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Probabilidad y Estadística
Fecha: del 04 al 08 de marzo de 2019
Bloque 4
Analizas la teoría de conjuntos y sus aplicaciones

S2-INTRODUCCIÓN A LA TEORÍA DE LA PROBABILIDAD
Breve historia del desarrollo de la Probabilidad.
El mundo se rige por múltiples situaciones en las que se involucra el azar. Los eventos que involucran al ser
humano o a los fenómenos naturales que caracterizan al mundo actual y a su dinámica social, no pueden ser
predeterminados; es decir, no se puede saber de antemano qué resultado dentro de los posibles va a suceder.
Desde la antigüedad, los juegos de azar han interesado al hombre; se sabe que el uso de las tabas es tan antiguo
como la humanidad y parece ser el antecesor de los dados y de la ruleta. El cálculo de probabilidades inició muy
lentamente a formar parte del campo de las matemáticas.
El primer documento conocido donde se analizan los juegos de azar en forma sistemática fue escrito por
Gerolamo Cardano “Liber de ludo aleae”, alrededor de 1521. Galileo Galilei, se interesó por lo juegos de azar y
escribió un folleto titulado “Sopra le scopere dei dadi” publicado en 1718. Pero la Probabilidad como teoría, se
origina en la mitad del siglo XVII, asociando los trabajos de Christian Hygens, Blasie Pascal, Pierre y James
Bernoulli.
Hygens se destaca por su obra: “De Ratiocinitis in ludo aleae”, primer trabajo publicado sobre juegos de azar.
Posteriormente aplicó su teoría a la esperanza de vida humana.

Algunos de los trabajos más importantes de James Beroulli fueron publicados póstumamente en 1713 en al
obra “Ars Conjectandi” que, entre otros tópicos, contiene su teoría de las permutaciones y combinaciones, y
sus escritos sobre probabilidades. Esta obra es considerada como el comienzo de la teoría de las
probabilidades. El desarrollo de los métodos analíticos de esta teoría, se deben a:
a)Abraham De Moivre quien publicó en 1718 su obra “Doctrine of Chances” y en 1733 “Approximato ad
summan Terminorum Binomii (a+b)n in Seriem Expansi” obra que algunos consideran el descubrimiento de
la curva normal.
b)Pierre Simon Laplace, se considera que su contribución fundamental al campo de las probabilidades y la
estadística fue el desarrollo del llamado Teorema Central del Límite, publicado en 1809.
c)Karl Friedrich Gauss aporta dos grandes obras, una de ellas “Teoría combinationis observationum
erroribus minimis obnoxia”, referente a la teoría de los mínimos cuadrados, y su trabajo con la distribución
normal.
Desde la mitad del siglo XIX hasta la segunda década del siglo pasado, esta teoría fue impulsada por el
trabajo de científicos rusos, entre ellos Andrei Nikolaevich Kolmogorov.

Los precursores de esta escuela fueron Tchebyshev, Andréi Andréievich Markov y Aleksandr Mikhailovich
Lyapunov, pero fue Kolmogorov el máximo exponente de este movimiento, éste evaluó en su primer trabajo,
los estudios sobre probabilidades efectuados entre los siglos XV y XVI, apoyándose en los trabajos de Thomas
Bayes.
En 1927, una vez completas sus investigaciones sobre suficiencia y condiciones necesarias de la ley de los
grandes números, iniciada por James Bernoulli. En 1930 se hace eco de la Ley Fuerte de los grandes números
de Cantelli y trabaja para mejorarla y generalizarla. En 1950 finaliza uno de los trabajos más importantes en
Estadística.
Los principales exponentes de la escuela estadounidense especializada en esta rama son William Feller, quien
se destacó por sus numerosos estudios acerca del teorema central del límite, de igual manera sobresale
Nortber Wiener, quien desarrolló una medida de las probabilidades para conjuntos de trayectorias que son
diferenciables en ningún punto, asociando una probabilidad a cada conjunto de trayectorias.
La escuela francesa se formó con Meyer y su grupo de Estrasburgo y también con Nevev y Fortret de París,
aunque sin duda sobresale la figura de Paul Levy. Los estudios más importantes referidos a este movimiento,
se remiten a Laurent Schwartz que generaliza el concepto de diferenciación utilizando la teoría de las
distribuciones. Esta aportación fue de vital importancia, ya que en la actualidad no es posible dar
explicaciones rigurosas de probabilidad sin utilizar estos conceptos.

Experimentos deterministas y aleatorios.
Experimento o fenómeno determinista es aquel cuyo resultado se puede predecir, como consecuencia se tiene
siempre el mismo resultado, ejemplos:
•Al lanzar un objeto hacia arriba, seguramente caerá.
•Al día martes le antecede el día lunes.
•Si se mezclan dos átomos de hidrógeno con uno de oxígeno, se forma una molécula de agua.
Experimentos o fenómenos aleatorios.
Son aquellos que no se pueden predecir o asegurar. Estos fenómenos dan lugar a varios resultados sin que se
pueda asegurar cuál de ello se presentará. Ejemplos:
•El lanzamiento de un dado.
•Los sorteos de la Lotería Nacional.
•El resultado de un partido de futbol.
•Elegir al azar una carta de una baraja americana.
En el estudio de la Probabilidad, se dice que cualquier observación o medida de un fenómeno aleatorio es un
experimento, los efectos posibles del experimento se llaman resultados, y el conjunto de todos los posibles
resultados se conoce como especio muestral, el cual se simboliza con la letra S.

El espacio muestral es el homólogo al Universo en la teoría de conjuntos. Ejemplos: Experimento:
Lanzamiento de dos monedas ( $1 y $5)
S = { aa, ss, as, sa }
Donde:
a: cae águila.
s: cae sello.
Acontecimiento aleatorio: Resultados de dos juegos de futbol de la selección mexicana. S = {gg, gp, pg, ge,
eg, pe, ep, pp, ee}
Donde:
g: la selección gana. p: la selección pierde. e: la selección empata

Eventos deterministas y eventos aleatorios.
Se llama evento al resultado de cualquier experimento. Un evento determinista es el resultado de un
experimento determinista y un evento es aleatorio cuando es el resultado posible de un experimento
aleatorio; es decir, evento aleatorio es cualquier subconjunto de resultados del espacio muestral.
Tipos de eventos:
Evento simple: Es cada resultado individual de un experimento.
Evento compuesto: Son aquellos que se componen de dos o más resultados del experimento.
Ejemplo 1:
Experimento: Lanzamiento de dos dados. El espacio muestral es:

Se consideran los siguientes eventos referentes a los puntos:
A: Caiga el número 5 en ambos dados.
Los resultados del espacio muestral que satisfacen el evento A son los siguientes:
A={(5, 5)}, la cantidad de elementos de A es 1, es decir, n(A)=1, la cual representa la cardinalidad del
conjunto.
B: La suma es 10
B = {(5,5), (6, 4 ), (4, 6)} n(A)=18,
C: La diferencia entre el mayor y el menor sea 2.
C= {(3, 1), (4, 2 ), (5, 3), (6, 4 ), (1, 3), (2, 4 ), (3, 5 ), (4, 6)} n( B ) = 8
D: El producto de los números es 12.
D = {(3, 4), (4, 3 ), (2, 6), (6, 2 ),} n( C ) = 4
El evento A es simple y los eventos B, C y D son compuestos.

Eventos especiales.
Evento seguro: Es aquel evento que contiene todos los posibles resultados del experimento aleatorio; es
decir coincide con el espacio muestral.
Evento imposible o nulo: Es aquel que carece de resultados, es el equivalente al conjunto vacío.
El complemento de un evento: Es aquel evento que contiene todos los resultados que no tiene el evento
del cual es complemento.
Eventos mutuamente excluyentes: Dos eventos son mutuamente excluyentes si no pueden ocurrir en
forma simultánea, esto es, si y sólo si su intersección es vacía.
Ejemplo:
Experimento: Lanzamiento de un dado.
Un evento seguro es A: Caiga número par o impar.
Un evento imposible para este experimento es B: Caiga un número negativo.
Un evento C: Caiga número menor a 3, tiene como complemento Cc: Caiga número mayor o igual a 3.
Dos eventos mutuamente excluyentes son: P: Caiga número primo y Q: Caiga número que tenga más
divisores.

Cálculo de probabilidades.
La probabilidad de un evento, siendo ésta una medida numérica de la posibilidad de ocurrencia del evento, se
determina de dos maneras: empíricamente, es decir, de forma experimental o bien de manera teórica.
Veamos esto con los siguientes ejemplos:
Ejemplo 1. Se lanza al aire una moneda, determine la probabilidad de que caiga águila. No existe una razón
aparente para que una de las caras de la moneda caiga con mayor frecuencia que la otra ( a la larga ), de modo
que normalmente supondremos que águila y sello son igualmente probables. Esto se enfatiza diciendo que la
moneda es “legal”.
En este caso el espacio muestral es S = {águila, sello} y el evento cuya probabilidad buscamos es A = {águila}.
Como uno de los dos resultados es águila, la probabilidad es el cociente de 1 y 2.
Probabilidad (águila) = ½
De manera simbólica podemos expresar esto como:
P( A ) = ½

Ejemplo 2. Se lanza al aire una taza de plástico, determine la probabilidad de que caiga hacia arriba.
Intuitivamente, es probable que una taza caiga de lado mucho más veces que hacia arriba o hacia abajo.
Pero no queda claro exactamente qué tan frecuentemente. Para tener una idea, se realiza el experimento
de lanzar la taza 80 veces, cayó de lado 70 veces, boca arriba 8 veces y boca abajo 2 veces. Por la frecuencia
de veces a favor del evento de interés, concluimos que:
P(Arriba) = 8 = 1
80 10
Analizando el ejemplo 1, que implica el lanzamiento de una moneda no defectuosa, el número de
resultados posibles era evidentemente dos, ambos igualmente probables, y uno de los resultados era
águila. No se requirió un experimento real. La probabilidad deseada se obtuvo empíricamente.
Las probabilidades teóricas se aplican a toda clase de juegos de azar, lanzamiento de dados, juegos de
cartas, ruletas, loterías, entre otros.
Pierre Simon de Laplace, en su famoso trabajo llamado “Teoría Analítica de las Probabilidades”, publicado
en 1812, dio una fórmula que se aplica a cualquiera de tales probabilidades teóricas, siempre y cuando el
espacio muestral sea finito y equiprobable; es decir que contenga una cantidad determinada de resultados
todos y cada uno de ellos igualmente posibles de ocurrir que cualquiera de los otros.

Fórmula de la probabilidad teórica.
Si todos los resultados de un espacio muestral S son igualmente probables, y A es un evento en ese espacio
muestral, entonces la probabilidad teórica del evento A está dada por:
Fórmula de la probabilidad empírica.
Si A es un evento que puede suceder cuando se realiza un experimento, entonces la probabilidad empírica
del evento A está dada por:

Ejemplo 1. Se lanzan tres monedas. Determine la probabilidad de ocurrencia de cada uno de los siguientes
eventos:
a)Caigan tres sellos.
b)Caigan por lo menos dos águilas.
c)Caigan en “disparejo”
Se inicia por deducir el espacio muestral:
S = { aaa, aas, asa, saa, ass, sas, ssa, sss }
Como cada uno de los ocho resultados es igualmente posible de ocurrir que los otros siete, entonces el
espacio muestral es equiprobable.
Evento A: caigan tres sellos. Se puede observar en el espacio muestral sólo hay un resultado que favorece
(sss), por lo tanto P(A) = 1/8 = 0.125 ó 12.5%
Ahora se define el evento B: Caigan por lo menos dos águilas.
Por lo menos dos, implica que caigan dos o tres águilas, observando el espacio muestral, los cuatro
primeros resultados son favorables al evento, por lo tanto P( B ) = 4 / 8 = 0.5 ó 50%
Finalmente, sea C: Caigan en “disparejo”, es decir que no caigan todas las monedas con igual cara, se ve que
son seis los resultados favorables en el total del espacio muestral, por lo cual P( C ) = = 0.75 ó 75%

Ejemplo 2. Considera un juego que consiste en el lanzamiento de dos dados, se gana si la suma de los puntos es
7, ¿Cuál es la probabilidad de ganar?
Sea G: La suma es 7.
Anteriormente se dedujo que existen 36 posibles resultados en el lanzamiento de dos dados, cada uno
igualmente posible de presentarse, es decir, es un espacio muestral equiprobable, por tal motivo se puede
aplicar la regla de Laplace.
De los 36 resultados, podemos darnos cuenta al observar el espacio muestral que en seis resultados (3,4), (4,3),
(5,2), (2,5), (6, 1) (1,6) la suma es siete, por lo tanto:

Ejemplo 3. Al almacén de una tienda comercial llega un pedido de 30 Laptops. El inspector de calidad ignora
que 5 presentan defectos. La regla de control exige que se elija al azar un artículo y si cumple con la norma
de calidad, se acepta todo el pedido; en caso contrario se rechaza.
a)Calcular la probabilidad de que se acepten todas la Laptops.
Sea el evento K: Se acepten todas las Laptop.
El espacio muestra consta de las 12 laptop, como se elige al azar una, entonces cualquiera de las doce tiene
la misma probabilidad de ser elegida, por lo tanto el espacio muestral es equiprobable y se puede aplicar la
regla de Laplace.
b)¿Qué tan probable es que se rechacen todos los artículos?
Sea Kc: Se rechacen todas las laptop. Dado que se tienen 5 artículos defectuosos.

Regla general de la adición.
Con base a los resultados de la cardinalidad de la unión de conjuntos, se puede deducir la regla general para
la suma de probabilidades.
Si A y b son dos eventos cualesquiera, entonces:
Ejemplo 1. A una conferencia asisten 12 alumnos de primer semestre, 20 de tercero y 8 de quinto semestre.
Si se elige al azar a un estudiante, determina la probabilidad de que sea de primer o tercer semestre.
El espacio muestral consta de los 40 alumnos, como la elección es aleatoria, cada uno de ellos tiene igual
probabilidad de ser elegido, por lo que es un espacio muestral equiprobable.
Los eventos A y B se definen:
A: Sea alumno de primer semestre.
B: Sea alumno de tercer semestre.
Como A y B son eventos mutuamente excluyentes, la intersección es vacía, por lo tanto:

Propiedades de la probabilidad.
Como cualquier evento A es un subconjunto del espacio muestral, entonces n(A) ≥ 0 y al mismo tiempo
n( A ) ≤ n( S ), entonces se cumple lo siguiente:
Esto implica que la probabilidad de cualquier evento es un número entre 0 y 1 inclusive.
De lo anterior se deduce que:
Sea A un evento en el espacio muestral S, es decir A es subconjunto de S, entonces:
a)0 ≤ P( A ) ≤ 1
b)P(Ø) = 0
c)P(S) = 1

Las siguientes actividades deberás realizarlas inicialmente de manera individual, posteriormente compara tus
resultados con los demás integrantes de equipo y de manera conjunta decidan la mejor respuesta.
I.-Para cada uno de los siguientes acontecimientos, clasifícalos como aleatorio o determinista; asigna a cada uno de
ellos un número desde el 0% al 100% según consideres sea su posibilidad de ocurrencia.
Actividad 5
Acontecimiento: Tipo
(aleatorio - determinista)
Posibilidad de
ocurrencia
Que llueva la próxima semana.
Hoy es jueves 20 de noviembre.
Caiga “disparejo” al lanzar 3 monedas.
Acaban de nacer dos bebés, que
ambas sean Niñas.
Aumente mañana el valor de dólar.

Para cada uno de los siguientes experimentos construye el Espacio Muestral (Conjunto de todos los posibles
resultados) y determina para cada uno, cuál de todos los resultados es más posible que suceda en cada
experimento.
a)Lanzamiento de tres monedas.
b)Lanzamiento de un dado y una moneda.
c)Suma de los puntos al lanzar dos dados.
d)Elegir al azar dos tarjetas de una caja que contiene dos tarjetas rojas, dos blancas y dos verdes.
e)Seleccionar al azar dos números diferentes del conjunto {1, 2, 3, 4, 5} y sumarlos.
f)La inspección de tres artículos elegidos de la línea de producción y clasificarlo como bueno o defectuoso.
II.-Propongan un experimento aleatorio y escriban tres sucesos elementales y tres compuestos.
Experimento aleatorio Eventos elementales Eventos compuestos

III.-Resolver los siguientes problemas:
1.Alfonso Atinas es un novato jugador de baloncesto, las estadísticas ni están a su favor ni en contra al
momento de cobrar tiros de castigo. Durante el juego de hoy, Alfonso acaba de recibir una doble falta y el
árbitro le indica que habrá de lanzar cuatro veces la pelota a la canasta.
a)Escribe el espacio muestral, representa con “e” el resultado de encestar y con “f” el de fallar en cada
uno de los cuatro elementos que componen cada resultado, por ejemplo un resultado del espacio
muestral es e e e e .
b)¿Qué tan probable es que enceste tres tiros?
c)¿Cuál es la probabilidad de que falle dos lanzamientos?
d)¿Qué tan probable es que falle por lo menos dos tiros?
2.De 120 estudiantes, 60 estudian francés, 50 estudian español, y 20 estudian francés y español. Si se
escoge un estudiante al azar, hallar la probabilidad de que:
a)Estudie francés, español o ambos.
b)Que no estudie ni francés ni español.

3.Se selecciona una carta al azar entre 50 cartas numeradas del 1 al 50, cada una con un número
diferente. Calcula la probabilidad de que el número de la carta.
a) Sea divisible por 5.
b) Sea primo.
c) Termine en 2.
4.El club de ciencias de una escuela primaria está formado por 5 estudiantes de primero, 4 de segundo, 8
de penúltimo y 3 de último año. Se escoge un estudiante al azar. Determina la probabilidad de que el
estudiante sea
a) De segundo.
b) De último.
c) De penúltimo o de último.
5.-Se seleccionan dos números al azar de entre los dígitos del 1 al 9. Determine la probabilidad de que
ambos números seleccionados sean:
a) Pares.
b) Sean impares.

Bibliografía.
Estadistica 3era Edicion McGrawHill
Autor: Lincoln L. Chao
Estadistica 4ª. Edicion Schaum
Autor : Murray R. Spiegel y Larry J. Stephens

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