S1 rm31b

01 02COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN 1er Año Secundaria RAZONAMIENTO MATEMÁTICO 1er Año Secundaria
SUMATOR
En el presente tema antes de poder resolver
problemas sobre sumatorias, vamos a diferenciar
conceptos referentes a este tema:
Sucesión: Es una secuencia de datos rígidos por
una ley de formación.
Ejemplo:
10 11 12 13
+1 +1 +1
; ; ;
Serie: Es la suma de los términos de una
sucesión. Al resultado de efectuar la serie
se le llama valor de la serie.
Ejemplo:
4610 11 12 13+ + + =
serie valor
Sumatoria: Es una síntesis de la serie. Se
representa mediante:
∑=
n
i
i
1
Donde:
Σ : Es el símbolo de la sumatoria.
i : Índice ( varía desde 1 hasta 20)
Ejemplo:
La expresión: S = 1 + 2 + 3 + . . . + 40
Puede ser escrita de modo simplificado:
∑
=
=
40
1i
iS
Se lee: “Suma de todas las i, desde i = 1, hasta i
= 20”
A continuación se presentan varios tipos de
series notables en las cuales vamos a calcular su
valor mediante fórmulas.
SUMA DE LOS “N” PRIMEROS NÚMEROS
CONSECUTIVOS:
Si tenemos la siguiente serie:
S = 1 + 2 + 3 + 4 + . . .+ n
Podemos calcular el valor de la suma mediante la
siguiente fórmula:
2
1)n(n
S
+
=
Donde: n = Termino enésimo (último)
Ejemplo:
Calcular: S = 1 + 2 + 3 + . . . + 20
Solución:
Sea: n = 20
Luego, reemplazando en la formula tenemos:
2
)120(20 +
=S
Efectuando la operación, tenemos que la suma es:
S = 210
SUMA DE LOS “N” PRIMEROS NÚMEROS
IMPARES CONSECUTIVOS:
S = 1 + 3 + 5 + 7 + . . .+ N
siguiente fórmula:
2
2
1





 +
=
N
S
Donde: N = Termino enésimo (último)
Ejemplo:
Calcular: S = 1 + 3 + 5 + . . . + 29
Solución:
Sea: N = 29
2
2
129





 +
=S
S = 225
SUMA DE LOS CUADRADOS DE LOS “N”
PRIMEROS NÚMEROS. CONSECUTIVOS:
22222
....4321 nS +++++=
siguiente fórmula:
6
)12)(1( ++
=
nnn
S
Donde:
n: Termino enésimo (Ultimo)
Ejemplo:
Calcular:
22222
30...4321 +++++=S
Solución:
Sea: n = 30
6
)130.2)(130(30 ++
=S
S = 9 455
PROBLEMAS RESUELTOS
01. Calcular: S = 1 + 2 + 3 + . . . + 40
Solución:
Sea: n = 40
2
)140(40 +
=S
Efectuando la operación, tenemos que la
suma es:
S = 820
02. Calcular: S = 1 + 2 + 3 + . . . + 80
Solución:
Sea: n = 80
2
)180(80 +
=S
suma es:
S = 3 240
03. Calcular: S = 1 + 2 + 3 + . . . + 88
Solución:
S1RM31B “Los más grandes hombres crecen con nosotros...” S1RM31B “Los más grandes hombres crecen con nosotros...”
I
BIMESTRE

Sea: n = 88
2
)188(88 +
=S
suma es:
S = 3 916
04. Calcular: S = 1 + 2 + 3 + . . . + 100
Solución:
Sea: n = 100
2
)1100(100 +
=S
suma es:
S = 5 050
05. Calcular: S = 2 + 4 + 6 + . . . + 20
Solución:
Sea: 2n = 20 → n = 10
S = 10 (10 + 1)
suma es:
S = 110
06.Calcular: S = 2 + 4 + 6 + . . . + 36
Solución:
Sea: 2n = 36 → n = 18
S = 18 (18 + 1)
suma es:
S = 342
07. Calcular: S = 2 + 4 + 6 + . . . + 50
Solución:
Sea: 2n = 50 → n = 25
S = (25 (25 + 1)
suma es:
S = 650
08. Calcular: S = 2 + 4 + 6 + . . . + 80
Solución:
Sea: 2n = 40 → n = 20
S = 20 (20 + 1)
suma es:
S = 420
09. Calcular: S = 1 + 3 + 5 + . . . + 21
Solución:
Sea: M = 21
2
2
121





 +
=S
suma es:
S = 121
10. Calcular: S = 1 + 3 + 5 + . . . + 41
Solución:
Sea: M = 41
2
2
141





 +
=S
suma es:
S = 441
11. Calcular:
S = (1+3+5+...+29)(2+4+6+...+30)
Solución:
Vemos dos factores, en el primer factor se
puede ver que están sumándose los primeros
29 números impares y en el otro factor los 30
primeros números pares, por tanto:
Utilizando las formulas para cada caso nos
queda:
( )[ ]13030.
2
129
2
+




 +
=S
Operando tenemos:
S =(225)(930)
S = 209 250
12. Calcular:
S=(1+5)+(2+5)+(3+5)+(4+5)+...+(20+5)
Solución:
En primer lugar separar y agrupar los
primeros números consecutivos de el número
5, es decir:
S=(1+2+3+4+...+20)+(5+5+...+5)
Debemos tener presente que el número 5 se
repite 20 veces, entonces aplicando formula
nos queda:
S = )20(5
2
)120(20
+
+
Operando tenemos:
S = 210 + 100
S = 310
13. Calcular:
22222
10....4321 +++++=S
Solución:
Sea: n = 10
6
)110.2)(110(10 ++
=S
suma es:
S = 385
14. Calcular:
22222 144321 +++++= ....S
Solución:
Sea: n = 14
6
)114.2()114(14 ++
=S
suma es:
S = 1 015
15.Calcular:
S=12
+1+22
+2+32
+3+...+303
+30
Solución:
Debemos diferenciar la suma de los
cuadrados de los 30 primeros números
consecutivos de la suma de los 30 primeros
números consecutivos. Por tanto, tendremos
lo siguiente:
S=(12
+22
+32
+...+302
)+(1+2+3+...+30)

Luego procedemos a calcular la suma
aplicando sus respectivas formulas:
2
)130(30
6
)130.2)(130(30 +
+
++
=S
Operando, nos queda:
S = 9 455 + 465
S = 9 920
PRÁCTICA DE CLASE
01.Calcular: S = 1 + 2 + 3 + . . . + 42
a) 340 b) 850 c) 903
d) 565 e) 928
02.Calcular: S = 1 + 2 + 3 + . . . + 22
a) 250 b) 253 c) 355
d) 265 e) 128
03.Calcular: S = 1 + 2 + 3 + . . . . . . + 68
a) 2500 b) 2532 c) 3055
d) 2651 e) 2346
04.Calcular: S = 2 + 4 + 6 +. . . . . . + 22
a) 132 b) 200 c) 325
d) 264 e) 128
05.Calcular: S = 2 + 4 + 6 + . . . + 60
a) 870 b) 930 c) 855
d) 675 e) 548
06.Calcular: S = 2 + 4 + 6 + . . . + 100
a) 2500 b) 2530 c) 3550
d) 2650 e) 2550
07.Calcular: S = 1 + 3 + 5 + . . . + 27
a) 198 b) 196 c) 135
d) 165 e) 155
08.Calcular: S = 1 + 3 + 5 + . . . + 33
a) 238 b) 296 c) 289
d) 23 5 e) 258
09.Calcular: S = 1 + 3 + 5 + . . . + 45
a) 540 b) 549 c) 439
d) 529 e) 327
10.Calcular: 2222
11...321 ++++=S
a) 498 b) 596 c) 506
d) 465 e) 555
11.Calcular: 2222 17321 ++++= ...S
a) 1785 b) 1546 c) 1766
d) 1765 e) 1755
12. Calcular: 2222 20321 ++++= ...S
a) 2498 b) 2870 c) 2860
d) 2465 e) 2345
13.Calcular:
)20...321)(11...321( 2222
++++++++=S
a) 106 260 b) 159 600 c) 106 506
d) 106 465 e) N.a.
14.Hallar la suma de los 50 primeros números
naturales consecutivos.
a) 1 260 b) 1 275 c) 1 506
d) 1 465 e) N.a.
15.Hallar: S = 24 + 25 + 26 +. . . + 43
a) 260 b) 600 c) 506
d) 465 e) 670
16.Hallar el valor de “P” si:
P = 0,01 + 0,02 + 0,03 +. . . + 0,4
a) 8,2 b) 9,6 c) 342
d) 82 e) 820
17.Hallar el valor de:
(1+2+3+...+99+100)+(100+99+...+2+1)
a) 10 000 b) 10 200 c) 10 300
d) 10 100 e) 20 201
18.Hallar el valor de:
(1+3+5+...+99+101)+(100+98+...+4+2)
a) 5 000 b) 5 151 c) 51 322
d) 1 200 e) 5 501
19.Cuántos sumandos presenta la siguiente serie:
S = 7 + 9 + 11 + 13 + . . . + 405
a) 100 b) 120 c) 130
d) 200 e) 201
20.Hallar “x”:
1 + 3 + 5 + 7 + . . . + x = 15 625
a) 125 b) 135 c) 145
d) 115 e) 249
EJERCICIOS PROPUESTOS Nº 01
01.Calcular: S = 1 + 2 + 3 + . . . + 44
a) 340 b) 990 c) 903
d) 965 e) 928
02.Calcular: S = 1 + 2 + 3 + . . . + 60
a) 1 830 b) 1 853 c) 1 855
d) 1 265 e) 1 800
03.Calcular: S = 1 + 2 + 3 + . . . + 70
a) 2 500 b) 2 532 c) 3 055
d) 2 485 e) 2 346
04.Calcular: S = 2 + 4 + 6 + . . . + 24
a) 132 b) 200 c) 325
d) 264 e) 156
05.Calcular: S = 2 + 4 + 6 + . . . + 64
a) 1 070 b) 1 030 c) 1 056
d) 1 675 e) 1 548
06.Calcular: S = 2 + 4 + 6 + . . . + 106
a) 2 500 b) 2 862 c) 3 550
d) 2 650 e) 2 550
07.Calcular: S = 1 + 3 + 5 + . . . + 25
a) 198 b) 196 c) 135
d) 169 e) 155
08.Calcular: S = 1 + 3 + 5 + . . . + 35
a) 324 b) 396 c) 389
d) 335 e) 358
09.Calcular: S = 1 + 3 + 5 + . . . + 47
a) 540 b) 549 c) 576
d) 529 e) 527
10.Calcular: 2222
a) 798 b) 896 c) 806
d) 865 e) 819
11.Calcular: 2222
a) 2 109 b) 1 946 c) 1 966
d) 2 165 e) 1 955
12.Calcular: 2222
a) 3 498 b) 3 311 c) 3 860
d) 3 465 e) 3 345
13.Calcular:

)...)(...(S 2532110321 2222 ++++++++=
a) 126 260 b) 129 600 c) 125 125
d) 126 465 e) N.a.
a) 1 830 b) 1 875 c) 1 506
d) 1 865 e) N.a.
15.Hallar: S = 24 + 25 + 26 +. . . + 45
a) 760 b) 600 c) 506
d) 759 e) 670
16. Hallar el valor de “P” si:
P = 0,01 + 0,02 + 0,03 + . . . + 0,5
a) 127,2 b) 12,75 c) 128
d) 1,275 e) 1 275
17. Hallar el valor de:
(1+2+3+...+199+200)+(200+199+...+3+2+1)
a) 40 000 b) 40 200 c) 40 300
d) 40 100 e) 40 201
18. Hallar el valor de:
(1+3+5+...+97+99)+(98+96+...+6+4+2)
a) 5 000 b) 5 151 c) 4 950
d) 4 200 e) 4 501
19.¿Cuántos sumandos presenta la siguiente
serie:
S = 7 + 9 + 11 + 13 + . . . + 401
a) 100 b) 120 c) 198
d) 200 e) 201
20.Hallar
“x” : 1 + 3 + 5 + 7 + . . . + x = 16 900
a) 259 b) 135 c) 145
d) 215 e) 249
TAREA DOMICILIARIA
01.Calcular: S = 1 + 2 + 3 + . . . + 46
a) 1 040 b) 1 081 c) 903
d) 1 065 e) 1 128
02.Calcular: S = 2 + 4 + 6 +. . . + 26
a) 182 b) 200 c) 325
d) 264 e) 156
03.Calcular: S = 1 + 3 + 5 + . . . + 23
a) 198 b) 196 c) 135
d) 169 e) 144
04.Calcular: 2222
a) 698 b) 696 c) 650
d) 665 e) 619
05.Calcular:
)...)(...(S 2132115321 2222 ++++++++=
a) 286 400 b) 290 600 c) 225 125
d) 226 465 e) N.a.
a) 2 630 b) 2 485 c) 2 506
d) 2 365 e) N.A.
07.Hallar: S = 28 + 29 + 30 +. . . + 75
a) 2 760 b) 2 472 c) 2 506
d) 2 759 e) 2 670
08.Hallar el valor de “P” si:
P = 0,01 + 0,02 + 0,03 +. . . + 0,3
a) 456,2 b) 4,75 c) 1,28
d) 4,275 e) 4,65
09.¿Cuántos sumandos presenta la siguiente
serie:
S = 13 + 15 + 17 + . . . + 401
a) 195 b) 120 c) 198
d) 200 e) 201
10. Hallar “x”:
1 + 3 + 5 + 7 + . . . + x = 11 664
a) 259 b) 135 c) 145
d) 215 e) 249
ORDEN DE INFORMACIÓN
COMENTARIO
Los problemas de este tipo, son fáciles de
reconocer. Su característica más importante es la
de que en ellos siempre se presenta una serie de
datos desordenados, que necesaria-mente
contienen toda la información que requerimos
para poder relacionarlos entre sí (ya sea
ordenados de acuerdo a ciertas premisas o
encontrar correspondencia entre los mismos).
La recomendación más importante para
resolverlos, es tratar de enfrentar el problema de
la manera más esquemática posible, es decir
tratando de representar gráficamente lo que dice
el problema y no pretender llevar todas las
relaciones en la cabeza.
ORDENAR DE MANERA CRECIENTE O
DECRECIENTE
En este caso, una buena forma de guiarse
para no confundir la información es tratar una
recta, en donde se deben ir ubicando a manera de
puntos los nombres de los objetos que queremos
ordenar de menor a mayor o viceversa.
Por ejemplo:
En un examen A obtuvo menos puntos que B, D
menos puntos que A y C más puntos que E. Si E
obtuvo más puntos que B, ¿Quien obtuvo el
puntaje más alto?
Solución:
En primer Lugar, trazaremos una recta para ir
ubicando los datos:
(-) (+)

La primera premisa dice que A obtuvo menos
puntos que B, por lo cual, en nuestra recta, A
debe ubicarse a la izquierda de B, es decir hacia
el lado de (-).
(-) (+)
A B
Luego tenemos que D obtuvo menos puntos que
A por lo cual D debe ir a la izquierda de A
(-) (+)
D A B
Después tenemos que C obtuvo más puntos que
E, por lo cual C debe ir a la derecha de E, pero
todavía no conocemos la ubicación de ambos con
respecto al resto del grupo.
(-) (+)
D A B
E C
Finalmente el problema dice que E, obtuvo más
puntos que B, por lo cual E debe ubicarse a la
derecha de B y por consiguiente llevarse a C aún
más a la derecha. Por lo tanto la ubicación final
será.
(-) (+)
D A B E C
Por lo tanto respuesta será C.
Nota:
En este tipo de problemas, se debe tener presente,
que a veces, los datos no son suficientes para
poder ubicar totalmente el orden de los mismos.
En esos casos se debe recordar que para que se
pueda afirmar que una respuesta es verdadera,
esta debe ser necesariamente verdadera, de lo
contrario la afirmación no es correcta.
ORDENAR POR POSICIÓN DE DATOS
Para resolver los problemas de este tipo, no hay
una norma general, si no más bien depende de lo
que esté enunciado en el problema, es decir que
se debe representar gráficamente lo que está
tratando de ubicar.
Por ejemplo:
Se tiene una casa de cuatro pisos y en cada piso.
Vive una familia. La familia Castilla vive un piso
más arriba que la familia Muñoz. La familia
Fernández habita más arriba que la familia Díaz y
la familia Castilla más abajo que la familia Díaz.
¿En que piso vive la familia Castilla?
Solución:
En primer lugar, dibujaremos la casa de cuatro
pisos
4
3
2
1
La primera premisa dice que la familia Castilla
vive un piso más arriba que la familia a Muñoz
(exactamente un piso) por lo cual, tenemos tres
ubicaciones posibles:
4 C
3 C M
2 C M
1 M
Luego, el problema dice que la familia Fernández
vive más arriba que la familia Díaz (más arriba
no es lo mismo que un piso más arriba) por lo
cual podremos completar las tres distribuciones
posibles:
4 F F C
3 D C M
2 C M F
1 M D D
Por último el problema dice que la familia
Castilla vive más abajo que la familia Díaz, por lo
cual la segunda y tercera distribución quedan
descartadas, siendo el orden correcto:
4 F
3 D
2 C
1 M
Por lo tanto la respuesta será en el segundo piso.
Nota: Es importante acostumbrarse a trabajar
analizando todas las distribuciones posibles, ya
que puede ocurrir que al final exista más de un
orden que cumpla con los datos del problema.
RELACIONAR DATOS ENTRE SÍ
La mejor forma de enfrentar los problemas en que
se nos pide relacionar diversos datos entre sí
(como pueden ser personas con su ocupación,
gustos, deportes, lugar donde viven o donde
estudian, etc.) es haciendo un cuadro, en el cual
podamos ir marcando las deducciones que vamos
haciendo. Igual que en el caso anterior, se
recomienda buscar para comenzar, aquella
premisa que nos da información que podamos
colocar directamente.
Por ejemplo:
Tres amigos con nombres diferentes, tiene cada
uno un animal diferente. Se sabe que.
- El perro y el gato se peleaban.
- Jorge le dice al dueño del gato que el otro amigo
tiene un canario.
- Julio le dice a Luis que su hijo es veterinario.
- Julio le dice al dueño del gato que éste quiso
comerse al canario.
¿Qué animal tiene Luis?
Para comenzar a resolver el problema,
observamos que tendremos que relacionar dos
cosas; nombres y mascotas para lo cual
prepararemos un cuadro de la siguiente manera:
Perro Gato Canario
Jorge
Julio
Luis
La primera premisa sólo sirve para saber que hay
un gato y un perro.
La segunda premisa permite deducir que Jorge no
es el dueño del gato ni del canario, por lo cual
marcaremos con una X los casilleros
correspondientes a Jorge con el gato y Jorge con
el canario. Esto nos deja sólo una opción para
Jorge, que es la de ser dueño del perro. Al mismo
tiempo y ya que Jorge es el dueño del perro
podemos descartar a Julio como dueño del perro y
a Luis como dueño del perro. El cuadro quedaría
como sigue:
Perro Gato Canario
Jorge O X X
Julio X
Luis X
NOTA: Debemos acostumbrarnos a que al
descubrir un dato, podemos descartar toda la fila
y toda la columna correspondiente al casillero
descubierto.
La tercera premisa sólo sirve para saber que los
otros amigos son Julio y Luis.
La cuarta premisa nos permite deducir que Julio
no es el dueño del gato, por lo cual debemos
marcar con una X el casillero correspondiente a
Julio con el gato. Por descarte en el cuadro, Julio
debe ser el dueño del canario, y al tachar la
columna correspondiente, sólo queda que. Luis es
el dueño del gato.
El cuadro quedará como sigue:
Perro Gato Canario
Jorge O X X
Julio X X O

Luis X O X
Por lo tanto la respuesta será: Luis es el dueño del
gato.
PROBLEMAS RESUELTOS
Enunciado No.1
De una conversación de docentes, se dedujo las
siguientes condiciones:
I. Los profesores son: Lino, Cesar y Valentín.
II. Sus ocupaciones: Ingeniero, Abogado y
Médico.
III. El Ingeniero es mayor que el Sr. Valentín.
IV. El señor Lino y el Abogado proceden de
Alemania. El otro docente procede de México.
V. El Médico es más joven que el profesor Lino.
VI. El señor Cesar y el Médico están dialogando.
01.El nombre del Ingeniero es:
a) Lino b) Cesar c) Valentín
02.La ocupación del señor Cesar es:
a) Ingeniero b) Médico c) Abogado
03.El nombre del Ingeniero y del Médico es:
a) Cesar – Valentín b) Lino – Cuba
c) Cuba – Lino d) Lino – Valentín
e) N.a.
Solución
Vamos a construir una tabla de doble entrada,
donde figuran los apellidos de los tres profesores
y sus ocupaciones. Así:
Ocupación.
Apellidos
Ingeniero Abogado Médico
Lino
César
Valentín
Analizando las condiciones anteriores de la
siguiente manera, tenemos:
a. Cuando no cumple la relación nombre -
ocupación marco con un aspa (x), el recuadro
de la tabla.
b. Cuando la relación nombre - ocupación
cumple, sombreo el rectángulo.
Luego:
Según Condición III: El Ingeniero es mayor que
el señor Valentín. Esto significa que Valentín no
es Ingeniero. Marco (x).
Según Condición IV: El señor Lino y el
Abogado proceden de Alemania. Esto significa
que el señor Lino no es abogado. Marco (x).
Según Condición V: El Médico es más joven
que el señor Lino. Esto nos indica que el señor
Lino no es Médico. Marco (x).
Según Condición VI: El señor Cuba y el Médico
están dialogando. Esto me indica que el señor
Cuba no es Médico. Marco (x).
Por lo tanto, el cuadro estará elaborado de la
siguiente manera:
Ocupación
Apellidos
Ingeniero Abogado Médico
Lino X X
César X X
Valentín X X
La identificación es la siguiente:
- Lino es Ingeniero
- Cesar es Abogado
- Valentín es Médico
Enunciado Nº 02:
Julio, Juan y Roberto son tres amigos cuyas
profesiones son: Abogado, Profesor y Médico.
Juan le dice al Abogado que el Médico está
alegre y Julio le dice al Abogado que tiene sed,
entonces puede decirse que:
a) Juan es Médico, Roberto es Abogado y
Julio es Profesor.
b) Juan es Abogado, Roberto es Médico y
Julio es Profesor.
c) Juan es Profesor, Roberto es Abogado y
Julio es Médico.
d) Juan es Profesor, Roberto es Médico y
Julio es Abogado.
e) Juan es Médico, Roberto es Profesor y
Julio es Abogado.
04.El nombre del Abogado es:
a) Julio b) Roberto c) Julio
05.La ocupación del señor Julio es:
a) Profesor b) Médico c) Abogado
06.El nombre del Profesor es:
a) Julio b) Roberto c) Juan
Solución:
Construyendo la tabla de doble entrada,
ubiquemos los nombres y profesiones de los tres
amigos:
Profesión
Amigos
Abogado Profesor Médico
Julio
Juan
Roberto
Analizando las condiciones del problema:
• Juan le dice al Abogado que el Médico está
alegre. La deducción es que Julio no es
Abogado ni Médico (Marco X), quiere decir
que Juan es Profesor sombreando en la tabla.
• Julio le dice al Abogado que tiene sed.
Deducimos que Julio no es Abogado porque
está hablando con el Abogado. Marco (x).
La tabla quedará de la siguiente manera:
Profesión
Amigos
Abogado Profesor Médico
Julio X X
Juan X X
Roberto X X
La identificación es la siguiente:
• Julio es Médico.
• Juan es Profesor.
• Roberto es Abogado.
Enunciado No. 3:
Son cuatro personas: Moisés, Henry, Antonio y
Pilar. Sus profesiones: Ingeniero, Médico,
Abogado y Profesor. Residen en Lima,
Huancayo, Ica y Chimbote.
I. Antonio no vive en Huancayo, ni tampoco
en Ica.
II. El Médico reside en Lima.
III. Pilar no reside en Lima.
IV. Moisés vive en Chimbote.
V. Pilar es Ingeniero
VI. El Abogado vive en Huancayo.
07.¿Qué profesional vive en Chimbote?
a) Médico b) Abogado
c) Ingeniero d) Profesor
08.El que vive en Ica es:
a) Moisés b) Antonio
c) Henry d) Pilar
09.El nombre del Médico es:
a) Henry b) Antonio
c) Pilar d) Moisés
Solución:
Analizando:
Según condición V: Moisés vive en Chimbote,
sombreamos Chimbote. Luego marcamos con X
su columna y fila.
Según condición I: Antonio no vive en
Huancayo, ni tampoco en Ica. Entonces,
marcamos con X y sombreamos Antonio-Lima.

El cuadro queda de la siguiente manera:
Personas.
Residen.
Moisés Henry Antonio Pilar
Lima X X X
Huancayo X X
Ica X X
Chimbote X X X
Según condición IV: Pilar es Ingeniero.
Según condición VI: El abogado vive en
Huancayo.
Conclusión: Como Pilar es Ingeniero y el
Abogado vive en Huancayo decimos que Pilar
vive en Ica. Sombreo Pilar – Ica.
El nuevo cuadro quedará así:
Personas.
Residen.
Moisés Henry Antonio Pilar
Lima X X X
Huancayo X X X
Ica X X X
Chimbote X X X
La identificación es:
• Moisés vive en Chimbote y es Profesor.
• Henry vive en Huancayo y es Abogado.
• Antonio vive en Lima y es Médico.
• Pilar vive en Ica y es Ingeniero.
Enunciado No. 4:
En una fiesta social están Pilar, Aurora, Rosario y
María. Los nombres de sus enamorados, pero no
en el mismo orden: Moisés, Jorge, Enrique y
Alfredo. Se sabe que:
I. Alfredo y Aurora no se llevan bien.
II. Enrique es amigo de María y su
enamorada es Rosario.
III. Aurora es amiga de Moisés y Enrique.
IV. Alfredo quiere a María, pero no a Pilar.
10. ¿Quién es el enamorado de Pilar?
a) Jorge b) Moisés
c) Enrique d) Alfredo
11. ¿Quién es la enamorada de Enrique?
a) Pilar b) Aurora
c) Rosario d) María
Solución:
En la tabla que vamos a construir marcamos con
una X cuando no se cumple la relación
enamorados y sombreamos cuando se cumple.
Analizando:
Según condición I: Alfredo y Aurora no se
llevan bien. Esto significa que no son
enamorados. Marco (X).
Según condición II: Enrique es amigo de María
y su enamorada es Rosario. Entonces,
sombreamos la relación Enrique - Rosario y
coloco un aspa (X) en su fila y columna.
Según condición III: Aurora es amiga de Moisés
y Enrique, esto significa que Moisés y Aurora no
son enamorados por lo tanto a esa relación le
coloco un aspa (X) y sombreo Jorge - Aurora.
Hasta aquí la tabla queda como sigue:
Enamoradas.
Residencia
Pilar Aurora Rosario María
Moisés X X
Jorge X X X
Enrique X X X
Alfredo X X
Según condición IV: Alfredo quiere a María
pero no a Pilar. Esto indica que Alfredo es
enamorado de María sombreo casillero Alfredo-
María.
Además marcamos un aspa (X) en su fila y su
columna. Concluyendo que Moisés es enamorado
de Pilar.
El tablero final es como sigue:
Hasta aquí la tabla queda como sigue:
Enamoradas.
Residencia
Pilar Aurora Rosario María
Moisés X X
Jorge X X X
Enrique X X X
Alfredo X X
Identificamos:
• Moisés es enamorado de Pilar.
• Jorge es enamorado de Aurora.
• Enrique es enamorado de Rosario.
• Alfredo es enamorado de María.
Enunciado No. 5:
Alejandro es mayor que Carlos y éste es mayor
que Roberto.
12.¿Qué relación existe entre Alejandro y
Roberto?
a) Alejandro es igual
b) Roberto es mayor
c) Carlos es menor
d) Son iguales
e) No se sabe
Solución:
Se recomienda ubicar a las personas en una recta,
colocando el mayor a la derecha y el menor a la
izquierda. Así:
Roberto
Carlos
Alejandro
Como Alejandro se encuentra más a la derecha
que todos entonces, afirmamos que es el mayor:
Enunciado No. 6
De cinco alumnas del Plantel, la primera es
mayor que la segunda, ésta tiene la misma edad
que la tercera; la tercera es mayor que la cuarta y
ésta tiene la misma edad que la quinta.
13. ¿Cuál de ellas es mayor que las cuatro?
a) Quinta b) Cuarta c) Tercera
d) Segunda e) Primera
Solución:
Graficando:
1°
3°
2°
5°
4°
• La primera colocamos a la derecha de la
segunda.
• La segunda y tercera coinciden porque
tienen la misma edad.
• La tercera se coloca a la derecha de la
cuarta.
• La cuarta y quinta coinciden porque tienen
la misma edad.
Conclusión: La primera es mayor que todas.
Enunciado No. 7:
Se tiene una casa de cuatro pisos y en cada piso
vive una familia. La familia Urbina vive un piso
más arriba que la familia Vásquez. La familia
Zaldívar habita más arriba que la familia García y
la familia Urbina, más abajo que la familia
García.
14. ¿En qué piso vive la familia Urbina?
a) Cuarto b) Segundo
c) Tercero d) Primero

15. ¿En qué piso vive la familia García?
a) Cuarto b) Segundo
c) Tercero d) Primero
Solución:
Analizando las condiciones:
• La familia Urbina vive un piso más arriba que
la familia Vásquez. Vamos a simbolizar con
(>) entonces: Vásquez < Urbina.
• La familia Zaldívar habita más arriba que la
familia García. Simbolizando: Zaldívar >
García.
• La familia Urbina más abajo que la familia
García. Simbolizando: < García.
Ahora en resumen tenemos:
a) V < U ; b) Z > G ; c) U < G
Tomando (a) y (c) se tiene:
V < U y U < G ⇒ V < U < G en (b)
Se tiene:
Z > G ⇔ G < Z juntando V < U < G y G < Z
Entonces:
V < U < G < Z.
El orden de las familias lo ubicamos en un
cuadrilátero que representa a la casa de cuatro
pisos.
4º piso F. Zaldívar
3º piso F. García
3º piso F. Urbina
1º piso F. Vásquez
PRÁCTICA DE CLASE
01.Benito es más alto que Daniel pero más bajo
que Abel. Germán es más bajo que Enrique y
este a su vez es más bajo que Carlos. Benito
es más alto que Enrique y Fernando más bajo
que Enrique.
Entonces:
a) Fernando es el más bajo.
b) Carlos es más alto que Abel.
c) Benito es más alto que Germán
d) Daniel es más alto que Germán
e) Abel es más alto que Fernando.
02. F; H; I; J; K; L; M y N han hablado, pero
no necesariamente en ese orden. Sólo una
persona habló a la vez. F habló después de L
y demoró más tiempo que H. I habló antes
que M y después que H y demoró menos que
K, J habló después de N y antes que H y
tomó menos tiempo que N y más tiempo que
K, N habló después de F y tomó menos
tiempo que H. ¿Cuál de las siguientes
afirmaciones es verdadera?
a) F fue el segundo en hablar y el tercero en
cuanto a tiempo que tomó para hablar.
b) H habló antes que I y tomó más tiempo
que N.
c) I habló último y fue el que se demoró
menos.
d) J habló después de M y tomó menos
tiempo que F.
e) N habló después de L y tomó más tiempo
que F.
03.En una carrera participan tres parejas de
esposos: los Díaz, los Rojas y los Pérez.
Se sabe que:
- Los esposos llegaron antes que sus
respectivas esposas.
- La Sra. Pérez llegó antes que el Señor Díaz
- El Sr. Rojas no llegó primero y fue
esperado por una dama.
- La Sra. Díaz llegó quinta, justo después de
su esposo.
¿En que posición llegaron el Sr. y la Sra.
Rojas, respectivamente?
a) 4 – 6 b) 3 – 6 c) 3 – 4
d) 6 – 3 e) 2 - 4
04. Tres amigos: Fidel, Pedro y Abel se fueron a
conocer Piura, Arequipa y Cuzco, se sabe
que: Abel conoce toda la costa, mientras que
Fidel se fue al sur. ¿A dónde fue Pedro?
a) Piura b) Tacna c) Cuzco
d) Arequipa e) Ica
05.Tres amigos, Antonio, Bruno y Carlos,
estudian en la UNI, Villarreal y Católica, pero
no en ese orden, se sabe que:
- Antonio no conoce la Católica.
¿En que Universidad estudia Bruno?
a) UNI b) Villareal c) Católica
d) San Marcos e) F.D.
06.Tres personas, Juan, Pedro y David estudian
en tres universidades X, Y y Z. Cada uno de
los tres estudia una carrera diferente, A, B o
C.
Juan no está en X y David no está en Y.
El que está en X no estudia A.
El que está en Y estudia B.
David no estudia C.
¿Qué estudia Pedro y donde?
a) B en Y b) A en Z c) C en Z
d) C en X e) No se puede determinar
07.César, Luis y Miguel, forman pareja con
Marta, Elsa y Liliana, que tienen profesiones
de enfermera, secretaria y profesora. Luis es
cuñado de Marta que no es enfermera. Miguel
fue con la profesora al matrimonio de Elsa.
Hace dos años, Liliana peleó con Luis y
desde entonces es secretaria.
¿Quién es la pareja de Luis y cuál es su
profesión?
a) Elsa, enfermera. b) Liliana, secretaria
c) Elsa, profesora. d) Liliana, enfermera.
e) Elsa, secretaria.
08.Cuatro amigos Suárez, Antúnez, Miranda y
Zevallos, tienen ocupaciones distintas,
electricista, zapatero, proyectista y cobrador;
y viven en cuatro sitios diferentes, Lima,
Magdalena, Pueblo Libre y Barranco. El
electricista vive en Magdalena, Zevallos es
proyectista. El cobrador no conoce Barranco.
Ni Zevallos ni Miranda viven en Lima y
Suárez vive en Barranco. ¿En donde vive el
proyectista?
a) Magdalena b) Pueblo Libre
c) Lima d) Barranco
e) No se puede.
09.Un choque en cadena de 6 carros es originado
por una imprudente parada de Susan que tiene
carro azul, el auto blanco de Sonia está
adyacente al de Clara y Bárbara. Andrea no
tiene carro azul y chocó a Clara. Un carro rojo
chocó a Andrea.
Sabiendo que hay 2 carros rojos, 2 azules,
uno blanco y uno verde, y que los colores no
son seguidos. Hallar el tercer auto que choca
y su chofer.
a) Sonia – blanco b) Andrea – azul
c) Clara – rojo d) Clara – azul
e) Sonia – verde
10. Sobre una mesa hay tres naipes en hilera. A
la izquierda del rey hay un as, a la derecha de
la jota hay uno de diamantes, a la izquierda
del de diamantes hay uno de tréboles, a la
derecha del de corazones hay una jota. ¿Cuál
es el naipe del medio?
a) Rey de tréboles
b) As de tréboles
c) Jota de diamantes
d) As de diamantes
e) Jota de tréboles

11.En un consultorio hay 3 revistas: S, P. H,
puestos de tal manera que H está al centro.
Estas tres revistas son: una peruana, una
chilena y una argentina.
Una se especializa en Deporte, otra en moda
y la tercera en Humor.
- La argentina está inmediatamente a la
derecha de la de modas.
- A la derecha de la chilena está la de
deportes.
- A la derecha de P está la peruana.
- H está a la izquierda de la argentina.
Entonces:
a) La peruana es P y es de Humor
b) La argentina es P y es de Humor
c) La peruana es S y es de deportes
d) La argentina es S y es de deportes
e) La chilena es H y es de deportes
12.Ocho personas se encuentran formando cola
en un cine. Todas están mirando hacia la
ventanilla, una detrás de la otra. Cada persona
usa un sombrero de un color y puede ver los
colores de los sombreros que usan las
personas que están delante de él, pero no de
los que están atrás de él ni el suyo propio.
Lógicamente, la primera persona no puede
ver ningún sombrero. Cada uno de la línea
sabe que en el grupo hay 5 sombreros azules,
2 rojos y uno verde; que la sexta persona en
la cola usa un sombrero rojo y que no es
posible que dos personas consecutivas usen
sombreros rojos.
Si la octava persona en la fila usa un
sombrero verde, ¿cuál de las siguientes
afirmaciones es verdadera?
I. La sétima persona usa un sombrero azul.
II. La cuarta persona puede ver un sombrero
rojo.
III. La sexta persona puede ver un sombrero
rojo.
a) Sólo I b) Sólo II c) I y III
d) II y III e) Todas
13. Cuatro amigos se sientan alrededor de una
mesa redonda en la que hay cuatro sillas
distribuidas simétricamente. Si sabemos que:
- Juan se sienta junto y a la derecha de
Luis.
- Pedro no se sienta junto a Luis.
- José está muy entretenido observando
como los otros tres discuten.
Según esto podemos afirmar:
a) José y Juan se sientan juntos.
b) Luis y José no se sientan juntos.
c) No es cierto que José y Juan no se sientan
juntos
d) Pedro se sienta junto y a la derecha de
José.
e) Pedro se sienta junto y a la derecha de
Juan.
14. Se sabe que:
- Sonia no es más baja que Liliana.
- Pilar es más alta que Sonia.
- Milka es más baja que Catalina.
- No es cierto que Karina, sea más alta que
Sonia.
- Sonia es más baja que Catalina.
Se afirma que:
a) Liliana es la más alta.
b) Catalina es la más alta.
c) Milka es más alta que Sonia.
d) Liliana es más baja que Catalina.
e) No es cierto que Pilar sea más alta que
Karina.
15.Jorge es mayor que Juan, pero menor que
Jacinto, Jesús es menor que Jorge y mayor
que Julio, José es mayor que Jorge, se afirma
que:
a) No es cierto que José sea mayor que
Julio.
b) José es mayor que Jacinto.
c) No es cierto que Juan sea menor que José.
d) Jesús es menor que Juan.
e) Jacinto es mayor que Julio.
16.Julia está al Noreste de Molly. Dora está al
Sureste de Santos y al Este de Molly.
¿Cuál de las siguientes afirmaciones es la
correcta?
a) Dora está al suroeste de Julia.
b) Julia está al noreste de Molly y Dora.
c) Molly está al oeste de Dora.
d) Molly está al este de Dora.
e) Ninguna de las anteriores.
17.La calle S es paralela a la calle D y
perpendicular a la calle C; la calle D es
paralela a la calle S y perpendicular a la calle
E. Luego:
a) La calle S es paralela a la calle C.
b) La calle D es perpendicular a la calle S.
c) La calle S es paralela a la calle E.
d) La calle E es paralela a la calle D.
e) La calle C es paralela a la calle E.
18. El hijo de Roberto es el padre de mi hijo.
¿Qué parentesco me une a mí con Roberto?
a) Yo soy Roberto b) Soy su nieto
c) Soy su padre d) Soy su abuelo
e) Soy su hijo
19.En una familia se puede contar los siguientes
miembros: Un padre, una madre, un tío, una
tía, hermano, hermana, sobrino, sobrina, dos
primos. ¿Cuál es el menor número posible de
integrantes?
a) 7 b) 6 c) 5
d) 4 e) 3
20.Un matemático, un Estadístico y un Profesor,
tienen cada uno un hijo, cuando estos jóvenes
ingresaron a la Universidad de Trujillo,
decidieron no estudiar la carrera de su padre,
sino la carrera de uno de los dos amigos de su
padre. Si se sabe que el estadístico se llama
Raúl y que el hijo de Víctor quiere ser
profesor. ¿Qué profesión tiene Víctor y que
carrera quiere seguir el hijo de Arturo?
a) Víctor es Matemático y el hijo de Arturo
quiere ser Matemático.
b) Víctor es Estadístico y el hijo de Arturo
quiere ser Estadístico.
c) Víctor es Estadístico y el hijo de Arturo
quiere ser Profesor.
d) Víctor es Matemático y el hijo de Arturo
quiere ser Estadístico.
e) N.a.
ENUNCIADO Nº 01
En un examen Ana obtuvo menos puntos que
Beatriz; Dora menos puntos que Ana y Cesar más
puntos que Elsa. Si Elsa obtuvo más puntos que
Beatriz.
01.¿Quién obtuvo el puntaje más alto?
a) Ana b) Beatriz c) Dora
d) Cesar e) Elsa
02.¿Quién obtuvo el menor puntaje?
d) Cesar e) Elsa
03.¿Quién obtuvo el segundo puntaje más alto?
d) Cesar e) Elsa
04.Indicar el orden de menor a mayor según sus
puntajes obtenidos de cada alumno
a) Ana; Beatriz; Dora; Cesar; Elsa
b) Dora; Ana; Beatriz; Elsa; Cesar

c) Beatriz; Dora; Ana; Elsa; Cesar
d) Ana; Dora; Beatriz; Cesar; Elsa
e) Ana; Dora; Beatriz; Elsa; Cesar
ENUNCIADO Nº 02
Si se sabe que Jorge es mayor que Martín y que
Pedro, pero esté último es mayor que Javier y que
Manuel. Martín es mayor que Javier y menor que
Manuel.
05.¿Quién es mayor que todos?
a) Jorge b) Martín c) Pedro
d) Javier e) Manuel
06.¿Quién es menor que todos?
a) Jorge b) Martín c) Pedro
d) Javier e) Manuel
07.¿Quién es mayor que todos, después de
Jorge?
a) Manuel b) Martín c) Pedro
d) Javier e) a y c
08.Cual será el orden de mayor a menor, según
sus edades
a) Jorge; Manuel; Javier; Pedro; Martín
b) Jorge; Manuel; Pedro; Martín; Javier
c) Jorge; Pedro; Manuel; Martín; Javier
d) Pedro; Jorge; Manuel; Martín; Javier
e) Jorge; Manuel; Pedro; Javier; Martín
ENUNCIADO Nº 03
Se tiene una casa de cuatro pisos y en cada piso
vive una familia. La familia Fernández habita
más arriba que la familia Díaz; la familia Castro
vive un piso más arriba que la familia Montoya y
más abajo que la familia Díaz.
09.¿Qué familia vive en el cuarto piso?
a) Fernández b) Díaz c) Castro
d) Montoya e) N.A.
10.¿Qué familia vive en el primer piso?
a) Fernández b) Díaz c) Castro
d) Montoya e) N.A.
11.¿En qué piso vive la familia Díaz?
a) Primer piso b) Segundo piso
c) Tercer piso d) Cuarto piso e) N.a.
ENUNCIADO Nº 04
Se reúnen 4 amigos de promoción: Un Médico,
un Abogado, un Cerrajero y un Mozo. Los
nombres de los amigos son: Pedro, Julio, Carlos y
Luis aunque no necesariamente en ese orden. Se
sabe que:
• El más joven de todos es el Abogado.
• El cerrajero es millonario.
• Sólo Pedro y Luis pudieron seguir estudios
Superiores.
• Carlos vive en una gran soledad y es el más
pobre de todos.
• El Médico reside en Madrid y su profesión le
permite vivir cómodamente.
• Julio es el mayor de todos los amigos.
• Pedro nunca ha salido del país.
12.¿Cuál de los amigos es Médico?
a) Carlos b) Pedro c) Julio
d) Luis e) No se sabe
13.¿Cuál es el nombre del Abogado?
a) Pedro b) Carlos c) Julio
d) Luis e) N.a.
14.Julio es:
a) Abogado b) Cerrajero c) Médico
d) Mozo e) Cerrajero y Mozo
15.Carlos es:
a) Abogado b) Cerrajero c) Médico
d) Mozo e) Cerrajero y Mozo
ENUNCIADO Nº 05
En una reunión se encuentran un carpintero, un
escritor, un sastre y un maestro. Llevan por
nombre: Carlos, Enrique, Jorge y Gerardo aunque
no necesariamente en ese orden. Sabemos además
que:
• Carlos y el carpintero están enojados con
Gerardo.
• Enrique es amigo del maestro.
• El escritor es familiar de Gerardo.
• El sastre es vecino de Jorge y del maestro.
• Carlos hace años vive editando libros.
16.El confeccionista de ropa tiene por nombre:
a) Carlos b) Enrique c) Jorge
d) Gerardo e) N.A.
17. Carlos tiene la profesión de:
a) carpintero b) escritor c) sastre
d) maestro e) N.A.
18. El nombre del carpintero es:
a) Carlos b) Enrique c) Jorge
d) Gerardo e) Juan
19. Ángela está al Noreste de Betty, Carolina
está al Sureste de Ángela y al Este de Betty.
La respuesta correcta es:
a) Ángela está al Noreste de Betty y
Carolina.
b) Betty está al Oeste de Carolina.
c) Betty está al Este de Carolina.
d) Carolina está al Suroeste de Ángela.
e) N.a.
20. La ciudad E se encuentra al Noreste de la
ciudad A; la ciudad C se encuentra al Este de
la ciudad B y al Noreste de la ciudad A.
Luego:
a) La ciudad A está al Sur de la ciudad C.
b) La ciudad B está al Sur de la ciudad C.
c) La ciudad A está al Suroeste de la ciudad C.
d) La ciudad C está al Sur de la ciudad B.
e) La ciudad C está al Oeste de la ciudad B.
TAREA DOMICILIARIA
01.Seis Amigos viven en un edificio de tres
pisos, en el cual hay dos departamentos por
cada piso. Sabiendo que:
- Víctor y Jorge viven en el mismo piso.
- La casa de Romel se encuentra más abajo
que la casa de Víctor.
- Para ir de la casa de Carlos a la casa de
Oscar hay que bajar dos pisos.
- El sexto amigo es Luis.
- ¿En qué piso vive Luis?.
a) Primer piso b) Segundo piso
c) Tercer piso d) Segundo piso con Víctor
e) N.a.
02.María es más alta que Tina y más gorda que
Nora, Nora es más alta que Sara y más delgada
que Tina. Si Sara es más baja que María y más
gorda que Tina. ¿Quién es más alta y más
delgada que Sara?
a) María b) Nora c) Tina
d) María o Nora e) N.a.
03.Pipo es más alto que Papo, pero más bajo que
Percy. Percy es más bajo que Tuco. ¿Cuál es la
proposición correcta?
a) Tuco es el más bajo que todos
b) Papo es más alto que Percy
c) Pipo es más alto que Percy
d) Papo es más alto que Tuco.
e) N.a.
04.La ciudad A se encuentra a 100 km al norte de
la ciudad B y a 60 km al este de C. La ciudad
D está situada a 80 km al sur de A. E está a 40
km al Oeste de B. ¿Cuál es la afirmación
correcta?
a) B está al Sur-Oeste de C

b) C está al Nor-Este de D
c) E está al Sur-Este de A
d) D está al Sur-Oeste de E
e) E está al Sur-Oeste de D
05.La edad de Rosa es la mitad de la edad de Eva.
La edad de Iris es el doble de la de Eva. Luego:
a) Rosa tiene tres veces la edad de Iris.
b) Eva tiene el cuádruplo de la edad de Rosa
c) La edad de Rosa es la cuarta parte de la
edad de Iris
d) La edad de Iris es la mitad de la edad de
Rosa.
e) N.a.
06.Polo y Pilar poseen la misma cantidad de
dinero, pero Pablo tiene más dinero que Rita y
Rita más que Elmer. Martín tiene más dinero
que Elmer pero menos que Pablo, no tanto
como Rita. De esas afirmaciones se deduce
que:
a) Elmer es más rico que Pilar
b) Rita es más pobre que Martín
c) Polo es más rico que Elmer
d) Martín tiene lo mismo que Polo
e) El más rico es Pablo
Razonamiento Verbal, Aritmética, Razona-
miento Matemático y Psicotécnico son 4
materias que se dictan en la Academia
“Integral”. Los profesores encargados son:
Wilson, Juan, Roberto y Humberto.
• Roberto es amigo del profesor de
Razonamiento Matemático.
• El profesor de Aritmética no conoce a
Juan ni al que dicta Psicotécnico.
• Humberto y el profesor de Psicotécnico
son amigos en común con el profesor de
Razonamiento Matemático.
• El único amigo de Wilson es Humberto.
07.¿Cuál es el nombre del que dicta
Razonamiento Verbal?
a) Wilson b) Juan c) Roberto
d) Humberto e) N.a.
08. Aritmética es dictada por el profesor:
a) Wilson b) Juan c) Roberto
d) Humberto e) N.A.
09. Entonces:
a) Humberto dicta Razonamiento
Matemático.
b) Roberto dicta Aritmética.
c) Wilson dicta Psicotécnico.
d) Juan dicta Razonamiento Matemático
e) N.a.
10.Si José es cuñado de Manuel y Manuel es
sólo hermano de Josefa, entonces:
a) Manuel es cuñado de José.
b) José es cuñado de Josefa.
c) José es el esposo de Josefa.
d) Manuel es hermano de José.
e) N.a.
HABILIDADES PARA RESOLVER
Ciertos tipos de problemas requieren ser resueltos
de una forma muy especial, es decir saber
analizar una situación matemática y luego
procesar los datos para llegar a la solución
utilizando los conocimientos básicos de las cuatro
operaciones como son la suma, la resta, la
multiplicación y la división.
A continuación presentamos diferentes tipos de
situaciones matemáticas:
TIPO I: Método del Cangrejo
En este tipo de situaciones problemáticas, se
requiere utilizar los datos para calcular el Valor
inicial, es decir se operará en el orden contrario a
las operaciones efectuadas empezando con el
valor final hasta determinar al valor inicial.
Ejemplo:
Si a la edad actual de Norma se le suma 5 años y
a este resultado se le multiplica por 2, se obtiene
46 años. ¿Cuál es su edad actual?
Solución:
Edad Actual de Norma = n
Operaciones según el problema:
n + 5 = m ............. (1)
m ( 2 ) = 46 .............. (2)
Luego, desarrollando tenemos:
Si : m ( 2 )= 46 46 : 2 = m
23
Si : n + 5 = m 23 - 5: = n
m =
18n =
Verificación:
El resultado obtenido lo comprobamos:
Según ( 1 ) : n + 5 = m
↓
18 + 5 = 23
Según ( 2 ) : m ( 2 ) = 46
↓
23 ( 2 ) = 46
TIPO II: Met. Falsa Suposicion o Met. Del
Rombo
Este método consiste en suponer un resultado
como verdadero, luego determinar el error total
( Et ) cometido; a continuación calcular el error
unitario ( Eu ); entonces el número de objetos
( N ) está dado por la siguiente relación:
Eu
Et
N =
Ejemplo:
En un ómnibus interprovincial viajan 65 pasajeros
entre niños y adultos. Si el pasaje de cada adulto
es S/. 8 y S/. 5 el de un niño, ¿cuántos niños
viajaron, si el total de la recaudación fue de S/.
445?
Datos:
Total de pasajeros : 65
Total de recaudación : S/. 445
Pasaje de cada adulto : S/. 8
Pasaje de cada niño: S/. 5
Total de niños : N
Solución:
Vamos a suponer que los 65 pasajeros son
adultos, entonces la recaudación seria:
65 x S/. 8 = S/. 520
Pero el total de la recaudación es sólo S/. 445,
entonces el error total cometido es:
E t = S/. 520 – S/. 445 = S/. 75
Por otra parte al suponer que todos los
pasajeros son adultos, se ha cometido un error
unitario de:
E u = S/. 8 - S/. 5 = S/. 3
Luego el número de niños (N) que viajaron,
se obtiene mediante la fórmula respectiva:
N = E t / Eu = 75 / 3 = 25 niños
PROBLEMAS RESUELTOS
4 OPERACIONES

01.Si a la cantidad que tienes lo multiplicas por
tres, luego a este resultado le restas 18 y
finalmente lo divides entre 6 para obtener 17.
¿Cuál era tu cantidad inicial?
a) 40 b) 60 c) 30
d) 50 e) N.a.
Solución:
Cantidad inicial = a
Operaciones directas según el enunciado del
problema:
a ( 3 ) = b ( 1 )
b - 18 = c ( 2 )
c + 6 = 17 ( 3 )
Desarrollamos ecuación (3):
Si: c + 6 = 17 ⇒ 17 ( 6 ) = c
∴ c = 102
Luego, reemplazamos el valor de c en (2)
b – 18 = c ⇒ 102 + 18 = b
∴ b = 120
Luego, reemplazamos el valor de b en (1)
a ( 3 ) = b ⇒ 120 + 3 = a
∴ a = 40
02.Si a la cantidad que tienes lo aumentas seis,
luego a este resultado le divides por 2 y
finalmente lo disminuyes 4 para obtener 1.
a) 4 b) 6 c) 3
d) 5 e) N.a.
Solución:
problema:
a + 6 = b ( 1 )
2
b
= c ( 2 )
c - 4 = 1 ( 3 )
Si: c - 4 = 1 ∴ c = c
2
b
= c ⇒ 2(5) = b ∴ b = 10
a + 6 = b ⇒ 10 - 6 = a ∴ a = 4
4, luego a este resultado le restas 60, luego a
este resultado le divides por 2 obteniendo 50.
a) 40 b) 60 c) 30
d) 50 e) N.a.
Solución:
problema:
a (4) = b ( 1 )
b - 60 = c ( 2 )
2
c
= 1 ( 3 )
Si :
2
c
= 50 ∴ 100 = c
b - 60= c ⇒ 100 + 60 = b
∴ b = 160
a (4) = b ⇒
4
160
= a
∴ a = 40
3, se le diminuye 7, a este resultado le
aumentas 2, luego a este resultado le sacas las
raíz cuadrada, quedándome con 5 . ¿Cuál será
la cantidad inicial?
a) 40 b) 20 c)10
d) 30 e) N.a.
Solución:
problema:
a (3) = b ( 1 )
b - 7 = c ( 2 )
c + 2 = d ( 3 )
d = 5 ( 4 )
Si : d = 5 ⇒ 25 = d
Luego, reemplazamos el valor de d en (3)
c + 2 = d ⇒ 25 - 2 = c ∴ c = 23
b - 7 = c ⇒ 23 + 7 = b ∴b = 30
a (3) = b ⇒ a=
3
30
∴ a = 10
05.A un número se le eleva al cuadrado, a este
resultado se le resta 2, y cuya diferencia se
multiplica por 4, luego a este resultado le
divide entre 2 se obtiene 46. ¿Cuál es la
cantidad inicial?
a) 4 b) 6 c)3
d) 5 e) N.a.
Solución:
problema:
a2
= b ( 1 )
b - 2 = c ( 2 )
c (4) = d ( 3 )
2
d
= 46 ( 4 )
Si :
2
d
= 46 ⇒ 96 = d
Luego, reemplazamos el valor de d en (3)
c (4) = d ⇒
42
92
= c ∴ c = 23
b – 2 = c ⇒ 23 + 2 = b ∴ b = 25
a2
= b ⇒ 25 = a ∴ a = 5
06.Un policía de vigilancia durante 30 días
trabaja para el Sr. NEISER, resguardando su
casa y huerta. Por cuidar su casa recibe S/. 15,
cada día y por cuidar su huerta S/. 10. Sí
recibió al final S/. 400, ¿cuántos días trabajó
vigilando su casa y cuántos cuidando su
huerta?
a) 10 y 30 b) 10 y 20 c) 20 y 10
d) 15 y 20 e) 20 y 15

Solución:
Vamos a suponer que trabajó los 30 días
cuidando su casa, por lo cuál recibiría:
30 x S/. 15 = S/. 450
Pero él solamente recibe S/. 400, entonces
hay un error total de:
E t = S/. 450 – S/. 400 = S/. 50
Por otra parte, el error unitario de lo que
recibe por día es:
E u = S/. 15 – S/. 10 = S/. 5
Entonces el número de días que trabajo
cuidando la huerta fue:
días10N
5./s
50./s
Eu
Et
N =⇒==
Luego, trabajó cuidando su casa.
30 días - 10 días = 20 días.
07.En una granja donde existen gallinas y
conejos: se contaron 60 cabezas y 204 patas
(extremidades). ¿Cuál es el número de
gallinas?
a) 15 b) 7 c) 19
d) 21 e) N.a.
Solución:
Vamos a suponer que todos los animales son
conejos, por lo cual habrá 60 :
Luego el total de extremidades será:
60 x 4 = 240 extremidades
Pero solamente hay 204, entonces hay un
error total de:
E t = 240 – 204 = 36
Por otra parte, el error unitario es decir la
disminución de extremidades por el cambio
de un conejo por una gallina será de:
E u = 4 – 2 = 2
Entonces el número de días que trabajo
cuidando la huerta fue:
gallinas18N
2
36
Eu
Et
N =⇒==
Luego, el número de conejos será:
60 - 18 = 42 conejos.
08.Debo pagar 2 050 soles con 28 billetes de 50
y 100 soles. ¿Cuántos billetes de 100 soles
debo emplear?
a) 15 b) 10 c) 12
d) 14 e) 13
Solución:
Vamos a suponer que todos los billetes son de
100 soles, entonces tendré para pagar la suma
de:
28 x 100 soles = 2 800 soles
Pero solamente puedo pagar 2 050 soles,
entonces hay una diferencia de:
E t = 2 800 – 2 050 = 750 soles
Por otra parte, para disminuir la diferencia
anterior, vamos a cambiar billetes de 100 por
50 soles, lo cual genera una diferencia
unitaria de:
E u = 100 – 50 = 50
Esto quiere decir que la diferencia total se
diminuirá en 50 soles. Por tanto, podemos
calcular cuantos billetes de 50 soles se van a
utilizar diremos:
50
750
Eu
ET
N == ⇒ N = 15 billetes
Luego, el total de billetes de 100 soles
utilizados son:
28 – 15 = 13 billetes
09.Julio vende arroz a dos precios: 70 y 85 soles
el saco. Por la venta de 20 sacos obtuvo 1 520
soles. ¿Determinar el número de sacos de 70
soles que vendió?
a) 12 b) 8 c) 4
d) 14 e) 10
Solución:
Vamos a suponer que todos los sacos
comprados son de 85 soles, entonces:
20 x 85 = 1 700 soles
Pero solamente obtuvo de ingreso 1 520,
entonces hay un error total de:
E t = 1 700 – 1 520 = 180 soles
Por otra parte, para disminuir el error total se
tuvo que vender sacos de 70 soles, entonces
por la compra de un saco de 70 en vez de uno
de 85 se deja de ganar:
E u = 85 – 70 = 15
Entonces el número de sacos de 70 soles que
se venderán es:
15
180
Eu
EF
N == ⇒ N = 12
10.Un ómnibus lleva 55 pasajeros, entre
estudiantes y particulares. Se desea saber
cuántos pasajeros de cada clase viajan,
sabiendo que por todo se recaudó 230 soles y
que un estudiante paga 5 soles y un particular
2 soles
a) 40 y 15 b) 50 y 5 c) 30 y 25
d) 20 y 25 e) 45 y 10
Solución:
Suponer que todos son estudiantes, entonces
el dinero que se recaudó es:
55 x 5 soles = 275 soles
Pero solamente se recaudo 230 soles,
entonces hay un error total de:
E t = 275 – 230 = 45 soles
Por otra parte, el error unitario es decir la
disminución de recaudación por el
intercambio de un particular por un estudiante
E u = 5 – 2 = 3
Entonces el número de pasajeros particulares
será:
3
45
Eu
Et
N == ⇒ 15 pasajeros
particular es
Luego, el número de estudiantes será:
55 – 15 = 40 pasajeros estudiantes
PRÁCTICA DE CLASE
3, luego a este resultado le restas 7 y a esta
diferencia lo divides por 2 obteniendo 7.
¿Cuál es el número?
a) 7 b) 14 c) 21
d) 3 e) N.a.

02.A un número se eleva al cuadrado, a este
resultado se le resta 13, a cuya diferencia se
multiplica por 9, luego se le agrega 9,
finalmente se extrae la raíz cuadrada,
obteniéndose 6. ¿Cuál es el número?
a) 3 b) 6 c) 36
d) 27 e) 4
03.A un número se le multiplica por 3, se le
disminuye 6, se multiplica por 5, se le divide
por 8, se eleva al cuadrado, se le resta 171 y
se le extrae la raíz cúbica obteniéndose 9.
Halla el número.
a) 12 b) 16 c) 18
d) 20 e) N.a.
04.Gladys tenía cierta cantidad de dinero. Pago
una deuda de S/. 860 y luego recibió una
cantidad igual a lo que queda. Después presto
S/. 200 a Denys si ahora tiene S/. 2 320.
¿Cuánto tenia al principio?
a) S/. 1 820 b) S/. 2 120
c) S/. 2 500 d) 2 820
e) N.a.
05.Miguel, Franklin y Percy, están jugando, con la
condición de que aquel que pierda tiene que
duplicar el dinero de los dos. Si cada uno ha
perdido una partida en el orden en que han sido
nombrados, quedándose luego de haber
perdido el último, con 200 soles cada uno.
¿Cuánto tenía inicialmente cada uno?
a) 325; 175 y 100 soles
b) 325, 375 y 200 soles
c) 275, 200 y 350 soles
d) 235,275 y 250 soles
e) N.a
06.A un cierto número se le eleva al cuadrado, a
este resultado se le resta 3, a este nuevo
resultado se multiplica por 7, luego dividimos
entre 14, a este nuevo resultado lo elevamos
al cubo, luego le agregamos 9; finalmente
extraemos la raíz cuadrada, obteniendo como
resultado final 6. Hallar dicho número.
a) 5b) 3 c) 10
d) 15 e) 8
07.Con cierto número realizo las siguientes
operaciones: lo elevo al cubo, al resultado le
agrego 9 y le extraigo la raíz cuadrada, al
número así obtenido lo divido entre 3 para
luego restarle 1 y por último al resultado lo
elevamos al cuadrado obteniendo como
resultado final 16. Hallar el número inicial.
a) 5b) 6 c) 12
d) 10 e) N.A
08.Una piscina se ha estado desocupado durante
4 días, hasta que solamente ha quedado 1000
galones de agua. En cada día se extraía la
mitad más 2 galones de lo que había el día
anterior. ¿Cuál es su volumen total de la
piscina?
a) 8010 b) 4050 c) 16 060
d) 12 420 e) N.A
09.Una persona participó en tres apuestas; en la
primera duplicó su dinero y gastó 30 soles.
En la segunda triplicó lo que le quedaba y
gastó 44 soles, en la tercera cuadriplicó la
suma restante y gastó 72 soles. Al final le
quedaron 40 soles. ¿Cuánto tenía al
comienzo?
a) 13 b) 15 c) 20
d) 27 e) 42
10.Una vasija llena de agua pierde durante la
primera hora 1/3 de su capacidad, durante la
segunda hora 1/3 del resto y así
sucesivamente. Al cabo de 5 horas, quedan 32
litros en la vasija.
¿Cuál es la capacidad de esta?
a) 423 b) 243 c) 325
d) 425 e) N.a.
11.Para pagar una deuda de S/. 130 se emplea
billetes de S/. 10 y S/. 5. ¿Si se utiliza 25
billetes, cuantos son de S/. 10?
a) 1b) 3 c) 5
d) 7 e) N.a.
12.Cierto obrero trabaja durante 30 días en casa
de dos patrones. El primero le paga por día
S/. 2,20 y el segundo S/. 2,52. Si le total
recibe S/. 69,84. ¿Cuántos días trabajo para el
segundo patrón?
a) 18 b) 20 c) 16
d) 14 e) 12
13.En una granja donde existen vacas y gallinas,
se contaron 80 cabezas y 220 patas
(extremidades). ¿Cuántas vacas hay?
a) 20 b) 30 c) 50
d) 60 e) N.a.
14.Si se vende cada lapicero a S/. 4 se gana S/.
18, pero si se vende en S/. 2 cada uno, se
pierde S/. 4. ¿Cuántos lapiceros están en
venta?
a) 8 b) 9 c) 11
d) 15 e) N.A.
15.Gerson tiene S/. 220 en su alcancía, suma que
se compone de monedas de S/. 5 y S/. 2.
¿Cuántas monedas de S/. 5 ahorro?
a) 20 b) 26 c) 30
d) 36 e) N.A.
16.En un zoológico hay leones y palomas, si en
total hay 20 cabezas y 52 patas. ¿Cuántos
leones hay?
a) 6b) 8 c) 12
d) 16 e) N.a.
17.Jessica tiene 50 billetes de S/ 10 y S/ 50. Si
paga una deuda de S/. 780. ¿Cuántos billetes
de S/. 10 tenia?
a) 45 b) 48 c) 39
d) 33 e) N.a.
18.Manuel debe pagar una letra de 2 050 dólares
con 28 billetes de 50 y 100 dólares. ¿Cuántos
billetes de 50 dólares utilizo?
a) 13 b) 15 c) 17
d) 18 e) N.a.
19.En una granja donde existen vacas y gallinas se
contaron 80 cabezas y 220 patas
(extremidades). ¿Cuántas gallinas hay en la
granja?
a) 50 b) 75 c) 60
d) 45 e) 38
20.En un concurso de admisión en la prueba de
Razonamiento Matemático que trae 100
preguntas, por la respuesta correcta se le
asigna un punto y por la incorrecta tiene un
puntaje en contra de un cuarto de punto.
Arturo ha obtenido en dicha prueba 50 puntos
habiendo respondido la totalidad de las
preguntas planteadas. ¿En cuántas se
equivocó?
a) 40 b) 20 c) 45
d) 25 e) 32
01.Carmen, Luisa y Jenny, acuerdan una partida
de naipes, que la perdedora triplique el dinero
de las otras dos. Cada una pierde una partida
en el orden en que han sido nombradas,
obteniéndose cada una al final 90, 30 y 180
respectivamente, ¿con cuánto empezó a jugar
Jenny?.
a) 50 b) 10 c) 20
d) 30 e) 40
02.Un cazador muy aficionado a la matemática
le comento a su amigo lo siguiente: “Traigo

de caza 27 cabezas y 78 patas”. ¿Cuántos
conejos y cuantas perdices trajo el cazador?
a) 15 y 10 b) 12 y 15 c) 10 y 12
d) 17 y 10 e) N.a.
03.Un padre le dice a su hijo: Te daré 8 soles por
cada problema resuelto correctamente y te
multare con 5 soles por cada problema mal
contestado. Después de 26 problemas,
ninguno de los dos debe pagar. ¿Cuántos
problemas resolvió correctamente el joven?
a) 16 b) 13 c) 12
d) 10 e) 9
04.Un profesor propone 50 problemas a su
alumno. Cada problema bien resuelto vale 5
puntos y cada problema mal resuelto
disminuye 3 puntos. ¿Cuántos problemas
contesto correctamente el alumno, si obtuvo
un puntaje de 138 puntos?
a) 14 b) 25 c) 30
d) 36 e) N.a.
05.Se desea envasar 600 litros de vino en 35
envases de 20 y 15 litros de capacidad cada
uno. Hallar la diferencia entre el número de
envases de cada clase
a) 10 b) 5c) 8
d) 2 e) N.a.
06.El Kilogramo de papa amarilla cuesta 8 soles
y de papa blanca cuesta 5 soles. ¿Cuántos
Kilogramos de papa amarilla tiene Julio en un
total de 20 Kilogramos que cuestan 133
soles?
a) 8 b) 11 c) 9
d) 10 e) N.a.
07.Un comerciante empleo 19 100 soles en
comprar 50 camisas de 400 y 350 soles.
¿Cuántas camisas compro de 400 soles?
a) 11 b) 32 c) 15
d) 18 e) N.a.
08.Debo pagar 850 soles con 12 billetes de 50
soles y 100 soles. ¿Cuál es la diferencia entre
el número de billetes de uno y otro valor?
a) 1b) 0 c) 3
d) 2 e) N.a.
09.El agua contenida en un pozo se agota en 3
horas. En cada hora baja el nivel del agua la
mitad de la altura más un metro. ¿Qué
profundidad tiene el pozo?
a) 10 metros b) 14 metros c) 18 metros
d) 22 metros e) N.a.
10.Después de gastar la tercera parte de mi
dinero y luego la tercera parte del resto,
todavía me quedan 20 soles. ¿Cuánto tenia al
comienzo?
a) 40 soles b) 60 soles c) 45 soles
d) 42,25 soles e) N.a.
11.Debo pagar 2050 soles con 28 billetes de 50 y
100 soles. ¿Cuántos billetes de 50 debo
emplear?
a) 12 b) 32 c) 40
d) 15 e) 35
12.Se forma la longitud de 1 metro, colocando
37 monedas de 50 y 100 pesos en contacto y
a continuación unas de las otras. Los
diámetros de las monedas eran de 25 y 30mm
respectivamente. ¿Cuántas monedas son de
50 pesos?
a) 22 b) 15 c) 18
d) 23 e) 24
13.Un padre propone 12 problemas a su hijo con
la condición de que por cada problema que
resuelva bien el muchacho recibirá 10 soles y
por cada problema que resuelva mal perderá 6
soles. Después de trabajar los 12 problemas el
muchacho recibe 72 soles. ¿Cuántos
problemas resolvió bien?
a) 8b) 9 c) 10
d) 12 e) N.a.
14.Ciento cinco litros de agua deben ser
vaciados en depósitos de 11 y 4 litros de
capacidad. ¿Cuántos son de 11 litros si en
total se usaron 21 depósitos?
a) 18 b) 15 c) 17
d) 3 e) 6
15.El valor de una entrada para adulto a un teatro
es de S/. 8. Si un niño paga una boleto de S/.
5 y la recaudación fue de S/. 1260: ¿Cuántos
boletos de un total de 195 fueron adultos?
a) 100 b) 105 c) 95
d) 65 e) 75
16.Si a una cantidad, le agregas 40, a este
resultado lo divides por 4, luego le quitas 5,
después de lo cual lo multiplicas por 10,
enseguida a lo que le sacas la raíz cuadrada y
lo multiplicas finalmente por 5; obtendrás 50
soles. ¿Qué cantidad es la inicial?
a) 30 b) 10 c) 20
d) 15 e) 75
17.A cierta cantidad de dinero, primero se triplica
t se disminuye 50, luego se duplica y se
disminuye 220, por ultimo sextuplico su dinero
quedando finalmente con 3 480 soles. ¿Cuál es
el dinero al principio?
a) 100 b) 120 c) 300
d) 250 e) 150
18.A una cierta cantidad se le opera de la
siguiente forma:
Duplica su valor luego disminuir en 24 (3
veces), obteniendo un valor cero al final.
¿Cuál es la cantidad?
a) 36 b) 18 c) 21
d) 42 e) N.a.
19.A cierto número, multiplícalo por 4, a este
resultado auméntale 8, luego divídele por 5,
finalmente al resultado sácale su raíz cúbica,
obteniendo al final 2. ¿Cuál es el número
inicial?
a) 2 b) 4 c) 6
d) 8 e) N.a.
20.A un número, divídele entre 2, luego elévale al
cuadrado, a este resultado por 4. Finalmente al
resultado sácale su raíz cuadrada, obteniendo
10. ¿Cuál será el número inicial?
a) 5 b) 10 c) 4
d) 9 e) 11
TAREA DOMICILIARIA
01.Si a la cantidad que tengo, le multiplico por 8
y luego lo divido por 10 y al cociente lo
multiplico por 3 y le agrego 36, entonces
tendré 180 soles. ¿Qué cantidad tenía?
a) 50 b) 60 c) 40
d) 90 e) 110
02.Un alumno escribe en su cuaderno cada día la
mitad de las hojas en blanco que tiene ese día
más 10 hojas. Si al cabo de tres días gasto
todas las hojas. ¿Cuántas hojas tenía el
cuaderno?
a) 30 b) 40 c) 70
d) 119 e) 140
03.Se vendieron 450 huevos; unos a 14,4 soles la
docena y otros a 12 soles la docena.
Determinar cuántos huevos del primer precio
se vendieron, sabiendo que por cada 2 docenas

vendidas se regalaba uno, y que por todo se
recibió 484,80 soles
a) 200 b) 175 c) 275
d) 315 e) N.a.
04.Al volver un señor de caza dice a su hijo.
Quieres saber cuántas presas he cazado hoy.
Adivínalo: Son 102 patas y 37 cabezas, entre
conejos y palomas. ¿Cuántas palomas había
casado el señor?
a) 14 b) 18 c) 23
d) 25 e) N.a.
05.Un obrero que gana 100 soles diarios gasta
por término medio 69 soles pero cuando no
trabaja, gasta 25 soles más. Al cabo de 31
días esta debiendo 414 soles. ¿Cuántos días
trabajo?
a) 11 b) 18 c) 20
d) 21 e) N.a.
06.A un número se realiza las siguientes
operaciones: Lo elevas al cuadrado, le
agregas 11 a la potencia, se extrae la raíz
cúbica a la suma obtenida, le diminuyes 3 y
se multiplica por 2, el resultado obtenido es
cero. ¿Cuál será el número inicial?
a) 1 b) 2 c) 3
d) 4 e) 5
07.Hallar un número, tal que si le sumas 2, luego
le multiplicas por 5, a este resultado le
divides por 7, luego le disminuyes 2, para
luego sacarle su raíz cúbica se obtendrá 2.
a) 10 b) 12 c) 8
d) 6 e) 4
08.A un número se le multiplica por 3, se le
disminuye 6, se multiplica por 5, le divides
por 10 se obtiene 3. Hallar el número.
a) 4b) 10 c) 4
d) 7 e) 8
09.A un número se eleva al cuadrado, a este
resultado se le resta 3 a cuya diferencia se
divide por 2, luego se aumenta 22, para luego
sacar su raíz cuadrada. Hallar el número.
a) 8b) 10 c) 4
d) 11 e) 14
10.Si cierta cantidad lo multiplicas por 6, luego a
este resultado le restas 20 y a esta diferencia
lo divides por 2 obteniendo 35. ¿Cuál es el
número?
a) 5b) 10 c) 14
c) 9e) 11
SOLUCIONARIO
Nº
Ejercicios Propuestos
01 02 03
01. B D C
02. A C B
03. D E D
04. E B D
05. C A B
06. B D B
07. D C B
08. A C D
09. C A B
10. E D C
11. A C D
12. B D A
13. C A B
14. A B D
15. D D C
16. B B C
17. B C E
18. C D A
19. C C D
20. A E B
GRUPO EDUCATIVO INTEGRAL
copyright 2003

S1 rm31b

Más contenido relacionado

La actualidad más candente (18)

Similar a S1 rm31b (20)

Último (20)

S1 rm31b