programación lineal ejercicios de sensibilidad resueltos
- 1. Ejercic+io 1. Considere el siguiente problema de producción. Sea: X1 = número de unidades de producto 1 a producir diariamente; X2 = número de unidades de producto 2 a producir diariamente La producción de ambos productos requiere de tiempo de procesamiento en dos departamentos D1 y D2, las utilidades unitarias para los productos 1 y 2, y los tiempos de proceso requeridos en D1 y D2 se dan en el siguiente modelo primal: Maximizar: 푧 = 200푥 1 + 300푥 2 Sujeto a 푥 1 + 2푥 2 ≤ 32 D1 푥 1 ≤ 8 퐷2 Cnn 푥 1 ;푥 2 ≥ 0 Es decir, para construir una unidad completa del Producto 1 se requiere una hora en D1 y cero horas en D2. Para construir una unidad completa del producto 2 se requieren dos horas en D1 y una hora en D2. La capacidad en horas de D1 es de 32 horas y de D2 es de 8 horas. 1. ¿Cuántas unidades de cada producto deben producirse diariamente para maximizar las utilidades? 2. ¿Cuánto tiene que incrementarse la utilidad unitaria del Producto 2, con el fin de que sea rentable producir el producto 2? El producto dos ya es rentable con la utilidad unitaria actual, además faltaría información del costo de producción 3. ¿Cuánto puede cambiar la utilidad unitaria del producto 1 para que no cambie la solución actual? No debe cambiar porque se consume el material exacto, si vario la utilidad las unidades a producir serían las mismas, pero la utilidad final cambiaria. 4. Si la utilidad unitaria del producto 1 aumenta en $50, ¿en cuánto aumenta la utilidad total? Aumentaría en 800 unidades 5. ¿Qué efecto tiene incrementar las horas disponibles en cada departamento? Mayor cantidad de unidades a producir por ende mayores utilidades 6. Si le costara $100 incrementar la capacidad de producción 10 horas de cualquier departamento, ¿cuál modificaría? Justifique su respuesta. Modificaría las horas disponibles de D1, ya que me permitiría producir 26 unidades del producto uno y 8 unidades del producto dos, aumentando la utilidad a 7600 unidades menos el costo de incremento 7500 unidades.
- 2. 7. Si tuviera oportunidad de incrementar el número de horas disponibles del Departamento 2, ¿en cuántas horas lo incrementaría? (Sin cambiar el sistema de producción actual) No aumentaría las horas disponibles del departamento 2 ya que no me generaría ninguna utilidad adicional. 8. Si tuviera oportunidad de incrementar el número de horas disponibles del Departamento 1, ¿en cuántas horas lo incrementaría? (Sin cambiar el sistema de producción actual). La disponibilidad de horas se podría aumentar en 136 horas para un total de 168 que son las horas de una semana. Ejercicio 3. La Ohio Steel produce dos tipos de vigas de acero en su planta de Warren, Ohio. Cada uno de estos tipos de viga requiere de trabajo de máquina y finalización antes de ser vendidos. Los requerimientos de producción y finalización son dados en la siguiente tabla: Tipo de viga Trabajo de máquina (horas requeridas) Finalización (horas requeridas) 1 1 2 2 2 3 La planta de Warren, Ohio, tiene una capacidad semanal de 300 horas de máquina, y 200 horas de finalización. La contribución del tipo 1 a las utilidades es de $12 por unidad y la del tipo 2 es de $8. Maximizar: 푧 = 12푥 1 + 8푥2 Sujeto a 푥 1 + 2푥2 ≤ 300 2푥 2 + 3푥 2 ≤ 200 Cnn 푥 1 ; 푥 2 ≥ 0 1. ¿Cuántas vigas de tipo 1 y 2 deberían ser producidas en Warren si el objetivo de la Ohio Steel es la maximización de la utilidad semanal?
- 3. Vigas tipo 1= 100 Vigas tipo 2= 0 Utilidad Z= 1200 2. ¿Cuánto debería estar decidida la Ohio Steel a pagar por una hora adicional de tiempo de máquina? No debería emplear una hora adicional de maquina ya que el recurso critico son las horas disponibles para la finalización 3. La utilidad unitaria de la viga tipo 1 es $12. ¿Cuánto puede cambiar la utilidad unitaria de la viga tipo I para que no cambie la solución actual Puede cambiar hasta una utilidad de $5.4; y aun continuarían la misma cantidad de unidades a producir del tipo 1 y tipo 2. 4. ¿Cuánto tiene que aumentar la utilidad de la viga tipo 2 con el fin de que sea producido por la Ohio Steel? La utilidad del tipo 2 debe aumentar minimo hasta $18. Para que la Ohio empieza a producirlo. X1=0 X2=66.66667 Z = 1200 5. Si tuviera oportunidad de incrementar la cantidad de horas en trabajo de máquina, ¿en cuántas horas lo incrementaría? (Sin cambiar el sistema de producción actual). NO INCREMENTARIA LAS HORAS POR QUE EL RECURSO NO ES EL CRITICO. 6. Si tuviera oportunidad de incrementar la cantidad de horas de finalización, ¿en cuántas unidades lo incrementaría? (Sin cambiar el sistema de producción actual). Se podría aumentar hasta un máximo de 600 horas disponibles, ya que el otro recurso apartir de este punto escasea. X1=300 X2=0 Z = 3600 7. La compañía tiene una disponibilidad semanal de 300 horas de trabajo máquina. Suponga que puede obtener 50 horas adicionales de trabajo máquina sin ningún costo extra. ¿La compañía debería adquirir las 50 horas adicionales de trabajo máquina? ¿Cuál sería la nueva solución y utilidad? Explique claramente su respuesta.
- 4. NO DEBE ADQUIRIR LAS HORAS ADICIONALES POR QUE EL RECURSO NO ES EL CRITICO. 8. La compañía tiene una disponibilidad semanal de 200 horas de trabajo de finalización. Suponga que puede obtener 30 horas adicionales a un costo extra de $2,5 por hora. ¿La compañía debería adquirir las 30 horas de trabajo de finalización adicionales? ¿Cuál sería la nueva solución y utilidad? Explique su respuesta. COSTO DE IMPLEMENTAR LAS 30 HORAS ADICIONALES 2.5 ∗ 30 = 70 UTILIDAD CON LAS 30 HORAS ADICIONALES Z=1380 UTILIDAD DE DIFERENCIA ANTES Y DESPUES DE LAS 30 HORAS. 1380 − 1200 = 180 UTILIDAD REAL 180 − 70 = 110 ES RENTABLE ADICIONAR LAS 30 HORAS AL TRABAJO DE FINALIZACION. Ejercicio 5. La Montana Silver Corporation (MSC) produce tres tipos diferentes de juegos de plata para Té para comercializar: un juego de lujo llamado el Hanover; un juego regular, el Concord; y un juego económico, el Manchester. El departamento de mercadeo de la MSC ha hecho una encuesta de mercado para determinar el número esperado de juegos, que puede ser razonable producir para vender cada mes. Los resultados de la entrevista hicieron concluir que la probabilidad de venta de más de 150 Hanover al mes es muy pequeña. Sin embargo, tantos juegos de Concord y Manchester pueden ser producidos como vendidos. Cada uno de estos juegos requiere oro, plata y plomo. La MSC compra oro y plomo de proveedores externos a un costo de $130 y $0,60 por onza. El costo de producción de la plata de la MSC es estimado en alrededor de $45 por onza. Un Hanover terminado requiere 2 onzas de oro, 6 onzas de plata y 300 onzas de plomo. Un Concord terminado requiere 1,5 onzas de oro, 4 onzas de plata y 250 onzas de plomo. Un Manchester terminado requiere 1 onza de oro, 2 onzas de plata y 200 onzas de plomo. La provisión mensual de los metales está limitada a 100 onzas de oro, 700 onzas de plata y 5000 onzas de plomo. La MSC es solamente uno de los muchos productores de juegos similares al Hanover, Concord y Ma nchester, y además tiene que vender estos juegos a un precio establecido por el mercado. Actualmente, el Hanover puede ser vendido a $2010 por juego, el Concord a $1525 el juego, y el Manchester a $1040 el juego.
- 5. El siguiente modelo de PL describe el problema de producción de la MSC. 1. La MSC desea averiguar cuántos juegos de cada tipo producir para maximizar las utilidades mensuales. 2. La compañía tiene una disponibilidad mensual de 100 onzas de oro. Suponga que puede obtener 20 onzas de oro adicionales sin ningún costo extra. ¿La compañía debería adquirir las 20 onzas adicionales? ¿Cuál sería la nueva solución y utilidad? Explique claramente su respuesta. El adquirir las 20 onz adicionales de oro no afectaría para nada la cantidad de unidades a producir, ya que el recurso crítico es el plomo 3. La compañía tiene una disponibilidad mensual de 5000 onzas de plomo. Suponga que puede obtener también 1000 onzas adicionales de plomo sin ningún costo extra. ¿La compañía debería adquirir las 1000 onzas adicionales de plomo? ¿Cuál sería la nueva solución y utilidad? Explique su respuesta.
- 6. Si también se adquieren 1000 onzas de plomo, s podrían producir 20 unidades de juegos hanover, ya que es el que representa la mayor utilidad 4. ¿Cuánto debería estar dispuesta la MSC a pagar, por encima del costo normal, por una onza adicional de oro? No debería comprar más oro ya que no representa escases. 5. ¿Cuánto debería estar dispuesta la MSC a pagar, por encima del costo normal, por una onza adicional de plomo? 6. La utilidad unitaria de la Hanover es de $1300. ¿Cuánto puede cambiar la utilidad unitaria de la Hanover para que no cambie la solución actual? Máximo se puede cambiar la utilidad unitaria hasta $1201 para que la cantidad a producir se mantenga 7. ¿Cuánto tiene que aumentar la utilidad de la Concord para que sea producido por la MSC? La utilidad de concord debe subir $84 para un total de $1084, dejando una producción de 20 unidades para una utilidad de $21.680
- 7. 8. Si tuviera oportunidad de incrementar la cantidad de onzas de plomo disponibles, ¿en cuántas onzas lo incrementaría? (Sin cambiar el sistema de producción actual). Aumentaría la cantidad de plomo en 15000 onzas ya que en este punto la cantidad de oro también llegaría a su límite.
- 8. Ejercicio 7.Considere el siguiente problema de PL: Maximizar: Z = 2X1 - X2 + X3 Sujeto a 3X1 + X2 + X3 ≤ 60 (recurso 1) X1 - X2 + 2X3 ≤ 10 (recurso 2) X1 + X2 – X3 ≤ 20 (recurso 3) X1 , X2 , X3 ≥ 0 1. Para la solución óptima del problema de PL se fabricarían __15__ unidades de X1, __5__ unidades de X2, y __0__ unidades de X3, dando como resultado una utilidad máxima de __25__. Para esta solución habrá __10__ unidades del recurso 1 que no se utilizarán, __0__ unidades del recurso 2 que no se utilizarán, y __0 __ unidades del recurso 3 que no se utilizarán. 3푥1 + 푥2 + 푥 3 ≤ 60 3(15) + (5) + (0) ≤ 60 50 ≤ 60 10 푥 1 − 푥 2 + 2푥 3 ≤ 10 15 − (5) + 2(0) ≤ 10 5 ≤ 10 5 푥 1 + 푥 2 − 푥 3 ≤ 20 15 + (5) − (0) ≤ 20 20 ≤ 20 0 2. De manera similar, si existiera disponible una unidad más del recurso 2, estaríamos dispuestos a pagar un precio adicional de $_1.5_ ya que es el valor máximo para mantener la utilidad anterior. 3. Si se obtuvieran cinco unidades adicionales del recurso 2 al precio original, los nuevos valores de X1, X”, X3 y Z serían: X1= ____17.5___ , X2 = ____2.5____ , X3 = ____0____ , Z = ____32.50____ .
- 9. 4. ¿Cuánto tendría que aumentar la utilidad de X3 para que estuviéramos dispuesto a fabricarlo? La utilidad de X3 debe aumentar en $0.6, esto daría la posibilidad de producir X1= 10; X2=20; X3=10, con un Z=26 5. ¿Cuánto podría cambiar la utilidad de X2 antes de que afectara la tabla óptima? Aumentar en ____0.1____ y disminuir en ___-0.1_____. 6. ¿Cuánto puede cambiar la disponibilidad del recurso 3 sin afectar la tabla óptima? Aumentar en ____0.5____ y disminuir en _____0_____. 7. La utilidad unitaria de X1 de $2. ¿Cuánto puede cambiar la utilidad unitaria de X1 sin que cambie la solución actual? Aumentar en ____∞____ y disminuir en ___0.9_____. 8. ¿Cuál sería la nueva solución si la utilidad unitaria de X1 aumentara hasta $4 por unidad? X1= 15 X2= 5 X3=0 Z= 55
- 10. Ejercicio 9. Considere el siguiente problema de PL: Maximizar: Z = -X1 + 3X2 - 3X3 Sujeto a 3X1 - X2 + 2X3 ≤ 7 (recurso A) -2X1 + 4X2 ≤ 12 (recurso B) -4X1 + 3X2 + 8X3 ≤ 10 (recurso C) X1 , X2 , X3 ≥ 0 1. Termine de llenar la tabla. Si esta tabla es óptima, responda las preguntas que aparecen enseguida; si no lo es, lleve a cabo el pivoteo (continúe el procedimiento) para encontrar la tabla óptima y después responda las siguientes preguntas: El problema ya tiene solución óptima no es necesario hacer pivoteo 2. Para la solución óptima del problema de PL se fabricarían __4__ unidades de X1, __5__ unidades de X2, y ____0____ unidades de X3, dando como resultado una utilidad máx ima de ____11____. Para esta solución habrá ____0____ unidades del recurso 1 que no se utilizarán, ___0______ unidades del recurso 2 que no se utilizarán, y ___11__ unidades del recurso 3 que no se utilizarán. 3. Si se cambiara a 12 la cantidad del recurso A, ¿qué efecto tendría esto sobre las utilidades? ¿En qué forma se modificaría la solución óptima? Se fabricarían __6__ unidades de X1, __6__ unidades de X2, y ____0____ unidades de X3, dando como resultado una utilidad máxima de ____12____. 4. ¿Cuánto puede cambiarse el recurso B, en cualquier dirección? Máximo hasta__34__. 5. ¿Cuál es el sobrecosto que usted estaría dispuesto a pagar por una unidad adicional del recurso C? No estaría dispuesto a tener una unidad más del recurso C ya que este recurso no es el crítico. 6. ¿Cuánto tendría que aumentar la utilidad de X3 para que pudiera incluirse en la base óptima? En cuatro unidades para tener 1X3 7. Si existieran 10 unidades adicionales disponibles del recurso B sin ningún costo extra, ¿se deberían adquirir estas unidades adicionales del recurso 2? Si su respuesta es afirmativa, ¿cuál sería la nueva solución y la nueva utilidad? Explique claramente su respuesta. Si porque Se fabricarían __5__ unidades de X1, __8__ unidades de X2, y ____0____ unidades de X3, dando como resultado una utilidad máxima de ____19____.
- 11. 8. ¿Cuál sería la nueva solución si la utilidad unitaria de X2 aumentara hasta $5 por unidad? Se fabricarían __6__ unidades de X1, __6__ unidades de X2, y ____0____ unidades de X3, dando como resultado una utilidad máxima de ____12____. 9. Si existieran unidades adicionales disponibles del recurso B con un costo superior (por encima del normal) de $0,5 ¿cuántas unidades compraría usted?
- 12. Ejercicio 11. (Métodos cuantitativos para los negocios. Anderson, Sweeney & Williams) Par es un pequeño fabricante de equipo y accesorios de golf cuyo distribuidor lo convenció de que existe un mercado tanto para la bolsa de golf estándar como para el modelo de lujo. Un análisis de los requerimientos de fabricación dio como resultado la tabla siguiente que muestra las necesidades de tiempo (en horas) de producción para las tres operaciones de manufacturas requeridas, y la estimación de la utilidad por bolsa. Corte Costura Terminado Utilidad Bolsa estándar 3/4 1/2 2 $10 Bolsa de lujo 1 1 1 $9 El director de manufactura estima que durante los siguientes tres meses estarán disponibles 630 horas de tiempo de corte, 600 horas de tiempo de costura y 708 horas de tiempo de terminado para la producción de las bolsas de golf tanto estándar como de lujo. Si la empresa desea maximizar la contribución total a la utilidad, ¿cuántas unidades de cada modelo deberá fabricar? Un modelo de P.L. para optimizar las utilidades de la compañía es: X1= bolsas de golf estándar a producir X2= bolsas de golf de lujo a producir Maximizar Z= 10X1 + 9X2 Sujeto a 0,75X1 + X2 ≤ 630 0,50X1 + X2 ≤ 600 2X1 + X2 ≤ 708 X1, X2 ≥ 0 1. Para la solución óptima del problema de PL se fabricarían ____72____ bolsas de golf estándar y ___564______ bolsas de golf de lujo, dando como resultado una utilidad máxima de ___5796_____. Para esta solución habrán ___0_____ horas en la operación de costura que no se utilizarán, _____12____ horas en operación de corte que no se utilizarán, y _____0____ horas en operación de terminado que no se utilizarán.
- 13. 2. El departamento de contabilidad revisa su estimación de contribución a la utilidad para la bolsa de lujo a $18 dólares por bolsa. ¿En qué afecta esto a la solución del problema? Explique y justifique claramente su respuesta. En la solución no afecta la cantidad de unidades a producir pero si cambia la utilidad final obtenida 10푥1 + 18푥2 =? 10(72) + 18(564) = 10872 3. ¿Cuál es el sobrecosto que usted estaría dispuesto a pagar por una hora adicional de la operación de terminado? 4. Aparece disponible una nueva materia prima de bajo costo para la bolsa estándar, y la contribución a la utilidad por bolsa estándar puede incrementarse a $20 dólares por bolsa (suponga que la contribución a la utilidad de la bolsas de lujo sigue siendo $9 dólares). ¿En qué afecta esto a la solución del problema? Explique y justifique claramente su respuesta. Se dejaría de producir la bolsa de lujo. 5. Se puede obtener nuevo equipo de costura que incrementaría la capacidad de la operación de costura a 700 horas. ¿En qué afecta esto a la solución del problema? Explique y justifique claramente su respuesta.
- 14. Cambiarían las unidades a producir de cada tipo d bolsa X1= bolsas de golf estándar a producir =63.2 X2= bolsas de golf de lujo a producir = 582.6 Z= 5875.4 6. Si existieran 50 horas adicionales en terminado sin ningún costo extra, ¿se deberían adquirir estas horas adicionales en terminado? Si su respuesta es afirmativa, ¿cuál sería la nueva solución y la nueva utilidad? Explique claramente su respuesta. Si tomaría las 50 horas adicionales en el terminado ya que aumentarían las unidades a producir de cada tipo de bolsa. 7. Si se pudieran adquirir 10 horas adicionales en la operación de corte con un costo superior (por encima del normal) de US$1,5 ¿cuántas horas adquiriría usted? Explique y justifique claramente su respuesta. No adquiriría ninguna ya que esta es dependiente de las horas de costura.