden 13u, 14u y 15u, respectivamente. Se trazan las alturas AD y CE , hallar el área de la región cuadrangular EBDO, siendo "O" el circuncentro del triángulo ABC. a) 4 375 b) 8 375 c) 16 375 d) 32 375 e) 21 45. Las diagonales de un rombo son proporcionales a 2 y 3, respectivamente. Calcular la diagonal menor, si el área de la región romboidal es 48 2 m . a) 12 m b) 8 m c) 10 m d) 6 m e) 9 m 46. Calcular el área de la región que encierra un hexágono regular inscrito en una circunferencia de 4 cm de radio. a) 2 cm 3 18 b) 2 24 cm2 c) 20 cm2 d) 3 24 cm2 e) 7 16 cm2 47. Se tiene un rectángulo de 60 2 cm de área. Si los lados son números enteros en (cm), el perímetro mínimo posible en cm, es : a) 38 cm b) 30 cm c) 34 cm d) 32 cm e) 36 cm
Geometría 176 48. En un cuadrado ABCD, se traza interiormente la semicircunferencia de diámetro AD , luego, se traza la tangente CP a dicha semicircunferencia (P es punto de tangencia). Hallar el área de la región cuadrangular ACBP . Si : AD = 10. a) 50 b) 45 c) 35 d) 40 e) 30 49. En un rombo ABCD, las proyecciones de las diagonales BD y AC sobre AD , tiene como longitudes "m" y "K", respectivamente. Hallar el área de la región limitada por el rombo. a) Km ) 2 m K (  b) Km ) 2 m K (  c) Km ) 3 m K (  d) ) Km ( ) 2 m K (  e) (K+m)(Km) 50. En un cuadrado ABCD por el vértice B se traza la recta 1 L , no secante al cuadrado y por el vértice D, se traza la recta 2 L que interseca al lado AB en Q, de modo que : L1 y L2 se intersecan perpendicularmente en P, , PB = b y la distancia del vértice A a la recta 2 L es "a". Hallar el área de la región cuadrada ABCD. a) 2 2 a ab 2 b 2   b) 2 2 b ab 2 a 2   c) 2 ) b a 2 (  d) 2 ) b 2 a (  e) 2 ) b a (  51. Dado un triángulo equilátero de 3m de lado, se dividen en tres segmentos iguales a los lados del triángulo y se unen los puntos de división formándose una estrella, como se muestra en la figura. Calcular el área de la estrella. a) 2 m 3 4 5 b) ) 3 1 (  m2 c) ) 1 3 (  m2 d) 3 m2 e) 3 4 7 m2 52. En el trapecio ABCD, las diagonales determinan los triángulos AOD y BOC, de áreas 49 2 m y 25 2 m , respectivamente. Hallar el área del trapecio. . O B C A D a) 135 2 m b) 140 m2 c) 144 m2 d) 148 m2 e) 180 m2 53. Hallar el área de la región sombreada, si el radio de la circunferencia es 6, el segmento BF = 2 y ABCD es un rectángulo. D C A B O F a) 12,1 2 m b) 12,3 m2 c) 15,6 m2 d) 16,4 m2 e) 14,3 m2 54. En una circunferencia de radio "r", se desea inscribir un rectángulo, tal que este rectángulo circunscriba a otra circunferencia. Hallar el área de la región del rectángulo. a) 2 r 2 b) 2 r c) 2 r 3 d) 2 r 3 2 e) 2 r2 55. Hallar el área de la región triangular OB'C', si : AB = 4 = BC, 4 1 O M1  AB, AC = 6. 1 M y 2 M son puntos medios de AC y BC , respectivamente. ' OC // AC y ' C ' B // BC ; ' OC AO  .   C C' M1 B' O A B M2 a) 7 ) 3 / 29 ( b) 7 ) 6 / 29 ( c) 7 ) 7 / 29 ( d) 7 ) 2 / 29 ( e) 7 ) 24 / 29 (
177 TRILCE 56. Sobre una recta se toman tres puntos : A, B, C (en ese orden), tales que : AB = a, BC = b. Con dos puntos D y E exteriores a la recta y a un mismo lado, con respecto a ella se construyen dos triángulos ABD y BCE. Hallar el área cuadrangular ADEC. a) ) ab b a ( 2 3 2 2   b) ) ab b a ( 4 3 2 2   c) ) b a ( 4 3 2 2  d) ) ab b a ( 3 3 2 2   e) ) ab b a ( 2 3 2 2   57. El ancho de una finca rectangular es 1/4 del largo. Si se prolongase ésta 5 m y aquélla 3 m, la finca tendría un aumento de 185 m2. ¿Qué dimensiones tiene dicha finca? a) 10 m y 40 m. b) 20 m y 80 m. c) 15 m y 60 m. d) 10 m y 45 m. e) 10 m y 80 m. 58. Sean dos circunferencias tangentes exteriormente de radios 10 dm y 30 dm. Determinar el área del triángulo isósceles circunscrito a las dos circunferencias. a) 2 dm 3 1800 b) 3 1200 dm2 c) 3 900 dm2 d) 3 180 dm2 e) 3 2700 dm2 59. Sea A el área de un triángulo  , 1 A el área del triángulo 1  obtenido uniendo los puntos medios de los lados del triángulo  ; análogamente sea 2 A el área del triángulo 2  , obtenido uniendo los puntos medios de los lados del triángulo 1  ; y así sucesivamente. Entonces, la suma de las áreas : : es , ..... A A A 2 1    a) A 4 3 b) A 3 4 c) A d) A 2 3 e) 2A 60. Se tiene un círculo de centro "O" y un punto "A" externo a él (ver figura). Sean : PQ = RS = 16 m; el área de la región triangular OPQ = 48 2 m y OA = 157 m. Calcular el área de la región del triángulo AOR. Q P O A R S a) 48 2 m b) 36 2 m c) 24 2 m d) 9 2 m e) 12 2 m
Geometría 178 Claves Claves 21. 22. 23. 24. 25. 26. 27. 28. 29. 30. 31. 32. 33. 34. 35. 36. 37. 38. 39. 40. d c a b b b a d d d d b d c a a a d b e 41. 42. 43. 44. 45. 46. 47. 48. 49. 50. 51. 52. 53. 54. 55. 56. 57. 58. 59. 60. a b c c b d d d b b d c e a e b a e b d
179 TRILCE I. SECTOR CIRCULAR º R R º 360 R As 2   O II. SEGMENTO CIRCULAR O A B S S = III. FAJA O ZONA CIRCULAR E F A B O Si : AB // EF IV. CORONA O ANILLO CIRCULAR R r S 2 2 r R S     ) r R ( S 2 2    V. TRAPECIO CIRCULAR R r x x = PROPIEDAD DE LAS FIGURAS SEMEJANTES A A A 1 2 3 Fig. 2 Fig. 1 Fig. 3 Si : fig. 1 ~ fig. 2 ~ fig. 3 2 1 3 A A A   Capítulo ÁREAS DE REGIONES CURVAS 15
Geometría 180 Caso Particular : x y z z = x + y TEOREMA DE LAS LÚNULAS DE HIPÓCRATES P X Q X = P + Q Observaciones : * En la corona circular A B H R O r r OHB : 2 2 2 2 AB r R         4 AB r R 2 2 2   2 ) AB ( 4 Área    * En el triángulo rectángulo x y B A C A = y - x ABC
181 TRILCE 01. Calcular el área de la región sombreada, si : AB = 20 cm. Además, ABCD es un cuadrado. A B C D 02. En la figura, calcular el área de la región sombreada, si : AB = 2m, siendo ABCD un cuadrado. A B C D 03. Hallar el área de la región sombreada, si : m )  AOB = 60º y OA = OB = 12. A B O 04. Si el área del círculo es 2 cm 9 , ¿cuál es la suma de las áreas de las regiones cuadradas I y II? I II 3cm 05. Si : C1 , C2 y C3 son semicírculos de radios iguales, entonces, el área de la figura sombreada en función de lado L del cuadrado, es: C1 C2 C3 06. En la figura, el área de la región sombreada es: (ABCD: cuadrado). A B C D R Test de aprendizaje preliminar
Geometría 182 07. En la figura, AC // MN ; ) AM ( 3 2 BN  ; BM = 12, CN = 32 y O, O1 son centros de las respectivas semicircunferencias. Hallar el área de la región sombreada. A B C M O1 O N 08. Hallar el área de la región sombreada, siendo AC el diámetro. AB = 15 y BC = 20. A H B C 09. En el círculo mayor, el diámetro es 4m. M, N, P y Q son puntos medios. Hallar el área de la región sombreada. A B C D P Q M N O 10. En el gráfico: AE = EB = 6 dm, calcular el área de la región sombreada, si además: BC = AC =12 dm. A B C E Practiquemos : 11. Un sector circular tiene un ángulo de 60° y 15m de radio. Hallar el área del círculo inscrito en el sector circular. 12. Si el área de un círculo se duplica al aumentar su radio en ) 1 2 (  ; hallar el radio original. 13. Un triángulo equilátero cuyo lado mide 4m; su región tiene igual área que un círculo cuyo radio mide R. ¿Cuál es el valor de R?
183 TRILCE 14. Hallar el área limitada por dos circunferencias tangentes interiormente sabiendo que la distancia entre sus centros es de 10u y la suma de sus longitudes es de 100u. 15. Las áreas que limitan dos circunferencias concéntricas son 78,5 m2 y 28,26 m2 respectivamente; se traza una cuerda a la circunferencia mayor que es tangente a la menor, entonces la longitud de esa cuerda es: (considerar que 14 , 3   ). 16. Un sector circular tiene un área igual a 2 cm 25 y representa el 4% del área del círculo. El 5% de la longitud de la circunferencia correspondiente en metros es: 17. Dado un triángulo equilátero ABC, de 4 cm de lado, hallar el área de la región comprendida entre la circunferencia circunscrita y la circunferencia inscrita a dicho triángulo. 18. Sean las regiones A1 y A2 limitadas por las circunferencias iguales tal que el área de 2 1 A A  es 100m2 y el área de 2 1 A A  es 400m2 . Entonces, el radio de las circunferencias iguales es: 19. Los vértices de un hexágono regular son los centros de 6 circunferencias congruentes y tangentes, (según muestra la figura). Calcular el área de la región sombreada en función de lado "a" del hexágono. 20. Hallar el área de faja circular cuyas bases son el lado del hexágono regular y del triángulo equilátero inscritos, respectivamente, además el radio del círculo es 6 R  . Problemas propuestos 21. Dado los círculos C1 y C2 , con áreas a1 y a2 , respectivamente, si la longitud de la circunferencia C2 es igual al diámetro de C1 , el área a2 será: a) 2 1 a u  b)  2 1 a c) 2 2 1 a  d) 2 1 a  e)  1 a 22. En la figura, AC es diámetro. Hallar el área de la región sombreada. Si : BH = 6. A H B C a) 6  b) 9  c) 12  d) 18  e) 20 
Geometría 184 23. Hallar la diferencia de las áreas de las regiones sombreadas, si el lado del cuadrado ABCD mide 4. A B C D a) 8 3   b) ) 8 3 ( 2   c) 8 6   d) 8 6   e) ) 1 6 ( 2   24. En la figura, hallar el área de la región sombreada, comprendida entre el triángulo ABC, recto en B, y la semicircunferencia, sabiendo que el arco BT es de 120°. (T : punto de tangencia). A B C T O L a) 2 6 3 3 L ) (   b) 2 6 3 2 L ) (   c) 2 4 3 L ) (   d) 2 6 3 L ) (   e) 2 4 1 L ) (   25. En la figura, hallar el área de la región sombreada, si: AP = 3 y QC = 4. P y Q : puntos de tangencia. A B C Q P a) 3 2 b) 12 c) 24 d) 3 4 e) 18 26. Hallar el área de la región sombreada comprendida entre dos circunferencias de centro "O" y un cuadrado con un vértice en "O" y lado 10 m. O a) 2 4 m ) 1 ( 50   b) ) 25 45 ( 4   c) 30 d) ) 50 (   e) 50 27. Calcular el área de la región sombreada. a a a a) 3 2 a  b) 2 3 2 a a 3   c) 2 2 3 3 a ) (   d) 2 2 3 3 2 a ) (   e) 2 3 2 a ) 3 (   28. Si: C, D y E son puntos de tangencia, hallar el área de la región sombreada. O R E C 60° D a) 18 / R2  b) 9 / R2  c) 12 / R2  d) 16 / R2  e) 8 / R2  29. En el rectángulo ABCD, AD y BC son diámetros. Hallar el área de la región sombreada, si : 3 4 AB  y AD=8. A B C D a) 3 2 b) 3 4 c) 8 d) 3 2 4  e) 3 8
185 TRILCE 30. En la figura mostrada, si: mAB=72° y mBC=54°, hallar el área de la región sombreada. Si : 5 R  . A B C R a)  b) 2  c) 3  d) 4  e)  /3 31. Hallar el área máxima del círculo, si : AO = OB = 10. A B O T a)  b) 2  c)  3 d)  2 e) 3  32. Hallar el área de la región sombreada, si el triángulo ABC es equilátero y 3 BE  . (A, E, P son puntos colineales). A B C P E a) 2 3 3   b) 4 3 3   c) 2 3 6   d) 4 3 6   e) 6 3 3   33. Si : BT = 24 y BF = 36, hallar la diferencias de las áreas sombreadas. (T : punto de tangencia). T B F a) 169  b) 85 c) 85  d) 69 e) 69  34. Hallar el área de la región sombreada, si: AB es diámetro, OA = OB. FH = 2. (O : punto de tangencia). A O H B F a) 1 2   b) 1 4   c) 4 4   d) 8 2   e) 8 4   35. Hallar el área de la región sombreada, si: AO = OB = R. ( AB : diámetro). A O B a) ) 3 6 ( 8 2 R   b) ) 3 3 8 ( 24 2 R   c) ) 3 12 ( 48 2 R   d) ) 5 3 18 ( 36 2 R   e) ) 3 5 ( R2   36. ¿Cuál debe ser la relación de R1 , R2 y R3 para que las áreas del círculo A1 (interior) y los dos anillos A2 y A3 , respectivamente, sean iguales entre sí? A2 R2 R3 R1 A1 A3 a) 3 3 R 2 2 R 1 R   b) 3 2 2 R 3 1 R R   c) 3 3 R 2 2 R 1 R   d) 5 3 R 4 2 R 2 1 R   e) 7 3 R 5 2 R 3 1 R  
Geometría 186 37. En la figura P , Q y O son centros de los semicírculos, si el rectángulo ABCD tiene perímetro 24 cm, el área de la región sombreada será de: B P Q D O A C a) 2 cm ) 6 32 (   b) ) 6 26 (   c) ) 23 9 (   d) ) 32 12 (    e) ) 9 32 (   38. La figura muestra un cuarto de círculo y un semicírculo AM = MO = 3 2 . Calcular el área de la región sombreada. A B O M N a) 3 3 5   b) 3 2 4   c) 3 6 5   d)  5 e) 3 5 5   39. En el gráfico: esdiámetro. Si: S1 , S2 y S3 representan las áreas de las regiones sombreadas. ¿Qué relación existe entre S1 , S2 y S3 ? S1 S2 S3 T B A a) 2S3 = S2+S1 b) S3 - S2 = S1 c) S1. S2 = S3 d) S2 + S3 = 2S1 e) 2S1+S2=S3 40. Calcular el área de la región sombreada, si: 3 NO  y EH = 3. (T, P y N : puntos de tangencia). O H P T E N r a) ) ( 4 3 3   b) ) ( 4 3 3   c) ) ( 2 2 4 3   d) ) 2 ( 4 3   e) ) ( 2 2 4   41. Un jardín circular de 12 m de diámetro está sembrado de pasto; pero es atravesado por un camino pavimentado recto de 3m de ancho, de modo que uno de sus bordes pasa por el centro. En consecuencia, el área sembrada, en metros cuadrados, es : a) 3 9 35   b) 3 9 30   c) 3 9 35   d) 3 9 30   e) 3 6 30   42. Los vértices de un rombo, de lado igual a una de sus diagonales son los centros de cuatro circunferencias congruentes y tangentes. Calcular el área de la región sombreada en función de radio R. R R R R R R R R a) ) 3 ( R 2 2   b) ) 3 ( R2   c) 2 2 R 3 3 R 2   d) ) 3 2 ( R2   e) ) 3 ( 2 2 R   43. Hallar el área de la región sombreada indicada en la figura, si se sabe que la medida del ángulo AOB y la del ángulo A'O'B' es 60°, los segmentos A ' O , B ' O son tangentes a la circunferencia con centro O y radio R, y los segmentos ' A " O , ' B " O son tangentes a la circunferencia de centro O'.
187 TRILCE O O' A B O" A' B' a) ) 3 12 10 ( R2   b) ) 3 12 10 ( 9 2 R   c) ) 3 12 10 ( 9 2 R   d) ) 3 12 10 ( 27 2 R   e) ) 3 12 10 ( 27 2 R   44. La siguiente figura es un cuadrado de lado "a". Las curvas son arcos de circunferencias de radio a/2 con centro en los puntos A, B y en el centro C del cuadrado. ¿Cuál es el área de la región sombreada? A B C a) 4 2 a b) 3 2 a 2 c) 3 2 a d) 4 2 a 3 e) 2 2 a 45. Hallar el área sombreada de la figura, donde "  " está expresado en radianes, CO'D y AOB son sectores circulares y OAO'C es un paralelogramo. A B C D O O'  L l a) ) LSen (    l b) ) L LSen (    l l c) ) LSen (    l l d) ) LSen (    l e)  LSen 3 1 l 46. En el gráfico, se tienen semicírculos. Si : S1 = 9m2 y S2 = 4m2 , hallar : S3 . S1 S3 S2 a) 7 m2 b) 9 c) 10 d) 12 e) 14 47. Hallar el área de la región sombreada si ABCD es un cuadrado de lado "a" y PQ es tangente al arco AC (de centro D), en su punto medio. A B C D P Q a a) 2 4 8 2 8 a ] [    b) 2 4 8 2 8 a ] [    c) 2 4 6 2 8 a ] [    d) 2 3 8 2 8 a ] [  e) 2 4 8 2 8 a ] [    48. ABC es un triángulo obtusángulo con 2 2 AB  , 10 2 BC  , AC = 8. C1 es una circunferencia circunscrita a ABC; C2 y C3 son dos circunferencias concéntricas con C1 , siendo AB tangente a C2 y AC tangente a C3 . Determinar el área del anillo circular limitado por C2 y C3 . a) 10  b) 13  c) 14  d) 16  e) 20  49. Dadas tres circunferencias de radio 2 , tangente entre sí dos a dos. Calcular el área comprendida entre las tres circunferencias. a)   2 b)   2 3 c)   2 3 d)   3 2 e)   3 2
Geometría 188 50. Tomando como diámetro la altura de un triángulo equilátero de lado "4a", se traza una circunferencia. Calcular el área común que encierran ambas figuras. a) ) 3 3 )( ( 2 2 a   b) ) 3 )( ( 2 2 a   c) ) 3 3 2 ( a2   d) ) 2 3 3 )( ( 2 2 a   e) ) 3 ( a2   51. En la figura dada, hallar el área de la región sombreada en función de R. R a) 7 / R2  b) 6 / R2  c) 8 / R2  d) 9 / R2  e) 10 / R2  52. Si : A+B = k, calcular : x + y. A B x y a) K b) 2K c) 3K d) K/2 e) K/3 53. Hallar A+B, si : AOB es un cuadrante y NA = 2K y MB = K. Si "Q" es punto de tangencia. A B Q M A N O B a) 2 36 185 k  b) 2 144 185 k  c) 2 36 285 k  d) 2 360 37 k  e) 2 12 k  54. Se muestra la circunferencia de centro "O" inscrita en el cuadrado ABC. Calcular el área de la región sombreada. A O B C D 5 O O' a) 5 4   b) 3 4   c) 2 3   d) ) ( 2 4   e) ) 4 ( 2   55. Calcular el área de la región sombreada. Si : r1 = 3m, r2 = 4m, r3 = 5m. r1 r2 r3 a) 27  b) 28  c) 30  d) 32  e) 36  56. En el gráfico : mEO=120°, R=6. Calcular el área de la región sombreada, si G, F y E son puntos de tangencia. R G F E O a) 3 5 3   b) 4 3 3 2   c) 3   d) 2 3 4   e) 4 6 2  
189 TRILCE 57. Del gráfico : AM = MN = NB, AB = 2R. Calcular el área de la región sombreada. A B O M N a) 2 24 9 R  b) 2 36 81 R  c) 2 576 49 R  d) 2 1301 6 R  e) 2 25 74 R  58. Calcular el área de la región sombreada, si: AC = 20m; AB = 16m, AB , BC y AC , son diámetros de las circunferencias. A B C a) 2 m ) 96 50 (   b) ) 76 48 (   c) ) 50 96 (   d) ) 48 50 (   e) ) 69 48 (   59. En el gráfico, OM = MB y OA = OB = R. Calcular el área de la región sombreada. A O M B a) ) 3 3 8 ( 24 R2   b) ) 3 5 8 ( 12 R2   c) ) 3 3 7 ( 16 R2   d) ) 1 3 3 ( R2   e) ) 3 5 8 ( 6 R2   60. Del gráfico, calcular el área de la región sombreada, si: ML = 9 y LO = 3. Además: "O1 " y "O" son centros. A B C M L O O1 a) 2 u 20 b) 5 2  c) 8 1  d)  28 e)  24
Geometría 190 Claves Claves 21. 22. 23. 24. 25. 26. 27. 28. 29. 30. 31. 32. 33. 34. 35. 36. 37. 38. 39. 40. d b b a b e c a b a a b e c c c e c b b 41. 42. 43. 44. 45. 46. 47. 48. 49. 50. 51. 52. 53. 54. 55. 56. 57. 58. 59. 60. d d d e d c e c e d c a b d d b c a a c
191 TRILCE GEOMETRÍA DEL ESPACIO - DIEDROS PLANO : .................................................................................................... .................................................................................................... P Q AXIOMA : DETERMINACIÓN DEL PLANO : I. A B C II. III. IV. POSICIONES RELATIVAS DE DOS FIGURAS EN EL ESPACIO I. DOS PLANOS I.a. A y B secantes I.b. A y C paralelos I.c. Q y ABC son coincidentes Capítulo 16
Geometría 192 II. UN PLANO Y UNA RECTA a) a Q y a son secantes b) m y R son paralelos m c) a a está contenida en Q III. DOS RECTAS a) l1 l 2 l1 l 2 y son rectas secantes b) a b a y b son rectas paralelas c) n m m y n son rectas alabeadas TEOREMA DE THALES ..................................................................................................... ..................................................................................................... Si : A // B // C. E P M F Q N G R L k NL MN QR PQ FG EF    ÁNGULO ENTRE RECTAS ALABEADAS a b ..................................................................................................... ..................................................................................................... ..................................................................................................... ..................................................................................................... RECTA PERPENDICULAR A UN PLANO Definición : ..................................................................................................... ..................................................................................................... ..................................................................................................... a Condición : ..................................................................................................... ..................................................................................................... .....................................................................................................
193 TRILCE a b l Si : y TEOREMA DE LAS TRES PERPENDICULARES ..................................................................................................... ..................................................................................................... ..................................................................................................... l1 B E F a a BF a EF Q 1      l Si : y DISTANCIA ENTRE RECTAS ALABEADAS a E F b a y b alabeados EF : es la menor distancia entre a y b ÁNGULO ENTRE RECTA Y PLANO ..................................................................................................... ..................................................................................................... ..................................................................................................... ÁNGULO DIEDRO Definición : ..................................................................................................... ..................................................................................................... ..................................................................................................... A B Caras : P y R Arista : AB Notación : Diedro AB ó P - AB - R * Se denomina ángulo plano o ángulo rectilíneo de ángulo diedro, al ángulo formado por dos rayos perpendi- culares a la arista en uno de sus puntos y situados uno en cada cara del diedro. M N < ) MON : ángulo rectilíneo O * Comúnmente, a la medida del ángulo MON se le denomina ángulo diedro o ángulo entre plano y plano. PLANOS PERPENDICULARES Definición : ..................................................................................................... ..................................................................................................... .....................................................................................................
Geometría 194 A y B son perpendiculares D D y E son oblicuos ÁNGULO POLIEDRO Es aquella figura geométrica determinada al trazar desde un mismo punto tres o más rayos no alineados ni coplanares. Dicho punto vendrá a ser el vértice, los rayos sus aristas y los ángulos planos que determinan sus caras. Se denomina ángulo triedro, ángulo tetraedro, ángulo pentaedro, etc. Según el número de cara sea: 3, 4, 5, etc.; respectivamente. ÁNGULO POLIEDRO CONVEXO Vértice Arista Diedro Cara A B C O  O ÁNGULO POLIEDRO NO CONVEXO ÁNGULO TRIEDRO a° b° c° A B C ° ° ° O ELEMENTOS : I. Vértice : O II. Aristas : OA, OB, OC III. Caras: BOC )  , AOC )  y AOB )  IV. Diedros :   ,   y   (Medidas) PROPIEDADES : I. Suma de Medidas de las Caras 0°<a°+b°+c°<360° Es válido para cualquier ángulo poliedro. II. Desigualdad entre las Caras b° - c°<a°<b°+c° aº - cº<b°<a°+c° aº - bº<c°<a°+b° III. Suma de las Medidas de los Ángulos Diedros. 180°< °+ °+ °<540º   
195 TRILCE CLASIFICACIÓN : I. Triedro Escaleno      c b a ;        c II. Triedro Isósceles      c b a ;         III. Triedro Isoedro o Equilátero      c b a ;         IV. Triedro Unirectángulo V. Triedro Birectángulo VI. Triedro Trirectángulo
Geometría 196 01. En el gráfico, PB es perpendicular al plano R, AH = 2u, HC = 8u, PB = 3u. Calcular el área de la región APC. A B C P R H 02. En el gráfico;    30 RHS ) m ; OH=5, 3 5 PH  . Calcular el área de la región PSR. S R H P O 03. En el gráfico, PH es perpendicular al plano Q, PH = 12, AP = BP = 13 y AB = 8. Calcular HL. A B C P H L Q 04. En el gráfico, BF es perpendicular al plano del cuadrado ABCD. Si : AB = BF = BC = a y "M" es punto medio de CD , hallar el área de la región sombreada. A B C D F M 05. En el gráfico, ABC es un triángulo equilátero de ortocentro M, MD perpendicular al plano del triángulo. Calcular la medida del diedro formado por ABC y ABD. (MD = 27 , AC = 6). A B C M D 06. En la figura, hay un triedro cuyas caras son mutuamente ortogonales y la longitud de sus aristas es : PA = PB = PC = 6m. Hallar el área de la región triangular ABC. A B C P Test de aprendizaje preliminar
197 TRILCE 07. En la figura ABCD es un cuadrado y ABE es un triángulo equilátero, situados en planos perpendiculares. Si : AB = 2cm, AM = ME y "O" es centro del cuadrado. Hallar el área del triángulo MOD. A B C D O E M 08. Hallar la menor distancia entre EC y AB en la figura mostrada. A C D E F 4cm B 3cm 09. La figura representa una caja; en el punto H sobre la cara ABFE se encuentra una hormiga, y en el punto I sobre la cara EFGK se encuentra su comida. Hallar la mínima distancia recorrida por la hormiga para llegar a I. A B C D G K H F E I 6 7 8 10. Calcular la medida del diedro formado por los semicírculos de radio "R". Si el área de la región PCD es 2 R2 , además : AB // CD , mCD = 90º. (P punto máximo del semicírculo). O A B C R P D Practiquemos : 11. Las proyecciones de un segmento de recta AB sobre un plano y sobre una recta perpendicular al plano miden, respectivamente 12cm, 5cm. ¿Cuánto mide el segmento AB ? 12. La distancia de un punto P a una recta contenida en un plano es de 13 cm. La distancia de la recta al pie de la perpendicular que va de P al plano es de 12cm. ¿Cuál es la distancia del punto al plano? 13. Un segmento de recta de 26 cm, une el punto A del plano "x" con el punto B del plano y, x e y son planos paralelos la proyección de AB sobre x o y mide 24m. La distancia entre x e y es:
Geometría 198 14. Se han determinado como máximo 45 planos utilizando "n" rectas secantes. Calcular "n". 15. Tres planos paralelos determinan sobre una recta secante L1, los segmentos AE y EB y sobre otra L2, secante, los segmentos CF y FD . Si : AB = 8m, CD = 12m y FD-EB = 1m. Calcular CF. 16. El radio de la circunferencia circunscrita a un triángulo regular ABC mide 3 2 dm. Por "B" se levanta BF perpendicular al plano del triángulo. Si BF mide 2dm, calcular el área de la región triangular AFC. 17. Dado un triángulo rectángulo AOB isósceles, siendo m 6 OB AO   , en el vértice O se eleva una perpendicular al plano AOB y se toma un punto M sobre esta perpendicular, uniendo M con los vértices A y B. Calcular el valor de OM para que el diedro AB mida 60°. 18. En un triángulo ABC, recto en B, los lados miden AB = 6 y BC = 8. Por el vértice B, se traza BF perpendicular al plano ABC tal que BF = 4,8. Hallar la medida del ángulo diedro que forman los planos ABC y AFC. 19. Dado un triángulo rectángulo AOB, siendo : OA = OB = 2a; en O, se levanta una perpendicular al plano AOB, sobre la que se toma M, 6 a OM  y luego se une M con los puntos A y B. Calcular la medida del diedro AB. 20. Graficar al triángulo ABC y levante BQ perpendicular al plano ABC. Si : BQ = 4,8 dm, AB = 6 dm, BC = 8 dm y AC = 10 dm. Calcular el valor del ángulo diedro AC . Problemas propuestos 21. Dos puntos A y B, situados a uno y otro lado de un plano X, distan de dicho plano, 6cm y 9cm, respectivamente. Si la proyección del segmento AB sobre el plano es 30 cm. Hallar la distancia entre los puntos A y B. a) 5 15 cm b)15 c) 3 12 d) 5 12 e) 12 22. Sean L1 y L2 dos rectas alabeadas que forman un ángulo de medida igual a 60°. En L1 se marcan los puntos "A" y "B", en L2 se marcan los puntos "P" y "Q" de modo que: AP sea la mínima distancia entre ellas y AB = PQ = 2(PA). Calcular la relación de QB y AP . a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6 23. Los planos que contienen a los rectángulos ABCD y BCEF forman un ángulo diedro recto, tal que : BC = 8 y BF = 6, entonces, la longitud del segmento que une los puntos medios de FD y AB es: a) 4 b) 4,5 c) 5 d) 5,5 e) 6
199 TRILCE 24. Sea ABC un triángulo equilátero se levanta CF perpendicular al plano del triángulo ABC de modo que BA CF  . Calcular la medida del ángulo diedro que forman los planos ABC y AFB. a) 30° b) 7 7 2 ArcSen c) 7 7 ArcSen d) 7 7 3 ArcSen e) 3 6 ArcSen 25. Uno de los catetos de un triángulo isósceles está contenida en el plano "P" y el otro forma con dicho plano un ángulo de 45°. Calcular el ángulo que forma su hipotenusa con el plano "P". a) 45° b) 30° c) 60° d) 5 1 ArcSen e) 4 2 ArcCos 26. La recta I de intersección de dos planos x e y, perpendiculares entre sí, es paralela a una recta R del plano "x" y a una recta S del plano y si la distancia entre I y R es de 16 cm, y la distancia entre I y S es de 12 cm. ¿Cuál es la distancia entre R y S? a) 14 cm b) 25 c) 28 4 d) 3 10 e) 20 27. Calcular el máximo valor entero de las caras de un triedro si las otras dos miden 100° y 120°. a) 100° b) 112° c) 139° d) 140° e) 141° 28. Calcular el máximo valor de una cara de un triedro equilátero. a) 100° b) 110° c) 130° d) 119° e) 141° 29. A-BCD es un triedro trirectángulo de modo que m 6 AD AC AB    . Si O es la proyección de A sobre el plano BCD, entonces la distancia que hay entre O y la arista AB es: a) 8 m b) 3 4 c) 2 6 d) 2 2 e) 3 2 30. Calcular el máximo número de planos que determinan 8 rectas paralelas y 6 puntos en el espacio. a) 48 b) 72 c) 84 d) 96 e) 106 31. Si un plano es paralelo a una recta: a) Toda perpendicular a la recta será paralela al pla- no. b) Toda recta paralela al plano será paralela a la recta dada. c) Todo plano perpendicular al plano dado será paralelo a la recta dada. d) Toda recta que es perpendicular al plano tendrá que ser perpendicular a la recta. e) Ninguna de las afirmaciones anteriores es co- rrecta. 32. Si una recta es perpendicular a tres rectas dadas : a) Las tres rectas dadas tienen que ser paralelas. b) Las tres rectas dadas tienen que estar en un mis- mo plano que contenga la perpendicular. c) Por las tres rectas pueden pasar tres planos para- lelos entre sí. d) Por las tres rectas dadas no pueden pasar planos paralelos entre sí. e) Ninguna de las afirmaciones anteriores es co- rrecta. 33. Cuando dos planos son perpendiculares : a) Todo plano perpendicular a uno de ellos lo es también al otro. b) Toda recta perpendicular a la intersección de ambos debe estar contenida en uno de ellos. c) Todas las rectas de uno de ellos son perpendicu- lares al otro. d) No siempre se cortan. e) Todo plano perpendicular a su interacción es perpendicular a ambos. 34. Se tienen los segmentos alabeados AB y CD ortogonales: AB = 4 y CD = 6. Hallar la longitud del segmento que une los puntos medios de AC y BD. a) 3 b) 4 c) 13 d) 11 e) 15 35. Dado un triángulo rectángulo isósceles AOB, siendo OA = OB = 7a, en O se levanta una perpendicular al plano: AOB, sobre lo que se toma: 6 6 a 7 OM  y, se une el punto M con los vértices A y B. Se pide calcular el valor o medida del diedro AB . a) 15° b) 18° c) 30° d) 40° e) 45° 36. El área de la proyección de un cuadrado sobre un plano que al pasar por su diagonal forma un ángulo de 60° con el plano del cuadrado, es 18,2 centiáreas. El área del cuadrado, en centiáreas es: a) 36,4 b) 21,3 c) 18,2 d) 9,1 e) 31,6
Geometría 200 37. El punto A está 8 cm encima de un plano horizontal y el punto B está 4cm encima del mismo plano. La proyección de AB sobre el plano mide 9 cm. Calcular la longitud en cm del menor camino de A a B pasando por un punto del plano. a) 15 b) 17 c) 14 d) 21 e) 13 38. Un triángulo se encuentra en un plano que forma un ángulo de 45° con otro plano P . Si la proyección del triángulo sobre el plano P tiene 20cm2 de área, encontrar en cm2 el área del triángulo del espacio. a) 20 2 b) 18 2 c) 24 2 d) 24 e) 30 39. Una hoja de papel de forma rectangular ABCD, tiene como dimensiones: m ) 1 5 ( 8 AB   , BC = 3m. Por los puntos medios de AB y CD , se dobla la hoja de papel de manera que el ángulo diedro formado es de 72°. Hallar la distancia mínima que existe entre la arista del diedro y el segmento que une el centro de sus caras. a) 2 cm b) 3 c) 4 d) m ) 1 5 (  e) 5 2 10  40. En una circunferencia de diámetro AB = 10 cm, se escoge un punto P sobre dicha circunferencia; si hacemos girar   la circunferencia sobre su diámetro la nueva ubicación de P es P'. Hallar AP para que el perímetro del triángulo PMP' sea máximo, siendo M la proyección de P sobre AB . a) 5 cm b) 10 c) 2 5 d) 2 10 e) 3 5 41. Un triángulo isósceles ABC, donde : AB = AC = a, está inscrito en un círculo de radio a. En A, se levanta una perpendicular AD al plano del triángulo y se une el punto D con los vértices, B y C. Calcular la longitud del segmento DB para que el diedro D-BC-A mida 30°. a) 3 13 a b) 12 13 a c) 3 13 2 a d) 13 2 a e) 13 a 42. Dado un triedro S-ABC, si SC forma con la bisectriz de la cara opuesta un ángulo igual a la mitad de dicha cara, calcular el diedro C, si: diedro A + diedro B = 120°. a) 90° b) 45° c) 135° d) 60° e) 120° 43. Sea "C" un círculo de centro "O" y un cuadrado ABCD que se encuentran contenidos en planos perpendiculares (sea AB una cuerda de "C"). Se marca "M" en DC , de modo que : 3DM = 5MC, AB = 8dm y OA = 5dm. Calcular la distancia de "M" a OB . a) 41/5 dm b) 3 4 c) 42/5 d) 40/7 e) 40/3 44. Por el circuncentro "O" del triángulo equilátero ABC, se traza OP perpendicular al plano del triángulo. . Marque "H" ortocentro del triángulo APB y calcular la medida del ángulo entre AP y HC . (AC = AD). a) 37° b) 45° c) 60° d) 53°/2 e) 90º 45. Un triángulo equilátero ABC está en un plano perpendicular a un cuadrado ABDE. El segmento de recta que une el punto medio de lado AC con el punto medio del lado BD del cuadrado mide 1m. ¿Cuál es la longitud del lado del triángulo o del cuadrado? a) 2 b) 3 c) 1,5 d) 1 e) 2 46. Dado un triángulo ABC, equilátero se traza AE , perpendicular al plano del triángulo. Si : AE = BC, calcular la medida del ángulo con que se cruzan EB y AC . a) 75° b) 90° c) 120° d) 150° e) ) ( ArcCos 4 2  47. Dado un triángulo ABC. AB = 15; BC = 8 y AC = 17. Por el incentro "I" se eleva ID , perpendicular al plano ABC, siendo: 247 ID  . Calcular la medida del ángulo DAB. a) 37° b) 53° c) 60° d) 45° e) 75° 48. Sobre una circunferencia de centro "O" y radio cuya longitud es 10m, se ubican los puntos "A" y "B", tal que: mAB=127°. Por "B" se levanta BP , perpendicular al plano del círculo, siendo: BP=24m. Calcular el área de la región triangular AOP . a) 10 32 b) 10 45 c) 10 38 d) 10 40 e) 10 42
201 TRILCE 49. Dados dos planos no paralelos se toma un segmento AD perteneciente a uno de los planos. Si BC es la proyección de AD sobre el otro plano, hallar la distancia AB , sabiendo que: 2 AB 3 DC 6 BC   y el área del cuadrilátero ABCD es de 60m2. a) 1 m b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 50. Se tiene un triángulo rectángulo ABC, recto en B, cuyo cateto AB = 3m. Se traza la mediana BM ; luego, por B se levanta un segmento BH perpendicular al plano del triángulo ABC. Si el área de BHM es 2 m 5 5 y el área de su proyección sobre el plano determinado por BHC es de 10m2, hallar la medida de la hipotenusa AC. a) m 3 3 b) 3 4 c) 5 5 d) 5 2 e) 5 3 51. Dados los planos secantes P y Q, en P está contenido el triángulo ABC y en Q su proyección, el triángulo A1B1C1. Si : 1 1C B BC  ,    90 ACB ) m ,    30 BAC ) m y    45 C B A ) m 1 1 1 , calcular el coseno del ángulo diedro formado por los planos secantes P y Q. a) 2 / 3 b) 2 / 2 c) 3 / 3 d) 4 / 6 e) 1/2 52. Las caras de un ángulo diedro son cortadas en los puntos M y N por una recta; siendo A la proyección ortogonal de estos puntos sobre la arista, la mitad del ángulo diedro es igual a la semidiferencia de los ángulos ANM, AMN ; y si estos últimos están en la relación de 3 a 1. ¿Cuál es el valor del ángulo diedro? a) 30° b) 40° c) 50° d) 60° e) 70° 53. En el plano P , se tiene el triángulo ABC, cuyo ángulo A mide 60°. Se tiene un punto S fuera del plano P . Si las distancias, de S al punto A es igual a 25cm, de S al lado AC igual a 20cm, y de S al lado AB igual a 7cm. Hallar la distancia de S al plano P . a) 37 cm b) 39 c) 38 d) 6 e) 31 54. En una mesa, se coloca perpendicularmente una lámina rectangular apoyada sobre su base. Si la altura y la base de la lámina miden "a" cm y "b" cm, respectivamente, ¿qué relación debe existir entre estas longitudes de tal manera que si la lámina empieza a girar sobre su base, la proyección sobre la mesa en algún momento sea un cuadrado? a) a<b b) a = b c) a>b d) b 2 a  e) a 2 b  55. Los vectores OG , OC y OH son mutuamente perpendiculares y son de igual longitud (|OG|=|OC|=|OH|=a). Sea P el baricentro del CGH  . Hallar la suma de las distancias trazadas desde P a los tres planos formados por los tres tomados dos a dos. a) 2a b) 3a c) a 3 2 d) a e) a 2 3 56. Se tiene un cuadrado ABCD de lado igual a 2 cm. Un semicírculo de diámetro OC es perpendicular al plano del cuadrado y se traza la tangente AP . Hallar el área del triángulo APB siendo "O" centro del cuadrado. a) 5 cm2 b) 5 2 c) 2 5 d) 2 5 3 e) 3 5 57. Por el vértice "A" de un triángulo ABC, se levanta la perpendicular AM al plano del triángulo. Se trazan las perpendiculares AP y AQ a MB y MC respectivamente. Si : MQ = 5cm; PB = 6cm; MP = 4cm y    30 BMC ) m , hallar el área de la región triangular BMC. a) 10 cm2 b) 15 c) 18 d) 20 e) 30 58. Un triángulo se encuentra en un plano que forma un ángulo de 45° con otro plano "P". Si la proyección del triángulo sobre "P" tiene 20cm2 de área, hallar el área del triángulo. a) 10 cm2 b) 2 10 c) 20 d) 2 20 e) 2 30 59. Por el vértice "B" de un cuadrado ABCD, se traza una perpendicular BP al plano del cuadrado, "M" es punto medio de AD ; si la distancia de "P" a la recta que contiene al vértice "C" y "M" es 6 4 u y la distancia de "P" al plano del cuadrado es 4u, entonces el lado del cuadrado es: a) 8 b) 9 c) 10 d) 12 e) 15 60. Se tiene un triángulo rectángulo ABC, recto en "B", AB = 15u y BC = 20u, por un punto "P" exterior al plano ABC, se construyen diedros congruentes AB, BC y AC. Si la distancia de "P" al plano mide 12u, hallar la distancia de "P" al lado AC. a) 13 u b) 15 c) 14 d) 16 e) 18
Geometría 202 Claves Claves 21. 22. 23. 24. 25. 26. 27. 28. 29. 30. 31. 32. 33. 34. 35. 36. 37. 38. 39. 40. a d c b b e c d e d e c e c c a a a c c 41. 42. 43. 44. 45. 46. 47. 48. 49. 50. 51. 52. 53. 54. 55. 56. 57. 58. 59. 60. b d a e d e b d d e c d a d c e b d a a
203 TRILCE Capítulo 17 POLIEDROS POLIEDROS REGULARES POLIEDROS Convexo cara vértice No Convexo vértice Arista TEOREMA DE EULER C = 5 V = 5 A = 8 C + V = A + 2 C = 7 V = 10 A = 15 5 + 5 = 8 + 2 7 + 10 = 15 + 2 TEOREMA Sic = suma de los ángulos internos de todas las caras. Sic = 360º (A - C) = 360º(V - 2) Sean : n1, n2, n3, n4, ....... Los números de lados de las caras del sólido. 2 ... n n n n 4 3 2 1     * Aristas = A : número de aristas V : número de vértices C : número de lados
Geometría 204 POLIEDROS REGULARES Sólo existen cinco poliedros regulares. Tetraedro R. Hexaedro R. Dodecaedro R Octaedro R Icosaedro R Poliedro Regular Tetraedro Hexaedro Octaedro Dodecaedro Icosaedro C Forma Cara V A 4 4 6 6 8 12 8 6 12 12 20 30 20 12 30
205 TRILCE 01. En todo poliedro convexo, el número de aristas es igual a : 02. La suma de los ángulos internos de todas las caras de un poliedro convexo de "V" vértices; "C" caras y "A" aristas es igual a : 03. ¿Cuántos poliedros regulares existen? 04. En todo poliedro convexo el número de caras es igual a : 05. ¿Cuál de las siguientes expresiones es verdadera? Las caras del dodecaedro regular, son : 06. En un hexaedro regular, el ángulo que forman las diagonales de una cara es : 07. Un octaedro regular se llama así, porque tiene: 08. ¿Cuál es el área de la proyección de una cara de un tetraedro regular sobre otra cara cualquiera, si la arista del tetraedro mide 3 2 m? 09. En este orden : número de caras, número de vértices, número de aristas y número de lados de cada cara, se enumeran los datos correspondientes a un tetraedro. ¿Cuál es la enumeración correcta? 10. ¿Cuál de las siguientes enumeraciones correspondientes a un hexaedro regular es la correcta? El primer número corresponde al número de caras, el segundo al número de vértices, y el tercero al número de aristas y el último, al número de lados de cada cara. Test de aprendizaje preliminar
Geometría 206 Practiquemos : 11. La superficie total de un cubo es igual al cuadrado de la diagonal mayor multiplicado por : 12. Se dan 6 segmentos de recta de 10 cm de longitud cada uno. ¿Cuál es el mayor número de triángulos equiláteros de 10 cm de lado que pueden formarse a la vez con los segmentos de recta dadas? 13. La suma de las caras del ángulo poliedro que se forma en cada vértices en un icosaedro regular es igual a : 14. El ángulo formado por dos diagonales cualesquiera de un octaedro regular vale : 15. Encontrar el área de la sección hecha en un tetraedro regular de 10 cm de arista, por un plano de simetría que pasa por una de las aristas. 16. En un cubo de un metro de arista, la distancia del centro de una cara a cualquiera de los vértices de la cara opuesta mide : 17. El número de caras, el número de vértices, el número de aristas y el número de lados de cada cara de un octaedro regular, son respectivamente : 18. Si se corta un octaedro regular en dos poliedros, mediante un plano paralelo a una de sus caras, se obtiene como sección, un polígono regular de : 19. Si partiendo de un cierto vértice de un cubo se trazan las diagonales de dos caras vecinas, ¿cuánto medirá el ángulo que así se forma? 20. Calcular el área total de un hexaedro regular, sabiendo que la distancia de uno de los vértices al centro de una cara opuesta es de 2 m.
207 TRILCE Problemas propuestos 21. ¿Cuántos poliedros cuyas caras son triángulos equiláteros existen? a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6 22. Si la arista de un icosaedro regular mide 4 3 m, calcular el área de su superficie. a) 15 2 m b) 9 c) 13 d) 6 e) 3 6 23. Las aristas de un cubo miden 15 cm cada una. Si una mosca puede desplazarse sólo sobre las aristas y parte de uno de los vértices, el máximo recorrido que puede hacer para volver a su punto de partida, sin pasar dos veces por la misma arista es: a) 1,80 m b) 0,60 c) 0,75 d) 0,90 e) 1,20 24. Hallar el área total de un tetraedro regular, siendo la suma de las longitudes de sus aristas 36 cm. a) 36 2 cm b) 3 6 c) 24 d) 3 36 e) 3 24 25. Se tiene un poliedro convexo formado por 10 regiones cuadrangulares. Calcular el número de aristas de dicho poliedro. a) 12 b) 14 c) 16 d) 18 e) 20 26. Calcular el número de aristas de aquel poliedro, cuyo número de caras y el número de aristas están en la relación de 2 a 3. Además, la suma de las medidas de los ángulos internos de todas sus caras es igual a 3600º. a) 20 b) 24 c) 28 d) 30 e) 32 27. ¿Cuántas diagonales tiene aquel poliedro convexo que está limitado por 6 regiones cuadrangulares y 8 regiones triangulares. a) 38 b) 36 c) 34 d) 32 e) 30 28. En un tetraedro regular, si el segmento que une los puntos medios de dos aristas opuestas es MN . El lado del tetraedro, será: a) 3 MN b) 2 2 MN c) 2 MN d) 2 3 MN e) MN 3 2 29. Considerando como vértices los puntos donde se cortan las dos diagonales de cada cara de un hexaedro regular, se obtiene un octaedro, también regular. Si las aristas del hexaedro mide "a" cm, las caras del octaedro medirán : a) 2 2 cm 3 8 a b) 4 a2 c) 8 a 2 d) 8 a 3 2 e) 4 a 3 2 30. En un cubo, las caras opuestas son ABCD y EFGH, siendo las aristas que las conectan AE , BF , CG y DH . El ángulo que forma BE con AH mide : a) 30º b) 45º c) 60º d) 75º e) 90º 31. Dado el hexaedro regular ABCD-EFGH de aristas laterales AE , BF , CG y DH . Los puntos M y N son puntos medios de las aristas EH y HG . Hallar la medida del ángulo diedro entre el plano MNB y el plano EFGH. a) ) 3 2 ( ArcTan b) ) 3 2 2 ( ArcTan c) ) 2 2 3 ( ArcTan d) ) 15 3 ( ArcCos e) ) 17 2 ( ArcCos 32. En un octaedro regular, la distancia de un vértice al baricentro de la cara opuesta a dicho vértice mide L unidades(u). Calcular el área de la superficie total del octaedro. a) 2 2 u 3 L 3 b) 3 L 4 2 c) 3 L 2 2 d) 3 3 L 4 2 e) 2 3 L 5 2
Geometría 208 33. Dado un tetraedro regular de arista "a", calcular el área de la sección determinada por un plano de simetría que pasa por una de las aristas. a) 2 2 a2 b) 3 2 a2 c) 4 2 a2 d) 5 2 a2 e) 6 2 a2 34. En un tetraedro OABC, se cumple que los ángulos COB = 60º, AOB = 45º, AOC = 45º. Entonces, el valor del ángulo diedro correspondiente a la arista OA vale: a) 45º b) 60º c) 75º d) 90º e) 120º 35. Un poliedro que tiene 12 vértices y 21 aristas está formado por "2p" triángulos, "c" cuadriláteros y "p" pentágonos, todos convexos. Entonces, "p" y "c" son, respectivamente : a) 1 y 8 b) 3 y 2 c) 2 y 5 d) 3 y 4 e) 4 y 1 36. Un paralelepípedo rectángulo cuyas dimensiones son a, b, c (siendo "c" la altura). Sea : a = c = 4 cm. Suponiendo que el área total es igual a 4 veces el área de uno de los rectángulos diagonales "verticales", entonces, dicha área total, en 2 cm , es : a) 76 b) 78 c) 80 d) 82 e) 84 37. En un tetraedro PQRS, el ángulo diedro correspondiente a la arista PQ es recto, y los ángulos QPR y QPS miden 45º. Entonces, el ángulo RPS, mide: a) 30º b) 45º c) 60º d) 72º e) 75º 38. Se tiene un hexágono regular ABCDEF de lado "a" en un plano "P", CDL es un triángulo equilátero perpendicular a dicho plano. El área del triángulo ALF equivale al área total de un tetraedro regular de arista: a) 2 15 a2 b) 4 15 a2 c) 6 15 a2 d) 12 5 a2 e) 12 15 a2 39. Se tiene un cubo de arista "a", hallar el área del triángulo PQR, si P es centro, Q y R son puntos medios. Q P R a) 4 3 a2 b) 8 3 a2 c) 2 3 a2 d) 6 3 a2 e) 3 3 a2 40. En un triedro trirectángulo O-ABC se sabe que : OA = 1 cm; OB = 2 cm y OC = 3 cm. Hallar la distancia de "O" a la sección plana ABC. a) 5/7 b) 6/7 c) 1 d) 4/7 e) 5/8 41. Se tiene un tetraedro regular de arista "a". Hallar el volumen del tetraedro regular que se forma al unir los baricentros de las caras. a) 27 2 a3 b) 81 2 a3 c) 162 2 a3 d) 216 2 a3 e) 324 2 a3 42. En un tetraedro ABCD, se tiene que : AC = AD y BC = BD. Hallar la medida del ángulo que forman las aristas AB y CD . a) 45º b) 60º c) 90º d) 30º e) 120º 43. Se tiene un triedro trirectángulo O-ABC, se traza OH perpendicular a la sección plana ABC. Hallar el área de la cara BOC, si las áreas de las caras ABC y BHC miden 20 y 10 2 cm , respectivamente. a) 2 cm 2 10 b) 5 c) 2 5 d) 2 15 e) 10 44. La longitud del segmento que une los puntos medios de dos aristas opuestas de un tetraedro regular es de 2 cm. ¿Cuál es la longitud de la arista? a) 1 cm b) 2 c) 3 d) 2 e) 2 2
209 TRILCE 45. Se tiene un cubo ABCD-EFGH y un punto interior "P". Si : 2 2 2 2 a ) PB ( ) PC ( ) PA (    , hallar PD. a) a b) 2a c) 2 a d) 2 a 3 e) 3a 46. En el triedro isósceles : O-ABC : bº = cº = 60º, y aº = 90º. Sobre OA, OB y OC se ubican los puntos M, N y L, respectivamente, tal que : 2 8 OL ON   y m )  LMN = 90º. Calcular la longitud de OM . a) 2 8 b) 8 cm c) 16 cm d) 2 4 e) 4 cm 47. "O" es el centro de un hexaedro regular ABCD-EFGH; M y N son los puntos medios de CD y CG , respectivamente. Si el área de la región triangular OMN es S, calcular el área total del hexaedro regular. a) 3 S 8 b) 3 S 16 c) 3 S 24 d) 2 S 12 e) 6 S 9 48. En el octaedro regular E-ABCD-F, M es punto medio de EC . Calcular el ángulo formado por AM y DF . a) 5 5 ArcCos b) 5 10 ArcCos c) 10 5 ArcCos d) 10 10 ArcCos e) 10 5 ArcCos 49. Dar el valor de verdad de las siguientes proposiciones: * En los vértices de todo poliedro regular se for- man ángulos diedros. * El icosaedro regular tiene 100 diagonales. * En un dodecaedro hay 20 vértices. * Las diagonales de un octaedro regular son per- pendiculares. a) FVFV b) VVVV c) FFFV d) VFVF e) FFFF 50. Dado el cubo ABCD-EFGH de arista "a", M y N son puntos medios de AE y CG . Siendo "O" el centro de la cara CDHG, hallar la distancia del punto de intersección entre OF y el plano que contiene a MBNH, a la cara EFGH. a) 5 a 2 b) 5 a 3 c) 4 a d) 8 a 3 e) 5 a 51. En el gráfico, se muestra un dodecaedro regular, siendo: P, Q, M y N puntos medios de las aristas respectivas. Calcular la medida del ángulo entre PQ y MN. P Q M N a) 18º b) 36º c) 54º d) 72º e) 45º 52. En un tetraedro regular ABCD, M y N son puntos medios de AD y BC , respecti-vamente. Si la distancia entre MN y AC es 2 3 u, calcular el área de la superficie del poliedro conjugado del tetraedro inscrito en él. a) 2 u 3 4 b) 3 2 c) 16 3 d) 3 6 e) 3 5 53. En un octaedro regular P-ABCD-Q, M y N, son centros de las caras PCD y ABQ, respectivamente. Si la distancia entre DN y MR (R es punto medio de PA ) es : u ) 11 22 3 ( . Calcular el volumen del octaedro. a) 3 u 2 9 b) 6 3 c) 19 7 d) 17 e) 6 5
Geometría 210 54. En la figura, se muestra un icosaedro regular. Calcular la medida del ángulo entre MN y BC . N B M C a) 90º b) 60º c) 53º d) 72º e) 37º 55. En un octaedro regular E-ABCD-F, se traza la sección plana determinada por los puntos medios de las aristas AF y ED y por el punto B. Si la arista del octaedro es de 2 unidades, calcular la distancia de B a la recta de intersección de la sección con la cara ADF. a) 3 b) 33 111 c) 13 453 2 d) 117 315 e) 1 56. En un tetraedro P-ABC trirectángulo en P : PA = PB = PC = 2 3 . Calcular la diagonal de cubo inscrito en el tetraedro, donde uno de los ángulos sólidos del cubo es P . a) 3 b) 6 c) 4 d) 3 2 e) 6 57. Se tiene el hexaedro regular ABCD-EFGH, cuyas aristas mide 7 unidades. Calcular la menor distancia entre las rectas AC y MG, siendo "M" punto medio de la arista AD. a) 9 b) 3 c) 3 d) 3 7 e) 2 58. Calcular la medida del ángulo diedro formado por dos caras adyacentes de un tetraedro regular. a) ) 2 6 ( ArcTan b) 90º c) 60º d) ) 3 2 2 ( ArcSen e) ) 2 3 ( ArcSen 59. En un hexaedro ABCD-EFGH, "O" es el centro de la cara ABCD, P de AG ; de tal manera que : m )  OPA = 90º y OF = 5 2 . Calcular : 2 2 ) AP ( ) PG (  . a) 200 b) 180 c) 160 d) 140 e) 120 60. El volumen de un octaedro regular es igual a 3 u 6 . Calcular la distancia del centro del octaedro a una de sus caras. a) 2 b) 3 3 c) 1 d) 2 2 e) 6 6
211 TRILCE Claves Claves 21. 22. 23. 24. 25. 26. 27. 28. 29. 30. 31. 32. 33. 34. 35. 36. 37. 38. 39. 40. b a e d e d e c a c b c c d c c c e b b 41. 42. 43. 44. 45. 46. 47. 48. 49. 50. 51. 52. 53. 54. 55. 56. 57. 58. 59. 60. e c a b a d b e b a b c a b c b d d e d
213 TRILCE PRISMA - CILINDRO PRISMA Arista lateral Altura Cara lateral vértice base El nombre del prisma depende del polígono de la base. Los gráfi- cos muestran a un pris- ma triangular y a otro hexagonal. Clasificación I. Prisma Recto Altura o arista lateral su desarrollo lateral ) Lateral Arista ( . ) P 2 ( A BASE L BASE L T A 2 A A   altura . ) A ( V BASE   II. Prisma Oblicuo sección recta ) Lateral Arista ( . ) P 2 ( A R . S L  ) Lateral Arista ( . ) A ( V R . S  Altura . ) A ( V BASE  ( ) Capítulo PRISMA - CILINDRO - TRONCOS 18
Geometría 214 III. Paralelepípedo Las caras opuestas son paralelogramos congruentes y de planos paralelos. h Paralelepípedo rectangular (Rectoedro y ortoedro) * Área = 2(ab+bc+ac) Volumen = abc D2 = a2 + b2 + c2 V = (A ) . Altura BASE a c b D CILINDRO base generatriz o altura (g) 2 R  g ) R 2 ( AL   ) R g ( R 2 AT      ) R ( S 2 R su desarrollo lateral g g R Generatriz (g) Sección recta Cilindro oblicuo obtenido al cortar a un cilindro recto mediante dos planos paralelos entre sí; pero in- clinados respecto de la base. Base elíptica h R ) Altura ( ) A ( V ) generatriz ( . ) A ( V A 2 A A ) generatriz )( P 2 ( A BASE R . S BASE L T R . S L      Sección recta
215 TRILCE TRONCOS DE PRISMA Y CILINDRO TRONCO DE PRISMA TRIANGULAR RECTO a c b s a c s s a ) c b a ( 3 S V    ) c a ( 3 S V   3 S . a V  b = 0 b = 0 c = 0 TRONCO DE PRISMA TRIANGULAR OBLICUO sección recta E G F A B C sección recta F E G C B A ) CG BF AE ( 3 ) R . As ( V    ) C G A E ( 3 ) R . A s ( V   E G C B A h1 h2 h3 s ) h h h ( 3 s V 3 2 1   
Geometría 216 TRONCO DE CILINDRO CIRCULAR RECTO elipse 2 g g eje : OO m M 1   eje . R V A A A eje ) R 2 ( A 2 BASES L T L       elipse gm= 0 R O gm O1 O1 R O g M g M A : Área Lateral L TRONCO DE CILINDRO OBLICUO O2 O1 sección recta R ) eje ( ) R . As ( V A A A eje ) R 2 ( A BASES L T L      sección recta O1 O2 Eje = g M + gm 2 gm = 0
217 TRILCE 01. Un cilindro recto cuya altura es igual al diámetro de la base, tiene un área total de 12  . Calcular su volumen. 02. Las tres dimensiones de un rectoedro están en progresión aritmética y suman 45 unidades. Calcular el volumen, si su área total es igual a 1332 2 u . 03. Calcular el volumen de un prisma cuadrangular regular, si la diagonal del desarrollo de la superficie lateral mide 37 unidades y la arista lateral de dicho prisma mide 35 unidades. 04. Calcular el área lateral de un cilindro recto; cuya generatriz mide 12 unidades y su área de base es igual a 16  2 u . 05. La diagonal de un paralelepípedo rectangular es igual a 70 unidades. Calcular el volumen, si dos de sus dimensiones de dicho paralelepípedo son 3 y 5 unidades. 06. Calcular el volumen de un ortoedro, cuyas diagonales de sus caras miden 74 , 130 y 106 unidades. 07. Dos cilindros circulares rectos semejantes y de áreas total de 18  dm2 y 50  dm2. ¿En qué relación están sus volúmenes? 08. En un paralelepípedo rectangular las diagonales de las caras miden 34 , 58 y 74 cm. El volumen del paralelepípedo, en 3 m , será : 09. En un prisma triangular regular, se inscribe un cilindro. ¿Qué relación existe entre las áreas laterales de estos dos cuerpos? Test de aprendizaje preliminar
Geometría 218 10. Un cilindro contiene las tres cuartas partes de su volumen con agua. Si se inclina como se muestra en la figura, ¿cuánto debe medir "  " para que el agua no se derrame?  R 2R Practiquemos : 11. En una piscina de 40 m de largo, 12 m de ancho y 3,5 m de alto, se introducen 720000 litros de O H2 . ¿A qué distancia del borde llega el O H2 ? 12. Calcular el volumen de un cilindro generado por la rotación de un rectángulo alrededor de un lado, si el área del rectángulo generador es igual a 16 y la longitud de la circunferencia que describe el punto de intersección de las diagonales es igual a 2  . 13. Calcular la altura de un prisma pentagonal regular de 440m2 de área total, si el área de la base es 50 m2 y el apotema del pentágono mide 5 m. 14. Sea ABC-PQR un prisma triangular regular cuya arista básica mide 6 dm. Se traza un plano secante que pasa por PB y corta a RC en E. Si : EC = 4 dm y ER = 6 dm, calcular el volumen del sólido ABC-PBE. 15. Las bases de un paralelepípedo recto son rombos cuyas regiones tienen áreas igual a 1 S . Las áreas de las secciones determinadas por los planos diagonales son iguales a 2 S y 3 S , respectivamente. Calcular el volumen de dicho paralelepípedo. 16. Calcular el volumen de un rectoedro, cuyas dimensiones son congruentes, a las aristas básicas de un prisma recto triangular de volumen "V", cuya altura es igual al duplo del diámetro de la circunferencia circunscrita a su base. 17. El área de una de las caras de un prisma triangular es de 24 2 u y la arista opuesta dista de dicha cara en 10 unidades. Calcular el volumen de dicho prisma. 18. Calcular el volumen de un cilindro recto circunscrito a un prisma triangular regular, cuyas caras laterales son cuadradas y el área de la base dicho prisma es de 3 3 u2.
219 TRILCE 19. Calcular el volumen de un prisma triangular regular circunscrito a una esfera de 6 unidades de diámetro. 20. Calcular el área total de un cilindro recto circunscrito a una esfera de 12 unidades de radio. Problemas propuestos 21. La base de un paralelepípedo recto es un rombo, cuya área es igual a S. Las áreas de las secciones diagonales son iguales a 1 S y 2 S . Hallar el volumen del paralelepípedo. . a) 2 S . S . S 2 1 b) 4 S . S . S 2 1 c) 3 S . S . S 2 1 d) 5 S . S . S 2 1 e) 6 S . S . S 2 1 22. En un cubo de arista L, a una distancia de "x" unidades de cada vértice sobre la arista, se efectúan cortes como indica la figura (pirámide triangular). Si la suma de los volúmenes de estas pirámides es igual a la quinta parte de lo que queda, la razón x/L, es : L x a) 1/6 b) 1/5 c) 1/4 d) 1/3 e) 1/2 23. La base de una pirámide triangular regular de 24 unidades cúbicas de volumen, descansa sobre una mesa, frente a la cual está un espejo en posición vertical. Si las imágenes de los vértices de dicha base distan 7,7 y 13 unidades de la superficie del espejo, ¿cuál es la altura de la pirámide? a) 3 5 b) 6 b) 3 4 d) 3 2 e) 3 3 24. Se tiene un tronco de prisma recto de bases planas ABCD y D' C' B' A'. La primera base es un cuadrado de 7 cm de lado y la segunda es un paralelogramo. Hallar el volumen del sólido, sabiendo que las aristas AA' = 4 cm; BB' = 5 cm y CC' = 10 cm. a) 228 cm3 b) 268 c) 286 d) 300 e) 343 25. Hallar el volumen del sólido formado al unir los puntos medios de las aristas de hexaedro regular, cuya arista mide 8 cm. a) 512 cm3 b) 1024/3 d) 1280/3 d) 1160/3 e) 1536/3 26. Se tiene un tetraedro regular ABCD cuya arista mida "a" y tal que sus vértices se encuentran sobre la superficie de un cilindro recto que tiene por generatriz la arista AB. Hallar el volumen del cilindro. a) 25 a 4 3  b) 16 a 3 3  c) 28 a 5 3  d) 32 a 9 3  e) 40 a 7 3  27. Se tiene un tronco de cilindro circular recto en el que su volumen es numéricamente igual al valor de su área lateral. Si la diferencia entre las generatrices máxima y mínima del tronco de cilindro es  , hallar la longitud de la elipse que constituye su base superior. a) 5  b) 7  c) 5 2 d) 7 2 e)  4 28. Una chimenea de 3m de altura tiene forma prismática hexagonal regular. Hallar su espesor, si el volumen de fábrica es igual al volumen interior. El lado del hexágono interior 2 . a) 2 m ) 2 2 ( 2 3  b) ) 2 3 ( 2 3  c) ) 2 2 ( 2 2  d) ) 2 1 ( 2 3  e) ) 3 3 ( 2 3 
Geometría 220 29. Calcular el volumen de un cilindro oblicuo, si la sección recta es un círculo de 4 cm2 de área y forma con el plano de la base un diedro de 45º, además la distancia de pie de la altura a la generatriz cuyo extremo se traza la altura es 3 2 cm. a) 2 16 b) 3 8 c) 2 12 d) 3 16 e) 2 16 30. Hallar el volumen de un tronco de cilindro recto de revolución en donde la generatriz mayor es "a" y la menor es nula, las bases forman un diedro de 45º. a)  3 a b) 3 a 2  c) 8 a 3  d) 2 a 3  e) 3 a 3  31. En un tronco de cilindro circular recto, la diferencia de la generatriz máxima y la mínima es de  dm. Si el volumen es numéricamente igual al área lateral, calcular el perímetro de la base elíptica. a) 5  dm b) 5 10 c) 5 2 d) 3 4 e) 2 2 32. Calcular el volumen de un tronco cilindro oblicuo, conociendo que la sección recta es un círculo y forma con la base mayor un diedro de 45º; además, el área de la base mayor es de 60 u2 y las generatrices máxima y mínima miden 10 dm y 4 dm en ese orden. a) 3 dm 6 240 b) 3 160 c) 2 210 d) 3 190 e) 2 220 33. Hallar el volumen de un tronco de cilindro recto circunscrito a una esfera de radio 2. El diámetro de la base mide 6 y la generatriz mínima del tronco es nula. a) 60  b) 45  c) 12  d) 36  e) 40  34. La base de un prisma recto, cuya altura es igual a 1 m; es un rombo con lados iguales a 2 cm y ángulo agudo de 30º. Por un lado de la base se traza un plano secante entre él y el plano de la base, forman un ángulo igual a 60º. Hallar el área de la sección. a) 3 3 8 b) 2 3 3 c) 3 3 4 d) 3 3 2 e) 3 3 3 35. Hallar el área lateral de un cilindro de revolución, sabiendo que una sección perpendicular a la base tiene área 2m2 y determinar, en ellas arcos, de medida 90º? a) 2 cm 2 b)  c) 2  d) 2 2 e) 2  36. Una población tiene 500 habitantes que consumen en promedio por persona 12 litros de agua diariamente. Determinar el radio de un pozo cilíndrico que abastezca a la población y que tenga capacidad para una reserva de 25% del consumo diario y tal que la altura sea 4 veces el diámetro. a) 3 25  b) 3 50  c) 3 75  d) 3 25 2 1  e) 3 75 2 1  37. Sea ABC-FED un tronco de prisma triangular recto, donde la base recta es el triángulo rectángulo isósceles ABC de hipotenusa AC = 3 2 . La otra base FED es un triángulo equilátero y cuya cara lateral es un rectángulo cuya altura es una arista lateral y mide 6 dm. Calcular el volumen de dicho tronco. a) 33,6 dm3 b) 41,5 c) 30,6 d) 631,5 e) 45,7 38. En un tronco de cilindro circular recto, la generatriz mínima es nula y las bases forman un diedro de ángulo rectilíneo igual a 60º. Calcular el volumen del sólido, si la suma de las áreas de las bases es 48  dm2. a) 695,32 3 dm b) 965,23 c) 895,32 d) 348,23 e) 665,32 39. ABCD-AEFD es un tronco de prisma recto, donde la base recta ABCD es un trapecio isósceles cuyas bases BC y AD miden 10 dm y 20 dm, en ese orden. Si AB mide 13 dm y las bases forman un diedro de 60º, calcular el área de la base AEFD. a) 460 dm2 b) 260 c) 360 d) 480 e) 370 40. En un tronco de cilindro circular recto, se encuentra inscrita una esfera de radio igual a 6 dm. El eje mayor de la elipse forma un ángulo de 37º con la generatriz máxima. Determinar el volumen de dicho tronco. a) 576  b) 496  c) 136  d) 468  e) 586 
221 TRILCE 41. Un tronco de cilindro oblicuo tiene como sección recta a un círculo de 8  dm de perímetro. Las generatrices máxima y mínima miden 14 dm y 4 dm, en ese orden. Calcular la relación entre el volumen y la generatriz mayor del tronco. a) 2 dm 7 72  b)  5 62 c)  8 27 d)  5 47 e)  6 73 42. Grafique al triángulo ABC, de modo que : AB = 6 dm, BC = 8 dm, y AC = 10 dm. Perpendicularmente a su plano se levanta AE , BF y CH que miden 2 dm, 8 dm y 4 dm en ese orden. Calcular el volumen del sólido ABC-EFH. a) 112 3 dm b) 168 c) 336 d) 224 e) 102 43. En un tronco de cilindro circular recto, las generatrices máxima y mínima miden 10 dm y 4 dm en ese orden. Si el diámetro de la base circular es congruente al eje del sólido, calcular el área lateral del sólido. a) 3 dm 48  b)  72 c)  49 d)  94 e)  98 44. La figura muestra a un tronco de cilindro recto, donde el área de la sección ABCD es de 18 dm2 y la distancia de "O" a DC es de 3,6 dm. Calcular el volumen del tronco de cilindro recto. O D C A B a) 3 dm 14  b)  24 c)  9 c)  18 e)  21 45. En un tronco de prisma recto (cuya sección recta es un triángulo), se inscribe una pirámide cuya base es la misma del tronco y cuyo vértice es el punto de intersección de las medianas de la otra base. Calcular la relación de volúmenes de estos sólidos. a) 9 1 b) 3 1 c) 2 1 d) 9 2 e) 3 2 46. El lado de un cuadrado ABCD, mide 2 dm; se levantan las perpendiculares AE y CF la plano del cuadrado ABCD. Si : AE = 6 dm y CF = 9 dm, calcular el volumen del sólido de la base ABCD, aristas laterales AE y CF . ( EF es un arista de la parte superior del sólido). a) 5 3 dm b) 10 c) 12 d) 8 e) 9 47. Calcular el área total de un tronco de prisma regular, cuya base es un cuadrado de 3 dm de lado. Las bases forman un ángulo de 45º y dos aristas laterales opuestas son congruentes y de longitud igual a 8 dm. a) 117,69 b) 123,42 c) 107,82 d) 217,69 e) 171,69 48. Se tiene un prisma recto triangular ABC-DEF inscrito en un cilindro equilátero, de modo que : AB = 6 3 ; BC = 6 y AC = 12. Calcular la longitud de menor recorrido sobre la superficie lateral del cilindro para ir de B a un punto de la generatriz AD y luego hacia F. a) 2 5 4 6   b)  12 c) 2 5 12 3   d) 2 25 36 2   e)  15 49. En la base de un cilindro de revolución se inscribe un hexágono regular ABCDEF, luego se trazan las generatrices Al, BM, DN y EO. Calcular la razón de los volúmenes del cilindro y del sólido ABDE-LMNO. a)  b) 2  c)  6 d) 3  e)  5 50. Un cilindro recto contiene agua hasta cierto nivel. Se suelta un tetraedro regular metálico y el nivel del agua sube en 2 2 unidades. Calcular la altura del tetraedro, , si el área de la base del cilindro es de 9 2 u  . a)  3 2 b)  6 2 c) 6 123  d) 3 43  e) 2 
Geometría 222 51. Los puntos A y B son los extremos de una misma generatriz de un cilindro de revolución, cuyo radio de base mide 3 unidades y su altura es de 5 unidades. Calcular la mínima longitud de la curva para ir de A a B, dando una vuelta sobre la superficie lateral del cilindro. a)  6 b) 2 18 50   c)   3 5 3 d) 2 36 25   e)  9 52. Calcular el volumen de un cilindro recto, si el desarrollo de su superficie lateral tiene un área de 180 2 u  y la distancia entre los centros de las bases de dicho cilindro mide 15 unidades. a) 540 3 u  b) 480  c) 440  d) 560  e) 380  53. El área total de un prisma triangular regular es 2 u ) 2 3 6 1 ( 3 2  . Calcular el volumen del prisma, cuya arista lateral es el triple de la arista básica. a) 12 3 u b) 3 6 c) 6 2 3 d) 3 12 e) 18 3 54. Las aristas básicas de un prisma recto triangular miden 20, 21 y 29 unidades, respectivamente. Calcular el volumen del prisma, cuya arista lateral es igual al triple del inradio de la base de dicho prisma. a) 2100 3 u b) 1200 3 c) 3780 d) 2 1800 e) 4200 55. AE y BF son las generatrices menor y mayor, , respectivamente, de un tronco de cilindro recto, cuyo diámetro AB de la base mide 5 4 unidades. BE es perpendicular a EF , de modo que : EB = 12. Calcular el volumen de dicho tronco. a) 3 u 260 b)  6 100 c)  280 d)  3 120 e)  300 56. Se tiene un tronco de cilindro recto, cuya generatriz menor es nula y su área lateral es igual a "S". Calcular el volumen de dicho tronco; si su área de base circular es "B". a) 3 B S b)  B 2 S c) SB d) 2 B S e)  2 SB 57. Se tiene un tronco de cilindro oblicuo, cuyas generatrices menor y mayor miden "a" y "b" unidades, respectivamente. Calcular el área lateral de dicho tronco, si el área de su sección recta es "S". a) S ) b a (  b) ) b a ( S   c) a Sb  d) b Sa  e) ) 2 b a ( S   58. Calcular el volumen de un tronco de prisma recto triangular, cuya base es un triángulo rectángulo isósceles de perímetro igual a ) 2 1 ( 4  unidades y las aristas laterales de dicho tronco miden 7, 9 y 11 unidades respectivamente. a) 3 u 6 24 b) 36 c) 30 3 u d) 3 30 e) 2 32 59. Se tiene un tronco de prisma oblicuo triangular, cuya sección recta es un triángulo rectángulo isósceles de cateto igual a 6 unidades de longitud y la distancia entre los baricentros de las bases es igual a 16 unidades. Calcular el área lateral de dicho tronco. a) 2 u ) 2 2 ( 90  b) 224 c) ) 6 2 ( 90  d) ) 3 1 ( 120  e) 288 60. Por los vértices B y C de un triángulo equilátero ABC, se levantan las perpendiculares BE y CF al plano del triángulo, de tal manera que : BE = 11, CF = 4 y BC = 6. Calcular el volumen del sólido ABC-EFA. a) 3 u 60 b) 3 45 c) 72 d) 6 30 e) 90
223 TRILCE Claves Claves 21. 22. 23. 24. 25. 26. 27. 28. 29. 30. 31. 32. 33. 34. 35. 36. 37. 38. 39. 40. a e d e b d c c d c c c d c d b d a c a 41. 42. 43. 44. 45. 46. 47. 48. 49. 50. 51. 52. 53. 54. 55. 56. 57. 58. 59. 60. a b b b b b c d d a d a c c a b b b e b
225 TRILCE PIRÁMIDE Elementos : * Vértice : O * Base : ABCD * Altura : H * Arista laterales : OA , OB , ...... Notación : Pirámide : O - ABCD H O A D B C Pirámide Regular: O B C H A M D h Ap ap * Apotema de la pirámide : AP * Apotema de la base : ap * Semiperímetro de la base : PBASE * Área Lateral : (AL) AL = PBASE . AP * Área Total : (AT) AT = PBASE (AP+aP) * Volumen : (V) V = 3 1 . SBASE . h en cualquier pirámide CONO DE REVOLUCIÓN h O H A r g * Generatriz : g * Radio de la base : r * Desarrollo del Área Lateral (AL) A A O g g 2 r  ° * Área Lateral (AL) AL = rg * Área Total (AT) AT =  r (g+r) * Volumen (V) V = 3 1  r2 h Capítulo PIRÁMIDE - CONO - TRONCOS 19
Geometría 226 TRONCO DE PIRÁMIDE Y CONO Sección paralela a la base de una pirámide y de un cono recto : H O R P Q A C B h g' g r' r h H Propiedades : 1. 2 2 2 2 2 2 T T L L AB PQ OA OP H h ABC O A PQR O A ABC O A PQR O A         2 2 2 2 2 2 T T L L H h r ' r g ' g A ' A A ' A     2. 3 3 3 3 3 3 O O BC QR OB OQ H h ABC V PQR V      3 3 3 3 3 3 H h r ' r g ' g V ' V    * V' = volumen del cono sombreado. * V = volumen del cono mayor. TRONCO DE PIRÁMIDE h S1 S2 * Volumen (V) ) S S . S S ( V 2 2 1 1 3 h    TRONCO DE PIRÁMIDE REGULAR * Apotemas de las bases: a' p, y ap. * Apotema del tronco: Ap * Semiperímetro de las bases: p' y p. S 1 S2 O' a'p N Ap h O ap M * Área Lateral (AL) Ap ). p ' p ( AL   * Área Total (AT) 2 1 L T S S A A    * Volumen (V) ) S S . S S ( V 2 2 1 1 3 h    TRONCO DE CONO O DE REVOLUCIÓN * Radios de las bases: R y r * Generatriz del tronco: g B O' A R O r h g * Área Lateral (AL) AL = (r + R)g = g(r+R) * Área Total (AT) AT = AL + r2 + R2 * Volumen (V) ) R R r r ( V 2 2 2 2 3 h        ) R Rr r ( V 2 2 3 h    
227 TRILCE 01. En el cono recto, hallar: * Área lateral * Área total * Volumen 10 6 02. Hallar el volumen de un cono de revolución de área lateral igual a "m". La distancia del centro de la base a una de sus generatrices es 2n. 03. Calcular el volumen de un cono de revolución en el cual el desarrollo de su superficie lateral se muestra. R=8 04. Calcular la medida del ángulo del desarrollo que se obtiene, al desarrollar la superficie lateral del cono menor, si tiene una generatriz paralela a la generatriz mayor, 15 h  ; R = 1. R h 05. Calcular la longitud de la altura de una pirámide cuadrangular regular, si el lado de la base mide "a" y el área de dicha base es los 9 4 del área total. 06. Se tiene una pirámide V-ABCD tal que ABCD es un paralelogramo cuyas diagonales miden AC=10 y BD=8. Hallar el valor de: 2 2 2 2 ) VD ( ) VB ( ) VC ( ) VA ( E     Test de aprendizaje preliminar
Geometría 228 07. En la figura, calcular la distancia "P" a la base superior, si el cilindro recto mostrado es equivalente a 18 conos de revolución como el que se indica en su parte interior, la altura de dicho cono mide 8 cm. P 08. Calcular el volumen de una pirámide cuyas caras laterales son triángulos equiláteros y cuya base es un cuadrado de lado "a". 09. Se tiene un cono recto de altura 40 y radio 30, se inscribe una esfera en el cono, cuya línea de tangencia lo ha dividido en dos sólidos. Calcular el volumen del cono superior. 10. En una pirámide hexagonal regular, su altura mide 18 y la arista de la base mide 12. Calcular a qué distancia del vértice se debe trazar un plano paralelo a la base para que la sección resultante tenga un área de 3 72 . Practiquemos : 11. Una pirámide cuadrangular regular tiene como arista básica 5dm y es cortado mediante un plano paralelo a la base a 6dm de su vértice. Si la sección que se determina es de 4dm2 de área, hallar el volumen del tronco de pirámide que se determina. 12. La altura de un cono recto se divide en tres segmentos congruentes por dos puntos, por dichos puntos se trazan planos paralelos a las bases. Calcular el volumen de la parte mayor, si el volumen del cono es de 27m3. 13. En una pirámide cuya base es un triángulo equilátero, su altura es igual al radio del círculo circunscrito a la base. A una distancia igual a la medida del inradio de la base, se traza un plano paralelo a ésta que determina un tronco de pirámide cuyo volumen se pide calcular en función del circunradio R de la base. 14. ¿A qué distancia del vértice de una pirámide cuya altura mide 8 cm, se debe trazar un plano paralelo a la base para que se determine dos sólidos equivalentes?
229 TRILCE 15. El área lateral de un cono de revolución mide "M" y la distancia del centro de la base a una de sus generatrices mide "N". Entonces el volumen de dicho, cono es: 16. Dado una pirámide regular hexagonal, la arista de la base es "b". Si la arista lateral mide "3b", hallar la distancia del pie de la altura a una arista lateral. 17. En una pirámide cuadrangular regular, la arista lateral forma 37° con el plano base. Calcular el valor del ángulo diedro que forma la cara lateral con la base. 18. Calcular el área lateral de un cono de revolución de altura "h", si la porción de perpendicular trazada a una generatriz por un punto de la circunferencia base e interceptada por la prolongación de la altura mide "a". 19. La generatriz de un cono mide 12dm y la superficie lateral desarrollada forma un semicírculo. Calcular el volumen de dicho cono. 20. Los volúmenes que genera un triángulo rectángulo cuando gira alrededor de sus catetos son de 3dm3 y 4dm3. Calcular el volumen que genera el triángulo cuando gira alrededor de la hipotenusa. Problemas propuestos 21. Determinar el volumen de un tronco de cono de revolución, cuyas bases tienen como áreas 2 dm 16 y 2 dm 81 . Además, el área total del tronco es de 2 dm 266 . a) 3 dm 352 b) 432  c) 502  d) 532  e) 842  22. Calcular el volumen de un tronco de cilindro recto, conociendo que la sección recta es un círculo y forma con una base mayor un diedro de 45°; además el área de la base mayor es 60u y las generatrices máxima y mínima son 10 y 4u, respectivamente. a) 3 u 2 210 b) 2 180 c) 2 220 d) 2 240 e) 2 190 23. En un tronco de pirámide cuadrangular las bases distan u 3 2 , la arista básica menor mide 2u y las caras laterales están inclinadas con respecto a la base un ángulo diedro cuya medida es 60°. Calcular el área de la superficie total. a) 116 u2 b) 96 c) 104 d) 102 e) 100 24. El volumen de un tronco de cono de revolución es 336  cm3 la altura mide 4cm y el radio de la base mayor es el doble del radio de la base menor. Hallar el radio de la base mayor. a) 12 cm b) 6 c) 8 d) 5 e) 2 4 25. Una cuerda del círculo base de un cono circular recto de 8m de altura, mide 16m. La distancia de la cuerda al centro del círculo de la base es de 4m. Calcular el área lateral del cono. a)  12 2 m b)  5 48 c)  96 d)  5 96 e)  48
Geometría 230 26. Sea F-ABCD una pirámide donde las aristas laterales son congruentes y miden dm 2 5 . AB y BC miden 8dm y 6dm en ese orden. Calcular el volumen del sólido, sabiendo además que la base es un rectángulo. a) 80/3 dm3 b) 40 c) 80 d) 90 e) 50/3 27. En un cono recto de revolución, el punto medio de una generatriz dista de la base 6dm. Si el radio es de 4dm, calcular la capacidad de dicho cono. a) 3 dm 32 b)  64 c)  46 d)  54 e)  60 28. Se inscribe una esfera en un cono cuya base tiene una longitud de dm 10 y una altura de 12dm. Calcular el área de la sección que determina los puntos de tangencia de la esfera y la superficie lateral del cono. a) 2 169 1600 dm  b) 19 160 c) 19 1060 d) 149 1200 e) 20 1600 29. En una pirámide S-ABC, la base ABC y la cara SBC son triángulos equiláteros. Si : AS = 4 y BC = 6, calcular el volumen de la pirámide S-ABC. a) 23 4 b) 26 2 c) 23 3 d) 26 e) 26 5 30. Calcular el volumen de una pirámide cuya base es un trapecio rectángulo de diagonales perpendiculares y base mayor igual a 16m. Además, se sabe que el pie de la altura de la pirámide coincide con el punto de intersección de las diagonales de la base y que los ángulos diedros cuyas aristas son las bases mayor y menor del trapecio rectángulo; miden 45° y 53°, respectivamente. a) 482 m3 b) 506 c) 512 d) 525 e) 600 31. Se da una pirámide regular de base cuadrada S-ABCD con el vértice S, por los puntos A y B y el punto medio de la arista SC se ha trazado un plano. ¿En qué relación el plano divide al volumen de la pirámide? a) 1/2 b) 2/3 c) 3/2 d) 3/4 e) 3/5 32. Se construye un cono circular recto de 10dm de altura y se le inscribe una esfera de 8dm de diámetro, ¿cuál es el volumen del cono? a) 3 3 400 dm  b) 3 800 c) 3 500 d) 3 700 e) 3 100 33. En un cono de revolución, se inscribe dos esferas de radios 2dm y 6dm. Calcular el volumen del cono. a) 3 dm 190 b)  810 c)  790 d)  840 e)  648 34. En un cono recto de revolución de vértice "O" y diámetro AB , en la base, se trazan AP y BQ cuerdas secantes, que forman un ángulo de 45. Hallar POQ ) m  , si la altura del cono es igual al radio de la base. a) 45 b) 90 c) 60 d) 120 e) 75 35. Hallar el volumen de un cono recto de altura 3m, sabiendo que el plano que pasa por el vértice determina en la base una cuerda que subtiende un arco de 120° y que la sección determinada por dicho plano es un triángulo rectángulo. a) 9  b) 12  c) 18  d) 24  e) 36  36. Se tiene una pirámide cuadrangular regular en la cual una arista lateral y la altura forman un ángulo cuya medida es 30°. Calcular la medida del ángulo diedro que forma el plano de la base y un plano perpendicular a una arista lateral. a) 45° b) 53° c) 2 ArcCtg d) 5 ArcTg e) 30° 37. Por el incentro del triángulo ABC cuyos lados miden 5m, 6m y 7m, se traza la perpendicular al plano de dicho triángulo. Si : IO = 2 2 , hallar la suma de las áreas de las caras laterales de la pirámide O-ABC. a) 144 b) 6 14 c) 6 12 d) 6 6 e) 6 18 38. La base de una pirámide es un triángulo equilátero y las caras laterales son triángulos isósceles rectángulos. Si las aristas laterales miden 4 dm, calcular el área total de la pirámide. a) 2 m ) 3 2 6 ( 4  b) ) 3 3 2 ( 2  c) ) 3 3 3 ( 4  d) ) 3 2 4 ( 3  e) ) 3 2 6 ( 5  39. Hallar el volumen de una pirámide irregular O-ABCD, sabiendo que su base ABCD es un cuadrado de lado "a", su cara lateral AOB es un triángulo rectángulo (recto en "O") y su cara lateral COD es un triángulo equilátero.
231 TRILCE a) 12 / 3 a3 b) 4 / 3 a3 c) 3 / 3 a 2 3 d) 12 / 2 a3 e) 4 / 2 a3 40. De una lámina de lata circular de radio "R", se extrae un sector circular de 120º, como se muestra en la figura, uniendo los extremos OA y OB se construya un embudo. Calcular la capacidad de dicho embudo. 120º O A B R R a) 3 R 2 81 2  b) 3 R 3 9 4  c) 3 R 2 27 2  d) 3 R 2 87 2  e) 3 R 3 27 5  41. Se tienen dos conos rectos congruentes tangentes por sus generatrices y cuyos vértices coinciden, si sus alturas son "h" y el radio de bases es "r"; entonces el área de la región triangular cuyos vértices son los centros de las bases y el vértice común de los conos es: a) 2hr b) hr r c) 2 2 h r h  d) 2 h 2 r 3 h r  e) 2 r 2 h 3 r h  42. La altura y el diámetro de la base de un cono recto miden 18 y 24 unidades respectivamente. En el cono, se inscribe un cilindro recto cuya área total es 2 u 260 . Calcular el volumen del cono parcial cuya base es la base superior del cilindro. a) 500 u3 b) 480  c) 440  d) 420  e) 400  43. En un tronco de pirámide regular cuadrangular, el plano que pasa por un lado de la base mayor y el lado opuesto de la base menor forma con la base mayor un ángulo de 60°. Calcular el volumen de dicho sólido si los lados de las bases miden 3 y 3 3 . a) 26 3 b) 30 3 c) 60 d) 70 e) 39 44. Las bases de un tronco de pirámide regular hexagonal tienen 4u2 y 9u2 de áreas respectivamente; y su altura es igual a la arista de un hexaedro regular equivalente. Calcular el volumen de dicho tronco. a) 3 3 19 u b) 19 3 c) 3 19 3 d) 3 19 3 19 e) 3 19 45. Calcular el volumen de una pirámide de base triangular en la que dos de sus caras son triángulos equiláteros cuyo lado mide L y las otras dos son triángulos rectángulos isósceles. a) 12 2 3 L b) 10 2 3 L c) 8 2 3 L d) 12 5 3 L e) 8 5 3 L 46. Un tronco de pirámide equivalente a un hexaedro regular tiene como altura a la arista del hexaedro regular. Hallar el área total del hexaedro conociendo que el tronco de pirámide tiene por bases 1m2 y 4m2. a) 13 m2 b) 9 c) 14 d) 15 e) 16 47. Hallar el volumen de un tronco de cono de revolución, cuyo desarrollo del área lateral es un trapecio circular de área 30  , si la altura y la generatriz del tronco miden 3 y 5u respectivamente. a) 30  b) 31  c) 32  d) 33  e) 36  48. Dos bases de un tronco de cono circular son dos círculos de radios que miden 3 y 6m. Si la generatriz mide 6m, hallar la longitud del radio de la esfera circunscrita. a) 3 m b) 4 c) 5 d) 6 e) 8 49. Calcular el volumen de un tronco de cono de revolución, donde los radios de las bases miden a y 3a. Además, el área lateral es igual a la suma de las áreas de sus bases. a) 3 a 5 , 5  b) 3 a 5 , 3  c) 3 a 5 , 4  d) 3 a 5 , 6  e) 3 a 7 
Geometría 232 50. Calcular el volumen de un tronco de pirámide circunscrito a una esfera, cuyas bases son regiones cuadradas y una cara lateral es perpendicular a las bases. Además, la suma y el producto de las longitudes de dos aristas básicas diferentes es igual a "S" y a "P" respectivamente. a) ) P S ( 2 2 P  b) ) P S ( 2 S 3 P 2  c) ) S P ( 2 3 S  d) ) P 12 S ( 2 S P  e) ) S 2 P ( 2 P S  51. En un tronco de pirámide triangular regular, la arista lateral se encuentra inclinada 45° respecto de la base mayor. Calcular la relación entre el apotema del tronco y su altura. a) 2 3 b) 2 6 c) 4 5 d) 2 5 e) 3 3 2 52. En un tronco de pirámide cuadrangular regular, las aristas básicas miden 4m y 2dm. Si la altura del sólido mide h dm, calcular la capacidad del sólido. a) 3 4 27 dm h b) h 5 28 c) h 3 28 d) h 3 82 e) h 3 14 53. Calcular el volumen de un tronco de cono recto, cuyos radios de las bases miden 3 dm y 9 dm. Además, el área lateral del sólido es de 2 dm 120 . a) 3 dm 324 b)  312 c)  336 d)  360 e)  348 54. El lado de la base mayor de un tronco de pirámide regular cuadrangular mide m 2 6 y su altura 3m; las aristas laterales forman ángulos de 45° con el plano de la base mayor. Calcular su volumen. a) 216 m3 b) 621 c) 162 d) 136 e) 126 55. En un tronco de cono circular de bases paralelas, los radios de sus bases miden 5dm y 2dm. Si el área lateral es de 2 dm 35 , calcular el ángulo central del desarrollo lateral. a) rad 7 5 b) 3 4 c) 3 2 d) 2  e) 5 6 56. Calcular la altura de un tronco de pirámide regular cuadrangular ABCD-EFGH, si el área de la sección plana BFHD es B1 y el área de la sección determinada en el sólido por un plano equidistante a sus bases es B2. a) 2 B 2 2 1 B b) 2 B 2 1 B c) 1 B 2 2 B d) 2 B 1 B 2 B 1 B  e) 2 1 B B  57. Las áreas de las bases elípticas de un tronco de cono oblicuo son de 2 dm 32 y 2 dm 72 . Determinar el valor de la altura de dicho tronco, sabiendo que su volumen es de 3 dm 304 . a) 12 dm b) 9 c) 2 6 d) 6 e) 6 3 58. En una pirámide triangular regular O-ABC trirectángulo en "O", el volumen es 3 u 2 3 , calcular la distancia del centro de la base a la arista lateral? a) u 3 2 b) 2 3 c) 2 6 d) 3 6 e) 2 5 59. Calcular el volumen de un tronco de cilindro circular recto, en el cual se inscribe una esfera, además la generatriz mayor y menor miden 4u y 1u. a) 3 u 4 , 1  b)  6 , 1 c)  8 , 1 d)  2 , 2 e)  4 , 2 60. Las bases de un tronco de cono circular son los círculos de radios 3u y 6u. Si la generatriz mide 6u, ¿cuál es la longitud del radio de la esfera circunscrita? a) 6 u b) 5 c) 8 d) 9 e) 10
233 TRILCE Claves Claves 21. 22. 23. 24. 25. 26. 27. 28. 29. 30. 31. 32. 33. 34. 35. 36. 37. 38. 39. 40. d a c b b c b a a c e b e c c e c a a a 41. 42. 43. 44. 45. 46. 47. 48. 49. 50. 51. 52. 53. 54. 55. 56. 57. 58. 59. 60. d a e d a c b d d b d c b e e a d d b a
235 TRILCE SUPERFICIE ESFÉRICA Es la superficie que genera la rotación de una semicircunferencia alrededor de su diámetro. O R Circunferencia máxima Diámetro = 2R Área = 2 R 4 HUSO ESFÉRICO Es la porción de superficie esférica limitada por dos circunferencias que tienen el mismo diámetro. O R  R M N B A AB = diámetro  R O M N R = Sector circular Área = º 90 R2  ZONA ESFÉRICA Es la porción de una superficie esférica comprendida entre dos planos paralelos a la esfera. H R O h = altura entre los planos secantes. Área = 2  RH CASQUETE ESFÉRICO Es la porción de superficie esférica que se encuentra a un lado de un plano secante a la esfera. R O H Área = 2  RH Observaciones : En la figura, existen dos casquetes esféricos. TEOREMA DE PAPPUS 360º L A B Eje L AB 2 SG   Observaciones : "A" = Centro de gravedad de la curva. "L" = Longitud de la curva. Capítulo ESFERA I 20
Geometría 236 Test de aprendizaje preliminar 01. Calcular el volumen de una esfera, si el área de su círculo mayor es igual a 2 u 36 . 02. Hallar el área de la superficie esférica en la cual el área de uno de sus círculos máximos es 100 m2. 03. Se inscribe un cubo en una esfera de radio m 3 . Calcular su arista. 04. Hallar el radio de la esfera inscrita en un cono equilátero de altura 9. 05. Hallar el área de la esfera inscrita a un cubo, si el área de la esfera circunscrita es 180. 06. Si el área lateral de un cilindro recto es 9m2, hallar el área de la esfera inscrita. 07. Hallar la relación entre las áreas de un hexaedro regular y de la superficie esférica circunscrita al hexaedro. 08. Hallar el área de la superficie esférica inscrita a un cono de revolución de radio 3u y altura 4u. 09. Hallar la relación entre las áreas totales entre un cilindro equilátero y la esfera circunscrita al cilindro. 10. ¿A qué distancia del centro de una esfera es 17m de radio debe pasar un plano secante para que la intersección tenga 8m de radio?
237 TRILCE Practiquemos : 11. Determinar la superficie de una esfera inscrita a un cubo, que a su vez está inscrita a una esfera cuya superficie es 18u2. 12. Se tienen 3 bolas idénticas de volumen 36m3. Calcular la altura del cilindro más pequeño que contenga las bolas. 13. Una esfera tiene 3m de radio. ¿A qué distancia del centro debe trazarse un plano secante para que la sección obtenida sea 1/3 del área de un círculo máximo? 14. Se tiene un alambre de 2 m 2 de sección transversal, con el que se forma un ovillo esférico de 3m de radio. Calcular la longitud del alambre. 15. El área de un círculo máximo de una esfera mide 2 dm 16 . Se traza un plano secante por el centro, , determinando dos semiesferas. Calcular el área de una de estas semiesferas. 16. Se tienen dos esferas metálicas de radios "a" y "2a". Dichas esferas se funden y se construye un cilindro recto cuya altura es "3a". Calcular el radio de la base del cilindro. 17. Hallar el área de la esfera inscrita en un tronco de cono de revolución de volumen 810u3 y de área total de 486 u2. 18. Calcular los radios de las esferas inscrita y circunscrita en un tetraedro regular cuya arista es 6 4 . 19. Determinar el área del casquete esférico que produce un plano secante a una esfera de 18u2, de área, trazada a una distancia del centro igual a la mitad de la longitud del radio. 20. El área del huso de 20° es 2 m 50 . Hallar la longitud del radio de la esfera.
Geometría 238 Problemas propuestos 21. ¿Cuánto mide la cuerda de un arco generador de un casquete esférico cuya área es 36  ? a) 3 b) 4 c) 6 d) 9 e) 12 22. Determinar la altura de una zona esférica de una base, en una esfera de radio 8u de modo que el área de esta zona aumentada en el área de su base es igual a los 7/16 del área de la esfera. a) 2 u b) 3 c) 4 d) 5 e) 1 23. Una esfera, cuya superficie tiene una área de 2 u 36 , está inscrita en un prisma recto de base triangular rectangular. Calcular el volumen del prisma mencionado sabiendo que la hipotenusa en su base mide 7u. a) 150 u3 b) 120 c) 180 d) 140 e) 160 24. Calcular el área de la zona esférica de dos bases, cuyos radios de base miden 6 y 8 unidades y se encuentran a uno y otro lado del centro de la esfera que contiene a dicha zona. Además, se sabe que la altura es de 14 unidades de longitud. a) 2 u 140 b)  2 120 c)  148 d)  3 100 e)  280 25. Dadas tres esferas de radio R; tangentes exteriormente dos a dos y apoyados a un plano. Hallar el radio de la esfera tangente a las tres esferas y al plano. a) R/2 b) R/4 c) R/3 d) 2R/5 e) R/6 26. Calcular el volumen de una cuña esférica; cuyo ángulo diedro es de 45° y el área del huso esférico correspondiente es igual a 2 u 18  . a) 3 u 24  b) 32  c) 36  d) 42  e)  6 18 27. Tres esferas de radios 9u, 16u u 25u son tangentes exteriormente entre sí. Un plano tangente a las tres esferas determina 3 puntos de tangencia que son los vértices de un triángulo, cuyo perímetro se desea conocer. a) 83 u b) 96 c) 94 d) 86 e) 85 28. Una esfera de centro "O" se encuentra inscrita en un ángulo diedro AB de 60º. Si : 3 2 BO  y el ángulo ABO mide 30º, calcular el área de la esfera. a)  b)  2 c)  3 d)  4 e)  5 29. El área de una esfera es de 2 dm 400 . Dicha esfera es tangente a todos los lados de un rombo. La distancia del centro de la esfera al plano del rombo es de 4dm. Calcular el área de dicho rombo, si la longitud de su lado es de "L" dm. a) 2 2 dm L 12 b) L 21 2 c) 2 L 8 d) 2 L 2 8 e) L 21 4 30. Dado un tetraedro O-ABC, trirectángulo en "O". Si : OA = 6u, OB = 12u y OC = 18u. Calcular la longitud del radio de la esfera inscrita al tetraedro. a) 2 u b) 2,5 c) 3 d) 2,8 e) 4 31. En una esfera de radio 10u, a qué distancia del centro hay que trazar un plano secante para que las áreas de los dos casquetes formados estén en la relación de 2 a 3. a) 1 u b) 1,5 c) 2,5 d) 2 e) 3 32. En una esfera de radio "r", un casquete esférico de altura igual a 4 r , es equivalente a un huso esférico, , cuyo ángulo diedro determinado por sus caras laterales mide "  ". Calcular "  ". a) 90° b) 60° c) 53° d) 45° e) 30° 33. Hallar el radio de la esfera circunscrita al octaedro regular de arista "l". a) 2 2 l b) 3 2 l c) 4 2 l d) 5 2 l e) 6 2 l 34. Hallar el área del casquete generado por un arco cuyos extremos son los de una cuerda de longitud "a". a) 2 2 a  b) 3 2 a 2 c) 2 a  d) 2 2 a 3 e) 2 a 2
239 TRILCE 35. Se tiene una esfera en la que el área del círculo máximo es "S". Hallar el área total de dos semiesferas que resultan al partir a la esfera. a) 4 S b) 5 S c) 6 S d) 8 S e) 9 S 36. Determinar la altura de una zona de un base de una esfera de 8u de radio, de modo que la superficie de esta zona aumentada en la superficie de su base sea igual a los 7/16 de la superficie de la esfera. a) 1 u b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 37. Calcular el área de la superficie esférica de una esfera inscrita en un cono equilátero de 3 u 648  de volumen. a) 2 u 184 b) 178  c) 164  d) 158  e) 144  38. Sobre un plano reposan cuatro esferas iguales de radio "R". Tres de ellas hacen contacto entre sí de dos en dos y la cuarta tiene contacto con dos de estas tres. Sobre estas esferas se colocaron dos esferas iguales de menor diámetro que hacen contacto una con la otra y con tres de las esferas dadas inicialmente. Hallar la relación entre los radios de las esferas grande y pequeña. a) u 2 b) 3 c) 6 d) 5 e) 7 39. En un cono de revolución cuya generatriz mide 5u, se inscribe una esfera tal que el plano que contiene a la circunferencia tangencial determina un cono deficiente de 2u de generatriz. Calcular el área del casquete menor formado. a) 2 5 6 u  b) 5 7 c) 5 8 d) 5 9 e)  2 40. En el gráfico, calcular el área de la superficie generada por el rectángulo PQRS al girar 360° en torno a L. Si : 3PQ = 2PS = 3NS = 6u. P Q R S L N a) 2 u 40 b) 50  c) 60  d) 70  e) 75  41. En un cono equilátero, se inscribe una esfera de radio "r". Hallar el volumen del cono parcial que determina el plano que contiene los puntos de tangencia de la esfera; con las generatrices del cono. a) 6 3 r  b) 3 3 r  c) 8 3 r 3 d) 9 3 r 4 e) 3 3 r 2 42. Dado un octaedro regular de volumen 3 u 2 9 , hallar el área de la superficie esférica inscrita al octaedro. a) 2 u 3 b) 4  c) 5  d) 6  e) 9  43. Un semicírculo de diámetro AB, gira alrededor de su diámetro en un ángulo de 60°. Calcular el volumen del sólido generado si : AB = 6u. a) 3 u 6 b)  9 c)  6 3 d)  3 6 e)  12 44. Hallar la relación entre las áreas de un hexaedro regular y de la superficie esférica circunscrita al hexaedro. a) 3/  b) 4/  c) 5/  d) 2/  e) 3/2  45. Hallar el área de la superficie esférica inscrita a un cono de revolución de radio 3u y altura 4u. a) 2 u 8 b) 9  c) 12  d) 7  e) 6  46. Hallar la relación entre las áreas de las superficies determinadas al trazar un plano secante que se encuentra a una distancia igual a la tercera parte del radio de la superficie esférica. a) 1/3 b) 2/3 c) 3/4 d) 1/2 e) 1/4 47. Dada una superficie esférica de radio 3u circunscrita a un cono de revolución de altura 4u y el plano tangente a la esfera en un punto de la base del cono. Hallar la distancia del vértice del cono al punto en que el eje de éste, encuentra al plano. a) 15 u b) 13 c) 11 d) 9 e) 12 48. Se tiene un tetraedro regular de arista "l". Calcular el radio de la esfera que es tangente a todas las aristas. a) 2 2 l b) 3 2 l c) 4 2 l d) 5 2 l e) 6 2 l
Geometría 240 49. Una superficie esférica es dividida por dos planos en dos casquetes y una zona. Hallar la altura de la zona, si el área de la zona es los 3/5 de la suma de las áreas de los casquetes y el radio de la superficie esférica es 8R. a) 4R b) 6R c) 3R d) 5R e) 2R 50. En un cono de revolución, está inscrita una esfera cuya superficie es igual al área de la base del cono. ¿En qué relación se divide el área lateral del cono por la línea de tangencia de ambas figuras? a) 4/25 b) 4/21 c) 3/22 d) 3/25 e) 3/26 51. Calcular la superficie de una esfera circunscrita a un ortoedro, cuyas dimensiones son 2 ; 3 y 2 unidades, respectivamente. a) 3 u 6 b)  2 9 c)  12 d)  2 15 e)  9 52. Calcular el área de la superficie esférica de una esfera, si la distancia en un punto de la proyección de la circunferencia máxima sobre un plano tangente paralelo al plano de dicha circunferencia máxima, al centro de la esfera es igual a 6 unidades. a) 2 u 72 b)  75 c)  84 d)  2 60 e)  3 48 53. Calcular el área de una esfera, sabiendo que las áreas de dos círculos menores paralelos distantes 3u y situados a un mismo lado del centro, tienen áreas de 2 u  y 2 u 16 . a) 2 u 34 b) 48 c) 68  d) 72 e) 48  54. El área de la esfera inscrita al tronco de cilindro recto es de 2 dm 16 . Si la generatriz máxima mide 8 dm, calcular el volumen del tronco. R a) 3 dm 25 b) 28 c) 30 d) 36 e) 48 55. Calcular el área de la superficie esférica, de una esfera inscrita en un tetraedro regular de 3 u 2 18 de volumen. a) 2 u 2 6  b)  6 2 c)  3 3 d)  6 e)  6 56. En un cilindro recto, se inscriben dos esferas tangentes exteriores ubicados uno sobre otro. Calcular el volumen del cilindro, si dichas esferas tiene volúmenes iguales a 3 u 3 4  . a) 3 u 3 12  b)  3 14 c)  18 d)  24 e)  6 10 57. Calcular el volumen de una esfera equivalente a un cono equilátero de 2 u 4  de área de base. a) 3 u 16 b)  3 3 8 c)  18 d)  2 3 e)  15 58. Calcular el volumen de la esfera inscrita en un hexaedro regular cuya diagonal mide 12 unidades. a) 3 u 60  b)  3 32 c)  6 30 d)  48 e)  2 36 59. En una esfera de radio R, está inscrito un cono equilátero. ¿A qué distancia del centro de la esfera se debe trazar un plano paralelo a la base del cono de modo que la diferencia de las áreas que determina el plano en la esfera y el cono sea igual al área de la base del cono? a) R/5 b) R/4 c) R/3 d) R/2 e) 3R/4 60. Calcular el volumen de la esfera inscrita en un cilindro equilátero de 3 u 54  de volumen. a) 3 u 45 b) 48  c) 54  d) 60  e) 36 
241 TRILCE Claves Claves 21. 22. 23. 24. 25. 26. 27. 28. 29. 30. 31. 32. 33. 34. 35. 36. 37. 38. 39. 40. c c c e c c c c e a d d a c c d e a d d 41. 42. 43. 44. 45. 46. 47. 48. 49. 50. 51. 52. 53. 54. 55. 56. 57. 58. 59. 60. c d a d b d e c b b e a c d e a b b e e
243 TRILCE ESFERA SÓLIDA Es el sólido generado por un semicírculo cuando gira una revolución completa alrededor de su diámetro. A B h = 2R V = 4 R  3 3 CUÑA ESFÉRICA Es una porción de la esfera sólida limitado por 2 semicírcu- los que tienen el mismo diámetro. A B O R  3 R 3 4 º 360     Cuña º 360 . R 3 4 Cuña 3        270 3 R Cuña V SEGMENTO ESFÉRICO Es el volumen determinado por la zona esférica y dos círcu- los paralelos en la esfera. R1 R2 R H ) R R 3 H ( 2 H V 2 2 2 1 2     SEGMENTO ESFÉRICO DE UNA BASE Parte de la esfera limitada por el casquete esférico y su círcu- lo menor correspondiente. R H O R1 ) R 3 H ( 2 H V 2 1 2    Capítulo ESFERA II 21
Geometría 244 ANILLO ESFÉRICO Es el sólido generado por la rotación de un segmento circu- lar cuando gira alrededor de un eje coplanar que pasa por el centro de la circunferencia a que pertenece el segmento cir- cular. B A R O B A a h R h . AB 6 1 Anillo 2   SECTOR ESFÉRICO Es el sólido generado por un sector circular cuando gira alrededor de un eje coplanar que pasa por su vértice. A B O R h O h R V 2 3 2   TEOREMA DE PAPPUS GULDING A x CG l Eje A = área de la región plana. CG = centro de gravedad del área "A". x = distancia del centro de gravedad del área "A" al eje. V = 2xA.
245 TRILCE 01. Hallar el volumen de la esfera circunscrita a un cono de revolución que tiene 6u de radio y 8u de altura. 02. Hallar el volumen de una esfera circunscrita a un cilindro de revolución que tiene 96 3 u  de volumen y además la relación entre el radio de la base y la altura es de 2 a 3. 03. Si el volumen de un cono de revolución equilátero es "V", hallar el volumen de la esfera inscrita. 04. Hallar el volumen de un cono equilátero inscrito en una esfera de volumen 3 u 96 . 05. Hallar el volumen de la esfera inscrita en un cilindro circular recto de 3 m 90 de volumen. 06. Un triángulo equilátero cuyo lado mide "a" metros, gira alrededor de uno de sus lados. Hallar el volumen del sólido engendrado. 07. Una esfera se encuentra inscrita en un cilindro. Si el área de la esfera más el área total del cilindro es 90 2 u  , hallar el volumen de la esfera. 08. El volumen de una cuña esférica de 45º es 3 u 3 32 . Calcular el área total de la cuña. 09. En la figura mostrada, calcular la razón de volúmenes de los cilindros de revolución, si el volumen de la esfera de mayor radio es igual a la suma de los volúmenes de las otras dos esferas de menor radio. R Test de aprendizaje preliminar
Geometría 246 10. Calcular el volumen de una cuña esférica, si el área del huso esférico de 30º es de 108 2 u  . Practiquemos : 11. Calcular el volumen del sólido formado por un círculo de radio igual a 1u, cuando gire alrededor de una recta tangente a dicho círculo. 12. Determinar la distancia del centro de gravedad de un cuarto de círculo AOB hacia OB , siendo : AO = OB = 6  u. 13. Calcular el volumen que genera el cuadrado de lado cuya longitud es 6 u al girar 360º alrededor del eje. Dato :  º = 15º. º B A D C 14. Hallar el volumen del sólido generado por el segmento circular, cuando gira 360º alrededor de la recta "L" y R = 2u. L B x A R O 15. Hallar el volumen de una cuña esférica de 30º, si su área total es 12  . 16. Calcular el volumen generado por la región sombreada al girar 360º alrededor de "L". R 3R L
247 TRILCE 17. Calcular la relación de volúmenes que hay entre los sólidos generados cuando el trapecio (región) gira 360º alrededor de AC y CD . 60º 4 B A D C 8 18. Al rotar la región sombreada un ángulo de 360º alrededor de la recta "L", se obtiene un sólido cuyo volumen es : 5 5 3 L 19. Un hexágono regular de lado "a" gira 360º alrededor de uno de sus lados. El volumen del sólido que se genera es : 20. Hallar el volumen de una esfera inscrita en un octaedro regular cuya arista mide "a". Problemas propuestos 21. El volumen de un tetraedro regular es 27 3 u . Calcular el volumen comprendido entre la esfera inscrita y circunscrita al tetraedro. a) 24 2  b) 28 2  c) 32 2  d) 4 39 2  e)  3 39 22. Hallar el volumen de una cuña esférica trazada para una esfera de 24 3 m de volumen y con ángulo que mide 30º. a) 5 b) 4 c) 3 d) 2 e) 1 23. Se tiene una cuña esférica de 36 3 u  y 45º de ángulo diedro. Hallar el radio de dicha cuña. a) 4 u b) 9 u c) 6 u d) 8 u e) 3 u 24. Hallar el volumen de un segmento esférico de una base, si su altura es 1 u y el área de su casquete mide 2 u 2 . a) 3 u 5 4  b)  3 2 c)  13 6 d)  13 5 e)  13 2 25. En la figura, el volumen del cono es 18 3 cm  . Calcular el volumen de la semiesfera. r r a) 36 3 cm  b) 42  c) 72  d) 120  e) 144  26. Calcular el volumen de una esfera cuya diferencia de áreas entre la superficie esférica y el círculo máximo es 9 2 u  . a) 18 3 u  b) 4 3  c) 12  d) 6 3  e) 8 
Geometría 248 27. En un recipiente cónico (circular recto), lleno de agua se introducen una esfera de radio 3m y otra de diámetro 24 m, quedando exactamente la mitad de ésta fuera del cono. Las esferas son tangentes entre sí y quedan ajustados a la superficie lateral del cono. Calcular el volumen de agua que aún queda en el recipiente. a) 150  b) 330  c) 312  d) 348  e) 300  28. En un cesto, se han colocado tres pelotas de igual radio y el volumen de una de ellas es ) 3 32 ( . Hallar el volumen del cesto. a) 16  b) 22  c) 48  d) 30  e) 32  29. Del gráfico, calcular la relación de volúmenes que genera al rotar 360º el área de la región sombreada sobre los ejes "y", "x". x R R y a)  /2 b)  /3 c)  /4 d)  /6 e)  /8 30. Cuatro esferas del mismo radio de longitud "r" están en un plano, de manera que están en contacto una con otra. Una quinta esfera del mismo radio se coloca sobre ellas en el centro. Hallar la distancia entre el punto superior de la quinta esfera y el plano. a) r ) 2 2 (  b) r ) 2 2 (  c) r ) 2 1 (  d) r ) 2 1 (  e) r 2 31. En la figura : AB = PC = 6. El volumen del sólido de revolución que se obtiene al rotar el triángulo ABC alrededor de la recta "L" es : A C B P a) 108  b) 72  c) 60  d) 27  e) 24  32. En la figura, OT // AB , 3 R AB  , el volumen de la esfera es  3 32 . Calcular el volumen del cono equilátero. (T es punto de tangencia). A B Q O T R a) 18  3 b) 3  3 c) 9  3 d) 12  3 e) 15  3 33. Se tiene un cono equilátero de altura 4 u, tomando como diámetro dicha altura se construye una esfera. Calcular el volumen del segmento esférico mayor determinado. a) 8  b) 6  c) 9  d) 12  e) 15  34. Los lados de un triángulo miden 13, 14 y 15. Calcular el volumen del sólido generado por dicha región triangular al rotar 360º, sobre el lado intermedio. a) 564  b) 672  c) 720  d) 620  e) 648  35. Hallar el volumen de un segmento esférico de una sola base conociendo que el área de su casquete esférico es cuatro veces el área de la base y además el radio de la esfera es u 3 4 . a) 3 u 3 230 b) 3 140  c) 3 225  d) 3 216 e) 3 245 
249 TRILCE 36. Se tiene un cubo, inscrito en una cuña, de tal forma que dos de sus caras consecutivas están contenidas en los semicírculos máximo que limitan la cuña. Calcular la razón de las áreas de la superficie esférica inscrita en dicho cubo y el huso esférico correspondiente a la cuña. a) 3/2 b) 5/3 c) 9/4 d) 6/5 e) 7/3 37. Calcular el volumen del anillo esférico limitado por la superficie lateral de un cilindro de revolución inscrito en una esfera y por la superficie de la esfera. Sabiendo, además que el cilindro y el anillo esférico son sólidos equivalentes. El área de la superficie esférica es 48 2 u  . a) 3 u 3 50 , 11  b) 5 48 , 13  c) 5 52 , 11  d) 2 22 , 13  e) 3 28 , 12  38. Calcular el volumen de una esfera tangente a las aristas de un tetraedro regular de arista 8u. a) 3 u 2 3 76  b) 2 3 49  c) 2 3 64  d) 2 3 61  e) 2 3 56  39. En un plano, se encuentran tres esferas iguales de radio R; cada una de las cuales hace contacto con otra de ellas. Una cuarta esfera hace contacto con cada una de las tres esferas dadas y con el plano. Hallar el radio de la cuarta esfera. a) 2 R b) 3 R c) 4 R d) 5 R 2 e) 6 R 40. Hallar el volumen de la esfera inscrita en un octavo de esfera, cuyo radio mide u ) 1 3 ( 2  . R R a) 16  b) 32  c)  3 16 d)  3 32 e)  3 64 41. Hallar la longitud de lugar geométrico de los baricentros de las secciones de una esfera por planos que pasan por una recta "L", la cual es tangente a la esfera de radio "R". a) R  b) R 2 c) 2 R  d) 2 R 3 e) 3 R  42. Hallar la razón del volumen de una esfera al volumen del cono recto circunscrito a esta esfera, si la superficie total del cono es "n" veces la superficie de la esfera. a) n 1 b) n 2 c) n 4 3 d) n 3 4 e) n 5 6 43. Se tiene un tetraedro ABCD, en donde el volumen es 100 3 u ; el área total es 130 2 u y el área de la cara ABC es 15 2 u . Hallar el volumen de la esfera ex- inscrita relativa a la cara ABC. a) 3 u 32 b)  25 c)  3 28 d)  36 e)  64 44. Un semicírculo de diámetro 12u gira 120º alrededor del diámetro. Hallar el volumen de la cuña esférica. a) 3 u 84  b)  96 c)  104 d)  78 e)  80 45. La altura y diámetro de un cono de revolución son iguales al radio de una esfera de 3 u 4 de volumen. Calcular el volumen del cono. a) 3 u 3 1 b) 4 1 c) 5 2 d) 5 1 e) 3 2 46. Se tiene una región hexagonal regular de perímetro igual a 24. Calcular el máximo volumen generado al girar dicha región sobre una recta coplanar que contiene uno de sus vértices. a)  3 120 b)  3 172 c)  3 192 d)  3 148 e)  3 162 47. Calcular el volumen de la semiesfera inscrita en un tronco de cilindro recto, de modo que la base circular del tronco de cilindro coincide con el círculo máximo de la semiesfera. Además, se sabe que la generatriz menor y el volumen de dicho tronco es 4 unidades y 120 3 u  , respectivamente. a) 3 u 6 32  b)  64 c)  3 24 d)  72 e)  3 36
Geometría 250 48. Determinar la medida del ángulo " " de modo que el volumen generado al rotar la región cuadrada en torno del "L", sea el mayor posible. º B C D A Eje "L" a) 15º b) 30º c) 45º d) 60º e) 90º 49. Una esfera de radio igual 1,5 u tiene el mismo volumen que un cono circular recto, cuyo radio de la base es 0,75u. Hallar la altura del cono. a) 24 u b) 18 c) 15 d) 10 e) 12 50. Hallar la relación de los volúmenes entre las esferas inscrita y circunscrita en un mismo hexaedro regular. a) 6 3 b) 3 6 c) 9 3 d) 2 6 e) 9 6 51. Hallar la longitud del radio de la semiesfera inscrita en el tetraedro regular cuya arista mide 1 m. a) 9 3 b) 3 3 c) 9 6 d) 3 6 e) 2 3 52. Una esfera de área 144 2 u es cortada por 2 planos que forman entre sí un ángulo diedro de 60º, de modo que la recta de intersección de los planos es tangente a la esfera y el plano bisectriz contiene un diámetro de la esfera. Hallar el volumen de la parte de la esfera comprendida en el ángulo diedro. a) 3 u 288 b)  198 c)  243 d)  126 e)  264 53. En una circunferencia de diámetro igual a 4 3 dm, se traza la cuerda BC de modo que : mBC = 120º. Calcular el volumen del anillo esférico que se obtiene al girar 360º, el segmento circular BC, alrededor de un eje diametral paralelo a BC . a) 3 dm 36 b)  27 c)  12 d)  32 e)  72 54. Calcular el volumen de la esfera tangente a las aristas PA, PB y PC de un tetraedro regular P-ABC, en los vértices A, B y C, respectivamente, siendo : 2 u 3 3 el área total del tetraedro. a) 3 u 6  b)  3 2 c)  6 d)  9 e)  2 3 55. Una alambre se enrolla de modo que forma una esfera, si la sección del alambre es de 2 mm  y el radio de la esfera formado es de 10 cm. Hallar la longitud del alambre, si el porcentaje de vacíos de la esfera es del 10%. a) 1,2 km b) 3 c) 1 d) 1,6 e) 2,4 56. Se tiene una pirámide hexagonal regular por el centro de la base de dicha pirámide, se ha trazado un plano paralelo a una cara lateral. Hallar la relación entre el área de la sección determinada y el área lateral de la pirámide. a) 4 5 b) 6 5 c) 7 10 d) 3 2 e) 24 5 57. Se funde una bola de plomo de radio 5 cm, para obtener bolas cuyo radio sean de 1 cm cada una. ¿Cuántas bolas de plomo se obtendrán en el proceso? a) 50 b) 100 c) 150 d) 175 e) 125 58. Hallar el volumen generado, al rotar la siguiente superficie alrededor del eje l . l R a) 2 R3 2  b) 3 2 R 2 3  c) 3 R 5 3  d) 3 R 7 4  e) 3 R 3 2 
251 TRILCE 59. Hallar el volumen del sólido generado al girar el triángulo equilátero ABC, alrededor de L. A C B L 360º a a) 2 3 a3  b) 4 3 a3  c) 3 3 a3  d) 3 6 a3  e) 2 6 a3  60. Según el gráfico, siendo : AB = 5 y 12 ) PB ( ) AP ( 2 2   . Calcular el volumen del sólido generado por la región sombreada al girar 360º en torno a la recta AB. C A P B a) 5  b) 12  c) 10  d) 9  e) 25 
Geometría 252 Claves Claves 21. 22. 23. 24. 25. 26. 27. 28. 29. 30. 31. 32. 33. 34. 35. 36. 37. 38. 39. 40. e d c b e b c c e a b c c b d c c c b d 41. 42. 43. 44. 45. 46. 47. 48. 49. 50. 51. 52. 53. 54. 55. 56. 57. 58. 59. 60. a a b b b c a c a c c b a a a a e b b c
253 TRILCE Í N D I C E Capítulo 1 Ángulos ...................................................................................................................................................................... 9 Capítulo 2 Triángulos ................................................................................................................................................................ 21 Capítulo 3 Congruencia de Triángulos ..................................................................................................................................... 33 Capítulo 4 Polígonos ................................................................................................................................................................... 45 Capítulo 5 Cuadriláteros ............................................................................................................................................................ 55 Capítulo 6 Circunferencia............................................................................................................................................................ 67 Capítulo 7 Angulos en la Circunferencia .................................................................................................................................. 79 Capítulo 8 Puntos Notables ........................................................................................................................................................ 91 Capítulo 9 Proporcionalidad y Semejanza ................................................................................................................................ 105 Capítulo 10 Relaciones Métricas en un Triángulo Rectángulo ................................................................................................ 117 Capítulo 11 Relaciones Métricas en Cualquier Triángulo ........................................................................................................ 127 Capítulo 12 Relaciones Métricas en la Circunferencia .............................................................................................................. 137 Capítulo 13 Polígonos Regulares ................................................................................................................................................. 149 Capítulo 14 Áreas de las Regiones Poligonales y Relaciones de Áreas ................................................................................... 159 Capítulo 15 Áreas de Regiones Curvas ....................................................................................................................................... 179 Capítulo 16 Geometría del Espacio Perpendicular - Diedro - Triedro ................................................................................... 191
Geometría 254 Capítulo 17 Poliedros - Poliedros Regulares ............................................................................................................................... 203 Capítulo 18 Prisma - Cilindro - Tronco ......................................................................................................................................... 213 Capítulo 19 Pirámide - Cono - Troncos ......................................................................................................................................... 225 Capítulo 20 Esfera I ....................................................................................................................................................................... 235 Capítulo 21 Esfera II ......................................................................................................................................................................... 243

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Geometría trilce

  • 1. G
  • 2. TRILCE 9 Capítulo ÁNGULOS 1 Definición : Es la figura geométrica determinada por la reunión de dos rayos no alineados que tienen el mismo origen. º O A B Elementos 1. Vértice : O 2. Lados : OA y OB Notación : * Ángulo AOB : )  AOB, B Ô A * Medida del ángulo AOB : m )  AOB = . Región Interior de un ángulo Región Exterior de un ángulo Clasificación de los Ángulos por su Medida : º 0º < < 90º º * Ángulo Agudo º  = 90º º * Ángulo Recto º * Ángulo Obtuso 90º < < 180º º Bisectriz de un ángulo : º O A B º bisectriz º º N M L bisectriz
  • 3. 10 Geometría Ángulos Adyacentes : Ángulos Consecutivos : º º aº bº cº dº º º º º     º+ º+ º+ º = 180º Observaciones : º º º º º      º+ º+ º+ º+ º = 360º Ángulos Complementarios aº bº aº + bº = 90º Ángulos Suplementarios   º + º = 180º º º Ángulos Adyacentes Suplementarios : A C B O Los ángulos AOB y BOC también se les denomina par lineal. A C B O Las bisectrices de todo par lineal son perpendiculares.    
  • 4. TRILCE 11 Ángulos Opuestos por el vértice º º º º Observaciones : Es necesario recordar los siguientes ángulos comprendidos entre rectas paralelas. º º º º º º   º = º   º = º   º + º = 180º * Alternos Internos * Correspondientes * Conjugados L1 L2    a b c * Si : L1 // L2 L1 L2 aº bº * Si : L1 // L2 xº    º+ º+ º+ = aº+bº+cº xº = aº + bº
  • 5. 12 Geometría 01. Si: OM es bisectriz del ángulo AOB, calcule "xº". 7xº-10º 5xº+40º A M B O 02. Calcule "xº". 4xº+20º 3xº+50º 03. Calcule : º 2       . 3 º  120º 2 º  3 º  04. Calcule "xº", si : L // L 1 2 . L1 L2 3xº 2xº 80º 05. Si : L // L 1 2 , calcule "xº". L1 L2 4xº 80º 60º 3xº 06. Si : L // L 1 2 , calcule "xº". L1 L2 60º xº xº xº Test de aprendizaje preliminar
  • 6. TRILCE 13 07. En el gráfico, las medidas de los ángulos AOB y BOC son suplementarios y la m )  AOC = 80°. Calcule la m )  AOB. B C A O 80º 08. Si : L // L 1 2 , calcule : º º º º        . L1 L2     100º º º º º 09. Si : L // L 1 2 , calcule "xº". L1 L2 60º 100º xº 10. Calcule "xº". 100º 3xº xº Practiquemos : 11. Se tienen los ángulos AOB y BOC consecutivos y miden 20° y 30° respectivamente. Calcule la medida del ángulo que forman sus bisectrices. 12. El doble del complemento de la medida de un ángulo es 120°. ¿Cuánto mide el ángulo? 13. Si un ángulo es el doble de su suplemento, ¿Cuánto mide el ángulo?
  • 7. 14 Geometría 14. La diferencia de la medida de dos ángulos consecutivos AOB y BOC es 80°. Calcule la m )  DOB, si : OD es bisectriz del ángulo AOC. 15. ¿Cuánto mide el ángulo formado por las bisectrices de dos ángulos adyacentes y complementarios? 16. Si al complemento de un ángulo se le disminuye 10°, éste resulta ser el suplemento del triple del ángulo. Calcule el complemento de la mitad del ángulo. 17. Se tienen los ángulos consecutivos AOB, BOC y COD, tal que los ángulos AOC y AOB son complementarios; m )  AOD + m )  AOB = 120°. Calcule la m )  DOC. 18. El doble de la medida un ángulo es mayor que otro en 30°. Si los ángulos son conjugados internos comprendidos entre rectas paralelas, ¿En cuánto se diferencian las medidas de estos ángulos? 19. Se tiene los ángulos consecutivos AOB; BOC y COD, tal que : m )  AOD = 148° y m )  BOC = 36°. Calcule la medida del ángulo formado por las bisectrices de los ángulos AOB y COD. 20. Se trazan los rayos coplanares y consecutivos OA , OB , OC y OD , determinándose los ángulos consecutivos AOB, BOC, COD y DOA que miden 90°,   7 ,   10 y 100°. Calcule el complemento de   . Problemas propuestos 21. Si : L // L 1 2 , calcule "xº". L1 L2 160º xº+aº 40º 3xº 20+aº a) 18° b) 16° c) 15° d) 10° e) 25° 22. Si : L // L 1 2 , calcule   . L1 L2   º º º+100º 130º   º º a) 10° b) 15° c) 25° d) 20° e) 30°
  • 8. TRILCE 15 23. Si la sexta parte del suplemento del complemento de un ángulo es igual a 1/3 de 9° menos que su complemento, calcule la medida del ángulo. a) 32° b) 16° c) 48° d) 24° e) 30° 24. Un ángulo mide los 2/3 de un ángulo recto y otro ángulo los 4/5 de un ángulo recto, calcule el complemento de su diferencia. a) 30° b) 78° c) 18° d) 48° e) 60° 25. Calcule : "xº", si : 2 1 L // L . L1 L2 xº 2xº 2xº a) 80° b) 18° c) 70° d) 20° e) 75° 26. Si : L // L 1 2 , calcule "xº". L1 L2 xº  2º 2º º º a) 90° b) 70° c) 60° d) 40° e) 30° 27. Si : L // L 1 2 , calcule "xº". L1 L2 xº 120º a) 10° b) 20° c) 25° d) 30° e) 45° 28. Si : L // L 1 2 , calcule "xº". L1 L2  5º º 4º 3  º 2º º º º xº º a) 154° b) 115° c) 130° d) 144° e) 120° 29. En el gráfico, calcule "xº", siendo : L // L 1 2 . L1 L2 º º º º 4x 3xº xº º a) 35° b) 20° c) 30° d) 45° e) 37° 30. Calcule "xº", si : L // L 1 2 . L1 L2 º º º 3xº 2xº º a) 18° b) 9° c) 27° d) 30° e) 20° 31. Si : L // L 1 2 , calcule "xº". L2 x 6x x º º º a) 15° b) 10° c) 12,5° d) 22° e) 22°30'
  • 9. 16 Geometría 32. Si : L // L 1 2 , calcule : a° + b° + c° + d° + e°. L1 L2 aº dº bº eº cº a) 180° b) 520° c) 480° d) 360° e) 720° 33. Si : L // L 1 2 , calcule "xº". L1 L2 34º 48º   xº a) 34° b) 48° c) 82° d) 98° e) 49° 34. El doble del complemento de un ángulo sumado con el suplemento de otro ángulo es igual al suplemento del primer ángulo. Calcule la suma de las medidas de dichos ángulos. a) 100° b) 45° c) 90° d) 180° e) 160º 35. El doble del complemento de un ángulo aumentado en el triple del suplemento del doble de dicho ángulo nos da 480°. Calcule el suplemento de la medida de dicho ángulo. a) 30° b) 60° c) 120° d) 150° e) 135° 36. La diferencia de las medidas de dos ángulos es 40° y el triple del suplemento del ángulo doble del primero es igual al duplo del complemento del suplemento del ángulo triple del segundo. Calcule la medida de dichos ángulos. a) 60° y 60° b) 30° y 90° c) 45° y 75° d) 70° y 50° e) 40° y 80° 37. Si : L // L 1 2 , calcule el máximo valor entero de "xº", siendo el ángulo CAB agudo. L1 L2 3x 2x A B C º a) 18° b) 17° c) 16° d) 15° e) 12° 38. Dados los rayos consecutivos : OA1 , OA 2 , OA 3 , .... OAn , contenidos en un mismo plano, donde "n" ángulos consecutivos y la suma de 2 ángulos consecutivos es siempre agudo. Calcule el menor valor entero que puede tener "n"? a) 6 b) 7 c) 8 d)9 e) 10 39. Si : DC // AB , 2 3 DCQ ) m BAQ ) m    y m )  AQC = 100°, calcule el complemento del ángulo DCQ. B D A Q C a) 20° b) 60° c) 50° d) 70° e) 80° 40. Calcule "xº", siendo : L // L 1 2 . L1 L2     xº a) 60° b) 75° c) 105° d) 135° e) 140°
  • 10. TRILCE 17 41. Calcule "xº", si : aº + bº = 50° y L // L 1 2 . L1 L2 120º x 80º b a º º º a) 40° b) 50° c) 70° d) 60° e) 65° 42. En el gráfico, el rayo OP es bisecriz del ángulo AOD, siendo : m )  POC - m )  BOP = 20°. Calcule m )  AOB - m )  COD. O D A B P C a) 22° b) 40° c) 25° d) 10° e) 20° 43. En el gráfico, calcule el máximo valor entero de "yº". xº- 2yº 3yº+ xº a) 50° b) 35° c) 41° d) 40° e) 52° 44. Si : L // L 1 2 y n //m, calcule "xº". m 39º x 4x 54º C L1 L2 n a) 20° b) 30° c) 33° d) 35° e) 40° 45. En el gráfico :      78 º º y L // L 1 2 , calcule "xº".   xº L1 L2 º º º º a) 76° b) 78° c) 70° d) 90° e) 82° 46. En el gráfico, calcule el mínimo valor entero de "xº".   xº   a) 46° b) 48° c) 54° d) 56° e) 63° 47. Si : L // L 1 2 , calcule "xº". L1 L2    x 2      3   º a) 143° b) 127° c) 150° d) 135° e) 165° 48. Si : L // L 1 2 , calcule "xº". Si :      220 º º . L1 L2 º  º  xº 3   3 a) 10° b) 20° c) 30° d) 40° e) 50°
  • 11. 18 Geometría 49. Si : L // L 1 2 y      110 º º , calcule "xº". L1 L2   xº º  º a) 35° b) 45° c) 40° d) 30° e) 25° 50. Calcule la razón aritmética del máximo y mínimo valor entero que puede tomar "xº", si " " es la medida de un ángulo agudo, en el gráfico L // L 1 2 . L1 L2  xº 83º a) 90° b) 85° c) 87° d) 88° e) 86° 51. Del gráfico, calcule el valor de la razón aritmética entre x e y, cuando "xº" toma su mínimo valor entero. xº-yº 2yº+xº 5xº a) 8° b) 3° c) 4° d) 5° e) 6° 52. Si un ángulo mide 180° es dividido en "n" ángulos consecutivos y congruentes : 1  , 2  , 3  , .... n  , calcule la medida del ángulo que forman las bisectrices de 5  y 8  , sabiendo que las bisectrices de 3  y 2 n  son perpendiculares. a) 44° b) 45° c) 48° d) 52° e) 54° 53. Sean : AOB, BOC, COD, DOE y EOF ángulos consecutivos tales que : m )  AOF = 154° y m )  AOD = m )  BOE = m )  COF. . Calcule la m )  BOC, si la medida del ángulo formado por la bisectriz del ángulo COD y el rayo OE es igual a 54°. a) 23° b) 28° c) 63° d) 36° e) 75° 54. Del gráfico, calcule el máximo valor entero impar de "xº", si "  " es la medida de un ángulo agudo. . x  x º a) 100° b) 120° c) 130° d) 133° d) 145° 55. Del gráfico, calcule el valor de " " cuando "x" toma su mínimo valor entero par. Si : L // L 1 2 . L1 L2  x x x- º º a) 34° b) 32° c) 28° d) 29° e) 30° 56. Según el gráfico, calcule "xº", si : L // L 1 2 . x L1 L2   121º 44º a) 66° b) 85° c) 77° d) 70° e) 80° 57. Calcule "xº", si : L // L 1 2 L3 // y a° - b° = 36°.   aº xº bº º º L1 L2 L3 a) 54° b) 72° c) 36° d) 63° e) 52°
  • 12. TRILCE 19 58. Si el suplemento del complemento de la mitad del mayor ángulo que forman la bisectriz del ángulo adyacente a un ángulo " " y el lado no común es 140°, calcule " " . a) 10° b) 12° c) 15° d) 20° e) 30° 59. En el gráfico : L // L 1 2 , L // L 3 4 , L // L 5 6 , calcule : xº+yº. L2 L1 L3 x 110º 55º y L5 L4 L6 a) 170° b) 180° c) 210° d) 235° e) 245° 60. En el gráfico, calcule ) x (  , cuando "x" sea máximo. . Siendo :    ) a a 6 ( x 2 . x  a) 0° b) 39° c) 35° d) 36° e) 30°
  • 14. 21 TRILCE Definición : A E B F C H Elementos 1. Vértices : A, B, C 2. Lados : AB, BC y AC 3. Ángulos Interiores : < ) A, B, C < ) < ) Exteriores : EAB, FBC, BCH < ) < ) < ) Notación : ABC  , ABC T , etc. Se denomina región triangular a la reunión de los puntos interiores con el conjunto de puntos de sus lados. * Observaciones : Capítulo TRIÁNGULOS 2 Propiedades Básicas 1. Aº Bº Cº Aº + Bº + Cº = 180º 2. eº 2 eº 3 eº 1 eº + eº + eº = 360º 1 2 3
  • 15. 22 Geometría 3.    yº xº zº xº = º + º yº = º + º zº = º + º       4. b c a b - c < a < b + c 5. xº º º º xº = º + º + º    Líneas Notables en el Triángulo 1. Mediana A B C M BM : mediana b b 2. Bisectriz A B C I BI : bisectriz interior º º A B C L L : bisectriz exterior  
  • 16. 23 TRILCE 3. Altura A B C BH : altura H A B C AF : altura F 4. Mediatriz A B C L L : mediatriz de AC b b * Ceviana A B C F BF : ceviana interior A B C E BE : es ceviana exterior Relaciones Angulares 1. Bº xº 2 B 90 x          2.    Bº 2 B 90 x       xº
  • 18. 25 TRILCE 01. En el gráfico, el triángulo ABC es equilátero, calcule "xº". 80º xº A B C 02. En el gráfico, calcule "xº". 130º 4x 3x-10 03. En el gráfico, calcule "xº".   xº   150º 04. En el gráfico, calcule ) º º (    . 120º 100º   º º 05. En el gráfico, calcule "xº", si : AB = BQ = QF = FC. xº A B Q C F 06. En el gráfico, calcule "xº".   100º xº   Test de aprendizaje preliminar
  • 19. 26 Geometría 07. En el gráfico, AB = DC, calcule " º " .  º A B C º º 5 D 3 º 08. En el gráfico mostrado, ¿cuál de los segmentos es el de menor longitud? 60º 61º 59º 6 3 º B C D E F A 60º 60º 61º 61º 09. Calcule "xº".     xº 60º 10. Calcule la m )  BDC.    B C D A 60º  Practiquemos : 11. Calcule el ángulo que forman las perpendiculares trazadas desde el vértice B de un triángulo ABC a las bisectrices interiores de los ángulos A y C, si : m )  B = 110°. 12. Las medidas de los ángulos internos de un triángulo están en progresión aritmética cuya razón es 10. Calcule la medida de cada ángulo. 13. En un triángulo ABC (m )  B>90°), se sabe que : BC = 2 cm y AC = 5 cm. Calcule el valor o valores enteros que puede adoptar AB.
  • 20. 27 TRILCE 14. En un triángulo acutángulo, dos de sus lados suman 30u. Calcule el mayor valor entero que puede tomar la altura relativa al tercer lado. 15. Los lados de un triángulo isósceles miden 5 u y 13 u. Calcule su perímetro. 16. En un triángulo ABC, m )  A = 2(m )  C), la bisectriz interior BD prolongada intersecta en "E" a la bisectriz exterior del ángulo C. Si : DE = 8u. Calcule CE. 17. En un triángulo ABC, la medida del ángulo formado por la bisectriz interior del ángulo A, y la bisectriz exterior del ángulo C es siete veces la medida del ángulo B. Calcule la medida del ángulo B. 18. Los catetos de un triángulo rectángulo ABC, miden : AB = 16 u, BC = 30 u, se traza la altura BH y las bisectrices BP , y BQ de los ángulos ABH y HBC respectivamente. Calcule PQ. 19. En un triángulo ABC, la suma de las medidas de los ángulos B y C es 105°. Si la medida del ángulo A excede a la medida del ángulo B en 4°. Calcule la medida del ángulo C. 20. En el gráfico, NM = NC y CB es bisectriz del ángulo ACN. Calcule la m )  BAC. B A C 40º N M Problemas propuestos 21. Las medidas de los ángulos internos de un triángulo son proporcionales a los números 3, 4 y 5. Calcule la medida de cada ángulo. a) 60°, 80° y 100° b) 40°, 60° y 80° c) 30°, 40° y 50° d) 45°, 60° y 75° e) 36°, 48° y 60° 22. Calcule la medida del ángulo formado por la altura y la bisectriz que parten del vértice A de un triángulo ABC. Sabiendo que : m )  A + 2(m )  C) = 100°. a) 20° b) 30° c) 40° d) 50° e) 60° 23. Los catetos de un triángulo rectángulo ABC miden AB = 8 u; BC = 15 u. Se traza la altura BH y las bisectrices BP y BQ de los ángulos ABH y HBC respectivamente. Calcule PQ. a) 2 u b) 4 u c) 5 u d) 6 u e) 3 u
  • 21. 28 Geometría 24. En el gráfico, calcule "xº", si : AD y BC son bisectrices de los ángulos A y C respectivamente. B A D C xº 60º 20º a) 130° b) 100° c) 120° d) 70° e) 110° 25. Calcule la medida de los ángulos de un triángulo ABC, si: 3(m )  B) = 2(m )  A) y 3(m )  C) = 7(m )  A). a) 20°, 30°, 130° b) 45°, 30°, 105° c) 48°, 32°, 100° d) 51°, 34°, 195° e) 60°, 40°, 80° 26. Dado el triángulo ABC; si por el vértice C se traza CH perpendicular a AB y también la bisectriz exterior del ángulo C y la diferencia de las medidas de los ángulos A y B es 26°. Calcule la medida del ángulo que forma la bisectriz y la perpendicular. a) 110° b) 123° c) 103° d) 77° e) 96° 27. En el triángulo ABC, AD es la altura correspondiente al lado BC y BE es la bisectriz del ángulo B, las cuales se cortan en F. Si : m )  A = 64° y m )  C = 42°. Calcule la medida del ángulo AFB. a) 127° b) 150° c) 170° d) 132° e) 130° 28. Calcule "x°". 80º     xº A B C a) 140° b) 130° c) 120° d) 110° e) 125° 29. Sobre el lado BC de un triángulo ABC, se ubica el punto "D", tal que la medida del ángulo ADC es igual a la semisuma de los ángulos interiores de A y B. Calcule BD, si además : AC = 12 u y BC = 16 u. a) 14 u b) 10 u c) 8 u d) 4 u e) 6 u 30. Calcule "xº".   xº  130º  a) 15° b) 20° c) 25° d) 30° e) 50° 31. En el gráfico, calcule "xº".    xº xº  a) 12° b) 18° c) 24° d) 36° e) 60° 32. En un triángulo ABC, m )  A = 2m )  C, AB = 4 u. Calcule el máximo y mínimo valor entero que puede tomar el lado BC . a) 8 u y 7 u b) 5 u y 4 u c) 5 u y 2 u d) 7u y 6 u e) 5 u y 3 u 33. Si dos lados de un triángulo son 15 u y 18 u, el tercer lado puede ser : a) 1 u b) 2 u c) 12 u d) 35 u e) 3 u 34. El ángulo CAD es igual a tres veces el ángulo CAB y el ángulo BCA es mayor al ángulo CBA. El mayor lado del triángulo ABC es : C D B A a) BC b) AB c) AC d) Puede ser AC o BC dependiendo de la forma del triángulo. e) No se puede determinar los datos.
  • 22. 29 TRILCE 35. Calcule " º " .    60º 50º   a) 110° b) 110° c) 90° d) 55° e) 60° 36. Calcule : º º º      . º º 70º º a) 70° b) 100° c) 110° d) 140° e) 130° 37. En el triángulo ABC, m )  A = 80°, m )  B = 60°. Si : AN y BM son alturas, calcule : "xº". B A C N M xº a) 40° b) 140° b) 120° d) 50° e) 60° 38. Calcule el número de triángulos escalenos que tienen todos los lados enteros y de perímetro 22 cm. a) 5 b) 6 c) 4 c) 7 e) 8 39. En el gráfico, calcule la suma de las medidas de los ángulos señalados.       a) 405° b) 180° c) 390° d) 450° e) 360° 40. En un triángulo ABC, se traza la ceviana BT , si : AB = AT, BC = AC. Calcule el máximo valor entero de la m )  CBT. . a) 36° b) 35° c) 30° d) 45° e) 44° 41. En el gráfico, el triángulo ABC es equilátero. Calcule "xº".  xº 70º  B A C a) 10° b) 45° c) 36° d) 72° e) 30° 42. En el gráfico, AB = BC, DE BC  y el ángulo BEC mide 35°. Calcule " º " . º D C E A B a) 32° 30' b) 30° 30' c) 27° 30' d) 20° 15' e) 20° 5' 43. Sea el triángulo ABC en el cual se cumple que : m )  ABC = 64°, m )  ACB = 72° y BM y CP bisectrices de los ángulo ABC y ACB respectivamente; dichas bisectrices se intersectan en el punto I (incentro). Además, se traza la altura BH . Calcule la medida de los ángulos BIC y MBH. a) 112° y 16° b) 120° y 12° c) 11° y 14° d) 110° y 12° e) 112° y 14°
  • 23. 30 Geometría 44. En el gráfico, BH es altura del triángulo ABC y BD es bisectriz del ángulo ABC. Calcule "xº". B A C   xº D H 3 a)  2 b)  c) 2 /  d) 3 / 2 e) 3 /  45. En el gráfico, calcule el máximo valor entero de   . Si : x° + y° + z° > 300°. º 2 º  3 º  yº zº xº 6 º  a) 22° b) 23° c) 24° d) 25° e) 26° 46. En el gráfico, las medidas de los ángulos interiores del triángulo ABC están dadas en grados sexagesimales. Calcule el menor valor entero (en grados sexagesimales) que puede tomar "bº". B A C 2bº-aº a -b º º a +b º º a) 45° b) 46° c) 40° d) 35° e) 36° 47. Calcule "xº".    xº  4xº a) 18° b) 20° c) 22° d) 25° e) 30° 48. En el gráfico, calcule "xº". º º xº º 3 3º xº a) 60° b) 45° c) 36° d) 72° e) 30° 49. En el gráfico, calcule "xº". Si :        50 b a .       xº a b a) 62° b) 66° c) 63° d) 64° e) 65° 50. En el gráfico : x+y+z = 240° y a+b+c = 170°. Calcule : º º º      . º º º c x z a b y a) 60° b) 80° c) 100° d) 140° e) 50° 51. La bisectriz de uno de los ángulos de un triángulo escaleno, forma con el lado opuesto dos ángulos que son entre sí como 7 es a 13. Calcule el menor de los ángulos del triángulo asumiendo que la medida que la medida en grados de cada uno de los tres ángulos es un número entero menor que 80º. a) 24º b) 25º c) 26º d) 27º e) 28º
  • 24. 31 TRILCE 52. Calcule "xº", si ; AM = NC. B M C A N 60º 20º xº 80º a) 40° b) 60° c) 80° d) 90° e) 70° 53. En el gráfico, calcule "x° ".   2 2     xº 60º a) 45° b) 60° c) 30° d) 90° e) 75° 54. En el gráfico, calcule "xº". º º º º xº º º º 40º º a) 115° b) 125° c) 135° d) 14° e) 140° 55. Dado un triángulo ABC equilátero, se ubica el punto D exterior al triángulo, tal que el segmento BD intersecta al lado AC . Si m )  ADC > 90°, AD = 8u y CD = 15u. Calcule el menor perímetro entero del triángulo ABC. a) 52 u b) 24 u c) 22 u d) 46 u e) 48 u 56. En el gráfico, calcule "xº", AB = BC, EF = FD. 58º 94º F C D B E A xº a) 20° b) 15° c) 30° d) 18° e) 25° 57. En el gráfico : PA = 2 u y BR - RC = 3 u. Calcule PQ.  A B R C P Q 2   3  a) 6 u b) 5 u c) 4 u d) 3 u e) 7 u 58. En un triángulo ABC, se traza la bisectriz interior BM , si : m )  ACB =  º, º º CAB ) m      y la medida del ángulo exterior del ángulo A es " " , donde : AB = 8u, MC =3u. Calcule BC. a) 10 u b) 11 u c) 12 u d) 13 u e) 14 u 59. En un triángulo ABC se traza la ceviana BP , si : AB = PC. m )  BAC = 10  º, m )  BCA = 2  º. m )  CBP =  º. Calcule "  º". a) 5º b) 8º c) 9º d) 10º e) 12º 60. En un triángulo ABC, se traza la ceviana BT , si : BC = AT y m )  BAC = 60º - 2xº ; m )  CBT = xº, m )  BCA = 2xº. Calcule la m )  CBT. . a) 5º b) 8º c) 10º d) 12º e) 15º
  • 26. TRILCE 33 Definición : Dos segmentos, dos ángulos o dos figuras geométricas en general, serán congruentes si tiene la misma forma y el mismo tamaño. Para la congruencia de dos triángulos, se postulan los siguientes casos : Postulado (LAL)    Postulado (ALA)      Postulado (LLL)  Postulado (LLA)    Capítulo CONGRUENCIA DE TRIÁNGULOS 3 Propiedad de la Bisectriz  O F E H  OH OF EH EF   Propiedad de la Mediatriz A P B b b PA = PB El  APB es isósceles. Teorema de la Base Media B A C N M MN : base media MN // AC 2 AC MN  c a c a
  • 27. 34 Geometría Teorema de la Menor Mediana en el Triángulo Rectángulo B A C M 2 AC BM  b b b En el Triángulo Isósceles * B A C E G H F Si : AB = BC AH = EF + EG * B A S C P H Q Si : AB = BC CH = PQ - PS TRIÁNGULOS NOTABLES * De 30° y 60° 60º 30º 2a a 3 a * De 45° y 45° b 2 b 45º 45º b * De 37° y 53° 53º 37º 3k 5k 4k * De 2 53 53º/2 n 2n * De 2 37 37º/2 l l 3 * De 15° y 75° 15º 75º h a 4 a h  * De 30° y 75° 30º 75º h b 2 b h 
  • 28. TRILCE 35 01. En el gráfico, calcule AB, si : BC = 15 u. B A C 45º 37º 02. En el gráfico, calcule "x". x 10 u 45º 37º 03. En el gráfico, ED = 12u. Calcule AC. B A C E D 30º 15º 04. En el gráfico, calcule "xº". 2BP = PC. B A C   P x 05. En el gráfico, PM es mediatriz de AC . Calcule AB. Si : PC = 8 m. M B A C  2 P 06. En un triángulo ABC, se ubican los puntos medios M y N de AB y BC respectivamente. El segmento que une los puntos medios de MC y NA mide 2u. Calcule AC. Test de aprendizaje preliminar
  • 29. 36 Geometría 07. En el gráfico, calcule QN, si : AC = 10 u y MQ = 4u , AM = MB, BN = NC. B A C M N Q 08. En el gráfico, calcule PH, si : BH = 36 u. (AP = PM) y (BM = MC). A B H C M P 09. Calcule "xº". x 5 u 6 u 5 u º 10. En el gráfico, calcule PQ, si : AB = 6 u y AC = 8 u, BQ = QC. B A C Q   P Practiquemos : 11. En el gráfico : AC = 16 m. Calcule AP . (AB = PC). B C A P   2 5 12. En el gráfico : AB = BC, BM = 1 u, calcule AD. 45º B C D A M
  • 30. TRILCE 37 13. En el gráfico, calcule : "xº", si los triángulos ABR y PBC son equiláteros. B C A R x P 14. En el gráfico, calcule el perímetro del triángulo. 12 m 10 m 60º 15. En el gráfico, calcule MN, si : AH = 5 u, BH = 12 u.  A B H C  N M 16. En un triángulo ABC, la medida del )  ABC es igual a 128°. Las mediatrices de AB y BC cortan a AC en los puntos R y S, respectivamente. Luego, la suma de las medidas de los ángulos ABR y SBC es : 17. En el gráfico, BM = MC. Calcule "xº". A C B M 30º 15º x 18. En el gráfico, calcule "xº". BP = PC y AM = MP . B A C   P x Q M 18 u 19. En el gráfico : AH = 2 u y HC = 8 u. Calcule AB. 2  A B H C
  • 31. 38 Geometría 20. En el gráfico, AM y CN son bisectrices exteriores del A y C, AB = 6 u, BC = 12 u, AC = 16 u. Calcule MN. A C M N B Problemas propuestos 21. Calcule BD, si : CD = 8 u.   A B C D a) 8 u b) 4 u c) 16 u d) 2 u e) 12 u 22. En el gráfico, AM = MC. Calcule 3 º  .  2 45º B C A M a) 10° b) 12° c) 5° d) 15° e) 18° 23. En el gráfico, BC = 18 u, AC = 6 u y "M" es el punto medio de AB. Calcule MQ.   Q B M A C a) 10 u b) 12 u c) 13 u d) 14 u e) 15 u 24. En el gráfico, calcule BC, si : HM = 6 u.   A B H C M a) 9 u b) 12 u c) 15 u d) 18 u e) 24 u 25. En el gráfico, AB = BC. Calcule QC, si : AQ = 8 u; PC = 2 u.     A B Q C P a) 4 u b) 8 u c) 3 u d) 6 u e) 12 u 26. En el gráfico, calcule la m )  ABM. Si : AM = MC. A B C 53º 2 37º 2 M a) 37° b) 53° c) 45° d) 60° e) 90°
  • 32. TRILCE 39 27. Sea ABC un triángulo escaleno. La mediatriz de BC corta a AC en "F" y se cumple que: AB = AF = FC. Calcule la m )  ACB. a) 53° b) 15° c) 30° d) 37° e) 60° 28. En el gráfico, calcule "xº", si : BC = MC. x  M B A C   2 º a) 20° b) 25° c) 30° d) 45° e) 37° 29. En el gráfico, calcule " º " . 30º  2 0 º 70º 10º º a) 9° b) 10° c) 15° d) 22,5° e) 30° 30. Se ubica un punto P en el interior de un triángulo ABC, tal que : AP = AB = BC, si : m )  ACP = 30°, m )  CAP = 10°. Calcule la m )  BAP . . a) 20° b) 40° c) 30° d) 10° e) 15° 31. En el gráfico, calcule : "xº", si : AD = DC. A B C D 45º xº xº a) 15° b) 20° c) 25° d) 30° e) 35° 32. En el gráfico, calcule "xº", si : AD = DC. A B C D 30º 105º xº a) 10° b) 12° c) 15° d) 20° e) 30° 33. En el gráfico, calcule "xº", si : AB = AD + DC. xº 2xº xº B A C D a) 10° b) 12° c) 15° d) 18° e) 36° 34. En un triángulo ABC se traza la ceviana BD , tal que : CD AB  y D está en el lado AC . Además : m )  ABD = 60° y m )  BAC = 20°. Calcule la m )  BCA. a) 15° b) 30° c) 25° d) 22° 30' e) 20° 35. En el gráfico, calcule AE. Si : BC = 36 u y EC = 24 u. AB = AC.   2  B E A C a) 61 u b) 62 u c) 64 u d) 66 u e) 60 u 36. En el gráfico, AT = 5 u, BC = 10 u. Si : AM = MC. Calcule TB.   B C L T M A
  • 33. 40 Geometría a) 11 u b) 12 u c) 13 u d) 14 u e) 15 u 37. En el gráfico mostrado, AB = CD. Calcule : "xº". xº A B C 2xº D a) 9° b) 12° c) 18° 30' d) 14° e) 21° 30' 38. En el gráfico, calcule : " º " . AB = PQ y AQ = QC. º 6º 2º B P A C Q a) 10° b) 18° c) 20° d) 30° e) 15° 39. En el gráfico, ABC es un triángulo isósceles (AB = BC). AC // PQ ; PE = 3u; PF = 5u y NQ = 7 u. Calcule QD. B D E P F Q A C N a) 12 u b) 13 u c) 14 u d) 15 u e) 16 u 40. En el gráfico mostrado, AB = CD. Calcule "x". A B C D x 90º-2x 2x a) 8° b) 10° c) 12° d) 15° e) 18° 41. En el gráfico, calcule : "xº". Si : AB = BC. 2xº xº 90+2xº B A C a) 22° 30' b) 20° 30' c) 18° 20' d) 18° 30' e) 20° 18' 42. En el gráfico mostrado : DE = 18 u, FC = 24 u, GC = 16 u. Calcule MN, si : M y N puntos medios de EF y DG , respectivamente. B E F M D N A G C 53º a) 16 u b) 15 u c) 12 u d) 17 u e) 18 u 43. En el gráfico, calcule "xº". Si : AB = BR = MC y AM = MC. 2xº xº B R C A M a) 5° b) 10° c) 12° d) 15° e) 18° 44. En el gráfico, calcule "xº", si : AD = DC. A B C D 2xº xº 30º a) 30° b) 10° c) 15° d) 18° e) 20° jhsf
  • 34. TRILCE 41 45. En el gráfico, calcule "xº". Si : BP = AC y AD = DP .  xº  2 B C D A P a) 90° b) 60° c) 45° d) 120° e) 150° 46. En el gráfico, calcule " º " . º º º 3º 2º a) 8° b) 10° c) 15° d) 18° e) 20° 47. En el gráfico, calcule " º " . 3º 5º 2º 5º 3º a) 9° b) 12° c) 10° d) 15° e) 18° 48. En el gráfico, calcule "xº", si : AB = CD. xº xº 30º B C A D a) 9° b) 10° c) 12° d) 15° e) 18° 49. En el gráfico mostrado, AB = CD. Calcule " º  ". A B C D 90º- º 4º º a) 10° b) 12° c) 15° d) 20° e) 25° 50. En un triángulo ABC, se traza la ceviana BF , si : AB = FC, m )  BAC = 30°, m )  FBC = 45°. Calcule m )  BCA. a) 12º b) 15º c) 20º d) 30º e) 22º 30' 51. En el gráfico mostrado, calcule "xº". 10º 100º 10º 20º xº a) 5° b) 8° c) 10° d) 12° e) 15° 52. En el gráfico, calcule "xº", si : AD = BC. 2xº 3xº 6xº A B C D a) 10° b) 12° c) 20° d) 15° e) 18° 53. En el gráfico, calcule "xº", si : AD = BC. A B C D 30º-xº 30º+x 30º a) 12° b) 15° c) 10° d) 18° e) 20°
  • 35. 42 Geometría 54. En el gráfico : BC = AD, calcule " º " . 2º º 2º 3º B C A D a) 10° b) 12° c) 15° d) 18° e) 20° 55. En el gráfico, calcule "x", si : AB = DC. A B C D 2x 60º+x x a) 10° b) 15° c) 20° d) 45°/2 e) 15°/2 56. En el gráfico, calcule "xº". Si : AQ = QC = BC. 2xº xº B A C Q a) 10° b) 15° c) 18° d) 30° e) 22° 30' 57. Si : M, N y P puntos medios de BC , AB y AC respectivamente. Calcule "xº", si además : BE = 2u y BD = 4u. xº 2  2  C A P M E D B N a) 30° b) 35° c) 31° d) 36° e) 37° 58. Calcule "xº", en función de : " " . Si : AM = MC. 2 2 30º 4 5 º +  x B A C M a)  2 b)  c)    15 c)    30 e)    60 59. En el gráfico, calcule "xº", si : AB = DC. A B C D xº 18º 48º a) 10° b) 12° c) 15° d) 18° e) 20° 60. En el gráfico, calcule : "xº", si : AD = BC. A B C D 30º xº 12º a) 5° b) 6° c) 9° d) 10° e) 12°
  • 37. TRILCE 45 Capítulo POLÍGONOS 4 Definición : Sean 1 P , 2 P , 3 P , .... n P una sucesión de "n" puntos distintos de un plano con n  3. Los segmentos 2 1 P P , 3 2 P P , 4 3 P P , .... n 1 n P P  , 1 n P P ; son tales que ningún par de segmentos con un extremo común sean colineales y no exista un par de segmentos que se intersecten en puntos distintos de sus extremos. Entonces, la reunión de los "n" segmentos se denomina Polígono.   P1 P2 P3 P4 P5 P6 Pn Elementos : 1. Vértices : 1 P , 2 P , 3 P , .... 2. Lados : 2 1 P P , 3 2 P P , ..... 3. Ángulos : * Internos : )  1 P , )  2 P , .... * Externos :  , ...... 4. Diagonal : 5 3 P P , 6 4 P P , ..... Los Polígonos se clasifican en : 1. Por el número de lados : * Triángulo  3 lados * Cuadrilátero  4 " * Pentágono  5 " * Exágono  6 " (o hexágono) * Heptágono  7 " * Octógono  8 " * Eneágono  9 " o nonágono * Decágono  10 " * Endecágono  11 " * Dodecágono  12 " * Pentadecágono  15 " * Icoságono  20 " 2. Por sus lados y ángulos * Polígono Convexo * Polígono no Convexo * Polígono Equilátero * Polígono Equiángulo      
  • 38. 46 Geometría * Polígono Regular B C A D O O G H F I E J * Polígono Irregular PROPIEDADES I. Máximo número de diagonales trazadas desde 1 vértice. (n-3) diagonales II. Número total de diagonales. 2 ) 3 n ( n ND   III. En los polígonos convexos, la suma de las medidas de los ángulos internos es de : ) 2 n ( 180 Si    IV. En todo polígono convexo, la suma de las medidas de los ángulos extenos es de 360°. Sex = 360º V. En el polígono equiángulo. eº eº eº eº iº iº iº iº iº n 360 Exterior ) m    n ) 2 n ( 180 Interior ) m     VI. En el polígono regular.  eº iº iº eº eº º iº iº O   : medida del ángulo central. Se =    360 S n 360 e       n ) 2 n ( 180 i    
  • 39. TRILCE 47 01. En el octógono regular, calcule " º  ". º 02. Calcule la suma de las medidas de los ángulos interiores en el gráfico. 03. ABCDE es un polígono regular. Calcule "xº". x A E D C B º 04. En el polígono mostrado : AB = BC = CD = DE = a, CD AC  , DE AD  . Calcule el perímetro del polígono mostrado. C D E B A 05. El gráfico muestra un polígono regular. Calcule : xº - yº. x y º º 06. En un polígono, la suma de las medidas de sus ángulos internos es 540°, el número de lados de dicho polígono es : Test de aprendizaje preliminar
  • 40. 48 Geometría 07. En un polígono, la diferencia de la suma de los ángulos internos y la suma de ángulos externos es igual a 720°. Calcule el número de diagonales de dicho polígono. 08. En un polígono equiángulo, la relación entre las medidas de un ángulo interior y otro exterior es como 5 a 1. Calcule el número de diagonales del polígono. 09. La medida del ángulo interior de un polígono regular es igual a la medida de su ángulo central. El polígono es un : 10. En el gráfico, se presenta parte de un polígono regular de "n" lados. Calcule "n". A B C D E F G 164º Practiquemos : 11. Calcule el número de lados de un polígono convexo, si desde cuatro vértices consecutivos se puede trazar 45 diagonales. 12. En un hexágono ABCDEF : BC = 4u, AB = 3u, CD = 6u, DE = 5u. Calcule el perímetro del hexágono equiángulo mencionado. 13. Se tiene un octógono equiángulo ABCDEFGH en el cual : AB =2 m; BC = 2 m; CD = 3m. Calcule AD. 14. Cada lado de un polígono regular mide 6 cm y el perímetro equivale al número que expresa el total de diagonales en cm. Calcule la medida de un ángulo central. 15. Desde 7 vértices consecutivos de un polígono se han trazado 55 diagonales. Calcule el número de diagonales totales del polígono.
  • 41. TRILCE 49 16. En un hexágono convexo ABCDEF : m )  B = 140º, m )  E = 150º, m )  C + m )  D = 330º. Calcule la medida del ángulo que forman las rectas AB y FE al intersectarse. 17. En un polígono equiángulo ABCDEF ... las bisectrices de los ángulos ABC y DEF son perpendiculares. Calcule el número de diagonales de dicho polígono. 18. Si a un polígono se le incrementa el número de lados en 2, cada ángulo interno aumenta en 15°. El polígono es : 19. Si el número de lados de un polígono regular aumenta en 10, su ángulo interior aumenta en 3°. Calcule el número de lados del polígono original. 20. En un polígono regular, se cumple que la suma de las medidas de un ángulo central, un ángulo exterior y un ángulo interior es 210°. Calcule el número total de diagonales. Problemas propuestos 21. Calcule la suma de las medidas de los ángulos internos de un polígono, sabiendo que si se aumenta en tres el número de lados, el número de diagonales aumenta en 27. a) 1260° b) 1360° c) 1560° d) 1460° e) 1600° 22. En un polígono regular la diferencia de un ángulo interno y un ángulo externo está comprendida entre 30° y 40°. Calcule el número de lados de dicho polígono. a) 5 b) 6 c) 7 d) 8 e) 10 23. Se tiene un octágono regular ABC-DEFGH. Calcule la medida del ángulo formado por las diagonales BE y CH . a) 30° b) 45° c) 60° d) 90° e) 120° 24. Si un polígono regular tiene "n" lados y se suman el valor de la suma de sus ángulos internos, externos y centrales se obtiene (200n)°. Calcule el número de diagonales que tiene dicho polígono. a) 119 b) 152 c) 104 d) 135 e) 170 25. Los ángulos internos B, C y D de un polígono convexo miden 170°, 160° y 150° respectivamente. Calcule la medida del menor ángulo formado por los lados AB y DE . a) 50° b) 60° c) 70° d) 80° e) 40° 26. ABCDE es un pentágono regular y BCPQ es un cuadrado interior al pentágono. Calcule la m )  DBP . . a) 6° b) 8° c) 9° d) 10° e) 12° 27. Calcular el número de lados de un polígono equiángulo ABCDEF ......, si las mediatrices de AB y EF forman un ángulo cuya medida es 36°. a) 10 b) 20 c) 30 d) 40 e) 50 28. Calcule el número de lados del polígono regular cuyo ángulo interno es (p+15) veces el ángulo exterior, y además se sabe que el número de diagonales es 135p. a) 80 b) 85 c) 90 d) 95 e) 100
  • 42. 50 Geometría 29. Dadas las siguientes proposiciones : I. Cada ángulo interior de un hexágono regular mide 120°. II. En el decágono, se pueden trazar 36 diagonales. III. El polígono regular cuyos ángulos exteriores mi- den 36° es un decágono. Son verdaderas : a) Sólo I y III b) Sólo II c) Sólo I y II d) Sólo III e) Sólo II y III 30. Calcule el número de diagonales que se puede trazar en un polígono regular de vértices 1 A , 2 A , 3 A , ..... n A , sabiendo que las mediatrices de 2 1A A y 4 3A A forman un ángulo que mide 30°. a) 189 b) 230 c) 170 d) 275 e) 252 31. Dos números consecutivos, representan los números de vértices de dos polígonos convexos. Si la diferencia de los números de diagonales totales es 3. El polígono mayor es : a) Icoságono b) Nonágono c) Pentágono d) Eptágono e) Endecágono 32. Se tiene un polígono regular cuyo semiperímetro es "p" y el número que expresa su número de diagonales es igual al perímetro. Además su ángulo interior es "p" veces su ángulo exterior. Calcule la longitud del lado del polígono regular. a) 1/3 b) 1/5 c 1/4 d) 1 e) 1/2 33. El polígono, en el que su número de lados es igual a su número de diagonales es : a) Pentágono b) Hexágono c) Dodecágono e) Nonágono e) Octógono 34. Si la suma de las medidas de los ángulos internos de dos polígonos convexos difieren en 720° y sus ángulos centrales difieren en 7,5°. Indicar si el cociente mayor que la unidad de los lados de los dos polígonos convexos es igual a : a) 1,53 b) 1,23 c) 1,13 d) 1,43 e) 1,33 35. Si a un polígono se le aumenta un lado, su número de diagonales aumenta en 6. Si se le disminuye un lado, el número de diagonales disminuye en : a) 6 b) 3 c) 5 d) 2 e) 4 36. Si a un polígono se le aumenta 2 lados, el número de diagonales aumenta en 15. Calcule la mitad de la medida del ángulo externo de dicho polígono. a) 45° b) 60° c) 40° d) 120° e) 90° 37. En cierto sistema de medida, la suma de las medidas de los ángulos internos de un triángulo 4 3 K. Calcule la suma de las medidas de los ángulos internos en un decágono convexo. a) 6 K b) 5 K c) 7 K d) 10 K e) 8 K 38. En el gráfico ABCDE y AFE son regulares, GD = 10u. Calcule la distancia de D a GC . C D B G F A E a) 3 u b) 4 u c) 8 u d) 6 u e) 5 u 39. Se inscribe un rectángulo en un cuadrado, tal que sus lados sean paralelos a las diagonales del cuadrado. Calcule la relación entre los perímetros del cuadrado y del rectángulo. a) 2 b) 3 c) 2 d) 2 2 e) 4 40. Calcule el número de lados de un polígono equiángulo ABCDEF .....; si las mediatrices de AB y EF forman un ángulo de 36°. a) 15 b) 10 c) 20 d) 40 e) 10 ó 40 41. En un polígono equiángulo desde (n-7) lados consecutivos se pueden trazar (n-1) diagonales medias. Calcule la medida de un ángulo interior. a) 130° b) 132° c) 134° d) 135° e) 140° 42. Calcule el número de polígonos equiángulos convexos existen de modo que la medida de su ángulo interno en grados sexagesimales está representado por un número entero. a) 24 b) 22 c) 18 d) 30 e) 21
  • 43. TRILCE 51 43. En un polígono convexo de "n" lados. Calcule la suma de las medidas de los ángulos formados al prolongar los lados del polígono. a) 180°n b) 360°n c) 90°(n-2) d) 180°(n-4) e) 360°(n-2) 44. El menor ángulo de un polígono mide 139°, y las medidas de los otros ángulos forman, con la del primero, una progresión aritmética de razón 2°. Calcule el número de lados del polígono. a) 10 b) 9 c) 12 d) 15 e) 20 45. Calcule el mayor número de lados de un polígono equilátero ABCDEF ...... ; si las mediatrices de AB y EF forman un ángulo cuya medida es 36°. a) 10 b) 12 c) 30 d) 14 e) 15 46. En un polígono convexo de "n" lados, desde (n-4) vértices consecutivos se trazan (4n+3) diagonales. Calcule la suma de las medidas de los ángulos interiores del polígono. a) 1040° b) 1140° c) 1240° d) 1340° e) 1800° 47. En un hexágono regular ABCDEF, cuyo perímetro es igual a 72u, se traza la bisectriz interior FM en el triángulo ABF y sobre FD se toma el punto Q, tal que: AF = FQ y BF QM  = {P}. Calcule PQ. a) 4 u b) 8 u c) 10 u d) 12 u e) 16 u 48. Calcule "xº", si ABCDE es un pentágono regular. (ED = DP). B A C E D 42º xº P a) 42° b) 45° c) 48° d) 54° e) 60° 49. De uno de los vértices de un polígono convexo, se puede trazar (x - 3) diagonales, entonces la suma de las medidas de sus ángulos interiores equivale a ...... ángulos rectos. a) 2x b) 2x - 4 c) x + 4 d) 2x + 8 e) x 50. En cierto polígono convexo, el menor ángulo interno mide 135° y los demás ángulos internos están en progresión aritmética de razón 3°. Calcule el número de lados. a) 12 b) 13 c) 14 d) 15 e) 17 51. En el nonágono regular AB ... HI, las diagonales BD y CF miden "a" y "b" unidades respectivamente. Calcule la distancia del vértice E, a la diagonal BH. a) 2 b a  b) b - a c) 2 2 a d) 2 3 b e) ab 52. Las medidas de los ángulos interiores de un trapezoide forman una progresión aritmética. Si la medida del cuarto ángulo es nueve veces la del segundo, calcule la medida del tercer ángulo interior. a) 81° b) 54° c) 71° d) 27° e) 108° 53. ABCD es un cuadrilátero donde el ángulo A es recto, m )  B = m )  C = 60° y 2AB - BC = 6 3 u. Calcule CD. a) 6 3 u b) 6 u c) 2 3 u d) 3 2 u e) 3 u 54. Al disminuir en 6° la medida de cada ángulo interno de un polígono regular, resulta otro polígono regular cuyo número de diagonales es los 3/5 del número de diagonales del polígono original. Calcule el número de lados del polígono original. a) 9 b) 10 c) 12 d) 15 e) 20 55. En un pentágono ABCDE : m )  B = m )  D = 90° y los ángulos restantes congruentes. Calcule la distancia del vértice A al lado ED , si : BC = 4 cm y CD = 10 cm, AB = 4 3 cm. a) 3 cm b) 7 cm c) 6 cm d) 8 cm e) 5 cm 56. En un pentágono convexo ABCDE : AB = BC y CD = DE (CD > BC); si : BD = K y m )  B = m )  D = 90°. Calcule la distancia del punto medio de AE a BD . a) 2 K b) 2K c) 3 K 2 d) K e) 3 K
  • 44. 52 Geometría 57. Dado el polígono equiángulo PQRST ... tal que las prolongaciones de PQ y TS se cortan en A. Si el ángulo PAS es agudo, calcule el máximo número de lados del polígono. a) 12 b) 13 c) 14 d) 10 e) 11 58. Los lados de un polígono regular de "n" lados, n > 4, se prolongan para formar una estrella. El número de grados en cada vértice de la estrella, es : a) n 360 b) n 180 ) 4 n (  c) n 180 ) 2 n (  d) n 90 180  e) n 180 59. El número de diagonales de un polígono convexo excede en 16 a la diferencia entre el número de ángulos rectos a que equivale la suma de sus ángulos interiores y el número de vértices del polígono. El polígono es : a) Octógono. b) Decágono. c) Pentágono. d) Exágono. e) N. A. 60. Si la medida de cada ángulo interior de un polígono regular de "n" lados se disminuye en 5°, su número de diagonales disminuye en (5n-3). Calcule "n". a) 18 b) 24 c) 30 d) 36 e) 42
  • 46. TRILCE 55 Capítulo CUADRILÁTEROS 5 Definición : Son aquellas figuras determinadas al trazar cuatro rectas secantes y coplanares, que se intersectan dos a dos. Los segmentos que se determinan son sus lados y los puntos de intersección son sus vértices. Aº Bº Cº Dº Convexo Aº+Bº+Cº+Dº = 360º º xº º º No Convexo xº = º + º + º    A B C D B A D C Clasificación I. Trapezoides Trapezoide Asimétrico Trapezoide Simétrico B C A D A B C D II. Trapecios BC // AD Bases B C A D T. Escaleno A B C D T. Isósceles   T. Rectángulo B C A D B C D A
  • 47. 56 Geometría III. Paralelogramos º º º º B C D A AB // CD BC // AD  = 90º Romboide Rombo A B C D A B C D Rectángulo Cuadrado B C A D A B C D Propiedades Básicas I. En el Trapecio a b M N MN : Base media MN // Bases b a PQ // Bases * * MN = a+b 2 P Q PQ = a - b 2 II. En el Paralelogramo B C A D AO = OC BO = OD * a b n m a+b = n+m * A B C D O
  • 48. TRILCE 57 III. En todo Cuadrilátero P Q R S PQRS es un paralelogramo B C A D
  • 49. 58 Geometría 01. En la prolongación del lado AD de un rectángulo ABCD, se ubica el punto E, tal que : m )  ADB = m )  DCE, BD = 4 u y CE = 3 u. Calcule AE. 02. En el gráfico, calcule la m )  BEA, si : ABCD es un cuadrado y BF = 3(AF). B C A D E F 03. En el gráfico, calcule "xº", si ABCD es un cuadrado. B C A D x x º º 04. Calcule " º " en el gráfico, si : ABCD es un cuadrado y "M" y "N" son puntos medios. B C A D  N M º 05. En un cuadrado ABCD, se prolonga AD hasta "P". Luego se traza la perpendicular AQ hacia PC que corta a CD en M. Calcule la m )  DPM. 06. Las diagonales de un rombo miden 20 dm y 48 dm. Calcule el perímetro del rombo. 07. Del gráfico, calcule "xº". x     x 2x B C D A º º Test de aprendizaje preliminar
  • 50. TRILCE 59 08. En el gráfico, si : ABCD es un romboide, calcule BF, sabiendo que : BC = 7 u y CD = 5 u.   A B C D F 09. En el gráfico, si : ABCD es un romboide, AD = 8 u; AB = 5u. Calcule DN.   A B C D M N 10. En el gráfico, se muestran los cuadrados A, B y C. Calcule: Perímetro de A + Perímetro de B Perímetro de C A B C Practiquemos : 11. En los lados BC y CD del cuadrado ABCD, se ubican los puntos M y P , respectivamente, tal que : CP = PD y m )  APM = 90°. Calcule la m )  AMB. 12. En el gráfico, si : ABCD es un paralelogramo, PQ = 12u, EF = 17 u. Calcule : EL.   A B C D L P Q F E 13. En el gráfico ABCD un trapecio ) AD // BC ( . Calcule la m )  ADC. A B C D 4u 8u 6u 14u 14. Las diagonales de un trapecio miden 12 cm y 18 cm. Calcule el máximo valor entero que puede tomar la longitud de la mediana de dicho trapecio.
  • 51. 60 Geometría 15. En un trapecio rectángulo ABCD. m )  A = m )  B = 90°, m )  D = 75° ; AD = 2(AB). Calcule la medida del ángulo BCA. 16. Los lados AB , BC y CD de un trapecio ABCD son de igual longitud. Si AD es paralela a BC y tiene el doble de la longitud de BC , la diagonal AC mide : 17. En el gráfico, si : BC // AD y ABCD, es un trapecio isósceles. Calcule : AD, EC = 5 m. A B C D E 30º 30º 18. En un trapecio, la suma entre la mediana y el segmento que une los puntos medios de las diagonales es 32 cm. Calcule la longitud de la base mayor. 19. Las diagonales de un trapecio son perpendiculares y miden 6u y 8u. Calcule la longitud de la mediana. 20. La suma de las longitudes de las diagonales de un trapezoide es 20. Calcule el perímetro del cuadrilátero que resulta al unir consecutivamente los puntos medios de los lados del trapezoide. Problemas propuestos 21. En el gráfico se muestra un trapecio ABCD, de bases AB y CD , se trazan las bisectrices de los ángulos A y D que se cortan en R, y las bisectrices de los ángulos B y C que se cortan en S. Calcule RS, si : AB = 4 u, CD = 12 u, AD = 7 u y BC = 9 u. D A B C a) 0 b) 8 u c) 19/2 u d) 13/2 u e) 3/2 u 22. En un cuadrilátero convexo ABCD, el ángulo m )  A = 9° y m )  B = 4°. Calcule la medida del ángulo formado por las bisectrices de los ángulos C y D. a) 6° 30' b) 7° 20' c) 7° 55' d) 9° 00' e) 12° 00' 23. En el gráfico, los lados AB y CD son paralelos. Si : AB = 5 u y AC = 12 u, calcule : CD. A B C D  2  a) 15 u b) 16 u c) 18 u d) 17 u e) 10 u
  • 52. TRILCE 61 24. En el gráfico : BC = PA y AD = BP . Calcule "xº". xº B C A D P a) 53° b) 30° c) 60° d) 45° e) 37° 25. En el gráfico, calcule " º " . Si : PL = LM = NM. P N L M   45º- º º a) 20° b) 10° c) 12° d) 30° e) 15° 26. En el gráfico, calcule " º " , si ABCD es un rombo. . MH = 1 u, y D dista de BC 3 u.  A B C D H M O º º a) 26° 30' b) 15° c) 18° d) 30° e) 10° 27. En gráfico mostrado, MNOP es un trapecio, si : S punto medio de OU y QU // RS . Siendo : QU = 12 m, calcule TR.     N O R S T M Q P U a) 1 m b) 1,5 m c) 2 m d) 3 m e) 4 m 28. En un trapecio ABCD, la base menor AB es igual a la altura AH ; si : m )  A = 135° y el )  B = 150°. Calcule el perímetro del trapecio, si : AB = AH = 20 cm. a) 195,920 cm b) 200 cm c) 182,920 cm d) 162,920 cm e) 170,500 cm 29. En el gráfico, se muestra un romboide ABCD. Si las distancias de B, A y D a la recta son 2,4m; 3,6m; 7,9m, respectivamente, calcule la distancia de C a la recta L. B C A D L a) 1 m b) 1,5 m c) 1,9 m d) 2 m e) 2,5 m 30. Dado un cuadrado, al unir los puntos medios de sus lados se obtiene otro cuadrado. Si se efectúa este procedimiento cuatro veces más se tendrá un cuadrado. Calcule la razón entre las longitudes de los lados del cuadrado inicial y el último que se obtuvo. a) 2 b) 4 2 c) 2 2 d) 5 2 e) 3 2 31. En el gráfico ABCD, es un paralelogramo y DX = BY. Si el perímetro del triángulo BCE es : a+2b, el perímetro del triángulo CDX es : b-2a, y el perímetro del triángulo CFY es p. Calcule : ab 6 p2  . D C E B A F X Y a) 2 2 b a  b) 2 2 b 2 a 3  c) 2 2 b 3 a 2  d) 2 2 b 9 a  e) 2 2 b a 9 
  • 53. 62 Geometría 32. El gráfico 1 es un cuadrado de lado 4m, tomando los puntos medios de los lados AB y BC se construye el gráfico 2. En el segundo paso, tomando los puntos medios de los segmentos 1 AP , 1 1Q P , 1 1R Q y C R1 se construye el gráfico 3. Si se efectúa este procedimiento 10 veces, calcule la longitud de la "escalera" que se obtiene. A B D C P1 R1 Q1 A D C A D C fig. 1 fig. 2 fig. 3 a) 2 4 m b) 2 10 m c) 2 40 m d) 10 4 m e) 8 m 33. En el gráfico mostrado, se tiene un rectángulo ABCD, en el cual : AD = 2(CD), y donde : m )  OMA = m )  BPO. Si : MN y PQ se intersectan en O, de modo que : PO = 2 cm, QO = 4 cm y MO = 5 cm, calcule NO. B C P M N A D Q O a) 8 cm b) 10 cm c) 7 cm d) 9 cm e) 6 cm 34. En el gráfico : ABCD es un cuadrado, y  = 20°. Calcule : " º " . D C A B    º a) 120° b) 105° c) 115° d) 100° e) 110° 35. En el gráfico, PQ = 12 3 u y 3 8 QR  u, calcule : PS + RS. 120º S R P Q a) 60 u b) 63 u c) 64 u d) 65 u e) 66 u 36. En el gráfico, ABCD es un trapecio CD // BM ; AF = 18 cm y FC = 12 cm. Calcule EF. B C E F A D M a) 6 cm b) 4 cm c) 10 cm d) 8 cm e) 5 cm 37. En un trapecio ABCD, la base mayor es AD . Al trazarse las bisectrices del ángulo B y el ángulo exterior C, intersectan a la base AD y a su prolongación en P y Q respectivamente. Si : AB + BC = 24 m y CD + AD = 30 m, calcule la longitud del segmento que une los puntos medios de PC y BQ . a) 1 m b) 2 m c) 3 m d) 4 m e) 5 m 38. Se tiene un paralelogramo ABCD. Se construyen exteriormente los triángulos equiláteros ABM y BCN. Por M se traza la perpendicular MH a ND , calcule la medida del ángulo HMB, si el ángulo NDC mide 46°. a) 16° b) 14° c) 18° d) 11° e) 20° 39. En un trapecio ABCD ) CD // AB ( . Si : AB = 8m; BC = 6m; AD = 10m y CD = 18m; las bisectrices de los ángulos A y D se intersectan en el punto M y las bisectrices de los ángulos B y C se intersectan en el punto N. Calcule MN. a) 4 m b) 5 m c) 6 m d) 4,5 m e) 5,5 m
  • 54. TRILCE 63 40. De las siguientes proposiciones, las verdaderas (V) o falsas (F) son : I. Si el trapecio tiene sus diagonales congruentes; entonces, es necesariamente inscriptible a una cir- cunferencia. II. En un trapecio escaleno, una diagonal puede ser también altura. III. Si un polígono equiángulo está escrito en una cir- cunferencia es necesariamente un polígono regu- lar. a) VVF b) FVF c) VFV d) FFF e) VVV 41. En un romboide ABCD, con AB < BC, se trazan las bisectrices interiores de sus cuatro ángulos. Dichas bisectrices al intersectarse, forman un : a) Rombo. b) Cuadrado. c) Rectángulo. d) Trapecio. e) Otros cuadriláteros. 42. En un rombo ABCD, M es punto medio de CD y la diagonal BD corta a AM en punto R. Si : RM = 5u y m )  DRM = 53°, calcule BD. a) 18 u b) 35 u c) 30 u d) 36 u e) 40 u 43. En el rectángulo ABCD de la figura, la longitud de los segmentos AB y FC son respectivamente 2 m y 4 m. Si los segmentos AE y EM son iguales, calcule el perímetro del rectángulo.     D C F M A E B a) 48 b) 30 c) 36 d) 24 e) 28 44. En un trapecio rectángulo ABCD, recto en A y D; la base menor AB mide 4 y la mediana ME del trapecio mide 6 (M en AD ) se ubica sobre AD el punto P , tal que : PB = PC y m )  BPC = 90°. Calcule MP . . a) 1 b) 1,5 c) 2 d) 2,5 e) 3 45. En un cuadrado ABCD, sobre la recta AD, se ubican los puntos P y Q, tal que : P , A, D y Q están en ese orden. Calcule la medida del ángulo formado entre PC y BQ , siendo el punto medio de AD punto medio de PQ y m )  PCQ = 90°. a) 75° b) 60° c) 63,5° d) 52,5° e) 67,5° 46. En un cuadrilátero ABCD : m )  B = m )  D = 90° , m )  BCD = 45°, luego se trazan BD AP  , BD CQ  . Calcule BD, si : AP = 4 m, CQ = 20 m. a) 16 m b) 24 m c) 30 m d) 40 m e) 50 m 47. Es un cuadrado ABCD, por D se traza una recta que interseca en N a AB . Si la proyección ortogonal de A y C sobre dicha recta son los puntos P y Q respectivamente, calcule la razón entre PQ y la distancia del centro del cuadrado a dicha recta. a) 1 b) 1/2 c) 3 d) 2 e) 2 48. En un trapecio isósceles ABCD ( AD // BC y BC<AD); se construyen exteriormente los triángulos equiláteros CED y ADF; además: AE y BF se intersectan en O. Calcue BO, si: AO = 3u; OE = 4u y OF = 5u. a) 1 u b) 2,5 u c) 2 u d) 3,5 u e) 4 u 49. En el gráfico, los puntos M, N y R son puntos medios de los lados AB, BC y CA. Si : MM' + RR' + NN' = 25 u, calcule : BB'. B M N M' B' R' N' A R C a) 20 u b) 22 u c) 23 u d) 24 u e) 25 u
  • 55. 64 Geometría 50. En un paralelogramo ABCD, se tiene que (AB<BC) y BD = 6u. Se construye exteriormente al triángulo equilátero AMD; en cuyo interior se ubica el punto F, tal que el triángulo AFB es equilátero. Calcule la longitud del segmento que une los puntos medios de FB y MD . a) 3 u b) 3 3 u c) 3 u d) 6 u e) 6 2 u 51. Dado un cuadrado ABCD; se ubica M punto medio de CD y se traza BM CN  (N  AD ). Calcule : BN/QM; si : Q es la intersección de NC con BM . a) 1 b) 2 c) 3 d) 5 e) 4 52. En un trapecio MNOP ) OP // MN ( ; NO = 4u, OP = 6u, m )  M = 30° y m )  O = 120°. Calcule MN. a) 10 u b) 12 u c) 14 u d) 7 u e) 9 u 53. En un trapezoide MNOP : m )  M = m )  O = 90°. Se trazan NR y PL perpendiculares a MO. Si PL - NR = 3(MO). Calcule la m )  MPO. . a) 10° b) 12° c) 18,5° d) 22,5° e) 30° 54. En el lado CD de un cuadrado ABCD, se ubica el punto P , tal que : m )  BAP = 75°. Calcule la m )  BQC, siendo Q punto medio de AP . a) 53° b) 45° c) 75° d) 60° e) 90° 55. En un trapecio ABCD ) AD // BC ( ; se sabe que : AD - BC = 2(AB) y m )  ABC = 4m )  ADC. Calcule la m )  BCD. a) 160° b) 127° c) 143° d) 150° e) 135° 56. En un paralelogramo ABCD, se ubica el punto "F" en AD , de modo que : m )  ABF = m )  BCF; FC = 2DC. Calcule la longitud del segmento que tiene por extremos los puntos medios de BF y FC , si : BF = 12u. a) 4 u b) 8 u c) 9 u d) 12 u e) 6 u 57. En el gráfico, ABCD es un rectángulo. (O : intersección de las diagonales). OCFE : es un cuadrado. Si : MB = a. Calcule EL. B C M O A L D F E a) a b) 2 a c) 2 a 3 d) 3 a 2 e) 3 a 4 58. En el gráfico, ABCD y EFCR son un paralelogramo y un cuadrado, 2 BO  u, DE = 1u. (O : intersección de las diagonales del paralelogramo). Calcule la m )  FCD. B A C R D E F 45º O a) 53°/2 b) 60° c) 37° d) 30° e) 37°/2 59. Se tiene un paralelogramo ABCD, por C se traza la perpendicular a CD , la cual intersecta en E a la prolongación de AD . Si: AD = 8 u y m )  CBD = 2(m )  CED), calcule ED. a) 16 u b) 8 u c) 2 2 u d) 2 4 u e) 32 u 60. Del gráfico mostrado, ABCD es un cuadrado. Si : BH = 2 u, ND = 3 u y NP = 11u. Calcule "xº". P xº B C D A H N a) 16° b) 30° c) 37°/2 d) 26°30' e) 15°
  • 57. TRILCE 67 Capítulo CIRCUNFERENCIA 6 Definición : Es el lugar geométrico de todos los puntos del plano que equidistan de otro punto de su plano denominado centro. La distancia mencionada recibe el nombre de radio. Elementos de la Circunferencia E F P Q O B C A L1 L2 T * Centro : O * Radio : OB * Diámetro : BC * Cuerda : EF * Arco : EB * Flecha o sagita : PQ * Secante : 1 L * Tangente : 2 L * Punto de Tangencia : T * Perímetro : L = Longitud de la circunferencia. L = 2 r  r  radio   phi r 2 L    = 3,1415926 ....... Posiciones relativas de dos Circunferencias Coplanares * Circunferencias Exteriores d d > R + r * Circunferencias Tangentes Exteriores d r R d = R + r * Circunferencias Secantes d r R R - r < d < R + r * Circunferencias Ortogonales d r R 2 2 2 r R d  
  • 58. 68 Geometría * Circunferencias Tangentes Interiores R r d d < R - r * Circunferencias Interiores R r d d < R - r * Circunferencias Concéntricas R r d = cero R r Esta región se denomina corona o anillo circular. Observación : "d"  distancia entre los centros. Propiedades Fundamentales 1. O r P L * P  punto de tangencia * L   OP r OP   2.   B A C O AB = AC 3. B A C O Si : AB OC  MB AM  CB AC  M 4. A E F B AB // EF FB AE  Si :
  • 59. TRILCE 69 5. A B C D DC AB  CD AB  Si : 6. S A B Q E P T F PQ ST y EF AB   Teorema de Poncelet A B C r r : inradio AB + BC = AC + 2r Teorema de Pitot r AB + CD = BC + AD * Este teorema es válido para todo polígono circunscrito cuyo número de lados es un número par. B C D A Teorema de Steiner A B C D AB - CD = AD - BC Observaciones * Q y F  puntos de tangencia p  semi-perímetro del triángulo ABC. 2 c b a p    p AF AQ    A B C p F Q
  • 60. 70 Geometría 01. En el gráfico, calcule PA, si : A y B son puntos de tangencia. A P B x +x 2 2x+6 02. En el gráfico : AB = 7 cm, CD = 7,5 cm y AD = 4 cm. Calcule BC. B C A D r 03. En el trapecio isósceles : AD = BC = 8 cm. Calcule la longitud de la mediana del trapecio. ) DC // AB ( . A B C D 04. Calcule "xº", si "T" es punto de tangencia. AO = OB = BP = 1 u. xº T A B O P 05. Calcule el perímetro del triángulo ABC. A B C 10u 4u 1u 06. Calcule "xº", si "O" es centro. (T : punto de tangencia). 4xº xº T A C B O Test de aprendizaje preliminar
  • 61. TRILCE 71 07. La distancia entre los centros de dos circunferencias coplanares es 5 cm. Si sus radios miden 2,5 cm y 1,5 cm, las circunferencias son : 08. Si : AO = EC. Calcule : " º " .   A D E C B R O º º 09. Dado el romboide ABCD donde: m )  A=64°, los centros de las circunferencias inscritas a los triángulos ABD y BCD son O y O1 respectivamente. Calcule la m<ODO1 . 10. Siendo : P , Q y T puntos de tangencia. Calcule "xº". R O O Q P T x R 1 º Practiquemos : 11. Una circunferencia está inscrita en un trapecio isósceles ABCD ( AD // BC ). Si : AB = 12 cm. Calcule la longitud de la mediana de dicho trapecio. 12. ¿En qué relación están las longitudes de los radios de las circunferencias inscrita y circunscrita a un triángulo equilátero? 13. En una circunferencia de centro "O", se ubica la cuerda BC de 80 u de longitud. Si el radio de la circunferencia mide 41 u, calcule la distancia de "O" hacia la cuerda. 14. En el gráfico, calcule : x°. (B y T son puntos de tangencia). xº O B A T C
  • 62. 72 Geometría 15. En un triángulo ABC, se sabe que : AB = 8 u, BC = 10 u y AC = 12 u, la circunferencia inscrita determina sobre AC el punto "M". Calcule AM. 16. El punto de tangencia de la circunferencia inscrita en un trapecio rectángulo divide al mayor de los lados no paralelos en segmentos que miden 1 u y 9 u. Calcule la longitud de la mediana del trapecio. 17. En un triángulo ABC acutángulo, la circunferencia inscrita es tangente a AB en N y la circunferencia ex- inscrita relativa a AC es tangente a la prolongación de BA en M. Cacule AC. Si : AN = 3,5 u y AM = 4,5 u. 18. Se tiene un octógono ABCDEFGH circunscrito a una circunferencia, donde : AB = 1 u, BC = 1 u, CD = 1,5 u; DE = 0,5 u; EF = 2u, FG = 2,7 u; HA = 0,8 u. Calcule GH. 19. Marcar verdadero (V) o falso (F), en las siguientes proposiciones : I. La recta que contiene los centros de dos circunfe- rencias secantes es perpendicular a la recta que contiene los puntos comunes a las dos circunfe- rencias. II. El ángulo central de una circunferencia mide 0° (cero grados). III. La mediatriz de toda cuerda contiene al centro del círculo. IV. Ángulo inscrito es aquel cuyo vértice está sobre la circunferencia. 20. Las longitudes de dos circunferencias coplanares están en relación de 7 a 3 y su suma es igual a 20  . Si la distancia entre sus centros es dos veces la diferencia de las longitudes de sus radios, podemos decir que las circunferencias son : Problemas propuestos 21. Los diámetros de dos circunferencias situadas en el mismo plano miden 14 m y 6 m. Si la distancia entre sus centros es 10m. Las circunferencias son : a) Exteriores. b) Interiores. c) Tangentes. d) Secantes. e) Concéntricas. 22. La prolongación de CA de un triángulo ABC intersecta a la circunferencia exinscrita relativa a AB en el punto P . Siendo : CP = 20 u, calcule el perímetro de la región triangular ABC. a) 20 u b) 40 u c) 30 u d) 60 u e) 50 u
  • 63. TRILCE 73 23. Calcule la longitud del lado del triángulo equilátero inscrito en una circunferencia de 8 cm de diámetro. a) 3 4 cm b) 3 8 cm c) 3 2 cm d) 2 8 cm e) 8 cm 24. Si el radio de la circunferencia se aumenta en 1 u, calcule la razón de la longitud de la nueva circunferencia al diámetro es : a)  b) 2 1 2   c) 2 1 2   d) 2   e) 1 2   25. Calcule la medida del arco ST, si :      257 º º , si : S, P y T son puntos de tangencia. O P   S T º º a) 77° b) 80° c) 103° d) 75° e) 90° 26. En el gráfico : A, B y C son puntos de tangencia. Calcule : "xº". x 9º A B C a) 20° b) 27° c) 36° d) 54° e) 60° 27. En el gráfico mostrado : AB = 12 dm, BC = 8 dm y AC = 10 dm. Calcule : ) FC EB ( . E B A C F a) 4/3 b) 5/3 c) 3/5 d) 2/3 e) 4/7 28. Caclule BC. Si los inradios de los triángulos rectángulos ABCyACDmidenr1 y r2 . A D B C a) 2 2 2 1 r r  d) 2 1 r . r b) r1+r2 e) 2 r r 2 1  c) 2 1 2 1 r r r . r  29. En el gráfico : P , Q, M y N son puntos de tangencia. BP + BQ = 13 u, MN = 6 u. Calcule el inradio del triángulo ABC. C B A M N P Q a) 2,5 u b) 3,5 u c) 4,5 u d) 1,5 u e) 5,5 u 30. El perímetro de un triángulo rectángulo es 24 m y su hipotenusa mide 10 m. Calcule el radio de la circunferencia inscrita. a) 1 m b) 2 m c) 3 m d) 4 m e) 5 m 31. En el gráfico, el triángulo equilátero PQT, inscrito en una circunferencia. Calcule SN, en función del radio R. Si : PS = ST. Q P T S N a) R/2 b) R/3 c) R/4 d) 2 R e) 3 R
  • 64. 74 Geometría 32. En el gráfico, ABCD es un trapecio rectángulo. BC = 10 m, OC = 8 m. Calcule la altura del trapecio. B A D C O a) 4,8 m b) 9,6 m c) 4 m d) 8 m e) 10 m 33. Si uno de los catetos de un triángulo rectángulo mide 15 cm y la distancia del baricentro al ortocentro es 25/ 3 cm. La altura relativa a la hipotenusa en cm mide : a) 13 cm b) 14 cm c) 16 cm d) 12 cm e) 15 cm 34. Los diámetros de dos circunferencias coplanares y las distancias entre sus centros, están en la relación 13 : 10: 1. Estos circunferencias son : a) Secantes. b) Tangentes interiores. c) Interiores. d) Exteriores. e) Concéntricos. 35. En el gráfico : AB = 3 u y BC = 13 u. Calcule AD. A B C D O a) 16 u b) 18 u c) 19 u d) 21 u e) 22 u 36. En dos circunferencias ortogonales de radios R y r respectivamente, se cumple que la distancia d entre sus centros es : a) r R d ) r R ( 4     b) d r R   c) 2 / ) r R ( d 2 / ) r R (     d) 2 2 2 r R d   e) d r R   37. El radio de la circunferencia y el perímetro de un triángulo rectángulo circunscrito a dicha circunferencia miden 3 cm y 50 cm respectivamente. Entonces, el radio de la circunferencia circunscrita al triángulo rectángulo mide : a) 44 cm b) 22 cm c) 11 cm d) 12 cm e) 13 cm 38. Sean O y O' los centros de dos circunferencias tangentes exteriormente cuyos diámetros son 2 u y 6 u respectiva- mente. Calcule el ángulo agudo formado por la recta que une los centros y la tangente común a las circunferencias. a) 60° b) 45° c) 30° d) 15° e) 75° 39. En un triángulo rectángulo, cuya hipotenusa mide 48 cm, se inscribe una circunferencia de longitud 24  cm. ¿Cuál es el perímetro de dicho triángulo? a) 120 cm b) 144 cm c) 96 cm d) 72 cm e) 60 cm 40. Del gráfico, calcule "R". R 37º 15u 6u 5u a) 3 u b) 4 u c) 5 u d) 6 u e) 8 u 41. Calcule "R", si : AB = 9 u y BC = 12 u. (P , Q y T : puntos de tangencia). P O R A B C Q T a) 15 u b) 16 u c) 18 u d) 20 u e) 22 u
  • 65. TRILCE 75 42. En la gráfico, calcule : R + r, si : AB = 15 u y BC = 8 u. O R C B A r a) 23 u b) 11,5 u c) 10,5 u d) 13,5 u e) 14 u 43. En el gráfico : R = 3 u y r = 1 u. Calcule BE. B E C A D R r a) 3 u b) 4 u c) 5 u d) 6 u e) 7 u 44. En el gráfico, calcule AB, si : CD = 6 cm. B E A C D a) 6 cm b) 8 cm c) 10 cm d) 12 cm e) 9 cm 45. Calcule "r", si : AB = 5 u y BC = 12 u. (T, P y Q son puntos de tangencia). O r B C A T P Q a) 2 u b) 3 u c) 4 u d) 5 u e) 10 u 46. Calcule PT. P y T : puntos de tangencia. C B A 13u 6u P M T H a) 15 u b) 17 u c) 19 u d) 21 u e) 22 u 47. En un cuarto de circunferencia de centro "O" y radios OA , OB ; se toma el punto "E" y luego : OE AH  ; OE BP  (H y P sobre OE ). Calcule EP , si : AH = 15 u y BP = 8 u. a) 1 u b) 2 u c) 3 u d) 4 u e) 5 u 48. Calcule BR, siendo : r = 4u. A B R r P a) 8 u b) 4 u c) 2 4 u d) 2 8 u e) 2 2 u 49. En la figura : AO = OB = JF = FC. Calcule "xº", si : AB es diámetro. . x J F C A O B a) 15° b) 30° c) 45° d) 60° e) 12° 50. Los diámetros de dos circunferencias situadas en el mismo plano están en la relación de 10 a 6 y la distancia entre sus centros es como 5. Tales circunferencias son: a) Tangentes interiormente b) Exteriores c) Interiores d) Tangentes exteriormente e) Secantes
  • 66. 76 Geometría 51. En el gráfico, calcule "xº", si : BC = 6 u, CD = 1 u y EA = 3 u. ("O" centro). x O C B D A E º a) 45° b) 53° c) 55° d) 60° e) 63° 30' 52. En un triángulo rectángulo, calcule la longitud de la hipotenusa, si el radio de la circunferencia inscrita mide 5 cm y el radio de la circunferencia exinscrita relativa a la hipotenusa mide 14 cm. a) 5 cm b) 7 cm c) 6 cm d) 8 cm e) 9 cm 53. En el gráfico, calcule AD. a c b B C M A D a) a + b - c b) b + c - a c) a . b . c d) a + b + c e) 3 c b 2 a   54. En el gráfico : p : semiperímetro del triángulo ABC. Calcule : BF . AE . 2 ) b p )( a p ( R    A B F E C a) 2 b) 1 c) 1/2 d) 2/3 e) 4/3 55. En la figura : AD // BC , mABC = mAD; BC = a y AD = b. Calcule la distancia entre los puntos medios de las flechas de AB y CD . A B C D a) 4 b 3 a  b) 4 b 3 a 2  c) 4 b a 2  d) 4 b 2 a 3  e) 2 b a  56. En una línea recta, se ubican los puntos consecutivos A, B y C (AB > BC); a un mismo lado de dicha recta se trazan las semicircunferencias de diámetros AB y BC respectivamente y por C se traza la tangente CT a una de ellas. Calcular la medida del ángulo formado por BT y la bisectriz del ángulo BCT. . a) 45° b) 30° c) 60° d) 15° e) 37° 57. En el gráfico : AM = 4u; MN = 11u y NB = 5u. Calcule "xº". A M O N B F E xº a) 60° b) 113°/2 c) 90° d) 70° e) 67° 58. ABCD es un cuadrado y "T" es punto de tangencia. Calcule "x°". C D xº A B T a) 6° b) 8° c) 12° d) 16° e) 18°
  • 67. TRILCE 77 59. Se tiene un triángulo rectángulo ABC circuncrito a una circunferencia de centro I; dicha circunferencia es tangente a los catetos AB y BC en P y Q respectivamente. Las prolongaciones de PI y QI corta a AC en R y L. Las circunferencias inscritas en los triángulos PAR y LQC son tangentes en M y N a AC respectivamente. Calcule MN, si los radios de las circunferencias menores miden 2 u y 3 u. a) 1 u b) 2,5 u c) 4 u d) 5 u e) 6 u 60. En el gráfico : P y Q son puntos de tangencia. Calcule : m + n. P Q n m 10º a) 90° b) 100° c) 110° d) 120° e) 130°
  • 69. TRILCE 79 Capítulo ÁNGULOS EN LA CIRCUNFERENCIA 7 * Ángulo Central  O A B º = mAB * Ángulo Inscrito  B º = A C mBC 2 * Ángulo Seminscrito  º =mEFH 2 E H F * Ángulo Exinscrito  º = mABC 2 A B C * Ángulo Interior º º = mAB+mCD 2 A B D C * Ángulo Exterior xº = mAB - mCD 2 A B D C x xº = mAB - mAC 2 A B C x
  • 70. 80 Geometría  º   º + º = 180º Polígono Inscrito R Circunferencia : circunscrita Radio : circunradio Polígono Circunscrito r Circunferencia : inscrita Radio : inradio CUADRILÁTERO INSCRIPTIBLE Es aquel cuadrilátero que acepta que se le describa una circunferencia por sus cuatro vértices. Para que esto suceda es necesario y suficiente que el cuadrilátero cumpla con una de las dos condiciones siguientes : Primera condición : A B C D ABCD es un cuadrilátero inscriptible Si : º+ º =180º   º º Segunda condición : A B C D º º Si : º = º   ABCD es un cuadrilátero inscriptible Observaciones : * Si un cuadrilátero cumple con una de las dos condiciones, entonces se cumplirán las dos a la vez. * Si un cuadrilátero es inscriptible, entonces la medida de un ángulo interior es igual a la medida del ángulo exterior opuesto.     A B C D ABCD inscriptible * Dado un triángulo al trazar dos alturas, se observa que se determina un cuadrilátero inscriptible. B E F A C AEFC : inscriptible A P Q C B APQC : inscriptible jhsf
  • 71. TRILCE 81 01. En el gráfico, TP = 4 u y AB = 6 u, calcule : mTL, siendo "T" punto de tangencia. A B O T L P 02. En el gráfico, ABC es un triángulo equilátero. Calcule " º  ".  B D A C 100º º 03. En el gráfico, O es centro y CH = 4 u. Calcule CD. C A B O D H 04. Del gráfico, calcule "xº". Si : P , Q, R, F, S y T, son puntos de tangencia. 40º x B C A Q P R T F S º 05. En el gráfico : 1 O y 2 O son centros de las circunferencias. Q y T son puntos de tangencia. Calcule mPQ. 44º 44º O1 O2 T P Q 06. Se tienen 2 circunferencias de manera que la distancia entre sus centros y los radios de cada una de las circunferencias están en la relación de 3, 4 y 1 respectivamente. Por tanto, las circunferencias serían : Test de aprendizaje preliminar
  • 72. 82 Geometría 07. En el gráfico ABCD un romboide. Calcule "x°", B y D son puntos de tangencia. 15º xº A B C D 08. En el gráfico, calcule : "x°". 100º xº 09. En el gráfico : AC = BC, m )  ACB = 60°, calcule "xº". A B N M C 5 xº xº 10. En el gráfico, calcule " º " . Si : MF = ME.   B F M C A H E º º Practiquemos : 11. En la circunferencia de centro "O", calcule " º " .  20º 50º O A B C 12. Del gráfico, calcule " º " . 2 3 N M A B O R º º
  • 73. TRILCE 83 13. Del gráfico, calcule "xº". (P es punto de tangencia). P xº 14. Si : A, B y C son puntos de tangencia. Calcule "xº". B A C 68º xº 15. En el gráfico, "T" es punto de tangencia MN // AC y la m )  CAB = 20°. Calcule la m )  TFA. A. M N F T C A B O 16. Se tiene un trapecio ABCD inscrito en una circunferencia ) AD // BC ( . Calcule la m )  BDA, si : mBC + mAD = 100º. 17. Se tiene un triángulo ABC y se traza la bisectriz interior BD , luego se traza una circunferencia que pasa por el vértice B y es tangente a AC en el punto D, además corta a los lados AB y BC en los puntos E y F, calcule la medida del ángulo C, si : mBE = 68°. 18. En el gráfico, P y Q puntos de tangencia, la m )  ABC = 10° y mPR = 32°. Calcule la mQS. Q B R P C A S
  • 74. 84 Geometría 19. En el gráfico, calcule " º  ", si "N" es punto de tangencia.  A M O B N 20. En un triángulo isósceles ABC : (AB = BC) m )  BFE = 32°, siendo E y F los puntos de tangencia sobre los lados AB y AC determinados por la circunferencia inscrita. Calcule la m )  B. Problemas propuestos 21. En el gráfico, calcule la mTP , si : 2(BO) = 3(AB). A T M C B O P a) 37° b) 53° c) 30° d) 60° e) 36° 22. Del gráfico mostrado, calcule "xº".   xº xº 4xº M a) 20° b) 30° c) 37° d) 22,5° e) 18° 23. En el gráfico, calcule AD, si : BD = 4u y AC = 12u.   A D B E C a) 6 u b) 7 u c) 8 u d) 10 u e) 5 u 24. En el gráfico se muestra dos circunferencias tangentes exteriormente en T, y tangentes a dos de los lados del triángulo rectángulo ABC, siendo los puntos de tangencia P , R, S, Q y T. Calcule la medida del ángulo REN. B P E M Q C A R S N T a) 30° b) 37° c) 45° d) 53° e) 60°
  • 75. TRILCE 85 25. En el gráfico, mABC = 220º, calcule la m )  QPS. B A Q S C P a) 30° b) 40° c) 50° d) 35° e) 80° 26. En el gráfico, calcule "xº", si : mAB + mBC =80º. Donde : A y C son puntos de tangencia. A C B xº a) 50° b) 40° c) 5° d) 35° e) 30° 27. En el gráfico, el punto "H" es el centro de los dos arcos de circunferencia mostrados. T y P puntos de tangencia y la m )  HBC = 50°, calcule m )  BTP . . B T P H A C a) 60° b) 20° c) 40° d) 50° e) 30° 28. En el gráfico, EF = FC. Calcule la mAC. (F y E son puntos de tangencia). A C D B F O E a) 15° b) 18° 30' c) 22°30' d) 26°30' e) 30° 29. En el gráfico : A, B, C y D son puntos de tangencia, ETNB es un romboide y mCD = 3 2 (m )  ALB). Calcule la m )  BNC. A E T D C K B N L a) 2 45 b) 45° c) 135° d) 37° e) 53° 30. Desde un punto "P" exterior a la circunferencia, se trazan las tangentes PA y PB ; en PA está el punto "E", tal que: OE = EP; la tangente EF determina el arco FB (mFB = 32º). Calcule la m )  EOP y "O" : centro de la circunferencia. a) 16° b) 24° c) 32° d) 48° e) 64° 31. En el gráfico, calcule "xº", siendo F punto medio de tangencia, m )  AFB = 30°. 70º x D P E M A F B º a) 50° b) 45° c) 30° d) 40° e) 35° 32. En el gráfico : mAB =100°. Calcule la m )  APQ.  E C D P Q B A  a) 50° b) 60° c) 30° d) 45° e) 55°
  • 76. 86 Geometría 33. Se tiene un triángulo ABC inscrito en una circunferencia; sobre AB y BC se ubican los puntos P y Q, tal que : mPB = mBQ. Calcule : m )  BAC + m )  BEQ, siendo: {E} = PQ BC  . a) 90° b) 100° c) 120° d) 180° e) 160° 34. En el gráfico, calcule la m )  EPF, si : º º    = 140°, E y F son puntos de tangencia. Además : AB // EF . º   P E F A B º a) 120° b) 140° c) 130° d) 150° e) 125° 35. En un triángulo isósceles ABC (AB = BC) se trazan las cevianas AD y BF , que se forman en un punto "E", tal que la m )  DAC = 60°. Calcule la m )  ABE, si el cuadrilátero CDEF es inscriptible. a) 20° b) 60° c) 80° d) 30° e) 5° 36. En el gráfico se muestra un arco de circunferencia ADCB, donde AB es el diámetro del arco de circunferencia se cumple que : m )  CAB = 20°, además : DP es paralelo a AC y DP es tangente al arco. Calcule la m )  PDB. A B C D P a) 45° b) 55° c) 25° d) 65° e) 35° 37. En el gráfico :    62 º ,    68 º ,    50 º . En la circunferencia inscrita, determinados puntos de tangencia son E,F, G. Calcule las medidas de los ángulos GEF, EFG y FGE respectivamente.    B E F M A C G º º º a) 65°, 59°, 56° b) 60°, 60°, 60° c) 50°, 62°, 68° d) 68°, 60°, 62° e) 62°, 68°, 60° 38. En el gráfico, calcule la medida del ángulo BFC, si los arcos AB y DEG miden 80° y 100°, respectivamente. A B C D G E F a) 20° b) 15° c) 30° d) 10° e) 25° 39. En el gráfico, AB y AC son tangentes a la circunferencia. Si : m )  BAC = 72º y los arcos BD, DE y EC son congruentes, calcule la medida del ángulo DBE. B D A E C a) 28° b) 36° c) 40° d) 42° e) 48° 40. En el gráfico, la recta PT es tangente común a las dos circunferencias secantes. Si el ángulo ABC mide 38°. Calcule la medida del ángulo MQN. 38º B P Q T M N A C a) 148° b) 142° c) 138° d) 152° e) 128° 41. Del gráfico, calcule mOB. 15º B O a) 20° b) 35° c) 40° d) 30° e) 50°
  • 77. TRILCE 87 42. En el gráfico la mBC = 40°. Calcule la m )  PQR. B C Q P R D A a) 120° b) 150° c) 140° d) 160° e) 135° 43. En el gráfico : mAP - mBP = 28º. Calcule lam )  AMB, donde : A, P y B, son puntos de tangencia. P A B M a) 28° b) 21° c) 14° d) 7° e) 30° 44. En el gráfico : mAB = 100°. Calcule "xº". (T es punto de tangencia). xº B A T a) 25° b) 40° c) 45° d) 50° e) 80° 45. En el gráfico, si : BH = 4 u y HE = 6 u. Calcule BC. B C F A D H E a) 2 u b) 3 u c) 4 u d) 5 u e) 6 u 46. En el gráfico : mAB = º y mBC = º. Encuentre la relación correcta : A B C a) º 2 º    b) º º 2 2    c)      90 º 2 º d)      180 º 2 º e)      270 º 3 º 2 47. En el gráfico : mMN = mNP; mAM = mNB = 40°. Calcule "xº". x P R M N R A B º a) 20° b) 25° c) 30° d) 35° e) 40° 48. En el gráfico, calcule "  º" mAB= 50º; A y B son puntos de tangencia. A B O º a) 85° b) 110° c) 80° d) 100° e) 90° 49. En el gráfico, AB = 12 m y "O" es centro de la circunferencia. Calcule OH. O A C H D B F a) 4 u b) 5 u c) 3 u d) 6 u e) 1 u
  • 78. 88 Geometría 50. En el gráfico, calcule "xº", si : A, B, C, D, E; son puntos de tangencia. º x x A C B D O E º a) 30° b) 15° c) 22°30' d) 20° e) 25° 51. En el gráfico, calcule la m )  ABC, si : P , Q, R y T son puntos de tangencia y además : m )  PMT = m )  ABC. B M A P Q R T C a) 30° b) 45° c) 50° d) 60° e) 80° 52. En el gráfico : CD // MP y mAMC + mNB = 160º. Calcule "xº". x A M C N B P D º a) 80° b) 100° c) 50° d) 65° e) 70° 53. En el gráfico : A, B, C y D son puntos de tangencia. mAB = 120º y mAE = 110º. Calcule "xº". x A E D B C º a) 50° b) 40° c) 30° d) 25° e) 20° 54. En el gráfico, mAB = 100º. Calcule "xº". º P B Q C A x a) 50° b) 40° c) 60° d) 70° e) 80° 55. En el gráfico, calcule la m )  MSL. Si : mAP = 100º, mAB = 20º; (P , S y T son puntos de tangencia) y 2 1 L // L . P S A B T L M L1 L2 a) 60° b) 70° c) 80° d) 85° e) 90°
  • 79. TRILCE 89 56. Del gráfico, calcule "xº".      xº a) 30° b) 45° c) 60° d) 53° e) 90° 57. En el gráfico, calcule "xº", siendo C y D puntos de tangencia. xº E F O D B C A xº a) 50° b) 70° c) 60° d) 65° e) 55° 58. En el gráfico : B, C y D son puntos de tangencia. Calcule la mAB .   A B C D º º a) 2 º 3 b) º 2 c) º  d) 2 º º 90   e) 2 º 90   59. En el gráfico, T y M son puntos de tangencia. Calcule "xº". 100º x 10º T M a) 20° b) 10° c) 15° d) 40° e) 35° 60. En el gráfico, calcule "xº". A, B, C, D y E son puntos de tangencia. A B C D E x a) 30° b) 45° c) 60° d) 90° e) 50°
  • 81. TRILCE 9 1 Capítulo PUNTOS NOTABLES 8 Son los puntos de concurrencia de las líneas notables de un triángulo. I. BARICENTRO : Es el punto de intersección de las 3 medianas de un triángulo. Propiedad : El baricentro determina en cada mediana dos segmentos que están en la relación de 2 es a 1. B A C Q M G N G Baricentro del ABC  BG = 2GN BN 3 1 GN ; BN 3 2 BG   c a b b a c II. INCENTRO : Es el punto de intersección de las 3 bisectrices interiores de un triángulo. B A C       I r r r "I" Incentro del ABC  Propiedades : Primera : El incentro es el centro de la circunferencia inscrita. Segunda : El incentro equidista de los lados del triángulo. (una distancia r)  inradio. . III. ORTOCENTRO : Es el punto de concurrencia de las tres alturas de un triángulo. 1. En un triángulo acutángulo, el ortocentro se encuentra en la región triangular. 2. En un triángulo obtusángulo, el ortocentro es exterior al triángulo. 3. En un triángulo rectángulo, el ortocentro se encuentra en el vértice del ángulo recto.
  • 82. 9 2 Geometría B A C ortocentro A C B ortocentro  Acutángulo  Obtusángulo 1. 2. ortocentro B C A H  Rectángulo 3. IV. CIRCUNCENTRO : Es el punto de intersección de las mediatrices, de los lados de un triángulo. O R R R C B A O R R R C B A "O" Circuncentro del ABC  a c b a b c a b c a b c
  • 83. TRILCE 9 3 O R R R C B A c a a c Propiedades : 1ra. : El circuncentro es el centro de la circunferencia circunscrita. 2da. : El circuncentro equidista de los vértices del triángulo. (Una distancia R). R  circunradio. . V. EXCENTRO : Es el punto de intersección de dos bisectrices exteriores y una bisectriz interior. Nota : Todo triángulo tiene tres excentros.     E   B A C E Excentro relativo al lado BC Ra Ra Ra Propiedades : 1ra. Propiedad : El excentro es el centro de la circunferencia exinscrita. 2da. Propiedad : El excentro equidista de un lado y de las prolongaciones de los otros dos lados, (una distancia a R ) a R  Exradio relativo a BC .
  • 84. 9 4 Geometría TRIÁNGULOS PARTICULARES 1. TRIÁNGULO MEDIANO : Es el triángulo que se determina al unir los puntos medios de los lados de un triángulo. B A C M N Q G MNQ mediano o complementario del ABC   Propiedad : Baricentro del ABC  Baricentro del MNQ  G c a b a b c 2. TRIÁNGULO EX-INCENTRAL : Es el triángulo que se determina al unir los tres excentros.             A B C E F H O EFH ex-incentral del ABC   Propiedad : Ortocentro del EFH Inc  entro del ABC  O 3. TRIÁNGULO ÓRTICO O PEDAL : Es el triángulo que se determina al unir los pies de las 3 alturas de un triángulo. A B C F H E O    EFH es el órtico del ABC Propiedades : 1ra. Propiedad : Ortocentro del ABC In  centro del EFH  O 2da. Propiedad : Siendo : Ê , F̂ y Ĥ los ángulos internos de EFG. ) Â m ( 2 180 Ĥ m    ) B̂ m ( 2 180 Ê m    ) Ĉ m ( 2 180 F̂ m   
  • 85. TRILCE 9 5 3ra. Propiedad : A, B y C son excentros del EFH. PROPIEDADES ADICIONALES 1. A B C H O   Siendo : H Ortocentro O Circuncentro   = 2. La distancia del ortocentro a un vértice es el doble de la distancia del circuncentro al lado opuesto del vértice considerado. A B C H O M H Ortocentro O Circuncentro HB = 2 OM 3. El ortocentro, baricentro y circuncentro se encuentran en una misma recta; llamada la Recta de Euler. A B C H O G Recta de Euler H A B G Recta de Euler H Ortocentro G Baricentro O Circuncentro * Acutángulo  * Obtusángulo 
  • 86. 9 6 Geometría 01. En el gráfico : AD y BM son medianas del triángulo rectángulo ABC, y AC = 30 u. Calcule "x" e "y" en metros. A M C B D x y 02. Un triángulo ABC se trazan las alturas AE y BF que se intersectan en "D". Si el ángulo ADC mide 125°. Calcule la m )  ABE. 03. En un triángulo ABC, de baricentro G, m )  BGC = 90°, m )  GBC = 30°; GC = 2m. Calcule AG. 04. En el arco AC de una semicircunferencia de diámetro AC , se ubica el punto"B", tal que "E" es el excentro del triángulo ABC relativo a BC , AE interseca al arco BC en "D"; tal que BD = 2u. Calcule CE. Test de aprendizaje preliminar 05. En un cuadrilátero ABCD; m )  B = 120°; m )  D = 110°, m )  ABD = 60° y m )  ADB = 40°. Calcule la medida del ángulo que forman sus diagonales. 06. La distancia entre el centro de la circunferencia circunscrita a un triángulo rectángulo y el punto de intersección de sus tres alturas es igual a : 07. En un triángulo ABC acutángulo la m )  BAC = 72°. Calcule la m )  OBC, siendo "O" su circuncentro. . 08. En un triángulo ABC se traza la ceviana interior BR , tomando como diámetro AR se traza la semicircunferencia que intersecta a BR en "O". Calcule la m )  BCA, si "O" es el circuncentro del triángulo ABC. 09. En un triángulo ABC de circuncentro "K" y excentro relativo a BC "E". Calcule la m )  BKC, siendo la m )  BEC = 60°.
  • 87. TRILCE 9 7 14. En un triángulo ABC de incentro "I" y excentro "E" relativo al lado BC , la diferencia entre el exradio relativo a BC y el inradio es dos veces la distancia del vértice C a EI , y además la m )  ABC = 30°. Calcule la m )  ACB. 15. En el gráfico, calcule "xº", si : M y N son puntos medios de CH y AH respectivamente. 60º R M x A C N H B 16. Calcule "xº", si : I, 1 I , 2 I son incentros de los triángulos ABC, AHB y BHC respectivamente. B A C I I1 I2 x H 10. Se tiene un triángulo ABC de ortocentro "O" y circuncentro "K", m )  ABC = 60° en el cual se traza la altura BH . Calcule la m )  KOH, si : m )  AOH = 40°. Practiquemos : 11. En el gráfico, calcule x°, si "E" es el excentro del triángulo ABC. A B E C 40º 25º xº 12. En un triángulo acutángulo ABC, se cumple que : m )  AHC = 2m )  AKC, donde "H" es el ortocentro y "K" el es circuncentro del triángulo ABC. Calcule la m )  B. 13. En un triángulo acutángulo ABC, se ubica el ortocentro "H" y se traza el cuadrado BHGL, G pertenece a BC . Calcule la m )  HGA, si: m )  ABC = 54°.
  • 88. 9 8 Geometría 17. En el gráfico : BO // PQ , "H" y "O" son ortocentro y circuncentro del triángulo ABC, respectivamente. Calcule "xº". B A C H x Q O P º 18. En el gráfico, "G" es el baricentro de la región triangular ABC, calcule BP , si : AG = 12 u y PC = 16 u. ("G" es punto de tangencia). B A P G T C H 19. Se considera el triángulo ABC de ortocentro H. Calcule " º  ". H  B A C  2 20. En el gráfico, "O" es el circuncentro del triángulo ABC. Calcule "xº". xº B A C O
  • 89. TRILCE 9 9 Problemas propuestos 21. En el gráfico mostrado, "I" es incentro del triángulo ABC, AM = AN y AI = 3u. Calcule : PQ.   4 B Q M P A N C I a) 3 3 u b) 8 u c) 6 u d) 2 6 u e) 2 3 u 22. Se tiene un triángulo rectángulo ABC, recto en B, de incentro I, se traza AC IH  . Calcule HC si su exradio relativo a BC mide 4 m. a) 3 m b) 4 m c) 2 4 m d) 2 m e) 3 4 m 23. En la prolongación de lado AB de un cuadrilátero ABCD se marca el punto E, tal que : m )  EBC = 48°, m )  CBD = 78°, m )  BDC = 30°, m )  ADB = 54°. Calcule la m )  BAC. a) 9° b) 18° c) 36° d) 30° e) 54° 24. Se tiene un triángulo isósceles ABC de base AC , ortocentro "H" y circuncentro "O". m )  OAH = m )  OBC. Calcule la m )  ABO. . a) 15° b) 18° c) 18°30' d) 22°30' e) 26°30' 25. Se tiene un triángulo acutángulo ABC, de ortocentro "H" y circuncentro "O". Calcule la m )  HBO, si : m )  BAC - m )  ACB = 40°. a) 20° b) 30° c) 40° d) 50° e) 60° 26. En el gráfico : "H" es el ortocentro del triángulo ABC, "O" es el circuncentro y 5 6 OB HB  . Calcule la suma de las medidas de los ángulos HCO y OBC. B A C O H a) 30° b) 37° c) 45° d) 53° e) 60° 27. En un triángulo ABC acutángulo de ortocentro "O", la recta de Euler corta en el punto "F" al lado AC. Calcule la m )  FDC. Si AF = 2FC = 2OB. ("D" es circuncentro del triángulo ABC). a) 53°/2 b) 37°/2 c) 45° d) 30° e) 60° 28. En un triángulo ABC, se ubican los puntos interiores "H" (ortocentro) y "O" (circuncentro), m )  ABC = 60°. Calcule la medida del ángulo que forman las rectas BC y HO. a) 30° b) 45° c) 60° d) 90° e) 40° 29. En un triángulo acutángulo ABC de ortocentro "H", la recta de Euler interseca a los lados AB y BC en los puntos P y Q respectivamente, tal que : PB = BQ. Calcule la distancia de P a BC . Si : AH + HC = 18 u. a) 9 u b) 10 u c) 6 u d) 4,5 u e) 3 u 30. En un triángulo ABC, se tiene que : BH = BO, m )  ABH = 2m )  HBO. Calcule la m )  HAO, , siendo "H" el ortocentro y "O" su circuncentro. a) 9° b) 5° c) 10° d) 8° e) 6° 31. Para determinar en un plano la posición de un punto equidistante de 3 puntos A, B y C (que no pertenecen a una línea recta), se busca la intersección de : a) Las bisectrices de los ángulos ABC y BCA. b) Las mediatrices de AB y AC . c) La bisectriz de ABC y la mediatriz de AC . d) La mediatriz de AB y la bisectriz del ángulo ABC. e) La altura y la mediatriz de AB y BC .
  • 90. 100 Geometría 32. Sea un triángulo ABC inscrito en una circunferencia y sean los puntos C', B' y A' los puntos medios de los arcos AB, BC y CA respectivamente. ¿Qué punto notable es el incentro del triángulo ABC para el A'B'C'? a) Ortocentro. b) Incentro. c) Circuncentro. d) Baricentro. e) Excentro. 33. En un cuadrado ABCD en los lados BC y CD se ubican los puntos medios M y N, tal que } P { BN AM   . ¿Qué punto notable es el centro del cuadrado respecto al triángulo NPA? a) Ortocentro. b) Ex-centro. c) Baricentro. d) Incentro. e) Circuncentro. 34. Las prolongaciones de las alturas en un triángulo acutángulo ABC intersectan a la circunferencia circunscrita en los puntos M, N y P . ¿Qué punto notable es el ortocentro del triángulo ABC respecto al triángulo MNP? a) Ortocentro. b) Excentro. c) Baricentro. d) Incentro. e) Circuncentro. 35. En el gráfico, AP = PQ = QC. ¿Qué punto notable es "K" respecto del triángulo ABC? 60º B P Q K A C a) Incentro. b) Circuncentro. c) Ortocentro. d) Baricentro. e) Excentro. 36. En el gráfico mostrado, ¿qué punto notable es "O", para el triángulo ABC? (A, B, puntos de tangencia). O' O A B C a) Incentro. b) Baricentro. c) Ortocentro. d) Circuncentro. e) Excentro. 37. En el gráfico : P , Q y T puntos de tangencia, ¿Qué punto notable es "D" para el triángulo OBA? O Q B D T P A C a) Ortocentro. b) Baricentro. c) Incentro. d) Circuncentro. e) Jerabek. 38. Sobre los lados BC y AD de un rectángulo ABCD se toman los puntos M y P respectivamente, tal que : PMCD es un cuadrado de centro O, si : } Q { } MP AO {   , AB = BQ. Calcule la m )  OAD. a) 15° b) 26°30' c) 22°30' d) 18°30' e) 30° 39. ¿Qué punto notable es el vértice de un ángulo obtuso de un triángulo obtusángulo para su respectivo triángulo pedal? a) Baricentro. b) Circuncentro. c) Incentro. d) Ortocentro. e) Punto de Gergonne. 40. En un triángulo ABC interiormente se ubica el punto "P" y sobre los lados AC y BC los puntos R y Q respectivamente, tal que los triángulos APR y BPQ son equiláteros, además m )  RPQ = 90°. Decir qué punto notable es "P" del triángulo ABC. a) Ortocentro. b) Incentro. c) Baricentro. d) Circuncentro. e) Cualquier punto. 41. En un triángulo isósceles ABC, la : m )  B = 120°. Calcule la m )  IEK, siendo : I : incentro y E : excentro relativo al lado BC y K = circuncentro. a) 15º b) 20º c) 30º d) 25º e) 35º 42. En un triángulo ABC, se sabe que : m )  A = m )  C = 30° y AC = 6 9 dm. Calcule la distancia del circuncentro al excentro del triángulo relativo a BC . a) 9 dm b) 12 dm c) 18 dm d) 21 dm e) 27 m
  • 91. TRILCE 101 43. En un triángulo acutángulo ABC por A y C se trazan perpendiculares a AC que intersecta a la recta de Euler en M y N respectivamente. Calcule la longitud del circunradio. Si : AM = 2 u, CN = 4 u y BH = BO; donde "H" es el ortocentro y "O" es el circuncentro del triángulo ABC. a) 2 u b) 3 u c) 4 u d) 5 u e) 6 u 44. Los lados AB , BC y AC de un triángulo ABC miden 7 cm; 8 cm y 10 cm respectivamente. Por el incentro, se trazan paralelas a los lados. Calcule la suma de los perímetros de 2 triángulos entre el tercero formado por dichas paralelas que tienen en común el incentro. a) 17 cm b) 2 cm c) 5/3 cm d) 17/7 cm e) 3/2 cm 45. En un triángulo acutángulo ABC por A y C se trazan las perpendiculares a AC que intersecta a la recta de Euler en M y N respectivamente. Calcule BO. Si : AM = a, CN = b y BH = BO, donde : "H" es el ortocentro y "O" es el circuncentro del triángulo ABC. a) 2 b a  b) 3 b a  c) 2 b a  d) a + b e) 2(a+b) 46. Se tiene un triángulo ABC : BC = 48 u y la distancia del incentro al excentro relativo a BC es 50u. Calcule la m )  BAC. a) 16° b) 32° c) 64° d) 74° e) 106° 47. En un triángulo ABC, de excentro "E" relativo a AB . Calcule la medida del ángulo formado por las bisectrices de los ángulos EAB y ECB. Si : m )  ABC = 36°. a) 9° b) 18° c) 27° d) 36° e) 5° 48. En un triángulo actuángulo ABC : m )  A =  . Calcule una de las medidas de los ángulos internos de su triángulo pedal. a)     90 b)     2 90 c)     180 d)     2 180 e) 2 90     49. En el gráfico, calcule x°, siendo "I" el incentro del triángulo ABC y además : mPQ + m RS = 60°. xº B A C I P R Q S a) 60° b) 40° c) 100° d) 90° e) 80° 50. Del gráfico AB es tangente, tal que : AC y DC son diámetros. Calcule "xº".  xº  B A C D a) 30° b) 60° c) 15° d) 37° e) 45° 51. Del gráfico, calcule : x°. 20º 20º 10º 20º xº a) 10° b) 15° c) 20° d) 5° e) 30° 52. Del gráfico, calcule "x°", siendo : H : ortocentro, K : circuncentro y        36 .   B A C H K x a) 18° b) 24° c) 5° d) 72° e) 36°
  • 92. 102 Geometría 53. En un triángulo isósceles ABC : la m )  ABC = 120° y AC = 2 3 u. Calcule la distancia del circuncentro al excentro relativo a BC . a) 2 u b) 3 u c) 2 2 u d) 2 3 u e) 2 5 , 1 u 54. En un triángulo ABC, la m )  BAC = 24°, m )  BCA = 30°; se traza la ceviana BF , tal que AB = FC. Calcule la m )  FBC. a) 60° b) 75° c) 72° d) 84° e) 96° 55. En un triángulo acutángulo ABC, el ortocentro es "H" y el circuncentro es "O". Si la distancia de "O" a AC es 4 cm y AC // HO . Calcule la longitud de la altura relativa a AC del triángulo ABC. a) 10 cm b) 8 cm c) 6 cm d) 14 cm e) 12 cm 56. En el gráfico, calcule "xº", si :   = 80° y M, N y P son puntos de tangencia. º x B M N A C P I º a) 10° b) 20° c) 30° d) 40° e) 50° 57. En el gráfico, "I" es incentro. Calcule IP , si : AC = 3 10 u y m )  ABC = 60°. I O B A C P a) 5 u b) 10 u c) 20 u d) 15 u e) 3 10 u 58. Se tiene una región triangular ABC de baricentro G, con centro en A y radio AG se traza un arco que interseca a AB y AC en M y N, respectivamente, de tal forma que G CM BN   . Calcule BC, si el radio del arco es 4u. a) 8 u b) 7 4 u c) 7 2 u d) 5 6 u e) 10 u 59. Se tiene el triángulo ABC inscrito en una circunferencia, sobre el arco BC se toma el punto P , tal que : BP = 4 2 u. Calcule la distancia entre los ortocentros de los triángulos ABC y APC. a) 2 u b) 4 u c) 6 u d) 2 2 u e) 4 2 u 60. Si la circunferencia inscrita del triángulo ABC es tangente a los lados BC, CA y AB en P , Q y R, respectivamente, las líneas AP , BQ, CR, son concurrente. El punto de concurrencia es llamado. a) Incentro. b) Ortocentro. c) Baricentro. d) Circuncentro. e) Punto de Georgonne.
  • 94. TRILCE 105 Capítulo PROPORCIONALIDAD Y SEMEJANZA 9 TEOREMA DE THALES Si tres o más rectas paralelas, son intersecadas por dos rectas secantes a las paralelas; entonces, se determinan entre las rectas paralelas, segmentos proporcionales. d c b a  a b c d L1 L2 L3 m n Si : L1 L2 L3 // // * * m y n secantes Propiedad : B A C x z y w L M N Si : // AC L w z y x  Teorema de Thales en un triángulo. Propiedad de la Bisectriz En un triángulo, los lados que forman el vértice de donde se traza la bisectriz son proporcionales a los segmentos determinados por dicha bisectriz en el lado opuesto o su prolongación. B A C   D a m n * Bisectriz Interior * Bisectriz Exterior n m a c  C a B A   E n m n m a c 
  • 95. 106 Geometría TEOREMA DEL INCENTRO El incentro determina en cada bisectriz dos segmentos que son proporcionales a la suma de los lados que forman el vértice de donde parte la bisectriz y al tecer lado. B A C   D a     b I "I" incentro b a c ID BI   TEOREMA DE MENELAO Si se traza una recta transversal a los lados de un triángulo, se determinan sobre dichos lados 6 segmentos, donde el producto de 3 de ellos no consecutivos es igual al producto de los otros 3 restantes. E D A C F B x m n y q z L L secante m.n.q = x.y.z TEOREMA DE CEVA Si en un triángulo se trazan 3 cevianas interiores concurrentes, se determinan sobre los lados 6 segmentos, donde el producto de 3 de ellos no consecutivos es igual al producto de los otros 3 restantes. E D A C F B x m n y z m.n.q = x.y.z O q * AD , BE y CF cevianas * "O" cevacentro SEMEJANZA Definción : Dos figuras son semejantes se tienen la misma forma, y tamaños distintos. Ejm. : 4u 3u l l l l * * 2 l 2 l 2
  • 96. TRILCE 107 SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS Dos triángulos son semejantes si tienen sus ángulos respectivamente congruentes y sus lados homólogos respectivamente proporcionales. Lados Homólogos : Se denomina así a aquellos lados que se oponen a ángulos congruentes en triángulos semejantes Primer Caso : Dos triángulos serán semejantes si tienen 2 ángulos internos respectivamente de igual medida.     Segundo Caso : Dos triángulos serán semejantes si tienen dos lados respectivamente proporcionales y el ángulo comprendido entre dichos lados congruentes.  a b  ak bk Tercer Caso : Dos triángulos serán semejantes, si sus tres lados son respectivamente proporcionales. a b ak bk c ck Observaciones : En dos triángulos semejantes, sus lados homólogos, así como sus elementos homólogos : (alturas, bisectrices, medianas, inradios, circunradios, etc.), son respectivamente proporcionales. h B A C    b c a r H E D F    e f d r1 Se cumple : k ...... H h r r f c e b d a 1      
  • 97. 108 Geometría 01. "O" es centro de la semicircunferencia. CP = 8 u; DP = 2 u; AB = 8u. Calcule PB. A D B C O P 02. Calcule el lado del cuadrado, mostrado en la figura, en función de la base "b" del triángulo sobre el cual descansa y de la altura "h" relativa a dicha base. h b 03. Según el gráfico : OD // BC y OD = 2AB. Calcule BC. Si : AD = 4u. O D A C B 04. En el gráfico, BC = 15 u. Calcule DC, si : G es baricentro del triángulo ABC y L es paralela a AB . A B C D G L 05. Del gráfico, calcule MQ, si : BC = 25 u y TC = 4AT. M y T : puntos de tangencia. A B C T M Q 06. En el gráfico, calcule el radio de la cicunferencia mayor donde : OC = 5 m, BC = 4 m. O A B C Test de aprendizaje preliminar
  • 98. TRILCE 109 07. En el gráfico, se tiene un rectángulo ABCD en el cual : AD = 2CD, y donde : m )  OMA = m )  BPO. Si : MN y PQ se intersectan en O, de modo que : PO = 2 cm, QO = 4 cm y MO = 5 cm. Calcule NO. B C D A M P N O Q 08. Calcule la medida de la hipotenusa del triángulo ABC. Si : 20 y x 2 2   u2 ; 8  l u. l l x y A B C 09. RS = 10 u, ES = 5 u, VE = 3 u. Calcule ST.     R S T V E 10. P , Q y T son puntos de tangencia, a y b son los radios de las semicircunferencias. Determinar la distancia de T a la recta PQ . O O' a b P Q T Practiquemos : 11. En un triángulo ABC, se ubica el incentro "I" sobre la bisectriz BM , de tal manera que : 3IB = 2BM. Calcule AC, si : AB + BC = 24 u. 12. En un triángulo ABC, se trazan las cevianas interiores AM , BN y CL concurrentes en P , de tal manera que: 5AL = 2AB y 9BM = 5BC. Calcule : ) PN PB ( . 13. En un triángulo ABC, se traza la bisectriz interior BF , luego por F se traza AB // FQ (Q en BC ), la bisectriz del ángulo FQC intersecta a AC en R. Si : FR = a y RC = b. Calcule AF.
  • 99. 110 Geometría 14. Del punto medio P del cateto AB de un triángulo ABC, recto en B, se traza la perpendicular PH a la hipotenusa AC . De tal manera que : AH = 6 u y HC = 9 u. Calcule PB. 15. Calcule la longitud de la altura de un trapecio rectángulo, cuyas diagonales son perpendiculares entre sí y las bases miden 6 y 12 unidades. 16. Los lados AB y AC de un triángulo ABC miden 8 m y 10 m. Si la distancia del incentro al excentro relativo a BC es "x" y la distancia del incentro al vértice A es 5 m. Calcule "xº". 17. En un triángulo rectángulo ABC, recto en B, se inscribe un cuadrado PLMN, de modo que el lado PN descansa sobre la hipotenusa AC . Calcule AC, si : LM = 12 u y AP - NC = 10 u. 18. Se tiene un triángulo ABC, sobre los lados AB y BC se construyen exteriormente los cuadrados ABPQ y BCMN. Calcule la medida del menor ángulo que determinan AN y MQ . 19. En un triángulo ABC, se trazan las alturas AM y CN , de modo que : AB = 5 u, NB = 3 u y BC = 6 u. Calcule BM. 20. Se tiene un triángulo ABC, AB = c, BC = a y AC = b; donde la medida del ángulo "A" es dos veces la medida del ángulo "B". Si : b = 4 y c = 5. Calcule : b a . Problemas propuestos 21. En un triángulo ABC, se trazan las alturas BH y CN ; de tal manera que : AN = 12 u, BN = 4 u y AH = 9 u. Calcule HC. a) 15 u b) 13, 8  u c) 14 u d) 13,2 u e) 12, 3  u 22. Las longitudes de los lados de un triángulo son 4, 7 y 10 cm. Si otro triángulo semejante al primero, tiene un perímetro de 147 cm. Calcule la longitud de su lado menor. a) 28 cm b) 24 cm c) 32 cm d) 20 cm e) 48 cm 23. Los lados de un triángulo ABC miden : BC = 6 u, CA = 8 u, AB = 4u, respectivamente. Por un punto M de AB se traza la paralela MN al lado BC . Calcule la longitud de AM, de modo que el perímetro del triángulo MAN sea igual al perímetro del trapecio BMNC. a) 3,5 u b) 2,0 u c) 1,5 u d) 2,5 u e) 3,0 u 24. En un rombo ABCD, de 12 m de lado, se toma el punto medio M de BC . AM corta a BD en G y DM a AC en H. Calcule GH. a) 4 m b) 6 m c) 2 2 m d) 2 3 m e) m
  • 100. TRILCE 111 25. En un triángulo rectángulo, la bisectriz del ángulo recto divide a la hipotenusa en dos segmentos cuyas longitudes son 3 y 1, respectivamente. El menor de sus ángulos mide : a) 30º b) 45º c) 18º d) 60º e) 15º 26. En un triángulo ABC, se cumple que : m )  BAC = 2m )  BCA; AB = 6 u y AC = 8 u. Calcule BC . a) 21 3 u b) 21 u c) 21 2 u d) 14 2 u e) 14 3 u 27. En la figura mostrada, el punto "O" es el ortocentro del triángulo ABC; BN = 2u, MB = 3u. Calcule OC. AB + BC = 10u. C A B O N M a) 8 3 3 u b) 3 3 8 u c) 3 3 8 u d) 3 2 27 u e) 2 3 3 u 28. Si los radios de dos circunferencias miden 3 y 1 m. La mínima distancia entre los centros es 10 m, entonces la distancia entre el punto de intersección de las tangentes interiores y el punto de intersección de las tangentes exteriores comunes a las dos circunferencias es : a) 14 m b) 7,5 m c) 7 m d) 1,2 m e) 6,5 m 29. Por el baricentro G, de un triángulo ABC se traza una recta que corta a AB en E y a BC en F. Calcule FC. Si : AE = a, EB = b y BF = c. a) a ) c a ( b  b) a ) b a ( c  c) b ) a b ( c  d) b ) a b ( c  e) b ) a b (  30. En la figura, ABCD es un cuadrado y ED = 2 3 u. Calcule NC. B C A D E M N 45º a) 2 u b) 2 u c) 2 2 u d) 3 u e) 2 3 u 31. En un triángulo rectángulo AB recto en B, se trazan las bisectrices interiores AM y CN , de tal manera que : 5 CM 1 AN 1   . Calcule la longitud del radio de la circunferencia inscria en el triángulo ABC. a) 5 u b) 1 u c) 2 u d) 3 u e) 5 1 u 32. En la figura, A y B son puntos de tangencia. Si : MN . PQ = 2 4 2 u . Calcule : AM . BP . . N M Q P A B a) 2 u 2 4 b) 2 u 8 c) 2 u 4 d) 2 u 2 8 e) 2 u 2 6 33. En la figura mostrada, calcule la relación de los perímetros de los triángulos BAM y BCM respectivamente. B A M C a) 1 b) 2 c) 1/2 d) 1/3 e) 3/4
  • 101. 112 Geometría 34. En un triángulo ABC, AB = 3u, BC = 12u. Calcule la longitud de la bisectriz interior BM, si : m )  B = 120°. a) 2 u b) 2,4 u c) 4 u d) 5 u e) 6 u 35. Se tiene un triángulo rectángulo ABC recto en B. Si en AB se ubican los puntos P y Q, tal que : m )  ACP = m )  PCQ = m )  QCB; AP = a y PQ = b. Calcule QB. a) b 2 ) b a ( a  b) b ) b a ( a 2  c) ) b a ( a b  d) ) b a 2 ( a b  e) a 2 ) b a ( b  36. En el gráfico : EF = 3u, FG = 2u. Calcule GH, si : "T" es punto de tangencia. T H E F G a) 1 u b) 2 u c) 3 u d) 4 u e) 2,5 u 37. Se tiene un triángulo ABC acutángulo con AC = 12 m. En su interior, desde un punto "F", se trazan las perpendiculares FD y FE a los lados AB y BC respectivamente. Si : DE = 4 y BF = 6. Calcule el circunradio del triángulo ABC. a) 10 m b) 9 m c) 12 m d) 15 m e) 20 m 38. Sea ABC un triángulo, donde : AB + BC = 18 dm y el segmento que une el incentro con el baricentro es paralelo al lado AC . Calcule AC. a) 6 dm b) 8 dm c) 9 dm d) 12 dm e) 16 dm 39. En un triángulo ABC, se trazan 3 cevianas concurrentes AM , BN y CP ; la prolongación de PM intersecta a la prolongación de AC en Q. Si : AN = a y NC = b. Calcule CQ. a) b a ) b a ( a   b) b a ) b a ( b   c) b 2 a ) b a ( b   d) b a 2 ) b a ( a   e) 2 ) b a ( b  40. En la figura : P , Q, T son puntos de tangencia. Si : RS = a. Calcule AC. B S R P Q A C T a) a b) 2a c) 2 a d) a 3 e) 0,75 . a 41. Del gráfico, calcule "xº", en función de "  º". º xº a a 2a a)  º b) 2  º c) 3  º d) 90º -  º e) 90º - 2  º 42. Si : P , T y R son puntos de tangencia en la figura. Calcule "xº". xº 40º B T P A R C a) 20° b) 30° c) 40° d) 50° e) 60°
  • 102. TRILCE 113 43. En un paralelogramo, en la prolongación de AB se ubica el punto E, ED interseca a BC y a AC en M y N respectivamente. Calcule ED, si : MN = 9 u y ND = 15 u. a) 20 u c) 16 u d) 40 u d) 25 u e) 31 u 44. En la figura mostrada, el triángulo ABC es isósceles, "O" es el centro de la semicircunferencia MN es tangente a la circunferencia. Si : AM = a y NC = b. Calcule AC. B C A O M N a) ab b) ab 2 c) 2 2 b a  d) b a ab 2  e) b a ab 3  45. En un triángulo ABC, se traza la bisectriz AE que interseca al lado BC en "D". Luego, desde los vértices B, C se trazan las perpendiculares BH , CE a dicha bisectriz. Si: HD = 1 u y DE = 2u. Calcule AH. a) 5 u b) 4 u c) 3 u d) 2 u e) 1 u 46. En un triángulo ABC, se ubican los puntos D, E y F en AB , BC y EC respectivamente, tal que : DE = EF, DF AE  ; AB ED  , por B se traza una recta que intersecta perpendicularmente a la prolongación de AE en H y a la prolongación de AC en G. Si : 2 EH  u y AB = BC = 10 2 u. Calcule BE. a) 7 u b) 2 2 u c) 3 u d) 10 u e) 4 u 47. En un paralelogramo ABCD, por el vértice A se traza la recta secante a la diagonal BD en M, al lado BC en N y a la prolongación de DC en Q. Si : AM = a y MN = b, calcule NQ. a) b b a 2 2  b) a b a 2 2  c) b b a 2 2  d) a b a 2 2  e) b a b 2 2  48. En un triángulo ABC; se traza la mediana AM y sobre ella se ubica el punto P, del cual se trazan las perpendiculares PQ y PR a AB y AC respectivamente. Calcule PR, si : PQ = 3u, AB = 9 u y AC = 12 u. a) 9 u b) 9/2 u c) 9/4 u d) 9/5 u e) 3 u 49. Dado un cuadrilatéro ABCD inscriptible, se prolongan los lados DC y AB , (se cortan en E) y AD y BC (se cortan en F). Las bisectrices, los ángulos DFC y BEC se cortan en "O" y M y N son los puntos medios de AC y BD respectivamente. Calcule la m )  MON. a) 165° b) 160° c) 135° d) 150° e) 180° 50. En un triángulo ABC, se trazan las cevianas BD y BF , tal que : m )  ABD = m )  DBF = 3 FBC ) m  . Si : AD = 3 u, DF = 2 u y FC = 10 u. Calcule la m )  DBF. . a) 45º b) 15º c) 22º d) 45º/2 e) 37º/2 51. En un trapecio rectángulo ABCD, se tiene que : m )  A = 60°, m )  C = m )  D = 90° y BC = CD. En AC se ubica el punto F y se traza AD FM  y AB FN  . Calcule : FN, si : FM = 4u. a) 2 u b) 3 2 u c) 4 u d) 3 4 u e) 8 u 52. En la figura mostrada, calcule MN, si : M, N y P son puntos de tangencia. BH = 2 u y AC = 18 u. M B N A C H P a) 4 u b) 5 u c) 6 u d) 8 u e) 9 u
  • 103. 114 Geometría 53. La circunferencia inscrita del triángulo ABC es tangente al lado AC en "Q", una recta secante al triángulo es tangente a la circunferencia en P , e interseca a los lados AB y BC en M y N respectivamente. } F { ) PQ MC (   , MP = 4 u, QC = 8 u y FC = 10 u. Calcule MF. a) 3 u b) 4 u c) 5 u d) 6 u e) 8 u 54. En un triángulo ABC (recto en B); la m )  BAC = 53°, sea P un punto de la región interior de dicho triángulo, tal que : PA = 15 u, PB = 12u y PC = 20 u. Calcule AC. a) 11 u b) 5 5 4 u c) 5 3 6 25  u d) 5 3 6 25  u e) 3 12 25 5  u 55. En el gráfico : AB = 7u, BC = 9 u y AC = 8 u. Calcule : ET EI . B I T A C E N a) 3/5 b) 3/4 c) 2/5 d) 2/3 e) 5/6 56. De la figura, calcule : PQ . RM, si : ST . LK = 27 u2 . P S R Q T K M L a) 25 u2 b) 25/2 u2 c) 27 u2 d) 27/2 u2 e) 9 u2 57. En un trapecio ABCD AD // BC ( y ) AD BC  , por B se traza una paralela a CD , que intersecta a AC en M y por C se traza una paralela a AB que interseca a BD en N. Calcule la longitud del segmento MN , sabiendo que: BC = 3u, AM = 6u y CM = 4 u. a) 1,40 u b) 1,50 u c) 1,20 u d) 1,25 u e) 1,35 u 58. Si "I" es el incentro del triángulo ABC, y : 3(AH) = 4(RQ) = 6(CT) = 6(TR) = 12 u. Calcule HC. A B J N M I H C T R Q a) 1 u b) 2 u c) 3 u d) 4 u e) 4/7 u 59. En el gráfico mostrado : AE = 4 dm, EF = 2 dm, AM = 5 dm y NC = 12 dm. Calcule la diferencia entre FB y MN. B A C F E H M N a) 1 dm b) 2 dm c) 2,5 dm d) 3 dm e) 4 dm 60. En el gráfico, "I" es el incentro del triángulo ABC y BM es una mediana. Si : 3 2 IB ID  , EB = 6 dm y FM = 4 dm. Calcular EF. B A C I E F D M a) 1 dm b) 1,5 dm c) 2 dm d) 2,5 dm e) 3 dm
  • 105. TRILCE 117 * PROYECCIONES ORTOGONALES SOBRE UNA RECTA A' A' B' B' A' B' A A B B B L Proy. de A sobre A' A'B' proyección de AB sobre L L A ** m n c a h B A C b m : proyección de AB sobre AC n : proyección de BC sobre AC AHB   BHC ABC H I. Un cateto es media proporcional entre la hipotenusa y su proyección sobre dicha hipotenusa. m . b c c m b c 2    n . b a a n b a 2    II. La altura relativa a la hipotenusa es media proporcional entre las proyecciones de los catetos sobre dicha hipotenusa. n . m h h n m h 2    III. La suma de los cuadrados de los catetos es igual al cuadrado de la hipotenusa. 2 2 2 b a c   IV. El producto de los catetos es igual al producto de la hipotenusa con la altura relativa a la hipotenusa. c . a = b . h Capítulo RELACIONES MÉTRICAS EN UN TRIÁNGULO RECTÁNGULO 10
  • 106. 118 Geometría V. La suma de los cuadrados de las inversas de los catetos es igual al cuadrado de la inversa de la altura relativa a la hipotenusa. 2 2 2 h 1 a 1 c 1   PROPIEDADES 1. A B R r r . R 2 AB  2. B A C r x R H "r", "R" y "x" inradios de los triángulos AHB, BHC y ABC respectivamente. 2 2 2 R r x  
  • 107. TRILCE 119 01. Calcule "h". 15 20 h 02. En el gráfico, B es punto de tangencia. AF = 6 dm y AC = 18 cm. Calcule "r". A B C F r 03. La altura de un triángulo rectángulo determina, en la hipotenusa, segmentos de 18u y 32u. Calcule los catetos. 04. Los radios de los semicírculos miden 2,5 dm y 2 dm. Calcule BH. (T : punto de tangencia). A B C H T 05. Calcule "r", si : MT = 9 cm: TN = 2 cm. m )  AOB = 90°. ("T" es punto de tangencia). O r A B N M T 06. Calcule PD, si : BQ = 4,5 cm y QC = 8 cm. B Q C P A D Test de aprendizaje preliminar
  • 108. 120 Geometría 07. P y T son puntos de tangencia. r = 5 u y AT = 9 u. Calcule "x". x r P B A T 08. En un triángulo obtusángulo ABC obtuso en "B", por el punto medio "M" de AC se traza MP perpendicular a BC . Calcule MP , si: AB = 6 u; BP = 3 u y PC = 7 u. 09. En el gráfico : AB = 6 cm y BC = 8 cm. Calcule la distancia de "O" a AC . A B O C 10. Calcule "AN", si : MN = MP . H N M A P b a Practiquemos : 12. Los lados de un triangulo miden 8, 15 y 16 cm. ¿Cuánto se debe quitar a cada lado para que resulte un triángulo rectángulo? 13. La suma de los cuadrados de los lados de un triángulo rectángulo es 200 2 cm . Calcule la longitud de la hipotenusa. 14. Calcule la longitud de la altura relativa a la hipotenusa, si los catetos del triángulo rectángulo miden 6 y 8 cm.
  • 109. TRILCE 121 15. En un triángulo rectángulo, los catetos miden 24 u y 18 u. Calcule la longitud de la altura de dicho triángulo. 16. Calcule BD, si : AD = 8 cm y DC = 10 cm.  B A C D E  17. Calcule la longitud del inradio de un triángulo isósceles; si su perímetro es igual a 98 cm y su base es igual a 40 cm. 18. En la figura, ABCD es un cuadrado de lado que mide 16, siendo "M" punto medio de AD . Calcule la longitud del radio de la circunferencia. B C A D M 19. Los lados de un triángulo miden 4 u, 5 u y 6 u. ¿Cuánto hay que disminuir a cada lado para que el nuevo triángulo sea triángulo rectángulo? 20. El radio de la circunferencia inscrita en un trapecio isósceles de bases "a" y "b" es : Problemas propuestos 21. En un triángulo PQR (m )  Q = 90°), los catetos PQ y QR miden 30 m y 20 m respectivamente. Calcule la distancia del vértice Q a la mediana RM. a) 8 m b) 9 m c) 10 m d) 11 m e) 12 m 22. En una circunferencia de 5 m de radio, se traza una cuerda AB y sobre ésta se ubica un punto M, de modo que : AM = 3m y MB = 5 m. Calcule a qué distancia está M del centro. a) 10 m b) 11 m c) 13 m d) 15 m e) 3 m 23. Calcule "x", si : R = 16 u y r = 4 u. r x R a) 16/9 u b) 15/8 u c) 2 u d) 3/2 u e) 8/3 u
  • 110. 122 Geometría 24. El lado de un cuadrado ABCD, inscrito en una circunferencia, mide 4 u. "M" es un punto del arco AB, de modo que : MD = 5 u. Calcule MB. a) 6 u b) 5 u c) 2 2 u d) 7 u e) 3 u 25. Dado un rectángulo ABCD, AD = 30 cm y AB = 25 cm, calcule el radio de la circunferencia tangente a BC y que contiene a A y D. a) 16 cm b) 17 cm c) 18 cm d) 20 cm e) 21 cm 26. En un triángulo rectángulo de la figura, la suma de las longitudes BM y MA es igual a la suma de las longitudes BC y CA. Si : BM = x, BC = h y CA = d. Calcule "x". M A C B d h x a) d - h b) d h 2 hd  c) 2 d d) h d h 2 2   e) d 2 d h   27. Se tiene un cuadrado ABCD cuyo lado tiene una longitud igual a "L". Se traza una circunferencia que, pasando por los vértices B y C, es tangente al lado AD . Calcule la longitud del radio de la circunferencia. a) 4L/7 b) 5L/8 c) 3L/5 d) 2L/3 e) 8L/10 28. En un pentágono ABCDE, los lados AE y DE miden 16 u y 8 u respectivamente y : m )  A+m )  B+m )  C+m )  D = 480°. Calcule la distancia del vértice E a la diagonal AD . a) 3 4 u b) 8 u c) 10 u d) 12 u e) 3 3 u 29. Sea ABC un triángulo rectángulo cuyos catetos miden: AB = 40 u y AC = 30 u. Se traza la altura AD relativa a la hiptenusa. Calcule la diferencia entre los perímetros de los triángulos ABD y ACD. a) 24 u b) 30 u c) 48 u d) 20 u e) 26 u 30. Una circunferencia es tangente a dos lados adyacentes de un cuadrado y divide a cada uno de los otros lados en dos segmentos cuyas longitudes son 2 cm y 23 cm. Calcule la longitud del radio de la circunferencia. a) 15 cm b) 16 cm c) 17 cm d) 14 cm e) 19 cm 31. Las medianas de un triángulo rectángulo ABC trazadas a partir de los vértices de los ángulos agudos tienen longitudes de 5 m y 40 m. Calcule la longitud de la hipotenusa. a) 15,0 m b) 13,58 m c) 12,60 m d) 10,1 m e) 7,21 m 32. En un triángulo rectángulo ABC, recto en B, se traza la altura BH ; de tal manera que : AH = 5 u y HC = 7 u. Calcule las longitudes de los catetos. a) u 15 2 y u 13 2 b) u 21 2 y u 15 2 c) u 5 3 y u 7 3 d) u 7 2 y u 5 2 e) u 2 5 y u 2 7 32. En un triángulo rectángulo, las proyecciones de los dos catetos están en relación de 4 a 5. Calcule la relación de dichos catetos. a) 5 2 b) 5 2 c) 5 3 d) 5 e) 5 4 33. En un romboide ABCD, si : BC = 8 u, CD = 5 u y AC = 10 u. Calcule la proyección de BD sobre AC . a) 1,9 u b) 2,9 u c) 3,9 u d) 4,9 u e) 5,9 u 34. Sea ABC un triángulo rectángulo recto en B, cuyas medianas BM y CN son perpendiculares entre sí. Calcule el valor de AB , si : BC = 6. a) 2 3 dm b) 3 2 dm c) 2 6 dm d) 3 6 dm e) 8 dm
  • 111. TRILCE 123 35. En un trapecio ABCD, AD // BC , AB = 5 u, BC = 6 u, CD = 7 u y AD = 10 u. Calcule : 2 2 BD AC  . a) 192 u2 b) 193 u2 c) 194 u2 d) 195 u2 e) 196 u2 36. Calcule la longitud de la hipotenusa AB de un triángulo rectángulo ABC, sabiendo que : AD = 2 dm, CD = 7 dm. m )  DBC = m )  BAD y que D pertenece a AC . a) 4,5 dm b) 6,5 dm c) 3 4 dm d) 10 dm e) 12 dm 37. Calcule AD, si : CH = 2 dm y HA = 6 dm. B C H A D a) 3 2 dm b) 3 4 dm c) 3 8 dm d) 10 dm e) 12 dm 38. En el gráfico, AE = 80 u y FN = 18 u. Calcule AP . A B E P N F O a) 100 u b) 26 18 u c) 92 u d) 33 15 u e) 82 u 39. AB y CD son dos cuerdas paralelas que se encuentran en una circunferencia de radio "r"; de modo que, la distancia entre dichas cuerdas, es igual a 27 u . Calcule "r", si : AB = 48 u y CD = 30 u. a) 36 u b) 34 u c) 32 u d) 25 u e) 28 u 40. En el gráfico, calcule BC. Si : AB = 5 u, AD = 13 u, AQ = QD. (C : punto de tangencia). B C F D O Q A a) 2 4 u b) 2 5 u c) 2 6 u d) 2 7 u e) 2 8 u 41. Calcule "R" en el gráfico mostrado. (M : punto de tangencia). R 9 15 M a) 15 u b) 16 u c) 17 u d) 18 u e) 20 u 42. El segmento perpendicular a un diámetro desde un punto de la circunferencia mide 12 pulgadas. Si uno de los segmentos que se determina, en el diámetro, mide 4 pulgadas. Calcule la longitud del radio de la circunferencia. a) 5 pulg b) 20 pulg c) 10 pulg d) 15 pulg e) 25 pulg 43. Dado el cuadrado de lado que mide "a", ¿Cuál debe ser el valor de DE, para que el triángulo AEF sea equilátero? A B D E C F a) ) 3 2 ( a u b) ) 1 3 ( a  u c) ) 1 2 ( a  u d) a 3 1 u e) ) 3 2 ( a  u
  • 112. 124 Geometría 44. Se tiene un triángulo ABC donde la media del ángulo A es dos veces la media del ángulo B. Si : AC = 4 u y AB = 5 u. Calcule : AC BC . a) 3 2 b) 6 5 c) 5 6 d) 2 3 e) 2 6 45. Dos circunferencias de centros A y B se intersectan en los puntos C y D. La tangente a la circunferencia de centro A trazada por el punto C pasa por el punto B y la tangente trazada por el punto C a la circunferencia de centro B pasa por el punto A. Si los diámetros de las circunferencias tienen las longitudes de 5 6 cm y 5 12 cm. Calcule CD. a) 11 cm b) 12 cm c) 13 cm d) 14 cm e) 15 cm 46. En el gráfico : EM = 8 u, MC = 25 u y AB = 18 u. AD // EP . Calcule PD. B M C A D E P O a) 21 2 u b) 12 u c) 29 2 u d) 11 u b) 15 3 u 47. Calcule "x" en el gráfico : 48 cm 52 cm x a) 52 cm b) 48 cm c) 47 cm d) 46 cm e) 45 cm 48. En un triángulo rectángulo ABC, recto en B, se traza la altura BH ; de tal manera que: HA = 3 u y HC = AB. Calcule BC. a) 5 u b) ) 5 4 ( 6  u c) 6 u d) 3 +1u e) 5 2 3  u 49. Se tiene el trapecio rectángulo ABCD, m )  A = m )  B = 90°, AB = 60 u, BC = 62 u y AD = 73 u. Calcule CD. a) 61 u b) 63 u c) 65 u d) 68 u e) 75 u 50. Las diagonales AC y BD de un trapecio ABCD miden 5 u y 7u, respectivamente. Calcular la longitud de la mediana, si: BD AC  . a) 3 u b) 2 74 u c) 4 u d) 2 45 u e) 5 u 51. En el gráfico, calcule AT. (T punto de tangencia). T 3u C A B a) 6 2 u b) 7 21 12 u c) 9 2 u d) 3 17 5 u e) 6,5 2 u 52. Sea ABCD un cuadrado de 16 dm de lado. Con centros en A y D describa circunferencias congruentes y de radio AD . Luego, el radio de la circunferencia tangente exteriormente a éstas y al lado BC mide : a) 1 dm b) 2 dm c) 3 dm d) 4 dm e) 5 dm
  • 113. TRILCE 125 53. ABCD es un rectángulo. BH = 2 u, HC = 8 u. Calcule "x". H A D x B C º a) 30° b) 53°/2 c) 37°/2 d) 53° e) 36° 54. En el gráfico, calcule PT. (T, Q y R son puntos de tangencia). P T 3u 5u 7u Q R a) 8 u b) 2 6 u c) 9 u d) 65 u e) 10 u 55. Se tiene un trapecio isósceles, una de sus diagonales mide 79 2 unidades y el producto de las longitudes de sus bases es igual a 216 2 u . Calcule la longitud de uno de los lados no paralelos. a) 79 u b) 12 u c) 2 6 u d) 10 u e) 5 4 u 56. En el gráfico : AB = 8 u. Calcule PM. (AM = MD) A B C D P M a) 1 u b) 5 6 u c) 5 5 12 u d) 5 3 u e) 5 12 u 57. En el gráfico mostrado, ABCD es un cuadrado. Calcule AO, si : DT = 3 m. (P y T punto de tangencia). D C P T O A B a) 3 m b) 4 m c) 5 m d) 2 5 m e) 2 3 m 58. Calcule BD, si : OA = OB y el producto de radios es 32 2 m . O C D B A r R a) 6 m b) 4 m c) 9 m d) 8 m e) 7 m 59. En el gráfico, ABCD es un romboide, PB = 10 u y PC = 8u . Calcular la longitud de la diagonal BD. A B P C D a) 12 u b) 2 8 u c) 15 u d) 6 4 u e) 7 6 u 60. En el gráfico mostrado, calcule : 2 2 2 2 m b n a  a b n m a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5
  • 115. TRILCE 127 Capítulo RELACIONES MÉTRICAS EN CUALQUIER TRIÁNGULO 11 I. TEOREMA DE EUCLIDES Primer Caso ) 90 (     b a m c cm 2 c b a 2 2 2    Segundo Caso ) 90 (     b a c m cm 2 c b a 2 2 2    Observaciones : De aquí, se deduce la importante relación denominada "Ley de Cosenos", que es válida para todo triángulo.  b a c     Cos . cb 2 c b a 2 2 2 II. TEOREMA DE STEWART b c a x m n mna m . c n . b a . x 2 2 2    III. TEOREMA DE LA MEDIANA b c a ma 2 2 2 2 a c b 2 a m 2    IV. CÁLCULO DE LA BISECTRIZ * Interior a b   x m n n . m b . a x2  
  • 116. 128 Geometría * Exterior a b y t e   b . a e . t y2   V. CÁLCULO DE LA ALTURA (Teorema de Herón) b c a ha Semiperímetro : p 2 c b a p    ) c p )( b p )( a p ( p . a 2 ha     Observaciones * En todo triángulo a ma mb mc c a 4 3 c b a m m m 2 2 2 2 c 2 b 2 a      * En el rectángulo b a m n cualquier punto 2 2 2 2 n m b a    VI. TEOREMA DE LEONARD EULER * Válido para todo cuadrilátero. a b c d P Q B C A D PQ : segmento que une los puntos medios de las diagonales.
  • 117. TRILCE 129 01. Calcule HC. 12 B A C 16 H 20 u u u 02. Calcule HB. A C B H 20 15 10 u u u 03. Calcule AH, si : AB = 37 u, BC = 15 u y AC = 44 u. B A C H 04. Calcule HA, si : AB = 17 u, BC = 25 u y AC = 12 u. B H A C 05. Calcule la mediana BM. Si : AB = 8 u, BC = 12 u y AC = 6 u. B A C M 06. Si : BM = MC, calcule AM. B A C M 6 u 12 8 u u Test de aprendizaje preliminar
  • 118. 130 Geometría 07. Calcule BH. 13u B A C 15u H 14u 08. Calcule BM. B A C M 10u   8u 12u 09. Calcule BD, si : AB = 4 u, BC = 6 u y AC = 5 u. B A C D   10. Calcule BE, si : AB = 4 u, BC = 3 u y AC = 2 u. º B A C E º Practiquemos : 11. En el gráfico, calcule BM. B A C M 7u   5u 6u 12. En el gráfico, calcule BE. B A E C   7u 6u 5u
  • 119. TRILCE 131 13. En el gráfico, calcule BF, si : AB = 5 u, BC = 7 u, AF = 4 u y FC = 2 u. B A C F 14. Calcule el lado de un rombo, sabiendo que el punto medio de un lado, dista de los extremos del lado opuesto 9 cm y 13 cm. 15. En un triángulo ABC de lados : AB = 13 u, BC = 15 u y AC = 14 u, se traza la bisectriz interior del ángulo C. Calcule AH, siendo BH la perpendicular trazada a dicha bisectriz. 16. Calcule "x". 3 2 7 x 17. ¿Para qué valores enteros de "x", el triángulo mostrado es obtusángulo? x 3 4 18. Calcule el perímetro de un rombo ABCD, si : MC = 9u, MD = 13 u y M es punto medio de AB . 19. En un triángulo ABC. AB = c, BC = a y AC = b. bc 3 c b a 2 2 2    Calcule la m )  BAC. 20. Los lados AB , AC y BC miden 13 u, 14 u y 15 u respectivamente. Calcule la distancia del punto medio de BC al lado AC .
  • 120. 132 Geometría Problemas propuestos 21. En un triángulo de lados 9 u, 10 u y 13 u. Calcule el valor entero de una de las medianas. a) 8 u b) 9,0 u c) 12 u d) 10 u e) 7,0 u 22. Los lados AB , BC y AC de un triángulo miden 8 u, 10 u y 12 u respectivamente. Por "B" se traza una ceviana BE que divide al lado AC en dos segmentos, AE = 9 u y EC = 3 u. Calcule BE. a) 4 u b) 5 u c) 6 u d) 7 u e) 8 u 23. Los lados de un triángulo rectángulo miden AB = 36 m, AC = 48 cm y BC = 60 m, se traza la altura AH y la bisectriz BP que corta a la altura en "Q". Calcule AQ. a) 14 m b) 16 m c) 18 m d) 20 m e) 22 m 24. En el gráfico : 7 AO1  u y el radio de la circunferencia pequeña mide 3 u. Calcule el radio del cuadrante AOB. O A B M O1 a) 3 2 u b) 5 2 u c) 5 u d) 6 u e) 5 3 u 25. Calcule AB, si : AM = a y MC = b. (AB = BC). B A C M 45º a) 2 2 b a  b) ab 2 c) a - b d) 2 b a 2 2  e) ab b a 2 2   26. Calcule BM, si : BP // OM . AM = 4 u, MP = 5 u y MN = 3 u. A M P O B N a) 29 u b) 5,8 u c) 3 4 u d) 6 u e) 34 u 27. Calcule la longitud del segmento que une los puntos medios de las bases de un trapecio, sabiendo que los lados laterales miden 5 cm y 7 cm y las bases se diferencian en 6 cm. a) 5 2 cm b) 7 2 cm c) 5 3 cm d) 7 3 cm e) 11 2 cm 28. En un triángulo ABC, se trazan la bisectriz interior BD y la mediana BM, tal que : BD = DM. Calcule AC, si: AB . BC = 144 cm2 . a) 18 cm b) 20 cm c) 24 cm d) 28 cm e) 30 cm 29. Calcule la altura de un trapecio ABCD de bases BC = 5u y AD = 26 u y cuyos lados no paralelos miden 13 u y 20 u. a) 8 u b) 10 u c) 12 u d) 2 6 u e) 3 6 u 30. Se ubica un punto "P" de la circunferencia inscrita en un cuadrado ABCD de 4 cm de lado. Calcule : 2 2 2 2 PD PC PB PA    . a) 40 cm2 b) 36 cm2 c) 48 cm2 d) 60 cm2 e) 70 cm2 31. En el gráfico, calcule "r", si : R = 4 u, 2 r1  u. R r r1 a) 1 u b) 2/3 u c) 3/2 u d) 2 u e) 1/2 u 32. En un rectángulo ABCD, se ubica un punto exterior relativo al lado BC, "P", si : PA = 7 u, PB = 5 u, PD = 6 u. Calcule PC. a) 2 3 u b) 3 u c) 3 3 u d) 5 2 u e) 3 2 u
  • 121. TRILCE 133 33. En un triángulo ABC, exteriormente relativo a BC , se ubica "P", tal que : m )  APB = 90° y m )  BAP = m )  PAC, si : BC = 5 u. Calcule : AB - AC, siendo : 20 PC PB 2 2   u2 a) 7 u b) 15 u c) 10 u d) 30 u e) 2 u 34. En el gráfico, calcule EP . E P 8 O u a) 6 u b) 2 2 u c) 5 u d) 2 4 u e) 4 u 35. Se tiene el triángulo ABC : m )  A = 2m )  B, AB = 12 u y AC = 8 u. Calcule BC. a) 10 u b) 2 8 u c) 15 4 u d) 13 u e) 10 4 u 36. En el gráfico, calcule "r". r 5 3 u u a) 2 u b) 49 120 u c) 5 u d) 15 33 u e) 6 u 37. En un triángulo ABC, sobre BC se marcan M y N, tal que : BM = MN = NC. Si : AB = 7 u, AC = 8 u y BC = 9u. Calcule : 2 2 AN AM  . a) 77 u2 b) 66 u2 c) 44 u2 d) 88 u2 e) 55 u2 38. Sobre el lado BC de un rombo ABCD se ubica el punto medio M, de tal manera que : 40 ) MD ( ) AM ( 2 2   u2 . Calcule el perímetro de la región rombal. a) 40 u b) 32 u c) 28 u d) 20 u e) 16 u 39. En un triángulo ABC, se traza una paralela por B a AC . La bisectriz interior del ángulo A corta a dicha paralela en E. Calcule AE, si : AB = 5 u, BC = 4 2 u y AC = 7 u. a) 4 5 u b) 3 5 u c) 5 u d) 5 5 u e) 2 5 u 40. Si se sabe que las longitudes de los lados de un triángulo ABC, satisfacen la siguiente relación : AC . AB = 2 2 AC BC  . Calcule la m )  BAC, si la m )  ABC = 36°. a) 36° b) 72° c) 58° d) 49° e) 38° 41. En el gráfico, AB = 12 dm y BC = 5 dm. Calcule PQ. A B P C Q a) 13 3 5 dm b) 29 3 2 dm c) 26 16 15 dm d) 26 13 15 dm e) 11 13 20 dm 42. En el gráfico, se tiene el triángulo equilátero ABC, AB = 12 u y BP = 5 u. Calcule MN, siendo N punto medio de BP . A M C P N B a) 87 u b) 2 263 u c) 38 2 u d) 20 u e) 10 2 u
  • 122. 134 Geometría 43. En un triángulo ABC, obtuso en "C" : AB = c, BC = a y AC = b. Calcule la m )  ACB, sabiendo que : ) b a ( c 2 c b a 2 2 2 4 4 4     a) 120° b) 150° c) 115° d) 105° e) 135° 44. En un triángulo, dos lados miden 7 dm y 3 dm, las medianas relativas a dichos lados son perpendiculares entre sí. Calcule la distancia del baricentro al vértice común de dichos lados. a) 2 dm b) 2 dm c) 5 dm d) 2 3 4 dm e) 6 dm 45. En el gráfico, AB = 8 dm, calcule "x". (M, N y Q son puntos de tangencia). A O B x N Q M a) 2 3 dm b) 2 dm c) 3 dm d) 3 3 4 dm e) 2 dm 46. Sea ABCD un romboide donde : BC = 3(AB) y M es punto medio de BC . Calcule CD, si: AM = 9 dm y DM = 6 dm. a) 3 2 dm b) 2 3 dm c) 2 4 dm d) 3 4 dm e) 2 6 dm 47. Calcule la longitud de la hipotenusa AP , sabiendo que : PB =11 u, CB = 7 u, BA = 8 u. B A C P a) 16 u b) 17,8 u c) 297 u d) 295 u e) 19,5 u 48. En el gráfico, calcule la longitud del segmento CD , si : AB es el diámetro de la semicircunferencia. AP = 3 u, PB = 8 u, PQ = 4 u y PM = 6 u.   A B P O D C Q M a) 876 u b) 1009 2 1 u c) 935 u d) 1022 2 1 u e) 984 u 49. Sea ABCD un cuadrilátero donde Ĉ es recto, AB = 13 cm, BC = 20 cm, CD = 10 cm, AD = 17 cm. Calcule la longitud de la proyección de AD sobre la recta que contiene al segmento AB . a) 17 20 cm b 13 10 cm c) 17 15 cm d) 13 21 cm e) 13 20 cm 50. En un triángulo ABC, los lados están representados por tres números enteros consecutivos y el ángulo mayor es doble del menor. Calcule los lados del triángulo. a) 2u, 3u y 4u b) 7u, 8u y 9u c) 6u, 7u y 8u d) 5u, 6u y 7u e) 4u, 5u y 6u 51. En el tirángulo rectángulo ABC, recto en A, los puntos 1 P , 2 P , 3 P y 4 P , dividen a la hipotenusa en cinco partes iguales. 265 AP 2 1  u2 y 160 AP 2 4  u2 . ¿Cuánto mide la hipotenusa? a) 12 u b) 15 u c) 18 u d) 21 u e) 25 u 52. Sea un triángulo ABC de lados AB = AC y BC = 2 u. Si la bisectriz del ángulo B corta al lado opuesto en D y BD = 1 u; entonces, los ángulos A y B miden : a) 60°, 60° b) 90°, 45° c) 100°, 40° d) 120°, 30° e) 150°, 15°
  • 123. TRILCE 135 53. En un triaángulo ABC, se cumple que : m )  BAC = 2m )  BCA; AB = 6 u y AC = 8 u. Calcule BC. a) 21 3 u b) 21 u c) 21 2 u d) 14 2 u e) 14 3 u 54. En un trapecio, las bases miden 6 u y 16 u, los otros dos lados miden 7 u y 9 u. Calcule la longitud del segmento que une los puntos medios de las bases. a) 6 u b) 10 2 u c) 7 u d) 5 3 u e) 2 11 u 55. Calcule "x", si la longitud del lado del cuadrado es 18 m. x a) 1 m b) 2 m c) 3 m d) 4 m e) 6 m 56. Calcule la longitud del circunradio de un triángulo cuyos lados miden 26 dm, 28 dm y 30 dm. a) 16,125 dm b) 16,25 dm c) 16,89 dm d) 18 dm e) 20 dm 57. En el gráfico, calcule "xº", si : ) BC )( AD ( ) AB ( 2  26º B C A H x D º a) 34° b) 17° c) 23° d) 26° e) 38° 58. En el gráfico, calcule el lado del cuadrado ABCD. Si : AM = a y BL = b. (M y T son puntos de tangencia). B C A D M L T a) 2 2 2 a b a  b) 2 2 2 b a 2 a  c) 2 2 2 b a a  d) ) b a )( b a ( b a2   e) 2 2 b a ab  60. Si ABCD es un cuadrado de lado que mide 40u. Calcule PQ. (P y Q : puntos de tangencia). A B C D P Q a) 61 2 u b) 63 2 u c) 65 2 u d) 69 2 u e) 77 2 u
  • 125. TRILCE 137 I. TEOREMA DE CUERDAS n a b m a.b = m.m II. TEOREMA DE LAS SECANTES C B A E F AC.AB = AF.AE III. TEOREMA DE LA TANGENTE A B C x AB . AC x2  IV. CUADRILÁTERO INSCRITO y x a b c d xy = ac + bd bc ad cd ab y x    Ptolomeo Viette Capítulo RELACIONES MÉTRICAS EN LA CIRCUNFERENCIA 12
  • 126. 138 Geometría 01. Si : AQ = QB; EQ = 4 u y QF = 9 u. Calcule : AB. A E B F Q 02. Si : AQ = QB; EQ = 12 u y QF = 27 u. Calcule : AB. E B F Q A 03. En la figura, calcule AC, si : MC = 2 u, AR = 8 u y PR = 5 u. A R C M P 04. En la figura, calcule AC. Si : MC = 4 u, AR = 16 u y PR = 10 u. A R C M P 05. Del gráfico : AM = MC. Calcular BQ. Siendo : AP = 4 u, PB = 5 u y QC = 3 u. A P M B Q C 06. Si : AB = 3 u; BC = EF; AD = 2 u; DE = 10 u. Calcule : FG. A B D C E F G Test de aprendizaje preliminar
  • 127. TRILCE 139 07. Si : AB, BC y AQ son valores enteros consecutivos. Calcule AQ. Q  punto de tangencia. A Q B C 08. Si : AB = BC = CD. Calcule AD, si : R = 9 u y r = 7 u. A B C D R r 09. En la figura, calcule BD, si : AH = 8 u, CH = 6 u y HB = 3 u. A C B D H 10. Siendo P y B puntos de tangencia. Calcule CD, si : AB = 4 u y BC = 3 u. A P D C B Practiquemos : 11. Si : CD = DE = 3 u. Calcule AC. R E D A B C r 12. Si Q es punto de tangencia. MN = 9 u; MF = 16 u y 4EP = EF. Calcule : PQ. N M F E P Q
  • 128. 140 Geometría 13. Por un punto interior a una circunferencia de radio 10u, se trazan las cuerdas cumpliéndose que el producto de los 4 segmentos determinados es 625. Calcule la distancia entre el punto mencionado hacia el centro de la circunferencia. 14. Se tiene una circunferencia de diáemtro AB = 6 m, se traza una cuerda CD que corta al diámetro en E y forma un ángulo de 30° con éste. Si la distancia de E al centro es de 2 m. ¿Cuánto mide CD? A E D B C 15. Calcule PC, si : CD = 3 u y AB = 12 u. "P" es punto de tangencia. D C B A P 16. En el gráfico, PM = 9 u, MQ = 4 u. Calcule AM. A P M Q 17. En una circunferencia se trazan AB y EF dos cuerdas secantes en Q, de modo que EF biseca a AB . Si EQ y EQ miden 8 u y 18 u en ese orden. Calcular el valor de AB . 18. Sobre el arco AB de una circunferencia circunscrita a un triángulo equilátero ABC, se ubica un punto P , tal que : AP = 3 u y PB = 5 u. Calcule : AB + PC. 19. En un triángulo acutángulo ABC se trazan las alturas AH y CE , tal que : BE = 2 u, CH = 3 u y BH = 5 u. Calcule AE.
  • 129. TRILCE 141 20. Se tiene el trapecio ABCD ) AD // BC ( isósceles, tal que : 2 2 2 u 5 4 CD AC   . Calcule el producto de las bases. Problemas propuestos 21. E y F son puntos de tangencia. Marcar la relación correcta : F B A E a) 3 3 3 BF AE AB   b) 2 2 2 BF AE AB   c) BF . AE AB2  d) BF AE BF . AE AB   e) BF AE BF . AE 2 AB   22. En la figura, A es punto de tangencia. AF = BM = MB. Calcule AM, si : FL = 1 u, LG = 8 u. G A F L M B a) 2 u b) 3 u c) 4 u d) 5 u e) 6 u 23. En un triángulo ABC m )  ABC = 60°, cuyo incentro es "I" y AB + BC = 12 u. Calcule OB. (O circuncentro del triángulo AIC). a) 3 6 u b) 6 u c) 12 u d) 4 u e) 3 4 u 24. En la figura, calcule AB, si : PB = 3 u y BQ = 12 u. (O es centro y C punto de tangencia). Q O B C P A a) 2 u b) 4 u c) 5 u d) 6 u e) 8 u 25. En el gráfico : AP = 8 u, PB = 1u y m )  ABC = 90°. Calcule BT. B P T A C a) 2 4 u b) 3 u c) 3,5 u d) 2 2 u e) 2 u 26. Indicar el valor de verdad de las siguientes relaciones, ) Q O (   . O R Q d b c a I. d b c a  II. 4 R d c b a 2 2 2 2 2     III. c a R 2   a) FFF b) VVF c) VVV d) FVV e) FFV
  • 130. 142 Geometría 27. En el gráfico : MC = 12 u y QC = 8 2 u y   = 45º. Calcule DM.  A D M C B Q a) 6 u b) 3 u c) 4 u d) 5 u e) 4,5 u 28. En el gráfico, P es punto de tangencia, AB = 1 u, BC = 6 u y CD = 5 u. Calcule : 2 2 ) PC ( ) PB (  . A B P C D a) 40 u2 b) 36 u2 c) 42 u2 d) 46 u2 e) 30 u2 29. En el gráfico MN es diámetro, OP = 2 u y PQ.PS=60 2 u . Calcular la longitud del radio de la circunferencia. P O Q M R S T N a) 7 u b) 6 u c) 4 u d) 8 u e) 5 u 30. En el gráfico, D es punto de tangencia, DE = 4 u y BF = 2 u. Calcule FG. B A D F G E a) 3 u b) 4 u c) 5 u d) 6 u e) 8 u 31. Se da un cuadrilátero ABCD inscrito en una circunferencia (como en el gráfico), con diagonales que se intersectan en P . Calcule el valor de : PB . PD PC . AP D C B A a) 1/4 b) 1 c) 1/2 d) 1/3 e) 3 32. Según el gráfico : AB = 15 cm, CD = 8 cm. Calcule BC. A B C D a) 11 cm b) 13 cm c) 15 cm d) 17 cm e) 19 cm 33. En el gráfico, AB = 5 cm, BC = 4 cm. Calcule CD. A B D C r a) 3 cm b) 4 cm c) 5 cm d) 6 cm e) 7 cm
  • 131. TRILCE 143 34. En la figura B y C son puntos de tangencia. Si : AE = 8 u, EC = 4 u. Calcule CD. 60º B C E A D a) 1 u b) 2 u c) 3 u d) 4 u e) 5 u 35. En el gráfico, calcule QN. ("T" punto de tangencia), PT = 9 u, EN = 3 u. T P E N Q M a) 3 u b) 3,5 u c) 4 u d) 4,5 u e) 5 u 36. En el gráfico, B es punto de tangencia. AB = 6u y AP = 4u. Calcule PQ.   O O1 A B Q a) 4 u b) 5 u c) 6 u d) 8 u e) 9 u 37. En la siguiente figura se muestra una semicircunferencia de centro O y radio R. Siendo MB el lado de un polígono inscrito de 18 lados. AN = MP = R. OP = 5u . Calcule MN en función de R. O N M A B P R a) R R 25 2  b) 2 R R 25  c) R R 2 25  d) R R 2 25 2  e) R 2 R 25 2  38. Graficar a una semicircunferencia de diámetro AB . Trazar las cuerdas AF y BE que se intersectan en "Q". Calcule el valor de FB , sabiendo que : AQ = 8 dm, QF = 4 dm, QE = 6 dm. a) 6 3 2 b) 11 3 4 c) 7 3 4 d) 10 3 4 e) 3 16 39. Los centros de la circunferencia inscrita y circunscrita a un triángulo son I y O en ese orden. La prolongación de IO corta a la inscrita en P y a la circunscrita en M, al prolongar OI corta a la inscrita en Q y a la circunscrita en N. Calcule el valor del inradio, si : PM = a y QN = b. a) 3 b a  b) b a ab 2  c) ab c) 2 b a 2 2  e) 2 b a 2 2  40. Calcule : OQ. Si : AP = PS = PQ. S B Q O A P R a) 5 5 R b) 3 3 R c) ) 1 2 ( R  d) ) 1 2 ( 2 R  e) ) 1 2 ( 2 R  41. Calcule : AT, si : m )  ABH = m )  ACB y B = 8. (T es punto de tangencia). B A H C T a) 4 u b) 6 u c) 8 u d) 12 u e) 16 u
  • 132. 144 Geometría 42. En el gráfico : P y Q son puntos de tangencia. Si : AB = 6 u, BQ = 2 u, BC = 3 u, calcule EB. P E Q B C A a) 0,5 u b) 1 u c) 1,5 u d) 2 u e) 1,2 u 43. En el gráfico, calcule AB, si : AL = 5 u y LC = 4 u. (A y D son puntos de tangencia). O L A C D B a) 18 u b) 20 u c) 25 u d) 30 u e) 35 u 44. En una circunferencia se trazan los diámetros perpendiculares AB y CD que se cortan en O, luego se trazan las cuerdas BE y BF, las cuales se intersectan con CO y OD en M y N respectivamente. Si el radio de la circunferencia mide 1 u. Calcule : ) BN )( BF ( BE )( BM (  a) 1 u b) 2 u c) 2 u d) 4 u e) 2 2 u 45. Si : AP = 8 u, AM = 6 u y AB es diámetro. . Calcule MN. A P N M H O B a) 4 u b) 5 u c) 7/3 u d) 10/3 u e) 14/3 u 46. Del gráfico: AO = OB; CD = 3 u; GD= 4 u y FD = 1u. Calcule DE. O F E C A G B a) 2 u b) 2,4 u c) 2,5 u d) 3,5 u e) 3 u 47. En una circunferencia de 16 cm de diámetro se traza una cuerda TD de 12 cm y por T una tangente TP a la circunferencia, siendo PD una secante que pasa por el centro de la circunferencia. La distancia de P a la circunferencia será en cm. a) 52 cm b) 54 cm c) 56 cm d) 58 cm e) 50 cm 48. En el gráfico : 2 1 L // L , AP = 10 u y PC = 8 u. Calcule CQ. P A B Q C L1 L2 a) 10 u b) 12 u c) 11 u d) 16 u e) 18 u 49. Grafique al cuadrilátero inscriptible ABCD, de modo que : AB = BD, m )  BCD = 120°, BC = 6 u y CD = 4 u. Calcule BD. a) 11 2 u b) 13 2 u c) 15 2 u d) 17 2 u e) 19 2 u
  • 133. TRILCE 145 50. En el gráfico, P y T son puntos de tangencia. Si : AB = a y BD = b, calcule el valor de BC. P C D A T B a) b a 2 ab  b) a b 2 ab  c) b a ab 2  d) b a ab  e) ab ) b a ( 2  51. En un triángulo inscrito en una circunferencia, las sagitas correspondientes a cada lado mide 1 u, 2 u y 3 u. Calcule la medida del menor lado del triángulo. a) 5 u b) 6 u c) 7 u d) 8 u e) 9 u 52. En un triángulo rectángulo ABC recto en B, se traza la ceviana BD = 6u. Si los inradios de los triángulos ABD y CBD son iguales, calcular el producto de los exradios relativos a los catetos. a) 15 2 u b) 18 2 u c) 24 2 u d) 30 2 u e) 36 2 u 53. Según el gráfico, calculr "r" en función de "x" e "y". Si : "x" e "y" tienen valores máximos. A O B r x y a) xy 2 b) 2 y x  c) xy 2 d) xy 2 2 e) 3 y x  54. A y B son puntos de tangencia. Si : EP = 6 u y EF = 4 u. Calcule FG. A F E P G B a) 12 u b) 16 u c) 18 u d) 20 u e) 22 u 55. En el gráfico : NP = 10 u, NO = 15 u, AM = MB = 7 u. Calcule MT, si T es un punto de tangencia. T A M B P N O F E a) 5 u b) 10 u c) 12 u d) 15 u e) 16 u 56. De la figura, AO = OB; OP = 1u; PQ = 3u. (M, N y T, puntos de tangencia). Calcule : BQ . QC. M A C T Q B N O P a) 2 u ) 1 2 (  b) ) 1 3 ( 2  u2 c) ) 1 2 2 ( 4  u2 d) ( 3 2 2  ) u2 e) ) 1 2 ( 5  u2
  • 134. 146 Geometría 57. Una cuerda que mide 2m pertenece a una circunferencia de centro O. Dicha cuerda es dividida en media y extrema razón por un punto M. Calcule el radio de la circunferencia, sabiendo que el punto M dista 1 m del centro O. a) m 2 ) 1 5 (  b) 5 3 7 5 4 4   m c) ) 1 5 (  m d) ) 1 5 ( 2  m e) 5 3 7 5 7 11   m 58. En el gráfico : AH = 12 u, HB = 4 u y BN = 6 u. Calcule ON. B A E F N O H a) 5 u b) 3 5 u c) 3 6 u d) 3 4 u e) 2 5 u 59. Calcule MD, si : ME = 6 u y 2(AM) = 3(CM). M C D B A O E a) 1 u b) 2 u c) 3 u d) 6 u e) 4 u 60. En el gráfico: A y B son puntos de tangencia. Si : DA = a y EB = b. A D P E B a) 2 2 b ab a   b) 2 2 b ab a   c) 2 2 b 2 ab 2 a   d) 2 2 b ab a   e) 2 2 b a a  
  • 136. 149 TRILCE Capítulo 13 POLÍGONOS REGULARES POLÍGONOS REGULARES A B C O R R H l n l n º º º * Polígono regular ABC......, de n lados * Centro : O * Circunradio : R * Arco o : Central )  n º 360 º   * Lado del polígono inscrito : n l * Apotema: OH * Elemento representativo : AOB  CÁLCULO DEL LADO DE POLÍGONOS REGULARES MÁS USUALES I. Triángulo Equilátero 3 R 3  l  = mAB = 120° A B O R 60° 3 l C 3 R 30° En AOB:  2 3 l 60° º=120° II. Cuadrado 2 R 4  l  = mAB = 90° A B O R 4 l C En el AOB:  R D 4 l =90° 4 l º III. Hexágono Regular R 6  l  = mAB = 60° A B O 60° C En el AOB:  R D 6 l R E F º= 60° IV. Octógono Regular A B O 45° En el AOB:  8 l R R 2 2 R R 2 R 2 45 RCos 2 R R 8 2 2 2 2 2 8 2 2 2 8         l l l ° = mAB = 45° CÁLCULO DEL APOTEMA (Ap) A B O En el AOB:  R R Apotema 2 2 2 1 2 4 2 n 2 R 4 2 4 2 n 2 2 n R 4 Ap Ap R Ap l l l      l n 2 n l - DIVISIÓN DE UN SEGMENTO EN MEDIA Y EXTRE- MA RAZÓN A C B x l (AC>CB) Por definición : 2 ) 1 5 ( 2 x ) x ( x     l l l entonces, la solución es : * AC (o sea "x") es la sección áurea de AB . * 2 ) 1 5 (  se le denomina número áureo. .
  • 137. Geometría 150 POLÍGONOS REGULARES Triángulo Cuadrado Hexágono Pentágono Octógono Decágono Dodecágono Regular 120° 90° 60° 72° 45° 36° 30° 3 R 3  l 2 R 4  l R 6  l 5 2 10 2 R 5   l 2 2 R 8   l 2 / ) 1 5 ( R 10   l 3 2 R 12  l  Arco o < central ) Lado R : circunradio Si x es la sección áurea de AB. 2 / ) 1 5 ( x   l A B x l
  • 138. 151 TRILCE 01. Si: "O": centro, "T": punto de tangencia. Calcular: "x". O 6 l R A T C x 02. Del gráfico, calcular : "x". O 6 l 3 l R x 03. Calcular "x". 8 l 5 l x 04. Si: 3 AB l  ; 6 AD l  ; 4 BC l  A B C D Entonces, CD es: 05. Si: 3 AB l  ; 10 CD l  . Entonces, x° mide: A B C D P x° 06. Si : R = 6, 3 AB l  , entonces, OM mide : O A B R M Test de aprendizaje preliminar
  • 139. Geometría 152 07. Calcular: x°, si : 4 AB l  ; 3 AD l  . x A B C D 08. En la figura mostrada se cumple: CD // AB ,    14 AEC ) m y AB es el lado del pentágono regular inscrito en la circunferencia. Hallar AED ) m  . A B C D E 09. Hallar : ABC ) m  . O 4 l 3 l A B C R 10. Del gráfico, 4 4  l , calcular el radio de la circunferencia. O 4 l R A B Practiquemos : 11. ¿Cuál es el polígono regular cuyo lado es el doble de su apotema? 12. Calcular la relación entre el inradio y circunradio de un triángulo equilátero. 13. En un pentágono regular ABCDE, se traza BE y AC que se intersectan en "F". Si: 7 EF  , calcular el lado del pentágono.
  • 140. 153 TRILCE 14. En una circunferencia de radio R, se tiene una cuerda AB que mide 3 R . ¿De qué polígono regular el segmento AB es un lado? 15. Un triángulo equilátero está inscrito en una circunferencia de radio 6. Hallar el lado del hexágono regular inscrito en el triángulo. 16. Diga cuánto mide el lado de un hexágono regular circunscrito a una circunferencia de radio igual a 3 4 . 17. Un cuadrado y un hexágono regular se inscriben en una misma circunferencia; la razón de sus apotemas es: 18. En una misma circunferencia, el cociente del perímetro del hexágono regular circunscrito entre el perímetro del hexágono regular inscrito, es de: 19. Calcular la longitud de una de las diagonales de un pentágono regular cuyo lado mide 2. 20. Si el lado de un pentágono regular mide ) 1 5 (  metros, hallar la suma de las longitudes de todas sus diagonales. Problemas propuestos 21. En un triángulo ABC inscrito en una circunferencia, se tiene que : AB = l3; AC = l4. Calcular la medida del lado BC, si la medida del radio de la circunferencia es 2. a) 2 3  b) 2 6  c) 3 6  d) 3 2  e) 3 2 22. Se tiene un octógono regular inscrito en una circunferencia de radio igual a 2 3 . Hallar el perímetro de aquel polígono que se obtiene al unir consecutivamente los puntos medios de sus lados. a) 12 b) 18 c) 20 d) 24 e) 48 23. Dado un dodecágono regular inscrito en una circunferencia de radio 4 cm. Hallar el perímetro del polígono que se obtiene al unir los puntos medios de sus lados. a) 12 cm b) 18 cm c) 24 cm d) 30 cm e) 36 cm 24. Dado un cuadrado de lado "L", a partir de cada vértice y sobre cada lado se toma un segmento "x", de tal manera que al retirarlos y unir los extremos libres se forme un octágono regular. Hallar "x". a) ) 2 2 ( 2 L  b) ) 1 2 ( 2 L  c) ) 1 2 ( 2 L  d) ) 1 2 ( 2 L  e) ) 2 2 ( 2 L 
  • 141. Geometría 154 25. En un hexágono regular ABCDEF de lado 13 , las prolongaciones de la diagonal AC y el lado EF se cortan en "P". Hallar PD. a) 10 b) 11 c) 12 d) 13 e) 6,5 26. En un polígono regular ABCDEF... se cumple que 7(m )  BAC) = m )  ABD, AC = 5 2 . Calcular el radio de la circunferencia circunscrita a dicho polígono. a) 5 2 10  b) 3 2  c) 1 5  d) 1 5  e) 5 2 10  27. Un triángulo equilátero está inscrito en una circunferencia de radio 2m. Calcular la suma de las alturas del triángulo. a) 6 m b) 3 6 m c) 9 m d) 3 9 m e) 3 8 m 28. En un triángulo rectángulo ABC recto en B, se traza la ceviana BF, tal que : AB = FB, m )  FBC = 60°; y m 3 2 2 AC   . Hallar la longitud FB. a) 1 m b) 2 m c) 3 m d) 2 m e) 2 2 m 29. Hallar el lado de un polígono regular inscrito en una circunferencia de radio 5cm, si se sabe que su apotema es la diferencia del lado del polígono con el radio de la circunferencia circunscrita. a) 7 cm b) 8 cm c) 9 cm d) 6 cm e) 5 cm 30. Se tiene un cuadrado de lado 2 8 . Si a partir de cada vértice se disminuye una cierta longitud "x" se formarán en cada esquina triángulos rectángulo isósceles. Eliminándolos quedará un polígono de 8 lados. Hallar "x" para que el polígono resultante sea regular. a) ) 2 2 ( 8  b) ) 1 2 ( 8  c) ) 2 2 ( 8  d) ) 1 2 ( 8  e) ) 1 2 2 ( 8  31. Un polígono regular de n lados, cuyo lado mide Ln está inscrito en una circunferencia cuyo radio mide R. Calcular la longitud del lado del polígono regular de doble número de lados que el anterior (L2n), inscrito en la misma circunferencia. a) 2 n 2 2 n 2 L R 4 R R 2 L    b) 2 2 n 2 n 2 R 4 L R 4 L    c) 2 n 2 2 n 2 L R 4 R R 2 L    d) 2 n 2 n 2 L R 4 R R 2 L    e) 2 n 2 n 2 L R 3 R R 2 L    32. Una ventana cuadrada de lado 60 cm tiene la forma del diseño dado. Las curvas son arcos de circunferencia. Entonces, la longitud de fierro usado en la construcción de la ventana, es: a) ) 2 2 1 ( 120    m b) ) 2 2 ( 120    m c) ) 2 1 ( 240    m d) ) 2 2 2 ( 240    m e) ) 2 2 2 ( 120    m 33. En la figura, el triángulo ABC es equilátero, M es punto medio del lado BC y D es punto medio del arco AC. Si x e y representan las longitudes de los segmentos DM y ME respectivamente, hallar x/y. . A B C D E M a) 5/3 b) 2 c) 4 d) 8/3 e) 7/3 34. Los lados AB y BC de un triángulo ABC miden 2m y m ) 1 5 (  , respectivamente. Calcular la m )  A, si : m )  C =18°. a) 20° b) 45° c) 15° d) 30° e) 72° 35. Si el lado del dodecágono regular ABCDEFGHIJKL mide m 3 3 6  , hallar la longitud AE. a) 1 m b) 2 m c) 3 m d) 4 m e) 5 m
  • 142. 155 TRILCE 36. Si el perímetro del rectángulo NELY es 180 cm, indicar el perímetro de la región sombreada. E N Y L a) cm 35 b)  36 cm c)  39 cm d)  38 cm e)  37 cm 37. Hallar la longitud del lado de un dodecágono regular sabiendo que el radio de la circunferencia inscrita en él mide 1cm. a) ) 3 2 (  cm b) ) 3 2 (  cm c) ) 3 2 (  cm d) ) 3 2 ( 2  cm e) ) 3 2 (  cm 38. En la figura "P", divide al diámetro AB en media y extrema razón. Calcular PT, si: 5 2 R   . R A B P T a) 0,5 b) 1 c) 1,5 d) 2 e) 5 39. En un polígono regular ABCDEFG, si: 7 1 AC 1 AD 1   . Calcular AB. a) 6 b) 7 c) 8 d) 9 e) 10 40. Enuneneágonoregular ABCDEFGHI secumpleque: AB+ BD= 14m. Calcular BG. a) 3m b) 7 m c) 11 m d) 14 m e) 21 m 41. Enunpolígonoregularde13ladosABCDEFGHIJKM. AD= a, AE= b. Calcular JD. a) a+ b b) b a ab  c) 2 2 b a  d) ab b2  e) ab a2  42. ABCD es un cuadrado de lado 2 dm, A, B y D son centros. Calcular el valor de PQ . A B C D P Q a) 3 2 2  dm b) 3 2  dm c) 2 2  dm d) 3 2 2  dm e) ) 2 1 5 (  dm 43. El cateto menor de un triángulo rectángulo mide : 2 2  , y es igual a la longitud de la bisectriz interna relativa a la hipotenusa. Hallar la longitud de la hipotenusa. a) 1 m b) 2 m c) 3 m d) 4 m e) 6 m 44. ABCD es un cuadrado cuyo lado mide 3 2 4  . Calcular la distancia de "F" al punto medio "E" del FD. A B C D F E a) 2 b) 2 2 c) 6 d) 4 e) 3 4 45. En un triángulo ABC, donde : m )  A = 45° y m )  C = 15°, se trazan las alturas AH y CQ . Hallar: QH, si: AC = 20 m. a) 10 m b) 2 5 m c) ) 1 5 ( 2  m d) 5 m e) 2 2 10  m 46. Dado un triángulo ABC obtuso en "A", de tal manera: 2 AB  , 1 5 BC   y la    18 C ) m . Determinar la B ) m  . a) 18° b) 9° c) 27° d) 54° e) 36°
  • 143. Geometría 156 47. Calcular el lado del polígono regular de 16 lados circunscrito a una circunferencia de radio 2 2 2   . a) 2 2 2 4   b) 2 2 2   c) 2 2 2 2   d) 2 2 2 2   e) 2 2 2   48. En un octógono regular ABCDEFGH inscrito en una circunferencia en el arco BC, se ubica el punto "P" de manera que: PD y PF miden "m" y 2 n . Hallar: "PH". a) 2n + m b) m + n c) 2m - n d) n m mn  e) 2n - m 49. En la figura, calcular AB, si : BC = 5 5  . (B, punto de tangencia). 18º B A C a) 2 1 5  b) 1 5  c) ) 1 5 ( 3  d) ) 1 5 ( 5  e) ) 1 5 ( 2 2  50. En la figura, ABCDE es un pentágono regular. Calcular EP , si : MN = 2. A E C B M N P D a) ) 2 5 ( 2  b) ) 1 5 ( 2  c) ) 1 5 ( 4  d) ) 2 5 ( 8  e) ) 1 5 ( 4  51. Calcular la flecha correspondiente a una cuerda que subtiende un arco de 144° en una circunferencia de 8 unidades de diámetro. a) ) 1 2 ( 2  b) 5 5  c) 2 2  d) 1 5  e) 2 2  52. Se tiene un polígono regular inscrito en una circunferencia de radio R, cuyo apotema mide "a" unidades. Calcular el apotema de otro polígono regular del doble número de lados que el anterior, si cuyos perímetros son iguales. a) 2 2 a R  b) 2 aR c) Ra d) 2 a R e) a R 2 53. La sección áurea del segmento AB es BC , la sección de AC es AM , la sección áurea de AM es AF. . Si : BC = 4, calcular AF. a) ) 1 5 ( 2  b) ) 1 5 ( 2  c) ) 2 5 ( 4  d) 1 5  e) ) 1 5 ( 3  54. En un dodecágono regular ABCDEFGHIJKL, AE y CF se intersectan en P . Calcular PE, si : BC = 2 2 . a) 1 b) 2 c) 2 3 d) 3 e) 5 55. En un romboide ABCD, se cumple que BC = AC, hallar: BD, si: m )  CAD = 30° y m 3 2 5 AD   . a) 2 m b) 3 2 m c) 2 3 m d) 13 m e) 6 2 m 56. En un triángulo rectángulo ABC, el ángulo "C" mide 11°15' y la hipotenusa AC es igual a m 2 2 4 2  . Hallar la menor altura del triángulo. a) 1 m b) 2 m c) 2 m d) 2 2 m e) 2 2  m 57. Si ABCD es un cuadrado cuyo lado mide 180 cm, hallar el perímetro de la región sombreada. A B C D
  • 144. 157 TRILCE a) cm 53 b)  55 cm c)  56 cm d)  57 cm e)  58 cm 58. Se tiene un octógono regular ABCDEFGH inscrito en una circunferencia de radio R. Hallar la distancia de A al punto medio de ED . a) 2 3 10 2 R  b) 2 2 R 2  c) 2 2 R 2  d) 2 3 8 2 R  e) 2 R 2 59. En un triángulo ABC, se trazan las cevianas CF y AE cumpliéndose que:      135 AEC ) m AFC ) m y, ,    120 B ) m . Calcular EF, si : AC= 2 2 . a) 2 3  b) 3 2 2  c) 3 2  d) 3 2  e) 3 2 2  60. En la figura, 2 2 2 OP    . Calcular BC. O A B C 11°15' P a) 2 2 2   b) 2 2 4  c) 2 2  d) 2 2 2 2   e) 2 2
  • 146. 159 TRILCE ÁREA DE LA REGIÓN TRIANGULAR * Forma Básica h b b h 2 h . b A  * Forma Trigonométrica a b    Sen . A 2 b . a * Fórmula de Herón a b c p : Semiperímetro ) c p )( b p )( a p ( p A     ÁREA EN FUNCIÓN DE LOS RADIOS * Con el Inradio Válido para todo polígono circunscrito. A = p . r r p : semiperímetro * Con el Circunradio R 4 c . b . a A  a c R b * Con los Exradios ra rb rc a b c B A C c b a r ) c p ( A r ) b p ( A r ) a p ( A       c b a r . r . r . r A  c r 1 b r 1 a r 1 r 1    r : Inradio del triángulo ABC. Capítulo 14 ÁREAS DE LAS REGIONES POLIGONALES Y RELACIONES DE ÁREAS
  • 147. Geometría 160 CASOS PARTICULARES * Triángulo Equilátero l l l 4 3 2 A l  * Triángulo Rectángulo b a A = a . b 2 A = m.n n m ÁREADELAREGIÓNCUADRANGULAR * Paralelogramo h b A = b . h * Cuadrilátero Inscrito p : Semiperímetro a b c d ) d p )( c p )( b p )( a p ( A      * Trapecio h . A 2 ) b B (   h b B * Cualquier cuadrilátero  b d b y d longitudes de las diagonales   Sen . A 2 d . b RELACIONES DE ÁREAS Primera Relación A F C B AABF AFBC = AF FC Consecuencias : S 2S b 2b 3n 5n 3A 5A * * S b b * * S S S S S S S Observaciones : A A A A
  • 148. 161 TRILCE Segunda Relación a b A1  A2 m n  Si : º 180 ó         n . m b . a 2 A 1 A  Tercera Relación h1  h2 A B C P R Q    ~ Si : PQR ~ ABC   2 2 2 2 1 2 2 PQR ABC k h h PR AC A A     * Válido para todo par de polígonos semejantes. Cuarta Relación En todo cuadrilátero convexo y B A x A.B = x.y En todo cuadrilátero x A B C D AABCD x = 2 Observaciones : En el trapecio, se cumple que: * A = a.c a c * A B C D M ACMD = AABCD 2 * x = y x y * P Q P = Q
  • 149. Geometría 162 01. En la figura, el triángulo ABC es equilátero y AC // MN . Hallar el área de la región triangular ABN, si: AC = 12 y AM = 10. B A C M N 02. Hallar el área de la región triangular ACN, si : R = 20 y PD = 24. A B C D P O N R 03. En la figura se tienen un cuadrado cuyo lado mide 2, si M y N son puntos medios. Hallar el área de la región sombreada. (T : punto de tangencia). A B C N D M T 04. ABCD es un trapecio cuya área de su región es igual a 2 ) 3 7 ( 3  m2. Hallar la abscisa del vértice C. Y A B(2;3) C D 60° 0 1 X 05. En la figura, el área de la región del triangular OAD es igual a los 5/16 del área del trapecio isósceles OABC. Las coordenadas del punto medio del segmento AB son: Y A B C D 0 X 2 8 10 06. Hallar el área de la región del triángulo ABC, si : AD = 13, AB = 5 y el triángulo BCD es equilátero. B C D A Test de aprendizaje preliminar
  • 150. 163 TRILCE 07. La siguiente figura está formada por dos cuadrados de lado "a". Si el área del triángulo ABC = 2 m 7 10  . Calcular el área de la región sombreada. a/2 a 2 a 2 A B C 08. En la siguiente figura, M, N, P , Q; son los puntos medios de los lados del cuadrado ABCD. Si el lado del cuadrado ABCD es 25 m, calcular el área de la región sombreada. A B C D M Q N P 09. Hallar el área de la región triangular PQC, si ABCD es un cuadrado y (PQ)(AB)=20. A B C D P   Q 10. En la figura, si el triángulo tiene base "b" y altura "h", entonces, el área de la región del rectángulo inscrito es: h b x Practiquemos : 11. Calcular el área de la región de un triángulo equilátero, sabiendo que el radio de la circunferencia inscrita mide 2. 12. Se tiene un triángulo isósceles cuyos lados de igual longitud miden b cm. Para obtener un triángulo con la mayor área posible, el tercer lado debe tener una longitud de: 13. El triángulo, que puede ser inscrito en una semicircunferencia de radio "r", tiene una región cuya área es máxima y su valor es:
  • 151. Geometría 164 14. En un triángulo rectángulo de hipotenusa 50u y, donde el cateto es el doble del otro, calcular el área de la región del triángulo. 15. Hallar la razón entre las áreas de una región triangular equilátera y una región cuadrada, si estas regiones son isoperimétricas. 16. El área de la región de un cuadrado es 100 2 m ; está inscrito en una circunferencia. ¿Cuál es el área de la región del cuadrado que se puede inscribir en la mitad de la misma circunferencia? 17. Se tienen 3 circunferencias tangentes exteriormente dos a dos. Hallar el área de la región del triángulo que se forma al unir sus centros, si se sabe que el producto desusradioses8 m3 y la suma de sus radios es 6m. 18. Calcular el área de la región de un triángulo equilátero que tiene por altura el radio de la circunferencia circunscrita a otro triángulo equilátero de 18 m2 de área de su región. 19. En un triángulo ABC, isósceles con BC AB  , la altura que parte de B mide 8 m y el perímetro 32 m. El área de la región triangular es: 20. Si en un triángulo las alturas miden 12cm, 15cm y 20cm, entonces, el área de su región en cm2 es: Problemas propuestos 21. Los radios de las circunferencias exinscritas relativas a los catetos de un triángulo rectángulo miden 4 y 8. Hallar el área de la región del triángulo. a) 100 b) 12 c) 32 d) 80 e) 16 22. En un triángulo, sus exradios valen 2u, 3u y 6u. Hallar el área de la región triangular. a) 12 2 u b) 2 2 u c) 6 2 u d) 16 2 u e) 8 2 u 23. Tres lados de un cuadrilátero convexo valen 3u, 4u y 3u. ¿Cuál de los siguientes valores puede ser el área de la región cuadrangular? a) 13 2 u b) 14 2 u c) 15 2 u d) 18 2 u e) 26 2 u 24. En un semicírculo, se encuentra inscrito un cuadrado "S" de 120 cm2 de área. Determinar el área de la región del cuadrado inscrito en todo el círculo. S a) 240 cm2 b) 300 cm2 c) 600 cm2 d) 220 cm2 e) 150 cm2
  • 152. 165 TRILCE 25. En un triángulo ABC se traza la circunferencia ex- inscrita relativo al lado BC , tangente en M y P las prolongaciones de los lados AB y AC respectivamente, siendo "O" centro de dicha circunferencia. Si : AB = 10, BC = 17 y AC = 21. Hallar el área de la región triangular OMP . a) 47,6 b) 57,6 c) 67,6 d) 77,6 e) 71,2 26. En un triángulo ABC, se sabe que AB = 8, BC = 9. ¿Para qué valor de AC el área de la región triangular ABC será máxima? a) 16 b) 17 c) 145 d) 135 e) 115 27. En un triángulo isósceles, la base mide 15 y la altura relativa a uno de los lados iguales mide 12. Calcular el área de la región triangular. a) 50 b) 75 c) 90 d) 100 e) 150 28. Los lados de un triángulo miden 26 , 18 y 20 . Calcular el área de esta región triangular. a) 6 b) 9 c) 12 d) 15 e) 18 29. La longitud del lado de un cuadrado ABCD es 6 cm. Se construye exteriormente el triángulo equilátero CED y se traza AE . Calcular el área de la región triangular AED. a) 6cm2 b) 9 cm2 c) 12 cm2 d) 8 cm2 e) 10 cm2 30. La base de un triángulo isósceles es 2 . Si las medianas trazadas hacia los lados congruentes se cortan perpendicularmente, entonces, el área de la región triangular es : a) 2 b) 3 c) 1,5 d) 2,5 e) 3,5 31. En un triángulo ABC, se conoce que la altura BH y la mediana BM trisecan al ángulo ABC. Calcular el área de la región triangular ABC, si: HM = 1m. a) 2 2 m2 b) 2 4 m2 c) 3 2 m2 d) 3 4 m2 e) 3 8 m2 32. Las alturas de un triángulo miden 6u, 8u y 12u. Hallar el área de la región triangular. a) 5 24 2 u b) 5 5 32 2 u c) 5 3 16 2 u d) 455 2 u e) 15 5 64 2 u 33. En un hexágono regular de lado L, se unen los puntos medios de cuatro lados opuestos dos a dos. Luego, se unen los puntos medios de los lados del rectángulo que se formó, obteniéndose un cuadrilátero. Hallar el área de la región limitada por este cuadrilátero. a) 2 L ) 8 / 3 ( b) 2 L ) 4 / 3 3 ( c) 2 L ) 8 / 3 3 ( d) 2 L ) 4 / 3 ( e) 2 L ) 2 / 3 ( 34. Desde el vértice de uno de los ángulos agudos de un rombo se trazan perpendiculares de 2 cm de longitud hacia las prolongaciones de los lados opuestos. Si la distancia entre los pies de dichas perpendiculares es 3cm. Hallar el área de la región limitada por el rombo. a) 7 3 32 b) 7 30 c) 7 2 35 d) 6 5 36 e) 6 2 39 35. El áreadelaregióntriangular esde150m2. Además, se sabe que el segmento que une el punto de intersección de las medianas con el punto de intersección de las bisectrices es paralelo a uno de los catetos. Calcular los catetos. a) 60 m y 5 m b) 25 m y 12 m c) 15 m y 20 m d) 30 m y 10 m e) 50 m y 6 m 36. ABCD es un cuadrado. E está en AD y F está en la prolongación de DC , de modo que FB EB  . Si el área de la región ABCD es 256 y el área de la región triangular EBF es 200, determinar CF. a) 3 / 3 25 b) 9 c) 3 / 3 20 d) 12 e) 3 / 2 17 37. De todos los rectángulos de perímetro 24 y dimensiones enteras, las dimensiones del rectángulo de área máxima: a) Son 5 y 7. b) Son 8 y 4. c) Son 9 y 3. d) No pueden determinarse. e) 6 y 6. 38. Sobre los catetos de un triángulo rectángulo ABC, de longitudes 5 y 7 respectivamente, construimos dos triángulos rectángulos isósceles ADB y BEC, tomando AB y BC por hipotenusas. Calcular el área de la región del polígono resultante. a) 30 b) 26 c) 28 d) 36 e) 45
  • 153. Geometría 166 39. En un triángulo rectángulo, cuyos catetos tienen una longitud de 50 m y 120 m, se inscribe un rectángulo que tiene dos de sus lados contenidos por los catetos y uno de sus vértices está en la hipotenusa. Determinar el área máxima de dicha región rectangular. a) 1200 m2 b) 1500 m2 c) 1750 m2 d) 2000 m2 e) 2500 m2 40. Sobre los lados de un cuadrado ABCD, de lado igual a "L" se localizan, a igual distancia de los vértices, los puntos P, Q, R y S, que al unirse determinan el cuadrilátero PQRS tal como se muestra en la figura. Entonces, los valores de x que hacen que la región PQRS tenga área mínima y máxima, son respectivamente. A B C D R Q S P x x x x L a) L/3, L/2 b) L/2, L/4 c) 0, L/2 d) L/5, L e) L/2, 0 41. Hallar el área de la región de un polígono regular inscrito en una circunferencia de radio R, sabiendo que el doble de su perímetro es igual al perímetro del polígono regular del mismo número de lados, pero circunscrito a la circunferencia dada. a) 2 4 3 R 3 b) 2 3 2 R 3 c) 2 5 4 R 2 d) 2 R 2 e) 2 5 6 R 2 42. En el gráfico, hallar el área de la región sombreada, si: PO = 16. (Q, R, O  punto de tangencia). A D C R O P Q a) 256 b) 135 c) 128 d) 144 e) 121 43. Sobre cada uno de los lados de un triángulo equilátero se construyen exteriormente cuadrados, cuyos perímetros son iguales a 16 unidades. Calcular el área de la región triangular cuyos vértices son los centros de los cuadrados. a) 16 b) ) 3 3 2 ( 2  c) ) 3 3 2 ( 4  d) ) 3 3 2 ( 8  e) ) 2 3 ( 4  44. Siendo ABCD un cuadrado de lado "a"; hallar el área de la región sombreada, si A y C son centros de los arcos BD. A B C D a) 4 7 2 a b) 2 14 2 a c) 3 14 2 a d) 8 7 2 a e) 4 21 2 a 45. Según el gráfico, calcular el área de la región sombreada; si TB = a. ("T" es punto de tangencia). A T B C M 75° 30° a) a2/2 b) a2/4 c) 4 3 2 a d) a2 e) 2 3 2 a 46. Sea ABC un triángulo rectángulo isósceles ) 90 B ) m (    . Exteriormente, construya el cuadrado ACDE. BE y BD cortan a AC en los puntos "M" y "N" en ese orden. Si el área de la región triangular MBN es de "S" cm2. Calcular el área de la región cuadrada ACDE. a) 6.S cm2 b) 8.S cm2 c) 10.S cm2 d) 12.S cm2 e) 24.S cm2 47. En una circunferencia, de centro "O" y diámetro AB , se ubica el punto "P", tal que: AP = PB; se trazan las cuerdas PS y PR y que intersecan a AB en los puntos M y N, se traza RH perpendicular a AB , si : AM = 4; NH = 2 y HB =1. Además: m )  SOR = 90º. Calcular el área de la región triangular MNR. a) 2 2 11 5 u b) 13 6 u2 c) 2 11 3 u2 d) 2 171 u2 e) 3 17 2 u2
  • 154. 167 TRILCE 48. Se tiene un cuadrado ABCD, sobre BC y CD se ubican los puntos M y N respectivamente. Si : BM = 3u; ND = 2u, calcular el área de la región triangular MCN, si la    45 MAN ) m . a) 24 u2 b) 12 u2 c) 6 u2 d) 15 u2 e) 25 u2 49. Las áreas de las regiones del octágono regular y del dodecágono regular inscritos en una misma circunferencia están en la relación de : a) 3 / 2 b) 2 / 2 3 c) 3 / 2 2 d) 4 / 2 e) 4 / 2 3 50. Un triángulo ABC, se encuentra inscrito en una circunferencia de radio R; se traza la altura AH y luego las perpendiculares HP y HQ y hacia los lados AB y AC (en ese orden). Si : PQ = a, calcular el área de la región triangular ABC. a) 2 aR b) 4 ) R a (  c) aR d) R a2 e) (a+R)2 51. En la figura, AB = 7 y BC = 6 y AC = 11. Calcular el área de la región sombreada, si "I" es incentro del triángulo ABC. (T, P y R, puntos de tangencia). A B C I T P a) 10 6 b) 6 8 c) 5 10 d) 3 12 e) 24 52. Del gráfico, si I1 e I2 son los incentros de los triángulos ABH y HBC, respectivamente, hallar el área de la región "Sx" en función de S1 y S2. A B C I 1 I2 S 2 S1 Sx H a) S1+S2 b) 2 2 S 1 S  c) 2 1S S d) 2 2 2 1 S S  e) 2 S 1 S 2 S 1 S  53. Si los radios de los círculos son 3 y 4, hallar el área de la región sombreada. a) 50 b) 51,12 c) 53,6 d) 56,9 e) 56,4 54. Exteriormente a los lados del triángulo ABC se construyen los triángulo rectángulo APB, BQC y ALC, tal que : AB PC  , AQ BC  y BL AC  . Hallar el área de la región triangular ABC si el área de los regiones triangulares APB, BQC y ALC son 1, 2 y 3 u2, respectivamente. a) 7 2 2 u b) 13 2 u c) 2 7 2 u d) 14 2 u e) 21 3 2 u 55. El área de la región triangular ABC es 5m2; se tiene una recta exterior al triángulo a la cual se trazara las perpendiculares AP , BQ y CR . Hallar el área de la región triangular que se forma al unir los puntos medios de : AP , BQ y CR. a) 10 2 m b) 3 2 m c) 3,5 2 m d) 2 2 m e) 2,5 2 m 56. Si la altura de un trapecio rectángulo es 6 y sus diagonales son perpendiculares, hallar el área mínima de la región limitada por el trapecio. a) 12 b) 72 c) 36 d) 24 e) 8 57. En la figura mostrada, calcular el área de la región sombreada, siendo: m 2 2 AB  y AB = BC. A B C E 15° a) 2 m 2 6 b) ) 1 3 (  m2 c) 2 2 m2 d) ) 1 3 6 (  m2 e) 3 2 m2
  • 155. Geometría 168 58. En la figura, si ABCD es un cuadrado, CM = MD, calcular el área de la región sombreada, siendo: AB = 4m. (T : punto de tangencia). A B C D M T Q a) 2 m2 b) 4 m2 c) 5 m2 d) 6 m2 e) 7 m2 59. Del gráfico mostrado, hallar el área de la región sombreada, si : BE = a, EC = b, a2+b2+ab = 5. ABCD : cuadrado. A B C D E a) 5 b) 5/2 c) 5/3 d) 25 e) 35 60. En un triángulo ABC inscrito en una circunferencia de centro "O", se trazan los diámetros AD , CF y BE , las áreas de las regiones triangulares BDC, AFB y AEC miden 5, 3 y 4m2 respectivamente. Calcular el área de la región triangular ABC. a) 10 m2 b) 12 m2 c) 14 m2 d) 18 m2 e) 15 m2
  • 157. Geometría 170 RELACIÓN DE ÁREAS DE REGIONES POLIGONALES 01. Si el área del triángulo ABC es de 90 dm2, calcular el área de la región sombreada. A B C n 2n 02. El área de la región sombreada es de 12dm2. Calcular el área de la región triangular ABC. A B C 03. ¿Qué fracción del área de la región del triangular ABC, representa el área de la región sombreada? A B C 04. Si el área del paralelogramo ABCD es de 24cm2, calcular el área de la región sombreada. A B C D Q M 05. El área de la región cuadrangular ABCD es de 48 dm2. Calcular el área de la región sombreada. A B C D 06. Si el área de la región del triángulo ABC es 36 2 u , calcular el área de la región sombreada. B C A 3a a 2b b 2c c P
  • 158. 171 TRILCE 07. Calcular el área de la región del trapecio mostrado. B C D A 4 16 08. El área de la región triangular ABC es 24 2 m . Calcular el área de la región sombreada. B C A P Q c a b b b c a 09. Si el área de la región del triángulo ABC es 40 2 u , calcular el área de la región sombreada. c a 3a B C A b c b 10. En la figura, ABCD es un paralelogramo. Calcular x S . S1 S2 Sx P B C D A Practiquemos : 11. En un trapecio cuyas bases miden 3m y 1m, se traza una paralela a las bases para dividirlo en dos figuras equivalentes. ¿Cuál es la longitud de dicha paralela? 12. En un cuadrilátero convexo ABCD, se toma el punto medio M de la diagonal AC . Calcular el área de la región triangular MBD, sabiendo que las áreas de la región de los triángulos ABD y BDC miden 40 y 60 m2, respectivamente. 13. Sea un cuadrilátero ABCD; los puntos medios de sus lados determinan el paralelogramo PQRS; los puntos medios de los lados de éste determinan otro paralelogramo MNLT. Si los puntos medios de este último determinan un rombo que limita una región de 72m2, entonces, el área de la región del cuadrilátero ABCD, es :
  • 159. Geometría 172 14. En un triángulo ABC, se traza el segmento BD con D sobre el lado AC . También trazamos el segmento CE con E sobre el lado AB . Si sabemos que: 36 13 AC AB  y 5 12 AE CD  , hallar : ) AEC ( Área ) BDC ( Área   . 15. Dado un triángulo equilátero cuya área de su región es 2 u 3 9 . Se traza dos rectas paralelas a la base, que dividen al triángulo en tres regiones equivalentes. ¿Cuál es la longitud de la paralela más cercana a la base? 16. Dado un triángulo ABC, cuya área de su región es 18 2 m , se traza la altura BH . Si la mediatriz de AC interseca a BC en N, calcular el área de la región cuadrangular ABNH. 17. En un triángulo ABC, se trazan las alturas AH y CP . Calcular la razón entre el área de la región triangular PBH y el área de la región cuadrangular APHC, si además : m )  ABC = 53º. 18. Hallar el área de las región de un triángulo isósceles ABC, sabiendo que : AB = BC = 30 cm, y que la perpendicular a BC en su punto medio M, corta a AB en E y que : 5 1 EB AE  19. Las diagonales de un trapecio dividen a éste en cuatro triángulos. Hallar el área del trapecio, si las áreas de los triángulos adyacentes a las bases son iguales a 1,69 2 cm y 1,21 2 cm . 20. Se tiene un cuadrilátero ABCD, siendo "O" punto de la intersección de sus diagonales. Sabiendo que : OA = x, OB = 2x, OC = 8x, OD = 5x, y que el área de la región triangular BOC es igual a 48 2 m ; el área de la región del cuadrilátero, en 2 m , será :
  • 160. 173 TRILCE Problemas propuestos 21. En la figura, 2AB = AC = CD = DE y las rectas horizontales son paralelas. Sea : x = área de la región triangular ABH y sea: z = área del cuadrilátero FGCE. Luego, z x es: F E A B C D G H a) 1/16 b) 5/72 c) 1/14 d) 1/32 e) 3/32 22. La figura ABCD es un cuadrado de lado "a". El vértice A se une con los puntos medios de los lados BC y CD ; luego se traza el segmento que une los puntos medios de AB y AD . Hallar el área de la región triangular ARQ. A B C D M N R Q S T a) a2/9 b) 3a2/8 c) a2/24 d) a2/6 e) a2/12 23. Se tiene un triángulo ABC inscrito en una circunferencia. La tangente en A, a la circunferencia, corta en P a la prolongación de CB ; si: 3AC.CP = AB.AP y el área de la región triangular APC es "k" unidades cuadradas. Hallar el área de la región triangular APB. a) 2 3 K u b) 5 K 2 u2 c) 7 K u2 d) 5 K u2 e) 4 3 K u2 24. Dos circunferencias se encuentran separadas y la distancia entre sus centros, A y B es 8 cm, siendo sus diámetros de 4 y 10 cm, respectivamente. De A, se traza una secante que corta en R y S a la otra circunferencia, donde RS = 6 cm. Si P es la proyección de R sobre AB , calcular el área de la región triangular RPB. a) 2 cm ) 3 4 18 (  b) ) ( 8 3 7 24 cm2 c) ) ( 8 3 7 12 cm2 d) ) ( 4 3 5 20 cm2 e) ) ( 4 3 4 28 cm2 25. El área de la región del triángulo ABC es "S". Si : AM = MB y AE = EF = FC, hallar el área de la región sombreada. A B M E F C a) 20 S b) S 20 3 c) 10 S d) 8 S e) 20 S 7 26. Dado un cuadrado ABCD sobre los lados BC y CD se toman los puntos M y N respectivamente tal que:    45 MAN ) m ; BD interseca a AM y AN en los puntos P y Q respectivamente. Si : F } MQ { } PN {   ; si la prolongación de AF corta a MN en "k", tal que: AF=10 y FK=2. Hallar el área de la región triangular MCN. a) 12 b) 24 c) 20 d) 40 e) 42 27. Del gráfico :    60 TPQ ) m , mTM=mAM, AN = NQ. Calcular el área de la región sombreada en función de R. A B M N P T O Q R a) 2 8 7 R 3 b) 3 R2 c) 5 R2 d) 5 3 7 R2 e) 5 7 18 R2
  • 161. Geometría 174 28. En un triángulo ABC, se trazan BP y BQ perpendiculares a las bisectrices exteriores de los ángulos A y C respectivamente. Luego, se traza IM perpendicular a AC (I: incentro del triángulo ABC). Calcular el área de la región triangular ABC, si el área de la región PIQM 64 u2. a) 64 u2 b) 32 u2 c) 16 u2 d) 128 u2 e) 24 u2 29. Graficar el cuadrilátero ABCD y ubicar M y N puntos medios de BD y AC respectivamente. En MN , ubicar el punto P. Si las áreas de las regiones triangularesDAP ,APB,CPDyCPBsonS1, S2, S3 y S4 respectivamente, hallar la relación que cumplen S1, S2, S3 y S4. a) 4 2 3 1 S . S S . S  b) 4 3 2 1 S S S S    c) 4 3 3 2 S . S S . S  d) 4 1 3 2 S S S S    e) 4 S 3 S 2 S 1 S  30. La figura muestra al cuadrado ABCD donde DQ PC  . Indicar la relación correcta entre las áreas de las regiones sombreadas. A B C D Q P A2 A3 A1 a) A3 = A2-A1 b) 2 1 A 2 A 3 A   c) 1 1 2 2 2 3 A A A   d) 2 1 A 2 A 3 A   e) ) A )( A ( ) A ( 1 2 2 3  31. En la figura: 5BT= 3AT. Calcular la razón de las áreas de las regiones triangulares BCF y ADE. (T, E y F  puntos de tangencia). A B C D E T F a) 3/5 b) 1/3 c) 1/2 d) 9/25 e) 5/8 32. En la figura, A, B y C representan las áreas de las regiones sombreadas. Determinar la relación correcta entre dichas regiones. A B C a) AC B  b) C = A+B c) AB C  d) B =4ABC e) A = 2C-B 33. Si ABCD es un cuadrado, encontrar la relación entre A, B y C. A B C D A B C a) A + B = C b) B + C = A c) B + C = 2A d) A + C = B e) A + C = 2B 34. Si ABCD es romboide, hallar la relación de las áreas : S1, S2, S3 y S4; si : AB // MP . A B C D S1 S2 S3 S4 P M a) S1 + S2 = S3 + S4 b) S1 + S4 = S2 + S3 c) S1 + S3 = S2 + S4 d) S1 . S2 = S3 . S4 e) S1 . S3 = S2 . S4 35. Si "G" es el baricentro del triángulo ABC y además (PQ)2+(PR)2+(QR)2 = 3, hallar la suma de las áreas de las regiones de los cuadrados mostrados. A B C N S Q P T G R a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5
  • 162. 175 TRILCE 36. Exteriormente a una recta, se marca el punto "O" y se traza los rayos OA , OB, OC y OD (A, B, C, D están sobre la recta y forman una cuaterna armónica) sobre OA y OC se toman los puntos E y F. . Si: M } OB { } EF {   y OD // EF . Hallar: FOM ulo del triáng Área EOM ulo del triáng Área a) 1 b) 1/2 c) 1/3 d) 1/4 e) 1/5 37. Si T, P y Q son puntos de tangencia, hallar la relación entre S1, S2 y S3. S1 S2 S3 P T Q a) S2 = S1+S3 b) 3S3 = 2(S1+S2) c) 2S2 = 3S1-S2 d) 3S1 = S2+S3 e) 2S1 = S2+S3 38. Si: (AM).(ND)=(BM).(CN); hallar "X" en función de A y B. A B C D N M X A B a) A+2B b) 2A+B c) 2(A+B) d) A+B e) 3(A+B)/2 39. En un triángulo ABC, el segmento que une el incentro y el baricentro es paralelo a la base AC y el inradio mide 2. Calcular el área de la región triangular ABC, si: AC = 8. a) 21 b) 24 c) 18 d) 16 e) 12 40. Los lados de un triángulo miden 15u, 20u y 25u. Calcular el área de la región triangular formada por el incentro, baricentro y circuncentro del triángulo. a) 5 b) 2,5 c) 5/3 d) 10/3 e) 25/12 41. Calcular el área de la región triangular correspondiente a un triángulo isósceles, en el cual la base mide 16 cm y el circunradio 10 cm, siendo el triángulo obtusángulo. a) 32 2 cm b) 16 2 cm c) 48 2 cm d) 30 2 cm e) 34 2 cm 42. Hallar el área de la región del hexágono regular circunscrito a una circunferencia, sabiendo que el área de la región del hexágono regular inscrito en la misma circunferencia es 540. a) 840 b) 720 c) 650 d) 600 e) 540 43. Se tiene un hexágono regular de 4m de lado, se construyen circunferencias de 2m de radio, tangentes exteriores a cada lado en su punto medio. ¿Cuál es el área de la región del hexágono obtenido al unir los centros de la circunferencia? a) 3 6 9  b) 3 2 18  c) 3 24 36  d) 3 18 27  e) 3 30 45  44. En un triángulo ABC, los lados AB , BC y AC , miden 13u, 14u y 15u, respectivamente. Se trazan las alturas AD y CE , hallar el área de la región cuadrangular EBDO, siendo "O" el circuncentro del triángulo ABC. a) 4 375 b) 8 375 c) 16 375 d) 32 375 e) 21 45. Las diagonales de un rombo son proporcionales a 2 y 3, respectivamente. Calcular la diagonal menor, si el área de la región romboidal es 48 2 m . a) 12 m b) 8 m c) 10 m d) 6 m e) 9 m 46. Calcular el área de la región que encierra un hexágono regular inscrito en una circunferencia de 4 cm de radio. a) 2 cm 3 18 b) 2 24 cm2 c) 20 cm2 d) 3 24 cm2 e) 7 16 cm2 47. Se tiene un rectángulo de 60 2 cm de área. Si los lados son números enteros en (cm), el perímetro mínimo posible en cm, es : a) 38 cm b) 30 cm c) 34 cm d) 32 cm e) 36 cm
  • 163. Geometría 176 48. En un cuadrado ABCD, se traza interiormente la semicircunferencia de diámetro AD , luego, se traza la tangente CP a dicha semicircunferencia (P es punto de tangencia). Hallar el área de la región cuadrangular ACBP . Si : AD = 10. a) 50 b) 45 c) 35 d) 40 e) 30 49. En un rombo ABCD, las proyecciones de las diagonales BD y AC sobre AD , tiene como longitudes "m" y "K", respectivamente. Hallar el área de la región limitada por el rombo. a) Km ) 2 m K (  b) Km ) 2 m K (  c) Km ) 3 m K (  d) ) Km ( ) 2 m K (  e) (K+m)(Km) 50. En un cuadrado ABCD por el vértice B se traza la recta 1 L , no secante al cuadrado y por el vértice D, se traza la recta 2 L que interseca al lado AB en Q, de modo que : L1 y L2 se intersecan perpendicularmente en P, , PB = b y la distancia del vértice A a la recta 2 L es "a". Hallar el área de la región cuadrada ABCD. a) 2 2 a ab 2 b 2   b) 2 2 b ab 2 a 2   c) 2 ) b a 2 (  d) 2 ) b 2 a (  e) 2 ) b a (  51. Dado un triángulo equilátero de 3m de lado, se dividen en tres segmentos iguales a los lados del triángulo y se unen los puntos de división formándose una estrella, como se muestra en la figura. Calcular el área de la estrella. a) 2 m 3 4 5 b) ) 3 1 (  m2 c) ) 1 3 (  m2 d) 3 m2 e) 3 4 7 m2 52. En el trapecio ABCD, las diagonales determinan los triángulos AOD y BOC, de áreas 49 2 m y 25 2 m , respectivamente. Hallar el área del trapecio. . O B C A D a) 135 2 m b) 140 m2 c) 144 m2 d) 148 m2 e) 180 m2 53. Hallar el área de la región sombreada, si el radio de la circunferencia es 6, el segmento BF = 2 y ABCD es un rectángulo. D C A B O F a) 12,1 2 m b) 12,3 m2 c) 15,6 m2 d) 16,4 m2 e) 14,3 m2 54. En una circunferencia de radio "r", se desea inscribir un rectángulo, tal que este rectángulo circunscriba a otra circunferencia. Hallar el área de la región del rectángulo. a) 2 r 2 b) 2 r c) 2 r 3 d) 2 r 3 2 e) 2 r2 55. Hallar el área de la región triangular OB'C', si : AB = 4 = BC, 4 1 O M1  AB, AC = 6. 1 M y 2 M son puntos medios de AC y BC , respectivamente. ' OC // AC y ' C ' B // BC ; ' OC AO  .   C C' M1 B' O A B M2 a) 7 ) 3 / 29 ( b) 7 ) 6 / 29 ( c) 7 ) 7 / 29 ( d) 7 ) 2 / 29 ( e) 7 ) 24 / 29 (
  • 164. 177 TRILCE 56. Sobre una recta se toman tres puntos : A, B, C (en ese orden), tales que : AB = a, BC = b. Con dos puntos D y E exteriores a la recta y a un mismo lado, con respecto a ella se construyen dos triángulos ABD y BCE. Hallar el área cuadrangular ADEC. a) ) ab b a ( 2 3 2 2   b) ) ab b a ( 4 3 2 2   c) ) b a ( 4 3 2 2  d) ) ab b a ( 3 3 2 2   e) ) ab b a ( 2 3 2 2   57. El ancho de una finca rectangular es 1/4 del largo. Si se prolongase ésta 5 m y aquélla 3 m, la finca tendría un aumento de 185 m2. ¿Qué dimensiones tiene dicha finca? a) 10 m y 40 m. b) 20 m y 80 m. c) 15 m y 60 m. d) 10 m y 45 m. e) 10 m y 80 m. 58. Sean dos circunferencias tangentes exteriormente de radios 10 dm y 30 dm. Determinar el área del triángulo isósceles circunscrito a las dos circunferencias. a) 2 dm 3 1800 b) 3 1200 dm2 c) 3 900 dm2 d) 3 180 dm2 e) 3 2700 dm2 59. Sea A el área de un triángulo  , 1 A el área del triángulo 1  obtenido uniendo los puntos medios de los lados del triángulo  ; análogamente sea 2 A el área del triángulo 2  , obtenido uniendo los puntos medios de los lados del triángulo 1  ; y así sucesivamente. Entonces, la suma de las áreas : : es , ..... A A A 2 1    a) A 4 3 b) A 3 4 c) A d) A 2 3 e) 2A 60. Se tiene un círculo de centro "O" y un punto "A" externo a él (ver figura). Sean : PQ = RS = 16 m; el área de la región triangular OPQ = 48 2 m y OA = 157 m. Calcular el área de la región del triángulo AOR. Q P O A R S a) 48 2 m b) 36 2 m c) 24 2 m d) 9 2 m e) 12 2 m
  • 166. 179 TRILCE I. SECTOR CIRCULAR º R R º 360 R As 2   O II. SEGMENTO CIRCULAR O A B S S = III. FAJA O ZONA CIRCULAR E F A B O Si : AB // EF IV. CORONA O ANILLO CIRCULAR R r S 2 2 r R S     ) r R ( S 2 2    V. TRAPECIO CIRCULAR R r x x = PROPIEDAD DE LAS FIGURAS SEMEJANTES A A A 1 2 3 Fig. 2 Fig. 1 Fig. 3 Si : fig. 1 ~ fig. 2 ~ fig. 3 2 1 3 A A A   Capítulo ÁREAS DE REGIONES CURVAS 15
  • 167. Geometría 180 Caso Particular : x y z z = x + y TEOREMA DE LAS LÚNULAS DE HIPÓCRATES P X Q X = P + Q Observaciones : * En la corona circular A B H R O r r OHB : 2 2 2 2 AB r R         4 AB r R 2 2 2   2 ) AB ( 4 Área    * En el triángulo rectángulo x y B A C A = y - x ABC
  • 168. 181 TRILCE 01. Calcular el área de la región sombreada, si : AB = 20 cm. Además, ABCD es un cuadrado. A B C D 02. En la figura, calcular el área de la región sombreada, si : AB = 2m, siendo ABCD un cuadrado. A B C D 03. Hallar el área de la región sombreada, si : m )  AOB = 60º y OA = OB = 12. A B O 04. Si el área del círculo es 2 cm 9 , ¿cuál es la suma de las áreas de las regiones cuadradas I y II? I II 3cm 05. Si : C1 , C2 y C3 son semicírculos de radios iguales, entonces, el área de la figura sombreada en función de lado L del cuadrado, es: C1 C2 C3 06. En la figura, el área de la región sombreada es: (ABCD: cuadrado). A B C D R Test de aprendizaje preliminar
  • 169. Geometría 182 07. En la figura, AC // MN ; ) AM ( 3 2 BN  ; BM = 12, CN = 32 y O, O1 son centros de las respectivas semicircunferencias. Hallar el área de la región sombreada. A B C M O1 O N 08. Hallar el área de la región sombreada, siendo AC el diámetro. AB = 15 y BC = 20. A H B C 09. En el círculo mayor, el diámetro es 4m. M, N, P y Q son puntos medios. Hallar el área de la región sombreada. A B C D P Q M N O 10. En el gráfico: AE = EB = 6 dm, calcular el área de la región sombreada, si además: BC = AC =12 dm. A B C E Practiquemos : 11. Un sector circular tiene un ángulo de 60° y 15m de radio. Hallar el área del círculo inscrito en el sector circular. 12. Si el área de un círculo se duplica al aumentar su radio en ) 1 2 (  ; hallar el radio original. 13. Un triángulo equilátero cuyo lado mide 4m; su región tiene igual área que un círculo cuyo radio mide R. ¿Cuál es el valor de R?
  • 170. 183 TRILCE 14. Hallar el área limitada por dos circunferencias tangentes interiormente sabiendo que la distancia entre sus centros es de 10u y la suma de sus longitudes es de 100u. 15. Las áreas que limitan dos circunferencias concéntricas son 78,5 m2 y 28,26 m2 respectivamente; se traza una cuerda a la circunferencia mayor que es tangente a la menor, entonces la longitud de esa cuerda es: (considerar que 14 , 3   ). 16. Un sector circular tiene un área igual a 2 cm 25 y representa el 4% del área del círculo. El 5% de la longitud de la circunferencia correspondiente en metros es: 17. Dado un triángulo equilátero ABC, de 4 cm de lado, hallar el área de la región comprendida entre la circunferencia circunscrita y la circunferencia inscrita a dicho triángulo. 18. Sean las regiones A1 y A2 limitadas por las circunferencias iguales tal que el área de 2 1 A A  es 100m2 y el área de 2 1 A A  es 400m2 . Entonces, el radio de las circunferencias iguales es: 19. Los vértices de un hexágono regular son los centros de 6 circunferencias congruentes y tangentes, (según muestra la figura). Calcular el área de la región sombreada en función de lado "a" del hexágono. 20. Hallar el área de faja circular cuyas bases son el lado del hexágono regular y del triángulo equilátero inscritos, respectivamente, además el radio del círculo es 6 R  . Problemas propuestos 21. Dado los círculos C1 y C2 , con áreas a1 y a2 , respectivamente, si la longitud de la circunferencia C2 es igual al diámetro de C1 , el área a2 será: a) 2 1 a u  b)  2 1 a c) 2 2 1 a  d) 2 1 a  e)  1 a 22. En la figura, AC es diámetro. Hallar el área de la región sombreada. Si : BH = 6. A H B C a) 6  b) 9  c) 12  d) 18  e) 20 
  • 171. Geometría 184 23. Hallar la diferencia de las áreas de las regiones sombreadas, si el lado del cuadrado ABCD mide 4. A B C D a) 8 3   b) ) 8 3 ( 2   c) 8 6   d) 8 6   e) ) 1 6 ( 2   24. En la figura, hallar el área de la región sombreada, comprendida entre el triángulo ABC, recto en B, y la semicircunferencia, sabiendo que el arco BT es de 120°. (T : punto de tangencia). A B C T O L a) 2 6 3 3 L ) (   b) 2 6 3 2 L ) (   c) 2 4 3 L ) (   d) 2 6 3 L ) (   e) 2 4 1 L ) (   25. En la figura, hallar el área de la región sombreada, si: AP = 3 y QC = 4. P y Q : puntos de tangencia. A B C Q P a) 3 2 b) 12 c) 24 d) 3 4 e) 18 26. Hallar el área de la región sombreada comprendida entre dos circunferencias de centro "O" y un cuadrado con un vértice en "O" y lado 10 m. O a) 2 4 m ) 1 ( 50   b) ) 25 45 ( 4   c) 30 d) ) 50 (   e) 50 27. Calcular el área de la región sombreada. a a a a) 3 2 a  b) 2 3 2 a a 3   c) 2 2 3 3 a ) (   d) 2 2 3 3 2 a ) (   e) 2 3 2 a ) 3 (   28. Si: C, D y E son puntos de tangencia, hallar el área de la región sombreada. O R E C 60° D a) 18 / R2  b) 9 / R2  c) 12 / R2  d) 16 / R2  e) 8 / R2  29. En el rectángulo ABCD, AD y BC son diámetros. Hallar el área de la región sombreada, si : 3 4 AB  y AD=8. A B C D a) 3 2 b) 3 4 c) 8 d) 3 2 4  e) 3 8
  • 172. 185 TRILCE 30. En la figura mostrada, si: mAB=72° y mBC=54°, hallar el área de la región sombreada. Si : 5 R  . A B C R a)  b) 2  c) 3  d) 4  e)  /3 31. Hallar el área máxima del círculo, si : AO = OB = 10. A B O T a)  b) 2  c)  3 d)  2 e) 3  32. Hallar el área de la región sombreada, si el triángulo ABC es equilátero y 3 BE  . (A, E, P son puntos colineales). A B C P E a) 2 3 3   b) 4 3 3   c) 2 3 6   d) 4 3 6   e) 6 3 3   33. Si : BT = 24 y BF = 36, hallar la diferencias de las áreas sombreadas. (T : punto de tangencia). T B F a) 169  b) 85 c) 85  d) 69 e) 69  34. Hallar el área de la región sombreada, si: AB es diámetro, OA = OB. FH = 2. (O : punto de tangencia). A O H B F a) 1 2   b) 1 4   c) 4 4   d) 8 2   e) 8 4   35. Hallar el área de la región sombreada, si: AO = OB = R. ( AB : diámetro). A O B a) ) 3 6 ( 8 2 R   b) ) 3 3 8 ( 24 2 R   c) ) 3 12 ( 48 2 R   d) ) 5 3 18 ( 36 2 R   e) ) 3 5 ( R2   36. ¿Cuál debe ser la relación de R1 , R2 y R3 para que las áreas del círculo A1 (interior) y los dos anillos A2 y A3 , respectivamente, sean iguales entre sí? A2 R2 R3 R1 A1 A3 a) 3 3 R 2 2 R 1 R   b) 3 2 2 R 3 1 R R   c) 3 3 R 2 2 R 1 R   d) 5 3 R 4 2 R 2 1 R   e) 7 3 R 5 2 R 3 1 R  
  • 173. Geometría 186 37. En la figura P , Q y O son centros de los semicírculos, si el rectángulo ABCD tiene perímetro 24 cm, el área de la región sombreada será de: B P Q D O A C a) 2 cm ) 6 32 (   b) ) 6 26 (   c) ) 23 9 (   d) ) 32 12 (    e) ) 9 32 (   38. La figura muestra un cuarto de círculo y un semicírculo AM = MO = 3 2 . Calcular el área de la región sombreada. A B O M N a) 3 3 5   b) 3 2 4   c) 3 6 5   d)  5 e) 3 5 5   39. En el gráfico: esdiámetro. Si: S1 , S2 y S3 representan las áreas de las regiones sombreadas. ¿Qué relación existe entre S1 , S2 y S3 ? S1 S2 S3 T B A a) 2S3 = S2+S1 b) S3 - S2 = S1 c) S1. S2 = S3 d) S2 + S3 = 2S1 e) 2S1+S2=S3 40. Calcular el área de la región sombreada, si: 3 NO  y EH = 3. (T, P y N : puntos de tangencia). O H P T E N r a) ) ( 4 3 3   b) ) ( 4 3 3   c) ) ( 2 2 4 3   d) ) 2 ( 4 3   e) ) ( 2 2 4   41. Un jardín circular de 12 m de diámetro está sembrado de pasto; pero es atravesado por un camino pavimentado recto de 3m de ancho, de modo que uno de sus bordes pasa por el centro. En consecuencia, el área sembrada, en metros cuadrados, es : a) 3 9 35   b) 3 9 30   c) 3 9 35   d) 3 9 30   e) 3 6 30   42. Los vértices de un rombo, de lado igual a una de sus diagonales son los centros de cuatro circunferencias congruentes y tangentes. Calcular el área de la región sombreada en función de radio R. R R R R R R R R a) ) 3 ( R 2 2   b) ) 3 ( R2   c) 2 2 R 3 3 R 2   d) ) 3 2 ( R2   e) ) 3 ( 2 2 R   43. Hallar el área de la región sombreada indicada en la figura, si se sabe que la medida del ángulo AOB y la del ángulo A'O'B' es 60°, los segmentos A ' O , B ' O son tangentes a la circunferencia con centro O y radio R, y los segmentos ' A " O , ' B " O son tangentes a la circunferencia de centro O'.
  • 174. 187 TRILCE O O' A B O" A' B' a) ) 3 12 10 ( R2   b) ) 3 12 10 ( 9 2 R   c) ) 3 12 10 ( 9 2 R   d) ) 3 12 10 ( 27 2 R   e) ) 3 12 10 ( 27 2 R   44. La siguiente figura es un cuadrado de lado "a". Las curvas son arcos de circunferencias de radio a/2 con centro en los puntos A, B y en el centro C del cuadrado. ¿Cuál es el área de la región sombreada? A B C a) 4 2 a b) 3 2 a 2 c) 3 2 a d) 4 2 a 3 e) 2 2 a 45. Hallar el área sombreada de la figura, donde "  " está expresado en radianes, CO'D y AOB son sectores circulares y OAO'C es un paralelogramo. A B C D O O'  L l a) ) LSen (    l b) ) L LSen (    l l c) ) LSen (    l l d) ) LSen (    l e)  LSen 3 1 l 46. En el gráfico, se tienen semicírculos. Si : S1 = 9m2 y S2 = 4m2 , hallar : S3 . S1 S3 S2 a) 7 m2 b) 9 c) 10 d) 12 e) 14 47. Hallar el área de la región sombreada si ABCD es un cuadrado de lado "a" y PQ es tangente al arco AC (de centro D), en su punto medio. A B C D P Q a a) 2 4 8 2 8 a ] [    b) 2 4 8 2 8 a ] [    c) 2 4 6 2 8 a ] [    d) 2 3 8 2 8 a ] [  e) 2 4 8 2 8 a ] [    48. ABC es un triángulo obtusángulo con 2 2 AB  , 10 2 BC  , AC = 8. C1 es una circunferencia circunscrita a ABC; C2 y C3 son dos circunferencias concéntricas con C1 , siendo AB tangente a C2 y AC tangente a C3 . Determinar el área del anillo circular limitado por C2 y C3 . a) 10  b) 13  c) 14  d) 16  e) 20  49. Dadas tres circunferencias de radio 2 , tangente entre sí dos a dos. Calcular el área comprendida entre las tres circunferencias. a)   2 b)   2 3 c)   2 3 d)   3 2 e)   3 2
  • 175. Geometría 188 50. Tomando como diámetro la altura de un triángulo equilátero de lado "4a", se traza una circunferencia. Calcular el área común que encierran ambas figuras. a) ) 3 3 )( ( 2 2 a   b) ) 3 )( ( 2 2 a   c) ) 3 3 2 ( a2   d) ) 2 3 3 )( ( 2 2 a   e) ) 3 ( a2   51. En la figura dada, hallar el área de la región sombreada en función de R. R a) 7 / R2  b) 6 / R2  c) 8 / R2  d) 9 / R2  e) 10 / R2  52. Si : A+B = k, calcular : x + y. A B x y a) K b) 2K c) 3K d) K/2 e) K/3 53. Hallar A+B, si : AOB es un cuadrante y NA = 2K y MB = K. Si "Q" es punto de tangencia. A B Q M A N O B a) 2 36 185 k  b) 2 144 185 k  c) 2 36 285 k  d) 2 360 37 k  e) 2 12 k  54. Se muestra la circunferencia de centro "O" inscrita en el cuadrado ABC. Calcular el área de la región sombreada. A O B C D 5 O O' a) 5 4   b) 3 4   c) 2 3   d) ) ( 2 4   e) ) 4 ( 2   55. Calcular el área de la región sombreada. Si : r1 = 3m, r2 = 4m, r3 = 5m. r1 r2 r3 a) 27  b) 28  c) 30  d) 32  e) 36  56. En el gráfico : mEO=120°, R=6. Calcular el área de la región sombreada, si G, F y E son puntos de tangencia. R G F E O a) 3 5 3   b) 4 3 3 2   c) 3   d) 2 3 4   e) 4 6 2  
  • 176. 189 TRILCE 57. Del gráfico : AM = MN = NB, AB = 2R. Calcular el área de la región sombreada. A B O M N a) 2 24 9 R  b) 2 36 81 R  c) 2 576 49 R  d) 2 1301 6 R  e) 2 25 74 R  58. Calcular el área de la región sombreada, si: AC = 20m; AB = 16m, AB , BC y AC , son diámetros de las circunferencias. A B C a) 2 m ) 96 50 (   b) ) 76 48 (   c) ) 50 96 (   d) ) 48 50 (   e) ) 69 48 (   59. En el gráfico, OM = MB y OA = OB = R. Calcular el área de la región sombreada. A O M B a) ) 3 3 8 ( 24 R2   b) ) 3 5 8 ( 12 R2   c) ) 3 3 7 ( 16 R2   d) ) 1 3 3 ( R2   e) ) 3 5 8 ( 6 R2   60. Del gráfico, calcular el área de la región sombreada, si: ML = 9 y LO = 3. Además: "O1 " y "O" son centros. A B C M L O O1 a) 2 u 20 b) 5 2  c) 8 1  d)  28 e)  24
  • 178. 191 TRILCE GEOMETRÍA DEL ESPACIO - DIEDROS PLANO : .................................................................................................... .................................................................................................... P Q AXIOMA : DETERMINACIÓN DEL PLANO : I. A B C II. III. IV. POSICIONES RELATIVAS DE DOS FIGURAS EN EL ESPACIO I. DOS PLANOS I.a. A y B secantes I.b. A y C paralelos I.c. Q y ABC son coincidentes Capítulo 16
  • 179. Geometría 192 II. UN PLANO Y UNA RECTA a) a Q y a son secantes b) m y R son paralelos m c) a a está contenida en Q III. DOS RECTAS a) l1 l 2 l1 l 2 y son rectas secantes b) a b a y b son rectas paralelas c) n m m y n son rectas alabeadas TEOREMA DE THALES ..................................................................................................... ..................................................................................................... Si : A // B // C. E P M F Q N G R L k NL MN QR PQ FG EF    ÁNGULO ENTRE RECTAS ALABEADAS a b ..................................................................................................... ..................................................................................................... ..................................................................................................... ..................................................................................................... RECTA PERPENDICULAR A UN PLANO Definición : ..................................................................................................... ..................................................................................................... ..................................................................................................... a Condición : ..................................................................................................... ..................................................................................................... .....................................................................................................
  • 180. 193 TRILCE a b l Si : y TEOREMA DE LAS TRES PERPENDICULARES ..................................................................................................... ..................................................................................................... ..................................................................................................... l1 B E F a a BF a EF Q 1      l Si : y DISTANCIA ENTRE RECTAS ALABEADAS a E F b a y b alabeados EF : es la menor distancia entre a y b ÁNGULO ENTRE RECTA Y PLANO ..................................................................................................... ..................................................................................................... ..................................................................................................... ÁNGULO DIEDRO Definición : ..................................................................................................... ..................................................................................................... ..................................................................................................... A B Caras : P y R Arista : AB Notación : Diedro AB ó P - AB - R * Se denomina ángulo plano o ángulo rectilíneo de ángulo diedro, al ángulo formado por dos rayos perpendi- culares a la arista en uno de sus puntos y situados uno en cada cara del diedro. M N < ) MON : ángulo rectilíneo O * Comúnmente, a la medida del ángulo MON se le denomina ángulo diedro o ángulo entre plano y plano. PLANOS PERPENDICULARES Definición : ..................................................................................................... ..................................................................................................... .....................................................................................................
  • 181. Geometría 194 A y B son perpendiculares D D y E son oblicuos ÁNGULO POLIEDRO Es aquella figura geométrica determinada al trazar desde un mismo punto tres o más rayos no alineados ni coplanares. Dicho punto vendrá a ser el vértice, los rayos sus aristas y los ángulos planos que determinan sus caras. Se denomina ángulo triedro, ángulo tetraedro, ángulo pentaedro, etc. Según el número de cara sea: 3, 4, 5, etc.; respectivamente. ÁNGULO POLIEDRO CONVEXO Vértice Arista Diedro Cara A B C O  O ÁNGULO POLIEDRO NO CONVEXO ÁNGULO TRIEDRO a° b° c° A B C ° ° ° O ELEMENTOS : I. Vértice : O II. Aristas : OA, OB, OC III. Caras: BOC )  , AOC )  y AOB )  IV. Diedros :   ,   y   (Medidas) PROPIEDADES : I. Suma de Medidas de las Caras 0°<a°+b°+c°<360° Es válido para cualquier ángulo poliedro. II. Desigualdad entre las Caras b° - c°<a°<b°+c° aº - cº<b°<a°+c° aº - bº<c°<a°+b° III. Suma de las Medidas de los Ángulos Diedros. 180°< °+ °+ °<540º   
  • 182. 195 TRILCE CLASIFICACIÓN : I. Triedro Escaleno      c b a ;        c II. Triedro Isósceles      c b a ;         III. Triedro Isoedro o Equilátero      c b a ;         IV. Triedro Unirectángulo V. Triedro Birectángulo VI. Triedro Trirectángulo
  • 183. Geometría 196 01. En el gráfico, PB es perpendicular al plano R, AH = 2u, HC = 8u, PB = 3u. Calcular el área de la región APC. A B C P R H 02. En el gráfico;    30 RHS ) m ; OH=5, 3 5 PH  . Calcular el área de la región PSR. S R H P O 03. En el gráfico, PH es perpendicular al plano Q, PH = 12, AP = BP = 13 y AB = 8. Calcular HL. A B C P H L Q 04. En el gráfico, BF es perpendicular al plano del cuadrado ABCD. Si : AB = BF = BC = a y "M" es punto medio de CD , hallar el área de la región sombreada. A B C D F M 05. En el gráfico, ABC es un triángulo equilátero de ortocentro M, MD perpendicular al plano del triángulo. Calcular la medida del diedro formado por ABC y ABD. (MD = 27 , AC = 6). A B C M D 06. En la figura, hay un triedro cuyas caras son mutuamente ortogonales y la longitud de sus aristas es : PA = PB = PC = 6m. Hallar el área de la región triangular ABC. A B C P Test de aprendizaje preliminar
  • 184. 197 TRILCE 07. En la figura ABCD es un cuadrado y ABE es un triángulo equilátero, situados en planos perpendiculares. Si : AB = 2cm, AM = ME y "O" es centro del cuadrado. Hallar el área del triángulo MOD. A B C D O E M 08. Hallar la menor distancia entre EC y AB en la figura mostrada. A C D E F 4cm B 3cm 09. La figura representa una caja; en el punto H sobre la cara ABFE se encuentra una hormiga, y en el punto I sobre la cara EFGK se encuentra su comida. Hallar la mínima distancia recorrida por la hormiga para llegar a I. A B C D G K H F E I 6 7 8 10. Calcular la medida del diedro formado por los semicírculos de radio "R". Si el área de la región PCD es 2 R2 , además : AB // CD , mCD = 90º. (P punto máximo del semicírculo). O A B C R P D Practiquemos : 11. Las proyecciones de un segmento de recta AB sobre un plano y sobre una recta perpendicular al plano miden, respectivamente 12cm, 5cm. ¿Cuánto mide el segmento AB ? 12. La distancia de un punto P a una recta contenida en un plano es de 13 cm. La distancia de la recta al pie de la perpendicular que va de P al plano es de 12cm. ¿Cuál es la distancia del punto al plano? 13. Un segmento de recta de 26 cm, une el punto A del plano "x" con el punto B del plano y, x e y son planos paralelos la proyección de AB sobre x o y mide 24m. La distancia entre x e y es:
  • 185. Geometría 198 14. Se han determinado como máximo 45 planos utilizando "n" rectas secantes. Calcular "n". 15. Tres planos paralelos determinan sobre una recta secante L1, los segmentos AE y EB y sobre otra L2, secante, los segmentos CF y FD . Si : AB = 8m, CD = 12m y FD-EB = 1m. Calcular CF. 16. El radio de la circunferencia circunscrita a un triángulo regular ABC mide 3 2 dm. Por "B" se levanta BF perpendicular al plano del triángulo. Si BF mide 2dm, calcular el área de la región triangular AFC. 17. Dado un triángulo rectángulo AOB isósceles, siendo m 6 OB AO   , en el vértice O se eleva una perpendicular al plano AOB y se toma un punto M sobre esta perpendicular, uniendo M con los vértices A y B. Calcular el valor de OM para que el diedro AB mida 60°. 18. En un triángulo ABC, recto en B, los lados miden AB = 6 y BC = 8. Por el vértice B, se traza BF perpendicular al plano ABC tal que BF = 4,8. Hallar la medida del ángulo diedro que forman los planos ABC y AFC. 19. Dado un triángulo rectángulo AOB, siendo : OA = OB = 2a; en O, se levanta una perpendicular al plano AOB, sobre la que se toma M, 6 a OM  y luego se une M con los puntos A y B. Calcular la medida del diedro AB. 20. Graficar al triángulo ABC y levante BQ perpendicular al plano ABC. Si : BQ = 4,8 dm, AB = 6 dm, BC = 8 dm y AC = 10 dm. Calcular el valor del ángulo diedro AC . Problemas propuestos 21. Dos puntos A y B, situados a uno y otro lado de un plano X, distan de dicho plano, 6cm y 9cm, respectivamente. Si la proyección del segmento AB sobre el plano es 30 cm. Hallar la distancia entre los puntos A y B. a) 5 15 cm b)15 c) 3 12 d) 5 12 e) 12 22. Sean L1 y L2 dos rectas alabeadas que forman un ángulo de medida igual a 60°. En L1 se marcan los puntos "A" y "B", en L2 se marcan los puntos "P" y "Q" de modo que: AP sea la mínima distancia entre ellas y AB = PQ = 2(PA). Calcular la relación de QB y AP . a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6 23. Los planos que contienen a los rectángulos ABCD y BCEF forman un ángulo diedro recto, tal que : BC = 8 y BF = 6, entonces, la longitud del segmento que une los puntos medios de FD y AB es: a) 4 b) 4,5 c) 5 d) 5,5 e) 6
  • 186. 199 TRILCE 24. Sea ABC un triángulo equilátero se levanta CF perpendicular al plano del triángulo ABC de modo que BA CF  . Calcular la medida del ángulo diedro que forman los planos ABC y AFB. a) 30° b) 7 7 2 ArcSen c) 7 7 ArcSen d) 7 7 3 ArcSen e) 3 6 ArcSen 25. Uno de los catetos de un triángulo isósceles está contenida en el plano "P" y el otro forma con dicho plano un ángulo de 45°. Calcular el ángulo que forma su hipotenusa con el plano "P". a) 45° b) 30° c) 60° d) 5 1 ArcSen e) 4 2 ArcCos 26. La recta I de intersección de dos planos x e y, perpendiculares entre sí, es paralela a una recta R del plano "x" y a una recta S del plano y si la distancia entre I y R es de 16 cm, y la distancia entre I y S es de 12 cm. ¿Cuál es la distancia entre R y S? a) 14 cm b) 25 c) 28 4 d) 3 10 e) 20 27. Calcular el máximo valor entero de las caras de un triedro si las otras dos miden 100° y 120°. a) 100° b) 112° c) 139° d) 140° e) 141° 28. Calcular el máximo valor de una cara de un triedro equilátero. a) 100° b) 110° c) 130° d) 119° e) 141° 29. A-BCD es un triedro trirectángulo de modo que m 6 AD AC AB    . Si O es la proyección de A sobre el plano BCD, entonces la distancia que hay entre O y la arista AB es: a) 8 m b) 3 4 c) 2 6 d) 2 2 e) 3 2 30. Calcular el máximo número de planos que determinan 8 rectas paralelas y 6 puntos en el espacio. a) 48 b) 72 c) 84 d) 96 e) 106 31. Si un plano es paralelo a una recta: a) Toda perpendicular a la recta será paralela al pla- no. b) Toda recta paralela al plano será paralela a la recta dada. c) Todo plano perpendicular al plano dado será paralelo a la recta dada. d) Toda recta que es perpendicular al plano tendrá que ser perpendicular a la recta. e) Ninguna de las afirmaciones anteriores es co- rrecta. 32. Si una recta es perpendicular a tres rectas dadas : a) Las tres rectas dadas tienen que ser paralelas. b) Las tres rectas dadas tienen que estar en un mis- mo plano que contenga la perpendicular. c) Por las tres rectas pueden pasar tres planos para- lelos entre sí. d) Por las tres rectas dadas no pueden pasar planos paralelos entre sí. e) Ninguna de las afirmaciones anteriores es co- rrecta. 33. Cuando dos planos son perpendiculares : a) Todo plano perpendicular a uno de ellos lo es también al otro. b) Toda recta perpendicular a la intersección de ambos debe estar contenida en uno de ellos. c) Todas las rectas de uno de ellos son perpendicu- lares al otro. d) No siempre se cortan. e) Todo plano perpendicular a su interacción es perpendicular a ambos. 34. Se tienen los segmentos alabeados AB y CD ortogonales: AB = 4 y CD = 6. Hallar la longitud del segmento que une los puntos medios de AC y BD. a) 3 b) 4 c) 13 d) 11 e) 15 35. Dado un triángulo rectángulo isósceles AOB, siendo OA = OB = 7a, en O se levanta una perpendicular al plano: AOB, sobre lo que se toma: 6 6 a 7 OM  y, se une el punto M con los vértices A y B. Se pide calcular el valor o medida del diedro AB . a) 15° b) 18° c) 30° d) 40° e) 45° 36. El área de la proyección de un cuadrado sobre un plano que al pasar por su diagonal forma un ángulo de 60° con el plano del cuadrado, es 18,2 centiáreas. El área del cuadrado, en centiáreas es: a) 36,4 b) 21,3 c) 18,2 d) 9,1 e) 31,6
  • 187. Geometría 200 37. El punto A está 8 cm encima de un plano horizontal y el punto B está 4cm encima del mismo plano. La proyección de AB sobre el plano mide 9 cm. Calcular la longitud en cm del menor camino de A a B pasando por un punto del plano. a) 15 b) 17 c) 14 d) 21 e) 13 38. Un triángulo se encuentra en un plano que forma un ángulo de 45° con otro plano P . Si la proyección del triángulo sobre el plano P tiene 20cm2 de área, encontrar en cm2 el área del triángulo del espacio. a) 20 2 b) 18 2 c) 24 2 d) 24 e) 30 39. Una hoja de papel de forma rectangular ABCD, tiene como dimensiones: m ) 1 5 ( 8 AB   , BC = 3m. Por los puntos medios de AB y CD , se dobla la hoja de papel de manera que el ángulo diedro formado es de 72°. Hallar la distancia mínima que existe entre la arista del diedro y el segmento que une el centro de sus caras. a) 2 cm b) 3 c) 4 d) m ) 1 5 (  e) 5 2 10  40. En una circunferencia de diámetro AB = 10 cm, se escoge un punto P sobre dicha circunferencia; si hacemos girar   la circunferencia sobre su diámetro la nueva ubicación de P es P'. Hallar AP para que el perímetro del triángulo PMP' sea máximo, siendo M la proyección de P sobre AB . a) 5 cm b) 10 c) 2 5 d) 2 10 e) 3 5 41. Un triángulo isósceles ABC, donde : AB = AC = a, está inscrito en un círculo de radio a. En A, se levanta una perpendicular AD al plano del triángulo y se une el punto D con los vértices, B y C. Calcular la longitud del segmento DB para que el diedro D-BC-A mida 30°. a) 3 13 a b) 12 13 a c) 3 13 2 a d) 13 2 a e) 13 a 42. Dado un triedro S-ABC, si SC forma con la bisectriz de la cara opuesta un ángulo igual a la mitad de dicha cara, calcular el diedro C, si: diedro A + diedro B = 120°. a) 90° b) 45° c) 135° d) 60° e) 120° 43. Sea "C" un círculo de centro "O" y un cuadrado ABCD que se encuentran contenidos en planos perpendiculares (sea AB una cuerda de "C"). Se marca "M" en DC , de modo que : 3DM = 5MC, AB = 8dm y OA = 5dm. Calcular la distancia de "M" a OB . a) 41/5 dm b) 3 4 c) 42/5 d) 40/7 e) 40/3 44. Por el circuncentro "O" del triángulo equilátero ABC, se traza OP perpendicular al plano del triángulo. . Marque "H" ortocentro del triángulo APB y calcular la medida del ángulo entre AP y HC . (AC = AD). a) 37° b) 45° c) 60° d) 53°/2 e) 90º 45. Un triángulo equilátero ABC está en un plano perpendicular a un cuadrado ABDE. El segmento de recta que une el punto medio de lado AC con el punto medio del lado BD del cuadrado mide 1m. ¿Cuál es la longitud del lado del triángulo o del cuadrado? a) 2 b) 3 c) 1,5 d) 1 e) 2 46. Dado un triángulo ABC, equilátero se traza AE , perpendicular al plano del triángulo. Si : AE = BC, calcular la medida del ángulo con que se cruzan EB y AC . a) 75° b) 90° c) 120° d) 150° e) ) ( ArcCos 4 2  47. Dado un triángulo ABC. AB = 15; BC = 8 y AC = 17. Por el incentro "I" se eleva ID , perpendicular al plano ABC, siendo: 247 ID  . Calcular la medida del ángulo DAB. a) 37° b) 53° c) 60° d) 45° e) 75° 48. Sobre una circunferencia de centro "O" y radio cuya longitud es 10m, se ubican los puntos "A" y "B", tal que: mAB=127°. Por "B" se levanta BP , perpendicular al plano del círculo, siendo: BP=24m. Calcular el área de la región triangular AOP . a) 10 32 b) 10 45 c) 10 38 d) 10 40 e) 10 42
  • 188. 201 TRILCE 49. Dados dos planos no paralelos se toma un segmento AD perteneciente a uno de los planos. Si BC es la proyección de AD sobre el otro plano, hallar la distancia AB , sabiendo que: 2 AB 3 DC 6 BC   y el área del cuadrilátero ABCD es de 60m2. a) 1 m b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 50. Se tiene un triángulo rectángulo ABC, recto en B, cuyo cateto AB = 3m. Se traza la mediana BM ; luego, por B se levanta un segmento BH perpendicular al plano del triángulo ABC. Si el área de BHM es 2 m 5 5 y el área de su proyección sobre el plano determinado por BHC es de 10m2, hallar la medida de la hipotenusa AC. a) m 3 3 b) 3 4 c) 5 5 d) 5 2 e) 5 3 51. Dados los planos secantes P y Q, en P está contenido el triángulo ABC y en Q su proyección, el triángulo A1B1C1. Si : 1 1C B BC  ,    90 ACB ) m ,    30 BAC ) m y    45 C B A ) m 1 1 1 , calcular el coseno del ángulo diedro formado por los planos secantes P y Q. a) 2 / 3 b) 2 / 2 c) 3 / 3 d) 4 / 6 e) 1/2 52. Las caras de un ángulo diedro son cortadas en los puntos M y N por una recta; siendo A la proyección ortogonal de estos puntos sobre la arista, la mitad del ángulo diedro es igual a la semidiferencia de los ángulos ANM, AMN ; y si estos últimos están en la relación de 3 a 1. ¿Cuál es el valor del ángulo diedro? a) 30° b) 40° c) 50° d) 60° e) 70° 53. En el plano P , se tiene el triángulo ABC, cuyo ángulo A mide 60°. Se tiene un punto S fuera del plano P . Si las distancias, de S al punto A es igual a 25cm, de S al lado AC igual a 20cm, y de S al lado AB igual a 7cm. Hallar la distancia de S al plano P . a) 37 cm b) 39 c) 38 d) 6 e) 31 54. En una mesa, se coloca perpendicularmente una lámina rectangular apoyada sobre su base. Si la altura y la base de la lámina miden "a" cm y "b" cm, respectivamente, ¿qué relación debe existir entre estas longitudes de tal manera que si la lámina empieza a girar sobre su base, la proyección sobre la mesa en algún momento sea un cuadrado? a) a<b b) a = b c) a>b d) b 2 a  e) a 2 b  55. Los vectores OG , OC y OH son mutuamente perpendiculares y son de igual longitud (|OG|=|OC|=|OH|=a). Sea P el baricentro del CGH  . Hallar la suma de las distancias trazadas desde P a los tres planos formados por los tres tomados dos a dos. a) 2a b) 3a c) a 3 2 d) a e) a 2 3 56. Se tiene un cuadrado ABCD de lado igual a 2 cm. Un semicírculo de diámetro OC es perpendicular al plano del cuadrado y se traza la tangente AP . Hallar el área del triángulo APB siendo "O" centro del cuadrado. a) 5 cm2 b) 5 2 c) 2 5 d) 2 5 3 e) 3 5 57. Por el vértice "A" de un triángulo ABC, se levanta la perpendicular AM al plano del triángulo. Se trazan las perpendiculares AP y AQ a MB y MC respectivamente. Si : MQ = 5cm; PB = 6cm; MP = 4cm y    30 BMC ) m , hallar el área de la región triangular BMC. a) 10 cm2 b) 15 c) 18 d) 20 e) 30 58. Un triángulo se encuentra en un plano que forma un ángulo de 45° con otro plano "P". Si la proyección del triángulo sobre "P" tiene 20cm2 de área, hallar el área del triángulo. a) 10 cm2 b) 2 10 c) 20 d) 2 20 e) 2 30 59. Por el vértice "B" de un cuadrado ABCD, se traza una perpendicular BP al plano del cuadrado, "M" es punto medio de AD ; si la distancia de "P" a la recta que contiene al vértice "C" y "M" es 6 4 u y la distancia de "P" al plano del cuadrado es 4u, entonces el lado del cuadrado es: a) 8 b) 9 c) 10 d) 12 e) 15 60. Se tiene un triángulo rectángulo ABC, recto en "B", AB = 15u y BC = 20u, por un punto "P" exterior al plano ABC, se construyen diedros congruentes AB, BC y AC. Si la distancia de "P" al plano mide 12u, hallar la distancia de "P" al lado AC. a) 13 u b) 15 c) 14 d) 16 e) 18
  • 190. 203 TRILCE Capítulo 17 POLIEDROS POLIEDROS REGULARES POLIEDROS Convexo cara vértice No Convexo vértice Arista TEOREMA DE EULER C = 5 V = 5 A = 8 C + V = A + 2 C = 7 V = 10 A = 15 5 + 5 = 8 + 2 7 + 10 = 15 + 2 TEOREMA Sic = suma de los ángulos internos de todas las caras. Sic = 360º (A - C) = 360º(V - 2) Sean : n1, n2, n3, n4, ....... Los números de lados de las caras del sólido. 2 ... n n n n 4 3 2 1     * Aristas = A : número de aristas V : número de vértices C : número de lados
  • 191. Geometría 204 POLIEDROS REGULARES Sólo existen cinco poliedros regulares. Tetraedro R. Hexaedro R. Dodecaedro R Octaedro R Icosaedro R Poliedro Regular Tetraedro Hexaedro Octaedro Dodecaedro Icosaedro C Forma Cara V A 4 4 6 6 8 12 8 6 12 12 20 30 20 12 30
  • 192. 205 TRILCE 01. En todo poliedro convexo, el número de aristas es igual a : 02. La suma de los ángulos internos de todas las caras de un poliedro convexo de "V" vértices; "C" caras y "A" aristas es igual a : 03. ¿Cuántos poliedros regulares existen? 04. En todo poliedro convexo el número de caras es igual a : 05. ¿Cuál de las siguientes expresiones es verdadera? Las caras del dodecaedro regular, son : 06. En un hexaedro regular, el ángulo que forman las diagonales de una cara es : 07. Un octaedro regular se llama así, porque tiene: 08. ¿Cuál es el área de la proyección de una cara de un tetraedro regular sobre otra cara cualquiera, si la arista del tetraedro mide 3 2 m? 09. En este orden : número de caras, número de vértices, número de aristas y número de lados de cada cara, se enumeran los datos correspondientes a un tetraedro. ¿Cuál es la enumeración correcta? 10. ¿Cuál de las siguientes enumeraciones correspondientes a un hexaedro regular es la correcta? El primer número corresponde al número de caras, el segundo al número de vértices, y el tercero al número de aristas y el último, al número de lados de cada cara. Test de aprendizaje preliminar
  • 193. Geometría 206 Practiquemos : 11. La superficie total de un cubo es igual al cuadrado de la diagonal mayor multiplicado por : 12. Se dan 6 segmentos de recta de 10 cm de longitud cada uno. ¿Cuál es el mayor número de triángulos equiláteros de 10 cm de lado que pueden formarse a la vez con los segmentos de recta dadas? 13. La suma de las caras del ángulo poliedro que se forma en cada vértices en un icosaedro regular es igual a : 14. El ángulo formado por dos diagonales cualesquiera de un octaedro regular vale : 15. Encontrar el área de la sección hecha en un tetraedro regular de 10 cm de arista, por un plano de simetría que pasa por una de las aristas. 16. En un cubo de un metro de arista, la distancia del centro de una cara a cualquiera de los vértices de la cara opuesta mide : 17. El número de caras, el número de vértices, el número de aristas y el número de lados de cada cara de un octaedro regular, son respectivamente : 18. Si se corta un octaedro regular en dos poliedros, mediante un plano paralelo a una de sus caras, se obtiene como sección, un polígono regular de : 19. Si partiendo de un cierto vértice de un cubo se trazan las diagonales de dos caras vecinas, ¿cuánto medirá el ángulo que así se forma? 20. Calcular el área total de un hexaedro regular, sabiendo que la distancia de uno de los vértices al centro de una cara opuesta es de 2 m.
  • 194. 207 TRILCE Problemas propuestos 21. ¿Cuántos poliedros cuyas caras son triángulos equiláteros existen? a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6 22. Si la arista de un icosaedro regular mide 4 3 m, calcular el área de su superficie. a) 15 2 m b) 9 c) 13 d) 6 e) 3 6 23. Las aristas de un cubo miden 15 cm cada una. Si una mosca puede desplazarse sólo sobre las aristas y parte de uno de los vértices, el máximo recorrido que puede hacer para volver a su punto de partida, sin pasar dos veces por la misma arista es: a) 1,80 m b) 0,60 c) 0,75 d) 0,90 e) 1,20 24. Hallar el área total de un tetraedro regular, siendo la suma de las longitudes de sus aristas 36 cm. a) 36 2 cm b) 3 6 c) 24 d) 3 36 e) 3 24 25. Se tiene un poliedro convexo formado por 10 regiones cuadrangulares. Calcular el número de aristas de dicho poliedro. a) 12 b) 14 c) 16 d) 18 e) 20 26. Calcular el número de aristas de aquel poliedro, cuyo número de caras y el número de aristas están en la relación de 2 a 3. Además, la suma de las medidas de los ángulos internos de todas sus caras es igual a 3600º. a) 20 b) 24 c) 28 d) 30 e) 32 27. ¿Cuántas diagonales tiene aquel poliedro convexo que está limitado por 6 regiones cuadrangulares y 8 regiones triangulares. a) 38 b) 36 c) 34 d) 32 e) 30 28. En un tetraedro regular, si el segmento que une los puntos medios de dos aristas opuestas es MN . El lado del tetraedro, será: a) 3 MN b) 2 2 MN c) 2 MN d) 2 3 MN e) MN 3 2 29. Considerando como vértices los puntos donde se cortan las dos diagonales de cada cara de un hexaedro regular, se obtiene un octaedro, también regular. Si las aristas del hexaedro mide "a" cm, las caras del octaedro medirán : a) 2 2 cm 3 8 a b) 4 a2 c) 8 a 2 d) 8 a 3 2 e) 4 a 3 2 30. En un cubo, las caras opuestas son ABCD y EFGH, siendo las aristas que las conectan AE , BF , CG y DH . El ángulo que forma BE con AH mide : a) 30º b) 45º c) 60º d) 75º e) 90º 31. Dado el hexaedro regular ABCD-EFGH de aristas laterales AE , BF , CG y DH . Los puntos M y N son puntos medios de las aristas EH y HG . Hallar la medida del ángulo diedro entre el plano MNB y el plano EFGH. a) ) 3 2 ( ArcTan b) ) 3 2 2 ( ArcTan c) ) 2 2 3 ( ArcTan d) ) 15 3 ( ArcCos e) ) 17 2 ( ArcCos 32. En un octaedro regular, la distancia de un vértice al baricentro de la cara opuesta a dicho vértice mide L unidades(u). Calcular el área de la superficie total del octaedro. a) 2 2 u 3 L 3 b) 3 L 4 2 c) 3 L 2 2 d) 3 3 L 4 2 e) 2 3 L 5 2
  • 195. Geometría 208 33. Dado un tetraedro regular de arista "a", calcular el área de la sección determinada por un plano de simetría que pasa por una de las aristas. a) 2 2 a2 b) 3 2 a2 c) 4 2 a2 d) 5 2 a2 e) 6 2 a2 34. En un tetraedro OABC, se cumple que los ángulos COB = 60º, AOB = 45º, AOC = 45º. Entonces, el valor del ángulo diedro correspondiente a la arista OA vale: a) 45º b) 60º c) 75º d) 90º e) 120º 35. Un poliedro que tiene 12 vértices y 21 aristas está formado por "2p" triángulos, "c" cuadriláteros y "p" pentágonos, todos convexos. Entonces, "p" y "c" son, respectivamente : a) 1 y 8 b) 3 y 2 c) 2 y 5 d) 3 y 4 e) 4 y 1 36. Un paralelepípedo rectángulo cuyas dimensiones son a, b, c (siendo "c" la altura). Sea : a = c = 4 cm. Suponiendo que el área total es igual a 4 veces el área de uno de los rectángulos diagonales "verticales", entonces, dicha área total, en 2 cm , es : a) 76 b) 78 c) 80 d) 82 e) 84 37. En un tetraedro PQRS, el ángulo diedro correspondiente a la arista PQ es recto, y los ángulos QPR y QPS miden 45º. Entonces, el ángulo RPS, mide: a) 30º b) 45º c) 60º d) 72º e) 75º 38. Se tiene un hexágono regular ABCDEF de lado "a" en un plano "P", CDL es un triángulo equilátero perpendicular a dicho plano. El área del triángulo ALF equivale al área total de un tetraedro regular de arista: a) 2 15 a2 b) 4 15 a2 c) 6 15 a2 d) 12 5 a2 e) 12 15 a2 39. Se tiene un cubo de arista "a", hallar el área del triángulo PQR, si P es centro, Q y R son puntos medios. Q P R a) 4 3 a2 b) 8 3 a2 c) 2 3 a2 d) 6 3 a2 e) 3 3 a2 40. En un triedro trirectángulo O-ABC se sabe que : OA = 1 cm; OB = 2 cm y OC = 3 cm. Hallar la distancia de "O" a la sección plana ABC. a) 5/7 b) 6/7 c) 1 d) 4/7 e) 5/8 41. Se tiene un tetraedro regular de arista "a". Hallar el volumen del tetraedro regular que se forma al unir los baricentros de las caras. a) 27 2 a3 b) 81 2 a3 c) 162 2 a3 d) 216 2 a3 e) 324 2 a3 42. En un tetraedro ABCD, se tiene que : AC = AD y BC = BD. Hallar la medida del ángulo que forman las aristas AB y CD . a) 45º b) 60º c) 90º d) 30º e) 120º 43. Se tiene un triedro trirectángulo O-ABC, se traza OH perpendicular a la sección plana ABC. Hallar el área de la cara BOC, si las áreas de las caras ABC y BHC miden 20 y 10 2 cm , respectivamente. a) 2 cm 2 10 b) 5 c) 2 5 d) 2 15 e) 10 44. La longitud del segmento que une los puntos medios de dos aristas opuestas de un tetraedro regular es de 2 cm. ¿Cuál es la longitud de la arista? a) 1 cm b) 2 c) 3 d) 2 e) 2 2
  • 196. 209 TRILCE 45. Se tiene un cubo ABCD-EFGH y un punto interior "P". Si : 2 2 2 2 a ) PB ( ) PC ( ) PA (    , hallar PD. a) a b) 2a c) 2 a d) 2 a 3 e) 3a 46. En el triedro isósceles : O-ABC : bº = cº = 60º, y aº = 90º. Sobre OA, OB y OC se ubican los puntos M, N y L, respectivamente, tal que : 2 8 OL ON   y m )  LMN = 90º. Calcular la longitud de OM . a) 2 8 b) 8 cm c) 16 cm d) 2 4 e) 4 cm 47. "O" es el centro de un hexaedro regular ABCD-EFGH; M y N son los puntos medios de CD y CG , respectivamente. Si el área de la región triangular OMN es S, calcular el área total del hexaedro regular. a) 3 S 8 b) 3 S 16 c) 3 S 24 d) 2 S 12 e) 6 S 9 48. En el octaedro regular E-ABCD-F, M es punto medio de EC . Calcular el ángulo formado por AM y DF . a) 5 5 ArcCos b) 5 10 ArcCos c) 10 5 ArcCos d) 10 10 ArcCos e) 10 5 ArcCos 49. Dar el valor de verdad de las siguientes proposiciones: * En los vértices de todo poliedro regular se for- man ángulos diedros. * El icosaedro regular tiene 100 diagonales. * En un dodecaedro hay 20 vértices. * Las diagonales de un octaedro regular son per- pendiculares. a) FVFV b) VVVV c) FFFV d) VFVF e) FFFF 50. Dado el cubo ABCD-EFGH de arista "a", M y N son puntos medios de AE y CG . Siendo "O" el centro de la cara CDHG, hallar la distancia del punto de intersección entre OF y el plano que contiene a MBNH, a la cara EFGH. a) 5 a 2 b) 5 a 3 c) 4 a d) 8 a 3 e) 5 a 51. En el gráfico, se muestra un dodecaedro regular, siendo: P, Q, M y N puntos medios de las aristas respectivas. Calcular la medida del ángulo entre PQ y MN. P Q M N a) 18º b) 36º c) 54º d) 72º e) 45º 52. En un tetraedro regular ABCD, M y N son puntos medios de AD y BC , respecti-vamente. Si la distancia entre MN y AC es 2 3 u, calcular el área de la superficie del poliedro conjugado del tetraedro inscrito en él. a) 2 u 3 4 b) 3 2 c) 16 3 d) 3 6 e) 3 5 53. En un octaedro regular P-ABCD-Q, M y N, son centros de las caras PCD y ABQ, respectivamente. Si la distancia entre DN y MR (R es punto medio de PA ) es : u ) 11 22 3 ( . Calcular el volumen del octaedro. a) 3 u 2 9 b) 6 3 c) 19 7 d) 17 e) 6 5
  • 197. Geometría 210 54. En la figura, se muestra un icosaedro regular. Calcular la medida del ángulo entre MN y BC . N B M C a) 90º b) 60º c) 53º d) 72º e) 37º 55. En un octaedro regular E-ABCD-F, se traza la sección plana determinada por los puntos medios de las aristas AF y ED y por el punto B. Si la arista del octaedro es de 2 unidades, calcular la distancia de B a la recta de intersección de la sección con la cara ADF. a) 3 b) 33 111 c) 13 453 2 d) 117 315 e) 1 56. En un tetraedro P-ABC trirectángulo en P : PA = PB = PC = 2 3 . Calcular la diagonal de cubo inscrito en el tetraedro, donde uno de los ángulos sólidos del cubo es P . a) 3 b) 6 c) 4 d) 3 2 e) 6 57. Se tiene el hexaedro regular ABCD-EFGH, cuyas aristas mide 7 unidades. Calcular la menor distancia entre las rectas AC y MG, siendo "M" punto medio de la arista AD. a) 9 b) 3 c) 3 d) 3 7 e) 2 58. Calcular la medida del ángulo diedro formado por dos caras adyacentes de un tetraedro regular. a) ) 2 6 ( ArcTan b) 90º c) 60º d) ) 3 2 2 ( ArcSen e) ) 2 3 ( ArcSen 59. En un hexaedro ABCD-EFGH, "O" es el centro de la cara ABCD, P de AG ; de tal manera que : m )  OPA = 90º y OF = 5 2 . Calcular : 2 2 ) AP ( ) PG (  . a) 200 b) 180 c) 160 d) 140 e) 120 60. El volumen de un octaedro regular es igual a 3 u 6 . Calcular la distancia del centro del octaedro a una de sus caras. a) 2 b) 3 3 c) 1 d) 2 2 e) 6 6
  • 199. 213 TRILCE PRISMA - CILINDRO PRISMA Arista lateral Altura Cara lateral vértice base El nombre del prisma depende del polígono de la base. Los gráfi- cos muestran a un pris- ma triangular y a otro hexagonal. Clasificación I. Prisma Recto Altura o arista lateral su desarrollo lateral ) Lateral Arista ( . ) P 2 ( A BASE L BASE L T A 2 A A   altura . ) A ( V BASE   II. Prisma Oblicuo sección recta ) Lateral Arista ( . ) P 2 ( A R . S L  ) Lateral Arista ( . ) A ( V R . S  Altura . ) A ( V BASE  ( ) Capítulo PRISMA - CILINDRO - TRONCOS 18
  • 200. Geometría 214 III. Paralelepípedo Las caras opuestas son paralelogramos congruentes y de planos paralelos. h Paralelepípedo rectangular (Rectoedro y ortoedro) * Área = 2(ab+bc+ac) Volumen = abc D2 = a2 + b2 + c2 V = (A ) . Altura BASE a c b D CILINDRO base generatriz o altura (g) 2 R  g ) R 2 ( AL   ) R g ( R 2 AT      ) R ( S 2 R su desarrollo lateral g g R Generatriz (g) Sección recta Cilindro oblicuo obtenido al cortar a un cilindro recto mediante dos planos paralelos entre sí; pero in- clinados respecto de la base. Base elíptica h R ) Altura ( ) A ( V ) generatriz ( . ) A ( V A 2 A A ) generatriz )( P 2 ( A BASE R . S BASE L T R . S L      Sección recta
  • 201. 215 TRILCE TRONCOS DE PRISMA Y CILINDRO TRONCO DE PRISMA TRIANGULAR RECTO a c b s a c s s a ) c b a ( 3 S V    ) c a ( 3 S V   3 S . a V  b = 0 b = 0 c = 0 TRONCO DE PRISMA TRIANGULAR OBLICUO sección recta E G F A B C sección recta F E G C B A ) CG BF AE ( 3 ) R . As ( V    ) C G A E ( 3 ) R . A s ( V   E G C B A h1 h2 h3 s ) h h h ( 3 s V 3 2 1   
  • 202. Geometría 216 TRONCO DE CILINDRO CIRCULAR RECTO elipse 2 g g eje : OO m M 1   eje . R V A A A eje ) R 2 ( A 2 BASES L T L       elipse gm= 0 R O gm O1 O1 R O g M g M A : Área Lateral L TRONCO DE CILINDRO OBLICUO O2 O1 sección recta R ) eje ( ) R . As ( V A A A eje ) R 2 ( A BASES L T L      sección recta O1 O2 Eje = g M + gm 2 gm = 0
  • 203. 217 TRILCE 01. Un cilindro recto cuya altura es igual al diámetro de la base, tiene un área total de 12  . Calcular su volumen. 02. Las tres dimensiones de un rectoedro están en progresión aritmética y suman 45 unidades. Calcular el volumen, si su área total es igual a 1332 2 u . 03. Calcular el volumen de un prisma cuadrangular regular, si la diagonal del desarrollo de la superficie lateral mide 37 unidades y la arista lateral de dicho prisma mide 35 unidades. 04. Calcular el área lateral de un cilindro recto; cuya generatriz mide 12 unidades y su área de base es igual a 16  2 u . 05. La diagonal de un paralelepípedo rectangular es igual a 70 unidades. Calcular el volumen, si dos de sus dimensiones de dicho paralelepípedo son 3 y 5 unidades. 06. Calcular el volumen de un ortoedro, cuyas diagonales de sus caras miden 74 , 130 y 106 unidades. 07. Dos cilindros circulares rectos semejantes y de áreas total de 18  dm2 y 50  dm2. ¿En qué relación están sus volúmenes? 08. En un paralelepípedo rectangular las diagonales de las caras miden 34 , 58 y 74 cm. El volumen del paralelepípedo, en 3 m , será : 09. En un prisma triangular regular, se inscribe un cilindro. ¿Qué relación existe entre las áreas laterales de estos dos cuerpos? Test de aprendizaje preliminar
  • 204. Geometría 218 10. Un cilindro contiene las tres cuartas partes de su volumen con agua. Si se inclina como se muestra en la figura, ¿cuánto debe medir "  " para que el agua no se derrame?  R 2R Practiquemos : 11. En una piscina de 40 m de largo, 12 m de ancho y 3,5 m de alto, se introducen 720000 litros de O H2 . ¿A qué distancia del borde llega el O H2 ? 12. Calcular el volumen de un cilindro generado por la rotación de un rectángulo alrededor de un lado, si el área del rectángulo generador es igual a 16 y la longitud de la circunferencia que describe el punto de intersección de las diagonales es igual a 2  . 13. Calcular la altura de un prisma pentagonal regular de 440m2 de área total, si el área de la base es 50 m2 y el apotema del pentágono mide 5 m. 14. Sea ABC-PQR un prisma triangular regular cuya arista básica mide 6 dm. Se traza un plano secante que pasa por PB y corta a RC en E. Si : EC = 4 dm y ER = 6 dm, calcular el volumen del sólido ABC-PBE. 15. Las bases de un paralelepípedo recto son rombos cuyas regiones tienen áreas igual a 1 S . Las áreas de las secciones determinadas por los planos diagonales son iguales a 2 S y 3 S , respectivamente. Calcular el volumen de dicho paralelepípedo. 16. Calcular el volumen de un rectoedro, cuyas dimensiones son congruentes, a las aristas básicas de un prisma recto triangular de volumen "V", cuya altura es igual al duplo del diámetro de la circunferencia circunscrita a su base. 17. El área de una de las caras de un prisma triangular es de 24 2 u y la arista opuesta dista de dicha cara en 10 unidades. Calcular el volumen de dicho prisma. 18. Calcular el volumen de un cilindro recto circunscrito a un prisma triangular regular, cuyas caras laterales son cuadradas y el área de la base dicho prisma es de 3 3 u2.
  • 205. 219 TRILCE 19. Calcular el volumen de un prisma triangular regular circunscrito a una esfera de 6 unidades de diámetro. 20. Calcular el área total de un cilindro recto circunscrito a una esfera de 12 unidades de radio. Problemas propuestos 21. La base de un paralelepípedo recto es un rombo, cuya área es igual a S. Las áreas de las secciones diagonales son iguales a 1 S y 2 S . Hallar el volumen del paralelepípedo. . a) 2 S . S . S 2 1 b) 4 S . S . S 2 1 c) 3 S . S . S 2 1 d) 5 S . S . S 2 1 e) 6 S . S . S 2 1 22. En un cubo de arista L, a una distancia de "x" unidades de cada vértice sobre la arista, se efectúan cortes como indica la figura (pirámide triangular). Si la suma de los volúmenes de estas pirámides es igual a la quinta parte de lo que queda, la razón x/L, es : L x a) 1/6 b) 1/5 c) 1/4 d) 1/3 e) 1/2 23. La base de una pirámide triangular regular de 24 unidades cúbicas de volumen, descansa sobre una mesa, frente a la cual está un espejo en posición vertical. Si las imágenes de los vértices de dicha base distan 7,7 y 13 unidades de la superficie del espejo, ¿cuál es la altura de la pirámide? a) 3 5 b) 6 b) 3 4 d) 3 2 e) 3 3 24. Se tiene un tronco de prisma recto de bases planas ABCD y D' C' B' A'. La primera base es un cuadrado de 7 cm de lado y la segunda es un paralelogramo. Hallar el volumen del sólido, sabiendo que las aristas AA' = 4 cm; BB' = 5 cm y CC' = 10 cm. a) 228 cm3 b) 268 c) 286 d) 300 e) 343 25. Hallar el volumen del sólido formado al unir los puntos medios de las aristas de hexaedro regular, cuya arista mide 8 cm. a) 512 cm3 b) 1024/3 d) 1280/3 d) 1160/3 e) 1536/3 26. Se tiene un tetraedro regular ABCD cuya arista mida "a" y tal que sus vértices se encuentran sobre la superficie de un cilindro recto que tiene por generatriz la arista AB. Hallar el volumen del cilindro. a) 25 a 4 3  b) 16 a 3 3  c) 28 a 5 3  d) 32 a 9 3  e) 40 a 7 3  27. Se tiene un tronco de cilindro circular recto en el que su volumen es numéricamente igual al valor de su área lateral. Si la diferencia entre las generatrices máxima y mínima del tronco de cilindro es  , hallar la longitud de la elipse que constituye su base superior. a) 5  b) 7  c) 5 2 d) 7 2 e)  4 28. Una chimenea de 3m de altura tiene forma prismática hexagonal regular. Hallar su espesor, si el volumen de fábrica es igual al volumen interior. El lado del hexágono interior 2 . a) 2 m ) 2 2 ( 2 3  b) ) 2 3 ( 2 3  c) ) 2 2 ( 2 2  d) ) 2 1 ( 2 3  e) ) 3 3 ( 2 3 
  • 206. Geometría 220 29. Calcular el volumen de un cilindro oblicuo, si la sección recta es un círculo de 4 cm2 de área y forma con el plano de la base un diedro de 45º, además la distancia de pie de la altura a la generatriz cuyo extremo se traza la altura es 3 2 cm. a) 2 16 b) 3 8 c) 2 12 d) 3 16 e) 2 16 30. Hallar el volumen de un tronco de cilindro recto de revolución en donde la generatriz mayor es "a" y la menor es nula, las bases forman un diedro de 45º. a)  3 a b) 3 a 2  c) 8 a 3  d) 2 a 3  e) 3 a 3  31. En un tronco de cilindro circular recto, la diferencia de la generatriz máxima y la mínima es de  dm. Si el volumen es numéricamente igual al área lateral, calcular el perímetro de la base elíptica. a) 5  dm b) 5 10 c) 5 2 d) 3 4 e) 2 2 32. Calcular el volumen de un tronco cilindro oblicuo, conociendo que la sección recta es un círculo y forma con la base mayor un diedro de 45º; además, el área de la base mayor es de 60 u2 y las generatrices máxima y mínima miden 10 dm y 4 dm en ese orden. a) 3 dm 6 240 b) 3 160 c) 2 210 d) 3 190 e) 2 220 33. Hallar el volumen de un tronco de cilindro recto circunscrito a una esfera de radio 2. El diámetro de la base mide 6 y la generatriz mínima del tronco es nula. a) 60  b) 45  c) 12  d) 36  e) 40  34. La base de un prisma recto, cuya altura es igual a 1 m; es un rombo con lados iguales a 2 cm y ángulo agudo de 30º. Por un lado de la base se traza un plano secante entre él y el plano de la base, forman un ángulo igual a 60º. Hallar el área de la sección. a) 3 3 8 b) 2 3 3 c) 3 3 4 d) 3 3 2 e) 3 3 3 35. Hallar el área lateral de un cilindro de revolución, sabiendo que una sección perpendicular a la base tiene área 2m2 y determinar, en ellas arcos, de medida 90º? a) 2 cm 2 b)  c) 2  d) 2 2 e) 2  36. Una población tiene 500 habitantes que consumen en promedio por persona 12 litros de agua diariamente. Determinar el radio de un pozo cilíndrico que abastezca a la población y que tenga capacidad para una reserva de 25% del consumo diario y tal que la altura sea 4 veces el diámetro. a) 3 25  b) 3 50  c) 3 75  d) 3 25 2 1  e) 3 75 2 1  37. Sea ABC-FED un tronco de prisma triangular recto, donde la base recta es el triángulo rectángulo isósceles ABC de hipotenusa AC = 3 2 . La otra base FED es un triángulo equilátero y cuya cara lateral es un rectángulo cuya altura es una arista lateral y mide 6 dm. Calcular el volumen de dicho tronco. a) 33,6 dm3 b) 41,5 c) 30,6 d) 631,5 e) 45,7 38. En un tronco de cilindro circular recto, la generatriz mínima es nula y las bases forman un diedro de ángulo rectilíneo igual a 60º. Calcular el volumen del sólido, si la suma de las áreas de las bases es 48  dm2. a) 695,32 3 dm b) 965,23 c) 895,32 d) 348,23 e) 665,32 39. ABCD-AEFD es un tronco de prisma recto, donde la base recta ABCD es un trapecio isósceles cuyas bases BC y AD miden 10 dm y 20 dm, en ese orden. Si AB mide 13 dm y las bases forman un diedro de 60º, calcular el área de la base AEFD. a) 460 dm2 b) 260 c) 360 d) 480 e) 370 40. En un tronco de cilindro circular recto, se encuentra inscrita una esfera de radio igual a 6 dm. El eje mayor de la elipse forma un ángulo de 37º con la generatriz máxima. Determinar el volumen de dicho tronco. a) 576  b) 496  c) 136  d) 468  e) 586 
  • 207. 221 TRILCE 41. Un tronco de cilindro oblicuo tiene como sección recta a un círculo de 8  dm de perímetro. Las generatrices máxima y mínima miden 14 dm y 4 dm, en ese orden. Calcular la relación entre el volumen y la generatriz mayor del tronco. a) 2 dm 7 72  b)  5 62 c)  8 27 d)  5 47 e)  6 73 42. Grafique al triángulo ABC, de modo que : AB = 6 dm, BC = 8 dm, y AC = 10 dm. Perpendicularmente a su plano se levanta AE , BF y CH que miden 2 dm, 8 dm y 4 dm en ese orden. Calcular el volumen del sólido ABC-EFH. a) 112 3 dm b) 168 c) 336 d) 224 e) 102 43. En un tronco de cilindro circular recto, las generatrices máxima y mínima miden 10 dm y 4 dm en ese orden. Si el diámetro de la base circular es congruente al eje del sólido, calcular el área lateral del sólido. a) 3 dm 48  b)  72 c)  49 d)  94 e)  98 44. La figura muestra a un tronco de cilindro recto, donde el área de la sección ABCD es de 18 dm2 y la distancia de "O" a DC es de 3,6 dm. Calcular el volumen del tronco de cilindro recto. O D C A B a) 3 dm 14  b)  24 c)  9 c)  18 e)  21 45. En un tronco de prisma recto (cuya sección recta es un triángulo), se inscribe una pirámide cuya base es la misma del tronco y cuyo vértice es el punto de intersección de las medianas de la otra base. Calcular la relación de volúmenes de estos sólidos. a) 9 1 b) 3 1 c) 2 1 d) 9 2 e) 3 2 46. El lado de un cuadrado ABCD, mide 2 dm; se levantan las perpendiculares AE y CF la plano del cuadrado ABCD. Si : AE = 6 dm y CF = 9 dm, calcular el volumen del sólido de la base ABCD, aristas laterales AE y CF . ( EF es un arista de la parte superior del sólido). a) 5 3 dm b) 10 c) 12 d) 8 e) 9 47. Calcular el área total de un tronco de prisma regular, cuya base es un cuadrado de 3 dm de lado. Las bases forman un ángulo de 45º y dos aristas laterales opuestas son congruentes y de longitud igual a 8 dm. a) 117,69 b) 123,42 c) 107,82 d) 217,69 e) 171,69 48. Se tiene un prisma recto triangular ABC-DEF inscrito en un cilindro equilátero, de modo que : AB = 6 3 ; BC = 6 y AC = 12. Calcular la longitud de menor recorrido sobre la superficie lateral del cilindro para ir de B a un punto de la generatriz AD y luego hacia F. a) 2 5 4 6   b)  12 c) 2 5 12 3   d) 2 25 36 2   e)  15 49. En la base de un cilindro de revolución se inscribe un hexágono regular ABCDEF, luego se trazan las generatrices Al, BM, DN y EO. Calcular la razón de los volúmenes del cilindro y del sólido ABDE-LMNO. a)  b) 2  c)  6 d) 3  e)  5 50. Un cilindro recto contiene agua hasta cierto nivel. Se suelta un tetraedro regular metálico y el nivel del agua sube en 2 2 unidades. Calcular la altura del tetraedro, , si el área de la base del cilindro es de 9 2 u  . a)  3 2 b)  6 2 c) 6 123  d) 3 43  e) 2 
  • 208. Geometría 222 51. Los puntos A y B son los extremos de una misma generatriz de un cilindro de revolución, cuyo radio de base mide 3 unidades y su altura es de 5 unidades. Calcular la mínima longitud de la curva para ir de A a B, dando una vuelta sobre la superficie lateral del cilindro. a)  6 b) 2 18 50   c)   3 5 3 d) 2 36 25   e)  9 52. Calcular el volumen de un cilindro recto, si el desarrollo de su superficie lateral tiene un área de 180 2 u  y la distancia entre los centros de las bases de dicho cilindro mide 15 unidades. a) 540 3 u  b) 480  c) 440  d) 560  e) 380  53. El área total de un prisma triangular regular es 2 u ) 2 3 6 1 ( 3 2  . Calcular el volumen del prisma, cuya arista lateral es el triple de la arista básica. a) 12 3 u b) 3 6 c) 6 2 3 d) 3 12 e) 18 3 54. Las aristas básicas de un prisma recto triangular miden 20, 21 y 29 unidades, respectivamente. Calcular el volumen del prisma, cuya arista lateral es igual al triple del inradio de la base de dicho prisma. a) 2100 3 u b) 1200 3 c) 3780 d) 2 1800 e) 4200 55. AE y BF son las generatrices menor y mayor, , respectivamente, de un tronco de cilindro recto, cuyo diámetro AB de la base mide 5 4 unidades. BE es perpendicular a EF , de modo que : EB = 12. Calcular el volumen de dicho tronco. a) 3 u 260 b)  6 100 c)  280 d)  3 120 e)  300 56. Se tiene un tronco de cilindro recto, cuya generatriz menor es nula y su área lateral es igual a "S". Calcular el volumen de dicho tronco; si su área de base circular es "B". a) 3 B S b)  B 2 S c) SB d) 2 B S e)  2 SB 57. Se tiene un tronco de cilindro oblicuo, cuyas generatrices menor y mayor miden "a" y "b" unidades, respectivamente. Calcular el área lateral de dicho tronco, si el área de su sección recta es "S". a) S ) b a (  b) ) b a ( S   c) a Sb  d) b Sa  e) ) 2 b a ( S   58. Calcular el volumen de un tronco de prisma recto triangular, cuya base es un triángulo rectángulo isósceles de perímetro igual a ) 2 1 ( 4  unidades y las aristas laterales de dicho tronco miden 7, 9 y 11 unidades respectivamente. a) 3 u 6 24 b) 36 c) 30 3 u d) 3 30 e) 2 32 59. Se tiene un tronco de prisma oblicuo triangular, cuya sección recta es un triángulo rectángulo isósceles de cateto igual a 6 unidades de longitud y la distancia entre los baricentros de las bases es igual a 16 unidades. Calcular el área lateral de dicho tronco. a) 2 u ) 2 2 ( 90  b) 224 c) ) 6 2 ( 90  d) ) 3 1 ( 120  e) 288 60. Por los vértices B y C de un triángulo equilátero ABC, se levantan las perpendiculares BE y CF al plano del triángulo, de tal manera que : BE = 11, CF = 4 y BC = 6. Calcular el volumen del sólido ABC-EFA. a) 3 u 60 b) 3 45 c) 72 d) 6 30 e) 90
  • 210. 225 TRILCE PIRÁMIDE Elementos : * Vértice : O * Base : ABCD * Altura : H * Arista laterales : OA , OB , ...... Notación : Pirámide : O - ABCD H O A D B C Pirámide Regular: O B C H A M D h Ap ap * Apotema de la pirámide : AP * Apotema de la base : ap * Semiperímetro de la base : PBASE * Área Lateral : (AL) AL = PBASE . AP * Área Total : (AT) AT = PBASE (AP+aP) * Volumen : (V) V = 3 1 . SBASE . h en cualquier pirámide CONO DE REVOLUCIÓN h O H A r g * Generatriz : g * Radio de la base : r * Desarrollo del Área Lateral (AL) A A O g g 2 r  ° * Área Lateral (AL) AL = rg * Área Total (AT) AT =  r (g+r) * Volumen (V) V = 3 1  r2 h Capítulo PIRÁMIDE - CONO - TRONCOS 19
  • 211. Geometría 226 TRONCO DE PIRÁMIDE Y CONO Sección paralela a la base de una pirámide y de un cono recto : H O R P Q A C B h g' g r' r h H Propiedades : 1. 2 2 2 2 2 2 T T L L AB PQ OA OP H h ABC O A PQR O A ABC O A PQR O A         2 2 2 2 2 2 T T L L H h r ' r g ' g A ' A A ' A     2. 3 3 3 3 3 3 O O BC QR OB OQ H h ABC V PQR V      3 3 3 3 3 3 H h r ' r g ' g V ' V    * V' = volumen del cono sombreado. * V = volumen del cono mayor. TRONCO DE PIRÁMIDE h S1 S2 * Volumen (V) ) S S . S S ( V 2 2 1 1 3 h    TRONCO DE PIRÁMIDE REGULAR * Apotemas de las bases: a' p, y ap. * Apotema del tronco: Ap * Semiperímetro de las bases: p' y p. S 1 S2 O' a'p N Ap h O ap M * Área Lateral (AL) Ap ). p ' p ( AL   * Área Total (AT) 2 1 L T S S A A    * Volumen (V) ) S S . S S ( V 2 2 1 1 3 h    TRONCO DE CONO O DE REVOLUCIÓN * Radios de las bases: R y r * Generatriz del tronco: g B O' A R O r h g * Área Lateral (AL) AL = (r + R)g = g(r+R) * Área Total (AT) AT = AL + r2 + R2 * Volumen (V) ) R R r r ( V 2 2 2 2 3 h        ) R Rr r ( V 2 2 3 h    
  • 212. 227 TRILCE 01. En el cono recto, hallar: * Área lateral * Área total * Volumen 10 6 02. Hallar el volumen de un cono de revolución de área lateral igual a "m". La distancia del centro de la base a una de sus generatrices es 2n. 03. Calcular el volumen de un cono de revolución en el cual el desarrollo de su superficie lateral se muestra. R=8 04. Calcular la medida del ángulo del desarrollo que se obtiene, al desarrollar la superficie lateral del cono menor, si tiene una generatriz paralela a la generatriz mayor, 15 h  ; R = 1. R h 05. Calcular la longitud de la altura de una pirámide cuadrangular regular, si el lado de la base mide "a" y el área de dicha base es los 9 4 del área total. 06. Se tiene una pirámide V-ABCD tal que ABCD es un paralelogramo cuyas diagonales miden AC=10 y BD=8. Hallar el valor de: 2 2 2 2 ) VD ( ) VB ( ) VC ( ) VA ( E     Test de aprendizaje preliminar
  • 213. Geometría 228 07. En la figura, calcular la distancia "P" a la base superior, si el cilindro recto mostrado es equivalente a 18 conos de revolución como el que se indica en su parte interior, la altura de dicho cono mide 8 cm. P 08. Calcular el volumen de una pirámide cuyas caras laterales son triángulos equiláteros y cuya base es un cuadrado de lado "a". 09. Se tiene un cono recto de altura 40 y radio 30, se inscribe una esfera en el cono, cuya línea de tangencia lo ha dividido en dos sólidos. Calcular el volumen del cono superior. 10. En una pirámide hexagonal regular, su altura mide 18 y la arista de la base mide 12. Calcular a qué distancia del vértice se debe trazar un plano paralelo a la base para que la sección resultante tenga un área de 3 72 . Practiquemos : 11. Una pirámide cuadrangular regular tiene como arista básica 5dm y es cortado mediante un plano paralelo a la base a 6dm de su vértice. Si la sección que se determina es de 4dm2 de área, hallar el volumen del tronco de pirámide que se determina. 12. La altura de un cono recto se divide en tres segmentos congruentes por dos puntos, por dichos puntos se trazan planos paralelos a las bases. Calcular el volumen de la parte mayor, si el volumen del cono es de 27m3. 13. En una pirámide cuya base es un triángulo equilátero, su altura es igual al radio del círculo circunscrito a la base. A una distancia igual a la medida del inradio de la base, se traza un plano paralelo a ésta que determina un tronco de pirámide cuyo volumen se pide calcular en función del circunradio R de la base. 14. ¿A qué distancia del vértice de una pirámide cuya altura mide 8 cm, se debe trazar un plano paralelo a la base para que se determine dos sólidos equivalentes?
  • 214. 229 TRILCE 15. El área lateral de un cono de revolución mide "M" y la distancia del centro de la base a una de sus generatrices mide "N". Entonces el volumen de dicho, cono es: 16. Dado una pirámide regular hexagonal, la arista de la base es "b". Si la arista lateral mide "3b", hallar la distancia del pie de la altura a una arista lateral. 17. En una pirámide cuadrangular regular, la arista lateral forma 37° con el plano base. Calcular el valor del ángulo diedro que forma la cara lateral con la base. 18. Calcular el área lateral de un cono de revolución de altura "h", si la porción de perpendicular trazada a una generatriz por un punto de la circunferencia base e interceptada por la prolongación de la altura mide "a". 19. La generatriz de un cono mide 12dm y la superficie lateral desarrollada forma un semicírculo. Calcular el volumen de dicho cono. 20. Los volúmenes que genera un triángulo rectángulo cuando gira alrededor de sus catetos son de 3dm3 y 4dm3. Calcular el volumen que genera el triángulo cuando gira alrededor de la hipotenusa. Problemas propuestos 21. Determinar el volumen de un tronco de cono de revolución, cuyas bases tienen como áreas 2 dm 16 y 2 dm 81 . Además, el área total del tronco es de 2 dm 266 . a) 3 dm 352 b) 432  c) 502  d) 532  e) 842  22. Calcular el volumen de un tronco de cilindro recto, conociendo que la sección recta es un círculo y forma con una base mayor un diedro de 45°; además el área de la base mayor es 60u y las generatrices máxima y mínima son 10 y 4u, respectivamente. a) 3 u 2 210 b) 2 180 c) 2 220 d) 2 240 e) 2 190 23. En un tronco de pirámide cuadrangular las bases distan u 3 2 , la arista básica menor mide 2u y las caras laterales están inclinadas con respecto a la base un ángulo diedro cuya medida es 60°. Calcular el área de la superficie total. a) 116 u2 b) 96 c) 104 d) 102 e) 100 24. El volumen de un tronco de cono de revolución es 336  cm3 la altura mide 4cm y el radio de la base mayor es el doble del radio de la base menor. Hallar el radio de la base mayor. a) 12 cm b) 6 c) 8 d) 5 e) 2 4 25. Una cuerda del círculo base de un cono circular recto de 8m de altura, mide 16m. La distancia de la cuerda al centro del círculo de la base es de 4m. Calcular el área lateral del cono. a)  12 2 m b)  5 48 c)  96 d)  5 96 e)  48
  • 215. Geometría 230 26. Sea F-ABCD una pirámide donde las aristas laterales son congruentes y miden dm 2 5 . AB y BC miden 8dm y 6dm en ese orden. Calcular el volumen del sólido, sabiendo además que la base es un rectángulo. a) 80/3 dm3 b) 40 c) 80 d) 90 e) 50/3 27. En un cono recto de revolución, el punto medio de una generatriz dista de la base 6dm. Si el radio es de 4dm, calcular la capacidad de dicho cono. a) 3 dm 32 b)  64 c)  46 d)  54 e)  60 28. Se inscribe una esfera en un cono cuya base tiene una longitud de dm 10 y una altura de 12dm. Calcular el área de la sección que determina los puntos de tangencia de la esfera y la superficie lateral del cono. a) 2 169 1600 dm  b) 19 160 c) 19 1060 d) 149 1200 e) 20 1600 29. En una pirámide S-ABC, la base ABC y la cara SBC son triángulos equiláteros. Si : AS = 4 y BC = 6, calcular el volumen de la pirámide S-ABC. a) 23 4 b) 26 2 c) 23 3 d) 26 e) 26 5 30. Calcular el volumen de una pirámide cuya base es un trapecio rectángulo de diagonales perpendiculares y base mayor igual a 16m. Además, se sabe que el pie de la altura de la pirámide coincide con el punto de intersección de las diagonales de la base y que los ángulos diedros cuyas aristas son las bases mayor y menor del trapecio rectángulo; miden 45° y 53°, respectivamente. a) 482 m3 b) 506 c) 512 d) 525 e) 600 31. Se da una pirámide regular de base cuadrada S-ABCD con el vértice S, por los puntos A y B y el punto medio de la arista SC se ha trazado un plano. ¿En qué relación el plano divide al volumen de la pirámide? a) 1/2 b) 2/3 c) 3/2 d) 3/4 e) 3/5 32. Se construye un cono circular recto de 10dm de altura y se le inscribe una esfera de 8dm de diámetro, ¿cuál es el volumen del cono? a) 3 3 400 dm  b) 3 800 c) 3 500 d) 3 700 e) 3 100 33. En un cono de revolución, se inscribe dos esferas de radios 2dm y 6dm. Calcular el volumen del cono. a) 3 dm 190 b)  810 c)  790 d)  840 e)  648 34. En un cono recto de revolución de vértice "O" y diámetro AB , en la base, se trazan AP y BQ cuerdas secantes, que forman un ángulo de 45. Hallar POQ ) m  , si la altura del cono es igual al radio de la base. a) 45 b) 90 c) 60 d) 120 e) 75 35. Hallar el volumen de un cono recto de altura 3m, sabiendo que el plano que pasa por el vértice determina en la base una cuerda que subtiende un arco de 120° y que la sección determinada por dicho plano es un triángulo rectángulo. a) 9  b) 12  c) 18  d) 24  e) 36  36. Se tiene una pirámide cuadrangular regular en la cual una arista lateral y la altura forman un ángulo cuya medida es 30°. Calcular la medida del ángulo diedro que forma el plano de la base y un plano perpendicular a una arista lateral. a) 45° b) 53° c) 2 ArcCtg d) 5 ArcTg e) 30° 37. Por el incentro del triángulo ABC cuyos lados miden 5m, 6m y 7m, se traza la perpendicular al plano de dicho triángulo. Si : IO = 2 2 , hallar la suma de las áreas de las caras laterales de la pirámide O-ABC. a) 144 b) 6 14 c) 6 12 d) 6 6 e) 6 18 38. La base de una pirámide es un triángulo equilátero y las caras laterales son triángulos isósceles rectángulos. Si las aristas laterales miden 4 dm, calcular el área total de la pirámide. a) 2 m ) 3 2 6 ( 4  b) ) 3 3 2 ( 2  c) ) 3 3 3 ( 4  d) ) 3 2 4 ( 3  e) ) 3 2 6 ( 5  39. Hallar el volumen de una pirámide irregular O-ABCD, sabiendo que su base ABCD es un cuadrado de lado "a", su cara lateral AOB es un triángulo rectángulo (recto en "O") y su cara lateral COD es un triángulo equilátero.
  • 216. 231 TRILCE a) 12 / 3 a3 b) 4 / 3 a3 c) 3 / 3 a 2 3 d) 12 / 2 a3 e) 4 / 2 a3 40. De una lámina de lata circular de radio "R", se extrae un sector circular de 120º, como se muestra en la figura, uniendo los extremos OA y OB se construya un embudo. Calcular la capacidad de dicho embudo. 120º O A B R R a) 3 R 2 81 2  b) 3 R 3 9 4  c) 3 R 2 27 2  d) 3 R 2 87 2  e) 3 R 3 27 5  41. Se tienen dos conos rectos congruentes tangentes por sus generatrices y cuyos vértices coinciden, si sus alturas son "h" y el radio de bases es "r"; entonces el área de la región triangular cuyos vértices son los centros de las bases y el vértice común de los conos es: a) 2hr b) hr r c) 2 2 h r h  d) 2 h 2 r 3 h r  e) 2 r 2 h 3 r h  42. La altura y el diámetro de la base de un cono recto miden 18 y 24 unidades respectivamente. En el cono, se inscribe un cilindro recto cuya área total es 2 u 260 . Calcular el volumen del cono parcial cuya base es la base superior del cilindro. a) 500 u3 b) 480  c) 440  d) 420  e) 400  43. En un tronco de pirámide regular cuadrangular, el plano que pasa por un lado de la base mayor y el lado opuesto de la base menor forma con la base mayor un ángulo de 60°. Calcular el volumen de dicho sólido si los lados de las bases miden 3 y 3 3 . a) 26 3 b) 30 3 c) 60 d) 70 e) 39 44. Las bases de un tronco de pirámide regular hexagonal tienen 4u2 y 9u2 de áreas respectivamente; y su altura es igual a la arista de un hexaedro regular equivalente. Calcular el volumen de dicho tronco. a) 3 3 19 u b) 19 3 c) 3 19 3 d) 3 19 3 19 e) 3 19 45. Calcular el volumen de una pirámide de base triangular en la que dos de sus caras son triángulos equiláteros cuyo lado mide L y las otras dos son triángulos rectángulos isósceles. a) 12 2 3 L b) 10 2 3 L c) 8 2 3 L d) 12 5 3 L e) 8 5 3 L 46. Un tronco de pirámide equivalente a un hexaedro regular tiene como altura a la arista del hexaedro regular. Hallar el área total del hexaedro conociendo que el tronco de pirámide tiene por bases 1m2 y 4m2. a) 13 m2 b) 9 c) 14 d) 15 e) 16 47. Hallar el volumen de un tronco de cono de revolución, cuyo desarrollo del área lateral es un trapecio circular de área 30  , si la altura y la generatriz del tronco miden 3 y 5u respectivamente. a) 30  b) 31  c) 32  d) 33  e) 36  48. Dos bases de un tronco de cono circular son dos círculos de radios que miden 3 y 6m. Si la generatriz mide 6m, hallar la longitud del radio de la esfera circunscrita. a) 3 m b) 4 c) 5 d) 6 e) 8 49. Calcular el volumen de un tronco de cono de revolución, donde los radios de las bases miden a y 3a. Además, el área lateral es igual a la suma de las áreas de sus bases. a) 3 a 5 , 5  b) 3 a 5 , 3  c) 3 a 5 , 4  d) 3 a 5 , 6  e) 3 a 7 
  • 217. Geometría 232 50. Calcular el volumen de un tronco de pirámide circunscrito a una esfera, cuyas bases son regiones cuadradas y una cara lateral es perpendicular a las bases. Además, la suma y el producto de las longitudes de dos aristas básicas diferentes es igual a "S" y a "P" respectivamente. a) ) P S ( 2 2 P  b) ) P S ( 2 S 3 P 2  c) ) S P ( 2 3 S  d) ) P 12 S ( 2 S P  e) ) S 2 P ( 2 P S  51. En un tronco de pirámide triangular regular, la arista lateral se encuentra inclinada 45° respecto de la base mayor. Calcular la relación entre el apotema del tronco y su altura. a) 2 3 b) 2 6 c) 4 5 d) 2 5 e) 3 3 2 52. En un tronco de pirámide cuadrangular regular, las aristas básicas miden 4m y 2dm. Si la altura del sólido mide h dm, calcular la capacidad del sólido. a) 3 4 27 dm h b) h 5 28 c) h 3 28 d) h 3 82 e) h 3 14 53. Calcular el volumen de un tronco de cono recto, cuyos radios de las bases miden 3 dm y 9 dm. Además, el área lateral del sólido es de 2 dm 120 . a) 3 dm 324 b)  312 c)  336 d)  360 e)  348 54. El lado de la base mayor de un tronco de pirámide regular cuadrangular mide m 2 6 y su altura 3m; las aristas laterales forman ángulos de 45° con el plano de la base mayor. Calcular su volumen. a) 216 m3 b) 621 c) 162 d) 136 e) 126 55. En un tronco de cono circular de bases paralelas, los radios de sus bases miden 5dm y 2dm. Si el área lateral es de 2 dm 35 , calcular el ángulo central del desarrollo lateral. a) rad 7 5 b) 3 4 c) 3 2 d) 2  e) 5 6 56. Calcular la altura de un tronco de pirámide regular cuadrangular ABCD-EFGH, si el área de la sección plana BFHD es B1 y el área de la sección determinada en el sólido por un plano equidistante a sus bases es B2. a) 2 B 2 2 1 B b) 2 B 2 1 B c) 1 B 2 2 B d) 2 B 1 B 2 B 1 B  e) 2 1 B B  57. Las áreas de las bases elípticas de un tronco de cono oblicuo son de 2 dm 32 y 2 dm 72 . Determinar el valor de la altura de dicho tronco, sabiendo que su volumen es de 3 dm 304 . a) 12 dm b) 9 c) 2 6 d) 6 e) 6 3 58. En una pirámide triangular regular O-ABC trirectángulo en "O", el volumen es 3 u 2 3 , calcular la distancia del centro de la base a la arista lateral? a) u 3 2 b) 2 3 c) 2 6 d) 3 6 e) 2 5 59. Calcular el volumen de un tronco de cilindro circular recto, en el cual se inscribe una esfera, además la generatriz mayor y menor miden 4u y 1u. a) 3 u 4 , 1  b)  6 , 1 c)  8 , 1 d)  2 , 2 e)  4 , 2 60. Las bases de un tronco de cono circular son los círculos de radios 3u y 6u. Si la generatriz mide 6u, ¿cuál es la longitud del radio de la esfera circunscrita? a) 6 u b) 5 c) 8 d) 9 e) 10
  • 219. 235 TRILCE SUPERFICIE ESFÉRICA Es la superficie que genera la rotación de una semicircunferencia alrededor de su diámetro. O R Circunferencia máxima Diámetro = 2R Área = 2 R 4 HUSO ESFÉRICO Es la porción de superficie esférica limitada por dos circunferencias que tienen el mismo diámetro. O R  R M N B A AB = diámetro  R O M N R = Sector circular Área = º 90 R2  ZONA ESFÉRICA Es la porción de una superficie esférica comprendida entre dos planos paralelos a la esfera. H R O h = altura entre los planos secantes. Área = 2  RH CASQUETE ESFÉRICO Es la porción de superficie esférica que se encuentra a un lado de un plano secante a la esfera. R O H Área = 2  RH Observaciones : En la figura, existen dos casquetes esféricos. TEOREMA DE PAPPUS 360º L A B Eje L AB 2 SG   Observaciones : "A" = Centro de gravedad de la curva. "L" = Longitud de la curva. Capítulo ESFERA I 20
  • 220. Geometría 236 Test de aprendizaje preliminar 01. Calcular el volumen de una esfera, si el área de su círculo mayor es igual a 2 u 36 . 02. Hallar el área de la superficie esférica en la cual el área de uno de sus círculos máximos es 100 m2. 03. Se inscribe un cubo en una esfera de radio m 3 . Calcular su arista. 04. Hallar el radio de la esfera inscrita en un cono equilátero de altura 9. 05. Hallar el área de la esfera inscrita a un cubo, si el área de la esfera circunscrita es 180. 06. Si el área lateral de un cilindro recto es 9m2, hallar el área de la esfera inscrita. 07. Hallar la relación entre las áreas de un hexaedro regular y de la superficie esférica circunscrita al hexaedro. 08. Hallar el área de la superficie esférica inscrita a un cono de revolución de radio 3u y altura 4u. 09. Hallar la relación entre las áreas totales entre un cilindro equilátero y la esfera circunscrita al cilindro. 10. ¿A qué distancia del centro de una esfera es 17m de radio debe pasar un plano secante para que la intersección tenga 8m de radio?
  • 221. 237 TRILCE Practiquemos : 11. Determinar la superficie de una esfera inscrita a un cubo, que a su vez está inscrita a una esfera cuya superficie es 18u2. 12. Se tienen 3 bolas idénticas de volumen 36m3. Calcular la altura del cilindro más pequeño que contenga las bolas. 13. Una esfera tiene 3m de radio. ¿A qué distancia del centro debe trazarse un plano secante para que la sección obtenida sea 1/3 del área de un círculo máximo? 14. Se tiene un alambre de 2 m 2 de sección transversal, con el que se forma un ovillo esférico de 3m de radio. Calcular la longitud del alambre. 15. El área de un círculo máximo de una esfera mide 2 dm 16 . Se traza un plano secante por el centro, , determinando dos semiesferas. Calcular el área de una de estas semiesferas. 16. Se tienen dos esferas metálicas de radios "a" y "2a". Dichas esferas se funden y se construye un cilindro recto cuya altura es "3a". Calcular el radio de la base del cilindro. 17. Hallar el área de la esfera inscrita en un tronco de cono de revolución de volumen 810u3 y de área total de 486 u2. 18. Calcular los radios de las esferas inscrita y circunscrita en un tetraedro regular cuya arista es 6 4 . 19. Determinar el área del casquete esférico que produce un plano secante a una esfera de 18u2, de área, trazada a una distancia del centro igual a la mitad de la longitud del radio. 20. El área del huso de 20° es 2 m 50 . Hallar la longitud del radio de la esfera.
  • 222. Geometría 238 Problemas propuestos 21. ¿Cuánto mide la cuerda de un arco generador de un casquete esférico cuya área es 36  ? a) 3 b) 4 c) 6 d) 9 e) 12 22. Determinar la altura de una zona esférica de una base, en una esfera de radio 8u de modo que el área de esta zona aumentada en el área de su base es igual a los 7/16 del área de la esfera. a) 2 u b) 3 c) 4 d) 5 e) 1 23. Una esfera, cuya superficie tiene una área de 2 u 36 , está inscrita en un prisma recto de base triangular rectangular. Calcular el volumen del prisma mencionado sabiendo que la hipotenusa en su base mide 7u. a) 150 u3 b) 120 c) 180 d) 140 e) 160 24. Calcular el área de la zona esférica de dos bases, cuyos radios de base miden 6 y 8 unidades y se encuentran a uno y otro lado del centro de la esfera que contiene a dicha zona. Además, se sabe que la altura es de 14 unidades de longitud. a) 2 u 140 b)  2 120 c)  148 d)  3 100 e)  280 25. Dadas tres esferas de radio R; tangentes exteriormente dos a dos y apoyados a un plano. Hallar el radio de la esfera tangente a las tres esferas y al plano. a) R/2 b) R/4 c) R/3 d) 2R/5 e) R/6 26. Calcular el volumen de una cuña esférica; cuyo ángulo diedro es de 45° y el área del huso esférico correspondiente es igual a 2 u 18  . a) 3 u 24  b) 32  c) 36  d) 42  e)  6 18 27. Tres esferas de radios 9u, 16u u 25u son tangentes exteriormente entre sí. Un plano tangente a las tres esferas determina 3 puntos de tangencia que son los vértices de un triángulo, cuyo perímetro se desea conocer. a) 83 u b) 96 c) 94 d) 86 e) 85 28. Una esfera de centro "O" se encuentra inscrita en un ángulo diedro AB de 60º. Si : 3 2 BO  y el ángulo ABO mide 30º, calcular el área de la esfera. a)  b)  2 c)  3 d)  4 e)  5 29. El área de una esfera es de 2 dm 400 . Dicha esfera es tangente a todos los lados de un rombo. La distancia del centro de la esfera al plano del rombo es de 4dm. Calcular el área de dicho rombo, si la longitud de su lado es de "L" dm. a) 2 2 dm L 12 b) L 21 2 c) 2 L 8 d) 2 L 2 8 e) L 21 4 30. Dado un tetraedro O-ABC, trirectángulo en "O". Si : OA = 6u, OB = 12u y OC = 18u. Calcular la longitud del radio de la esfera inscrita al tetraedro. a) 2 u b) 2,5 c) 3 d) 2,8 e) 4 31. En una esfera de radio 10u, a qué distancia del centro hay que trazar un plano secante para que las áreas de los dos casquetes formados estén en la relación de 2 a 3. a) 1 u b) 1,5 c) 2,5 d) 2 e) 3 32. En una esfera de radio "r", un casquete esférico de altura igual a 4 r , es equivalente a un huso esférico, , cuyo ángulo diedro determinado por sus caras laterales mide "  ". Calcular "  ". a) 90° b) 60° c) 53° d) 45° e) 30° 33. Hallar el radio de la esfera circunscrita al octaedro regular de arista "l". a) 2 2 l b) 3 2 l c) 4 2 l d) 5 2 l e) 6 2 l 34. Hallar el área del casquete generado por un arco cuyos extremos son los de una cuerda de longitud "a". a) 2 2 a  b) 3 2 a 2 c) 2 a  d) 2 2 a 3 e) 2 a 2
  • 223. 239 TRILCE 35. Se tiene una esfera en la que el área del círculo máximo es "S". Hallar el área total de dos semiesferas que resultan al partir a la esfera. a) 4 S b) 5 S c) 6 S d) 8 S e) 9 S 36. Determinar la altura de una zona de un base de una esfera de 8u de radio, de modo que la superficie de esta zona aumentada en la superficie de su base sea igual a los 7/16 de la superficie de la esfera. a) 1 u b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 37. Calcular el área de la superficie esférica de una esfera inscrita en un cono equilátero de 3 u 648  de volumen. a) 2 u 184 b) 178  c) 164  d) 158  e) 144  38. Sobre un plano reposan cuatro esferas iguales de radio "R". Tres de ellas hacen contacto entre sí de dos en dos y la cuarta tiene contacto con dos de estas tres. Sobre estas esferas se colocaron dos esferas iguales de menor diámetro que hacen contacto una con la otra y con tres de las esferas dadas inicialmente. Hallar la relación entre los radios de las esferas grande y pequeña. a) u 2 b) 3 c) 6 d) 5 e) 7 39. En un cono de revolución cuya generatriz mide 5u, se inscribe una esfera tal que el plano que contiene a la circunferencia tangencial determina un cono deficiente de 2u de generatriz. Calcular el área del casquete menor formado. a) 2 5 6 u  b) 5 7 c) 5 8 d) 5 9 e)  2 40. En el gráfico, calcular el área de la superficie generada por el rectángulo PQRS al girar 360° en torno a L. Si : 3PQ = 2PS = 3NS = 6u. P Q R S L N a) 2 u 40 b) 50  c) 60  d) 70  e) 75  41. En un cono equilátero, se inscribe una esfera de radio "r". Hallar el volumen del cono parcial que determina el plano que contiene los puntos de tangencia de la esfera; con las generatrices del cono. a) 6 3 r  b) 3 3 r  c) 8 3 r 3 d) 9 3 r 4 e) 3 3 r 2 42. Dado un octaedro regular de volumen 3 u 2 9 , hallar el área de la superficie esférica inscrita al octaedro. a) 2 u 3 b) 4  c) 5  d) 6  e) 9  43. Un semicírculo de diámetro AB, gira alrededor de su diámetro en un ángulo de 60°. Calcular el volumen del sólido generado si : AB = 6u. a) 3 u 6 b)  9 c)  6 3 d)  3 6 e)  12 44. Hallar la relación entre las áreas de un hexaedro regular y de la superficie esférica circunscrita al hexaedro. a) 3/  b) 4/  c) 5/  d) 2/  e) 3/2  45. Hallar el área de la superficie esférica inscrita a un cono de revolución de radio 3u y altura 4u. a) 2 u 8 b) 9  c) 12  d) 7  e) 6  46. Hallar la relación entre las áreas de las superficies determinadas al trazar un plano secante que se encuentra a una distancia igual a la tercera parte del radio de la superficie esférica. a) 1/3 b) 2/3 c) 3/4 d) 1/2 e) 1/4 47. Dada una superficie esférica de radio 3u circunscrita a un cono de revolución de altura 4u y el plano tangente a la esfera en un punto de la base del cono. Hallar la distancia del vértice del cono al punto en que el eje de éste, encuentra al plano. a) 15 u b) 13 c) 11 d) 9 e) 12 48. Se tiene un tetraedro regular de arista "l". Calcular el radio de la esfera que es tangente a todas las aristas. a) 2 2 l b) 3 2 l c) 4 2 l d) 5 2 l e) 6 2 l
  • 224. Geometría 240 49. Una superficie esférica es dividida por dos planos en dos casquetes y una zona. Hallar la altura de la zona, si el área de la zona es los 3/5 de la suma de las áreas de los casquetes y el radio de la superficie esférica es 8R. a) 4R b) 6R c) 3R d) 5R e) 2R 50. En un cono de revolución, está inscrita una esfera cuya superficie es igual al área de la base del cono. ¿En qué relación se divide el área lateral del cono por la línea de tangencia de ambas figuras? a) 4/25 b) 4/21 c) 3/22 d) 3/25 e) 3/26 51. Calcular la superficie de una esfera circunscrita a un ortoedro, cuyas dimensiones son 2 ; 3 y 2 unidades, respectivamente. a) 3 u 6 b)  2 9 c)  12 d)  2 15 e)  9 52. Calcular el área de la superficie esférica de una esfera, si la distancia en un punto de la proyección de la circunferencia máxima sobre un plano tangente paralelo al plano de dicha circunferencia máxima, al centro de la esfera es igual a 6 unidades. a) 2 u 72 b)  75 c)  84 d)  2 60 e)  3 48 53. Calcular el área de una esfera, sabiendo que las áreas de dos círculos menores paralelos distantes 3u y situados a un mismo lado del centro, tienen áreas de 2 u  y 2 u 16 . a) 2 u 34 b) 48 c) 68  d) 72 e) 48  54. El área de la esfera inscrita al tronco de cilindro recto es de 2 dm 16 . Si la generatriz máxima mide 8 dm, calcular el volumen del tronco. R a) 3 dm 25 b) 28 c) 30 d) 36 e) 48 55. Calcular el área de la superficie esférica, de una esfera inscrita en un tetraedro regular de 3 u 2 18 de volumen. a) 2 u 2 6  b)  6 2 c)  3 3 d)  6 e)  6 56. En un cilindro recto, se inscriben dos esferas tangentes exteriores ubicados uno sobre otro. Calcular el volumen del cilindro, si dichas esferas tiene volúmenes iguales a 3 u 3 4  . a) 3 u 3 12  b)  3 14 c)  18 d)  24 e)  6 10 57. Calcular el volumen de una esfera equivalente a un cono equilátero de 2 u 4  de área de base. a) 3 u 16 b)  3 3 8 c)  18 d)  2 3 e)  15 58. Calcular el volumen de la esfera inscrita en un hexaedro regular cuya diagonal mide 12 unidades. a) 3 u 60  b)  3 32 c)  6 30 d)  48 e)  2 36 59. En una esfera de radio R, está inscrito un cono equilátero. ¿A qué distancia del centro de la esfera se debe trazar un plano paralelo a la base del cono de modo que la diferencia de las áreas que determina el plano en la esfera y el cono sea igual al área de la base del cono? a) R/5 b) R/4 c) R/3 d) R/2 e) 3R/4 60. Calcular el volumen de la esfera inscrita en un cilindro equilátero de 3 u 54  de volumen. a) 3 u 45 b) 48  c) 54  d) 60  e) 36 
  • 226. 243 TRILCE ESFERA SÓLIDA Es el sólido generado por un semicírculo cuando gira una revolución completa alrededor de su diámetro. A B h = 2R V = 4 R  3 3 CUÑA ESFÉRICA Es una porción de la esfera sólida limitado por 2 semicírcu- los que tienen el mismo diámetro. A B O R  3 R 3 4 º 360     Cuña º 360 . R 3 4 Cuña 3        270 3 R Cuña V SEGMENTO ESFÉRICO Es el volumen determinado por la zona esférica y dos círcu- los paralelos en la esfera. R1 R2 R H ) R R 3 H ( 2 H V 2 2 2 1 2     SEGMENTO ESFÉRICO DE UNA BASE Parte de la esfera limitada por el casquete esférico y su círcu- lo menor correspondiente. R H O R1 ) R 3 H ( 2 H V 2 1 2    Capítulo ESFERA II 21
  • 227. Geometría 244 ANILLO ESFÉRICO Es el sólido generado por la rotación de un segmento circu- lar cuando gira alrededor de un eje coplanar que pasa por el centro de la circunferencia a que pertenece el segmento cir- cular. B A R O B A a h R h . AB 6 1 Anillo 2   SECTOR ESFÉRICO Es el sólido generado por un sector circular cuando gira alrededor de un eje coplanar que pasa por su vértice. A B O R h O h R V 2 3 2   TEOREMA DE PAPPUS GULDING A x CG l Eje A = área de la región plana. CG = centro de gravedad del área "A". x = distancia del centro de gravedad del área "A" al eje. V = 2xA.
  • 228. 245 TRILCE 01. Hallar el volumen de la esfera circunscrita a un cono de revolución que tiene 6u de radio y 8u de altura. 02. Hallar el volumen de una esfera circunscrita a un cilindro de revolución que tiene 96 3 u  de volumen y además la relación entre el radio de la base y la altura es de 2 a 3. 03. Si el volumen de un cono de revolución equilátero es "V", hallar el volumen de la esfera inscrita. 04. Hallar el volumen de un cono equilátero inscrito en una esfera de volumen 3 u 96 . 05. Hallar el volumen de la esfera inscrita en un cilindro circular recto de 3 m 90 de volumen. 06. Un triángulo equilátero cuyo lado mide "a" metros, gira alrededor de uno de sus lados. Hallar el volumen del sólido engendrado. 07. Una esfera se encuentra inscrita en un cilindro. Si el área de la esfera más el área total del cilindro es 90 2 u  , hallar el volumen de la esfera. 08. El volumen de una cuña esférica de 45º es 3 u 3 32 . Calcular el área total de la cuña. 09. En la figura mostrada, calcular la razón de volúmenes de los cilindros de revolución, si el volumen de la esfera de mayor radio es igual a la suma de los volúmenes de las otras dos esferas de menor radio. R Test de aprendizaje preliminar
  • 229. Geometría 246 10. Calcular el volumen de una cuña esférica, si el área del huso esférico de 30º es de 108 2 u  . Practiquemos : 11. Calcular el volumen del sólido formado por un círculo de radio igual a 1u, cuando gire alrededor de una recta tangente a dicho círculo. 12. Determinar la distancia del centro de gravedad de un cuarto de círculo AOB hacia OB , siendo : AO = OB = 6  u. 13. Calcular el volumen que genera el cuadrado de lado cuya longitud es 6 u al girar 360º alrededor del eje. Dato :  º = 15º. º B A D C 14. Hallar el volumen del sólido generado por el segmento circular, cuando gira 360º alrededor de la recta "L" y R = 2u. L B x A R O 15. Hallar el volumen de una cuña esférica de 30º, si su área total es 12  . 16. Calcular el volumen generado por la región sombreada al girar 360º alrededor de "L". R 3R L
  • 230. 247 TRILCE 17. Calcular la relación de volúmenes que hay entre los sólidos generados cuando el trapecio (región) gira 360º alrededor de AC y CD . 60º 4 B A D C 8 18. Al rotar la región sombreada un ángulo de 360º alrededor de la recta "L", se obtiene un sólido cuyo volumen es : 5 5 3 L 19. Un hexágono regular de lado "a" gira 360º alrededor de uno de sus lados. El volumen del sólido que se genera es : 20. Hallar el volumen de una esfera inscrita en un octaedro regular cuya arista mide "a". Problemas propuestos 21. El volumen de un tetraedro regular es 27 3 u . Calcular el volumen comprendido entre la esfera inscrita y circunscrita al tetraedro. a) 24 2  b) 28 2  c) 32 2  d) 4 39 2  e)  3 39 22. Hallar el volumen de una cuña esférica trazada para una esfera de 24 3 m de volumen y con ángulo que mide 30º. a) 5 b) 4 c) 3 d) 2 e) 1 23. Se tiene una cuña esférica de 36 3 u  y 45º de ángulo diedro. Hallar el radio de dicha cuña. a) 4 u b) 9 u c) 6 u d) 8 u e) 3 u 24. Hallar el volumen de un segmento esférico de una base, si su altura es 1 u y el área de su casquete mide 2 u 2 . a) 3 u 5 4  b)  3 2 c)  13 6 d)  13 5 e)  13 2 25. En la figura, el volumen del cono es 18 3 cm  . Calcular el volumen de la semiesfera. r r a) 36 3 cm  b) 42  c) 72  d) 120  e) 144  26. Calcular el volumen de una esfera cuya diferencia de áreas entre la superficie esférica y el círculo máximo es 9 2 u  . a) 18 3 u  b) 4 3  c) 12  d) 6 3  e) 8 
  • 231. Geometría 248 27. En un recipiente cónico (circular recto), lleno de agua se introducen una esfera de radio 3m y otra de diámetro 24 m, quedando exactamente la mitad de ésta fuera del cono. Las esferas son tangentes entre sí y quedan ajustados a la superficie lateral del cono. Calcular el volumen de agua que aún queda en el recipiente. a) 150  b) 330  c) 312  d) 348  e) 300  28. En un cesto, se han colocado tres pelotas de igual radio y el volumen de una de ellas es ) 3 32 ( . Hallar el volumen del cesto. a) 16  b) 22  c) 48  d) 30  e) 32  29. Del gráfico, calcular la relación de volúmenes que genera al rotar 360º el área de la región sombreada sobre los ejes "y", "x". x R R y a)  /2 b)  /3 c)  /4 d)  /6 e)  /8 30. Cuatro esferas del mismo radio de longitud "r" están en un plano, de manera que están en contacto una con otra. Una quinta esfera del mismo radio se coloca sobre ellas en el centro. Hallar la distancia entre el punto superior de la quinta esfera y el plano. a) r ) 2 2 (  b) r ) 2 2 (  c) r ) 2 1 (  d) r ) 2 1 (  e) r 2 31. En la figura : AB = PC = 6. El volumen del sólido de revolución que se obtiene al rotar el triángulo ABC alrededor de la recta "L" es : A C B P a) 108  b) 72  c) 60  d) 27  e) 24  32. En la figura, OT // AB , 3 R AB  , el volumen de la esfera es  3 32 . Calcular el volumen del cono equilátero. (T es punto de tangencia). A B Q O T R a) 18  3 b) 3  3 c) 9  3 d) 12  3 e) 15  3 33. Se tiene un cono equilátero de altura 4 u, tomando como diámetro dicha altura se construye una esfera. Calcular el volumen del segmento esférico mayor determinado. a) 8  b) 6  c) 9  d) 12  e) 15  34. Los lados de un triángulo miden 13, 14 y 15. Calcular el volumen del sólido generado por dicha región triangular al rotar 360º, sobre el lado intermedio. a) 564  b) 672  c) 720  d) 620  e) 648  35. Hallar el volumen de un segmento esférico de una sola base conociendo que el área de su casquete esférico es cuatro veces el área de la base y además el radio de la esfera es u 3 4 . a) 3 u 3 230 b) 3 140  c) 3 225  d) 3 216 e) 3 245 
  • 232. 249 TRILCE 36. Se tiene un cubo, inscrito en una cuña, de tal forma que dos de sus caras consecutivas están contenidas en los semicírculos máximo que limitan la cuña. Calcular la razón de las áreas de la superficie esférica inscrita en dicho cubo y el huso esférico correspondiente a la cuña. a) 3/2 b) 5/3 c) 9/4 d) 6/5 e) 7/3 37. Calcular el volumen del anillo esférico limitado por la superficie lateral de un cilindro de revolución inscrito en una esfera y por la superficie de la esfera. Sabiendo, además que el cilindro y el anillo esférico son sólidos equivalentes. El área de la superficie esférica es 48 2 u  . a) 3 u 3 50 , 11  b) 5 48 , 13  c) 5 52 , 11  d) 2 22 , 13  e) 3 28 , 12  38. Calcular el volumen de una esfera tangente a las aristas de un tetraedro regular de arista 8u. a) 3 u 2 3 76  b) 2 3 49  c) 2 3 64  d) 2 3 61  e) 2 3 56  39. En un plano, se encuentran tres esferas iguales de radio R; cada una de las cuales hace contacto con otra de ellas. Una cuarta esfera hace contacto con cada una de las tres esferas dadas y con el plano. Hallar el radio de la cuarta esfera. a) 2 R b) 3 R c) 4 R d) 5 R 2 e) 6 R 40. Hallar el volumen de la esfera inscrita en un octavo de esfera, cuyo radio mide u ) 1 3 ( 2  . R R a) 16  b) 32  c)  3 16 d)  3 32 e)  3 64 41. Hallar la longitud de lugar geométrico de los baricentros de las secciones de una esfera por planos que pasan por una recta "L", la cual es tangente a la esfera de radio "R". a) R  b) R 2 c) 2 R  d) 2 R 3 e) 3 R  42. Hallar la razón del volumen de una esfera al volumen del cono recto circunscrito a esta esfera, si la superficie total del cono es "n" veces la superficie de la esfera. a) n 1 b) n 2 c) n 4 3 d) n 3 4 e) n 5 6 43. Se tiene un tetraedro ABCD, en donde el volumen es 100 3 u ; el área total es 130 2 u y el área de la cara ABC es 15 2 u . Hallar el volumen de la esfera ex- inscrita relativa a la cara ABC. a) 3 u 32 b)  25 c)  3 28 d)  36 e)  64 44. Un semicírculo de diámetro 12u gira 120º alrededor del diámetro. Hallar el volumen de la cuña esférica. a) 3 u 84  b)  96 c)  104 d)  78 e)  80 45. La altura y diámetro de un cono de revolución son iguales al radio de una esfera de 3 u 4 de volumen. Calcular el volumen del cono. a) 3 u 3 1 b) 4 1 c) 5 2 d) 5 1 e) 3 2 46. Se tiene una región hexagonal regular de perímetro igual a 24. Calcular el máximo volumen generado al girar dicha región sobre una recta coplanar que contiene uno de sus vértices. a)  3 120 b)  3 172 c)  3 192 d)  3 148 e)  3 162 47. Calcular el volumen de la semiesfera inscrita en un tronco de cilindro recto, de modo que la base circular del tronco de cilindro coincide con el círculo máximo de la semiesfera. Además, se sabe que la generatriz menor y el volumen de dicho tronco es 4 unidades y 120 3 u  , respectivamente. a) 3 u 6 32  b)  64 c)  3 24 d)  72 e)  3 36
  • 233. Geometría 250 48. Determinar la medida del ángulo " " de modo que el volumen generado al rotar la región cuadrada en torno del "L", sea el mayor posible. º B C D A Eje "L" a) 15º b) 30º c) 45º d) 60º e) 90º 49. Una esfera de radio igual 1,5 u tiene el mismo volumen que un cono circular recto, cuyo radio de la base es 0,75u. Hallar la altura del cono. a) 24 u b) 18 c) 15 d) 10 e) 12 50. Hallar la relación de los volúmenes entre las esferas inscrita y circunscrita en un mismo hexaedro regular. a) 6 3 b) 3 6 c) 9 3 d) 2 6 e) 9 6 51. Hallar la longitud del radio de la semiesfera inscrita en el tetraedro regular cuya arista mide 1 m. a) 9 3 b) 3 3 c) 9 6 d) 3 6 e) 2 3 52. Una esfera de área 144 2 u es cortada por 2 planos que forman entre sí un ángulo diedro de 60º, de modo que la recta de intersección de los planos es tangente a la esfera y el plano bisectriz contiene un diámetro de la esfera. Hallar el volumen de la parte de la esfera comprendida en el ángulo diedro. a) 3 u 288 b)  198 c)  243 d)  126 e)  264 53. En una circunferencia de diámetro igual a 4 3 dm, se traza la cuerda BC de modo que : mBC = 120º. Calcular el volumen del anillo esférico que se obtiene al girar 360º, el segmento circular BC, alrededor de un eje diametral paralelo a BC . a) 3 dm 36 b)  27 c)  12 d)  32 e)  72 54. Calcular el volumen de la esfera tangente a las aristas PA, PB y PC de un tetraedro regular P-ABC, en los vértices A, B y C, respectivamente, siendo : 2 u 3 3 el área total del tetraedro. a) 3 u 6  b)  3 2 c)  6 d)  9 e)  2 3 55. Una alambre se enrolla de modo que forma una esfera, si la sección del alambre es de 2 mm  y el radio de la esfera formado es de 10 cm. Hallar la longitud del alambre, si el porcentaje de vacíos de la esfera es del 10%. a) 1,2 km b) 3 c) 1 d) 1,6 e) 2,4 56. Se tiene una pirámide hexagonal regular por el centro de la base de dicha pirámide, se ha trazado un plano paralelo a una cara lateral. Hallar la relación entre el área de la sección determinada y el área lateral de la pirámide. a) 4 5 b) 6 5 c) 7 10 d) 3 2 e) 24 5 57. Se funde una bola de plomo de radio 5 cm, para obtener bolas cuyo radio sean de 1 cm cada una. ¿Cuántas bolas de plomo se obtendrán en el proceso? a) 50 b) 100 c) 150 d) 175 e) 125 58. Hallar el volumen generado, al rotar la siguiente superficie alrededor del eje l . l R a) 2 R3 2  b) 3 2 R 2 3  c) 3 R 5 3  d) 3 R 7 4  e) 3 R 3 2 
  • 234. 251 TRILCE 59. Hallar el volumen del sólido generado al girar el triángulo equilátero ABC, alrededor de L. A C B L 360º a a) 2 3 a3  b) 4 3 a3  c) 3 3 a3  d) 3 6 a3  e) 2 6 a3  60. Según el gráfico, siendo : AB = 5 y 12 ) PB ( ) AP ( 2 2   . Calcular el volumen del sólido generado por la región sombreada al girar 360º en torno a la recta AB. C A P B a) 5  b) 12  c) 10  d) 9  e) 25 
  • 236. 253 TRILCE Í N D I C E Capítulo 1 Ángulos ...................................................................................................................................................................... 9 Capítulo 2 Triángulos ................................................................................................................................................................ 21 Capítulo 3 Congruencia de Triángulos ..................................................................................................................................... 33 Capítulo 4 Polígonos ................................................................................................................................................................... 45 Capítulo 5 Cuadriláteros ............................................................................................................................................................ 55 Capítulo 6 Circunferencia............................................................................................................................................................ 67 Capítulo 7 Angulos en la Circunferencia .................................................................................................................................. 79 Capítulo 8 Puntos Notables ........................................................................................................................................................ 91 Capítulo 9 Proporcionalidad y Semejanza ................................................................................................................................ 105 Capítulo 10 Relaciones Métricas en un Triángulo Rectángulo ................................................................................................ 117 Capítulo 11 Relaciones Métricas en Cualquier Triángulo ........................................................................................................ 127 Capítulo 12 Relaciones Métricas en la Circunferencia .............................................................................................................. 137 Capítulo 13 Polígonos Regulares ................................................................................................................................................. 149 Capítulo 14 Áreas de las Regiones Poligonales y Relaciones de Áreas ................................................................................... 159 Capítulo 15 Áreas de Regiones Curvas ....................................................................................................................................... 179 Capítulo 16 Geometría del Espacio Perpendicular - Diedro - Triedro ................................................................................... 191
  • 237. Geometría 254 Capítulo 17 Poliedros - Poliedros Regulares ............................................................................................................................... 203 Capítulo 18 Prisma - Cilindro - Tronco ......................................................................................................................................... 213 Capítulo 19 Pirámide - Cono - Troncos ......................................................................................................................................... 225 Capítulo 20 Esfera I ....................................................................................................................................................................... 235 Capítulo 21 Esfera II ......................................................................................................................................................................... 243