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Capítulo I La máquina de corriente continua

La máquina de corriente continua

1.1.- Introducción.
Las máquinas de corriente continua (cc) se caracterizan por su versatilidad. Mediante
diversas combinaciones de devanados en derivación (shunt), en serie y excitación separada de los
campos, se puede hacer que exhiban una amplia variedad de curvas características volt-ampere y
velocidad-torque, tanto para funcionamiento dinámico como para estado estacionario. Debido a la
facilidad con la que se pueden controlar, a menudo se usan sistemas de máquinas de cc en
aplicaciones donde se necesita una amplia gama de velocidades de motor o de control de la potencia
de éste. En los últimos años la tecnología de sistemas de control de estado sólido se ha desarrollado
lo suficiente para controladores de corriente alterna (ca), y por lo tanto se comienzan a ver dichos
sistemas en aplicaciones que antes se asociaban casi exclusivamente con las máquinas de cc. Sin
embargo éstas continuarán aplicándose debido a su flexibilidad y a la sencillez relativa de sus lazos
de control, en comparación con los de las máquinas de ca.
Los principios de fundamentales que tienen que ver con el funcionamiento de las máquinas
son muy sencillos, pero que por lo general se opacan por lo complejo de la construcción de las
máquinas reales.

1.2.- Ecuaciones fundamentales de la máquina de corriente continua.
En la figura 1.20 aparecen esquemáticamente las características esenciales de una máquina
de cc. El estator tiene polos salientes y se excita mediante uno o más devanados de campo. La
distribución de flujo en el entrehierro que crean los devanados de campo es simétrica respecto a la
línea de centro de los polos de campo. El rotor sustenta un conjunto de bobinas que giran con él que
se encargan de generar el campo magnético en cuadratura, y por ende, generar el torque de giro. El
colector, que corresponde a una especie de rectificador mecánico, se encarga de alimentar a cada
bobina en el momento adecuado, con el fin de conservar la cuadratura de los campos.

Figura 1.20: Diagrama esquemático de un motor de cc.

3


La figura 1.21 muestra el modelo eléctrico del motor de cc. De este modelo se pueden sacar
las ecuaciones base que describen el comportamiento de la máquina, pudiéndose obtener distintas
curvas características.

Campo Armadura

Ra La Ia
Rf If

Vf Lf Va Vrot ω

Figura 1.21: Modelo eléctrico del motor de cc.

Las ecuaciones de campo se rigen por un sistema de primer orden (ec1.1), al igual que en el
rotor (ec1.2). Las ecuaciones magnéticas mecánicas relacionan el enlace entre el campo y la
armadura (ec1.3) y la transferencia de energía hacia la carga (ec1.4 y ec1.5) [5].

dI f
Vf = Rf I f + Lf ec1.1
dt

dI a
V a = R a I a + La + Vrot ec1.2
dt

Vrot = G fq I f ω ec1.3

Tel = G fq I f I a ec1.4

dω
Tel − Tc arg a = J + Dω ec1.5
dt

Vf: Voltaje de exitación de campo.
Rf: Resistencia del devanado de campo.
If: Corriente de campo.
Lf: Inductancia de campo.
Va: Voltaje de armadura.
Ra: Resistencia del devanado de armadura.
Ia: Corriente de armadura.
La: Inductancia de armadura.
Vrot: Voltaje de reacción de armadura.
Gfq: Constante de relación de enlace magnético entre el estator y el rotor.
ω: Velocidad angular de rotación [rad/seg].
Tel: Torque eléctrico.
Tcarga: Torque de carga.

4


J: Momento de inercia.
D: Constante de roce.

1.3.- Estado estacionario.
Como se mencionaba inicialmente, la máquina de cc se puede conectar de diversas maneras.
Para comenzar el estudio de los lazos de control, se considerará un campo constante, es decir Vf =
cte. Esto genera una corriente de campo constante, por lo que se tiene que Gfq⋅If = K En estado
estacionario, las derivadas se hacen 0, por lo que las ecuaciones se reducen a las expresiones
siguientes:

V f = R f I f = cte ec1.6

Va = Ra I a + Vrot ec1.7

Vrot = Kω ec1.8

Tel = KI a ec1.9

Tel − Tc arg a = Dω ec1.10

Despejando Ia de 1.7 y reemplazando en 1.9 se tiene:

Va − Vrot
Tel = K ec1.11
Ra

De igual manera, al incluir la ecuación 1.7 en 1.11 y despejando ω se tiene:

Va R a
ω= − Tel ec1.12
K K2

El torque eléctrico generado por un motor está determinado por la exigencia de la carga. En
estado estacionario se cumple la ecuación 1.10, por lo que finalmente, al reemplazar en 1.12 se
tiene:

KVa R
ω= − 2 a Tc arg a ec1.13
K + Ra D K + Ra D
2

Si se desprecia el efecto del roce, la ecuación 1.13 se puede simplificar a la siguiente
expresión:

Va Ra
ω= − Tc arg a ec1.14
K K2

5


La ecuación 1.14 describe la relación velocidad torque para un motor de cc excitado con
campo constante, y corresponde a una relación lineal entre ambas variables.

ω
Va
K
ω nom

Tnom Tcarga
Figura 1.30: Relación velocidad torque de un motor de cc de excitación de campo constante.

Claramente esta es una de las tantas posibles curvas de relación velocidad torque, ya que,
dependiendo de la conexión del campo, se pueden lograr otras curvas características [5].

1.4.- Diagrama de bloques.
Del conjunto de ecuaciones antes descritas, se puede establecer un conjunto de relaciones
en bloque que muestran la interacción del sistema.

Ra Tcarga

Va - 1 Ia Tel + - 1 ω
∫
+
J∫
K
- La -
Vrot

D

K

Figura 1.40: Diagrama de bloques de un motor de cc.

6


Si se considera Va como la variable de control y ω la variable a controlar, Vrot actúa como
perturbación en el lazo. Vrot es el voltaje generado por la reacción de armadura, y para compensarlo
habría que utilizar un sistema de control prealimentado.

Despreciando el roce viscoso, el diagrama de la figura 1.40 se puede escribir en el plano s.
Esto facilita su comprensión y permite una mejor visualización para la implementación de los lazos
de control (figura 1.41).

Tcarga

Va +
1
La
Ia
K
Tel + - 1 ω K
- Ra ( s + 1) -
Vrot Ra Js
Figura 1.41: Diagrama en el plano S de un motor de cc.

Claramente se distinguen dos constantes de tiempo dentro del lazo, siendo una de ellas
mucho más rápida que la otra. Se define la constante de tiempo eléctrica como Te=La/Ra que
corresponde a la formada por el circuito de armadura, su ganancia Kar=1/Ra, y la constante de
tiempo mecánica Tm=J que esta relacionada con la inercia. En general, la constante de tiempo
relacionada con el circuito de armadura toma valores entre 1[ms] y 100[ms], dependiendo del uso o
no de inductores de filtro, debido al riple producido por los drives de alimentación. La constante de
tiempo mecánica depende considerablemente del tipo de carga que se trate y en general esta
constante puede ir desde 0,1[s] a unos cuantos minutos.

1.5.- Control de velocidad de la máquina de cc.
Utilizando un esquema de control de velocidad clásico e incorporando la dinámica del
sistema de alimentación como un sistema de primer orden con constante de tiempo equivalente Ta y
ganancia Ka, se pueden lograr resultados bastante aceptables para el control de la máquina. La
constante de tiempo del sistema de alimentación depende mucho del equipo que se utilice, la cual
puede ir de unos pocos milisegundos, en el caso de convertidores estáticos, hasta unos cientos de
milisegundos, en el caso de generadores rotatorios. La figura 1.50 muestra el diagrama en bloque de
un sistema de control clásico que tiene un PI de velocidad en cascada con un PI de corriente
considerando la dinámica del actuador [1].

Motor

Vrot Tcarga
ω ref Iref Va Ia Tel ω
+ + - -
+ +
Ta Te K Tm K
- -
Control de Control de
Actuador
velocidad corriente

Figura 1.50: Esquema de control de velocidad clásico.

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1.6.- Ajuste de controladores.
El lazo de corriente está formado por una planta de primer orden con una realimentación
interna. La transferencia de lazo Lc(s) que hay desde la entrada de Va hasta Vrot queda descrita por la
ecuación 1.15 y al cerrar el lazo por medio de Vrot se tiene un sistema realimentado (ec1.16) que ve
dos entradas, una el voltaje de actuación Va y otra, el torque de carga Tcarga, teniendo como salida la
corriente de armadura ia. El diagrama de bloques final corresponde al presentado en la figura 1.60
[1].

K ar K 2
Lc ( s ) = ec1.15
Tm s(Te s + 1)

K ar K ar K
Te s + 1 T s (T s + 1)
I a ( s) = 2
Va ( s ) − m e 2 Tc arg a ( s )
K ar K K ar K
1+ 1+
Tm s (Te s + 1) Tm s (Te s + 1)
ec1.16

K ar Tm sVa ( s ) − K ar KTc arg a ( s )
I a ( s) =
TmTe s 2 + Tm s + K ar K 2

Tcarga

K
Tm s
Control de Actuador
corriente
Iref + Ka Va - K arTm s Ia
+
Ta s + 1 TmTe s + Tm s + K ar K 2
2

-

Figura 1.60: Lazo de control de corriente.

Para el diseño del controlador se utilizará la herramienta RLTOOL de Matlab, con el fin de
poder ubicar de la mejor forma posible los polos a lazo cerrado. La función de transferencia
incluyendo la dinámica del actuador, se presenta en la ecuación 1.17 y la estructura del controlador
PI se presenta en la ecuación 1.18, por lo que la transferencia de lazo abierto Glca(s) queda descrito
por la ecuación 1.19.

K a K ar Tm s
G p ( s) =
(Ta s + 1)(TmTe s 2 + Tm s + K ar K 2 )
ec1.17

8


 T s + 1
Gcc ( s ) = K cc  ic
 T s   ec1.18
 ic 

K cc K a K ar Tm s (Tic s + 1)
Glca ( s ) =
Tic s (Ta s + 1)(Tm Te s 2 + Tm s + K ar K 2 )
ec1.19

Acelerar el lazo de corriente trae más desventajas que ventajas, producto que la corriente
generada por los rectificadores con control de fase tienen un fuerte riple en la corriente de armadura,
el cual se puede inmiscuir y propagar por el lazo de control. Un ajuste adecuado es considerar la
constante de tiempo del controlador del mismo valor que la constante de tiempo del actuador, con el
fin de producir la cancelación entre un cero y un polo en la función de transferencia de lazo, y
sintonizar la ganancia de tal forma que los polos a lazo cerrado queden en un ángulo de 45º
(ξ=0.707), ya que con esto se logra una buena condición de sobrepasamiento y subamortiguación
rápida. La figura 1.61 muestra el lugar geométrico de raíces para la planta de la ecuación 1.17 con
un controlador PI.

150

100

50
Eje imag.

0

-50

-100

-150
-200 -180 -160 -140 -120 -100 -80 -60 -40 -20 0
Eje real
Figura 1.61: Lugar geométrico de raíces para el lazo de corriente.

Los rectificadores que tienen como configuración un puente de tiristores para el control de
la tensión de entrada, generan una corriente con un riple de 300[Hz], en el caso de alimentación
trifásica de 50[Hz]), y un riple de 100[Hz] para el caso monofásica. La constante de tiempo en estos
casos fluctúa entre 6,7[ms] y 10[ms] (retardos máximos en el disparo de los tiristores) y el lazo de
control de corriente debe ser capaz de filtrar este riple. Para el análisis a desarrollar se considerará
un sistema de alimentación por medio de un puente de tiristores monofásico y se ajustará Tic sobre
el polo del actuador, en 10[ms], tal como se mencionó antes [1].
Fijando la ganancia para polos a 45º se logra un sobrepasamiento no superior al 5%. La
transferencia en lazo cerrado genera error estacionario producto del voltaje inducido en la armadura
Vrot, el cual internamente contrarresta el efecto del controlador (figura 1.62). Una solución a este

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problema sería agregar un integrador más, lo cual eliminaría este error pero tornaría mas inestable el
lazo. En la práctica no es necesario eliminar este error, ya que este lazo esta inserto dentro del lazo
de velocidad y la función principal del lazo de corriente es evitar aumentos peligrosos de la
corriente de armadura durante la aceleración del motor o producto de alguna sobrecarga.

1.2
Referencia

1

Respuesta
0.8
Amplitud

0.6

0.4

0.2

0
0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03 0.035 0.04 0.045 0.05
Tiempo [s]
Figura 1.62: Respuesta escalón para el lazo de corriente.

Para el lazo de control de velocidad, el lazo de corriente Glcc se puede ver como un sistema
de primer orden con una constante de tiempo equivalente τeq y una ganancia Keq (ec1.20).
Incorporando el controlador de velocidad (ec1.21) y la transferencia restante del motor, se llega a
una transferencia de lazo presentado en la ecuación 1.22.

K eq
Glcc ( s ) = ec1.20
Teq s + 1

K cv (Tiv s + 1)
Gcv = ec1.21
Tiv s

K cv K eq K (Tiv s + 1)
Glv =
Tiv Tm s 2 (Teq s + 1)
ec1.22

Para determinar la posición del cero del controlador es necesario recurrir a algunos métodos
un poco más complejos. El lugar geométrico de raíces varía mucho dependiendo de la posición del
cero, ya que si se ubica a la izquierda del polo dado por el lazo de corriente de la planta, se tiene un
sistema inestables, siendo la única alternativa ubicarlo entre el polo dado por Teq y el polo del
origen. La figura 1.63 corresponde al lugar geométrico del lazo de velocidad considerando Tiv=2Teq,

10


donde se aprecia que los polos a lazo cerrado se ubican muy por sobre los 45º, lo que genera un
sobrepasamiento demasiado alto (figura 1.64).

150

100

50
Eje imag

0

-50

-100

-150
-70 -60 -50 -40 -30 -20 -10 0
Eje real
Figura 1.63: Lugar geométrico de raíces para el lazo de velocidad con Tiv=2Teq.

1.8

1.6

1.4

1.2
Amplitud [rad/s]

1

0.8

0.6

0.4

0.2

0
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6
Tiempo [s]
Figura 1.64: Respuesta escalón para el lazo de velocidad con Tiv=2Teq.

11


La figura 1.65 considera Tiv=4Teq, lo cual hace acercar los polos a 45º, pero como son más
lentos, la dinámica del lazo se torna más lenta, pero se logra una disminución en el
sobrepasamiento.

100

80

60

40

20
Eje imag.

0

-20

-40

-60

-80

-100
-70 -60 -50 -40 -30 -20 -10 0
Eje real
Figura 1.65: Lugar geométrico de raíces para el lazo de velocidad con Tiv=4Teq.

1.5

1
Amplitud [rad/s]

0.5

0
0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35
Tiempo [s]
Figura 1.66: Respuesta escalón para el lazo de velocidad con Tiv=2Teq.

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En general, establecer un criterio desde el punto de vista de posicionamiento de polos es
difícil, ya que hay que buscar una alternativa que presente una buena dinámica frente a cambios de
referencia tanto como a perturbaciones.
Uno de los métodos más utilizados para sintonizar los controladores de velocidad que
presentan plantas de las características ya dadas, es el óptimo simétrico, el cual busca igualar las
condiciones de respuesta frente a la referencia y las perturbaciones [1] [3].
El método de óptimo simétrico busca, tal como su título lo dice, hacer simétrica la respuesta
en frecuencia del lazo respecto a una frecuencia de cruce, dada en este caso por la mitad de la
frecuencia natural del polo de la planta (Teq en este caso). Esta condición fija inmediatamente la
acción del cero del controlador para poder tener la simetría, por lo que el cero debe actuar a la mitad
de la frecuencia de cruce. Por lo tanto, la acción del cero debe estar a la cuarta parte de la frecuencia
natural del polo, lo cual da Tiv=4Teq. La ganancia del controlador se ajusta de tal forma que a la
frecuencia de cruce se tenga una ganancia de 0[dB], condición que se cumple para
K cv = J . Cabe mencionar que los lazos reales de control se realimentan por medidores,
2 K eq Kτ eq
los cuales incorporan una ganancia y una constante de tiempo que alteran la sintonización de los
controladores. En este caso se considerará que la constante de tiempo del medidor es mucho más
rápida que el lazo de velocidad, y la ganancia se incorporará, compensándola con la ganancia del
controlador [2].

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