metodo cuadratura de gauss - metodos numericos

CUADRATURA DE GAUSS
MGR. KILBERT CHUSI HUAMANI

METODO DE GAUSS - LEGENDRE
MGR. KILBERT CHUSI HUAMANI

• En sus investigaciones , Gauss encontró que es factible disminuir el error en la
integración cambiando la localización de los puntos sobre la curva de integración
f(x).
• En la siguiente figura se muestra la curva de la función f(x) que se desea integrar
entre los límites a y b.
DESCRIPCIÓN DEL MÉTODO
• a) muestra como se integraría usando un
trapezoide: uniendo el punto A de
coordenadas (a,f(a)) con el punto B
(b,f(b)), mediante un segmento de recta
p1(x). Esto forma un trapezoide de altura
h=(b-a), cuya área es:
A
B
y
x
x0
a
x1
b
p1(x)
a) Método trapezoidal
ℎ
𝑇 =
2
𝑓 𝑎 + 𝑓(𝑏)

• El área del trapezoide calculadaT, aproxima el área bajo la curva f(x).
• En la aplicación de la cuadratura de Gauss, en lugar de tomar los dos puntos A y B
en los extremos del intervalo, se escogen dos puntos interiores C y D.
• Se traza una línea recta por estos dos puntos, se extiende hasta los extremos del
intervalo y se forma el trapezoide sombreado.
B
y A
x
x0
a
x1
b
p1(x)
b)Método de Gauss con dos puntos

• El área del trapezoide calculadaT, aproxima el área bajo la curva f(x).
• En la aplicación de la cuadratura de Gauss, en lugar de tomar los dos puntos A y B
en los extremos del intervalo, se escogen dos puntos interiores C y D.
• Se traza una línea recta por estos dos puntos, se extiende hasta los extremos del
intervalo y se forma el trapezoide sombreado.
C
D
y
x
f(x)
a b
b)Método de Gauss con dos puntos

C
D
y
z
F(z)
Derivación del método de integración de Gauss
• Lo primero que tenemos que considerar, que se desea integrar la función entre los limites
-1 y +1. Los puntos C y D se escogen sobre la curva y se forma el trapezoide con vértices
E,F,G H.
F(z1)
F(z2)
F
G
z1
-1 z2
E
1
H
Sean las coordenadas
del punto C(z1,f(z1)) y
del punto D(z2,f(z2)) ,
Gauss propuso
desarrollar una formula
del tipo:
𝐴 = 𝑤1𝐹 𝑧1 + 𝑤2𝐹 𝑧2
Encontrar los valores
de z1,z2,w1 y w2

• F(z) = 1
• F(z) = z
• F(z)= z2
• F(z) = z3
Los valores exactos de
integrar estas cuatro
funciones entre -1 y +1 son:
−1
• Hay cuatro parámetros por determinar y, por lo tanto cuatro condiciones que se pueden
imponer.
1
−1
𝐼1 = ∫ 1𝑑𝑧 = 𝑧|1 = 1 − 1 −1 = 2
1
𝐼2 = ∫ 𝑧𝑑𝑧 =
−1
𝑧2
2 −1
|1
=
12
2
−
(−1)2
2
= 0
1
𝐼3 = ∫ 𝑧2𝑑𝑧 =
−1
𝑧3
3 −1
|1
=
13
3
− =
(−1)3 2
3 3
1
𝐼4 = ∫ 𝑧3𝑑𝑧 =
−1
𝑧4
4 −1
|1
=
14
4
−
(−1)4
4
= 0

• Suponiendo que una ecuación de la forma :
• Funciona exactamente, se tendrá el siguiente sistema de Ecuaciones:
𝐴 = 𝑤1𝐹 𝑧1 + 𝑤2𝐹 𝑧2
𝐼1 = 𝑤1 1 + 𝑤2 1 = 2
𝐼2 = 𝑤1𝑧1 + 𝑤2𝑧2 = 0
𝐼3 = 𝑤1𝑧1
2 + 𝑤2𝑧2
2 =
2
3
𝑤1 + 𝑤2 = 2 𝑤1 = 𝑤2
𝑧1 = −𝑧2
Satisfacen la segunda y cuarta ecuación
Entonces se elige:
𝐼4 = 𝑤1𝑧1
3 + 𝑤2𝑧2
3 = 0 𝑤1 = 𝑤2 = 1 𝑧1 = −𝑧2
Al sustituir en la tercer ecuación se obtiene :
𝑤1𝑧1
2 + 𝑤2𝑧2
2 =
2
3
2
(1)𝑧1
2 + (1)(−𝑧1)2 =
3
2 2
2
𝑧1 + 𝑧1 =
3
1
1
𝑧 = ±
3
𝑧1 = −0.57735 …
𝑧2 = 0.57735 …
Con lo que se determina la formula:
𝟏
∫ 𝑭 𝒛 𝒅𝒛 = 𝒘𝟏𝑭 𝒛𝟏 + 𝒘𝟐𝑭 𝒛𝟐
−𝟏

• Formulas a utilizas:
• En general, si se
1
desea
+ 𝑤2𝐹 𝑧2
𝑏
calcular : ∫𝑎 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 aplicando la ecuación
, se cambia el intervalo de integración con la siguiente
∫−1𝐹 𝑧 𝑑𝑧 = 𝑤1𝐹 𝑧1
formula:
𝑧 =
2𝑥 − (𝑎 + 𝑏)
𝑏 − 𝑎
Entonces x=a,z=-1,y x=b,z=1 nota: solo es aplicable cuando los limites de integración a y b son finitos.
El integrando f(x)dx en términos de la nueva variable queda:
𝑓 𝑥 = 𝐹 𝑧 +
𝑏 − 𝑎 𝑎 + 𝑏
2 2
𝑑𝑥 = 𝑑
𝑏 − 𝑎
2
𝑧 + =
𝑎 + 𝑏 𝑏 − 𝑎
2 2
𝑑𝑧

• Finalmente
• La integral queda:
𝑏
∫ 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 =
𝑎
𝑏 − 𝑎
2
1
∫ 𝐹
−1
𝑏 − 𝑎
2
𝑧 +
𝑎 + 𝑏
2
𝑑𝑧
≈
𝑏 − 𝑎
2
𝐹
𝑏 − 𝑎
2
(−0.57735) +
𝑎 + 𝑏
2
+ 𝐹
𝑏 − 𝑎
2
(+0.57735) +
𝑎 + 𝑏
2
En General el Algoritmo tiene la forma:
1
∫𝐹 𝑧 𝑑𝑧 = 𝐴 ≈ 𝑤1𝐹 𝑧1 + 𝑤2𝐹 𝑧2 + 𝑤3𝐹 𝑧3 … . +𝑤𝑛𝐹 𝑧𝑛
−1

• Coeficientes y abscisas en el método de la cuadratura de Gauss Legendre

APLICACIÓN NUMERICA DEL MÉTODO
Pagina 482, Capitulo 6 (Integración y diferenciación numérica), Métodos NuméricosAplicados a la Ingeniería,
Antonio Nieves Hurtado.
5
∫ 𝑒−𝑥𝑑𝑥
0
Cambiar x a z utilizando la Ec. x = =
𝑏−𝑎
𝑧 + 𝑎+𝑏 5−0
𝑧 + 0+5
2 2 2 2
= 5
𝑧 + 5
= 5
(𝑧 + 1)
2 2 2
5
2
z= 𝑥 − 1, de modo que si x=0, z=-1 y si x=5, z=1.
El resto de la integral se pone en términos de la nueva variable z:
𝑒−𝑥 = 𝑒−5(𝑧+1)/2
5
2 2
𝑑𝑥 = 𝑑(5
(𝑧 + 1)) = dz
5 1
∫𝑒−𝑥𝑑𝑥 =
5 ∫𝑒−5(𝑧+1)/2𝑑𝑧
2
0 −1

De modo que las condiciones de aplicación del método de Gauss quedan satisfechas:
1
5
∫𝑒−5(𝑧+1)/2𝑑𝑧
2
−1
5
2
1
∫𝑒
−1
−5(𝑧+1)/2
𝑑𝑧 ≈
5
2 1
𝑤 𝐹 −0.57735 … 2
+ 𝑤 𝐹 +0.57735
= 5
2
(1)𝑒−5(−0.57735+1)/2 + (1)𝑒−5(0.57735+1)/2 = 0.917524
5
∫𝑒−𝑥𝑑𝑥 = 0.917524
0
2 puntos

De modo que las condiciones de aplicación del método de Gauss quedan satisfechas:
1
5
∫𝑒−5(𝑧+1)/2𝑑𝑧
2
−1
5
2
1
∫𝑒
−1
−5(𝑧+1)/2
𝑑𝑧 ≈
5
2 1
𝑤 𝐹 −0.774596 … + 𝑤2𝐹 0.0 + 𝑤3𝐹 +0.774596
5
=
2
0.55555 𝑒
−
5 −0.774596+1
2 + 0.88888 𝑒
5 0.0+1
− 2 + (0.55555)𝑒 −5(0.774596+1)/2
= 0.989408
5
∫𝑒−𝑥𝑑𝑥 = 0.989408
0
3 puntos

Comparación :
5
∫𝑒−𝑥𝑑𝑥 = 0.99326
0
𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑒𝑥𝑎𝑐𝑡𝑜
5
∫𝑒−𝑥𝑑𝑥 = 0.917524
0
𝐶𝑢𝑎𝑑𝑟𝑎𝑡𝑢𝑟𝑎 𝐺𝑎𝑢𝑠𝑠𝑖𝑎𝑛𝑎 2 𝑝𝑢𝑛𝑡𝑜𝑠
5
∫𝑒−𝑥𝑑𝑥 = 0.989408
0
𝐶𝑢𝑎𝑑𝑟𝑎𝑡𝑢𝑟𝑎 𝐺𝑎𝑢𝑠𝑠𝑖𝑎𝑛𝑎 3 𝑝𝑢𝑛𝑡𝑜𝑠

LIMITACIONESY VENTAJAS
Ventajas
Desventajas
calcular
función
irracional
simple
Salvo porque se tiene que
el valor de la
de un valor
de z, es tan
como la regla
trapezoidal
trabaja perfectamente para
funciones cubicas, mientras
que la regla trapezoidal lo
hace solo para líneas rectas

BIBLIOGRAFIAS
Steven C.Chapra, Raymond P.Canale (2015). Métodos numéricos para ingenieros (Séptima
edición ed.). México: McGraw-Hill.
Conte, S. D., & Boor, C. d. (1980). Elementary numerical analysis (Tercera Edición ed.). Estados
Unidos de América: McGraw-Hill.
Antonio Nieves Hurtado (2012). Métodos numéricos aplicados a la ingeniería. Ed. Patria

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