Semana 13-CALC 1.pptx

Integración por
Descomposición en
Fracciones Parciales
Módulo 12
• Cálculo 1
• 2022-2
• Videoconferencia 12

Temario
Método de fracciones parciales.
Caso 1: Raíces reales diferentes.
Caso 2. Raíces reales repetidas.
Caso 3: Términos cuadráticos irreducibles.

Motivación
La autoridad autónoma del proyecto de irrigación OLMOS, estima que dentro de x años,
el valor de una hectárea de tierra cultivable aumentará a razón de:
dólares por año. En la actualidad la hectárea de tierra cuesta $500.
Una empresa agroindustrial desea estimar el precio de una hectárea dentro de 10 años.
si la empresa te contrata para que realices la estimación.
a) ¿Qué herramientas utilizarías para
encontrar el precio por hectárea
dentro de 10 años?
b) ¿Cuál es la descomposición del
integrando?
c) ¿Cuál será el valor de la hectárea?
27
3
1
2
)
(
' 2



x
x
x
V

Al finalizar la sesión de aprendizaje, el
estudiante haciendo uso del método de
integración por fracciones parciales
resuelve e interpreta problemas de
ingeniería y gestión, siguiendo un
proceso lógico fundamentado en la
obtención de la solución y muestra sus
cálculos con orden y pertinencia.
Logro de sesión:

MÉTODO DE INTEGRACIÓN POR PARTES
MÉTODO DE SUSTITUCIÓN TRIGONOMÉTRICA
MÉTODO DE CAMBIO DE VARIABLE
Identifique el método que se utilizaría para resolver las integrales dadas:
2 2
2
1
E dx
x x



2
1
4
D dx
x x



 
2
3 x
A x x e dx

 
  
2
ln
C x x dx
 
3
2 1
x
B x e dx

 
2
2 1
7
x
F dx
x x


 


Integración de funciones
racionales
Dada una función racional 𝑓 𝑥 =
𝑃(𝑥)
𝑄(𝑥)
( cociente de dos polinomios) el método de
fracciones parciales consiste en factorizar el polinomio 𝑄(𝑥) y separar en fracciones
simples cuyo denominador sean los factores de 𝑄 𝑥 .
Antes de comenzar a integrar funciones racionales recordemos también que
Es evidente que, por la estructura de la fracción, el proceso inverso tiene que ser de la
siguiente manera
De acuerdo con los factores se pueden presentar algunos casos.

CASO 1: FACTORES LINEALES DIFERENTES
Dada la función racional:  
 
 
 
, 0
p x
f x q x
q x
 
 
 
1 2
1 1 2 2
n
n n
p x A
A A
q x c x d c x d c x d
   
  
      
1 1 2 2 n n
   
 
 
1 2
1 1 2 2
n
n n
p x A
A A
dx dx dx dx
   
  
   
 
 
1 2
1 1 2 2
1 2
ln ln ln
n
n n
n
p x A
A A
dx c x d c x d c x d C
q x c c c
       


Ejemplo
1
𝐶𝑎𝑙𝑐𝑢𝑙𝑎𝑟 ∫
5𝑥 − 3
(𝑥 + 1)(𝑥 − 3)
𝒹𝓍
5𝑥 − 3
(𝑥 + 1)(𝑥 − 3)
=
𝒜
(𝑥 + 1)
+
ℬ
(𝑥 − 3)
5𝑥 − 3
(𝑥 + 1)(𝑥 − 3)
=
𝒜 𝑥 − 3 + ℬ(𝑥 + 1)
(𝑥 + 1)(𝑥 − 3)
5𝑥 − 3 = 𝒜 𝑥 − 3 + ℬ 𝑥 + 1
𝑥 = 3 𝑥 = −1
15 − 3 = 4ℬ − 5 − 3 = −4𝒜
12 = 4ℬ − 8 = −4𝒜
3 = ℬ 2 = 𝒜
5𝑥 − 3
(𝑥 + 1)(𝑥 − 3)
=
2
𝑥 + 1
+
3
𝑥 − 3
∫
5𝑥 − 3
(𝑥 + 1)(𝑥 − 3)
𝒹𝓍 = 2∫
𝒹𝓍
𝑥 + 1
+ 3∫
𝒹𝓍
𝑥 − 3
= 2 ln |𝑥 + 1| + 3 ln |𝑥 − 3| + 𝐶
Solución
Descomponer la función en fracciones parciales
Determinamos los valores de 𝒜 y ℬ
Integramos ambos lados

Ejemplo
2
5𝑥 − 3
(𝑥 + 1)(𝑥 − 3)(2𝑥 − 1)
𝒹𝓍
Solución

CASO 2: FACTORES LINEALES REPETIDOS
 
 
 
, 0
p x
f x q x
q x
 
 
     
1 2
2
n
n
p x A
A A
q x cx d cx d cx d
   
  
   
n
q x cx d
 
 
     
1 2
2
n
n
p x A
A A
dx dx dx dx
q x cx d cx d cx d
   
  
   
 
      
1 2
1
ln
1
n
n
p x A
A A
dx cx d C
q x c c cx d c n cx d

     
  


Ejemplo
3
2𝑥 + 5
(𝑥 + 1)2
𝒹𝓍
2𝑥 + 5
(𝑥 + 1)2
=
𝒜
(𝑥 + 1)
+
ℬ
(𝑥 + 1)2
2𝑥 + 5 = 𝒜 𝑥 + 1 + ℬ
𝑥 = −1:
−2 + 5 = ℬ
3 = ℬ
∫
2𝑥 + 5
(𝑥 + 1)2
𝒹𝓍 = 2∫
𝒹𝓍
𝑥 + 1
+ 3∫
𝒹𝓍
(𝑥 + 1)2
= 2 ln |𝑥 + 1| − 3(𝑥 + 1)−1
+𝐶
Solución
2𝑥 + 5
(𝑥 + 1)2
=
𝒜 𝑥 + 1 + ℬ
(𝑥 + 1)2
𝑥 = 0:
5 = 𝒜 + ℬ
2 = 𝒜
2𝑥 + 5
(𝑥 + 1)2
=
2
(𝑥 + 1)
+
3
(𝑥 + 1)2

Ejemplo
4
2𝑥 + 5
𝑥 𝑥 + 4 (𝑥 + 1)2
𝒹𝓍
Solución

CASO 3: FACTORES CUADRÁTICOS IRREDUCIBLES
 
 
 
, 0
p x
f x q x
q x
 
 
 
1 1
2 2
1 1 1
... n n
n n n
p x A x B
A x B
q x c x d x e c x d x e


  
   
   
2
no se puede factorizar (discriminante negativo)
q x cx dx c
   
 
 
1 1
2 2
1 1 1
... n n
n n n
p x A x B
A x B
dx dx dx
q x c x d x e c x d x e


  
   
  

Ejemplo 4. Calcular
  
2 2
3 2
2 1
x
dx
x x

 


2𝑥 + 1
3(𝑥 − 3)(𝑥 + 3)
𝒹𝓍
2𝑥 + 1
3(𝑥 − 3)(𝑥 + 3)
=
𝒜
(𝑥 − 3)
+
ℬ
(𝑥 + 3)
2𝑥 + 1
3(𝑥 − 3)(𝑥 + 3)
=
𝒜 𝑥 + 3 + ℬ(𝑥 − 3)
(𝑥 − 3)(𝑥 + 3)
2𝑥 + 1
3
= 𝒜 𝑥 + 3 + ℬ 𝑥 − 3
𝑥 = −3 𝑥 = 3
−5
3
= −6ℬ
7
3
= 6𝒜
5
18
= ℬ
7
18
= 𝒜
2𝑥 + 1
3(𝑥 − 3)(𝑥 + 3)
=
7
18(𝑥 − 3)
+
5
18(𝑥 + 3)
∫
2𝑥 + 1
3(𝑥 − 3)(𝑥 + 3)
𝒹𝓍
=
7
18
∫
𝒹𝓍
𝑥 − 3
+
5
18
∫
𝒹𝓍
𝑥 + 3
𝑉(𝑥) =
7
18
ln |𝑥 − 3| +
5
18
ln |𝑥 + 3| + 𝐶
Solución:

𝑉(𝑥) =
7
18
ln |𝑥 − 3| +
5
18
ln |𝑥 + 3| + 𝐶
En la actualidad la hectárea de tierra cuesta $500. Es decir, V(0)=500
𝑉(0) =
7
18
ln |3| +
5
18
ln |3| + 𝐶 = 500
Luego, 𝐶 = 500 −
2
3
ln |3|
Reemplazando 𝐶 = 500 −
2
3
ln |3|, 𝑒𝑛 𝑉(𝑥) 𝑠𝑒 𝑡𝑖𝑒𝑛𝑒 𝑞𝑢𝑒
𝑉(𝑥) =
7
18
ln |𝑥 − 3| +
5
18
ln |𝑥 + 3| + 500 −
2
3
ln |3|

Luego, el valor de la tierra dentro de 10 años será
Entonces, el valor de la tierra dentro de 10 años será aproximadamente de 500.747 dólares
𝑉(10) =
7
18
ln |10 − 3| +
5
18
ln |10 + 3| + 500 −
2
3
ln |3|

Conclusione
s
1. El método de fraccione parciales para integrar funciones racionales,
consiste en expresar una fracción compleja en fracciones simples que
puedan ser integradas fácilmente.
2. Existen cuatro casos que se pueden presentar cuando se factoriza el
denominador de la función racional:
2.1) Factores lineales diferentes.
2.2) Factores lineales repetidos.
2.3) Factores cuadráticos irreducibles.
2.4) Factores cuadráticos irreducibles repetidos.
3. Al finalizar la sesión de aprendizaje, el estudiante haciendo uso del
método de integración por fracciones parciales resuelve e interpreta
problemas de ingeniería y gestión, siguiendo un proceso lógico
fundamentado en la obtención de la solución y muestra sus cálculos con
orden y pertinencia.

Bibliografía
1. Leithold, L. (1994). El Cálculo. Mexico: Oxford University Press.
2. Purcell, V. R. (2007). Cálculo. México: Prentice Hall INC.
3. Ron Larson, B. E. (2010). Cálculo 1 de una variable. México: McGRAW-
HILL/INTERAMERICANA EDITORES, S.A. DE C.V.
4. Stwart, J. (2012). Cálculo de una variable. Trascendentes tempranas (Vol.
Séptima Edición). Mexico DF: Cengage Learning Editores, S.A. de C.V.

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