Manualmv1

FACULTAD DE CIENCIAS MARINAS
Cursos de Capacitación
MATLAB
Dr. Rafael Hernández Walls

M A T L A B
Curso de Capacitación
Dr. Rafael Hernández Walls
Facultad de Ciencias Marinas
Universidad Autónoma de Baja California

M A T L A B
Tabla de contenido
I N T R O D U C C I O N
C A P Í T U L O 1
Fundamentos de Matlab (5 hrs.)
Comandos básicos
Variables de tipo arreglo
Números en Matlab
Funciones
Creando un programa *.m
Funciones del usuario
Como cargar y guardar datos
Copias impresas
C A P Í T U L O 2
Gráficos con Matlab (5 hrs)
Gráficas simples
Copia impresa
Contornos
Gráficas de malla y superficie
Imprimiendo y exportando gráficos
Gráficos de vectores
C A P I T U L O 3
Aplicaciones I (5 hrs)
Algebra lineal
Integración numérica
Ajuste de curvas
Interpolación
C A P Í T U L O 4
Aplicaciones II (5 hrs)
Raices de ecuaciones no lineales
Ecuaciones diferenciales ordinarias
Algunas aplicaciones a la Oceanografía y
a la Ingeniería.
E V A L U A C I O N
R E F E R E N C I A S

M A T L A B
INTRODUCCION
En los últimos años, el uso del MATLAB se ha extendido, tanto por su
fácil manejo como por su rápida visualización de gráficas. La Ingeniería no esta
ajena a esta forma de programar.
El presente curso tratará de cubrir los aspectos básicos de MATLAB, así
como ver las bondades de su uso en la disciplina de la Ingeniería.
¿ Qué es MATLAB?
MATLAB, de las palabras: "MATrix LABoratory" o en español
“Laboratorio de Matrices”. Este programa fue inicialmente escrito con el objetivo
de proveer a los científicos e ingenieros acceso interactivo a las librerías de cálculo
numérico LINPACK y EISPACK. Estas librerías, que fueron cuidadosamente
probadas, son paquetes de programación de alta calidad para resolver ecuaciones
lineales y problemas de eigenvalores. MATLAB esta basado en el uso de técnicas
basadas en álgebra de matrices para resolver problemas, sin tener que escribir los
programas en un lenguaje tradicional como C++ o Fortran..
Hoy en día, MATLAB es un paquete comercial, el cual opera como medio
ambiente de programación interactivo con salida gráfica. El MATLAB es un
lenguaje excepcional porque los datos son tomados como arreglos. De aquí, que
para algunas áreas de la ingeniería MATLAB esta desplazando al Fortran y al C++
como lenguajes de programación, debido a su interface interactiva, a su reutilizable
formulación de algoritmos, con un medio ambiente amigable y por su velocidad de
cómputo. MATLAB está disponible para muchos sistemas de cómputo incluyendo
a las plataformas MACS, PCs y UNIXis.
Introducción
i

M A T L A B
1111
Fundamentos de Matlab
ESTE CURSO
El propósito de este curso se puede dividir en dos, el primero esta
enfocado al aprendizaje del MATLAB como lenguaje de programación y el
segundo objetivo es analizar algunas aplicaciones a la ciencia y la Ingeniería. En
este último objetivo se presentarán una serie de aplicaciones interesantes.
A través de todo el documento supondremos que usted:
1. Conforme vaya leyendo el manual estará trabajando en la computadora
asignada y practicando los ejercicios vistos en el mismo.
2. Esté familiarizado con las computadoras.
3. Tenga acceso a material suplementario sobre matrices, las operaciones y la
aritmética de las matrices y el álgebra lineal.
ENTRAR Y EJECUTAR EL MATLAB
En una PC con Windows 95 sólo es necesario encontrar el ICONO del
MATLAB y selecionarlo con el MOUSE (hacer dos click con el botón
izquierdo)
MATLAB se presentará en una ventana activa donde aparecerá el siguiente
“prompt”
>>
En estos momentos usted esta en MATLAB. Desde este punto, comandos individuales del
MATLAB pueden ser dados después del prompt (>>). Los comandos se activaran cuando los
introduzca ydeun ENTER. Algunosejemplos serán dados a continuación.
SALIR DE MATLAB
Una sesión de MATLAB puede ser terminada con el comando:
>> quit
o con el comando:
>> exit
Capítulo
1
L E Y E N D A D E
I C O N O S
! Informaciónvaliosa
" Ponga a prueba sus
conocimientos
# Ejercicios de teclado
$ Revisión de libro de
trabajo

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2222
AYUDA EN LINEA
La ayuda en línea esta disponible desde el promp de MATLAB ( >> ),
generalmente ambos (listando todos los comandos disponibles). Por ejemplo
>> help
[lista todos tópicos de Ayuda]
y para comandos específicos:
#### >> help demo
[Un mensaje de ayuda es desplegado sobre el programa DEMO de
MATLAB].
Otros comandos básicos son: ver, what, clock, path, date.
"""" Investigar que realiza cada uno de ellos.
Uno de los comandos más importantes es el !!!! , este comando realiza un
enlace entre el MATLAB y el sistema operativo, tal que podemos utilizar
cualquier comando del sistema operativo existente. Por ejemplo, imagine que
queremos borrar el archivo SALIDA.DAT, esto se puede hacer desde
MATLAB con la siguiente instrucción:
>>!del SALIDA.DAT
El sistema abrirá temporalmente una ventana de DOS y ejecutara la orden
borrar archivo.
VARIABLES
MATLAB tiene variables definidas tales como pi, eps, y ans. Usted puede
saber su valor desde él interprete de MATLAB.
#### >> eps
eps =
2.2204e-16
>> pi
ans =
3.1416
>> help pi
PI 3.1415926535897....
PI = 4*atan(1) = imag(log(-1)) = 3.1415926535897....

M A T L A B
3333
En MATLAB todos los cálculos numéricos corren con precisión limitada, es
decir, la expansión decimal será truncada en el 16vo. lugar [hablando en
términos generales]. El redondeo de la máquina, o la diferencia más pequeña
distinguible entre dos números es representado en MATLAB por "eps".
La variable “ans” debería mantener en la memoria la última salida que no fue
asignada a una variable.
Asignación de variables:
El signo de igual es usado para asignar valores a las variables:
#### >> x = 3
x =
3
>> y = x^2
y =
9
Las variables en MATLAB son sensibles al uso de mayúsculas y minúsculas,
de aquí que las variables "x" y "y" son diferentes de "X" y "Y".
El eco puede ser suprimido al agregar un punto y coma al final del renglón de
comandos.
#### >> x = 3;
>> y = x^2;
>> y
y =
9
Como en los lenguajes de programación C++ y Fortran, las variables en
MATLAB deberán tener un valor [el cual deberá ser numérico, o cadena de
caracteres, por ejemplo].
! Los números complejos están disponibles automáticamente [por default, tanto
i como j son inicialmente definidos como sqrt(-1)].
MATLAB también cuanta con el número infinito (inf), y con el conjunto
vacio (NaN), muy útiles en algunas tareas de programación.

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4444
Variables Activas: A cualquier tiempo, uno puede conocer las variables
activas que se están usando, con el comando:
#### >> who
Your variables are:
ans x y
Para remover una variable trate esto:
#### >> clear x
Salvar y almacenar variables: Para salvar el valor de la variable "x" a un
archivo de tipo texto nombrado "x.valor" usar:
>> save x.valor x -ascii
para salvar todas las variables en un archivo nombrado misesion.mat, en
formato reusable, usar
>> save misesion
Para recuperar la sesión, usar
>> load misesion
ARITMETICA CON VARIABLES
MATLAB usa alguna notación estándar. Más de un comando puede ser usado
en una línea, si ellos son separados por comas.
>> 2+3;
>> 3*4, 4^2;
! Las potencias tienen prioridad sobre las divisiones y las multiplicaciones, las
cuales se realizan antes de las sumas y las substracciones. Por ejemplo
>> 2+3*4^2;
genera una respuesta ans = 50. Esto es:
2+3*4^2 ==> 2 + 3*4^2 <== exponente tiene la prioridad más alta
=> 2 + 3*16 <== entonces la multiplicación y la división
==> 2 + 48 <== entonces la operación de adición
==> 50

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5555
Aritmética de doble precisión: Toda la aritmética es hecha en doble
precisión, el cual, para una máquina de 32-bit significa de 16 dígitos decimales
de ocurrencia.
Normalmente los resultados deberán ser desplegados en un formato corto.
>> a = sqrt(2)
a =
1.4142
>> format long, b=sqrt(2)
b =
1.41421356237310
>> format short
"""" Comando de edición en línea: Las teclas de flechas pueden ser usados para
edición de comando en línea, los cuales pueden ser modificados si esto es
requerido, para corregir errores. Presione la flecha hacia arriba, y modifique el
comando tal que quede como:
>> 2+3*4^2/2
Los paréntesis pueden ser usados para agrupar términos, o hacerlo más claro.
Por ejemplo:
>> (2 + 3*4^2)/2
genera = 25.
FUNCIONES MATEMATICAS CONSTRUIDAS
MATLAB tiene funciones construidas para cálculos matemáticos y científicos.
Aquí hay un resumen de las funciones más relevantes, seguidas por algunos
ejemplos:
Funcion significa Ejemplo
! =============================================
sin seno sin(pi) = 0.0
cos coseno cos(pi) = 1.0
tan tangente tan(pi/4) = 1.0
asin arcseno asin(pi/2)= 1.0
acos arccoseno acos(pi/2)= 0.0
atan arctangente atan(pi/4)= 1.0

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6666
exp exponencial exp(1.0) = 2.7183
log logaritmo natural log(2.7183) = 1.0
log10 logaritmo base 10 log10(100.0) = 2.0
===========================================
los argumentos de las funciones trigonométricas son dadas en radianes.
"""" Ejemplo: Verificar que la siguiente identidad es válida
sin(x)^2 + cos(x)^2 = 1.0
para una x arbitraria. El código en MATLAB:
>> format compact
>> x = pi/3;
>>
>> sin(x)^2 + cos(x)^2 - 1.0
ans = 0
El formato compacto de los comandos elimina espacios entre las lineas de
salida.
MATRICES
Una matriz es un arreglo rectangular de números. Por ejemplo:
1 2 3 4
5 6 7 8
9 8 7 6










define una matriz con 3 renglones y 4 columnas, con 12 elementos.
MATLAB trabaja, esencialmente, solo con una clase de objeto, una matriz
numérica rectangular, con entradas complejas. Cada variable en MATLAB es
referida como una matriz [un número es una matriz de 1 por 1]. En algunas
situaciones, las matrices de 1-por-1 son interpretados como escalares y las
matrices con un solo renglón o una sola columna son interpretados como
vectores.
$ APLICACIONES DE MATRICES A INGENIERIA
En el análisis de aplicaciones de ingeniería, las matrices son un medio
conveniente de representar transformaciones entre sistemas de coordenadas,
Y para escribir familias de ecuaciones representando el estado de un sistema
(e.g., ecuaciones de equilibrio, conservación de energía y de momentum).

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7777
Ejemplo: suponga que las siguientes 3 ecuaciones describen el equilibrio de un
simple sistema de estructuras como función de cargas externas y cálculos de
desplazamientos.
3 0 1
6 2 5
0 2 10 26
1 2 3
1 2 3
1 2 3
x x x
x x x
x x x
− + =
− + − =
− + =
Esta familia de ecuaciones puede ser escrita en la forma A.X = B, donde
A X
x
x
x
B=
−
− −
−










=










=










3 1 0
1 6 2
0 2 10
1
5
26
1
2
3
En una aplicación típica, las matrices A y B deberán ser definidas por los
parámetros del problema de ingeniería, y la matriz solución X será calculada.
Dependiendo de los valores específicos de los coeficientes en las matrices A y
B, lo que podemos tener: (a) no tener soluciones A.X = B, (b) tener una única
solución A.X = B, o (c) un número infinito de soluciones A.X = B.
En este caso particular, la matriz solución es,
X =










1
2
3
hace que el lado izquierdo de la ecuación matricial (i.e., A.X) sea igual al lado
derecho de la matriz (i.e., matriz B). Pronto veremos como resolver este
sistema de ecuaciones en MATLAB (ver ejemplo abajo).
DEFINIENDO MATRICES EN MATLAB
MATLAB esta diseñado para manejar matrices y para manipular matrices tan
simple como sea posible.
! Las matrices pueden ser introducidas dentro de MATLAB por diferentes
maneras:
* Entrada por una lista explícita de elementos,
* Generada por comandos preestablecidos y funciones,
* Creadas en Archivos tipo-M (ver próxima sección),
* Cargar de archivos externos (ver detalles a continuación).

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8888
Por ejemplo, dado como una asignación
>> A = [1 2 3; 4 5 6; 7 8 9];
y
>> A = [ 1 2 3
4 5 6
7 8 9 ]
crea la matriz de 3x3 y asigna sus valores a la variable A.
! Note que:
* Los elementos dentro de un renglón de la matriz pueden ser separados por
comas como también por espacios en blanco.
* Los elementos de una matriz son definidos dentro de los corchetes;
* Una matriz es definida en el orden de los renglones [ie todos los del primer
renglón, entonces todos los del segundo renglón, etc];
* Los renglones son separados por punto y coma [o por una nueva línea],y
los elementos del renglón pueden estar separados ya sea por una coma o por
un espacio. [Precaución: Cuidado con los espacios extras!]
! Cuando se lista un número en formato exponencial (e.g. 2.34e-9), espacios en
blanco deberán ser omitidos. Listados de entradas de matrices grandes es
mejor hacerlo en un archivo tipo-M (ver sección posterior), donde los errores
pueden ser editados más fácilmente.
El elemento de la matriz localizado en el i-ésimo renglón y j-ésima columna
puede ser referido en la manera usual:
>> A(1,2), A(2,3)
ans =
2
ans =
6
>>
Es muy fácil modificar matrices:
>> A(2,3) = 10;
Construyendo matrices de un bloque: Grandes matrices pueden ser
ensambladas de matrices más pequeñas. Por ejemplo, con una matriz A en la
mano, nosotros podemos aplicar la siguiente serie de comandos;
>> C = [A; 10 11 12]; <== genera una matriz de (4x3)
>> [A; A; A]; <== genera una matriz de (9x3)

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9999
>> [A, A, A]; <== genera una matriz de (3x9)
Al igual que con las variables, usamos el punto y coma con las matrices
podemos suprimir el eco. Esta característica puede ser explícitamente útil
cuando se utilizan matrices muy grandes que nosotros generamos en pasos
intermedios de nuestros cálculos.
Si A es una matriz de 3-por-3, entonces
>> B = [ A, zeros(3,2); zeros(2,3), eye(2) ];
deberá construir una cierta matriz de 5-por-5. Trate esto.
FUNCIONES DE MATRICES PRECONSTRUIDAS
MATLAB tiene muchos tipos de matrices las cuales pueden ser reconstruidas
dentro del sistema e.g.,
Función Descripción
! =============================================
diag regresa la diagonal principal de una matriz como un vector
eye matriz identidad
hilb matriz de Hilbert
magic cuadrado mágico
ones matriz de unos
rand generador de matrices aleatorias
triu parte triangular superior de una matriz
tril parte triangular inferior de una matriz
zeros matriz de ceros
=============================================
Aquí hay algunos ejemplos:
Matrices de entradas aleatorias: Una matriz de 3 por 3 con números aleatorios
es producida por teclear lo siguiente
#### >> rand(3)
ans =
0.0470 0.9347 0.8310
0.6789 0.3835 0.0346
0.6793 0.5194 0.0535
>>

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10101010
Generar una matriz de m por n de números aleatorios con lo siguiente
>> rand(m,n);
Cuadrados mágicos: Un cuadrado mágico es una matriz cuadrada la cual tiene
la suma igual a lo largo de todos sus renglones y columnas. Por ejemplo:
#### >> magic(4)
"""" ans =
16 2 3 13
5 11 10 8
9 7 6 12
4 14 15 1
>>
Los elementos de cada renglón y columna suman 34.
Matrices de unos: Las funciones
! ones (m,n) producen una matriz de m-por-n de unos.
ones(n) producen una matriz de n-por-n de unos.
Matrices de ceros: los comandos
! zeros (m,n) producen una matriz de m-por-n de ceros.
zeros (n) producen una matriz de n-por-n de ceros;
Si A es una matriz, entonces zeros(sze(A)) produce una matriz de ceros del
mismo tamaño de A.
Matrices diagonales : Si x es un vector, diag(x) es una matriz diagonal con x
como la diagonal.
Si A es una matriz cuadrada, entonces diag(A) es un vector que consiste de un
vector con la diagonal de A.
"""" ¿Qué es diag(diag(A))? Trate esto.
OPERACIONES CON MATRICES
Las siguientes operaciones con matrices estan disponibles en MATLAB:

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Operador Descripción Operador Descripción
! =============================================
+ adición ' transpuesta
- substracción división izquierda
* multiplicación / división derecha
^ potencia
=============================================
Estas operaciones se aplican, por supuesto, para escalares (matrices de 1-por-1)
Si los tamaños de las matrices no son compatibles para las operaciones de
matrices, un mensaje de error será el resultado, con la excepción en el caso de
operaciones con matrices escalares (para adición, substracción, y división como
también para la multiplicación) en cada caso cada entrada es operado como un
escalar.
Matriz Transpuesta: la traspuesta de una matriz es el resultado de intercambiar
los renglones y las columnas. MATLAB denota la transpuesta por seguir a la
matriz por un apóstrofe. Por ejemplo:
>> A'
ans =
1 4 7
2 5 8
3 6 9
#### >> B = [1+i 2 + 2*i 3 - 3*i]'
B =
1.0000 - 1.0000i
2.0000 - 2.0000i
3.0000 + 3.0000i
>>
Adición/Substracción de una matriz: Sea "A" una matriz que tiene m
renglones y n columnas, y "B" una matriz que tiene p renglones y q columnas.
La matriz suma "A + B" esta definida solamente cuando m es igual a p y n =
q, el resultado es una matriz de n por m tiene los elementos de la suma de las
dos matrices A y B.
Por ejemplo:
#### >> E = [ 2 3; 4 5.0; 6 7];
>> F = [ 1 -2; 3 6.5; 10 -45];
>> E+F
ans =
3.0000 1.0000
7.0000 11.5000

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12121212
16.0000 -38.0000
>>
Multiplicación de matrices: la multiplicación de matrices requiere que los
tamaños empaten.
Si ellas no empatan, un mensaje de error es generado.
>> A*B, B*A;
>> B'*A;
>> A*A', A'*A;
>> B'*B, B*B';
Las matrices escalares son una excepción:
>> 2*A, A/4;
>> A + [b,b,b];
Ejemplo: Podemos usar la multiplicación de matrices para comprobar las
propiedades de los cuadros mágicos.
"""" >> A = magic(5);
>> b = ones(5,1);
>> A*b; <== la matriz de (5x1) contiene la suma de los renglones.
>> v = ones(1,5);
>> v*A; <== la matriz de (1x5) contiene la suma de las columnas.
Las funciones matriciales "any" y "all": Existe una función para determinar
si existe al menos una entrada no cero en la matriz, any, tan bien existe una
función para determinar si todas las entradas de una matriz son no cero, all.
#### >> A = zeros(1,4)
"""" >> any(A)
>> D = ones(1,4)
>> any(D)
>> all(A)
algunas funciones de MATLAB pueden regresar mas de un valor. En el caso
de la función max nos regresa el máximo valor y también el índice de la
columna donde está dicho valor.
#### >> [m, i] = max(B)
>> min(A)
>> b = 2*ones(A)
>> A*B
>> A
Redondeo de números de punto flotante a enteros: MATLAB tiene
funciones para redondear números de punto flotante a enteros. Estas son

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13131313
round, fix, ceil, y floor. Los siguientes ejemplos trabajan con dichos
comandos.
#### >> f = [-.5 .1 .5];
>> round(f)
>> fix(f)
>> ceil(f)
>> floor(f)
>> sum(f)
>> prod(f)
OPERACIONES A NIVEL DE ELMENTOS DE
MATRIZ
Las operaciones de matrices de suma y substracción operan elemento con
elemento de las matrices, pero las otras operaciones matriciales no operan de
esta forma
-- Estas son conocidas como operaciones matriciales.
! MATLAB tiene una conversión en la cual un punto enfrente de las operaciones,
* , ^ , , y /,
forzaran a dichas operaciones a realizarse elemento con elemento. Por ejemplo
[1,2,3,4].*[1,2,3,4]
ans =
1 4 9 16
el mismo resultado puede ser obtenido con
"""" [1,2,3,4].^2
Las operaciones de elemento-elemento son muy útiles en particular para el
graficado de MATLAB.
$ SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
Uno de los principales usos de las matrices es en la representación de sistemas
de ecuaciones lineales. Sea:

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14141414
"A" Una matriz que contiene los coeficientes de un sistema de ecuaciones
lineales
"X" Un vector columna que contiene a las incógnitas.
"B" Un vector columna de los términos independientes.
El sistema de ecuaciones lineales esta representado por la ecuación matricial
A X = B
En MATLAB, las soluciones a las ecuaciones matriciales, son calculadas con
la operación “División de Matrices” (recordar que no existe la división en las
matrices). Mas precisamente:
! >> X=AB
es la solución de A*X=B (esto puede se puede interpretar como "la matriz X
es igual a la inversa de la matriz A, multiplicada por la matriz B”) y,
>> X=B/A
es la solución de x*A=b . Para el caso de la división izquierda, si A es
cuadrada, entonces esta es factorizada usando la eliminación de Gauss estos
son usados para resolver A*x=b.
$ Comentarios para Gurus Numéricos: Si A no es una matriz cuadrada,
entonces se puede utilizar la ortogonalización de Householder con pivoteo en
columnas y los factores son utilizados para resolver bajo o sobre el sistema
determinado en el sentido de mínimos cuadrados.
División derecha esta definida en términos de la división izquierda por
>> b/A=(A' b')'
EJEMPLO NUMERICO
En la sección abierta de este curso discutimos la familiaridad de las ecuaciones
dadas por:
#### >> A = [ 3 -1 0; -1 6 -2; 0 -2 10 ];
>> B = [ 1; 5; 26 ];
La solución a estas ecuaciones es dada por:
>> X = A B
X =
1.0000
2.0000
3.0000
>>

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15151515
y X es el vector solución. Podemos comprobar la solución por verificar que
A*X ==> B
Y A*X - B ==> 0
Los comandos requeridos en MATLAB son:
>> A*X
ans =
1.0000
5.0000
26.0000
>> A*X - B
ans =
1.0e-14 *
0.0444
-0.2665
-0.3553
>>
Nota: Si no hay solución al sistema, una solución ‘aproximada’ es desplegada
(i.e., A*X - B es tan pequeña como sea posible).
ESTRUCTURAS DE CONTROL
El control de flujo en programas de MATLAB es construida con estructuras
lógicas/relacionales, branching constructs, y una variedad de estructuras de
ciclos.
! Notación de dos puntos (Colon): Una parte central de la sintaxis de
MATLAB son los dos puntos(:), el cual produce una lista. Por ejemplo:
#### >> format compact
>> -3:3
ans =
-3 -2 -1 0 1 2 3
El incremento por default es 1 por 1, pero esto puede ser cambiado. Por
ejemplo:
>> x = -3 : .3 : 3
x =
Columns 1 through 7
-3.0000 -2.7000 -2.4000 -2.1000 -1.8000 -1.5000 -1.2000
Columns 8 through 14

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16161616
-0.9000 -0.6000 -0.3000 0 0.3000 0.6000 0.9000
Columns 15 through 21
1.2000 1.5000 1.8000 2.1000 2.4000 2.7000 3.0000
>>
Esto puede ser leído como: "x es el nombre de la lista, la cual comienza en -3,
y se incrementa con pasos de 0.3, hasta llegar a 3." Se puede pensar en una lista
como un vector renglón”.
En nuestro tercer ejemplo, los siguientes comandos generan una tabla de
senos.
>> x = [0.0:0.1:2.0]' ;
>> y = sin(x);
>> [x y]
Tratar esto. Notar que la función seno cuando opera con vectores, esto
produce también un vector.
La notación de dos puntos puede ser combinada con los métodos anteriores
de construcción de matrices. Por ejemplo:
#### >> a = [1:6 ; 2:7 ; 4:9]
OPERADORES LÓGICOS
! Las relaciones entre dos variables en MATLAB se pueden establecer mediante
ciertos operadores
Operador Descripción
< Menor que
> Mayor que
<= Menor o igual
>= Mayor o igual
== Igual
~= Diferente.
Nótese que "=" se usa para asignar un valor a una variable, mientras que
"==" se usa como un operador
Diferentes relaciones se pueden conectar mediante los operadores lógicos
Operador Descripción
& y
| o
~ no

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17171717
Cuando se aplica a escalares, las relaciones son en realidad valores entre el 1 y
cero, dependiendo de si la relación es falsa o verdadera (será 1 en caso de ser
verdadera y cero en caso de ser falsa), por ejemplo:
3 < 5
ans =
1
>> a = 3 == 5
a =
0
>>
! Cuando los operadores lógicos se aplican a matrices del mismo tamaño, el
resultado es una matriz de ceros y unos con el valor de la relación entre los
elementos correspondientes de las matrices, por ejemplo:
#### >> A = [ 1 2; 3 4 ];
>> B = [ 6 7; 8 9 ];
>> A == B
ans =
0 0
0 0
>> A < B
ans =
1 1
1 1
>>
Para que veas como funciona un operador lógico, debes intentar las siguientes
instrucciones:
>> ~A
>> A&B
>> A & ~B
>> A | B
>> A | ~A
CONDICIONALES
! En MATLAB existen diferentes instrucciones que te permiten establecer
condicionales en tu programa
If-end: Estructura básica:

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18181818
if <condición>,
<programa>
end
Aquí la condición es una expresión lógica que se evaluará en cuanto a si es
falsa o verdadera (tomando valores de 1 o 0). Cuando la expresión sea falsa (0)
MATLAB no efectuará lo indicado en <programa> y realizará la instrucción
inmediata a end. Ejemplo:
#### >> a = 1;
>> b = 2;
>> if a < b,
c = 3;
end;
>> c
c =
3
>>
! If-else-end: Estructura básica:
if <condición1>,
<programa1>
else
<programa2>
end
En este caso, si la condición if es 0, entonces se ejecuta el <programa2>.
! If-elseif-end: Estructura básica:
if <condición1>,
<programa1>
elseif <condición2>,
<programa2>
end
Ahora, si <condición1> es verdadera, se ejecuta <programa1>, si
<condición1> es falsa y <condición2>> verdadera, se ejecuta <programa2>,
y si <condición1> y <condición2> son falsos, entonces no se ejecuta ningún
programa.

M A T L A B
19191919
CICLOS
! Ciclo for : Un ciclo for tiene la siguiente forma:
for i= inicio: incremento : final,
<programa>,
end
ejemplo
for i= 1 : n,
<programa>,
end
El programa repetirá <programa> una vez para cada valor del índice i, es
decir, para i=1,2,3,…,n.
Ejemplo: El siguiente ciclo for
#### >> for i = 1 : 5,
c = 2*i
end
c =
2
c =
4
.....
c =
10
>>
calcula e imprime "c = 2*i" para i = 1, 2, ... 5.
Ejemplo : Dos ciclos for anidados
! Aquí hay un ejemplo que crea una matriz utilizando un ciclo for anidado
#### >> for i=1:10,
for j=1:10,
A(i,j) = i/j;
end
end
>> A
En este programa hay dos ciclos for, uno anidado en el otro, que construyen la
siguiente matriz:

M A T L A B
20202020
A(1,1), A(1,2), A(1,3) ... A(1,10), A(2,1), ... A(10,10)
en el orden que se indica.
! Ejemplo : MATLAB te permite que utilices un vector como índice de tu ciclo
for:
>> for i = [2,4,5,6,10],
<programa>,
end
es correcto.
En este caso, el programa ejecutara 5 veces <programa> y los valores del
índice i serán 2,4,5,6,10 respectivamente.
Ejemplo : También se pueden utilizar matrices en el lugar del índice i:
"""" >> for i=magic(7),
<programa>,
end
también está permitido. Ahora <programa> se ejecutara 7 veces (el número de
columnas), y los valores de i usados en el programa serán los valores de las
columnas de magic(7) sucesivamente.
! Ciclos While : Un ciclo while tiene la siguiente estructura:
while <condición>,
<programa>,
end
en donde la condición es similar a la utilizada en las estructuras condicionales
(if). <programa> se ejecuta siempre y cuando el valor de la condición sea
verdadero (diferente de cero). Existe el peligro implícito de que uno puede
quedar atrapado en un ciclo while, pues no existe ninguna garantía de que este
se terminara (a menos que <condición> adquiera un valor igual a cero). Aquí
hay un ejemplo de una función que utiliza un ciclo while.
#### function h=factorial(n)
% h=factorial(n). h es el factorial de n (h=n!)
%
h=1;
m=n;

M A T L A B
21212121
while m>=2
h=h*m;
m=m-1;
end
$ ALGUNAS NOTAS
La relación entre dos matrices es interpretada como verdadera si cada uno de
los elementos de la matriz relación es diferente de cero. De tal forma que, si
uno desea ejecutar alguna instrucción cuando las matrices A y B sean iguales se
puede escribir:
if A == B
<instrucciones>
end
pero si se desea ejecutar <instrucciones> cuando A y B son diferentes,
entonces podemos escribirlas como:
if any(any(A ~ B))
<instrucciones>
end
o simplemente
if A == B else
<instrucciones>
end
SUBMATRICES
! Ya hemos visto como los dos puntos ":" pueden ser utilizados para generar
vectores. Otro uso común de los dos puntos es el de extraer renglones y/o
columnas de una matriz, por ejemplo:
A(1:4,3)
es el vector columna que contiene las cuatro primeras entradas de la tercera
columna de la matriz A. Los dos puntos por si mismos se refieren al renglón o
columna entera, de tal forma que
A(:,3)
es la tercera columna de la matriz A, y

M A T L A B
22222222
A(1:4,:)
son los primeros cuatro renglones de la matriz A. De manera arbitraria,
vectores con números enteros pueden ser utilizados como subíndices. La
instrucción
A(:,[2 4])
contiene como columnas, las columnas 2 y 4 de la matriz A. El esquema de
subíndices puede ser utilizado en ambas partes de la instrucción:
A(:,[2 4 5]) = B(:,1:3)
reemplaza las columnas 2,4 y 5 de la matriz A por las tres primeras columnas
de la matriz B.
Las columnas 2 y 4 de la matriz A pueden ser multiplicadas por una matriz de
2 por 2:
A(:,[2,4]) = A(:,[2,4])*[1 2;3 4]
Cuando se utiliza un vector de ceros y unos como subíndices, las columnas o
renglones correspondientes a los unos son desplegadas, intenta:
#### >> V=[0 1 0 1 1]
>> A(:,V)
>> A(V,:)
ESCRITURA DE PROGRAMAS
! LOS M-FILES
Las instrucciones de un programa de MATLAB pueden ser preparadas con
anterioridad utilizando cualquier editor de textos y guardadas en un archivo (en
formato ASCII) para utilizarlas posteriormente. A estos archivos se les conoce
como m-files pues deben tener la extensión archivo.m, facilitando de esta
manera tu trabajo.
Supón que creas un programa
mi_prog.m

M A T L A B
23232323
en el lenguaje de MATLAB. EL comando que ejecuta este programa es
simplemente
>> mi_prog
desde MATLAB. Las instrucciones contenidas en este se ejecutaran al igual
que cualquier otra función del MATLAB. No es necesario compilar el
programa, pues MATLAB es un lenguaje interpretativo (no compilado).
Cualquier m-file puede referirse a otros m-files, incluyéndose a el mismo.
Por ejemplo, utilizando cualquier editor de textos, crea el archivo llamado
prueba.m que contenga lo siguiente:
#### [x y] = meshgrid(-3:.1:3, -3:.1:3);
z = x.^2 - y.^2;
mesh(x,y,z);
En MATLAB y desde el directorio que contenga este archivo teclea:
>> prueba
El resultado es el mismo que si hubieras tecleado las instrucciones de las tres
primeras líneas del archivo desde matlab.
También puede introducir datos de esta manera: crea un archivo llamado
matriz.m en el directorio de trabajo que contenga las siguientes líneas:
A = [2 3 4; 5 6 7; 8 9 0]
inv(A)
el comando
>> matriz
lee el archivo, genera la matriz A y su inversa.
La mayoría de las funciones de MATLAB son en realidad m-files. Si quieres
saber en que directorios se encuentran teclea:
>> path
y la información se desplegará en tu pantalla. Si deseas ver el m-file de la
función lo puedes hacer simplemente tecleando

M A T L A B
24242424
type <función>
por ejemplo:
#### >>type mean
despliega el m-file de la función que calcula la media de una serie de datos.
Nota: no todos las funciones de matlab son m-files, hay algunas que son
llamadas funciones internas (como plot, sin, etc…) y no las podrás ver con
el comando type.
Algunos comandos importantes que se pueden utilizar al realizar m-file son los
siguientes: input, fprintf, load, print, save, disp.
"""" Investigar que realiza cada uno de ellos.
FUNCIONES Y ARCHIVOS FUNCIÓN
Los archivos función permiten crear funciones que resuelven problemas
específico, y se manejan de manera similar a las funciones internas.
Las funciones son parecidas a un programa m-file, pero con propósitos de
velocidad de cómputo, son compiladas la primera vez que se ejecutan.
Ejemplo 1: Aquí creamos un archivo llamado "raiz2.m" que contiene las
siguientes líneas:
#### function raiz2(x)
% RAIZ2(X) calcula la raíz cuadrada de X mediante el método de
Newton
% Valor inicial
xinicio = 1;
% Ciclo interno que calcula la raíz
for i = 1:100
xnueva = ( xinicio + x/xinicio)/2;
disp(xnueva);
if abs(xnueva - xinicio)/xnueva < eps, break, end;
xinicio = xnueva;
end
La primera línea declara el nombre de la función, sus argumentos de entrada y
de salida. Sin esta línea el archivo sería únicamente un programa. Nótese que el
nombre de la función es igual al nombre del archivo.

M A T L A B
25252525
Las variables de una función son locales por default.
Las primeras líneas que tienen un "%" al principio son comentarios que
permiten al usuario tener ayuda directa mediante el comando help:
>> help raiz2
RAIZ2(X) calcula la raiz cuadrada de X mediante el método
de Newton
>>
Ejemplo 2 : Una función puede tener varios argumentos de entrada y/o salida
#### function [mean, stdev] = stat(x)
% STAT calcula la media y desviación estándar de x
% Para un vector x, stat(x) regresa la
% media y desviación estándar de x.
% Para una matriz x, stat(x) dos vectores renglón que contienen la
% media y desviación estándar de cada columna respectivamente.
[m n] = size(x);
if m == 1
m = n; % para el caso de un vector
end
mean = sum(x)/m;
stdev = sqrt(sum(x.^ 2)/m - mean.^2);
Nótese que la media y desviación estándar son calculadas dentro del cuerpo de
la función.
Una vez construido el m-file, stat.m, dentro de MATLAB la instrucción
>> [xm, xd] = stat(x)
asignará la media y desviación estándar del vector x a xm y xd
respectivamente. Por ejemplo:
#### >> y = [1:10];
>> [ym, yd] = stat(y)
ym =
5.5000
yd =
2.8723
>>

M A T L A B
26262626
muestra la media y desviación estándar de los enteros contenidos del 1 al 10.
Se pueden hacer asignaciones individuales a funciones de salidas múltiples, por
ejemplo:
>> xm = stat(x)
(sin corchetes alrededor de xm) asignara la media de x a xm.
Ejemplo 3: La siguiente función nos da el máximo común divisor de dos
enteros mediante el algoritmo Euclidiano, además, se ilustra el uso del mensage
de error (siguiente sección)
#### function a = mcd(a,b)
% MCD Máximo común divisor
% mcd(a,b) es el máximo común divisor
% de los enteros a y b, al menos uno diferente de cero.
a = round(abs(a));
b = round(abs(b));
if a == 0 & b == 0
error('mcd no esta definido si ambos números son cero')
else
while b ~= 0
r = rem(a,b);
a = b; b = r;
end
end
Por ejemplo,
>> a = gcd (25,45)
a =
5
>>
La factorización de 25 y 45 son 5.5 y 5.3.3, de tal forma que el máximo común
divisor es 5.

M A T L A B
27272727
! PROCESOS FANTASMA (Para UNIX)
Generalmente MATLAB se utiliza de manera interactiva, pero es posible
realizar trabajos "fantasma" o de "backgroud". Para realizar un proceso
fantasma primero se debe crear un archivo m-file que contenga las
instrucciones a ejecutar. Posteriormente se debe escribir, desde el sistema
operativo, la siguiente línea:
nice matlab < archivo.m >& archivo.out &
Las salidas del programa y los mensajes de error se guardarán en archivo.out.
1. El comando "nice" pone a MATLAB en segundo término en cuanto a
acceso al CPU, de tal modo que los usuarios interactivos tienen prioridad,
2. El "< archivo.m" significa que las instrucciones se encuentran en este m-
file. El ">& archivo.out significa que las salidas del programa, así como los
mensajes de error serán enviados a este archivo. Es importante incluir el
amperson (&), pues de lo contrito, los mensajes de error se desplegaran en
la pantalla de los usuarios interactivos.
3. Finalmente, el amperson (&) final pone el trabajo en "fantasma".

M A T L A B
28282828
GRÁFICOS
! En Matlab se pueden crear gráficas 2-D y 3D, a las cuales se les puede poner
título, etiquetas y textos dentro de ellas. Las funciones básicas de gratificado
son:
Función Descripción
plot(x,y) gráfica y vs x
plot(x,y1,x,y2,x,y3) gráfica y1, y2 y y3 vs x en la misma gráfica
xlabel('texto') etiqueta el eje x
ylabel('texto') etiqueta el eje y
title('texto') pone un título en la gráfica
gtext('texto') activa el mouse para colocar un texto en cualquier parte de la gráfica
presionando cualquier tecla (o botón)
print archivo.ps guarda la gráfica como un archivo postscript blanco y negro.
Por default, MATLAB imprime una sola gráfica en pantalla por ventana, para
poder imprimir dos o mas gráficas en la pantalla, existe el comando subplot.
Teclea
#### >> help subplot
para que aprendas su uso.
GARFICAS EN DOS DIMENSIONES
El comando plot genera una gráfica x-y; si x y y son vectores de la misma
longitud, el comando plot(x,y) abre una ventana y dibuja en una gráfica x-y los
elementos de x contra los elementos de y.
Ejemplo: Hagamos una gráfica de la función seno del intervalo -4π a 4π
utilizando los siguientes comandos:
#### >> x = -4*pi:.01:4*pi; y = sin(x); plot(x,y)
>> grid
>> xlabel('x')
Capítulo
2

M A T L A B
29292929
>> ylabel('seno(x)')
El vector X es la discretización de los elementos del dominio [-4π , 4π] cada
0.01 unidades, mientras y es un vector que posee el valor de la función seno
evaluada en cada uno de los nodos de la discretización.
Ejemplo : También se pueden construir gráficas de funciones parametrizadas
#### >> t=0:.001:2*pi; x=cos(3*t); y=sin(2*t); plot(x,y)
Ejemplo : Aquí se presentan dos formas de graficar varias funciones en una
misma gráfica
#### >> x = 0:.01:2*pi;y1=sin(x);y2=sin(2*x);
>> y3 = sin(4*x);plot(x,y1,x,y2,x,y3)
de la misma forma, se puede definir una matriz Y que contenga los valores de
la función en forma de columnas
#### >> x=0:.01:2*pi; Y=[sin(x)', sin(2*x)', sin(4*x)']; plot(x,Y)
Otra forma de hacerlo, es mediante el uso del comando hold. Este comando
mantiene activa la misma gráfica de tal forma que los siguientes comandos de
graficado se aplicaran sobre ella misma. Intenta realizar lo siguiente:
>> x = 0:.01:2*pi;y1=sin(x);y2=sin(2*x);
>> y3 = sin(4*x);plot(x,y1); hold on;
>> plot(x,y2); plot(x,y3); hold off
Ejemplo : Se pueden utilizar diferentes tipos de líneas en el graficado:
#### >> x = 0:.01:2*pi; y1=sin(x); y2=sin(2*x); y3=sin(4*x);
>> plot(x,y1,'--',x,y2,':',x,y3,'+')
>> grid
>> title ('Funciones senoidales')
Los diferentes tipos de líneas son
! =============================================
Sólida (-), no continua (-). dos puntos (:), línea-punto (-.)
Marcas : punto (.), cruz (+), asterisco (*), círculo (o),
equis (x)
=============================================

M A T L A B
30303030
Los colores de las líneas pueden ser colocados con identificadores:
b azul
g verde
r rojo
c cyan
m magenta
y amarillo
k negro
w blanco
Por ejemplo: plot(x,y,’c‘,x2,y2,’y’)
Un comando importante es whitebg. Este comando cambia el fondo de las
gráficas de negro a blanco. Esto es importante cuando se quiere copiar de
forma directa una gráfica elaborado en MATLAB a el programa WORD.
El comando grid on, genera líneas horizontales y verticales que facilitan el
análisis de las gráficas. El comando grid off, cancela el comando anterior.
Otro comando útil para el graficado de funciones es el linspace(min,max,N).
Este comando se utiliza para generar N números entre el min. y el max que
después pueden ser utilizados en la generación de funciones. Ejemplo:
>> x=linspace(-3,10,400);
>> y=exp(-x.^2);
>> plot(x,y)
El comando box off te ayudará si no quieres que una caja rodee a tu gráfica.
gtext(‘texto’) colocará el texto en la posición que tu desees dentro de la
gráfica, para ello es necesario colocarse en la gráfica y mover el MOUSE a la
posición donde se quiere el texto, una vez que se este en posición se apreta el
botón izquierdo del MOUSE y listo, el texto estará en la gráfica.
El comando axis([minx maxx miny maxy]), cambiará los ejes de tu gráfica
por los dados en el comando, tal que el eje equis tendrá los límites minx y
maxx, mientras que el eje y tendrá los límites miny y maxy.
También puedes eliminar los ejes con la orden
>> axis off
Uno puede cerrar las gráficas desde el MATLAB con la orden
>> close all

M A T L A B
31313131
El comando legend(‘titulo1’, ‘titulo 2,’ etc...’), se utiliza para colocar
leyendas de la información referente a los datos utilizados. Este comando se
cancela con la orden: legend off.
El comando ginput(N) es utilizado para obtener información de la gráfica
actual. Investiga como se utiliza esta orden.
Cuando se está graficando en dentro de un ciclo, es necesario decirle a
MATLAB que se quiere ver la gráfica en pantalla en el momento en que se
esta generando. Esto puede ser realizado con: drawnow
Ejecuta la siguente lista de comandos y trata de entender que se realizó:
>> t=(1:2:15)’*pi/8;
>> x=sin(t);
>> y=cos(t);
>> fill(x,y,’r’ );
>> axis square off
>> text(0,0,’ALTO’,’Color’,[1 1 1],’fontSize’,60,’HorizontalAlignment’,’Center’);
GRÁFICAS DE CONTORNO BIDIMENSIONALES
Contornos de funciones de dos variables (z = f(x,y)) también pueden
graficarse. Por ejemplo, para graficar
22
),( yxyxf −=
en el dominio (-3,3 ; -3,3) se introducen las siguientes instrucciones:
#### >> [x y] = meshgrid(-3:.1:3, -3:.1:3);
>> z = x.^2 - y.^2;
>>c= contour(z)
>>clabel( c)
GRAFICAS TRIDIMENSIONALES
En matlab, también se pueden graficar funciones de dos variables.
Intenta los siguientes comandos
#### >> [x y] = meshgrid(-3:.1:3, -3:.1:3);
>> z = x.^2 - y.^2;
>> mesh(x,y,z)

M A T L A B
32323232
mesh(z) crea una gráfica con perspectiva tridimensional de la matriz "z". La
superficie graficada esta definida por las coordenadas z sobre la malla
rectangular x-y.
Para poder crear una malla, la función meshgrid, crea una matriz x, de la cual
cada uno de los renglones equivale al vector xx, y la longitud de sus columnas
es del mismo largo que el vector yy. De la misma forma se crea una matriz y,
cuyos renglones son yy, y el largo de sus columnas el la longitud de xx:
>> [x,y] = meshgrid(xx,yy);
Una vez creada la malla, uno puede definir la matriz z sobre el plano x-y. Por
ejemplo, para graficar la función:
)22( yxez +−=
que es la superficie de una gausiana uno debe introducir los siguientes
comandos:
#### >> xx = -2:.1:2;
>> yy = xx;
>> [x,y] = meshgrid(xx,yy);
>> z = exp(-x.^2 - y.^2);
>> mesh(z)
Existen otras funciones para graficar en tres dimensiones, como son surf,
plot3, comet, etc…
! CONSIDERACIONES GENERALES
$ Quizá has descubierto que MATLAB es sensible mayúsculas y minúsculas, de
manera que:
"a" no es lo mismo "A."
Si esto te molesta, puedes teclear
>> casesen
y MATLAB dejara de ser sensible.
MATLAB despliega en pantalla únicamente 5 dígitos, aunque en memoria
siempre almacene las variables con doble precisión de 16 dígitos. El comando:
>> format long
permite desplegar los 16 dígitos.

M A T L A B
33333333
>> format short
regresara a la notación de cinco dígitos. También es posible utilizar notación
científica con los comandos:
>> format short e
y
>> format long e
No es necesario que MATLAB despliegue en pantalla los resultados de sus
operaciones. Si no deseas que esto suceda, simplemente pon punto y coma ";"
después de cada instrucción, y >> aparecerá cuando haya finalizado la
ejecución.
Si quieres guardar en un archivo las variables que has utilizado en una sesión,
para poderlas utilizar posteriormente, simplemente teclea:
>> save archivo
Esto crea un archivo llamado
archivo.mat
que contiene los valores de las variables que utilizaste en tu sesión. Si quieres
guardar únicamente ciertas variables, puedes hacer lo siguiente
>> save x
>> save y
de tal forma que se crean los archivos x.mat y y.mat con los valores de estas
variables.
Para leer un arhivo.mat únicamente teclea
>> load archivo
Puedes estar grabando continuamente los resultados en un archivo.mat, de
manera que todas las variables que vayas creando, se guerreen
automáticamente en este. El comando que realiza esta acción es:
>> diary archivo
donde archivo es el nombre del archivo en el que deseas almacenar la
información.
Para activar y desactivar el archivo teclea
>> diary on

M A T L A B
34343434
y
>> diary off
respectivamente.
Si quieres guardar tus resultados en un archivo ASCII, para que puedas
utilizarlos en otros paquetes, puedes hacer lo siguiente
>>save A archivo.dat -ascii
en donde A es la matriz que se guardara en archivo.dat en formato ascii.
ALGUNOS CONSEJOS DE PROGRAMACIÓN
1. Siempre programa de manera con el mismo estilo de los programas que se
te presentaron en este manual. Esto hace que sean mas fáciles de leer, de
depurar, y te obliga a pensar a construir tus programas por bloques.
2. Siempre pon muchos comentarios a tus programas, para que otros, y tu
mismo, puedan entender posteriormente lo que el programa realiza.
3. Pon mensajes de error. Estos te permiten detectar errores en otras sesiones
fácilmente.
4. Siempre que puedas, evita utilizar ciclos en MATLAB. Utiliza siempre las
formas vectoriales, pues esto optimiza mucho tus programas.
5. Si tienes problemas para construir un programa, haz una pequeña parte de
el y córrelo. Si es necesario utiliza ciclos, pero cuando hayas terminado,
cámbialos a formas vectoriales.
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M A T L A B
35353535
3
Aplicaciones
Algebra lineal
Matlab fue escrito, originalmente, para proveer una interfase de fácil uso para
utilizar las herramientas del álgebra lineal.
Conforme el matlab fue evolucionando, otras características tales como las
interfases gráficas fueron apareciendo. Las herramientas del álgebra lineal fueron
cada ves menos importantes. Sin embargo, Matlab ofrece un rango amplio de
funciones al álgebra lineal. El objetivo del presente capítulo es mostrar algunas de
ellas.
Conjuntodeecuacioneslineales:
Uno de los problemas más comunes del álgebra lineal es la solución de un conjunto
de ecuaciones lineales. Por ejemplo, consideremos el siguiente sistema,
1 0 2 1
0 1 1 0
3 2 0 2
0 0 1 4
2 0 1 3
3
5
1
13
11
1
2
3
4
−
−
−
−




























= −
















x
x
x
x
Para resolver el problema uno procede de la siguiente manera, escribe la matriz A y
la matriz B,
>> A=[1, 0, 2, –1; 0, 1, 1, 0; 3, 2, 0, –2; 0, 0, –1, 4;2, 0, –1, 3];
>> B=[ 3; 5; -1; 13; 11];

M A T L A B
36363636
Como un recordatorio de álgebra lineal, es fácil mostrar que este problema tiene
una única solución si el rango de la matriz A y el rango de la matriz aumentada [A
B] son ambos iguales.
Esto se calcula utizando el comando rank(matriz),
>> rank(A)
>> rank([A B])
Suponiendo que son iguales, entonces podemos encontrar la solución de Ax=B de
dos maneras, una de ellas más eficiente que la otra. La menos favorable, pero el
método más directo es utilizando la matriz inversa, es decir,
x A B= −1
que en Matlab se escribiría como
>> x=inv(A)*B
otro método es utilizar la división inversa del Matlab,
>> x=AB
Este método descompone la matriz A en dos matrices L U y aprovecha esto para
resolver el sistema de una manera más eficiente.
Un tópico que es necesario tener en cuenta es lo siguiente:
Si al sistema Ax=B se le aplica la transpuesta a todo el sistema este se vería como:
[ ]Ax B
T T
=
que puede ser rescrito como:
x A BT T T
=
por lo que al tratar de resolverlo con Matlab este se tendría que escribir como:
>> B’/A’
lo que dará el mismo resultado, pero con la característica que se utilizó la división
normal de Matlab.
No todos los sistemas de ecuaciones están bien comportados, nos podemos
encontrar con sistemas como el que sigue:
2 4
2 4 0001
6
6 0001
1
2. .











 =






x
x

M A T L A B
37373737
que debería tener diferente solución que los sistemas:
2 4
2 4 0001
6
6
1
2.











 =






x
x
2 4
2 39999
6
6 0001
1
2. .











 =






x
x
Esto se debe a que la matriz A está mal condicionada, esto se puede investigar con
el comando cond(matriz) de Matlab. Investigar como funciona.
Un problema interesante en álgebra lineal es cuando tenemos problemas donde
estan involucrados eigenvalores e iengevectores. El sistema en cuestión tiene la
forma:
Ax x= λ
Aquí es necesario encontrar los eigenvalores e eigenvectores del sistema, esto se
realiza con el comando eig(A).
El determinante de una matriz es calculada con el comando det(A).
A^n, realizará la potencia n-ésima de A., es decir AAAA... n veces.
Lu(A) descompone la matriz A en el producto de dos matrices LU, una de ellas
diagonal inferior (L) y la otra diagonal superior (U).
Si las matrices A y B representan dos subespacios, entonces el ángulo que se forma
entre ellos será calculado por la función subspace(A,B).
La traza de una matriz está definida como la suma de los elementos de la diagonal
principal, esta puede ser calculada con la función trace(A).
Las matrices sparce se definen como aquellas matrices donde la mayoria de los
elementos son cero, esto es importante porque si sabemos que muchos de los
elementos son cero entonces podemos, en principio, ahorrar espacio de disco al
definir la matriz como una matriz sparce, Matlab tiene el comando adecuado para
ello, sparce(A), lo que da como resultado la misma matriz, pero con la ventaja de
que se ahorra espacio, pero es necesario realizar operaciones con matrices que sean
sparce.
El siguiente ejemplo es para que se vea una comparación de utilizar o no este tipo
de almacenamiento,
>> B=eye(20);
>> BP=sparce(B);
>> whos;

M A T L A B
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Integración numérica
Tanto la integración como la diferenciación son herramientas fundamentales en el
cálculo. La integración, en términos generales, calcula el área bajo la curva mientras
que la diferenciación describe la pendiente o el gradiente de una función. Matlab
provee de funciones para aproximar numéricamente las integrales y las pendientes
de una función. Las funciones estan escritas para calcular las integrales cuando la
función en cuestión está escrita en un m-file.
Matlab cuenta con tres funciones para este propósito: quad, quad8 y dblquad (para
versiones mayores de 4).
Para ilustrar la integración, consideremos la siguiente integral
1
1
2
π
e dxx−
−∞
+∞
∫ =
, un primer método para resolverla es el trapezoidal, donde se aproxima el área bajo
la curva con trapecios.
>> x=-5:2:5;
>>y=exp(-x.^2);
>>area=trapz(x,y)
>>integral=area/sqrt(pi)
Esta es una aproximación porque se han tomado pocos puntos bajo la curva y por
lo tanto está no ha sido bien definida. Probemos con lo siguiente:
>> x=linspace(-5,5,100);
>> y=exp(-x.^2);
>> area=trapz(x,y)
>> integral=area/sqrt(pi)
Algunas veces es necesario calcular la integral acumalativa, tal que:
f x dx
x
x
( )∫
esto se puede calcular con:
>> z=cumtrapz(x,y);

M A T L A B
39393939
>> plotyy(x,y,x,z)
Utilizando la función quad el cálculo de la integral quedará como:
>> quad(‘nombre_de_función’ , -5,5)
>> quad8(‘nombre_de_función’, -5,5)
Ajuste de curvas
El ajuste de curvas está muy relacionado con los polinómios, así que primero
veamos una introduccióna los mismos.
Un polinomio tiene la siguiente forma general
a x a x a x a x an
n
n
n
n
n
o+ + + + + =−
−
−
−
1
1
2
2
1 0...
donde los coeficientes an son los que identifican al polinomio.
En Matlab es fácil expresar polinomios, porque sólo basta con definir sus
coeficientes. Por ejemplo,
x x x4 3
10 25 100 0− + + =
en Matlab el equivalente será
>> C=[1, -10, 0, 25, 100]
Si uno quiere encontrar las raíces de este polinomio solo basta utilizar el siguiente
comando:
>> R=roots(C )
Dadas las raices de un polinomio, también es posible construir el polinomio
asociado. En Matlab el comando poly realiza esta operación
>> pp=poly(R )
que también podemos utilizar las condiciones lógicas y hacer

M A T L A B
40404040
que
>> pp=poly(abs(R )<1e-12)=0 % esto cambia los elementos más pequeños a cero
Multiplicar dos polinomios se puede realizar en matlab con el comando de
convolución, por ejemplo sean dos polinomios dados por C1 y C2 entonces la
multiplicación de los polinomios será definida como
>> conv(C1, C2 )
La suma de dos polinomios solo basta con sumar sus coeficientes, pero debemos
estar seguros que ambos coeficientes tienen la misma longitud.
Estudie la siguiente función
function p=mmpadd(a,b)
% Suma de polinomios A y B
if nargin<2
error(‘ Faltan argumentos de entrada, intenta otra vez’)
end
a=a(: )’; b=b(: )’; % Esto asegura que los vectores sean vectores renglon
na=length(a); nb=length(b);
p=[zeros(1,nb-na) a]+[zeros(1,na-nb) b]; %incluye los ceros necesarios
su uso será
>> f=mmpadd(g,t)
La división puede ser calculada con la deconvolución
>> [q,r]=deconv(C1, C2)
Las derivadas de polinomios pueden ser calculadas con el comando
>> polyder(C1)
Si uno conoce los coeficientes del polinomio es fácil evaluar el polinomio en un
rango dado de valores, por ejemplo
>> x=linspace(-1,3,100);
>> y=polyval(C1, x);
>> plot(x,y)

M A T L A B
41414141
Ajuste de curvas
En numerosas aplicaciones del área, uno se enfrenta al ajuste de los datos medidos
a una curva característica. Algunas veces uno escoge la curva que pase por todos
los puntos, pero en otras ocaciones uno escoge la más cercana a los datos, no
necesariamente pasando por todos los puntos. A este método se le conoce como
mínimos cuadrados.
En Matlab la función polyfit el ajuste por mínimos cuadrados a un problema. Para
ilustrar el problema comencemos con los siguientes datos:
>>x=[0 .1 .2 .3 .4 .5 .6 .7 .8 .9 1];
>> y=[-.447 1.978 3.28 6.16 7.08 7.34 7.66 9.56 9.48 9.30 11.2];
Para usar el polyfit es necesario dar el orden o grado del polinomio para buscar el
mejor ajuste. Sinosotros escogemos n=1 como el orden, se buscará la mejor línea
recta posible, es decir se realizará una regresión lineal, por otro lado, si escogemos
n=2, un polinomio cuadrático será ajustado a los datos.
>> n=2;
>> p=polyfit(x,y,n)
>> xi=linspace(0,1,100);
>> yi=polyval(p,xi);
>> plot(x,y,’-o’,xi,yi,’- -‘)
Realice lo mismo pero para un polinomio de orden n=10, ¿Qué pasa?
Interpolación
La interpolación es una manera de estimar los valores de una función entre un
conjunto de datos dados.
El caso más simple de interpolación lo realizamos al hacer uso del comando de
graficado de Matlab: plot. Por default Matlab dibuja lineas rectas que conectan los
datos usados para hacer la gráfica. Esto es realmente una interpolación lineal. Está

M A T L A B
42424242
claro que conforme el número de puntos se incremente y la distancia entre ellos
decrezca, la interpolación lineal será más ocurrente. Por ejemplo,
>> x1=linspace(0, 2*pi,60);
>> x2=linspace(0,2*pi,6);
>> plot (x1,sin(x1),x2,sin(x2),’- -‘)
De las dos gráficas de la función seno la que utiliza 60 puntos es más ocurrente que
la que utiliza 6 puntos.
Matlab tiene un comando para la interpolación: interp1, veamos su uso con un
ejemplo:
Ejemplo: Dos propiedades materiales del monóxido de carbono se dan en la
siguiente lista:
T Beta Alfa
300 3330 2128
400 2500 3605
500 2000 5324
600 1670 7190
Donde T es la temperatura en grados Kelvin, Beta es el coeficiente de expansión
térmica y alfa es la difusividad térmica, obtener las propiedades para las siguientes
temperaturas: 320, 450, 570.
>> Temp=[300, 400, 500, 600];
>> Beta=[3330, 2500, 2000, 1670];
>> Alfa=[2128, 3605, 5324, 7190];
>> TempA=[320, 450, 570];
>> Valores= interp1(Temp,[Beta, Alfa],TempA,’ lineal ’ )
Interpolación bi-dimensional
Esto se aplica a relaciones dadas por z=f(x,y). Para ilustrar el uso de este tipo de
interpolación pongamos un ejemplo donde nos dan las profundidades del fondo
del océano obtenidas con un ecosonda, los puntos han sido obtenidos con un
muestreo cada 0.5 km en un arreglo rectangular.

M A T L A B
43434343
El siguiente código contiene los datos:
>> x=0: .5 : 4;
>> y=0: .5 : 6;
>> z=[100 99 100 99 100 99 99 99 100
100 99 99 99 100 99 100 99 99
99 99 98 98 100 99 100 100 100
100 98 97 97 99 100 100 100 99
101 100 98 98 100 102 103 100 100
102 103 101 100 102 106 104 101 100
99 102 100 100 103 108 106 101 99
97 99 100 100 102 105 103 101 100
100102 103 101 102 103 102 100 99
101 102 103 102 101 101 100 99 99
100 100 101 101 100 100 100 99 99
100 100 100 100 100 99 99 99 99
100 100 100 99 99 100 99 100 99];
>> mesh(x, y, z)
Usaremos estos puntos para encontrar la profundidad en algun punto de
interes, por ejemplo en los puntos 2.3, 3.4
>> z1=interp2(x,y,z,2.3, 3.4)
Uno puede interpolar en un conjunto de puntos
>> xi=linspace(0, 4, 30);
>> yi=linspace(0, 6, 40);
>> [xxi,yyi]=meshgrid(xi,yi);
>> zzi=interp2(x,y,z,xxi,yyi,’ cubic ‘);
>>mesh(xxi,yyi,zzi)

M A T L A B
44444444
Podemos encontrar la posición del pico más alto con las siguientes
ordenes:
>> zmax= max(max(zzi ))
>> [i, j ]= find ( zmax ==zzi );
Investigar los siguientes comandos: ndgrid, interp3, interpn.
Triangulación y datos esparcidos
En un número de aplicaciones los datos obtenidos por lo general estan
esparcidos, es decir, no estan igualmente espaciados en una rejilla regular.
Por ejemplo: consideremos los datos aleatorios bi-dimensionales:
>> x= rand(1,12)*10 ;
>> y= rand(1,12)*10 ;
>> z= zeros(1,12);
>> plot (x, y, ‘ o ‘);
El siguiente comando localiza los indices de los puntos más cercanos para
la formación de triángulos:
>> tri= delaunay(x, y);
Este comando se puede utilizar para unir los puntos en forma de
triángulos con el siguiente comando:
>> trimesh(tri, x, y, z)
>> hold on, plot(x, y, ‘o ‘)
Uno puede graficar sólo el contorno de los puntos externos con la serie
de comandos:
>> k= convhull (x, y, tri);
>> plot(x( k ), y( k ))
Finalmente, es posible interpolar una triangulación Delaunay para
producir una interpolación de puntos regulares. En particular, este paso es
requerido para el uso de funciones tales como contour. La siguiente serie
de comandos:
>> z= rand(1,12);
>> xi=linspace(min(x), max(x), 30);

M A T L A B
45454545
>> yi= linspace(min(y), max(y),30);
>> [Xi, Yi]= meshgrid(xi,yi);
>> Zi= griddata(x,y,z,Xi, Yi);
El comando griddata soporta varios métodos, entre ellos están la
interpolación lineal, cúbica, el vecino más cercano, método de la distancia
inversa.
>> Zi= griddata(x,y,z,Xi,Yi,’linear’)
>> Zi= griddata(x,y,z,Xi,Yi,’cubic’)
>> Zi= griddata(x,y,z,Xi,Yi,’nearest’)
>> Zi= griddata(x,y,z,Xi,Yi,’invdist’)

M A T L A B
46464646
4
Aplicaciones II
Raícesdeecuacionesnolineales
Las soluciones de una ecuación escalar, f(x)=0, se llaman ceros o raíces de f(x).
Existen varios métodos numéricos para estimar la solución de dichas ecuaciones,
aquí veremos algunos de ellos.
Si f(x) es un polinomio, podemos utilizar roots, que se explicó en el capítulo
anterior.
Consideremos el siguiente problema para trabajarlo en los diferentes métodos.
Ejemplo: El factor de fricción f para los flujos turbulentos en una tubería está
dado por
1
114 2
9 35
10
f
e
D f
= − +





. log
.
Re
llamada correlación de Colebrook, donde Re es el número de Reynolds, e es la
aspereza de la superficie de la tubería y D es el diámetro de la tubería.
Tomemos D=0.1 m, e=0.0025 m, Re=30000.
M E T O D O G R A F I C O
Supongamos que deseamos encontrar las raíces de la ecuación anterior, uno de los
métodos más rápidos pero menos precisos es el método gráfico.
Tenemos que escribir la ecuación de tal forma que esté igualada a cero es decir,
f(x)=0, donde x es la variable a buscar.
Generamos un dominio donde buscaremos las raíces y evaluamos la función f(x) y
entonces se puede graficar.

M A T L A B
47474747
>> D=0.1;
>> e=0.0025;
>> Re=30000;
>> x=0.01:.01:1;
>> y=-1./sqrt(x)+1.14-2.*log10(e/D +9.35./(Re.*sqrt(x)));
>> plot(x,y)
>> grid
>> [x1, y1]=ginput(1).
El valor de la solución lo podemos encontrar entonces donde la función cruce por
el cero, esto lo hacemos con el “mouse” haciendo uso de la función ginput.
M E T O D O D E B I S E C C I O N
Este es un método sencillo pero muy versátil para encontrar una raiz en un
intervalo dado en el que se sabe existe una solución. Puede ser utilizado como
complemento del método gráfico.
Supongamos que existe una raíz de f(x)=0 en el intervalo entre x=a y x=c,
denotado por [a,c] o, de forma equivalente a x c≤ ≤ . El método se basa en el
hecho de que cuando hay una raíz en el intervalo, el signo de la función a ambos
lados de la raíz tienen signos contrarios. El primer paso del método consiste en
encontrar el punto medio del intervalo dado:
b
a c
=
+
2
Si verificamos los signos de f(a)f(b) y f(c)f(b), sabremos en que lado de la mitad se
encuentra la raíz de la ecuación. De hecho, si f a f b( ) ( ) ≤ 0, sabremos que el
intervalo [a,b], que incluye tanto x=a y x=b, contiene a la raíz; de lo contrario, la
raíz estará en el otro intervalo, [b,c]. A continuación se vuelve a repetir el primer
paso, y se detiene uno hasta que el valor de f(b) es igual a cero o lo más cerca de el.
El siguiente programa ilustra los pasos a seguir, para ello es necesario escribir la
función a resolver en una función m-file y entonces correr el siguiente programa:

M A T L A B
48484848
%BISECCION Programa para ejemplificar el método de bisección
nombre=input(‘ Dame el nombre de la función: ‘, ‘s’);
a=input(‘ Dame el valor a:’);
c=input(‘ Dame el valor c:’);
error=0.01;
fb=1;
while abs(fb)>error
b=(a+c)/2;
fa=feval(nombre,a);
fb=feval(nombre,b);
if fa*fb>0;
a=b;
else
c=b;
end
end
fprintf( ‘ La solución es %f n ‘,b)
M E T O D O D E N E W T O N
El método de Newton es un método iterativo utilizado con sólo un valor inicial, es
rápido pero no siempre converge en la solución, sin embargo, es el método más
utilizado para la búsqueda de las raíces .
El algoritmo es el siguiente:
x x
f x
f xk k
k
k
= −−
−
−
1
1
1
( )
'( )
donde k es el número de iteración en que se encuentra el proceso. El proceso se
detiene cuando f(xk)=0 o muy cercano a cero.
Pensando en el programa anterior realice un programa para implementar este
algoritmo.
Matlab tiene una función para la búsqueda de raíces de una función dada.
Investigar la función fzero.
Ecuacionesdiferencialesordinarias
El comportamiento dinámico de los sistemas es un tema importante. Un sistema
mecánico implica desplazamientos, velocidades y aceleraciones. Una ecuación en la
que intervienen una o más derivadas ordinarias de la función incógnita se
denomina ecuación diferencial ordinaria (EDO).

M A T L A B
49494949
E C U A C I O N E S D E P R I M E R O R D E N
El problema de valor inicial de una EDO de primer orden puede escribirse de la
forma:
y t f y t y yo'( ) ( , ) , ( )= =0
donde f(y,t) es una función de y y de t, y la segunda ecuación es una condición
inicial sin la cual no es posible determinar la solución particular.
Tomemos el ejemplo siguiente:
Ejemplo: Un paracaidista de masa M kg salta desde un avión en t=0. Suponemos
que la velocidad vertical inicial del paracaidista es de cro en t=0 y que la caída es
vertical. Si el arrastre aerodinámico está dado por Faire=Cv2
, donde C es una
constante y v es la velocidad vertical (positiva hacia abajo), entonces la ecuación
que describe a este movimiento es:
M
dv t
dt
F gMaire
( )
= − +
Para el caso de que C=0.27, M=70 kgs.
M E T O D O D E E U L E R
Aproximemos la derivada con el siguiente esquema:
dv t
dt
v t
t
v t t v t
t
( ) ( ) ( ) ( )
≈ =
+ −∆
∆
∆
∆
Si se sustituye esto en la ecuación que describe el movimiento tenemos:
v t t v t t
C
M
v t g( ) ( ) ( )+ ≈ + − +



∆ ∆ 2
El siguiente listado muestra el programa para este ejemplo:
% EULER programa para ejemplificar el método de Euler
C=0.27; M=70; g=9.81; dt=0.1;
t=[0:dt:20]’; n=length(t); v=zeros(n,1);
for k=2:n
v(k)=v(k-1)+dt*(-C/M*v(k-1).^2+g);
end
plot(t,v), xlabel(‘tiempo (segundos)’), ylabel(‘velocidad (m/s)’)
Usemos ahora una de las funciones que tiene matlab para este mismo proceso:
ode23 y ode45.

M A T L A B
50505050
A P L I C A C I O N E S A L A O C E A N O G R A F I A
En oceanografía física tenemos muchos ejemplos de problemas que tienen que
resolverse con la computadora, tal vez el más famoso es el cálculo de la longitud de
onda para aguas intermedias, cuando se conoce el período en aguas profundas (T),
y la profundidad (d ) a la cual se desea calcular la longitud de onda. La ecuación es
dada por:
λ
π
π
λ
=






gT
tanh
d2
2
2
El problema se reduce a encontrar la raíz de la ecuación anterior. Para ello es
necesario hacer una función (m-file ) que represente la ecuación anterior:
function y=longonda(x )
global T d
g=9.81;
y= g*T*T/(2*pi)*tanh(2*pi*d/x)-x ;
El siguiente programa mandará llamar a la función anterior:
%LONDA programa para encontrar la longitud de onda en función del
% período y la profundidad.
global T d
T=input( ‘ Dame el período: ‘ );
d=input ( ‘Dame la profundidad: ‘ );
a=0.1; b=300;
L=fzero( ‘longonda’ , [a, b]);
fprintf( ‘ La longitud de onda es %f n ‘, L);
Ahora supongamos que se nos pide hacer un diagrama T-S, muy común para los
datos de algún crucero oceanográfico. Lo que necesitamos primero es hacer el
diagrama T-S y después vaciar los datos en el diagrama, es decir, necesitamos una
función que calcule la densidad del agua de mar para diferentes temperaturas y
salinidades a una profundidad cero. Tenemos suerte porque esa función ya existe y
se llama sw-dens0, y se basa en el polinomio propuesto por la UNESCO.

M A T L A B
51515151
Procedimiento:
load datos.dat
To=datos(:,1);
So=datos(:,2);
S=30:.2:36;
T=5: .5 :35;
[SS,TT]=meshgrid (S, T);
DEN=sw_densi0(SS, TT)-1000;
[c,h]=contour(S, T, DEN);
clabel(c,h,’manual’ )
Un problema interesante para estudiar es dado por la ecuación de Depredador-
Presa dado por el modelo de Lotka-Volterra
( )
( )
dx
dt
a bx cy x
dy
dt
d ex y
= − −
= − +
donde x representa la población de la presa y la ‘y ‘ representa la población del
depredador, a,b,c,d,e son constantes características de las poblaciones mismas.
Supongamos que a=10, b=1x10-5
, c=0.1, d=10, e=0.1.
Estudiar el desarrollo temporal de las dos poblaciones, para ello es necesario
resolver el sistema de ecuaciones simultaneas dadas por las ecuaciones anteriores.
Para ello usaremos la función ode45 del matlab, para ello es necesario rescribir el
sistema de la siguiente manera:
dx
dt
dy
dt
a bx cx
ey d
x
y










=
− −
−












Se necesita hacer primero una función (m-file)
function w=pobla( t, z )
a=10; b=1e-5; c=0.1; d=10; e=0.1;
w=[ (a-b.*z(1) , -c.*z(1) ; e.*z(2) , -d ]*[z(1) ; z(2) ];
Ahora podemos hacer el programa principal, que mande llamar a esta función.

M A T L A B
52525252
%Depredador Presa
to=[0,3];
N=[10, 5];
[t , y ]=ode45( ‘pobla ‘, to, N );
plot( t, y)
pause
plot ( y(:,1), y(:,2))
Una de las gráficas mostrará el comportamiento temporal de las poblaciones
mientras la otra gráfica mostrará una gráfica de fase de una población en términos
de la otra.
Otro problema interesante es cuando nos enfrentamos a una ecuación diferencial
parcial:
∇ =2
0ψ
Esta ecuación puede representar el estado estacionario de un proceso de
conducción de calor, imaginemos que tenemos una placa de algún metal y
sometemos a los extremos de la placa a diferentes temperaturas, la temperatura del
interior de la placa metálica se modificará y después de algún tiempo, si ninguna de
las condiciones cambia, la temperatura de toda la placa llegara a un estado
estacionario. Aquí es necesario recordar que una segunda derivada se puede
rescribir como:
d y
dt
y t t y t y t t
t
2
2 2
2
=
+ − + −( ) ( ) ( )∆ ∆
∆
Si hacemos esto, podemos demostrar que la ecuación anterior nos quedará como:
ψ ψ ψ ψ ψ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , )i j i j i j i j i j+ + + + − + − =1 1 1 1 4
La cual podemos resolver iterativamente, el siguiente programa es un ejemplo de
este caso:
%
% programa para ver solucion de laplaciano=0
N=20; M=20;
phi=zeros(N,M);
ax=ones(N,1);
ay=ones(1,M);
% Condiciones de frontera
phi(:,M)=15.*ax(:,1);
phi(:,1)=20.*ax(:,1);

M A T L A B
53535353
phi(1,:)=5.*ay(1,:);
phi(N,:)=10.*ay(1,:);phin=phi;
% Graficado
h=imagesc(phi);colorbar; set(h,'erasemode','xor');
flag=1;
% Ciclo de solucion iterativa
while flag==1
phin(2:N-1,2:M-1)=0.25*(phi(3:N,2:M-1)+phi(1:N-
2,2:M-1)+...
phi(2:N-1,3:M)+phi(2:N-1,1:M-2));
% Condicion de terminacion de iteracion
if sum(sum(abs(phi-phin)))<0.1; flag=2;break;end
phi=phin;
set(h,'cdata',phi);drawnow
end
% Solucion es phi

M A T L A B
54545454
REFERENCIAS
Adrian Biran and Moshe Breiner, "MATLAB for Engineers," Addison-Wesley
Publishing Company, 1995.
Kermit Sigmon, "MATLAB Primer (Second Edition)," Department of
Mathematics, University of Florida, 1992.
The Student Edition of MATLAB, Version 4, Users Guide, The Math Works
Inc., Prentice Hall, Englewood Cliff, NJ, 1995.

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