Mod 01 pp

Autor: Antonio Pérez Estadística Experimental 1
Mód. 1 Objetivos de aprendizaje
Conceptuar la construcción de modelos para
interpretar fenómenos de la realidad.
Interpretar la diferencia entre modelos determinísticos
y modelos probabilísticos.
Interpretar los conceptos de experimentos,
magnitudes, instrumentos y unidades de medida.
Revisar los conceptos de probabilidad, estadística,
poblaciones y muestras.
Explicar los conceptos de espacios muestrales y
calcular probabilidades en situaciones simples.

No conocemos la realidad, sólo modelos
que nos ayudan a interpretarla.
Para comprender los fenómenos de la realidad nos
valemos de modelos. los modelos pueden ser
mentales, expresiones verbales o algoritmos
matemáticos.
Conciente o inconscientemente utilizamos los
modelos para la toma de decisiones en presencia de
incertidumbre.
Mód. 1 Experimentos y Modelos

A partir de la experimentación y como resultado de
observaciones, obtenemos datos de la realidad, con los
cuales construimos modelos que nos ayudan a
interpretarla.
Una vez que disponemos de un modelo del sistema bajo
estudio, sólo resta ponerlo a prueba para comprobar que
interpreta correctamente la realidad, y si fuera el caso,
realizar mas experimentación, obtener nuevos datos e
introducir correcciones, volver a poner a prueba el nuevo
modelo, etc. hasta lograr un modelo satisfactorio. La Fig.
1.1 describe este proceso.

Fenómenos
de la
realidad
Modelo
Observación
Experimentos
Mediciones
Datos de la realidad
Resultados del modelo
Fig. 1.1: Interpretación de los fenómenos de la realidad. Construcción y
mejoramiento de modelos

Una vez que se cuenta con un modelo satisfactorio, el
mismo puede ser utilizado para la toma de decisiones o
pronóstico de resultados. Ver Fig. 1.2
Modelo
Información
Resultados
Fig. 1.2: Obtención de resultados a partir de
ingreso de información al modelo.
Modelo
Información
Resultados
Modelo
Información
Resultados
Fig. 1.2: Obtención de resultados a partir de
ingreso de información al modelo.

Los modelos matemáticos son idealizaciones, los
fenómenos de la realidad son siempre mas complejos.
La ciencia no define la verdad, utiliza experimentos para
contestar interrogantes.

Los elementos constituyentes de los modelos
matemáticos son magnitudes (masa, tiempo, densidad,
etc.) y constantes como por ej. π (pi).
Para obtener el valor de una magnitud debemos medirla
y para medirla necesitamos un instrumento y una
unidad de medida.

Instrumentos de medición: Pueden ser analógicos o digitales y de distinta precisión
Mód. Instrumentos y mediciones

La medida de una magnitud se expresa con un número
seguido por la unidad de medida utilizada.
El proceso de medir está inevitablemente asociado a
errores o incertidumbres que surgen como consecuencia
del tipo de instrumento utilizado, variaciones del entorno
y del operador. Por esta razón, a las magnitudes se las
denomina “magnitudes aleatorias” o “variables”.
Mód. Instrumentos y mediciones

Ejemplos de algunas magnitudes básicas y unidades en el
sistema internacional (SI), se muestran en la tabla siguiente:
Magnitud Unidad
Nombre Símbolo
Longitud metro m
Masa kilogramo kg
Tiempo segundo s
Temperatura kelvin K
Cantidad de materia mol mol
Mód. Sistema internacional de medida

h = 1/2 g t2
t = raiz (2h/g)
ó
Experimento 1.1. Caída libre de un cuerpo.
Una naranja y un juego de pesas caen a
la misma velocidad.
Mód. Experimentos y modelos

A partir del experimento de Galileo:
1) Podemos predecir por ej. el tiempo de caída de un cuerpo
cualquiera, conociendo la altura y la aceleración de la gravedad
del lugar.
2) Este modelo sólo funciona en el vacío, para condiciones
diferentes requiere ser modificado.

h
h, m t, seg
4.9 1
19.6 2
44.1 3
78.4 4
122.5 5
176.4 6
Caída libre (h= 1/2 x g x t^2)
0
50
100
150
200
0 1 2 3 4 5 6 7
t, s
h,m
1. Dejo caer una piedra de una altura determinada y deseo saber
cuanto tarda para llegar al suelo.
Modelo:
h = 1/2 x g x t2

Los modelos pueden perfeccionarse para extender
su utilización.

Por ej., un modelo para predecir
el tiempo de caída de un cuerpo
inmerso en un fluido, deberá
incluir factores de corrección que
tengan en cuenta la forma del
objeto, su densidad, las
propiedades del fluido, la
temperatura, turbulencia
generada, etc. etc.

P
T
V
Experimento 1.2. Comportamiento de los gases.
PV = nRT

Experimento 1.3. Tirar un dado legal y observar el número que aparece
en la cara superior.
Al realizar el experimento se comprueba que se obtienen
aleatoriamente los resultados 1 ó 2 ó 3 ó 4 ó 5 ó 6.

V mA
1 0.1
2 0.2
3 0.3
4 0.4
5 0.5
6 0.6
Experimento 1.4. Modifico la tensión en un circuito eléctrico y
deseo conocer como cambia la corriente en el mismo.
+
I
R
V
I = V / R (R= 10000 ohms)
0
0,2
0,4
0,6
0,8
0 1 2 3 4 5 6 7
V, volt
I,mA
El modelo está dado por la “ley de Ohm”
I = V / R
donde: I = corriente en ampers
V = tensión en volts
R = resistencia en ohms

Experimento 1.5. Arrojar una moneda. Predecir el número de
caras o cruces al arrojar la moneda 4 veces.
Al realizar el experimento observamos resultados aleatorios de: 0, 1,
2, 3, ó 4 caras ó 0, 1, 2, 3, o 4 cruces.

Los modelos obtenidos en los experimentos de caída libre de
cuerpos, comportamiento de los gases y variación de tensión
en un circuito eléctrico permiten determinar el valor de una
variable a partir del conocimiento de otras. Se llaman:
Modelos
DETERMINÍSTICOS
Aunque los modelos determinísticos permiten hacer
predicciones de resultados, contienen elementos aleatorios,
omnipresentes, provenientes del proceso de medición.

Los experimentos de tirar un dado y arrojar
una moneda, son totalmente aleatorios. A
este tipo de modelos se los denomina:
Modelos
PROBABILÍSTICOS

Experimento 1.3: Se lanza un dado y se anota el número
que aparece en la cara superior.
1
2
3
4
6
5
Espacio muestral S
S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
En aquellos experimentos en los cuales el resultado no puede predecirse con
certeza, se define “espacio muestral” al conjunto de todos los resultados
posibles de obtenerse.
Mód. 1 Espacio muestral

1
2
3
4
0
Espacio muestral S
S = {0, 1, 2, 3, 4}
Experimento 1.5:
Se arroja una moneda cuatro veces y se cuenta el número
total de caras obtenidas.

Experimento 1.6:
Se arroja una moneda cuatro veces y se anota la
sucesión de caras (C) y cecas (X).
CCXX
XXXC
XXCX
XCXX
CXXX
CXCX
CXXCCCCX
XCCXCCXC
XCXCCXCC
XXXXXXCCXCCCCCCC
S = { }

Experimento 1.7:
Se fabrica polímero en una línea de producción y se desea conocer
el número lotes defectuosos producidos en 24 hs.
El espacio muestral S será:
S = {0, 1, 2,...,N} ,
donde, N es el número de lotes producidos en el día.

Suceso o evento:
Subconjunto de resultados del espacio muestral.
1
2
3
4
6
5
Espacio muestral S
Suceso
1
2
3
4
6
5
Espacio muestral S
Suceso
Elemental
Mód. 1 Sucesos ó Eventos

1
2
3
4
6
5
Espacio muestral S
Suceso
El conjunto formado por todos
los elementos del espacio
muestral también es un suceso.
Y también lo es el conjunto
vacío.
Mód. 1 Sucesos ó Eventos

¿Cómo podemos saber si la posibilidad de que ocurra un suceso es
grande o pequeña?
Para ello necesitamos un número asociado con cada suceso, al
cual se lo denomina “probabilidad del suceso”.
La probabilidad p de un suceso es un número entre 0 y 1 que nos
dice en que medida es posible que ocurra el suceso.
Si p= 1 Significa que el suceso ocurrirá con toda certeza.
Si p= 0 Significa que el suceso no ocurrirá, es un suceso imposible.
Mód. 1 Probabilidad

¿Cómo podemos calcular la probabilidad de ocurrencia de un
determinado suceso?
Si  El espacio muestral es finito.
Si  Todos los sucesos elementales tienen la misma
probabilidad de ocurrencia.
El cálculo es sencillo:
p = Nro. de sucesos favorables / Nro. total de sucesos

Ej. 1.1 ¿Cuál es la probabilidad de ganar si apostamos, al tirar un
dado, que saldrá un número menor o igual a 4?
1
2
3
4
6
5
Espacio muestral S
Suceso
p= 4/6= 0.666

Ej. 1.2 ¿Cuál es la probabilidad de ganar si apostamos, al tirar un
dado, que saldrá un número 3 ó un número 4?
1
2
3
4
6
5
Espacio muestral S
Suceso
p= 2/6 = 1/3 = 0,333
1
2
3
4
6
5
Espacio muestral S
Suceso
p= 2/6 = 1/3 = 0,333p = 2/6 = 1/3 = 0,333

La probabilidad de que ocurra uno u otro de dos sucesos
excluyentes es igual a la suma de las probabilidades de esos
sucesos:
p(A + B) = p(A) + p(B) ec. 1.1
En general para mas de dos sucesos excluyentes la ec. 1.1
puede generalizarse como :
p(A + B +...+J) = p(A) + p(B) + ... + p(J)

Ej. 1.3. Ahora deseamos calcular cual es la probabilidad de acertar
que saldrá un 3 en el dado de color verde y un 4 en el dado de color
azul, al tirar ambos dados una vez. 4?

En este caso, el espacio muestral tiene 36 sucesos posibles
de los cuales sólo uno es favorable como se muestra en la
tabla siguiente (en color amarillo):
Sucesos al arrojar dos dados.
1 2 3 4 5 6
1 11 12 13 14 15 16
2 21 22 23 24 25 26
3 31 32 33 34 35 36
4 41 42 43 44 45 46
5 51 52 53 54 55 56
6 61 62 63 64 65 66

Por lo tanto, si A = 3 en el dado verde y B = 4 en el dado azul:
p(A y B) = p(A) x p(B) = 1/6 x 1/6 = 1/36
La probabilidad de que aparezcan simultáneamente dos sucesos
independientes es igual al producto de las probabilidades de estos
sucesos:
p(AB) = p(A) x p(B) ec. 1.2
En general para mas de dos sucesos independientes la ec. 1.2
puede generalizarse como :
p(AB...J) = p(A) x p(B) x ... x p(J).

En cualquier caso se cumplirá que:
La probabilidad de un suceso cierto es igual a 1.
La probabilidad de un suceso imposible es igual a 0.
La probabilidad de un suceso posible queda expresada por
un número entre 0 y 1.
La suma de las probabilidades de todos los sucesos
posibles es igual a 1 (Σpi = 1).
Σpi = 1 ec. 1.3

En muchos casos, nuestros experimentos pueden generar un número
muy grande de datos o resultados. El espacio muestral tendrá así un
número muy grande o infinito de elementos.
A estos conjuntos con un número muy grande se datos los
conceptuamos como Universo o Población de observaciones.
Universo o Población
Cada dato numérico es un
elemento de la población.
Una muestra es un
subconjunto pequeño de
observaciones extraídas de
una población.
Mód. 1 Población y Muestra

La muestra es una porción de la población a la que tenemos acceso.
Los resultados analíticos sobre una muestra no es el objetivo final.
El proceso estadístico está dirigido a conocer aspectos de la población
a partir de los resultados obtenidos sobre muestras de ella.
Ej: Si tomamos 5 muestras de 100 g c/u de un lote de 100 tn y la
sometemos a análisis. Disponemos de cinco resultados analíticos.
Nuestra muestra estadística es de cinco resultados o datos. Nuestra
población, sin embargo, es de infinitos resultados que podrían ser
obtenidos tomando infinitas muestras de 100 g y sometiéndolas a
análisis. Lo que nos proponemos es saber como es la población a
partir de los datos obtenidos con una muestra. Este es el propósito de
la estadística.
Mód. 1 Estadística y Probabilidad

Población o Universo
Muestra
Estadística
Evaluar la población a partir de los datos obtenidos de una muestra de ella.
Probabilidad
Evaluar la muestra a partir del conocimiento de la población de la cual
proviene.
Mód. 1 Estadística y Probabilidad

Mód. 1 Fin

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