Lenguaje y automata operaciones con lenguajes

Operaciones con lenguajes
El concepto de concatenación se puede extender a los lenguajes. Se define la
concatenación de lenguajes como sigue:
El lenguaje que resulta de la concatenación de y esta formado por la concatenación
de todas la cadenas de con todas la cadenas de .
Ejemplo: Si y ,
entonces, .
La concatenación de lenguajes se puede realizar aún si los lenguajes no estan contruídos
sobre el mismo alfabeto, en tal caso la concatenación nos lleva a que, si y , son
lenguajes sobre y , entonces el lenguaje resultante será un lenguaje
sobre .
La cadena vacía se comporta como la identidad en cuanto a la concatenación de
lenguajes se trata, ya que si tenemos .
La definición de potencia, también puede extenderse a los lenguajes de la misma manera
Por lo tanto, si sobre un algún alfabeto, se tiene que
Hay que destacar que de la anterior definición se tiene que .
Dado que los lenguajes son conjuntos de cadenas, las operaciones, intersección, unión y
sublenguaje se difinen como sigue:
Sean y lenguajes sobre el alfabeto , la unión se denota como y quiere
decir que el lenguaje resultante esta formado por todas la palabras que se encuentren en
al menos uno de los dos lenguajes, más generalmente:
La intersección de los lenguajes y es un lenguaje formado por todas las cadenas
que se encuentran tanto en como en , esto es:
Con un ejemplo se prodrá ilustrar mejor las dos definiciones anteriores.
Ejemplo: Sean y ,

Ahora hay que definir el concepto de sublenguaje, recordando la teoría de conjuntos
sabemos que un conjunto es un subconjunto de , si contiene a todos los
elementos de y se denota como , y se lee, W es un subconjunto de U. Esta
definición se puede mudar perfectamente a la teoría de lenguajes, diciendo que
si y son lenguajes, entonces es un sublenguaje de , si contiene todas las
cadenas de y se denota , y se lee B es un sublenguaje de A.
Sea cualquier lenguaje sobre , entonces , ya que contiene todas las
cadenas que son posibles de generar con el alfabeto .
La igualdad de lenguajes cumple con las mismas caracteríscas que la igualdad entre
conjuntos, sean y lenguajes, son iguales, sólo si, contienen exactamente las
mismas cadenas. También hereda sus propiedades de la teoría de conjuntos, tales como
son los siguientes teoremas:
Teorema 2.3.1 Sean y , lenguajes sobre , , solo si y .
El teorema 2.3.1 sirve para demostrar la igualdad entre lenguajes y se utiliza para
demostrar que la concatenación es distributiva con respecto a la unión de lenguajes.
Demostración.Supongamos que , entónces tenemos que probar
que y , para ello digamos que . Como contiene las mismas
cadenas que , diremos que , de lo que se deduce que . De la misma
forma, si , entónces ya que los dos contienen las mismas cadenas, de lo
anterior tenemos que , lo cual no lleva a que y . Esto significa que
las cadenas que estan en , están también en y viceversa, por lo que , con lo
que se demuestra la igualdad.
Teorema 2.3.2 Dados los lenguajes y , sobre un alfabeto , se cumple que:
1.
2.

Demostración.Para demostrar la primera parte del teorema, probaremos primero
que . Supongamos que , y que ,
donde y . Sí , tenemos que y por lo
tanto . Si , tenemos que y de
nuevo . Sin importar a que lenguaje pertenesca , se deduce que
Ahora para probar suponemos que de
modo que o . Si y donde y ,
tenemos que , y ya que , tenemos que . Por otro lado
si y si , tenemos que y , por lo tanto y ya
que , tenemos que . De lo anterior se deduce
que . Utilizando el teorema 2.3.1 se obtiene
que , lo que demuestra la igualdad.
De forma muy similar se demuestra la segunda parte del teorema 2.3.2. Así que no
aparecerá la demostración en este documento.
A diferencia de la unión, la concatenación no es distributiva con respecto a la intersección
de lenguajes, para esto, hay que proponer que, si , y ,
entoces y , por lo que . Pero
tenemos que , entonces , por lo tanto:
Ahora veremos dos conceptos más, el primero es el de cerradura de Kleene o cerradura
estrella, élla esta definida como la unión de 0 o más potencias de un lenguaje sobre un
alfabeto , más precisamente, la cerradura de Kleene es realizar 0 o más
concatenaciones del lenguaje con él mismo, y se denota , lo que resulta
en un lenguaje que contiene todas las cadenas que son posibles de formar sobre .
También tenemos a la cerradura positiva, que es la unión de una o más potencias
de en , resultando en un lenguaje que contiene, todas las cadenas excepto la
cadena vacía , y se denota .

Un factor importante que debe recordarse es que la diferencia entre estos dos tipos de
cerradura es, que en la cerradura de Kleene se realiza con 0 o más concatenaciones, en
cambio la cerraduta positiva se realiza con o más concatenaciones.
Ejemplo: Si es el alfabeto español y sobre , tendremos
que , ya
que y .
La definición de la cerradura de Kleene es igual a la de el lenguaje universal, mencionada
en la sección 2.4 en la página . Sea un alfabeto, es la concatenación
de 0 o más símbolos de , que son las cadenas que conforman el lenguaje universal que
también se denota , de aquí que todo lenguaje sobre es un sublenguaje de .
La diferencia entre lenguajes sigue las mismas reglas que para la diferencia en conjuntos,
es decir, si y son lenguajes sobre , entonces ,
que resulta en un lenguaje que contiene todas las cadenas de , que no estan en .
Al igual que con conjutos se puede definir el complento de un lenguaje. Sea un
lenguaje sobre su complemento es
se puede que ver la definición se plantea de la misma manera que con conjuntos, donde
el lenguaje complemento contiene todas las cadenas del lenguaje universal , que no
estan en .
El inverso de un lenguaje se denota como y su efecto sobre el lenguaje es que todas
las cadenas del lenguaje se invierten, esto es, si es un lenguaje, su inverso
es .
Ejemplo: Si , entonces .
El inverso de un lenguaje se anula a sí mismo. Al igual que con las cadenas, el inverso del
inverso de un lenguaje, deja el lenguaje original intacto, esto es, .
El uso de el inverso de un lenguaje es bueno para casí todas las operaciones sobre
lenguajes, pero en el caso de la concatenación, no solo invierte las palabras
concatenadas de los lenguajes, sino que también cambia el ordan de la concatenación de
los lenguajes, .

Pablo Gerardo Padilla Beltrán. (2005). operaciones conlenguajes. 2005-10-21,
de . Sitio web:
http://delta.cs.cinvestav.mx/~mcintosh/comun/summer2006/algebraPablo_ht
ml/node6.html

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