Portafolio 4 comp

MANIFESTACIONES DE LAS
COMPETENCIAS SIMPLES Y
COMPLEJAS EN EL DESARROLLO
EVOLUTIVO DE LOS ESTUDIANTES

LOS NIVELES
CONC

Por:

YEIMY LIZETH CASTILLO

YEIMY LIZETH CASTILLO
PRESENTADO A:
JANNETH BETANCOUR

CATEDRA
DESARROLLO DEL PENSAMIENTO LÓGICO

UNIVERSIDAD DEL TOLIMA
INSTITUTO DE EDUCACIÓN A DISTANCIA –
IDEAD
LICENCIATURA EN EDUCACIÓN BÁSICA CON
ÉNFASIS EN LENGUA CASTELLANA

UNIVERSIDAD DEL TOLIMA

5 DE OCTUBRE DE 2013
INSTITUTO DE EDUCACIÓN A DISTANCIA – IDEAD
IBAGUÉ- TOLIMA
LICEN CIATURA EN EDUCACIÓN BÁSICA CON ÉNFASIS EN LENGUA CASTELLANA
5 DE OCTUBRE DE 2013
IBAGUE-TOLIMA

TABLA DE CONTENIDO:

PORTAFOLIO N°4:
Introducción
Los niveles de pensamiento en el concepto numero

1

Introducción
En los últimos años, el estudio sobre el aprendizaje de la matemática
alcanzado por el niño, ha sido uno de los tópicos más trabajados en la
psicología del desarrollo cognoscitivo. Los resultados muestran una
conceptualización significativa sobre el desarrollo temprano de la matemática
y de cómo se efectúa su aprendizaje en la escuela. La mayoría de las
investigaciones consideraran que el aprendizaje de los números y la aritmética
constituyen una parte importante del currículum escolar y que los conceptos
numéricos representan la base sobre la cual pueden desarrollarse elevadas
competencias numéricas. Además, la visión constructivista de estos
aprendizajes tiene como teoría de base el trabajo de Piaget, especialmente, la
descripción sobre la génesis del número. En esta teoría, los conceptos
matemáticos primarios son construidos mediante la abstracción reflexiva, en la
que el sujeto realiza una lectura de sus propias acciones sobre los objetos, lo
que le permite descubrir relaciones entre ellas y luego reflejarlas en la realidad
exterior. Por tanto, el desarrollo de la competencia numérica del niño se haya
relacionada con el desarrollo de las nociones lógico-matemáticas. El
pensamiento lógico-matemático es construido por el niño desde su interior a
partir de la interacción con el entorno. La asociación de operaciones
mediante la clasificación, seriación e inclusión, posibilitan la movilidad y
reversibilidad del pensamiento, necesarias en la construcción del concepto de
“número”. Este proceso constructivo comienza mucho antes del ingreso a la
escuela., todo aprendizaje escolar tiene su historia previa. Por lo tanto, el niño
en su interacción con el entorno ha construido en forma “natural” nociones y
estructuras cognitivas que deben continuarse desarrollando mediante la
enseñanza escolarizada. No obstante, la concepción y ejecución de las
prácticas pedagógicas parecen estar orientadas en dirección opuesta a este
proceso constructivo. La práctica pedagógica de nuestros maestros parece no
estar construida sobre los conocimientos naturales del niño, por el contrario
los suprime deliberadamente, por ser una práctica orientada hacia la
ejercitación prematura del cálculo. El maestro de educación inicial, por lo
general desconoce, los fundamentos teóricos que guían tal proceso
constructivo en el niño.
Estos referentes teóricos y empíricos son significativos como marcos
referenciales que permiten contextualizar la problemática en nuestro sistema
educativo, de allí la necesidad de ensayar hipótesis curriculares en contextos
de aprendizaje naturales. Por lo que el propósito de esta investigación fue el
diseño, ejecución y evaluación de estrategias para promover la construcción
de las nociones lógico-matemáticas.
2

LOS NIVELES DE PENSAMIENTO EN EL CONCEPTO NÚMERO.
El concepto de número:
Es un concepto lógico de naturaleza distinta al conocimiento físico o social,
ya que no se extrae directamente de las propiedades físicas de los objetos ni de
las convenciones sociales, sino que se construye a través de un proceso de
abstracción reflexiva de las relaciones entre los conjuntos que expresan
número.
Por eso Piaget considera el concepto de número y su aprendizaje va ligado al
desarrollo de la lógica en el niño/a. El desarrollo de la lógica a su vez va
ligado a la capacidad de realizar clasificaciones y seriaciones con los objetos
del entorno. Por ejemplo: cuando agrupamos determinado número de objetos
o lo ordenamos en serie. Las operaciones mentales sólo pueden tener lugar
cuando se logra la noción de conservación, de la cantidad y la equivalencia
término a término.
Número
 Es un concepto lógico, ya que se construye a través de un proceso de
abstracción reflexiva de las relaciones entre los conjuntos que expresan
número.
 Los números no pueden estudiarse como conceptos abstractos,
esperando la construcción interna del niño y su entorno.

 Se deben estudiar en cambio como procesos operativos por medio de
situaciones escogidas y la actividad constructiva del niño.

 Se debe llegar a la construcción del numero por medio de aprendizajes
significativos, es decir por medio de actividades de la vida cotidiana.

3

Requisitos para la construcción del número:

Comprensión de los contenidos de aprendizaje.

Utilizar los conocimientos numéricos y experiencias de los niños para
construir e interpretar nociones aritméticas

El número es un concepto abstracto, por lo que requiere de la
conceptualización de ciertas relaciones lógicas y aspectos a considerar:

 Los niños pueden establecer comparaciones y clasificaciones de los
objetos mediante diversas características tales como: Tamaño, color,
peso, sin son iguales o diferentes.

 Clasificación por medio de relaciones tempo-espaciales: Arriba-abajo,
encima-debajo, cerca- lejos, abierto-cerrado, día- noche, ahora- después,
delante-detrás, dentro-fuera, primero-ultimo, de frente-de espaldas,
pronto-tarde.

 Relaciones de cuantitativas: Muchos- pocos, lleno- vacío, nada- todo,
igual, diferente, mas, quitar-poner, conservación de cantidades y
seriación.

 Formación de patrones: descubrir y completar patrones

 Introducir

la

correspondencia
4

uno

a

uno.

CONSTRUCCIÓN DEL CONCEPTO DE NÚMERO:
El experimento de Piaget relativo a la conservación de la cantidad discreta. Se
presenta a un niño pequeño dos conjuntos de igual cantidad de objetos de la
misma clase, dispuestos en filas simétricas, de forma que estén en
correspondencia de uno a uno fácilmente perceptible de modo visual, como
sugiere el siguiente dibujo:

000000
000000
Pero si se alejan:

000000
0 0 0 0 0 0
Los niños piensan que los que parece más grande (mayor) a sus ojos es
realmente más grande.
Esto se debe a que los niños del periodo pre -operacional están muy ligados a
sus percepciones de la realidad. A lo largo del periodo de las Operaciones
Concretas irán progresivamente desarrollando el concepto de numero tal y
como lo tiene el adulto.
según la teoría de piaget, saber contar no significa entender el concepto de
número, como el ejemplo de arriba nos acaba de demostrar. entender el
concepto de número requiere entender dos ideas:
la conservación: se refiere al hecho de que si dos conjuntos son iguales en
numero, ponga como ponga los objetos en cada uno de ellos (por ejemplo,
apilándolos en le primer conjunto y esparciéndolos en el segundo conjunto),
habrá siempre el mismo numero de objetos igual en ambos. en otras palabras,
el número se conserva, es decir, no se altera porque se altere la configuración
perceptual.

5

La correspondencia uno-a-uno: permite establecer que dos conjuntos
cualesquiera son equivalentes en número si a cada objeto de un conjunto le
corresponde
otro
objeto
en
el
segundo
conjunto.
Para Piaget la construcción del concepto de número exige la previa posesión
de diferentes capacidades lógicas, como son las capacidades de clasificar, de
ordenar y de efectuar correspondencias, capacidades lógicas que -dentro de su
teoría de evolución del pensamiento en forma de estadios- se alcanzan en el
estadio de pensamiento operacional (operaciones concretas).

6

IDEAS LOGICAS QUE CUENTAN:
LA EQUIVALENCIA A TRAVES DE UNA CORRESPONDENCIA UNO-AUNO:

Permite establecer que dos conjuntos cualesquiera son equivalentes en número
si a cada objeto de un conjunto le corresponde otro objeto en el segundo
conjunto.
Para Piaget la construcción del concepto de número exige la previa posesión
de diferentes capacidades lógicas, como son las capacidades de clasificar, de
ordenar y de efectuar correspondencias, capacidades lógicas que -dentro de su
teoría de evolución del pensamiento en forma de estadios- se alcanzan en el
estadio de pensamiento operacional (operaciones concretas).
EL CONTAR COMO CORRESPONDENCIA UNO-A-UNO:
En realidad el conteo implica algo más que recitar nombres; significa hacer
pares de nombres de números con objetos. Este ejemplo más abstracto de
correspondencia uno-a-uno que el hacer pares de dos conjuntos de objetos.

7

La multiplicación como una correspondencia
La correspondencia uno-a-uno también da de las bases para entender la
multiplicación como una correspondencia entre varios conjuntos

LA CONSERVACIÓN:

Se refiere al hecho de que si dos conjuntos son iguales en número, ponga
como ponga los objetos en cada uno de ellos (por ejemplo, apilándolos en el
primer conjunto y esparciéndolos en el segundo conjunto), habrá siempre el
mismo número de objetos igual en ambos. En otras palabras, el número se
conserva, es decir, no se altera porque se altere la configuración perceptual.

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SERIACIÓN
Permite establecer relaciones comparativas entre los elementos de un conjunto,
y ordenarlos según sus diferencias, ya sea en forma creciente o decreciente.
Posee las siguientes propiedades:
A) Transitividad: Consiste en poder establecer deductivamente la relación
existente entre dos elementos que no han sido comparadas efectivamente a
partir de otras relaciones que si han sido establecidas perceptivamente.
B) Reversibilidad: Es la posibilidad de concebir simultáneamente dos
relaciones inversas, es decir, considerar a cada elemento como mayor que los
siguientes.
La seriación pasa por las siguientes etapas:
Primera etapa: Parejas y Tríos (formar parejas de elementos, colocando
uno pequeño y el otro grande) y Escaleras y Techo (El niño construye
una escalera, centrándose en el extremo superior y descuidando La línea
de base).
Segunda etapa: Serie por ensayo y error (El niño logra la serie, con
dificultad para ordenarlas completamente).
Tercera etapa: el niño realiza la seriación sistemática.

9

CLASIFICACIÓN:
Constituye una serie de relaciones mentales en función de las cuales los
objetos se reúnen por semejanzas, se separan por diferencias, se define la
pertenencia del objeto a una clase y se incluyen en ella subclases. En
conclusión las relaciones que se establecen son las semejanzas, diferencias,
pertenencias (relación entre un elemento y la clase a la que pertenece) e
inclusiones (relación entre una subclases y la clase de la que forma parte).

Niveles del pensamiento en el concepto numero

CONTAR:
Cuando el alumno es capaz de dominar la secuencia numérica. Con
dominarla es decir, que es capaz de empezar esta secuencia en cualquier
término de la misma y contar progresiva o regresivamente a partir de él.
Nivel de cuerda: la sucesión comienza en uno, pero los términos parecen estar
unidos (uno, dos, tres, cuatro cinco,...)
10

Nivel de cadena irrompible: la sucesión comienza desde uno y los términos
están diferenciados. Es el caso más común.
Nivel de cadena rompible: a diferencia del anterior, la sucesión puede
comenzar a partir de cualquiera de sus términos, aunque en sentido ascendente.
Nivel de cadena numerable: la sucesión se utiliza en procesos en los que se
comienza por un término cualquiera, contando a partir de él para dar otro
término por respuesta (cuatro, cinco, seis, siete, ocho).
Nivel de cadena bidireccional: la sucesión puede recorrerse
indistintamente en sentido ascendente o descendente, comenzando por
un término cualquieraA través de repetidas experiencias de conteo, los
niños llegan a reflexionar y descubrir regularidades importantes de los
números en la acción de contar. Los descubrimientos que el niño realiza
pueden sintetizarse en los siguientes principios:

Números ordinales:
Los números ordinales indican posición u orden que ocupa un elemento
en un conjunto.

11

“Cada parte de la serie, al contarse es uno más que el que anterior y al
mismo tiempo es uno menos que el que le sigue”.

INCLUSION EN CLASE

fichas de
plastico

verdes

amarillas

Todas

Algunas

Algunas

Cuando tratan de hacer una comparación, estos niños son incapaces de incluir
mentalmente el grupo de fichas verdes como una porción de fichas de plástico.
Como tienen dificultad para coordinar esta relación, terminan basando sus
respuestas en apariencias. El conjunto visible mayor es el conjunto verde.
Solamente después de los 7 años de edad la mayoría de los niños obtiene la
agilidad mental para coordinar la relación entre (algunos) y (otros).

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INCLUSIÓN NUMÉRICA
Cuando el niño cuenta objetos disimiles, hace a un lado sus diferencias de
tamaño, color y textura. Incluye cada objeto en una clase común y le asigna
unidad. (La única diferencia entre estos objetos se debería a su posición en
una serie contable).
Al contar para determinar el número de objetos en un conjunto, el niño
mentalmente los coloca en una relación de inclusión en clase. Ahora el conteo
se convierte en nombre conjuntos sucesivos.*

INCLUSION EN CLASES/ ADICCION EN CLASES:
El niño es capaz de tomar en cuenta ya sea todo el conjunto o sus partes, pero
no puede tomar los 2 al mismo tiempo. Tan pronto como examina una parte
separadamente, deja de conservar todo. Como no puede comparar el todo y
sus partes simultáneamente el niño pequeño termina compartiendo las 2 partes.

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4+4=8
5+3=8
6+2=8

La adición es una
operación que
relaciona las
partes con el todo

7+1=8

8=4+4
8=5+6

Mientras renombra el todo
en función de sus partes

8=6+2
8=7+1
Según Piaget, la noción de adicción presupone ideas lógicas descritas con
anterioridad. Previene que los niños sin esta base lógica solamente serán
capaces de memorizar algunas formas carentes de sentido.

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METODOS DE ENSEÑANZA/ APRENDIENDO IDEAS
NUMERICAS:

Las primeras enseñanzas son usualmente orales. Los niños repiten los
nombres de los números hasta que los han aprendido de memoria. Estos
nombres de números, como otros marbetes, generalmente se escogen
arbitrariamente y varían de país a país. La única forma de comunicar
marbetes arbitrarios es hablando; este conocimiento se llama conocimiento
social.

El caballo
Le cheval
The horse
Korm

EL APRENDIZAJE COMO CONSTRUCCION ACTIVA :
Piaget previene que las relaciones inherentes al concepto de número no
pueden ser enseñadas hablando.
El número no soloel nombre de algo, es una relación que:
indica su lugar en un orden,
representa cuantos objetos se incluyen en un conjunto, y
es duradera a pesar de reordenamientos espaciales.
Piaget se refiere a esas relaciones como
conocimiento lógico matemático

“No importa como las
junte o como las separe.

15

Hay siempre el mismo número”

LAS MATEMATICAS EMPIEZAN CON ACCION SOBRE LAS COSAS

El conocimiento lógico matemático, por otro lado requiere una coordinación
de actividades físicas, por si mismas, son condicionadas también de muchas
maneras; por ej. Juntando, ordenando, colocando en correspondencia.

16

“Las ideas lógicas si cuentan. No pueden ser
transmitidas de boca en boca. Deben ser creadas
por el niño a través de su acción con objetos.

lo que
puedo
hacer. lo
puedo
pensar

lo que
puedo
pensar lo
puedo
hablar

lo que
ouedo
decir, lo
puedo
escribir

(inicialment
e el maestro
escribe )

lo que puedo
escribir, lo
puedo leer.
Las palabras
me recuerdan
lo que hice
, pense y dije

Puedo leer lo
que púedo
escribir, y lo
que otra
gente puede
escribir para
que yo lea

PRINCIPIOS DE LA MATEMATICA:
Construyendo y representando patrones:
Los niños estudian, copian, alargan o representan patrones en una variedad de
formas. Una vez que se les ha presentado la actividad voluntariamente,
elaboran patrones más complejos para que otros niños los desarrollen y
representen. Secuencia y construcción de patrones de amplia variedad de
modos que contribuye a la comprensión de la propia disciplina. También
desarrolla una base sólida para la lectura.

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LA MATEMÁTICA COMO ACCIÓN SOBRE LAS COSAS:

La evolución gradual de las ideas matemáticas:
Los niños estan involucrados en una serie de actividades que se centran el
proceso en lugar de la respuesta. Los niños del periodo pre operacional
tienen ricas y variadas experiencias con números hasta el 8. (Los estudios de
Piaget indican que la comprensión de la conservación de números menores
que 8 se desarrolla antes de los 7 años de edad con la ayuda de la percepción
más allá del 8, es esencial una base lógica para entender la conservación).

Además de contar objetos en forma progresiva, como en la adicción los niños
pueden contar regresivamente, como en la sustracción. De igual manera,
usando objetos cuentan de dos en dos como en la multiplicación. Al describir
el desarrollo infantil de la comprensión matemática.

18

“La matematica es antes que nada y de manera
más importante, acciones ejercidas sobre las cosas,
y las operaciones por si mismas son más
acciones…”

Asimismo Piaget asigna la importancia a las acciones a todos los niveles de
edad.
…En todos los niveles, incluyendo la adolescencia
y de manera sistemática los niveles más
elementales, el alumno estará mucho más
capacitado para (hacer) y (comprender las
acciones) que de expresarse verbalmente… <<la
toma de conciencia>> ocurre mucho después que
la acción.

DESTREZAS DE CUANTIFICACIÓN:

1. - Percepción de cantidades: muchos, pocos, algunos, bastantes
2.-Distinción y comparación de cantidades de objetos: „‟hay tantos como‟‟
„‟no hay tantos como‟‟
3.-El principio de unidad: el niño se dirige a los objetos con el nombre de
„‟uno‟‟
4.-Coordinabilidad: comprende que distintos objetos pueden recibir el mismo
nombre, referente a su valor numérico
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5.-Acción sumativa: cuantomásdiga „‟uno‟‟ a más cantidad de objetos se
Refiere.
EL NUMERO A NIVEL DE CONCEPTO INTUITIVO:
Los niños elaboran activamente diferentes combinaciones de un conjunto de
objetos y describen oralmente esa combinación. <<Tres y dos>>. El énfasis
está en el proceso y no en la respuesta. No hay registro.
EL NUMERO A NIVEL CONECTIVO:
Los símbolos matematicos se conectan a actividades familiares con objetos.
Un niño completa el proceso físico y el otro registra el proceso de una
representación gráfica de la actividad, utilizando tarjetas con numerales
impresos.
EL NUMERO A NIVEL SIMBOLICO:
Símbolos escritos son utilizados para registrar el proceso de respuesta. Un
niño muestra la actividad física y el otro registra la relación numérica en hojas
de trabajo mostrando una representación gráfica de los materiales.

MÉTODO BARATTA- LORTON
Dirigido a potenciar las habilidades matemáticas en niños que se encuentran
en sus primeros años de escolaridad (desde kínder a segundo básico). Por esta
razón, las actividades que propone han sido diseñadas para ayudar a los niños
pequeños a ver las relaciones e interconexiones en las matemáticas.
Cada una de las actividades propuestas requiere el uso de material concreto,
por ejemplo, cubos unifix, cubos de madera y geo planos, que se pueden
adquirir en distintos lugares de venta de material didáctico; incluso muchas
escuelas ya cuentan con estos materiales gracias al programa CRA, pero no
saben cómo usarlos. Para desarrollar otras actividades se necesitan
simplemente colecciones de conchitas o botones, cajas vacías, porotos, tapas
de bebidas, cajas de huevos y otros objetos que son familiares para el niño y
que pueden ser recolectados en su mundo. Esto permite al profesor empezar

20

en el punto donde está el niño, en “su mundo”, y con ellos construir
gradualmente un puente hacia el mundo adulto de la abstracción.

NIVEL DEL CONCEPTO INTUITIVO:
El conocimiento intuitivo se da cuando percibimos el acuerdo o
desacuerdo de las ideas de modo inmediato, a partir de la consideración
de tales ideas y sin ningún proceso mediador. ("... a veces la mente
percibe de un modo inmediato el acuerdo o desacuerdo de dos ideas por
sí solas, sin intervención de ninguna otra; y a esto, creo, puede llamarse
conocimiento intuitivo". ("Por lo que toca a nuestra propia existencia, la
percibimos tan llanamente y con tanta certidumbre, que ni requiere, ni
es capaz de prueba alguna, porque nada puede ser para nosotros más
evidente que nuestra propia existencia".
NIVEL CONECTIVO:
La exploración de la sustracción en este nivel conectivo exige que los
niños representen cada sustracción impresa en forma concreta y en
tableros separados de contar. En una variación, los niños forman parejas
y uno de ellos localiza una tarjeta de ecuación para representar la acción
determinada por su compañero.
21

NIVEL SIMBOLICO:
Captación de cantidades nombradas: cuando el niño aprende el concepto
„‟uno‟‟ habrá que enseñarle que „‟uno‟‟ y „‟uno‟‟ son „‟dos‟‟
Identificación del nombre con la representación: uno (1), dos (2), tres (3)…
Invariabilidad de las cantidades nombradas convencionalmente: el niño tiene
que reconocer „‟dos‟‟, „‟tres‟‟, „‟cuatro‟‟ en sus distintas posiciones
Captación de las relaciones nombradas: al concepto dos se le conoce como
„‟uno‟‟ y „‟uno‟‟, al tres como „‟dos‟‟ y „‟uno‟‟
10.-Captación de relaciones numéricas: si 3=1+1+1 y 2=1+1, entonces 3=2+1,
5=2+3.

El trabajo de Piaget ha demostrado que el conocimiento infantil pasa a través
de creación y recreación en diferentes niveles y que ese paso a través de la
etapa gradual. La evolución de ideas matemáticas empieza con una
elaboración cualitativa de materiales, antes que con una elaboración
cuantitativa. Para Piaget, esos niveles no son limitaciones sino indicadores de
nuevas posibilidades respetar el pensamiento del niño implica tratar
actividades a su nivel y darle tiempo para explorar esas posibilidades al
máximo; no es dejarse seducir por un simbolismo vacío en un nivel
superficialmente superior.

22

“Respetar el pensamiento del niño es tratar actividades a su
nivel y darle tiempo para explorar esas posibilidades al
máximo; no es dejarse seducir por un simbolismo vacío en
un nivel solo superficialmente superior”

Las consecuencias educativas de estos planteamientos implican que la
matemática se construye en el pensamiento a medida que se estructura
lógicamente la realidad a partir de la interacción con el entorno. Estas
concepciones piagetianas insisten en la importancia de las operaciones lógicas
para construir los conceptos numéricos y aritméticos. Por ello la acción
docente debería centrarse en la mediación para la construcción de las nociones
lógico-matemáticas y en los aspectos lógicos subyacentes. Igualmente, los
procedimientos mecánicos y memorísticos, tan frecuentes en nuestras aulas,
deberían suprimirse a su mínima presencia, a favor de la comprensión de tales
nociones y su aplicación práctica.
Estos planteamientos justifican la importancia de iniciar acciones didácticas
que se ajusten adecuadamente al pensamiento específico del niño y, además,
estén más próximos a su vida real a fin de consolidar ese proceso constructivo.

LA EVOLUCION GRADUAL DEL CONCEPTO DE VALOR PROSICIONAL Y EL
PAPEL DE LOS OBJETOS EN SU DESARROLLO DE VALOR PROSICIONAL Y
EL PAPEL DE LOS OBJETOS EN SU DESARROLLO

23

Los niños anotan por si mismos mientras cuentan y agrupan los objetos.
el contar de uno en uno se reemplaza por el conteo de dos en dos, de
tres en tres, o se realiza una ruleta.
Los niños son colocados en muchas situaciones en las que se hace necesario
contar y agrupar para resolver un problema, como el de estimar el numero de
objetos contenidos en un recipiente.
A medida que los niños ganan experiencia en estas actividades, comienzan a
anticipar la siguiente jugada(s).es evidente que ellos estan elaborando
conceptos flexibles de valor proposicional a través de su propia actividad.

24

El desarrollo gradual y sistemático de las actividades de valor posicional de
Baratta-Lorton también evita el problema infantil de pasar rápidamente a
números que estan más allá de su comprensión. Aun cuando la mayoría de los
niños de 7 años de edad pueden retener cantidades tan grandes como ocho o I0,
su conservación de números al infinito se desarrolla gradualmente. Como
resultado de esto los niños, que reagrupan 25 objetos antes de remover seis
pueden creer que hay más objetos.
El conocimiento no es una copia de la realidad. Conocer un objeto, conocer un
evento, no es simplemente mirarlo para luego hacer una copia mental o tener
una imagen de ellos. Conocer es modificar; transformar el objeto y
comprender este proceso de transformación; entender la forma en que el
objeto es construido. Cualquier operación es por ello esencia del conocimiento,
es una acción interiorizada que modifica el objeto del conocimiento.

“Las relaciones matemáticas son elaboradas por
personas y existen solo las mentes. La interacción
entre la mente. La interacción entre la mente y los
materiales es necesaria para elaborar estas
relaciones lógicas.”

Los niños del periodo de las operaciones concretas requieren de experiencias
con objetos para pensar en función de las relaciones.Esto no significa, sin
embargo, que no puedan razonar lógicamente en ausencia de objetos.
En la etapa que el menor transcurre el nivel primaria, éste es cuando su
cerebro empieza a trabajar de manera más organizada sus operaciones
mentales y la lógica, es decir, ya le encuentra congruencia a las situaciones de
vida y objetos de su medio que lo rodea. Un ejemplo simple, si se le pide al
menor ordenar cinco botellas por su tamaño, él los comparara mentalmente,
extrayendo una conclusión respecto a la lógica sobre su orden correcto sin
efectuar físicamente las acciones correspondientes.

25

Esta capacidad de aplicar la lógica y las operaciones mentales le permite
abordar los problemas en forma más sistemática que un niño que se encuentre
en la etapa pre operacional.
De acuerdo con Piaget, el párvulo logra por sí mismo algunos avances en la
etapa de las operaciones concretas, las cuales son las que se presentan a
continuación:
El pensamiento del niño nos muestra menor rigidez y mucha mayor
flexibilidad.
El niño ya entiende que las operaciones son confusas, es decir, que se pueden
invertir o negarse mentalmente.
El menor de primaria, diferencia ya varias características del
estímulo.
En esta etapa no se basa solamente en juicios en las apariencias de las cosas.
De tener estados estáticos, pasan a condiciones de hacer inferencias
respecto a la naturaleza de las transformaciones.

BRINDANDO UN RANGO DE FACULTADES Y LIMITACIONES EN
EL SALON DE CLASES
El maestro, que conoce el grado de compresión de cada concepto de
conservación puede pedir tarjetas especificas en la que constan actividades
compatibles a nivel intelectual del niño, puede pedir tarjetas son una muestra
del conjunto de actividades y medidas de longitud sacadas de la unidad inicial.

26

Aquí algunos ejercicios que se pueden realizar con el alumno:
ESTRATEGIA PARA LA CORRESPONDENCIA UNO A UNO: “EN
BUSCA DE MI HOGAR”
¿PARA QUÉ?
Por medio de esta estrategia se pretende que el niño logre establecer
correspondencia uno a uno, situar objetos de acuerdo al lugar y preparar al
niño para la comprensión del concepto de número.
¿CÓMO LO VAS HACER?
Colocar la cartulina con el diferente hábitat de los animales (nido, colmena,
hormiguero, pecera).
Dar a los niños varias figuras de animales, entre ellos: Pájaros, abeja, hormiga,
pez.
Mediar para explicar o dar instrucciones sobre el juego mediante las consignas
“En busca de mi hogar” o “Encuentra el hogar del animal”.
Observar a los niños, mientras ubican a cada animal en su hábitat
correspondiente.
¿QUÉ MÁS PUEDES HACER?
Puede aprovecharse la situación de aprendizaje para leer cuentos sobre
animales y hablar sobre el hábitat de éstos. Igualmente pueden aprovecharse
otros objetos del salón de clase para establecer correspondencia uno a uno,
tales como: Mesas, sillas útiles escolares y otros.
¿CON QUÉ?
Cartulina con diferentes dibujos sobre el hábitat de algunos animales (Nido
de pájaros, colmena, hormiguero, pecera)
Dibujos de animales hechos en cartulina.
ESTRATEGIA PARA LA CLASIFICACION: “ABRIENDO PUERTAS
IGUALES”
¿PARA QUÉ?
El propósito de esta actividad es que el niño pueda seguir instrucciones para
agrupar objetos de acuerdo a sus cualidades, en este caso según la forma, color
y tamaño.

27

¨
Colocar varias llaves de diferentes tamaños, forma y color, junto con el
llavero.
¨
Mediar para dar instrucciones acerca del juego, utilizando la consigna
“Pon juntas las llaves que abren puertas iguales”.
¨
Observar al niño mientras agrupa las llaves de acuerdo a su tamaño,
color y forma. Las llaves deben ser colocadas dentro del llavero de acuerdo al
criterio seleccionado por el niño.
¨
Crear situaciones en las que el niño pueda clasificar utilizando dos
criterios simultáneos.
Puede aprovecharse la situación de aprendizaje sobre las funciones que
cumplen las llaves y las cerraduras dentro de las medidas de seguridad.
Además de estos objetos, el maestro puede utilizar otros dentro del salón de
clase para invitar al niño a agruparlos atendiendo a una o más características,
sin imponer tales criterios.
¿CON QUÉ?
Llaves de diferentes formas, colores y tamaños.
Llaveros
ESTRATEGIA PARA LA TRANSITIVIDAD “ARREGLANDO LAS
LLAVES”
¿PARA QUÉ?
Con este juego se pretende que el niño muestre el grado de desarrollo de las
nociones lógico-matemáticas referentes a la seriación, como proceso previo
para establecer orden entre los objetos, comprender las diferencias de tamaño,
establecer relaciones “más grande que” y “menor qué”. Estos procesos son
fundamentales para que el niño establezca las reglas de la transitividad.
Conocimiento fundamental para introducir la noción de número.

28

¨
Colocar varias llaves (ocho a nueve llaves de la misma forma y color)
sobre la mesa de manera desordenada.
¨
Mediar para inducir al niño a ordenar las llaves siguiendo como criterio
el tamaño, para ello utilizará la consigna “Arreglemos las llaves” y a la vez
preguntar a los niños: ¿Cuál es la más grande? ¿Cuál es la más pequeña?
Comparar entre ellas.
¨
Permitir que el niño responda en un clima de libertad y espontaneidad, a
fin de percibir la calidad de respuesta por parte del niño, en cuanto a los
procesos que involucra este juego.
Además de utilizar las llaves, el docente puede recurrir a otros objetos del
salón de clase, tales como: lápices, cuadernos, libros, morrales.
¿CON QUÉ?
Llaves de igual forma y color pero de diferentes tamaños.
ESTRATEGIA PARA LA CONSERVACION DEL NUMERO DE
OBJETOS: “ADIVINA DONDE HAY MÁS”
¿PARA QUÉ?
Este juego permite que el niño después de observar, establezca relaciones
entre los objetos. Esta relaciones se basan en la capacidad para diferenciar la
cantidad de objetos que se le presentan en distintas formas espaciales
(Regados, amontonados, uno al lado del otro, unos encima de otros), para que
el niño realice experiencias sobre conservación de la cantidad en varias
situaciones Aquí, es importante tener presente, que la conservación numérica
es independiente de la disposición espacial de los objetos.
¿CÓMO LO VAS A HACER?
¨
Presentar al niño, igual número de envases colocados en forma diferente:
Una vez colocados en forma de columna horizontal y en forma vertical, otra
vez agrupados en forma de círculos. Después de presentar los objetos en

29

forma diferente, el docente mediará el proceso a través de la consigna:
“Adivina donde hay más”.
¨
Permitir que el niño comparare un agrupamiento con otro, para intentar
deducir si existe la misma cantidad de objetos independiente de la forma en
que son agrupados.
¨
Atender la respuesta dada por el niño en cada situación, ya que tales
experiencias, constituyen indicios del pensamiento reversible. La
reversibilidad es necesaria, según Piaget, en la construcción del pensamiento
conservativo del niño.
¿CON QUÉ?
Además de envases, el docente puede utilizar otros objetos, tales como:
metras, monedas, botones.

RESOLUCION DE PREGUNTAS GENERADORAS NUCLEO N° 4

Problemas:
¿Qué estudios de pedagogía y psicología se han realizado en el campo de las
Matematicas?
A finales de los años cincuenta y comienzo de la década de los sesenta, se
produce un cambio curricular importante en la enseñanza de las matemáticas
escolares, conocida como la nueva matemática o matemática moderna.
Las bases filosóficas de este movimiento se establecieron durante el seminario
de Royamount, celebrado en 1959. En el transcurso del mismo, el famoso
matemático francés Jean Diudonné lanzó el grito de "abajo Euclides" y
propuso ofrecer a los estudiantes una enseñanza basada en el carácter
deductivo de la matemática y que partiera de unos axiomas básicos en
contraposición a la enseñanza falsamente axiomática de la geometría
imperante en aquellos momentos. En ese mismo seminario la intervención de
otro matemático francés, G. Choquet va en el mismo sentido: ... disponemos
de un excelente ejemplo, el conjunto de los números enteros, donde estudiar
los principales conceptos del álgebra, como son la relación de orden, la
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estructura de grupo, la de anillo...". Estas dos intervenciones se pueden
considerar como paradigmáticas del movimiento que se inicia, pues la primera
dibuja el enfoque que ha de caracterizar la enseñanza de la matemática y la
otra cuál es el contenido más apropiado. La idea en principio parecía bastante
lógica y coherente. Por un lado se pretendía transmitir a los alumnos el
carácter lógico-deductivo de la matemática y al mismo tiempo unificar los
contenidos por medio de la teoría de conjuntos, las estructuras algebraicas y
los conceptos de relación y función de la matemática superior. A finales de los
sesenta y principios de los setenta parece claro que la nueva matemática ha
sido un fracaso. Surgen entonces algunas voces en contra del enfoque
adoptado, como es el caso de R. Thom (Modern Mathematics: does it exist?
(1973): " Ellos, los bourbakistas, abandonaron un campo ideal para el
aprendizaje de la investigación: La geometría euclídea, mina inagotable de
ejercicios y la sustituyeron por las generalidades de los conjuntos y la lógica,
materiales tan pobres, vacíos y frustrantes para la enseñanza como los que más.
El énfasis puesto por los estructuralistas en la axiomática no es sólo una
aberración pedagógica sino también matemática."
El fracaso del movimiento conocido como la matemática moderna, pues no se
aprenden los conceptos ni las estructuras superiores y además los alumnos
siguen sin dominar las rutinas básicas del cálculo, produce nuevos
movimientos renovadores. Entre estos movimientos, en lo que sigue, nos
referiremos a los conocidos como retorno a lo básico, la resolución de
problemas y la matemática como actividad humana.
El retorno a lo básico (Back to Basic), supuso para las matemáticas escolares
retomar la práctica de los algorítmos y procedimientos básicos de cálculo.
Después de un tiempo, se hizo evidente que tal retorno a lo básico no era la
solución razonable a la enseñanza de las matemáticas. Los alumnos, en el
mejor de los casos, aprendían de memoria los procedimientos sin
comprenderlos. A finales de los setenta empezó a cuestionarse el eslogan
"retorno a lo básico". ¿Qué es lo básico? Ya que no parecía posible enseñar
matemáticas modernas, ¿habría que enseñar matemáticas básicas? Esta última
pregunta nos lleva a otra de forma natural, ¿qué son matemáticas básicas? ¿La
geometría elemental?, ¿la aritmética? Había demasiadas opiniones sobre qué
es "lo básico". Esta pregunta impregnó el III Congreso Internacional de
Educación Matemática (ICME), celebrado en Berkeley en el verano de 1980.
¿Podría ser la resolución de problemas el foco de atención y respuesta a esa
pregunta? Casi como una bienvenida a todos los profesores que asisten al
ICME el National Council of Teachers of Mathematics (NCTM) edita su
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famosa Agenda in Action para toda la década de los ochenta. Así la resolución
de problemas, the problem solving approach, se pretende que sea algo más que
otro eslogan y se convierta en toda una tarea a desarrollar, a interpretar y a
llevar a cabo.
En el congreso de Berkeley hay un invitado de honor especial, H. Freudenthal,
que interviene en una ponencia bajo el título "Major Problems of Mathematics
Education" (Grandes problemas de la educación matemática). Así comenzó
H.Freudenthal su intervención: " Perdonadme, no fui yo quien eligió este tema,
aunque cuando se me propuso, experimente un gran reto. Un reto, de verdad,
pero para ser sinceros no como para emular a D. Hilbert, quién anunció sus
famosos 23 problemas de matemáticas en el congreso internacional de
matemáticas celebrado en París en 1900, que tanto influyeron el desarrollo y
curso de las investigaciones matemáticas a lo largo de este siglo... Para a
continuación rechazar el camino seguido por Hilbert y considerar como su
centro de interés los problemas que surgen en la educación matemática como
una actividad social y no sólo como campo de investigación educativa. Creo
que es importante y clarificadora esta toma de postura de Freudenthal, pues a
continuación entra de lleno en el problema que considera, no más importante,
pero sí más urgente: Lo que es un problema es cómo formularlo correctamente
y sin errores . ..Why can Johnny not do arithmetic? , parodiando el título de un
famoso libro de M.Kline que aquí fue traducido como El Fracaso de la
Matemática Moderna, para preguntarse si suena sexista tal cuestión y si no
sonará más sexista aún si la formula como Why can Mary not do arithmetic?,
pues esta última formulación sugeriría que las niñas son mucho peores que los
niños en aritmética. Por último Freudenthal reformula la pregunta de forma
más concreta Why can Jennifer not do arithmetic?, Jennnifer no es un ser
abstracto, es una alumna que a los ocho años tenía graves fallos en aritmética
y que habían desaparecido a la edad de once años, después de una atención
particularizada. En contra del planteamiento general que encierra la pregunta
Why can Johnny not do arithmetic? Freudenthal opta por un enfoque
particular, así, la pregunta Why can Jennifer not do arithmetic? tiende a
plantear un problema particular, individual, que permita abordar el problema
personal que Jennifer tiene con la aritmética y sobre todo a profundizar en qué
aspectos del aprendizaje de Jennifer la han conducido al fracaso. Tanto Polya
(que no pudo asistir, pero que envió una nota de excusa en la que planteaba
qué puede hacer el profesor para mejorar la mente de sus alumnos) como
Freudenthal sitúan en centro de atención sobre el aprendizaje, el primero
solicitando de los profesores un compromiso con el aprendizaje de sus
alumnos hacia la adquisición y mejora de las capacidades intelectuales; el
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segundo en concretar, particularizar los problemas derivados de la enseñanza
y en investigar los aprendizajes individuales para dar posibles soluciones a los
aparentes fracasos, y obtener ejemplos paradigmáticos de diagnosis y
prescripción de los mismos. Freudenthal hace una llamada a la conciencia de
todos los profesores e investigadores para que estos ejemplos se registren y se
transmitan, de tal forma que unos puedan aprender de los otros y se gestione
de forma efectiva el conocimiento en educación matemática.

2. ¿Qué significa serMatemáticamenteCompetente?

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