Libro mate
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Este documento explica cómo calcular las ecuaciones de las rectas tangente y normal a una curva en un punto. Detalla que la pendiente de la tangente es igual a la derivada de la función en ese punto y que la pendiente de la normal es la inversa de la tangente. Proporciona ejemplos de cómo encontrar las ecuaciones de la tangente y la normal para diferentes funciones en puntos específicos.
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- 1. Ecuaciones de la tangente y la normal a una curva en un punto Casi al inicio del tema, comprobamos que “la derivada de una función en un punto es la pendiente de la recta tangente a la curva en el punto P ”, y, a continuación, dimos las ecuaciones de las rectas tangente y normal a la curva de una función en un punto . No obstante, ya advertimos que en aquel momento sólo podíamos poner un ejemplo, ya que todavía sabíamos calcular funciones derivadas. Pero ahora que ya hemos aprendido a hacerlo, podemos aplicar los conocimientos adquiridos para hallar ecuaciones de rectas tangentes y normales a diferentes curvas en cualquier punto en el que su función sea derivable. Incluso nos gustaría hacer notar al alumno con qué facilidad se pueden hallar las ecuaciones de dichas rectas, gracias al concepto de derivada de una función en un punto. Pendiente de la recta normal La pendiente de la recta normal a una curva en un punto es la opuesta de la inversa de la pendiente de la recta tangente, por ser rectas perpendiculares entre sí. Es decir, es la opuesta de la inversa de la derivada de la función en dicho punto.
- 2. Ecuación de la recta normal La recta normal a una curva en un punto a es aquella que pasa por el punto (a, f(a)) y cuya pendiente es igual a la inversa de la opuesta de f'(a). Ejemplo Hallar la ecuación de la recta tangente y normal a la parábola y = x2 + x + 1 paralela a la bisectriz del primer cuadrante. La bisectriz del primer cuadrante tiene de ecuación y = x, por tanto m = 1. f'(a) = 2a + 1 = 1 a = 0 Punto de tangencia:(0, 1) Recta tangente: y − 1 = x y = x +1
- 3. Recta normal: m= 1 P(0, 1) y − 1 = −x y = −x + 1 Pendiente de la recta tangente La pendiente de la recta tangente a una curva en un punto es la derivada de la función en dicho punto. Recta tangente a una curva en un punto La recta tangente a una curva en un punto es aquella que pasa por el punto (a, f(a)) y cuya pendiente es igual a f '(a).
- 4. Ejemplos Hallar la ecuación de la recta tangente a la parábola y = x2 − 5x + 6 paralela a la recta 3x + y − 2 = 0. y = −3x + 2 La pendiente de la recta es el coeficiente de la x. m = −3 Dos rectas paralelas tienen la misma pendiente. f'(a) = 2a − 5 2a − 5 = −3a = 1 P(1, 2) y − 2 = −3 (x − 1) y = −3x + 5 Observamos que como la recta es paralela a la dada tiene la misma Ejemplos: a) Hallar las ecuaciones de la tangente y la normal a la curva de ecuación en el punto de abscisa . Recordemos que la ecuación de la tangente era
- 6. Se ha trazado una recta tangente a la curva y= x 3 , cuya pendiente es 3 y pasa por el punto (0, −2). Hallar el punto de tangencia. Sea el punto de tangencia (a, f(a)) f' (x)= 3x2 f' (a)= 3a2 3a2 =3 a = ±1 Las ecuaciones de las rectas tangentes son: a = 1 f(a) = 1
- 7. y − 1 = 3(x –) y = 3x−2 a = −1 f(a) = −1 y + 1= 3(x + 1) y = 3x + 2 El punto (0, −2) pertenece a la recta y = 3x−2. Por tanto el punto de tangencia será (1, 1)