Matrices
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Este documento describe conceptos básicos sobre matrices, incluyendo cómo sumar, restar, multiplicar matrices por un escalar, multiplicar matrices entre sí, calcular determinantes, y hallar la matriz inversa. Explica que las matrices son sistemas de filas y columnas que se usan para organizar datos y resolver problemas matemáticos.
Matrices
- 1. Matrices Prof. Rosa E. Padilla
- 2. Matriz • Sistema de filas y columnas que nos ayudan a organizar datos y resolver problemas matemáticos.
- 3. Matrices iguales • Dos matrices son iguales si y solo si tienen la misma dimensión y sus elementos correspondientes son iguales.
- 4. Matrices • Son utilizados subíndices para identificar las posiciones de los elementos de una matriz.
- 5. Suma de matrices • Para sumar matrices, las mismas deben tener las mismas dimensiones. • Se suma cada elemento correspondiente y se escribe en la posición correspondiente. • Ejemplo: 3 6 −1 −5 −3 −1 + 0 −1 6 2 0 3 = 3 + 0 6 + (−1) −1 + 6 −5 + 2 −3 + 0 −1 + 3 = 3 5 5 −3 −3 2
- 6. Práctica • Realiza la operación indicada para las siguientes matrices. 2 4 2 −3 + −3 3 2 −2 = 2 0 0 + 3 1 −5 = 2 −2 6 −6 + 5 4 −1 0 = −4𝑛 𝑚 + 𝑛 −2𝑛 −4𝑛 + 4 −5 3𝑚 0 = 1) 2) 3) 4)
- 7. Resta de matrices • Para restar matrices, las mismas deben tener las mismas dimensiones. • Se resta cada elemento correspondiente y se escribe en la posición correspondiente. • Ejemplo: −5 2 −2 4 −2 0 − 6 −5 −6 1 3 −3 = −5 − 6 2 − (−5) −2 − (−6) 4 − 1 −2 − 3 0 − (−3) = −11 7 4 3 −5 3
- 8. Práctica • Realiza la operación indicada para las siguientes matrices. 1) 2) 3) 4) −6 6 2 2 − −3 0 −2 0 = −𝑥 − 1 −2𝑥 −5𝑦 − 𝑦 −2 −3𝑥 = 𝑥 + 𝑦 𝑥 − 6 − 5 6𝑥𝑦 =5 6 − 2 4 =
- 9. Multiplicación de matrices por un factor escalar • Un factor escalar es un número por el cual se multiplican todos los elementos de una matriz. • Ejemplo: 5 4 3 = 5 × 4 5 × 3 = 20 15
- 10. Práctica • Realiza la operación indicada para las siguientes matrices. 1) 2) 3) 4) −2𝑢 7𝑢 3𝑤2 5𝑢 5 = 4 −4 3 −5 =−5 −3 0 0 5 =5 5 6 −4 4 −2 −1 =
- 11. Multiplicación de matrices • Para multiplicar dos matrices el número de columnas de la primera matriz debe ser igual al número de columnas de la segunda. • Si tenemos una matriz A de m fila y n columnas, solo la podremos multiplicar por una matriz B que tenga n filas y p columnas.
- 12. Multiplicación de matrices • Ejemplo: 𝐴 = 1 2 3 4 5 6 𝐵 = 5 −1 1 0 −2 3 𝐴 × 𝐵 = 1 2 3 4 5 6 ∙ 5 −1 1 0 −2 3 = 1 5 + 2 1 + 3(−2) 𝐴 × 𝐵 = 1 2 3 4 5 6 ∙ 5 −1 1 0 −2 3 = 1 5 + 2 1 + 3(−2) 1 −1 + 2 0 + 3(3)
- 13. Multiplicación de matrices • Ejemplo: 𝐴 = 1 2 3 4 5 6 𝐵 = 5 −1 1 0 −2 3 𝐴 × 𝐵 = 1 2 3 4 5 6 ∙ 5 −1 1 0 −2 3 = 1 5 + 2 1 + 3(−2) 1 −1 + 2 0 + 3(3) 4 5 + 5 1 + 6(−2) 𝐴 × 𝐵 = 1 2 3 4 5 6 ∙ 5 −1 1 0 −2 3 = 1 5 + 2 1 + 3(−2) 1 −1 + 2 0 + 3(3) 4 5 + 5 1 + 6(−2) 4 −1 + 5 0 + 6(3)
- 14. Multiplicación de matrices • Ejemplo: 𝐴 = 1 2 3 4 5 6 𝐵 = 5 −1 1 0 −2 3 𝐴 × 𝐵 = 1 2 3 4 5 6 ∙ 5 −1 1 0 −2 3 = 5 + 2 − 6 −1 + 0 + 9 20 + 5 − 12 −4 + 0 + 18 = 1 8 13 14
- 15. Práctica • Realiza la operación indicada para las siguientes matrices. 1) 2) 3) 4) 2 −1 −6 1 ∙ 4 4 −3 −5 = 6 −3 ∙ −5 4 = 5 3 5 1 5 0 ∙ −4 2 −3 4 3 −5 = −5 1 −4 −5 ∙ 5 −4 2 −6 3 −6 + 3 −5 2 5 5 3 =
- 16. Determinante • Una matriz se convierte en determinante para ayudarnos a calcular áreas de polígonos o figuras geométricas. • La determinante de una matriz es una función matemática que asocia a cada matriz cuadrada un número real. • Para hallar el determinante de una matriz, la misma debe ser cuadrada, es decir, tiene igual cantidad de filas que de columnas.
- 17. Determinante matriz 2×2 • Sea A una matriz 2 × 2. 𝐴 = 𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 det 𝐴 = 𝐴 = 𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 = 𝑎𝑑 − 𝑏𝑐
- 18. Ejemplo • Halla el determinante de la matriz dada. 𝐵 = −1 1 −1 4 det 𝐵 = 𝐵 = −1 1 −1 4 = −1(4) − (−1)(1) = −3
- 19. Determinante matriz 3×3 • Método del cofactor
- 20. Determinante matriz 3×3 • Método de Sarrus
- 21. Determinante matriz 3x3 • Ejemplo: Halla el determinante de la matriz C. 𝐶 = 3 −2 1 3 −1 −2 3 −2 −3 det 𝐶 = 3 −2 1 3 −1 −2 3 −2 −3 = 3 −2 1 3 −1 −2 3 −2 −3 3 −2 3 −1 3 −2 3(−1)(−3) +(−2)(−2)(3) +1(3)(−2)−(3)(−1)(1)−(−2)(−2)(3)−(−3)(3)(−2) 9 + 12 + (−6) − −3 − 12 − 18 det 𝐶 = −12
- 22. Práctica • Halla el determinante para cada matriz. 1) 2) 3) 4) 0 −4 −6 −2 5 3 6 6 −5 3 4 2 −6 −6 1 3 −5 −2 3 0 −3
- 23. Propiedades de las matrices • Sean A y B matrices y c, d escalares • Clausura: Si C es una matriz, aC también es una matriz. • Elemento neutro: Existe el elemento neutro 1, tal que 1 ∙ 𝐴 = 𝐴. • Asociativa: 𝑐𝑑 𝐴 = 𝑐 𝑑𝐴 • Propiedad distributiva: • Escalar → 𝑐 𝐴 + 𝐵 = 𝑐𝐴 + 𝑐𝐵 • Matriz → 𝑐 + 𝑑 𝐴 = 𝑐𝐴 + 𝑑𝐴
- 24. Propiedades de las matrices • Sean A, B y C para las cuales la multiplicación está definida. • Clausura: AB también es una matriz • Elemento neutro: Si A es matriz cuadrada de tamaño m, entonces la matriz identidad 𝐼 𝑚×𝑚 es el elemento neutro de manera tal que 𝐼 × 𝐴 = 𝐴 × 𝐼 = 𝐴. • Asociativa: 𝐴𝐵 𝐶 = 𝐴(𝐵𝐶) • Propiedad distributiva: • Derecha → 𝐴 + 𝐵 𝐶 = 𝐴𝐶 + 𝐵𝐶 • Izquierda → 𝐶 𝐴 + 𝐵 = 𝐶𝐴 + 𝐶𝐵 • La operación de multiplicación de matrices no es conmutativa.
- 25. Matriz identidad 1 0 0 1 1 0 0 0 1 0 0 0 1
- 26. Matriz inversa • La matriz inversa de una matriz cuadrada A es otra matriz representada por 𝐴−1 que cumpla con la condición: • Donde I corresponde a la matriz identidad del mismo orden que A. • La matriz inversa de A existe sí y solo sí det(𝐴) ≠ 0. 𝐴 × 𝐴−1 = 𝐴−1 × 𝐴 = 𝐼
- 27. Hallar la matriz inversa • Sea A una matriz cuadrada con dimensión 2×2.