RECTA DE EULER

ESCUELA SUPERIOR POLITÉCNICA DEL LITORAL
CURSO DE NIVELACIÓN DE CARRERA-SENESCYT
INTEGRANTES:
• Mora Lombeida Lady Russhell.
• González González Karol Nicole.
• Guanoluisa Tituaña Víctor Emilio.
• Bravo Villalta Aaron Isaac.
• Tinillo Loor Luis Fernando.
TUTOR: Ing. Elkin Angulo
CURSO: ING19M

El presente informe tiene como finalidad mostrar la
aplicación de métodos numérico más explícitamente
para hallar las ecuaciones de los puntos notables de la
Recta de Euler.
Asimismo, se aplica fórmulas establecidas y se realiza el
respectivo procedimiento para calcular las
coordenadas, distancia de los puntos solicitados y para
demostrar que pertenecen a una misma recta en un
triángulo no equilátero.

 Determinar las ecuaciones de las medianas de un triángulo y su baricentro.
 Determinar las ecuaciones de las mediatrices de un triángulo y su
circuncentro.
 Determinar las ecuaciones de las alturas de un triángulo y su ortocentro.
 Resolver un sistema de ecuaciones lineales.
 Explicar el significado de la recta de euler.
 Calcular la distancia del baricentro al ortocentro.
 Calcular la distancia del baricentro al circuncentro.

Altura de un triángulo:
Una altura de un triángulo es un
segmento perpendicular desde un
vértice del triángulo a la recta que
contiene al lado opuesto.
Todo triángulo tiene tres alturas y
ellas se cortan en un punto
llamado ortocentro.

Mediana de un
triángulo
Es el segmento que une el
vértice con el punto medio
del lado opuesto .
Todo triángulo tiene tres
medianas que se cortan en
un punto llamado
baricentro.

Mediatriz de un triángulo
Es el segmento perpendicular
desde el punto medio de cada
lado.
Todo triángulo tiene tres
mediatrices que se cortan en
un punto llamado circuncentro.

En todo triángulo no equilátero, se
cumple la siguiente propiedad: el
ortocentro (H), el baricentro (G) y el
circuncentro (O) están alineados.
La recta que contiene estos tres puntos
se llama recta de Euler.

Se cumple que la distancia del ortocentro (H)
al baricentro (G), es el doble que la del
baricentro (G) al circuncentro (O). O dicho de
otro modo, el segmento HG es el doble que
el GO.

A = (2,2)
C = (3,-3)B = (-7,-3)

𝐴𝐵 → 𝑥 =
𝑋1 + 𝑋2
2
, 𝑦 =
𝑦1 + 𝑦2
2
𝑥 =
2 − 7
2
, 𝑦 =
2 − 3
2
𝑥 = −
5
2
, 𝑦 = −
1
2
𝑚 𝐴𝐵 =
−3 − (2
−7 − (2
=
5
9
𝑚⊥AB = −
1
𝑚 𝐴𝐵
= −
9
5
𝑦 − 𝑦1 = 𝑚 𝑥 + 𝑥1
𝑦 − −
1
2
= −
9
5
𝑥 − −
5
2
𝑦 +
1
2
= −
9
5
𝑥 +
5
2
𝑦 +
1
2
= −
9
5
𝑥 −
45
10
𝑦 = −
9
5
𝑥 − 5
𝑬𝒄𝒖𝒂𝒄𝒊ó𝒏 𝒅𝒆 𝒍𝒂 𝒎𝒆𝒅𝒊𝒂𝒕𝒓𝒊𝒛: 9𝒙 + 5𝒚 + 25 = 0

𝐴𝐶 → 𝑥 =
𝑋1 + 𝑋2
2
, 𝑦 =
𝑦1 + 𝑦2
2
𝑥 =
2 + 3
2
, 𝑦 =
2 − 3
2
𝑥 =
5
2
, 𝑦 = −
1
2
𝑚 𝐴𝐶 =
−3 − (2
3 − (2
= −5
𝑚⊥AC = −
1
𝑚 𝐴𝐶
=
1
5
𝑦 − 𝑦1 = 𝑚 𝑥 + 𝑥1
𝑦 − −
1
2
=
1
5
𝑥 −
5
2
𝑦 +
1
2
=
1
5
𝑥 −
5
2
𝑦 +
1
2
=
1
5
𝑥 −
5
10
𝑦 =
1
5
𝑥 − 1
𝑬𝒄𝒖𝒂𝒄𝒊ó𝒏 𝒅𝒆 𝒍𝒂 𝒎𝒆𝒅𝒊𝒂𝒕𝒓𝒊𝒛: 𝒙 − 𝟓𝒚 − 𝟓 = 𝟎

𝐵𝐶 → 𝑥 =
𝑋1 + 𝑋2
2
, 𝑦 =
𝑦1 + 𝑦2
2
𝑥 =
−7 + 3
2
, 𝑦 =
−3 − 3
2
𝑥 = −
4
2
, 𝑦 = −
6
2
𝑥 = −2, 𝑦 = −3
𝑚 𝐵𝐶 =
−3 − (−3
3 − (−7
= 0
𝑚⊥BC = −
1
𝑚 𝐵𝐶
= 0
𝑦 − 𝑦1 = 𝑚 𝑥 + 𝑥1
𝑦 − −3
0
= 𝑥 − −2
𝑦 − −3
0
= 𝑥 + 2
𝑦 + 3
0
= 𝑥 + 2
0 = 𝑥 + 2
𝑬𝒄𝒖𝒂𝒄𝒊ó𝒏 𝒅𝒆 𝒍𝒂 𝒎𝒆𝒅𝒊𝒂𝒕𝒓𝒊𝒛: 𝒙 + 𝟐 = 𝟎

Lado AB = 9𝑥 + 5𝑦 + 25 = 0
Lado AC = 𝑥 − 5𝑦 − 5 = 0
Lado BC = 𝑥 + 2 = 0

CALCULAR COORDENADAS CIRCUNCENTRO
a) 𝟗𝒙 + 𝟓𝒚 + 𝟐𝟓 = 𝟎
b) 𝒙 − 𝟓𝒚 − 𝟓 = 𝟎
−
9
5
𝑥 − 5 =
1
5
𝑥 − 1
−9𝑥 − 25 = x − 5
−9𝑥 − 𝑥 − 25 + 5 = 0
−10𝑥 − 20 = 0
𝑥 = −
20
10
𝒙 = −𝟐
Sustituir x = -2 en cualquier ecuación
𝑦 =
1
5
𝑥 − 1
𝑦 =
1
5
−2 − 1
𝑦 = −
2
5
− 1
𝑦 =
−2 − 5
5
𝒚 = −
𝟕
𝟓
𝑪𝒊𝒓𝒄𝒖𝒏𝒄𝒆𝒏𝒕𝒓𝒐 −2, −
7
5

- Hallamos la ecuación de la altura AB, si conoces 𝑚⊥AB y el punto que pasa,
que en este caso es C= (3, -3)
𝑦 − 𝑦1 = 𝑚 𝑥 + 𝑥1
𝑦 − −3 = −
9
5
𝑥 − 3
𝑦 + 3 = −
9
5
𝑥 − 3
𝑦 + 3 = −
9
5
𝑥 +
27
5
𝑦 = −
9
5
𝑥 +
12
5
𝑬𝒄𝒖𝒂𝒄𝒊ó𝒏 𝒅𝒆 𝒍𝒂 𝒂𝒍𝒕𝒖𝒓𝒂: 9𝒙 + 5𝒚 − 12 = 0

Hallamos la ecuación de la altura AC, si conoces 𝑚⊥AC y el punto que pasa,
que en este caso es B= (-7, -3)
𝑦 − 𝑦1 = 𝑚 𝑥 + 𝑥1
𝑦 − −3 =
1
5
𝑥 − −7
𝑦 + 3 =
1
5
𝑥 + 7
𝑦 + 3 =
1
5
𝑥 −
7
5
𝑦 =
1
5
𝑥 −
8
5
𝑬𝒄𝒖𝒂𝒄𝒊ó𝒏 𝒅𝒆 𝒍𝒂 𝒂𝒍𝒕𝒖𝒓𝒂: 𝒙 − 𝟓𝒚 − 𝟖 = 𝟎

Hallamos la ecuación de la altura BC, si conoces 𝑚⊥BC y el punto que pasa,
que en este caso es A= (2, 2)
𝑦 − 𝑦1 = 𝑚 𝑥 + 𝑥1
𝑦 − 2
0
= 𝑥 − 2
𝑦 − 2
0
= 𝑥 − 2
0 = 𝑥 − 2
𝑬𝒄𝒖𝒂𝒄𝒊ó𝒏 𝒅𝒆 𝒍𝒂 𝒂𝒍𝒕𝒖𝒓𝒂: 𝒙 − 𝟐 = 𝟎

Lado AB = 𝟗𝒙 + 𝟓𝒚 − 𝟏𝟐 = 𝟎
Lado AC = 𝒙 − 𝟓𝒚 − 𝟖 = 𝟎
Lado BC = 𝒙 − 𝟐 = 𝟎

CALCULAR COORDENADAS ORTOCENTRO
a) 𝟗𝒙 + 𝟓𝒚 − 𝟏𝟐 = 𝟎
b) 𝒙 − 𝟓𝒚 − 𝟖 = 𝟎
−
9
5
𝑥 +
12
5
=
1
5
𝑥 −
8
5
−9𝑥 + 12 = x − 8
−9𝑥 − 𝑥 = −8 − 12
−10𝑥 = −20
𝑥 =
20
10
𝒙 = 𝟐
Sustituir x = 2 en cualquier ecuación
𝑦 =
1
5
𝑥 −
8
5
𝑦 =
1
5
2 −
8
5
𝑦 =
2
5
−
8
5
𝒚 = −
𝟔
𝟓
𝑶𝑹𝑻𝑶𝑪𝑬𝑵𝑻𝑹𝑶 = 2, −
6
5

𝑥 − 𝑥1
𝑥2 − 𝑥1
=
𝑦 − 𝑦1
𝑦2 − 𝑦1
𝑥 − 3
−
5
2
− 3
=
𝑦 + 3
−
1
2
+ 3
𝑥 − 3
−
11
2
=
𝑦 + 3
5
2
5
2
𝑥 − 3 = −
11
2
𝑦 + 3
5
2
𝑥 −
15
2
= −
11
2
𝑦 −
33
2
5𝑥 − 15 = −11𝑦 − 33
Hallamos la ecuación de la mediana 𝐴𝐵, si conoces 𝐴𝐵 y el punto que pasa que es
C = (3, -3)
𝑬𝒄𝒖𝒂𝒄𝒊ó𝒏 𝒅𝒆 𝒍𝒂 𝒎𝒆𝒅𝒊𝒂𝒏𝒂: 𝟓𝒙 + 𝟏𝟏𝒚 + 𝟏𝟖 = 𝟎

𝑥 − 𝑥1
𝑥2 − 𝑥1
=
𝑦 − 𝑦1
𝑦2 − 𝑦1
𝑥 + 7
5
2
+ 7
=
𝑦 + 3
−
1
2
+ 3
𝑥 + 7
19
2
=
𝑦 + 3
5
2
5
2
𝑥 + 7 =
19
2
𝑦 + 3
5
2
𝑥 −
35
2
=
19
2
𝑦 +
57
2
5𝑥 + 35 = 19𝑦 + 57
Hallamos la ecuación de la mediana 𝐴𝐶, si conoces 𝐴𝐶 y el punto que pasa que es
B = (-7, -3)
𝑬𝒄𝒖𝒂𝒄𝒊ó𝒏 𝒅𝒆 𝒍𝒂 𝒎𝒆𝒅𝒊𝒂𝒏𝒂: 𝟓𝒙 − 𝟏𝟗𝒚 − 𝟐𝟐 = 𝟎

𝑥 − 𝑥1
𝑥2 − 𝑥1
=
𝑦 − 𝑦1
𝑦2 − 𝑦1
𝑥 − 2
−2 − 2
=
𝑦 − 2
−3 − 2
𝑥 − 2
−4
=
𝑦 − 2
−5
−5 𝑥 − 2 = −4 𝑦 − 2
−5𝑥 + 10 = −4𝑦 + 8
−5𝑥 + 4𝑦 + 2 = 0
Hallamos la ecuación de la mediana 𝐵𝐶, si conoces 𝐵𝐶 y el punto que pasa que es
A = (2, 2)
𝑬𝒄𝒖𝒂𝒄𝒊ó𝒏 𝒅𝒆 𝒍𝒂 𝒎𝒆𝒅𝒊𝒂𝒏𝒂: 𝟓𝒙 − 𝟒𝒚 − 𝟐 = 𝟎

Lado AB = 𝟓𝒙 + 𝟏𝟏𝒚 + 𝟏𝟖 = 𝟎
Lado AC = 𝟓𝒙 − 𝟏𝟗𝒚 − 𝟐𝟐 = 𝟎
Lado BC = 𝟓𝒙 − 𝟒𝒚 − 𝟐 = 𝟎

Sean: A= (2,2), B= (-7,-3), C= (3,-3) los vértices del triángulo,
entonces el baricentro está dado por la siguiente fórmula:
𝐺 =
𝑋1 + 𝑋2 + 𝑋3
3
,
𝑌1 + 𝑌2 + 𝑌3
3
𝐺 =
2 − 7 + 3
3
,
2 − 3 − 3
3
𝑩𝑨𝑹𝑰𝑪𝑬𝑵𝑻𝑹𝑶 −
2
3
, −
4
3
CALCULAR COORDENADAS BARICENTRO

CIRCUNCENTRO −𝟐, −
𝟒
𝟑
BARICENTRO −
𝟐
𝟑
, −
𝟒
𝟑
ORTOCENTRO 𝟐, −
𝟔
𝟓

ECUACIÓN RECTA DE EULER
𝑃𝑎𝑟𝑎 𝑐𝑎𝑙𝑐𝑢𝑙𝑎𝑟 𝑙𝑎 𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑅𝑒𝑐𝑡𝑎 𝑑𝑒 𝐸𝑢𝑙𝑒𝑟 𝑠𝑜𝑙𝑜 𝑛𝑒𝑐𝑒𝑠𝑖𝑡𝑎𝑚𝑜𝑠
𝑙𝑎𝑠 𝑐𝑜𝑜𝑟𝑑𝑒𝑛𝑎𝑑𝑎𝑠 𝑑𝑒𝑙 𝐵𝑎𝑟𝑖𝑐𝑒𝑛𝑡𝑟𝑜 𝑦 𝐶𝑖𝑟𝑐𝑢𝑛𝑐𝑒𝑛𝑡𝑟𝑜
y − y1
x − x1
=
y2 − y1
x2 − x1
y +
4
3
x +
2
3
=
−
7
5
+
4
3
−2 +
2
3
y +
4
3
x +
2
3
=
−
1
15
−
4
3
-
4
3
𝑦 +
4
3
= −
1
15
𝑥 +
2
3
−
4
3
𝑦 −
16
9
= −
1
15
𝑥 −
2
45
1
15
𝑥 −
4
3
𝑦 −
16
9
+
2
45
= 0
3𝑥 − 60𝑦 − 80 + 2 = 0
3 𝑥 − 20𝑦 − 26 = 0
RECTA DE EULER -> 𝐱 − 𝟐𝟎𝐲 − 𝟐𝟔 = 𝟎
𝐵 = −
2
3
, −
4
3
𝑌 𝐶 = −2, −
4
3

DISTANCIA DEL BARICENTRO AL ORTOCENTRO
𝐵 = −
2
3
, −
4
3
𝑌 O = 2, −
6
5
d = 𝑋2 − 𝑋1
2 + 𝑌2 − 𝑌1
2
𝑑 𝐵𝑂 = 2 +
2
3
2
+ −
6
5
+
4
3
2
𝑑 𝐵𝑂 =
6 + 2
3
2
+
−18 + 20
15
2
𝑑 𝐵𝑂 =
8
3
2
+
2
15
2
𝑑 𝐵𝑂 =
64
9
+
4
225
𝑑 𝐵𝑂 =
1600 + 4
225
𝑑 𝐵𝑂 =
1604
225
𝒅 𝑩𝑶 = 𝟐, 𝟔𝟕

DISTANCIA DEL BARICENTRO AL CIRCUNCENTRO
d = 𝑋2 − 𝑋1
2 + 𝑌2 − 𝑌1
2
𝑑 𝐵𝐶 = −
2
3
+ 2
2
+ −
4
3
+
7
5
2
𝑑 𝐵𝐶 =
−2 + 6
3
2
+
−20 + 21
15
2
𝑑 𝐵𝐶 =
4
3
2
+
1
15
2
𝑑 𝐵𝐶 =
16
9
+
1
225
𝑑 𝐵𝐶 =
400 + 1
225
𝑑 𝐵𝐶 =
401
225
𝒅 𝑩𝑪 = 𝟏, 𝟑𝟑
𝐵 = −
2
3
, −
4
3
𝑌 𝐶 = −2, −
4
3

DISTANCIA DEL CIRCUNCENTRO AL ORTOCENTRO
𝑑 𝐶𝑂 = 𝑋2 − 𝑋1
2 + 𝑌2 − 𝑌1
2
𝑑 𝐶𝑂 = 2 + 2 2 + −
6
5
+
7
5
2
𝑑 𝐶𝑂 = 4 2 +
1
5
2
𝑑 𝐶𝑂 = 16 +
1
25
𝑑 𝐶𝑂 =
400 + 1
25
𝒅 𝑪𝑶 = 𝟒, 𝟎𝟎
C= −2, −
4
3
𝑌 O = 2, −
6
5

Para comprobar que los puntos son colineales, la
distancia existente entre los puntos extremos debe
ser igual a la suma de las distancias de un extremo
al punto intermedio con la distancia del punto
intermedio al otro extremo.
Si se comprueba la igualdad de la suma
mencionada entonces los puntos son colineales.
𝒅 𝑪𝑶 = 𝒅 𝑩𝑶 + 𝒅 𝑩𝑪

Ahora reemplazamos las distancias calculadas
anteriormente:
𝒅 𝑪𝑶 = 𝒅 𝑩𝑶 + 𝒅 𝑩𝑪
𝟒, 𝟎𝟎 = 𝟐, 𝟔𝟕 + 𝟏, 𝟑𝟑
𝟒, 𝟎𝟎 = 𝟒, 𝟎𝟎
Ambas distancias sumadas, determinaron un número igual
a la distancia entre los extremos C y O, ello quiere decir
que los tres puntos están alineados.

Con este proyecto podemos concluir que el triángulo es una
figura geométrica extraordinariamente importante en la
geometría y los tres puntos notables se encuentran dentro de un
triángulo acutángulo.
Y para hallar o realizar la recta de Euler se debió tener claro los 3
puntos notables de un triángulo, que son el ortocentro,
baricentro y circuncentro están siempre alineados.
Además, el baricentro está entre el ortocentro y circuncentro.
Finalmente nos fue de mucha ayuda el programa Geogebra para
construir los puntos notables del triángulo y así construir la recta
de Euler.

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