Teoria
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El documento describe la teoría de colas y modelos de líneas de espera. Explica que las colas se forman debido a un desequilibrio entre la demanda de un servicio y la capacidad del sistema para satisfacerla. Los modelos de colas analizan factores como la longitud de la cola, el tiempo de espera promedio y la utilización del sistema. Estos modelos son útiles para áreas de manufactura y servicios para equilibrar los costos de servicio y los costos de espera de los clientes.
![Características de una LINEA DE ESPERACaracterísticas de una LINEA DE ESPERA
Una segunda característica de las líneas de espera
se refiere a la DISCIPLINA EN LA COLA mediante la
cual los clientes reciben el servicio. La mayoría de los
sistemas usan la regla Primero En Entrar Primero En Salir
(First In First Out) [PEPS (FIFO)]. Se denomina también
FIFS (First In First Served).
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Teoria
- 1. TEORÍA DE COLASTEORÍA DE COLAS Las líneas de espera, o colas, son realidades cotidianas, como por ejemplo: •Personas esperando para realizar sus transacciones ante una caja en un banco, •Estudiantes esperando por obtener copias en la fotocopiadora, •Vehículos esperando pagar ante una estación de peaje o continuar su camino, ante un semáforo en rojo, •Máquinas dañadas a la espera de ser rehabilitadas. Se forman debido a un desequilibrio temporal entre la demanda del servicio y la capacidad del sistema para suministrarlo.
- 2. TEORÍA DE COLASTEORÍA DE COLAS Los Modelos de Líneas de Espera son de gran utilidad tanto en las áreas de Manufactura como en las de Servicio. Los Análisis de Colas relacionan: La longitud de la línea de espera. El promedio de tiempo de espera y otros factores como: la conducta de los usuarios a la llegada y en la cola.
- 3. TEORÍA DE COLASTEORÍA DE COLAS Desde la perspectiva de la Investigación de Operaciones, los pacientes que esperan ser atendidos por el odontólogo o las prensas dañadas esperando reparación, tienen mucho en común. Ambos (gente y máquinas) requieren de recursos humanos y recursos materiales como equipos para que se los cure o se los haga funcionar nuevamente.
- 4. TEORÍA DE COLASTEORÍA DE COLAS Debe existir equilibrio entre el COSTO DE proporcionar buen SERVICIO y el COSTO del tiempo DE ESPERA del cliente o de la máquina que deben ser atendidos. Los gerentes desean que las colas sean lo suficientemente cortas con la finalidad de que los clientes no se irriten e incluso se retiren sin llegar a utilizar el servicio o lo usen pero no retornen más. Sin embargo estos contemplan tener una longitud de cola razonable en espera, que sea balanceada, para obtener ahorros significativos en el COSTO DEL SERVICIO Costos de Servicio y Costos de Espera
- 5. TEORÍA DE COLASTEORÍA DE COLAS Equilibrio entre Costos de Espera y Costos de Servicio Nivel Óptimo de Servicio Nivel de Servicio Costo por TIEMPO DE ESPERA Costo por proporcionar el SERVICIO Costo Costo Total Mínimo COSTO TOTAL ESPERADO
- 6. Costos de Servicio vs Nivel de ServicioCostos de Servicio vs Nivel de Servicio • Los COSTOS DE SERVICIO se incrementan si se mejora el NIVEL DE SERVICIO. Los Administradores de ciertos centros de servicio pueden variar su capacidad teniendo personal o máquinas adicionales que son asignadas a incrementar la atención cuando crecen excesivamente los clientes. En supermercados se habilitan cajas adicionales cuando es necesario. En bancos y puntos de chequeo de aeropuertos, se contrata personal adicional para atender en ciertas épocas del día o del año. TEORÍA DE COLASTEORÍA DE COLAS
- 7. TEORÍA DE COLASTEORÍA DE COLAS COLAS MAS COMUNES SITIO ARRIBOS EN COLA SERVICIO Supermercado Compradores Pago en cajas Peaje Vehículos Pago de peaje Consultorio Pacientes Consulta Sistema de Cómputo Programas a ser corridos Proceso de datos Compañía de teléfonos Llamadas Efectuar comunicación Banco Clientes Depósitos y Cobros Mantenimiento Máquinas dañadas Reparación Muelle Barcos Carga y descarga
- 8. Características de una LINEA DE ESPERACaracterísticas de una LINEA DE ESPERA Una cola de espera está compuesta de tres elementos: 1. Arribos o ingresos al sistema 2. Disciplina en la cola 3. Servicio TEORÍA DE COLASTEORÍA DE COLAS Estos tres componentes tienen ciertas características que deben ser examinadas antes de desarrollar el aspecto matemático de los modelos de cola.
- 9. Características de una LINEA DE ESPERACaracterísticas de una LINEA DE ESPERA 1. CARACTERISTICAS DE ARRIBO: La fuente de ingreso que genera los arribos o clientes para el servicio tiene tres características principales: a. Tamaño de la población que arriba b. Patrón de llegada a la cola c. Comportamiento de las llegadas. 1.a.Tamaño de la Población: El tamaño de la población puede ser: infinito (ilimitado) o limitado (finito). TEORÍA DE COLASTEORÍA DE COLAS
- 10. Características de una LINEA DE ESPERACaracterísticas de una LINEA DE ESPERA 1.b. Patrón de arribo al sistema: Los clientes arriban a ser atendidos de una manera programada (un paciente cada 15 minutos) o de una manera aleatoria. Se consideran que los arribos son aleatorios cuando éstos son independientes de otros y su ocurrencia no puede ser predicha exactamente. Frecuentemente en problemas de colas, el número de arribos por unidad de tiempo pueden ser estimados por medio de la Distribución de Poisson que es una distribución discreta de probabilidad. TEORÍA DE COLASTEORÍA DE COLAS
- 11. Características de una LINEA DE ESPERACaracterísticas de una LINEA DE ESPERA DISTRIBUCION DE POISSON: P(x) = Probabilidad de x arribos .x= número de arribos por unidad de tiempo λ = rata promedio de arribo .e = 2.71828 ( ) ,...4,3,2,1,0_ ! == − xpara x e xP x λλ TEORÍA DE COLASTEORÍA DE COLAS
- 12. DI STRI BUCI ON DE POI SSON PARA TI EMPOS DE ARRI BO λ = 2 0,0000 0,0500 0,1000 0,1500 0,2000 0,2500 0,3000 ARRIBOS/ UNIDAD DE TIEMPO PROBABILIDAD DISTRIBUCION DISTRIBUCION 0,1353 0,2707 0,2707 0,1804 0,0902 0,0361 0,0120 0,0034 0,0009 0,0002 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 TEORÍA DE COLASTEORÍA DE COLAS
- 13. Características de una LINEA DE ESPERACaracterísticas de una LINEA DE ESPERA 1.c. Comportamiento de los arribos: La mayoría de los modelos de colas asume que los clientes son pacientes o sea que esperan en la cola hasta ser servidos y no se pasan entre colas. Desafortunadamente, la vida es complicada y la gente se reniega. Aquellos que se impacientan por la espera, se retiran de la cola sin completar su transacción. Esta situación sirve para acentuar el estudio de la teoría de colas y el análisis de las líneas de espera, ya que un cliente no servido es un cliente perdido y hace mala propaganda de ese negocio. TEORÍA DE COLASTEORÍA DE COLAS
- 14. Características de una LINEA DE ESPERACaracterísticas de una LINEA DE ESPERA La línea de espera es el segundo componente de un sistema de colas. la longitud de la cola puede ser también limitada o ilimitada. Cola LIMITADA es aquella que por aspectos físicos no puede incrementarse a tamaños infinitos. Puede ser el caso de una peluquería que tiene pocos barberos y sillas para atender. Estudiaremos los modelos de colas asumiendo colas de longitud infinita. Una cola es ILIMITADA cuando su tamaño no tiene restricción como es el caso de una caseta de peaje que sirve a los vehículos que arriban. 14 TEORÍA DE COLASTEORÍA DE COLAS
- 15. Características de una LINEA DE ESPERACaracterísticas de una LINEA DE ESPERA Una segunda característica de las líneas de espera se refiere a la DISCIPLINA EN LA COLA mediante la cual los clientes reciben el servicio. La mayoría de los sistemas usan la regla Primero En Entrar Primero En Salir (First In First Out) [PEPS (FIFO)]. Se denomina también FIFS (First In First Served). TEORÍA DE COLASTEORÍA DE COLAS
- 16. Características de una LINEA DE ESPERACaracterísticas de una LINEA DE ESPERA El tercer elemento de un sistema de colas es el SERVICIO. En él son importantes dos propiedades básicas: 1. La configuración del sistema de servicio. 2. El patrón de tiempos de servicio TEORÍA DE COLASTEORÍA DE COLAS
- 17. Características de una LINEA DE ESPERACaracterísticas de una LINEA DE ESPERA Sistema de cola multi-canal: Son principalmente los cajeros de un banco en los cuales hay una sola cola y varias personas atendiendo a los clientes en diversas cajas. Sistema de una sola fase: es aquel en el cual el cliente recibe el servicio de una sola estación y luego abandona el sistema. Un restaurant de comida rápida en el cual la persona que toma la orden también le entrega el alimento y cobra, es un sistema de una sola fase Sistema multifase: cuando se pone la orden en una estación, se paga en una segunda y se retira lo adquirido en una tercera 17 TEORÍA DE COLASTEORÍA DE COLAS
- 18. SERVIDOR COLA SERVICIO FASE 2 COLA ARRIBOS SERVICIO FASE 1 SALIDAS SISTEMA UN CANAL, UNA FASE ARRIBOS UN SOLO CANAL, MULTIFASE SALIDAS Características de una LINEA DE ESPERACaracterísticas de una LINEA DE ESPERA TEORÍA DE COLASTEORÍA DE COLAS
- 19. Características de una LINEA DE ESPERACaracterísticas de una LINEA DE ESPERA SISTEMA MULTICANAL UNA FASE ARRIBOS COLA CANAL 1 CANAL 2 CANAL 3 SALIDAS TEORÍA DE COLASTEORÍA DE COLAS
- 20. Características de una LINEA DE ESPERACaracterísticas de una LINEA DE ESPERA SISTEMA MULTICANAL MULTIFASE ARRIBOS COLA FASE 2 CANAL 1 FASE 1 CANAL 2 FASE 2 CANAL 2 SALIDAS FASE 1 CANAL 1 TEORÍA DE COLASTEORÍA DE COLAS
- 21. Características de una LINEA DE ESPERACaracterísticas de una LINEA DE ESPERA Los patrones de servicio son similares a los patrones de llegada. Pueden ser constantes o aleatorios. Si el tiempo de servicio es constante, toma la misma cantidad de tiempo atender a cada cliente. Es común con servicios dados por medio de máquinas (Lavadora automática de carros). Si el tiempo de servicio es distribuído aleatoriamente : Lo representa la DISTRIBUCION DE PROBABILIDAD EXPONENCIAL NEGATIVA de la forma e-µx para x ≥ 0. Esta es una hipótesis matemática muy conveniente, cuando los arribos siguen la distribución de Poisson. TEORÍA DE COLASTEORÍA DE COLAS
- 22. Medición del Rendimiento de las ColasMedición del Rendimiento de las Colas Los principales factores que se evalúan en estos modelos son: 1. Tiempo promedio que cada cliente u objeto permanece en la cola 2. Longitud de cola promedio 3. Tiempo promedio que cada cliente permanece en el sistema (tiempo de espera + tiempo de servicio). 4. Número de clientes promedio en el sistema. 5. Probabilidad de que el servicio se quede vacío 6. Factor de utilización del sistema 7. Probabilidad de la presencia de un específico número de clientes en el sistema. TEORÍA DE COLASTEORÍA DE COLAS
- 23. Notación de los Modelos de ColasNotación de los Modelos de Colas Reconociendo la diversidad de los sistemas de colas, Kendall (1953) propuso un sistema de notación para sistemas de servidores paralelos que ha sido adoptado universalmente. •Una versión resumida de esta convención está basada en el formato A/B/c/N/K. Estas letras representan las siguientes características del sistema: A = Distribución de tiempo entre arribos. B = Distribución del tiempo de servicio. Los siguientes son símbolos comunes para A y B: M = exponencial o Markov (1) D = constante o determinística TEORÍA DE COLASTEORÍA DE COLAS
- 24. Notación de los Modelos de ColasNotación de los Modelos de Colas Ek = Erlang de orden k P H = Tipo fase H = Hiperexponencial G = Arbitrario o general GI = General independiente .c = número de servidores paralelos N = Capacidad del sistema K = Tamaño de la población. Nota(1): A causa de las suposiciones de distribución exponencial en los procesos de arribo, estos modelos son llamados MARKOVIANOS TEORÍA DE COLASTEORÍA DE COLAS
- 25. Notación de los Modelos de ColasNotación de los Modelos de Colas Por ejemplo: M/M/1/∞/∞ significa un solo servidor, capacidad de cola ilimitada y población infinita de arribos potenciales. Los tiempos entre arribos y los tiempos de servicio son distribuidos exponencialmente. Cuando N y K son infinitos, pueden ser descartados de la notación. M/M/1/∞/∞ es reducido a M/M/1. TEORÍA DE COLASTEORÍA DE COLAS
- 26. Variedad de ColasVariedad de Colas Existe una cantidad enorme de Modelos de Colas que pueden utilizarse. Nos vamos a concentrar en 4 de los modelos más usados. Modelos más complejos pueden ser desarrollados mediante el uso de la Simulación y se los encuentra en textos especializados sobre el tema. •Los 4 modelos de colas a estudiar asumen: Arribos según la Distribución de Poisson Disciplina PEPS Una sola fase de servicio. TEORÍA DE COLASTEORÍA DE COLAS
- 27. Variedad de ColasVariedad de Colas Modelo A: Un canal, Arribos según la Distribución de Poisson; Tiempos de Servicio exponenciales Modelo B: Multicanal Modelo C: Tiempo de Servicio constante Modelo D: Población Limitada TEORÍA DE COLASTEORÍA DE COLAS
- 28. Modelo A: M/M/1Modelo A: M/M/1 Características: 1. Los clientes son servidos con una política PEPS y cada arribo espera a ser servido sin importar la longitud de la línea o cola. 2. Los arribos son independientes de arribos anteriores, pero el promedio de arribos, no cambia con el tiempo. 3. Los arribos son descritos mediante la distribución de probabilidad de Poisson y proceden de una población muy grande o infinita. 4. Los tiempos de servicio varían de cliente a cliente y son independientes entre sí, pero su rata promedio es conocida. 5. Los tiempos de servicio se representan mediante la distribución de probabilidad exponencial negativa. 6. La rata de servicio es más rápida que la rata de arribo. TEORÍA DE COLASTEORÍA DE COLAS
- 29. λµ µ λ ρ λµ λ µ λ − = + == == − == = = = 1 servicio)detiempoesperade(tiempo sistemaelenpermaneceunidadunaquepromedioTiempo sistemadelnutilizaciódeFactor sistemaelen(clientes)unidadesdepromedioNúmero sistemaelenunidadesdenúmero tiempodeperíodoporservidoscosasogentedepromedioNúmero tiempodeperíodoporarribosdepromedioNúmero S S SS W W LL n Modelo A: M/M/1Modelo A: M/M/1 TEORÍA DE COLASTEORÍA DE COLAS
- 30. Modelo B: M/M/SModelo B: M/M/S Modelo B: Modelo de cola multicanal (M/M/S) Características: •Dos o más servidores o canales están disponibles para atender a los clientes que arriban. • Los clientes forman una sola cola y se los atiende de acuerdo al servidor que queda libre. •los arribos siguen la distribución de probabilidad de Poisson y los tiempos de servicio son distribuídos exponencialmente. •Los servicios se los hace de acuerdo a la política primero en llegar primero en ser servido (PEPS) y todos los servidores atienden a la misma rata. TEORÍA DE COLASTEORÍA DE COLAS
- 31. ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 sistemaelenesténunidadesk""demásquedeadProbabilid 11 vacía)estáserviciodeunidad(lasistemaelenunidadescerodeadProbabilid 11 sistemaelenesténclientes"n"quedeadProbabilid colalaenesperaunidadunaquepromedioTiempo colalaenunidadesdepromedioNúmero + 〉 〉 = == −=−= == ∗−= ∗ −= == ∗= − == ∗= − == k kn kn o o n n n n Sq Sq P P P P P P WW LL µ λ ρ µ λ ρρ µ λ µ λ ρ λµµ λ ρ λµµ λ Modelo B: M/M/SModelo B: M/M/S TEORÍA DE COLASTEORÍA DE COLAS
- 32. ( ) ( ) µ λ λµ µ λλµ λµ λµ µ µ λ µ λ µ λ + −− = = 〉 − + = == = = = ∑ −= = Po MM L L M M M Mn P P M M S s M Mn n no o 2 1 0 .!.1 :sistemaelenunidadesopersonasdepromedionúmero para ! 1 ! 1 1 sistemaelenunidadesopersonasCEROexistanquedeadProbabilid canalcadaenserviciodepromediotasa arribodepromediotasa abiertoscanalesdenúmero Modelo B: M/M/SModelo B: M/M/S TEORÍA DE COLASTEORÍA DE COLAS
- 33. ( ) ( ) λµ ρ µ λ λµλµ µ λµ q Sq q SSq q S M S s L WW W LLL L L Po MM W W =−= = = −=−= == =+ −− = = = 1 servicioporesperandocolalaendatar seunidadopersonaunaquepromedioTiempo serviciodeesperaencola,olínealaenunidadesopersonasdepromedioNúmero 1 !1 )(atendida)servidasiendoycolala(en sistema,elenpermaneceunidadunaquepromedioTiempo 2 Modelo B: M/M/SModelo B: M/M/S TEORÍA DE COLASTEORÍA DE COLAS
- 34. Modelo C: Modelo de Tiempo de Servicio Constante (M/D/1) •Algunos sistemas tienen tiempos de servicio constantes en lugar de exponencialmente distribuídos. Cuando los clientes son atendidos o equipos son procesados con un ciclo fijo como es el caso de una lavadora de carros automatizada o ciertos entretenimientos en los parques de diversiones, el asumir servicio constante es adecuado. Modelo C: M/D/1Modelo C: M/D/1 TEORÍA DE COLASTEORÍA DE COLAS
- 35. ( ) ( ) µ µ λ λµµ λ λµµ λ 1 sistema,elenesperadepromedioTiempo sistema,elenclientesdepromedioNúmero 2 cola,laenesperadepromedioTiempo 2 cola,ladepromedioLongitud 2 += += − = − = qS qS q q WW LL W L Modelo C: M/D/1Modelo C: M/D/1 TEORÍA DE COLASTEORÍA DE COLAS
- 36. Modelo D: Modelo de Población limitada.- •Este modelo puede ser usado por ejemplo si estamos considerando reparaciones de equipo en una fábrica que tiene 5 máquinas. Este modelo permite cualquier número de reparadores a ser considerados. •La razón por la cual este modelo difiere de los otros tres es que ahora hay una relación de dependencia entre la longitud de la cola y la rata de arribo. La situación extrema sería si en la fábrica tenemos 5 máquinas, todas se han dañado y necesitan reparación; siendo en este caso la rata de arribo CERO. En general, si la línea de espera crece, la rata de llegada tiende a cero Modelo DModelo D TEORÍA DE COLASTEORÍA DE COLAS
- 38. ( ) ( ) ( ) ( ) HLJN FNXH XNFJ XF FT LN UTL W FNL UT T X ++= = −= − = − + = −= + = .............PoblaciónladeCuantía servidosiendopromedioNúmero 1entofuncionamienpromedioNúmero 1 ........esperadepromedioTiempo 1........esperaenpromedioNúmero .......................ServiciodeFactor :FÓRMULAS Modelo DModelo D TEORÍA DE COLASTEORÍA DE COLAS