Semana 01 s3

Dirección de Calidad Educativa
CÁLCULO II
SEMANA 1
SESIÓN 3:
MÉTODOS DE INTEGRACIÓN
 Integración directa

Propósito
:
Utiliza las reglas de
integración básica
de antiderivadas

Métodos de integración
¿Cómo reconocer cuál técnica
emplear para integrar ?
No se pueden dar reglas inalterables y efectivas respecto a cuál método aplicar en
determinado caso, pero uno de los prerrequisitos para seleccionar una estrategia es el
conocimiento de las fórmulas básicas de integración
 








Cxxdx.Cx-xdx.
C
a
a
dxa.Cedxe.
Cxdx
x
.)-nC (
n
x
dxx.
x
xxx
n
n
sencos6cossen5
ln
43
ln
1
21
1
1
1
Tabla de fórmulas de integración

…Tabla de fórmulas de integración
C
a
x
x
C
a
x
tan
aa
CxxdxCxdx
Cxxdx.Ctanxdx.
CdxxCdxx
Cxdxxx.Cxdxxtanx.
CxxdxCtanxxdx
























 



1
22
1
22
22
sen
a
dx
18.
1
x
dx
.17
senhcosh.16coshsenh.15
senlncot14secxln13
cotx-cscxlncsc12tanxsecxlnsec.11
csccotcsc.10secsec9
cotcsc8.sec.7

Propiedades de la integral indefinida
Propiedades de la integral indefinida
I 
 k f(x) dx = k 
 f(x) dx con k  R
Las constantes pueden salir y entrar fuera del
signo de la integral indefinida.
II 

[ f(x)  g(x)] dx = 
 f(x) dx 
 g(x) dx
La integral indefinida de una suma (resta) de
dos funciones es la suma (resta) de las inte-
grales indefinidas.
Propiedades de la derivada
I (kf )' (x) = k f '(x) con k  R
La derivada de una constante por una
función es el producto de la constante
por la derivada de la función.
II (f  g) ' (x) = f ' (x)  g ' (x)
La derivada de una suma (resta) de dos
funciones es la suma (resta) de las deri-
vadas de cada una de ellas.
  dxxgdxxfdxxgxf )()()()(CUIDADO:

INTEGRACIÓN DIRECTA
Ejemplo 1
   
 
     
  
   2 2
3
4 2 4 2 3
1 1
dx
x sen x dx xdx sen x dx
x x
Solución
 
 
  
 
 2
3
: 4 2sin .
1
Hallar x x dx
x
Podemos calcular esta integral usando la tabla
repetidamente.
        
2
4 2 cos 3
2
x
x arcsen x C
      2
2 2cos 3x x arcsen x C

Ejemplo 2
 
  
       
 
2
2 2
2 1
1
1 1
x
dx dx x arctg x C
x x
Solución


2
2
2
Hallar: .
1
x
dx
x
Para integrar esta función es necesario en
primer lugar reescribirla, para luego
calcular la integral usando la tabla
anterior.
  
  
  
22
2 2 2
1 12 1
1
1 1 1
xx
x x x
Expresamos la
función como:
Para
obtener:

Encuentre la solución particular que satisface la
ecuación diferencial y las condiciones iniciales
3
) ( ) 10 12 , (3) 2a g s s s g   
) ( ) , (0) 1, (0) 6b f x senx f f   
Ejemplo 3

Ejercicios del material de trabajo

1. Crecimiento de plantas. Un vivero de plantas
verdes suele vender cierto arbusto después de 6
años de crecimiento y cuidado. La velocidad de
crecimiento durante esos 6 años es
aproximadamente, donde t es el tiempo
en años y h es la altura en centímetros. Las plantas
de semillero miden 12 centímetros de altura
cuando se plantan
a) Determine la altura después de t años
b) ¿Qué altura tienen los arbustos cuando se
venden?
/ 1,5 5dh dt t 
( 0)t 

2. Crecimiento de población. La tasa de crecimiento dP/dt de
una población de bacterias es proporcional a la raíz cuadrada de
t donde P es el tamaño de la población y t es el tiempo en días
Esto es .El tamaño inicial de la población
es igual a 500, después de un día la población ha crecido hasta
600. Estimar el tamaño de la población después de 7 días.
/dP dt k t(0 10)t 

Integrales inmediatas para funciones compuestas
Tabla de Fórmulas de integración
1
1;
1
n
n x
x dx C n
n

   

1
( ( ))
( ( )) '( ) 1
1
n
n f x
f x f x dx C n
n

    

1
ln | |dx x C
x
 
1
'( ) ln | ( ) |
( )
f x dx f x C
f x
 
x x
e dx e C  ( ) ( )
'( )f x f x
e f x dx e C  
( ) cos( )sen x dx x C   ( ( )) '( ) cos( ( ))sen f x f x dx f x C   
2
sec ( ) ( )x dx tg x C 
2
sec ( ( )) '( ) ( ( ))f x f x dx tg f x C  
2
1
( )
1
dx arcsen x C
x
 

 2
1
'( ) ( ( ))
1 ( ( ))
f x dx arcsen f x C
f x
  


2
1
( )
1
dx arctg x C
x
 
 2
1
'( ) ( ( ))
1 ( ( ))
f x dx arctg f x C
f x
  


3. Calcular
Integrales inmediatas para funciones compuestas
1
2 


2 cos 2x sen3
2x dx =
1
2
sen4
2x
4 =
1
8 sen4
2x + C 


cos 2x sen3
2x dx =a)
b) 




x2
ex3
dx =
1
3 



3x2
ex3
dx =
1
3
ex3
+ C
c) 




e7x
cos (e7x
+ 5) dx =
1
7 



7 e7x
cos (e7x
+ 5) dx =
1
7
sen (e7x
+ 5) + C
d) 


 e3x
1 – e6x dx =


 e3x
1 – (e3x
)2
dx =
1
3 

 3e3x
1 – (e3x
)2
dx =
1
3
arcsen e3x
+ C
e)

PARA EL ESTUDIANTE: integrar
    dxxxx 32734 2


dxex x 33 4
 
dx
axxLnax )(
1
2222
 
 dx
x
x
2
)ln(
a)
b)
c)
d)

1. Encuentre una función f tal que
para la cual la pendiente de la recta tangente a su
gráfica en (1, 1) es 3
2
( ) 12 2f x x  

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