Matlab graficos3 d

Gráficos 3D en MATLAB
Pedro Corcuera
Dpto. Matemática Aplicada y
Ciencias de la Computación
Universidad de Cantabria
corcuerp@unican.es

Objetivos
• Presentar la implementación de una amplia
selección de capacidades gráficas en tres
dimensiones
• Desarrollar la capacidad de generar gráficos
interactivamente
Matlab 2
interactivamente

Indice
• Líneas en 3D
• Superficies
• Creación de gráficos interactivamente
Matlab 3

Líneas en 3D
• La versión 3D de plot es
plot3(u1, v1, w1, c1, u2, v2, w2, c2,…)
donde
uj, vj, y wj son las coordenadas x, y, y z, respectivamente, de
un punto
Matlab 4
un punto
Son escalares, vectores de la misma longitud, matrices del mismo
orden, o expresiones que, cuando se evalúan, resultan en una de
esas cantidades
cj es una cadena de caracteres
Un caracter especifica el color.
Un caracter especifica las características del punto
Uno o dos caracteres especifica el tipo de línea

Líneas en 3D
• Para dibujar un conjunto de n líneas sin conectar
cuyos puntos finales son
(x1j,y1j,z1j) y (x2j,y2j,z2j), j = 1, 2, …, n
se crean seis vectores:
• Así, plot3 es
  
 
1 2
1 2
j j j jnx = x x … x
y = y y … y j = ,
Matlab 5
• Así, plot3 es
x1 = […]; x2 = […];
y1 = […]; y2 = […];
z1 = […]; z2 = […];
plot3([x1; x2], [y1; y2], [z1; z2])
donde [x1; x2], [y1; y2], y [z1; z2] son matrices de
(2×n)
  
  
1 2
2
1 2
1
j j j jn
j j1 j jn
y = y y … y j = ,
z = z z …z

Líneas en 3D
• Todos los procedimientos de anotación descritas para
los gráficos 2D son aplicables a las funciones de
generación de curvas y superficies 3D, excepto que
los argumentos de text se usa
Matlab 6
text(x, y, z, s)
donde s es un string y
zlabel
se usa para etiquetar el eje z

Ejemplo: Dibujo de cajas de alambres
• Se requiere una función BoxPlot3 que dibuje las
aristas (4) de cada una de las seis superficies de una
caja. La ubicación y orientación de la caja está
determinada por las coordenadas de la diagonal de
caras opuestas P(x ,y ,z ) and P(x +L , y +L , z +L )
Matlab 7
caras opuestas P(xo,yo,zo) and P(xo+Lx, yo+Ly, zo+Lz)
(xo,yo,zo)
(xo,yo,zo+Lz)
(xo+Lx,yo,zo)
(xo+Lx,yo,zo+Lz)
(xo+Lx,yo+Ly,zo)
Ly
Lx
Lz
5
6 7
8
1
2 3
4
(xo,yo+Ly,zo)
(xo,yo+Ly,zo+Lz)
(xo+Lx,yo+Ly,zo+Lz)
x
y
z

function BoxPlot3(x0, y0, z0, Lx, Ly, Lz)
x = [x0, x0, x0, x0, x0+Lx, x0+Lx, x0+Lx, x0+Lx]; %(1×8)
y = [y0, y0, y0+Ly, y0+Ly, y0, y0, y0+Ly, y0+Ly]; %(1×8)
z = [z0, z0+Lz, z0+Lz, z0, z0, z0+Lz, z0+Lz, z0]; %(1×8)
index = zeros(6,5);
index(1,:) = [1 2 3 4 1];
index(2,:) = [5 6 7 8 5];
(xo,yo,zo+Lz)
Lz
2 3
z
(xo,yo+Ly,zo+Lz)
z
Matlab 8
index(2,:) = [5 6 7 8 5];
index(3,:) = [1 2 6 5 1];
index(4,:) = [4 3 7 8 4];
index(5,:) = [2 6 7 3 2];
index(6,:) = [1 5 8 4 1];
for k = 1:6
plot3(x(index(k,:)), y(index(k,:)), z(index(k,:)))
hold on
end
(xo,yo,zo)
(xo+Lx,yo,zo)
(xo+Lx,yo,zo+Lz)
(xo+Lx,yo+Ly,zo)
Ly
Lx
5
6 7
8
1 4
y
(xo,yo+Ly,zo)
(xo+Lx,yo+Ly,zo+Lz)
x
y

• El script para generar tres cajas con las siguientes
dimensiones y coordenadas (xo, yo, zo)
– Box #1
Size: 3×5×7
Location: (1, 1, 1)
BoxPlot3(1, 1, 1, 3, 5, 7)
BoxPlot3(4, 6, 8, 4, 5, 1)
BoxPlot3(8, 11, 9, 1, 1, 1)
Matlab 9
Location: (1, 1, 1)
– Box #2
Size: 4×5×1
Location: (3, 4, 5)
– Box #3
Size: 1×1×1
Location: (4.5, 5.5, 6)
BoxPlot3(8, 11, 9, 1, 1, 1)
0
2
4
6
8
10
0
5
10
15
0
2
4
6
8
10

Ejemplo: Onda senoidal sobre una
superficie de un cilindro
• Las coordenadas de una onda senoidal sobre la
superficie de un cilindro se obtiene con
cos( )
sin( )
cos( )
x = b t
y = b t
z = c at
Si se asume que a = 10.0, b = 1.0,
c = 0.3, y 0 ≤ t ≤ 2π, el script es
Matlab 10
cos( )z = c at
t = linspace(0, 2*pi, 200);
a = 10; b = 1.0; c = 0.3;
x = b*cos(t);
y = b*sin(t);
z = c*cos(a*t);
plot3(x, y, z, 'k')
axis equal
c = 0.3, y 0 ≤ t ≤ 2π, el script es
-0.5
0
0.5
1
-0.5
0
0.5
-0.2
0
0.2

Superficies
• Matlab contiene un conjunto de funciones gráficas 3D
para crear superficies, contornos, y variaciones, así
como especializaciones de esas formas básicas
• Una superficie se define por la expresión
Matlab 11
• Una superficie se define por la expresión
donde x e y son las coordenadas en el plano-xy y z
es la altura resultante
( )z = f x, y

Superficies
• Las funciones básicas de graficación de superficies
son
surf(x, y, z) y mesh(x, y, z)
donde x, y, z son las coordenadas de los puntos en la
superficie
Matlab 12
superficie
surf – dibuja una superficie compuesta de parches
de colores que dependen de la magnitud z
mesh – dibuja parches de superficies blancas que se
definen por su contorno. Los colores de las líneas de
los parches se determinan por la magnitud de z.

Ejemplo de superficie
• Se requiere dibujar una superficie definida por
definida en el rango −3 < x < 3 y −3 < y < 13
Se genera la función SurfExample para calcular las
4 2 2 2
( ) = + 3 + - 2 - 2 - 2 + 6z x, y x x y x y x y
Matlab 13
Se genera la función SurfExample para calcular las
coordenadas x, y ,z
function [x, y, z] = SurfExample
x1 = linspace(-3, 3, 15); % (1×15)
y1 = linspace(-3, 13, 17); % (1×17)
[x, y] = meshgrid(x1, y1); % (17×15)
z = x.^4+3*x.^2−2*x+6-2*y.*x.^2+y.^2-2*y; % (17×15)

Ejemplos de superficies con surf y mesh
[x,y,z] = SurfExample;
surf(x, y, z)
2
4
5
10
15
0
50
100
150
200
Matlab 14
mesh(x, y, z)
−4
−2
0
2
−5
0
5
-4
-2
0
2
4
-5
0
5
10
15
0
50
100
150
200

Ejemplos de superficies con surf y mesh
mesh(x, y, z)
hidden off
50
100
150
200
Matlab 15
−4
−2
0
2
4
−5
0
5
10
15
0

Combinando superficies y líneas
• Se puede combinar funciones de graficación 3D para
dibujar múltiples líneas y superficies
• Como ejemplo se crean dos funciones
Corners: que dibuja cuatro líneas conectando las
esquinas de la superficie generada por SurfExample
Matlab 16
esquinas de la superficie generada por SurfExample
al plano xy que pasa por z = 0
Disc: que crea un disco circular que interseca la
superficie creada por SurfExample en zo = 80,con
radio de 10 unidades, y centro en (0,5)

Ejemplo: combinando superficies y líneas
• Las coordenadas de las esquinas son:
50
100
150
200
(−3, −3, z(−3,−3))
(−3, 13, z(−3,13))
(3, 13, z(3,13))(3, −3, z(3,−3))
Matlab 17
Las funciones son:
function Corners
xc = [-3, -3, 3, 3];
yc = [-3, 13, 13, -3];
zc = xc.^4+3*xc.^2−2*xc+6−2*yc.*xc.^2+yc.^2−2*yc;
hold on
plot3([xc; xc], [yc; yc], [zeros(1,4); zc], 'k')
-3
-2
-1
0
1
2
3
-5
0
5
10
15
0
(−3, 13, z(−3,13))

function Disc(R, zo)
r = linspace(0, R, 12); % (1×12)
theta = linspace(0, 2*pi, 50); % (1×50)
x = cos(theta')*r; % (50×12)
y = 5 + sin(theta')*r; % (50×12)
hold on
Matlab 18
hold on
z = repmat(zo, size(x)); % (50×12)
surf(x, y, z)
-10
-5
0
5
10
-5
0
5
10
15
79
79.5
80
80.5
81

[x, y, z] = SurfExample;
surf(x, y, z);
Disc(10, 80)
Corners
150
200
Matlab 19
-10
-5
0
5
10
-5
0
5
10
15
0
50
100
−4
−2
0
2
4
−5
0
5
10
15
0
50
100
150
200

Modificación de la apariencia de gráficos
• Hay varias funciones que se pueden usar de forma
combinada para modificar la apariencia de la
superficie resultante
box on o box off
Matlab 20
grid on o grid off
axis on o axis off
La función box on sólo dibuja una caja si axis on ha
sido seleccionada

Ejemplo: modificación de la apariencia de
gráficos
[x,y,z] = SurfExample
mesh(x, y, z)
grid off
1010
15
0
50
100
150
200
Matlab 21
mesh(x, y, z)
axis off
grid off
-10
-5
0
5
10
-5
0
5
10

Ejemplo: modificación de la apariencia de
gráficos
mesh(x, y, z)
axis on
grid off
box on
50
100
150
200
Matlab 22
box on
-10
-5
0
5
10
-5
0
5
10
15
0

Modificación de la apariencia de gráficos
• Los colores de los parches creados por surf o las
líneas creadas por mesh se pueden cambiar a un
color uniforme usando
colormap(c)
donde c es un vector de tres elementos, cada uno de los
Matlab 23
donde c es un vector de tres elementos, cada uno de los
cuales varía entre 0 y 1, correspondiendo a la intensidad
del color rojo, verde y azul respectivamente (r, g, b). Ejm:
c Color
[0 0 0]
[1 1 1]
[1 0 0]
[0 1 0]
[0 0 1]
[1 1 0]
[1 0 1]
[0 1 1]
[0.5 0.5 0.5]
black
white
red
green
blue
yellow
magenta
cyan
gray

Ejemplo: funciones adicionales para
mejorar visualmente una superficie
meshz(x, y, z)
1
2
3
5
10
15
0
50
100
150
200
Matlab 24
waterfall(x, y, z)
-3
-2
-1
0
1
-5
0
-3
-2
-1
0
1
2
3
-5
0
5
10
15
0
50
100
150
200

Ejemplo: funciones adicionales para
mejorar visualmente una superficie
ribbon(y, z)
surfnorm(x, y, z)
Matlab 25
0
2
4
6
8
10
12
14
16
-5
0
5
10
15
0
50
100
150
200
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
-5
0
5
10
15
0
50
100
150
200

Gráficos de contornos
• Las superficies también se pueden transformar en
gráficos de contornos, que son gráficos de curvas
formadas por la intersección de la superficie y un
plano paralelo al plano xy en valores específicos de z
• Las funciones
Matlab 26
• Las funciones
surfc(x, y, z) y meshc(x, y, z)
crean superficies con contornos proyectados debajo
de la superficie. x, y, z son los valores de las
coordenadas de puntos que definen la superficie

Ejemplo de gráficos de contornos
meshc(x, y, z)
grid off
0
1
2
5
10
15
0
50
100
150
Matlab 27
surfc(x, y, z)
grid off
-3
-2
-1
0
-5
0
-3
-2
-1
0
1
2
-5
0
5
10
15
0
50
100
150
200

• Se pueden crear contornos sin visualizar la superficie,
con etiquetas o sin etiquetas
• La función
contour(x, y, z, v)
Matlab 28
crea un gráfico de contorno donde
x, y, z son las coordenadas de los puntos que definen la
superficie
v, si es un escalar, es el número de niveles de contornos a
visualizar y, si es un vector de valores, los contornos de la
superficie en los valores de z. El uso de v es opcional

• Si se quiere etiquetar el contorno se usan las
funciones
[C, h] = contour(x, y, z, v)
clabel(C, h, v)
Matlab 29
clabel

Ejemplos de contour
contour(x, y, z)
0
2
4
6
8
10
12
Matlab 30
contour(x, y, z, 4)
-3 -2 -1 0 1 2 3
-2
-3 -2 -1 0 1 2 3
-2
0
2
4
6
8
10
12

Ejemplos de contour y clabel
[C, h] = contour(x, y, z);
clabel(C, h)
20
20
20
20
20
20
20
20
40
40
40
40
40
40
40
60
60
60
60
80
80
80
80
100
100 100
100
120
120 120140
0
2
4
6
8
10
12
Matlab 31
v= [10, 30:30:120];
[C, h] = contour(x, y, z, v);
clabel(C, h, v)
20
40
60
60
80
100
100
120
120
140
140
160
-3 -2 -1 0 1 2 3
-2
10
10
10
10
10
10
30
30 30
30
30
30
30
30
60
60
60
60
60
60
90
90
90
90
120
120 120
120
-3 -2 -1 0 1 2 3
-2
0
2
4
6
8
10
12

Gráficos de contornos 3D
• Para obtener los contornos de superficies en 3D, se
usa
contour3(x, y, z, v)
donde
x, y, z son las coordenadas de los puntos de la superficie
Matlab 32
x, y, z son las coordenadas de los puntos de la superficie
v, si es un escalar, es el número de niveles de contornos a
visualizar y, si es un vector de valores, los contornos de la
superficie en los valores de z. El uso de v es opcional
Para etiquetar los contornos se usa
[C, h] = contour3(x, y, z, v)
clabel(C, h, v)

• Para rellenar la region entre contornos 2D con
diferentes colores se usa
contourf(x, y, z, v)
los valores de los colores se pueden identificar
usando
Matlab 33
usando
colorbar(s)
que coloca una barra de colores y sus correspondientes
valores numéricos adyacente a la figura
La cantidad z es un string igual a 'horiz' o 'vert' para indicar
la orientación de la barra. El valor por defecto es 'vert'

Ejemplos de contour3, contourf y colorbar
[C, h] = contour3(x, y, z);
clabel(C, h)
2
3
10
20
40
60
80
100
120
140
160
180
20
20
2020
20
20
20
40
40
40
40
40
40
40
40
60
60
60
60
60
60
80
80
80
80
80
100
100
100
100
120
120
120
120
140
140
140
160
50
100
150
200
Matlab 34
[C, h] = contourf(x, y, z);
colorbar
-3 -2 -1 0 1 2 3
-2
0
2
4
6
8
10
12
-3
-2
-1
0
1
2
0
5
20
20
20
40
-3 -2 -1 0 1 2 3
-2
0
2
4
6
8
10
12
20
40
60
80
100
120
140
160
180−4
−2
0
2
4
−5
0
5
10
15
0

• Las propiedades de las líneas y etiquetas se pueden
modificar de forma similar que para plot
• Por ejemplo, para cambiar el tamaño de las etiquetas
creadas con contour a 14 puntos y las líneas del
contorno azules, se siguen los pasos
Matlab 35
contorno azules, se siguen los pasos
[x, y, z] = SurfExample;
[C, h] = contour(x, y, z, v)
g = clabel(C, h, v);
set(g, 'Fontsize', 14)
set(h, 'LineColor', ‘b')
10
10
10
10
10
10
30
30 30
30
30
30
30
30
60
60
60
60
60
60
90
90
90
90
120
120 120
120
-3 -2 -1 0 1 2 3
-2
0
2
4
6
8
10
12

Superficies cilíndricas, esféricas y
elipsoidales
• Se puede usar una curva 2D como generador para
crear superficies de revolución usando
[x, y, z] = cylinder(r, n)
que retorna las coordenadas x, y, z de una superficie
Matlab 36
que retorna las coordenadas x, y, z de una superficie
cilíndrica utilizandoel vector r para definir una curva perfil
La función cylinder trata cada elemento en r como un
radio en n puntos equiespaciados alrededeor de su
circunferencia. Si se omite n se considera el valor 20

Ejemplo de superficie cilíndrica
• Para la curva
que se rota 360° alrededor del eje-z
Se usa 26 intervalos equiespaciados en la dirección z
y 16 intervalor equiespaciados en la dirección
≥ ≤= 1.1+sin( ) 0 2r z z π
Matlab 37
y 16 intervalor equiespaciados en la dirección
circunferencial
• El script para graficar la superficie cilíndrica es
zz = linspace(0, 2*pi, 26);
[x, y, z] = cylinder(1.1+sin(zz), 16);
surf(x, y, z)
axis off

Ejemplo de superficie cilíndrica
Matlab 38
Axis of rotation

elipsoidales
• Para crear una esfera, se puede usar
[x, y, z] = sphere(n);
axis equal
surf(x, y, z)
donde n es el número de n x n elementos que
Matlab 39
donde n es el número de n x n elementos que
comprende la esfera de radio 1 centrado en el origen.
Si n se omite se toma n = 20
-1
-0.5
0
0.5
1
-1
-0.5
0
0.5
1
-1
-0.5
0
0.5
1

elipsoidales
• Para crear una elipsoide, se puede usar
[x, y, z] = ellipsoid(xc, yc, zc, xr, yr, zr, n);
axis equal
surf(x, y, z) -1
0
1
Matlab 40
surf(x, y, z)
en (xc, yc, zc) con longitud de semi-ejes en las
direcciones x, y, z respectivamente, de xr, yr, y zr . n
es el número de n x n elementos que comprende el
elipsoide. Si n se omite se toma n = 20
-1
0
1
-3
-2
-1
0
1
2
3

Angulo de visión
• En ocasiones se desea cambiar el ángulo de vista por
defecto de los gráficos 3D porque
– No se muestra las características de interés
– Varias vistas diferentes deben mostrarse usando subplot
– La exploración de la superficie desde varias vistas es
Matlab 41
– La exploración de la superficie desde varias vistas es
deseable antes de decidir la orientación final
• Para determinar el azimuth (a) y ángulo de elevación
de la vista (e), se usa
[a, e] = view

Angulo de visión
• Para orientar el objeto se usa el icono Rotate 3D en
la ventana de la figura y se orienta el objeto hasta
obtener una orientación satisfactoria. Se mostrará los
valores de azimuth y elevación mientras se rota
Matlab 42
• Esos valores se pueden ingresar en la expresión
view(an, en)
para crear la orientación deseada cuando se ejecuta
un script
Rotate 3D

Sombreado (shading)
• Las superficies creadas con surf usan la propiedad de
sombreado por defecto llamada 'faceted'.
• La función que cambia el sombreado es
shading s
Matlab 43
donde s es un string igual a
faceted % Default
flat
interp

Ejemplo de view y shading
r=1.1+sin(zz);
[x, y, z] = cylinder(r, 16);
surf(x, y, z)
Matlab 44
surf(x, y, z)
view(-88.5, -48)
shading faceted
axis off vis3d

r=1.1+sin(zz);
surf(x, y, z)
Matlab 45
surf(x, y, z)
view(-88.5, -48)
shading flat
axis off vis3d

r=1.1+sin(zz);
surf(x, y, z)
Matlab 46
surf(x, y, z)
view(-88.5, -48)
shading interp
axis off vis3d

r = 1+sin(zz);
surf(x, y, z)
view(-88.5, -48)
Matlab 47
view(-88.5, -48)
shading interp
colormap(copper)
axis off vis3d

Transparencia
• Las superficies creadas con surf puede tener su
opacidad alterada asignando un valor numérico al
keyword 'FaceAlpha'
• El efecto de este keyword en la superficie resultante
es dependiente del tipo del sombreado seleccionado
Matlab 48
es dependiente del tipo del sombreado seleccionado
• Para ilustrar la opción de transparencia, se crea una
función que genera los valores numéricos para la
superficie dada por cos (1 cos )
sin (1 cos )
(1 sin )
v
v
v
x a v u
y a v u
z ba u
= +
= − +
= − +

Transparencia
• Si se asume que a = 1.13 y b = 1.14, la función
fichero m para esta superficie es
function [x, y, z] = Transparency
a = 1.13; b = 1.14;
uu = linspace(0, 2*pi, 30);
Matlab 49
uu = linspace(0, 2*pi, 30);
vv = linspace(-15, 6, 45);
[u, v] = meshgrid(uu, vv);
x = a.^v.*cos(v).*(1+cos(u));
y = -a.^v.*sin(v).*(1+cos(u));
z = -b*a.^v.*(1+sin(u));

Ejemplo de transparencia
[x, y, z] = Transparency;
surf(x, y, z)
shading interp
axis vis3d off
equal
view([-35 38])
Matlab 50
view([-35 38])
h = surf(x, y, z)
set(h, 'FaceAlpha', 0.4)
shading interp
axis vis3d off equal
view([-35 38])

Ejemplo de transparencia
h = surf(x, y, z)
set(h, 'FaceAlpha', 0.4)
axis vis3d off equal
view([-35 38])
Matlab 51
view([-35 38])
Nota: se omite shading

Ejemplo: coloreado de cajas
• Modificación de fichero m BoxPlot3 para que las seis
superficies representadas por los rectángulos se
rellene con un color diferente
• La modificación se consigue usando fill3
Matlab 52
• La versión revisada de BoxPlot3 renombrada como
BoxPlot3C es

function BoxPlot3C(xo, yo, zo, Lx, Ly, Lz, w)
% w = 0, wire frame; w = 1, rectangles are colored
x = [xo xo xo xo xo+Lx xo+Lx xo+Lx xo+Lx];
y = [yo yo yo+Ly yo+Ly yo yo yo+Ly yo+Ly];
z = [zo zo+Lz zo+Lz zo zo zo+Lz zo+Lz zo ];
index = zeros(6,5);
index(1,:) = [1 2 3 4 1];
index(2,:) = [5 6 7 8 5];
index(3,:) = [1 2 6 5 1];
Matlab 53
index(3,:) = [1 2 6 5 1];
index(4,:) = [4 3 7 8 4];
index(5,:) = [2 6 7 3 2];
index(6,:) = [1 5 8 4 1];
c = 'rgbcmy';
for k = 1:6
if w~=0
fill3(x(index(k,:)), y(index(k,:)), z(index(k,:)), c(k))
else
plot3(x(index(k,:)), y(index(k,:)), z(index(k,:)))
end
hold on
end

9
10
BoxPlot3C(1, 1, 1, 3, 5, 7, 1)
BoxPlot3C(4, 6, 8, 4, 5, 1, 0)
BoxPlot3C(8, 11, 9, 1, 1, 1, 1)
Matlab 54
1
2
3
4
5
6
7
8
9
0
2
4
6
8
10
12
1
2
3
4
5
6
7
8
9

Ejemplo: intersección de un cilindro y una
esfera y resaltado de su intersección
• La curva que resulta de la intersección de una esfera
de radio 2a centrada en el origen y un cilindro circular
de radio a centrado en (a, 0) es dado por las
ecuaciones paramétricas (1 cos )
sin
x a
y a
ϕ
ϕ
= +
=
Matlab 55
donde 0 ≤ ϕ ≤ 4π
• Para crear una esfera de radio 2a, se multiplica cada
coordenada de sphere por 2a.
sin
2 sin( / 2)
y a
z a
ϕ
ϕ
=
=

• Las coordenadas de cylinder se modifican con
la transformación:
x → ax + a
y → ay
z → 4az − 2a
Matlab 56
z → 4az − 2a
• Se asume que a = 1. El script es

a = 1;
[xs, ys, zs] = sphere(30);
surf(2*a*xs, 2*a*ys, 2*a*zs)
hold on
[x, y, z] = cylinder;
surf(a*x+a, a*y, 4*a*z-2*a)
Matlab 57
surf(a*x+a, a*y, 4*a*z-2*a)
shading interp
t = linspace(0, 4*pi, 100);
x = a*(1+cos(t));
y = a*sin(t);
z = 2*a*sin(t/2);
plot3(x, y, z, 'y-', 'Linewidth', 2.5);
axis equal off
view([45, 30])

Ejemplo: mejora de gráficos 2D con
objetos 3D
• Para una esfera de radio a y un elipsoide con su eje
mayor en la dirección x igual a 2a, eje menor en la
dirección y igual a 2b, y un eje menor en la dirección
z igual a 2c, la proporción del volumen de un
elipsoide con relación al volumen de una esfera es
Matlab 58
elipsoide con relación al volumen de una esfera es
• Se crea el siguiente programa para mejorar la
comprensión de un gráfico de V como función de b/a
para varios valores de c/a
ellipse
sphere
V b c
V
V a a
  
= =   
  

objetos 3D
b = [0.5, 1]; c = b;
for k = 1:2
plot(b, b*c(k), 'k-')
text(0.75, (b(1)*c(k)+b(2)*c(k))/2-0.02, ['c/a = ' num2str(c(k))])
hold on
end
xlabel('b/a') ylabel('V')
for k = 1:4
k
Matlab 59
switch k
case 1
axes('position', [0.12, 0.2, 0.2, 0.2])
[xs, ys, zs] = ellipsoid(0, 0, 0, 1, b(1), c(1), 20);
mesh(xs, ys, zs)
text(0, 0, 1, ['b/a = ' num2str(b(1)) ' c/a = ' num2str(c(1))])
case 2
axes ('position', [0.1, 0.5, 0.2, 0.2])
mesh (xs, ys, zs)
text (0, 0, 1.5, ['b/a = ' num2str(b(1)) ' c/a = ' num2str(c(2))])

objetos 3D
case 3
axes ('position', [0.7, 0.65, 0.2, 0.2])
mesh (xs, ys, zs)
text (-1.5, 0, 2, ['b/a = ' num2str(b(2)) ' c/a = ' num2str(c(2))])
case 4
axes ('position', [0.7, 0.38, 0.2, 0.2])
Matlab 60
mesh (xs, ys, zs)
text (-1.5, 0, 1.5, ['b/a = ' num2str(b(2)) ' c/a = ' num2str(c(1))])
end
colormap([0 0 0])
axis equal off
end

objetos 3D
0.7
0.8
0.9
1
c/a = 1
b/a = 0.5 c/a = 1
b/a = 1 c/a = 1
Matlab 61
0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
c/a = 0.5
b/a
V
b/a = 0.5 c/a = 0.5
b/a = 1 c/a = 0.5

Rotación y traslación de objetos 3D:
ángulos de Euler
• La rotación y traslación de un punto p(x,y,z) a otra
posición P(X,Y,Z) es determinado por
11 12 13
21 22 23
21 22 23
x
y
z
X = L + a x + a y + a z
Y = L + a x + a y + a z
Z = L + a x + a y + a z
Matlab 62
donde Lx, Ly, y Lz son los componentes x, y, z de la
traslación, respectivamente, y aij, i, j = 1, 2, 3, son los
elementos de
21 22 23zZ = L + a x + a y + a z
 
 
 
  
cos cos -cos sin sin
= cos sin + sin sin cos cos cos - sin sinψsin -sin cos
sin sin - cos sin cos sin cos + cos sinψsin cos cos
ψ χ ψ χ ψ
a φ χ φ ψ χ φ χ φ χ φ ψ
φ χ φ ψ χ φ χ φ χ φ ψ

ángulos de Euler
• Las cantidades φ, ψ, y χ son los ángulos de rotación
ordenados (ángulos de Euler) del sistema de
coordenadas alrededor del origen
φ alrededor del eje x
ψ alrededor del eje y
Matlab 63
ψ alrededor del eje y
χ alrededor del eje z
• En general, (x,y,z) pueden ser escalares, vectores de
la misma longitud, o matrices del mismo orden
• Se crea la función EulerAngles

ángulos de Euler
function [Xrt, Yrt, Zrt] = EulerAngles(psi, chi, phi, Lx, Ly, Lz, x, y, z)
a = [cos(psi)*cos(chi), -cos(psi)*sin(chi), sin(psi); …
cos(phi)*sin(chi)+sin(phi)*sin(psi)*cos(chi), …
cos(phi)*cos(chi)-sin(phi)*sin(psi)*sin(chi), …
-sin(phi)*cos(psi); …
sin(phi)*sin(chi)-cos(phi)*sin(psi)*cos(chi), …
Matlab 64
sin(phi)*sin(chi)-cos(phi)*sin(psi)*cos(chi), …
sin(phi)*cos(chi)+cos(phi)*sin(psi)*sin(chi), …
cos(phi)*cos(psi)];
Xrt = a(1,1)*x+a(1,2)*y+a(1,3)*z+Lx;
Yrt = a(2,1)*x+a(2,2)*y+a(2,3)*z+Ly;
Zrt = a(3,1)*x+a(3,2)*y+a(3,3)*z+Lz;
11 12 13
21 22 23
21 22 23
x
y
z
X =L +a x+a y+a z
Y =L +a x+a y+a z
Z=L +a x+a y+a z

generación de Toro
• Las ecuaciones para generar un toro son
( )
2
2 2 2
cos
sin
x = r θ
y = r θ
z = ± a - x + y - b
Torus
Matlab 65
donde b − a ≤ r ≤ b + a, 0 ≤ θ ≤ 2π, y b > a
Se crea la función Torus para obtener las
coordenadas del toro que usa las función real para
eliminar la parte imaginaria debida a redondeos
numéricos
( )

generación de Toro
function [X, Y, Z] = Torus(a, b)
r = linspace(b-a, b+a, 10);
th = linspace(0, 2*pi, 22);
x = r'*cos(th);
y = r'*sin(th);
Matlab 66
sin
z = real(sqrt(a^2-(sqrt(x.^2+y.^2)-b).^2));
X = [x x];
Y = [y y];
Z = [z -z];

generación de Toro
• Se obtendrá cuatro gráficas del toro:
– Sin rotación
– Rotado 60° alrededor del eje x (φ = 60°) y comparado
con el toro original
– Rotado 60° alrededor del eje y (ψ = 60°) y comparado
Matlab 67
– Rotado 60° alrededor del eje y (ψ = 60°) y comparado
con el toro original
– Rotado 60° alrededor del eje x (φ = 60°), rotado 60°
alrededor del eje y (ψ = 60°) y comparado con el toro
original
• Se asume que a = 0.2 y b = 0.8 y se usa
colormap para producir una malla de líneas

generación de Toro
[X, Y, Z] = Torus(0.2, 0.8);
psi = [0, pi/3, pi/3]; chi = [0, 0, 0]; phi = [pi/3,0, pi/3];
Lx = 0; Ly = 0; Lz = 0;
for k = 1:4
subplot(2,2,k)
if k==1
Matlab 68
if k==1
mesh(X, Y, Z)
else
mesh(X, Y, Z)
hold on
[Xr Yr Zr] = EulerAngles(psi(k-1), chi(k-1), …
phi(k-1), Lx, Ly, Lz, X, Y, Z);
mesh(Xr, Yr, Zr)
end

generación de Toro
switch k
case 1
text(0.5, -0.5, 1, 'Torus')
case 2
text(0.5, -0.5, 1,'phi = 60circ')
case 3
text(0.5,-0.5,1,'psi = 60circ')
Matlab 69
text(0.5,-0.5,1,'psi = 60circ')
case 4
text(0.5, -0.5, 1.35,'psi = 60circ')
text(0.55, -0.5, 1,'phi = 60circ')
end
colormap([0 0 0])
axis equal off
grid off
end

generación de Toro
Torus
φ = 60°
Matlab 70
ψ = 60° φ = 60°
ψ = 60°

Creación de gráficos interactivamente
• El entorno Matlab permite crear gráficas
interactivamente de varias maneras
Seleccionar variable(s)
+ botón derecho
Matlab 71
Seleccionar tipo de gráfico

• Se introducen los siguientes comandos:
>> N=50;
>> y=randn(N,1);
>> y2=filter([1 1]/2,1,y);
• Se pulsa sobre la variable y en el Workspace y se
Matlab 72
• Se pulsa sobre la variable y en el Workspace y se
pulsa sobre el icono . Se obtiene el gráfico
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50
-2.5
-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
2.5

• Se puede modificar el tipo de gráfico desplegando el
menú para obtener la descripción
Matlab 73
Más ayuda

• Cuando se selecciona un tipo de gráfico se genera el
comando correspondiente en la ventana de
comandos
Matlab 74

• En la ventana de figura se puede modificar el gráfico,
generar el código y guardarlo para ser invocado
Matlab 75

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