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1º Bachillerato
A
s = B + m v
r = A + l u
B
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Prueba de los Teoremas 39
Prueba del Teorema 3.1.
Expresamos los complejos mα y mβ en forma trigonom´etrica. Al operar
aparece el coseno y el seno de la suma de ´angulos:
mα · mβ =m(cos α + i sen α) · m (cos β + i sen β)
=m · m [cos α cos β − sen α sen β
+ i sen α cos β + i cos α sen β]
=m · m [cos(α + β) + i sen(α + β)]
=(m · m )α+β](https://image.slidesharecdn.com/complejos-150714224137-lva1-app6891/85/Numeros-Complejos-39-320.jpg)
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Prueba de los Teoremas 41
Prueba del Teorema 3.2.
Expresamos los complejos mα y mβ en forma trigonom´etrica. Al operar
aparece el coseno y el seno de la diferencia de ´angulos:
mα
mβ
=
m(cos α + i sen α)
m (cos β + i sen β)
=
m(cos α + i sen α)
m (cos β + i sen β)
(cos β − i sen β)
(cos β − i sen β)
(operando)
=
m
m
[cos(α − β) + i sen(α − β)]
=
m
m α−β](https://image.slidesharecdn.com/complejos-150714224137-lva1-app6891/85/Numeros-Complejos-41-320.jpg)
Numeros Complejos
- 1. MATEMATICAS 1º Bachillerato A s = B + m v r = A + l u B d CIENCIASCIENCIAS MaTEX Complejos Doc Doc Volver Cerrar Proyecto MaTEX Complejos Fco Javier Gonz´alez Ortiz Directorio Tabla de Contenido Inicio Art´ıculo c 2004 javier.gonzalez@unican.es D.L.:SA-1415-2004 ISBN: 84-688-8267-4
- 2. MATEMATICAS 1º Bachillerato A s = B + m v r = A + l u B d CIENCIASCIENCIAS MaTEX Complejos Doc Doc Volver Cerrar Tabla de Contenido 1. Introducci´on 1.1. Las potencias de i 2. Forma bin´omica de un n´umero complejo 2.1. Representaci´on gr´afica 2.2. Operaciones en forma bin´omica • Suma en forma bin´omica • Producto en forma bin´omica • Co- ciente en forma bin´omica 3. Forma polar de un n´umero complejo 3.1. Forma trigonom´etrica de un n´umero complejo 3.2. Producto en forma polar 3.3. Divisi´on en forma polar 3.4. Potencia en forma polar 3.5. Ra´ız n-´esima de un complejo Soluciones a los Ejercicios Soluciones a los Tests
- 3. MATEMATICAS 1º Bachillerato A s = B + m v r = A + l u B d CIENCIASCIENCIAS MaTEX Complejos Doc Doc Volver Cerrar Secci´on 1: Introducci´on 3 1. Introducci´on Vamos a clasificar los n´umeros como soluciones de las ecuaciones. Observa las siguientes ecuaciones: x + 3 = 8 ⇒ x = 5 tiene soluci´on en los naturales N x + 3 = 1 ⇒ x = −2 tiene soluci´on en los enteros Z 2x = 5 ⇒ x = 5 2 tiene soluci´on en los racionales Q x2 = 2 ⇒ x = ± √ 2 tiene soluci´on en los reales R Se tiene as´ı que el sistema de n´umeros se ha ido ampliando N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R Ahora observa la ecuaci´on x2 = −1 que como sabes no hay ning´un n´umero cuyo cuadrado sea negativo. En el siglo XVI “inventaron” un n´umero que cumple la ecuaci´on anterior y llamaron la unidad imaginaria, i. Es decir definimos la unidad imaginaria i como un n´umero ( no real) que cumple i2 = −1 (1)
- 4. MATEMATICAS 1º Bachillerato A s = B + m v r = A + l u B d CIENCIASCIENCIAS MaTEX Complejos Doc Doc Volver Cerrar Secci´on 1: Introducci´on 4 1.1. Las potencias de i ´Unicamente hay cuatro potencias distintas de i: i = i i5 =i4 · i = i i2 = −1 i6 =i4 · i2 = −1 i3 = i2 · i = −i i7 =i4 · i3 = −i i4 = i2 · i2 = (−1)(−1) = 1 i8 =i4 · i4 = 1 Si seguimos calculando potencias s´olo aparecen {1, −1, i, −i} As´ı por ejemplo i47 = i4·11+3 = (i4 )11 · i3 = i3 = −i Ejercicio 1. Efect´ua las siguientes potencias de i: a) i34 b) i64 c) i81 d) i107 Adem´as, ahora podemos expresar las soluciones de las siguientes ecua- ciones: x2 + 9 = 0 =⇒ x = ± √ −9 = ± √ 9 √ −1 = ±3 i x2 + 16 = 0 =⇒ x = ± √ −16 = ± √ 16 √ −1 = ±4 i
- 5. MATEMATICAS 1º Bachillerato A s = B + m v r = A + l u B d CIENCIASCIENCIAS MaTEX Complejos Doc Doc Volver Cerrar Secci´on 1: Introducci´on 5 Ejemplo 1.1. Resuelve la ecuaci´on x2 + 8x + 25 = 0 Soluci´on: Resolvemos la ecuaci´on sustituyendo √ −1 por i. x = −8 ± √ 64 − 4 · 25 2 = −8 ± √ −36 2 = −8 ± 6 √ −1 2 = − 4 ± 3 i Ejemplo 1.2. Comprueba que −4 + 3 i verifica x2 + 8x + 25 = 0 Soluci´on: Sustituimos y operamos de forma natural (−4 + 3 i)2 + 8 (−4 + 3 i) + 25 =16 − 24 i + 9 i2 − 32 + 24i + 25 =9 + 9i2 =9 + 9(−1) = 0
- 6. MATEMATICAS 1º Bachillerato A s = B + m v r = A + l u B d CIENCIASCIENCIAS MaTEX Complejos Doc Doc Volver Cerrar Secci´on 2: Forma bin´omica de un n´umero complejo 6 Estos nuevos “n´umeros” de la forma a + b i los llamamos n´umeros complejos en forma bin´omica y decimos que a es la parte real y b la parte imaginaria. Un modelo para comprenderlos consiste en representarlos en el plano 2. Forma bin´omica de un n´umero complejo 2.1. Representaci´on gr´afica Un complejo en forma bin´omica a + b i se representa mediante un vector con origen el punto O(0, 0) y ex- tremo el punto de coordenadas A(a, b). Al punto A(a, b) se le lla- ma afijo del complejo 0 a ib C a + ib Ejercicio 2. Representar los siguientes complejos en el plano: a) 3 + i b) 2 i c) −2 + 3 i d) −2 e) −2 − i f ) 2 − 2 i g) 2
- 7. MATEMATICAS 1º Bachillerato A s = B + m v r = A + l u B d CIENCIASCIENCIAS MaTEX Complejos Doc Doc Volver Cerrar Secci´on 2: Forma bin´omica de un n´umero complejo 7 2.2. Operaciones en forma bin´omica • Suma en forma bin´omica Para sumar n´umeros complejos en forma bin´omica se suman la parte real y la parte imaginaria. Ejemplo 2.1. Hallar la suma (5 + i) + (1 − 3 i) : Soluci´on: (5 + i) + (1 − 3 i) =(5 + 1) + (1 − 3) i =6 − 2 i Ejemplo 2.2. Efectuar la suma 3 · (5 + i) + 2 · (1 − 3 i) : Soluci´on: 3 · (5 + i) + 2 · (1 − 3 i) =(15 + 3 i) + (2 − 6 i) =(15 + 2) + (3 − 6) i) =17 − 3 i Ejercicio 3. Efect´ua las operaciones: a) (2 + 5 i) + (3 − 2 i) b) (2 − 2 i) + (2 + 2 i) c) (5 + i) + 2 (1 − 3 i) d) (2 − 4 i) − (3 − 3 i)
- 8. MATEMATICAS 1º Bachillerato A s = B + m v r = A + l u B d CIENCIASCIENCIAS MaTEX Complejos Doc Doc Volver Cerrar Secci´on 2: Forma bin´omica de un n´umero complejo 8 • Producto en forma bin´omica Para multiplicar n´umeros complejos en forma bin´omica se multiplican de forma algebraica natural, teniendo en cuenta que el termino i2 = −1 . Ejemplo 2.3. Hallar el producto (5 + i) · (1 − 3 i) : Soluci´on: (5 + i) · (1 − 3 i) =5 − 15 i + i − 3 i2 =5 − 15 i + i + 3 =8 − 14 i Ejemplo 2.4. Hallar el producto (2 + i) · (1 − i) : Soluci´on: (2 + i) · (1 − i) =3 − i Ejercicio 4. Efect´ua las operaciones: a) (2 + 5 i) · (3 − 2 i) b) (2 − 2 i) · (2 + 2 i) c) (5 + i) · (1 − 3 i) d) (2 − 4 i) · (3 − 3 i) e) (2 + 2 i) · (1 − 5 i) · (2 + 3 i) f ) (1 + 5 i) · (− i) − (4 + 3 i) · (4 − 3 i)
- 9. MATEMATICAS 1º Bachillerato A s = B + m v r = A + l u B d CIENCIASCIENCIAS MaTEX Complejos Doc Doc Volver Cerrar Secci´on 2: Forma bin´omica de un n´umero complejo 9 Definici´on 2.1 Llamamos conjugado de un n´umero com- plejo z = a + b i al complejo ¯z = a − b i es decir sus partes imaginarias son opues- tas. Al conjugado de z lo vamos a repre- sentar por ¯z. 0 a b −b C a + bi a − bi Ejercicio 5. Demostrar que la suma de dos n´umeros complejos conjugados es un n´umero real: Ejercicio 6. Demostrar que el producto de dos n´umeros complejos conjuga- dos es un n´umero real:
- 10. MATEMATICAS 1º Bachillerato A s = B + m v r = A + l u B d CIENCIASCIENCIAS MaTEX Complejos Doc Doc Volver Cerrar Secci´on 2: Forma bin´omica de un n´umero complejo 10 • Cociente en forma bin´omica Para dividir n´umeros complejos en forma bin´omica se multiplica numer- ador y denominador por el conjugado del denominador. Ejemplo 2.5. Hallar el cociente 3 − i 3 + i . Soluci´on: 3 − i 3 + i = 3 − i 3 + i · 3 − i 3 − i = 9 − 3 i − 3ı + i2 9 − i2 = 8 − 6 i 10 = 8 10 − 6 10 i Ejemplo 2.6. Hallar el cociente 2 + i i . Soluci´on: 2 + i i = 2 + i i · − i − i = 1 − 2 i Ejercicio 7. Hallar los cocientes: a) 2 − i 3 − i b) 3 − i 3 + i c) 5 − 2 i 3 + 2 i d) i 1 + i
- 11. MATEMATICAS 1º Bachillerato A s = B + m v r = A + l u B d CIENCIASCIENCIAS MaTEX Complejos Doc Doc Volver Cerrar Secci´on 3: Forma polar de un n´umero complejo 11 3. Forma polar de un n´umero complejo Definici´on 3.1 Un n´umero complejo z = a+b i se puede caracterizar por su m´odulo o magnitud m = |z| y por el ´angulo que determi- na con la parte positiva del eje Ox. En el gr´afico se aprecia que el m´odulo por el teorema de Pit´agoras corresponde a: m = |z| = a2 + b2 0 a ib C a + ib { |z| ϕ y el ´angulo ϕ que llamamos argumento verifica tan ϕ = b a =⇒ ϕ = arctan b a De esta forma un n´umero complejo en forma bin´omica a + b i se puede ex- presar en forma polar mϕ a + b i = m = √ a2 + b2 ϕ = arctan b a =⇒ mϕ (2)
- 12. MATEMATICAS 1º Bachillerato A s = B + m v r = A + l u B d CIENCIASCIENCIAS MaTEX Complejos Doc Doc Volver Cerrar Secci´on 3: Forma polar de un n´umero complejo 12 Ejemplo 3.1. Expresar en forma polar 1 + i : Soluci´on: Calculamos su m´odulo y su argumento. 1 + i = m = 12 + 12 = √ 2 ϕ = arctan 1 = π 4 = √ 2π 4 Ejemplo 3.2. Expresar en forma polar 2 i : Soluci´on: Calculamos su m´odulo y su argumento. 2 i = m = 02 + 22 = 2 ϕ = arctan 2 0 = π 2 = 2π 2 Ejercicio 8. Hallar el m´odulo y argumento de los siguientes complejos , represent´andolos previamente: a) 2 − 2 i b) 2 i c) −2 i d) −2 + 2 i e) 2 + 2 i f ) 2 g) −2 h) −2 − 2 i Ejercicio 9. Hallar el m´odulo y el argumento de los complejos: a) √ 6 + √ 2i b) √ 12 − 2i c) −2 + 2i Ejercicio 10. Expresar en forma polar los n´umeros complejos: a) 3 + √ 3 i b) 2 i c) −2 + 2 i
- 13. MATEMATICAS 1º Bachillerato A s = B + m v r = A + l u B d CIENCIASCIENCIAS MaTEX Complejos Doc Doc Volver Cerrar Secci´on 3: Forma polar de un n´umero complejo 13 3.1. Forma trigonom´etrica de un n´umero complejo En el dibujo se aprecia que a partir de la forma polar de un n´umero complejo, podemos calcular su parte real y su parte imaginaria, pues a = m cos ϕ b = m sen ϕ 0 m cosϕ m senϕ C a + ib m ϕ Se llama la expresi´on trigonom´etrica mϕ =⇒ m(cos ϕ + i sen ϕ) (3) Ejemplo 3.3. Expresar en forma trigonom´etrica 1 + i : Soluci´on: Calculamos su m´odulo y su argumento. 1 + i = m = 12 + 12 = √ 2 ϕ = arctan 1 = π 4 = √ 2 cos π 4 + i sen π 4
- 14. MATEMATICAS 1º Bachillerato A s = B + m v r = A + l u B d CIENCIASCIENCIAS MaTEX Complejos Doc Doc Volver Cerrar Secci´on 3: Forma polar de un n´umero complejo 14 Ejercicio 11. Expresar en forma polar y trigonom´etrica los n´umeros com- plejos:: a) 1 + i b) −i c) √ 2 + √ 2 i Conversi´on de Bin´omica a Polar y viceversa Binomica a + b i m = √ a2 + b2 a = m cosϕ b = m senϕ ϕ = arctan b/a Polar mϕ
- 15. MATEMATICAS 1º Bachillerato A s = B + m v r = A + l u B d CIENCIASCIENCIAS MaTEX Complejos Doc Doc Volver Cerrar Secci´on 3: Forma polar de un n´umero complejo 15 Ejercicio 12. Rellenar la tabla siguiente Cartesiana Bin´omica Polar Trigonom´etrica (1, −1) √ 3 − i 3π/4 2 cos π/3 + i sen π/3 Ejercicio 13. Hallar x para que el cociente x + 3i 3 + 2i sea imaginario puro. Ejercicio 14. Hallar x para que el complejo z = 3 − 2 x i 4 + 3 i : a) Sea imaginario puro. b) Sea un n´umero real. Ejercicio 15. Hallar x para que el m´odulo de z = x + i 2 + i sea √ 2.
- 16. MATEMATICAS 1º Bachillerato A s = B + m v r = A + l u B d CIENCIASCIENCIAS MaTEX Complejos Doc Doc Volver Cerrar Secci´on 3: Forma polar de un n´umero complejo 16 3.2. Producto en forma polar Teorema 3.1. El producto de dos n´umeros en forma polar es un complejo cuyo m´odulo es el producto de los m´odulos y cuyo argumento es la suma de los argumentos mα · mβ = (m · m )α+β (4) Ejemplo 3.4. Hallar 4120o · 230o Soluci´on: 4120o · 230o = 8150o = 8(cos 150 + sen 150 i) = −4 √ 3 + 4 i Ejemplo 3.5. Hallar 290o · 190o Soluci´on: 290o · 190o = 2180o = 2(cos 180 + sen 180 i) = −2 Ejercicio 16. Halla los siguientes productos: a) 3π/6 · 2π/6 b) 4π/12 · 2π/6 c) √ 2π/3 · √ 2 2 5π/3 d) −3 · 4π/4 · 2π/6
- 17. MATEMATICAS 1º Bachillerato A s = B + m v r = A + l u B d CIENCIASCIENCIAS MaTEX Complejos Doc Doc Volver Cerrar Secci´on 3: Forma polar de un n´umero complejo 17 3.3. Divisi´on en forma polar Teorema 3.2. El cociente de dos n´umeros en forma polar es un complejo cuyo m´odulo es el cociente de los m´odulos y cuyo argumento es la diferencia de los argumentos mα mβ = m m α−β (5) Ejemplo 3.6. Hallar 4120o 230o Soluci´on: 4120o 230o = 290o = 2(cos 90 + sen 90 i) = 2 i Ejercicio 17. Halla los siguientes cocientes: a) 3π/6 : 2π/6 b) 4π/12 : 2π/6 c) 3π/2 : 2π/4 d) 8π : 2π/2 Ejercicio 18. Expresar en forma trigonom´etrica −3 + 3 √ 3i 2 − 2i
- 18. MATEMATICAS 1º Bachillerato A s = B + m v r = A + l u B d CIENCIASCIENCIAS MaTEX Complejos Doc Doc Volver Cerrar Secci´on 3: Forma polar de un n´umero complejo 18 Ejercicio 19. Expresar en forma trigonom´etrica 2 − 2i √ 3 + i Ejercicio 20. Escribe en forma trigonom´etrica: 6i 1 + i Ejercicio 21. Escribe en forma trigonom´etrica: 1 + √ 3i 1 − i Ejercicio 22. Escribe en forma trigonom´etrica:: √ 6 + √ 2i √ 12 − 2i Test. Responde a las preguntas: 1. El complejo z = −2 + 2 i est´a en: (a) 1o cuadrante (b) 2o cuadrante (c) 3o cuadrante 2. La forma polar de z = −2 + 2 i es: (a) √ 8π/4 (b) √ 8−π/4 (c) √ 83π/4 3. La forma polar de 3 (cos 30o − i sen 30o ) es (a) 330 (b)1 3−30 (c) 360 4. El m´odulo de 1π · 12π · 13π es: (a) 3 (b) 1 (c) otro 5. El argumento de −3 es: (a) π (b) 0 (c) 2 π
- 19. MATEMATICAS 1º Bachillerato A s = B + m v r = A + l u B d CIENCIASCIENCIAS MaTEX Complejos Doc Doc Volver Cerrar Secci´on 3: Forma polar de un n´umero complejo 19 3.4. Potencia en forma polar Teorema 3.3. La potencia n-´esima de un n´umero en forma polar mϕ es un complejo cuyo m´odulo es la potencia n-´esima de m y cuyo argumento es n veces ϕ. (mα)n = mn n α (6) Ejemplo 3.7. Efectuar 2π/4 5 Soluci´on: 2π/4 5 = 25 5×π/4 = 32225o Ejemplo 3.8. Efectuar (3π) 2 Soluci´on: (3π) 2 = 32 2×π = 8180o Ejercicio 23. Hallar la potencia (1 + i)5 Ejercicio 24. Hallar la potencia (−2 + 2 √ 3i)6 Ejercicio 25. Operar en forma polar 1 (1 + i)5
- 20. MATEMATICAS 1º Bachillerato A s = B + m v r = A + l u B d CIENCIASCIENCIAS MaTEX Complejos Doc Doc Volver Cerrar Secci´on 3: Forma polar de un n´umero complejo 20 3.5. Ra´ız n-´esima de un complejo Queremos hallar la ra´ız n−´esima de un complejo a+b i que expresaremos en forma polar mϕ. x = n √ mϕ ⇐⇒ xn = mϕ Llamemos a la soluci´on buscada x = rα, entonces se tiene que (rα) n = mϕ = rn n α igualando m´odulos y argumento, m = rn =⇒ r = n √ m n α = ϕ + k · 360o =⇒ α = ϕ + k · 360o n k = 0, 1, · · · , n − 1 La ra´ız n-´esima de un n´umero en forma polar corresponde a n n´umeros com- plejos con la expresi´on n √ mϕ = n √ mϕ + k · 360o n k = 0, 1, · · · , n − 1 (7) En los n´umeros reales 3 √ 1 = 1, pero ahora en el campo de los complejos ademas de 1, hay otros dos complejos cuyo cubo es la unidad.
- 21. MATEMATICAS 1º Bachillerato A s = B + m v r = A + l u B d CIENCIASCIENCIAS MaTEX Complejos Doc Doc Volver Cerrar Secci´on 3: Forma polar de un n´umero complejo 21 Ejemplo 3.9. Hallar las ra´ıces 3 √ 1 Soluci´on: Ponemos el radicando en forma polar 1 =⇒ 10 El m´odulo es 3 √ 1 = 1 y de la ecuaci´on (7) dando valores a k = 0, 1, 2 se tienen los argumentos, αk = 0 + k · 360o 3 α0 = 0 α1 = 120 α2 = 240 luego las tres ra´ıces son 10 1120o 1240o 10o 1120o 1240o O Los afijos de las soluciones son los v´ertices de un tri´angulo equil´atero.
- 22. MATEMATICAS 1º Bachillerato A s = B + m v r = A + l u B d CIENCIASCIENCIAS MaTEX Complejos Doc Doc Volver Cerrar Secci´on 3: Forma polar de un n´umero complejo 22 Ejemplo 3.10. Hallar las ra´ıces 5 √ −32 Soluci´on: Ponemos el radicando en forma polar −32 =⇒ 32180 El m´odulo es 5 √ 32 = 2 y de la ecuaci´on (7) dando valores a k = 0, 1, · · · 4 se tienen los argumentos, αk = 0 + k · 360o 5 α0 = 36o α1 = 108o α2 = 170o α3 = 242o α4 = 314o luego las cinco ra´ıces son 236o 2108o 2170o 2242o 2314o 236o 2108o 2170o 2242o 2314o O Los afijos de las soluciones son los v´ertices de un pol´ıgono regular de cinco lados.
- 23. MATEMATICAS 1º Bachillerato A s = B + m v r = A + l u B d CIENCIASCIENCIAS MaTEX Complejos Doc Doc Volver Cerrar Secci´on 3: Forma polar de un n´umero complejo 23 Ejercicio 26. Un complejo z en forma bin´omica es a + b i, su conjugado es ¯z = a+b i y su opuesto es −z = −a−b i. ¿Cu´al es la expresi´on de los mismos en forma polar? Ejercicio 27. Hallar dos complejos z1 y z2 sabiendo que su cociente es 4, sus argumentos suman 40o y la suma de sus m´odulos es 15. Ejercicio 28. Hallar dos complejos z1 y z2 sabiendo que su producto es 27 i y uno de ellos es el cuadrado del otro. Ejercicio 29. Hallar un complejo z1 que cumpla que su inverso al cuadrado sea el opuesto de su conjugado.
- 24. MATEMATICAS 1º Bachillerato A s = B + m v r = A + l u B d CIENCIASCIENCIAS MaTEX Complejos Doc Doc Volver Cerrar Soluciones a los Ejercicios 24 Soluciones a los Ejercicios Ejercicio 1. Teniendo en cuenta que i4 = 1, basta dividir por 4 los expo- nentes: a) i34 = i4·8+2 = (i4 )8 · i2 = i2 = −1 b) i64 = i4·16 = (i4 )16 = 1 c) i81 = i4·20+1 = (i4 )20 · i = i d) i107 = i4·26+3 = (i4 )26 · i3 = i3 = −i Ejercicio 1
- 25. MATEMATICAS 1º Bachillerato A s = B + m v r = A + l u B d CIENCIASCIENCIAS MaTEX Complejos Doc Doc Volver Cerrar Soluciones a los Ejercicios 25 Ejercicio 2. 3 + i 2 i −2 + 3 i −2 −2 − i 2 − 2 i 2 Ejercicio 2
- 26. MATEMATICAS 1º Bachillerato A s = B + m v r = A + l u B d CIENCIASCIENCIAS MaTEX Complejos Doc Doc Volver Cerrar Soluciones a los Ejercicios 26 Ejercicio 3. a) (2 + 5 i) + (3 − 2 i) = 5 + 3 i b) (2 − 2 i) + (2 + 2 i) = 4+ c) (5 + i) + 2 (1 − 3 i) = 7 − 5 i d) (2 − 4 i) − (3 − 3 i) = −1 − i Ejercicio 3
- 27. MATEMATICAS 1º Bachillerato A s = B + m v r = A + l u B d CIENCIASCIENCIAS MaTEX Complejos Doc Doc Volver Cerrar Soluciones a los Ejercicios 27 Ejercicio 4. a) (2 + 5 i) · (3 − 2 i) = 16 + 11 i b) (2 − 2 i) · (2 + 2 i) = 8 c) (5 + i) · (1 − 3 i) = 8 − 14 i d) (2 − 4 i) · (3 − 3 i) = −6 − 18 i e) (2 + 2 i) · (1 − 5 i) · (2 + 3 i) = 48 + 20 i f ) (1 + 5 i) · (− i) − (4 + 3 i) · (4 − 3 i) = −20 − i Ejercicio 4
- 28. MATEMATICAS 1º Bachillerato A s = B + m v r = A + l u B d CIENCIASCIENCIAS MaTEX Complejos Doc Doc Volver Cerrar Soluciones a los Ejercicios 28 Ejercicio 5. Sean los n´umeros complejos conjugados z = a + b i ¯z = a − b i z + ¯z =(a + b i) + (a − b i) =2 a es decir la parte imaginaria es cero y por tanto es un n´umero real. Ejercicio 5
- 29. MATEMATICAS 1º Bachillerato A s = B + m v r = A + l u B d CIENCIASCIENCIAS MaTEX Complejos Doc Doc Volver Cerrar Soluciones a los Ejercicios 29 Ejercicio 6. Sean los n´umeros complejos conjugados z = a + b i ¯z = a − b i z · ¯z =(a + b i) · (a − b i) =a2 − ab i + ab i − b2 i2 =a2 + b2 es decir la parte imaginaria es cero y por tanto es un n´umero real. Ejercicio 6
- 30. MATEMATICAS 1º Bachillerato A s = B + m v r = A + l u B d CIENCIASCIENCIAS MaTEX Complejos Doc Doc Volver Cerrar Soluciones a los Ejercicios 30 Ejercicio 7. a) 2 − i 3 − i = 2 − i 3 − i · 3 + i 3 + i = 7 − i 10 = 7 10 − 1 10 i b) 3 − i 3 + i = 3 − i 3 + i · 3 − i 3 − i = 8 − 6 i 10 = 8 10 − 6 10 i c) 5 − 2 i 3 + 2 i = 5 − 2 i 3 + 2 i · 3 − 2 i 3 − 2 i = 11 − 16 i 13 = 11 13 − 16 13 i d) i 1 + i = i 1 + i · 1 − i 1 − i = 1 + i 2 = 1 2 + 1 2 i Ejercicio 7
- 31. MATEMATICAS 1º Bachillerato A s = B + m v r = A + l u B d CIENCIASCIENCIAS MaTEX Complejos Doc Doc Volver Cerrar Soluciones a los Ejercicios 31 Ejercicio 8. a) 2 − 2 i −→ √ 87π/4 b) 2 i −→ 2π/2 c) −2 i −→ 23π/2 d) −2 + 2 i −→ √ 83π/4 e) 2 + 2 i −→ √ 8π/4 f ) 2 −→ 20 g) −2 −→ 2π h) −2 − 2 i −→ √ 85π/4 2 2 + 2 i2 i−2 + 2 i −2 −2 − 2 i −2 i 2 − 2 i Ejercicio 8
- 32. MATEMATICAS 1º Bachillerato A s = B + m v r = A + l u B d CIENCIASCIENCIAS MaTEX Complejos Doc Doc Volver Cerrar Soluciones a los Ejercicios 32 Ejercicio 9. a) √ 6 + √ 2i m = √ 6 + 2 = √ 8 ϕ = arctan √ 2 √ 6 = arctan √ 3 3 = π 6 b) √ 12 − 2 i m = √ 12 + 4 = 4 ϕ = arctan − 2 √ 12 = arctan − √ 3 3 = 11 π 6 c) −2 + 2 i m = √ 4 + 4 = √ 8 ϕ = arctan − 2 2 = arctan −1 = 3 π 4 Ejercicio 9
- 33. MATEMATICAS 1º Bachillerato A s = B + m v r = A + l u B d CIENCIASCIENCIAS MaTEX Complejos Doc Doc Volver Cerrar Soluciones a los Ejercicios 33 Ejercicio 10. a) 3 + √ 3 i = m = √ 12 ϕ = arctan √ 3 3 = π 6 = √ 12π 6 b) 2 i = 2π 2 c) −2 + 2 i = √ 83 π/4 Ejercicio 10
- 34. MATEMATICAS 1º Bachillerato A s = B + m v r = A + l u B d CIENCIASCIENCIAS MaTEX Complejos Doc Doc Volver Cerrar Soluciones a los Ejercicios 34 Ejercicio 11. a) 1 + i = m = 12 + 12 = √ 2 ϕ = arctan 1 = π 4 = √ 2π 4 √ 2 cos π 4 + i · sen π 4 b) − i = m = 1 ϕ = arctan − 1 0 = 3 π 2 = 13 π 2 cos 3 π 2 + i · sen 3 π 2 c) √ 2 + √ 2 i = m = 2 ϕ = arctan 1 = π 4 = 2π 4 2 cos π 4 + i · sen π 4 Ejercicio 11
- 35. MATEMATICAS 1º Bachillerato A s = B + m v r = A + l u B d CIENCIASCIENCIAS MaTEX Complejos Doc Doc Volver Cerrar Soluciones a los Ejercicios 35 Ejercicio 12. Cartesiana Bin´omica Polar Trigonom´etrica (1, −1) 1-i √ 27π/4 √ 2( cos 7π/4 + i sen 7π/4) ( √ 3, −1) √ 3 − i 211π/6 2 (cos 11π/6 + i sen 11π/6) 3 √ 2 2 , 3 √ 2 2 3 √ 2 2 + 3 √ 2 2 i 3π/4 3( cos π/4 + i sen π/4) (1, √ 3) 1 + √ 3 i 2π/3 2 (cos π/3 + i sen π/3) Ejercicio 12
- 36. MATEMATICAS 1º Bachillerato A s = B + m v r = A + l u B d CIENCIASCIENCIAS MaTEX Complejos Doc Doc Volver Cerrar Soluciones a los Ejercicios 36 Ejercicio 13. x + 3 i 3 + 2 i = x + 3 i 3 + 2 i · 3 − 2 i 3 − 2 i = (3 x + 6) + (9 − 2 x) i 13 para que sea imaginario puro la parte real debe ser cero 3 x + 6 13 = 0 =⇒ x = −2 Ejercicio 13
- 37. MATEMATICAS 1º Bachillerato A s = B + m v r = A + l u B d CIENCIASCIENCIAS MaTEX Complejos Doc Doc Volver Cerrar Soluciones a los Ejercicios 37 Ejercicio 14. z = 3 − 2 x i 4 + 3 i = 3 − 2 x i 4 + 3 i · 4 − 3 i 4 − 3 i = 12 − 6 x 25 − (9 + 8 x) i 25 a) para que sea imaginario puro la parte real debe ser cero 12 − 6 x 25 = 0 =⇒ x = 2 b) para que sea real puro la parte imaginaria debe ser cero (9 + 8 x) i 25 = 0 =⇒ x = − 9 8 Ejercicio 14
- 38. MATEMATICAS 1º Bachillerato A s = B + m v r = A + l u B d CIENCIASCIENCIAS MaTEX Complejos Doc Doc Volver Cerrar Soluciones a los Ejercicios 38 Ejercicio 15. z = x + i 2 + i = x + i 2 + i · 2 − i 2 − i = 2 x + 1 5 + (2 − x) i 5 igualamos el m´odulo a √ 2 2 x + 1 5 2 + 2 − x 5 2 = √ 2 =⇒ 4 x2 + 4x + 1 25 + 4 − 4 x + x2 25 = 2 =⇒ 5 x2 + 5 = 50 =⇒ x2 = 9 =⇒ x = ±3 Ejercicio 15
- 39. MATEMATICAS 1º Bachillerato A s = B + m v r = A + l u B d CIENCIASCIENCIAS MaTEX Complejos Doc Doc Volver Cerrar Prueba de los Teoremas 39 Prueba del Teorema 3.1. Expresamos los complejos mα y mβ en forma trigonom´etrica. Al operar aparece el coseno y el seno de la suma de ´angulos: mα · mβ =m(cos α + i sen α) · m (cos β + i sen β) =m · m [cos α cos β − sen α sen β + i sen α cos β + i cos α sen β] =m · m [cos(α + β) + i sen(α + β)] =(m · m )α+β
- 40. MATEMATICAS 1º Bachillerato A s = B + m v r = A + l u B d CIENCIASCIENCIAS MaTEX Complejos Doc Doc Volver Cerrar Soluciones a los Ejercicios 40 Ejercicio 16. a) 3π/6 · 2π/6 = 6π/3 = 6(cos 30 + sen 30 i) = 3 √ 3 + 3 i b) 4π/12 · 2π/6 = 8π/4 = 8(cos 45 + sen 45 i) = 4 √ 2 + 4 √ 2 i c) √ 2π/3 · √ 2 2 5π/3 = 12π = 1(cos 360 + sen 360 i) = 1 d) −3 · 4π/4 · 2π/6 = 3π · 4π/4 · 2π/6 = 2417π/12 2417π/12 = 24(cos 120 + sen 120 i) = −12 + 12 √ 3 i Ejercicio 16
- 41. MATEMATICAS 1º Bachillerato A s = B + m v r = A + l u B d CIENCIASCIENCIAS MaTEX Complejos Doc Doc Volver Cerrar Prueba de los Teoremas 41 Prueba del Teorema 3.2. Expresamos los complejos mα y mβ en forma trigonom´etrica. Al operar aparece el coseno y el seno de la diferencia de ´angulos: mα mβ = m(cos α + i sen α) m (cos β + i sen β) = m(cos α + i sen α) m (cos β + i sen β) (cos β − i sen β) (cos β − i sen β) (operando) = m m [cos(α − β) + i sen(α − β)] = m m α−β
- 42. MATEMATICAS 1º Bachillerato A s = B + m v r = A + l u B d CIENCIASCIENCIAS MaTEX Complejos Doc Doc Volver Cerrar Soluciones a los Ejercicios 42 Ejercicio 17. a) 3π/6 2π/6 = 3 2 0 b) 4π/12 2π/6 = (2)23π/12 c) 3π/2 2π/4 = 3 2 π/4 d) 8π 2π/2 = (4)π/2 Ejercicio 17
- 43. MATEMATICAS 1º Bachillerato A s = B + m v r = A + l u B d CIENCIASCIENCIAS MaTEX Complejos Doc Doc Volver Cerrar Soluciones a los Ejercicios 43 Ejercicio 18. Expresamos numerador y denominador en forma polar −3 + 3 √ 3 i =⇒ m = √ 36 ϕ = 2π 3 2 − 2 i =⇒ m = √ 8 ϕ = 7π 4 Ahora operamos el cociente en forma polar −3 + 3 √ 3i 2 − 2 i = 62π/3 √ 87π/4 = 3 √ 2 −13π/12 − 13π 12 = 2π − 13π 12 = 11π 12 = 165o y pasamos a forma bin´omica 3 √ 2 (cos 165o + sen 165o i) Ejercicio 18
- 44. MATEMATICAS 1º Bachillerato A s = B + m v r = A + l u B d CIENCIASCIENCIAS MaTEX Complejos Doc Doc Volver Cerrar Soluciones a los Ejercicios 44 Ejercicio 19. Expresamos numerador y denominador en forma polar 2 − 2 i =⇒ m = √ 8 ϕ = 7π 4√ 3 + i =⇒ m = √ 4 ϕ = π 6 Ahora operamos el cociente en forma polar 2 − 2i √ 3 + i = √ 87π/4 2π/6 = √ 2 19π/12 y pasamos a forma trigonom´etrica √ 2(cos 19π 12 + sen 19π 12 i) Ejercicio 19
- 45. MATEMATICAS 1º Bachillerato A s = B + m v r = A + l u B d CIENCIASCIENCIAS MaTEX Complejos Doc Doc Volver Cerrar Soluciones a los Ejercicios 45 Ejercicio 20. Expresamos numerador y denominador en forma polar 6 i =⇒ m = 6 ϕ = π 2 1 + i =⇒ m = √ 2 ϕ = π 4 Ahora operamos el cociente en forma polar 6 i 1 + i = 6π/2 √ 2π/4 = 6 √ 2 π/4 y pasamos a forma trigonom´etrica 6 √ 2 (cos π 4 + sen π 4 i) Ejercicio 20
- 46. MATEMATICAS 1º Bachillerato A s = B + m v r = A + l u B d CIENCIASCIENCIAS MaTEX Complejos Doc Doc Volver Cerrar Soluciones a los Ejercicios 46 Ejercicio 21. Expresamos numerador y denominador en forma polar 1 + √ 3 i =⇒ m = 2 ϕ = π 3 1 − i =⇒ m = √ 2 ϕ = 7π 4 Ahora operamos el cociente en forma polar 1 + √ 3 i 1 − i = 2π/3 √ 27π/4 = 2 √ 2 −17π/12 − 17π 12 = 2π − 17π 12 = 7π 12 = 105o y pasamos a forma trigonom´etrica 2 √ 2 (cos 105o + sen 105o i) Ejercicio 21
- 47. MATEMATICAS 1º Bachillerato A s = B + m v r = A + l u B d CIENCIASCIENCIAS MaTEX Complejos Doc Doc Volver Cerrar Soluciones a los Ejercicios 47 Ejercicio 22. Expresamos numerador y denominador en forma polar √ 6 + √ 2 i =⇒ m = √ 8 ϕ = π 6√ 12 − 2 i =⇒ m = 4 ϕ = − π 6 Ahora operamos el cociente en forma polar √ 6 + √ 2 i √ 12 − 2 i = √ 8π/6 4−π/6 = √ 2 2 π/3 y pasamos a forma trigonom´etrica √ 2 2 (cos π 3 + sen π 3 i) Ejercicio 22
- 48. MATEMATICAS 1º Bachillerato A s = B + m v r = A + l u B d CIENCIASCIENCIAS MaTEX Complejos Doc Doc Volver Cerrar Prueba de los Teoremas 48 Prueba del Teorema 3.3. Por la regla del producto se tiene (mα) n =mα · mα · · · mα =(m · m · · · m)α + α + · · · + α =mn n α
- 49. MATEMATICAS 1º Bachillerato A s = B + m v r = A + l u B d CIENCIASCIENCIAS MaTEX Complejos Doc Doc Volver Cerrar Soluciones a los Ejercicios 49 Ejercicio 23. Calculamos su m´odulo y su argumento. 1 + i = m = 12 + 12 = √ 2 ϕ = arctan 1 = π 4 = √ 2π 4 Ahora operamos la potencia en forma polar √ 2π 4 5 = √ 2 5 5 π 4 Ejercicio 23
- 50. MATEMATICAS 1º Bachillerato A s = B + m v r = A + l u B d CIENCIASCIENCIAS MaTEX Complejos Doc Doc Volver Cerrar Soluciones a los Ejercicios 50 Ejercicio 24. Calculamos su m´odulo y su argumento. (−2 + 2 √ 3i)6 = m = 22 + 12 = √ 16 = 4 ϕ = arctan − √ 3 = 2π 3 = 42π 3 Ahora operamos la potencia en forma polar 42π 3 6 = 46 4 π = 46 0 Ejercicio 24
- 51. MATEMATICAS 1º Bachillerato A s = B + m v r = A + l u B d CIENCIASCIENCIAS MaTEX Complejos Doc Doc Volver Cerrar Soluciones a los Ejercicios 51 Ejercicio 25. Expresamos numerador y denominador en forma polar 1 =⇒ m = 1 ϕ = 0 1 + i =⇒ m = √ 2 ϕ = π 4 Ahora operamos el cociente en forma polar 1 (1 + i)5 = 10 ( √ 2π/4)5 = 10 4 √ 25 π/4 = 1 4 √ 2 3 π/4 y pasamos a forma bin´omica 1 4 √ 2 (cos 3π 4 + i sen 3π 4 ) = − 1 8 + 1 16 i Ejercicio 25
- 52. MATEMATICAS 1º Bachillerato A s = B + m v r = A + l u B d CIENCIASCIENCIAS MaTEX Complejos Doc Doc Volver Cerrar Soluciones a los Ejercicios 52 Ejercicio 26. A partir del gr´afico es f´acil observar que si a + b i es en forma polar mϕ, entonces Su conjugado a − b i en polar es m−ϕ Su opuesto −a − b i en polar es mπ+ϕ 0 a + b i a − b i−a − b i ϕ −ϕ π + ϕ Ejercicio 26
- 53. MATEMATICAS 1º Bachillerato A s = B + m v r = A + l u B d CIENCIASCIENCIAS MaTEX Complejos Doc Doc Volver Cerrar Soluciones a los Ejercicios 53 Ejercicio 27. Sean z1 = mα y z2 = kβ. Planteamos un sistema y resolvemos. mα kβ = 40 α + β = 40 m + k = 15 =⇒ m k = 4 α − β = 0 α + β = 40 m + k = 15 α = β =⇒ 2 α = 40 =⇒ α = β = 20 m = 4 k =⇒ 5 k = 15 =⇒ k = 3 m = 12 Los complejos pedidos son 1220o 320o Ejercicio 27
- 54. MATEMATICAS 1º Bachillerato A s = B + m v r = A + l u B d CIENCIASCIENCIAS MaTEX Complejos Doc Doc Volver Cerrar Soluciones a los Ejercicios 54 Ejercicio 28. Sean z1 = mα y z2 = kβ. Planteamos un sistema y resolvemos. mα · kβ = 27 i = 2790o mα = (kβ)2 = k2 2β =⇒ m · k = 27 α + β = 90 m = k2 α = 2 β α = 2 β =⇒ 3 β = 90 =⇒ α = 60 β = 30 m = k2 =⇒ k3 = 27 =⇒ k = 3 m = 9 Los complejos pedidos son 960o 330o Ejercicio 28
- 55. MATEMATICAS 1º Bachillerato A s = B + m v r = A + l u B d CIENCIASCIENCIAS MaTEX Complejos Doc Doc Volver Cerrar Soluciones a los Ejercicios 55 Ejercicio 29. Sean z1 = mα el complejo buscado Su inverso es 1 mα = 10 mα = 1 m −α El conjugado de z1 = mα es ¯z1 = m−α y el opuesto de este es −¯z1 = mπ−α luego se tiene que cumplir que 1 m2 −2 α = mπ−α =⇒ 1 = m3 −2 α = π − α El complejo buscado es 1−π = 1π = −1 Ejercicio 29
- 56. MATEMATICAS 1º Bachillerato A s = B + m v r = A + l u B d CIENCIASCIENCIAS MaTEX Complejos Doc Doc Volver Cerrar Soluciones a los Tests 56 Soluciones a los Tests Soluci´on al Test: En efecto −2 + 2 i m = √ 4 + 4 = √ 8 ϕ = arctan − 2 2 = arctan −1 = 3π 4 Final del Test
- 57. MATEMATICAS 1º Bachillerato A s = B + m v r = A + l u B d CIENCIASCIENCIAS MaTEX Complejos Doc Doc Volver Cerrar ´Indice alfab´etico argumento, 11 conjugado, 9 forma binomica, 6 cociente, 10 producto, 8 representaci´on, 6 suma, 7 forma polar, 11 divisi´on, 17 potencia, 19 producto, 16 radicaci´on, 20 forma trigonom´etrica, 13 m´odulo, 11 unidad imaginaria i, 3 57