Grafos jairo alvardo
- 1. Alumno: Jairo Alvarado Escuela 78 “Informatica” (nocturno) Prof. Domingo
- 2. Un grafo G es un par G = (V,E), donde V es un conjunto finito (vértices, nodos) y E es un multiconjunto de pares no ordenados de vértices, denotados por {x, y}, que se denominan lados, aristas, etc. En este caso decimos que x y y son extremos de {x, y}. Denotamos V (G) por el conjunto de vértices del grafo G y por E(G) el conjunto de lados del grafo G. Además º(G) y "(G) denotan el numero de vértices y el numero de aristas de G respectivamente. Puesto que E es un multiconjunto es posible que existen pares repetidos, en este caso G tiene lados múltiples. También es posible que algún par no ordenado de E tenga el mismo vértice repetido, en este caso decimos que el lado es un lazo (loop) o bucle . Cuando existen lados múltiples y/o lazos decimos que G es un multígrafo. Si no hay lados múltiples ni lazos decimos que es un grafo simple. Un dígrafo G es un par G = (V,E) donde V es un conjunto de vértices y E es un multiconjunto de pares ordenados. Los lados se denotan por pares ordenados, (u, v) denota el lado dirigido que tiene como vértice inicial a u y como vértice terminal a v.
- 4. Llamaremos camino euleriano a un camino que contiene a todas las aristas del grafo, apareciendo cada una exactamente una vez. Un ciclo Euleriano es un camino euleriano que comienza y acaba en el mismo vértice Un grafo que admite un ciclo euleriano diremos que es un grafo euleriano. Un grafo conexo G= (V,A) es euleriano ( todo vértice tiene grado par. Un grafo conexo tiene un camino abierto euleriano ( tiene exactamente dos vértices de grado impar. Un camino hamiltoniano es un camino que recorre todos los vértices de un grafo sin pasar dos veces por el mismo vértice. Si el camino es cerrado se dice un ciclo hamiltoniano. Un grafo G se dice hamiltoniano si tiene un ciclo hamiltoniano. Nota.- A diferencia de los grafos eulerianos, no hay una caracterización de cuando un grafo tiene un ciclo o un camino hamiltoniano Definición.- Un grafo se dice plano si admite una representación gráfica en el plano de modo que dos aristas pueden cortarse únicamente en un vértice. Una representación gráfica de este tipo se llama un mapa. Teorema ( de Kuratowski) Un grafo G es plano ( no contiene ningún subgrafo isomorfo a una subdivisión de K5 o K3,3.
- 5. Formula Euler en un grafo planar V – L + C = 2 V= numero de vértices L= numero de lados C= numero de caras Un árbol A = (V,E) es un grafo no dirigido, conexo y sin ciclos Un poco de terminología Los vértices de un árbol se llaman nodos Los nodos descendientes inmediatos de un nodo son sus hijos, y el nodo superior es el padre A una secuencia descendente de nodos se le llama rama Los nodos sin hijos se llaman hojas, y los que sí tienen hijos nodos internos Un conjunto de árboles es un bosque El grado de un nodo es el número de hijos que tiene Se llama profundidad de un nodo a la longitud del camino desde la raíz a ese nodo.
- 6. Un árbol se define como un tipo de grafo que no contiene ciclos, es decir es un grafo también acíclico, pero a su vez es conexo. Tal es el caso de los siguientes dos grafos en donde se puede notar que ninguno de los dos contiene repeticiones (ciclos). Bosques de árboles. Los bosques de árboles son un caso similar a los árboles, son acíclicos, pero no son conexos. Como ejemplo tenemos la siguiente figura. Para ver el gráfico seleccione la opción "Descargar" del menú superior Recorrido de un grafo. Recorrer un grafo significa tratar de alcanzar todos los nodos que estén relacionados con uno que llamaremos nodo de salida. Existen básicamente dos técnicas para recorrer un grafo: el recorrido en anchura; y el recorrido en profundidad. Recorrido en anchura: El recorrido en anchura supone recorrer el grafo, a partir de un nodo dado, en niveles, es decir, primero los que están a una distancia de un arco del nodo de salida, después los que están a dos arcos de distancia, y así sucesivamente hasta alcanzar todos los nodos a los que se pudiese llegar desde el nodo salida. Recorrido en profundidad: el recorrido en profundidad trata de buscar los caminos que parten desde el nodo de salida hasta que ya no es posible avanzar más. Cuando ya no puede avanzarse más sobre el camino elegido, se vuelve atrás en busca de caminos alternativos, que no se estudiaron previamente.
- 7. Una de las aplicaciones mas importantes es de hallar el camino mas corto hacia un destino, ya sea de una ciudad a otra, de unos departamentos a otros, para el recorrido de árboles, sirve para la representación de algoritmos, etc. Un ejemplo de esto es la tarea de freír un huevo. Los grafos pueden ser utilizados como la estructura básica para múltiples aplicaciones en el área de la Computación. Un grafo G (N, A, f) es un conjunto no vacío, donde:•N={n1, n2, … ,nM) es el conjunto de nodos o vértices •A={a1, a2, …, a K} es el conjunto de aristas y•La función f : R →Μ Μindica los pares de nodos que están relacionados. •Grafos Dirigidos (Dígrafos) En estos grafos, las aristas que comunican dos nodos tienen un único sentido, una arista puede ir de x a y, pero no de y a x. Se expresa gráficamente con flechas que indican el sentido de la relación entre cada par de nodos. Grafos•Grafos no dirigidos En estos grafos, las aristas que comunican dos nodos tienen dos sentidos. Si una arista va de x a y, la misma arista va de y a x. Se expresa gráficamente por líneas. La representación gráfica de un grafo se define con un círculo o rectángulo para los nodos y las relaciones con líneas o flechas según sea un grafo no dirigido o un dígrafo, respectivamente.