Introducción a funciones
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Una función asigna un único elemento de un conjunto de salida Y a cada elemento de un conjunto de entrada D. Este documento describe varios tipos de funciones, incluyendo funciones polinómicas como funciones lineales, cuadráticas y cúbicas definidas por polinomios de grados 1, 2 y 3 respectivamente. También describe funciones potenciales, racionales, algebraica, exponenciales y logarítmicas.
Introducción a funciones
- 2. FUNCIONES Cristian Camilo Penagos Torres Departamento de Matem´aticas, f´ısica y Estad´ıstica Universidad de La Sabana
- 3. FUNCI ´ON FUNCI ´ON Una funci´on f de un conjunto D a un conjunto Y es una regla que asigna un elemento ´unico f(x) ∈ Y para cada elemento x ∈ D. El conjunto D de todos los valores de entradas posibles se llama dominio de la funci´on. El conjunto de todos los valores de salida de f(x), se denomina rango de la funci´on. EJEMPLO DE FUNCI ´ON El siguiente diagrama representa una funci´on como si se tratara de un tipo de m´aquina. Una funci´on del conjunto D al conjunto Y asigna un elemento ´unico de Y a cada elemento de D.
- 4. FUNCI ´ON TIPOS DE FUNCIONES FUNCI ´ON POLIN ´OMICA Una funci´on P es llamada polin´omica si P(x) = anxn + an−1xn−1 + · · · + a1x + a0, donde n ∈ Z y ai ∈ R para todo i = 1, . . . , n.. Si an = 0, diremos que n es el grado del polinomio y los ai los coeficientes del polinomio. Un polinomio de grado 1 es de la forma P(x) = mx + b y es llamada una funci´on lineal. Un polinomio de grado 2 es de la forma P(x) = ax2 + bx + c y es llamada una funci´on cuadr´atica. Un polinomio de grado 3 es de la forma P(x) = ax3 + bx2 + cx + d y es llamada una funci´on c´ubica.
- 5. FUNCI ´ON TIPOS DE FUNCIONES FUNCI ´ON POTENCIA Una funci´on de la forma f(x) = xa donde a es una constante es llamada una funci´on potencia. Para su estudio se divide en varios casos: 1. a = n, donde n ∈ Z+ Gr´aficas para n = 1, 2, 3, 4, 5 2. a = 1 n , donde n ∈ Z+ Gr´aficas para n = 2, 3
- 6. FUNCI ´ON TIPOS DE FUNCIONES 3. a = −1 FUNCI ´ON RACIONAL Una funci´on racional f es un cociente f(x) = P(x) Q(x) , donde P y Q son polinomios. 1 f(x) = 2x5 − x3 + x2 − 2 x2 + 4
- 7. FUNCI ´ON TIPOS DE FUNCIONES FUNCI ´ON ALGEBRAICA Una funci´on algebraica es contruida a partir de polinomios usando operaciones algebraicas (suma, resta, multiplicaci´on, divisi´on y ra´ıces) 1 y = x1/3(x − 4) 2 y = x(1 − x)2/5
- 8. FUNCI ´ON TIPOS DE FUNCIONES FUNCI ´ON EXPONENCIAL Se denominan funciones exponenciales a aquellas que se pueden escribir de la forma f(x) = ax, donde a > 0 es una constante positiva y a = 1, se llaman . Todas las funciones exponenciales tiene como dominio (−∞, ∞) y rango (0, −∞). 1 Si a > 1 2 Si 0 < a < 1
- 9. FUNCI ´ON TIPOS DE FUNCIONES FUNCI ´ON LOGAR´ITMICA Son las funciones f(x) = loga x, donde la base a = 1 es una constante positiva. Se trata de las funciones inversas de las funciones exponenciales y se estudiaran m´as adelante.