Ma 31 2007
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1. El documento presenta las definiciones de las razones trigonométricas (seno, coseno, tangente, cotangente, secante y cosecante) para un ángulo en un triángulo rectángulo. 2. Se proporcionan valores para las razones trigonométricas de ángulos de 30°, 45° y 60°. 3. Se explican algunas identidades trigonométricas fundamentales y se presentan ejemplos para ilustrar su uso.
Ma 31 2007
- 1. C u r s o : Matemática Material N° 31 GUÍA TEÓRICO PRÁCTICA Nº 24 UNIDAD: GEOMETRÍA TRIGONOMETRÍA RAZONES TRIGONOMÉTRICAS En el triángulo ABC, rectángulo en C (figura 1), se definen las siguientes razones: Seno de α = sen α = Cateto opueto a hipotenusa α = a c Coseno de α = cos α = Cateto adyacente a hipotenusa α = b c Tangente de α = tg α = Cateto opuesto a Cateto adyacente a α α = a b Cotangente de α = cotg α = Cateto adyacente a Cateto opuesto a α α = b a Secante de α = sec α = Hipotenusa Cateto adyacente a α = c b Cosecante de α = cosec α = Hipotenusa Cateto opuesto aα = c a EJEMPLOS 1. De acuerdo al triángulo ABC de la figura 1, completa lo siguiente: sen β = ______ cosec β = ______ cos β = ______ sec β = ______ tg β = ______ cotg β = ______ 2. Si cos α = 8 17 , entonces cosec α = A) 17 8 B) 17 15 C) 15 8 D) 15 17 E) 8 15 α β b AC B a c fig. 1 α β b AC B a c fig. 1
- 2. 2 3. En la figura 2, cos α = 0,15 y b = 1,5 cm. Entonces, ¿cuál es la medida de la hipotenusa? A) 100 cm B) 15 cm C) 12,5 cm D) 10 cm E) 1 cm 4. La base de un triángulo isósceles tiene una longitud de 12 cm y el coseno del ángulo adyacente a ella es 3 5 . Luego, el perímetro del triángulo es A) 16 cm B) 24 cm C) 32 cm D) 48 cm E) 64 cm 5. En la circunferencia de centro O y radio r de la figura 3, el ángulo del centro que subtiende la cuerda c es 2α. Entonces, c = A) r · sen α B) r · cos α C) r · sen 2α D) 2 · r · cos α E) 2 · r · sen α α A B C a b c fig. 2 O r cA B fig. 3 2α
- 3. 3 RAZONES TRIGONOMÉTRICAS PARA ÁNGULOS DE 30º, 45º y 60º Considerando los triángulos de las figuras 1 y 2, se tiene que: Ángulo Razón 30º 45º 60º sen α 1 2 2 2 3 2 cos α 3 2 2 2 1 2 tg α 3 3 1 3 EJEMPLOS 1. cos2 60º – tag 45º ⋅ sen 30º = A) - 3 4 B) - 1 4 C) 0 D) 1 4 E) 3 4 30º 60º A B C 2 1 3 fig. 1 45º 45º A B C 2 1 1fig. 2 Ángulo de elevación Ángulo de depresión ObservadorHorizontal HorizontalObservador Línea de mira Fig. 3 Ángulos de elevación y de depresión (fig. 3) son aquellos formados por la horizontal, considerada a nivel del ojo del observador y la línea de mira, según que el objeto observado esté por sobre o bajo esta última. Con respecto a un observador, los ángulos de elevación y de depresión constituyen ángulos alternos internos entre paralelas, por lo tanto, sus medidas son iguales.
- 4. 4 2. ¿Cuál es la longitud de la sombra proyectada por un edificio de 50 m de altura (fig. 1) cuando el sol se ha elevado 40º sobre el horizonte? A) 50 · tg 40 m B) 50 m sen 40 C) 50 m tg 40º D) tg 40º m 50 E) cotg 40º m 50º 3. ¿Cuál es la longitud del hilo que sujeta el volantín de la figura 2, si el ángulo de elevación es de 45º? A) 20 2 m B) 21,5 m C) 21,5 2 m D) 20 m E) 10 2 m 4. Un observador de 1,80 m de estatura observa la azotea de un edificio, según un ángulo de elevación de 60º. Si el observador está a 12 m del edificio, ¿cuánto mide la altura del edificio? A) 24 m B) 12 3 m C) 8 3 m D) (4 3 + 1,8) m E) (12 3 + 1,8) m 40º fig. 1 1,5 m 45º fig. 2 21,5 m
- 5. 5 IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS FUNDAMENTALES Las identidades 1, 2, 3, 4 y 5 se deducen directamente de las definiciones de las razones trigonométricas. La identidad 6, se deduce combinando las definiciones con el Teorema de Pitágoras. 1. sen α ⋅ cosec α = 1 4. tg α = sen cos α α 2. cos α ⋅ sec α = 1 5. cotg α = cos sen α α 3. tg α ⋅ cotg α = 1 6. sen2 α + cos2 α = 1 EJEMPLOS 1. Si k = cos2 60° + cos2 50° + sen2 50°, entonces 4k es igual a A) 7 B) 6 C) 5 D) 1,25 E) 1 2. Si α es un ángulo agudo, ¿cuál(es) de las siguientes igualdades es(son) identidad(es)? I) tg α · cosec α = sec α II) 2 1 1 cos− α = cosec2 α III) (sen α + cos α) (sen α – cos α) = 2 sen2 α – 1 A) Sólo I B) Sólo II C) Sólo III D) Sólo I y II E) I, II y III β α B C A a b c
- 6. 6 EJERCICIOS 1. En el triángulo rectángulo en C de la figura 1, sen β – sen α es igual a A) 0 B) 2 2 b a ab − C) 2 2 a b ab − D) a b c − E) b a c − 2. Si tg α = 5 12 y α es un ángulo agudo, entonces cos α = A) 12 5 B) 13 12 C) 5 12 D) 5 13 E) 12 13 3. El triángulo ABC de la figura 2, es rectángulo en C. Si sen α = 0,6 y BC = 12 cm, ¿cuánto es sen β? A) 1,25 B) 1 C) 0,8 D) 0,75 E) 0,6 A C B b a c α β fig. 1 A C B α β fig. 2
- 7. 7 4. El triángulo de la figura 3, es rectángulo en C. ¿Cuál(es) de las siguientes igualdades es(son) verdadera(s)? I) sen α = 1 2 II) cos β = 3 2 III) tg α = 3 3 A) Sólo I B) Sólo II C) Sólo III D) Sólo I y III E) I, II y III 5. En la figura 4, sen α = 4 5 y tg β = 3 5 , entonces x mide A) 3 cm B) 5 cm C) 9 cm D) 12 cm E) 15 cm 6. El volantín de Luchín está sujeto por un hilo tenso de 160 m de longitud y el ángulo de elevación es de 40°. ¿A qué altura está el volantín, sin tomar en cuenta la estatura de Luchín? A) 160 · sen 40° m B) 160 · sen 50° m C) 160 · cos 40° m D) 160 · sec 40° m E) 160 · sec 50° m α β A C B 6 3 fig. 3 α β 12 cm x fig. 4
- 8. 8 7. La figura 5, muestra un corte transversal del túnel del metro. El piso de éste tiene 4 m de ancho y el ángulo de elevación desde el extremo A de la base al punto C de mayor altura del túnel es de 60°. ¿Cuál es la medida de DC ? A) 2 m B) 2 3 m C) 3 m D) 4 m E) 4 3 m 8. Un alpinista que baja por una ladera, por cada 20 metros que recorre baja 10 metros. Entonces, el ángulo de inclinación de la ladera es A) 15° B) 30° C) 45° D) 60° E) 75° 9. En la circunferencia de centro O y radio r de la figura 6, la longitud de la cuerda AB está dada por A) 2 · r · sen 20° B) 2 · r · cos 20° C) 2 · r · sen 70° D) r · sen 40° E) r · cos 70° 10. En el triángulo ABC isósceles de base AB de la figura 7, ¿cuál(es) de las siguientes expresiones representa(n) la medida del lado AC ? I) 1,8 cos50° II) 1,8 sen 40° III) 3,6 · cos 50° A) Sólo I B) Sólo II C) Sólo III D) Sólo I y II E) I, II y III A D B C fig. 5 40° r BA O fig. 6 80° A B C 3,6 cm fig. 7
- 9. 9 11. Desde un avión que vuela a 2.000 m de altura se observa el inicio de la pista de aterrizaje 30° por debajo de la línea horizontal de vuelo (ángulo de depresión) (fig. 8). ¿Cuál(es) de las siguientes expresiones representa(n) la distancia desde el avión al inicio de la pista? I) 2.000 sen 30º m II) 2.000 cos 60º m III) 2.000 · tg 30° m A) Sólo I B) Sólo II C) Sólo III D) Sólo I y II E) Sólo I y III 12. Un camión al chocar con un poste lo quiebra y la punta del poste toca el suelo a una distancia de 3 m de la base del poste. Si la parte superior del poste quebrado forma con el suelo un ángulo de 45°, ¿cuál era la altura original del poste? A) (6 + 3 2 ) m B) 6 m C) (3 + 3 2 ) m D) 6 2 m E) (3 + 1,5 2 ) m 13. Si β es un ángulo agudo de un ∆ABC, rectángulo en C, m = a · sen β y n = a ⋅ cos β, entonces m2 + n2 = A) a2 B) a C) 1 D) 0 E) -1 14. En la figura 9, el triángulo ABC es rectángulo en C y tg β = 2 3 . Si AB = 5 cm, entonces AC = A) 2 cm B) 2 5 cm C) 5 13 cm D) 10 13 cm E) 15 13 cm 30° 2.000 m fig. 8 A C B β fig. 9
- 10. 10 15. En la circunferencia de centro O de la figura 10, está inscrito el triángulo ABC. Si sen α = 0,6 y el área del triángulo es 96 cm2 , entonces ¿cuál es el área del círculo? A) 400π cm2 B) 100π cm2 C) 40π cm2 D) 25π cm2 E) 20π cm2 16. En el triángulo ABC de la figura 11, se puede determinar cos α si: (1) AC : BC = 3 : 4 (2) AB = 10 A) (1) por sí sola B) (2) por sí sola C) Ambas juntas, (1) y (2) D) Cada una por sí sola, (1) ó (2) E) Se requiere información adicional 17. Se puede determinar el perímetro del triángulo ABC de la figura 12, si: (1) tg α = 4 3 (2) AB = 5 cm A) (1) por sí sola B) (2) por sí sola C) Ambas juntas, (1) y (2) D) Cada una por sí sola, (1) ó (2) E) Se requiere información adicional 18. El extremo superior de una escalera se encuentra apoyado en el punto más alto de una muralla; la escalera forma con el piso un ángulo de 60º. Se puede determinar la altura de la muralla si: (1) Se conoce el largo de la escalera. (2) Se conoce la distancia entre el pie de la escalera y la muralla. A) (1) por sí sola B) (2) por sí sola C) Ambas juntas, (1) y (2) D) Cada una por sí sola, (1) ó (2) E) Se requiere información adicional O B C A α fig. 10 α A B C fig. 12 A C B α fig. 11
- 11. 11 19. En el triángulo PQR de la figura 13, se puede calcular sen α si: (1) QRP = 90º (2) Área (∆PQR) = 24 cm2 A) (1) por sí sola B) (2) por sí sola C) Ambas juntas, (1) y (2) D) Cada una por sí sola, (1) ó (2) E) Se requiere información adicional 20. En un triángulo MNT isósceles de base MN, la altura correspondiente a la base mide 1,8 metros. ¿Cuál es el área del triángulo? (1) El triángulo es obtusángulo. (2) La tangente correspondiente a uno de los ángulos de la base es 2 3 . A) (1) por sí sola B) (2) por sí sola C) Ambas juntas, (1) y (2) D) Cada una por sí sola, (1) ó (2) E) Se requiere información adicional RESPUESTAS DSIMA31 1. E 6. A 11. D 16. A 2. E 7. B 12. C 17. C 3. C 8. B 13. A 18. D 4. D 9. A 14. D 19. D 5. C 10. D 15. B 20. B Ejemplos Págs. 1 2 3 4 5 1 y 2 B D C E 3 y 4 B C A E 5 C E b c c b a c c a b a a b CLAVES PÁG. 6 Puedes complementar los contenidos de esta guía visitando nuestra web http://pedrodevaldivia.cl/ P R Q α fig. 13 10 cm 6 cm