Sistemas Numericos.pdf

Sistemas Num
Sistemas Numé
éricos
ricos
Introducci
Introducció
ón a los Sistemas
n a los Sistemas
L
Ló
ógicos y Digitales
gicos y Digitales
2009
2009
Sergio Noriega – Introducción a los Sistemas Lógicos y Digitales - 2009

SISTEMAS NUMÉRICOS
Clasificación según la base:
Binario: La base es 2. Ej.: 1001110
Decimal: La base es 10. Ej.: 78
Hexadecimal: La base es 16. Ej.: 4E
El mundo digital adopta el sistema de representación binario.
El mundo humano adopta el sistema de representación decimal.
Es necesario, entonces, poder realizar conversiones entre un
sistema y el otro.
El hexadecimal está intimamente ligado al binario por ser ambas
bases potencia de 2 (binario es 21 y hexadecimal es 24).
MSB = Most Significative Bit
LSB = Less Significative Bit

SISTEMAS NUMÉRICOS
Sistema decimal Sistema Binario Sistema Hexadecimal
0 0000 0
1 0001 1
2 0010 2
3 0011 3
4 0100 4
5 0101 5
6 0110 6
7 0111 7
8 1000 8
9 1001 9
10 1010 A
11 1011 B
12 1100 C
13 1101 D
14 1110 E
15 1111 F
Equivalencias

SISTEMAS NUMÉRICOS
Números enteros:
Pasaje de base decimal a binario:
Se debe ir dividiendo por 2 en forma consecutiva los
resultados obtenidos hasta que el resultado sea 0.
69 2
1 34 2
0 17 2
1 8 2
0 4 2
0 2 2
0 1 2
1 0
6910 = 10001012
LSB
MSB
MSB LSB
EJEMPLO:
BIT mas
significativo

SISTEMAS NUMÉRICOS
Números enteros:
Pasaje de base binario a decimal :
Se debe desarrollar la fórmula que expresa un número decimal
En función de los coeficientes binarios.
N10 = an-1•2n-1 + an-2•2n-2 +…+ a3•23+
a2•22 +a1•21 +a0•20
Como se denota los dígitos binarios desde 0 en adelante,
un número binario de n bits tendrá designaciones desde 0
hasta (n-1), dando un total de n coeficientes.
101102 => 1•24 + 0•23 + 1•22+ 1•21 + 0•20
= 16 + 0 + 4 + 2 + 0
= 2210
EJEMPLO:

SISTEMAS NUMÉRICOS
0,125 => 0,125 x 2 = 0,250 a-1 = 0
0,250 x 2 = 0,500 a-2 = 0
0,500 x 2 = 1,000 a-3 = 1
0,000 x 2 = 0 (se termina la conversión)
0,12510 = 0,0012
Números fraccionarios (no enteros):
Se debe ir multiplicando por 2 la parte decimal.
Los resultados obtenidos en cada multiplicación
corresponden a los coeficientes binarios desde el
a-1 hasta el a-n.
EJEMPLO:
N10 = a-1•2-1 + a-2•2-2 +…+
a-n•2-n

SISTEMAS NUMÉRICOS
Números reales (con parte entera y decimal):
Se deben realizar por separado las operaciones
anteriormente descriptas.
EJEMPLO:
22,12510 2210 = 10110
0,12510 = 0,001
= 2210 + 0,12510 = 10110 + 0,001 = 10110,0012

SISTEMAS NUMÉRICOS
Números reales (con parte entera y decimal):
Pasaje de base hexadecimal a binario:
Cada dígito hexadecimal está representado en binario por 4 bits.
EJEMPLO: A3FD,CB216 = 1010001111111101,1100101100102
Pasaje de base binario a hexadecimal :
Para la parte entera del número binario, se deben tomar grupos
de a 4 bits desde la coma hacia la izquierda y completar con
“ceros” si es necesario para obtener el dígito hexadecimal mas
significativo.
Para la parte decimal, se debeyomar grupos de a 4 bits desde la
Coma hacia la derecha y completar si es necesario con “ceros”
para obtener el último dígito hexadecimal.
EJEMPLO: 101000101010111000110,101010101111112 =
1 4 5 5 C 6 , A A F C
000 00

SISTEMAS NUMÉRICOS
Representación de números en punto fijo
Existe un campo para la representación de la parte entera del
Número binario y otra para la parte decimal.
EJEMPLO: 0111,0012 que equivale al 7,12510.
En general cada uno de ellos se ubica en posiciones de
memoria diferentes.
Dependiendo de la extensión del número se pueden alojar en un
“nibble” (4 bits), un “byte” (8 bits), un “word” (16 bits),
“doble word” (32 bits), etc.
Mayor cantidad de bits empleados permiten representar un
número en el sistema decimal mayor.

SISTEMAS NUMÉRICOS
Representación de números en punto flotante
Existen en general al menos 3 campos para la representación de:
+ Mantisa.
+ Signo del número.
+ Exponente con el signo incluído.
Su utilización es importante cuando se requiere representar
cantidades muy pequeñas y/o muy grandes, siendo muy engorroso
emplear el formato en punto fijo por la cantidad de dígitos que se
deberían emplear (y por lo tanto posiciones de memoria).
Uno de los formatos mas conocidos es el IEEE P754.
EJEMPLO: En IEEE P954 formato precisión simple, el número:
1|11000000|11000000000000000000000
equivale al número -3,510.
Nota: El símbolo “|” denota separación de campos.

SISTEMAS NUMÉRICOS
Existen dos variantes:
+ Números sin signo.
+ Números con signo.
Números sin signo: Todos los bits se utilizan para representar
el módulo del número.
Números con signo: Dado N bits, 1 de ellos se usa para representar
el signo y los N-1 restantes para representar el módulo del
número.
Existen tres métodos de representación:
+ Representación “Signo y módulo”.
+ Representación en “Complemento a 1 (Ca1)”.
+ Representación en “Complemento a 2 (Ca2)”.

SISTEMAS NUMÉRICOS
Representación de números en punto fijo sin signo
Dado N bits para su representación tenemos:
Rango: 2N
EJEMPLO: Con 8 bits Rango = 256.
Con 16 bits Rango = 65536.
Número mínimo a representar: 0.
Número máximo a representar: 2N-1.
EJEMPLO: Con 8 bits Nº mínimo = 0.
Nº máx. = 255.
Con 16 bits Nº mínimo = 0.
Nº máx. = 65.535.

SISTEMAS NUMÉRICOS
Representación de números en punto fijo con signo
Signo y módulo
Dado N bits de representación,
el bit de signo se ubica a la izquierda (bit MSB).
El resto de los N-1 bits forman el módulo.
EJEMPLO: Con 8 bits 10001001= - 9.
00001001= +9.
11111111= -127.
01111111= +127.
00000000= +0.
10000000= - 0.
Con 16 bits 10000000000001001 = -9.
00000000000001001 =+9.
Se puede observar que existe una doble representación del “0”.

SISTEMAS NUMÉRICOS
Signo y módulo
Rango: 2N
Número máximo positivo a representar: +(2N-1 -1)
EJEMPLO: Con 8 bits Nºmáx. = +127.
Con 16 bits Nºmáx. = +32677.
Número máximo negativo a representar: -(2N-1 -1)
EJEMPLO: Con 8 bits Nºmáx. = -127.
Con 16 bits Nºmáx. = -32677.
NOTA: Hay doble representación del “0”.

SISTEMAS NUMÉRICOS
Representación en Signo y Módulo en 3 bits
010
001
011
101
100
110
111
000
+3
+2
+1
+0
-0
-1
-2
-3

SISTEMAS NUMÉRICOS
Complemento a 1 (Ca1)
Dado N bits de representación,
el bit de signo se ubica a la izquierda (bit MSB).
El resto de los N-1 bits forman el módulo.
Si el número es positivo su representación es idéntica a la del
sistema “Signo y Módulo”.
Si el número es negativo se debe usar la siguiente regla de
conversión:
N(-) = 2n-1-N donde: N(-) es el número negativo a buscar.
N es el número positivo de partida.
n es el número de bits de representación.

SISTEMAS NUMÉRICOS
Rango: 2N
Número máximo negativo a representar: -(2N-1 -1)
NOTA: Hay doble representación del “0”.

SISTEMAS NUMÉRICOS
EJEMPLOS de números positivos:
1) Representar el número +11510 con 8 bits en Ca1:
El módulo del número es 1110011.
Colocando el signo tendremos: 01110011.
2) Representar el número +1510 con 8 bits en Ca1.
El módulo del número es: 1111.
NOTA: En este último ejemplo se debió llenar con ceros hasta
completar los 8 bits.

SISTEMAS NUMÉRICOS
EJEMPLO de números negativos:
Representar el número -11510 con 8 bits en Ca1:
Empleando la definición: 2n -1 – N = 28 – 1 - 1110011.
RESULTADO: 10001100.
NOTA: Una manera mecánica de realizar esta conversión es la de
Invertir el valor de todos los dígitos (1 por 0 y 0 por 1).
28 = 100000000
1 = 1
11111111
-
-
1110011

SISTEMAS NUMÉRICOS
Representación en Complemento a 1 en 3 bits
010
001
011
101
100
110
111
000
+3
+2
+1
+0
-3
-2
-1
-0

SISTEMAS NUMÉRICOS
Rango: 2N
Número máximo negativo a representar: -(2N-1)
NOTA: No hay doble representación del “0” y se puede
representar un número adicional en los negativos.

SISTEMAS NUMÉRICOS
EJEMPLOS de números positivos:
1) Representar el número +11510 con 16 bits en Ca2:
2) Representar el número +1510 con 16 bits en Ca2.
El módulo del número es: 1111.
NOTA: Tanto en “Signo y módulo”, “Ca1” y “Ca2” los números
positivos se representar de manera idéntica …!!!!!

SISTEMAS NUMÉRICOS
EJEMPLO de números negativos:
Representar el número -11510 con 8 bits en Ca2:
Empleando la definición: 2n – N = 28 – 1 - 1110011.
RESULTADO: 10001101.
NOTA: Una manera mecánica de realizar esta conversión es la de
Explorar el número de derecha a izquierda.
Se copian tal como están hasta que aparezca el primer “1”.
Ese se deja y a partir de allí se invierten todos los demás dígitos.
Otra forma es invertir todos los bits y luego sumar “1” al resultado.
28 = 100000000
- 01110011

SISTEMAS NUMÉRICOS
Representación en Complemento a 2 en 3 bits
010
001
011
101
100
110
111
000
+3
+2
+1
+0
-4
-3
-2
-1
Aparece otro nº adicional
Negativo..!!!
No hay doble
representación
del cero..!!!

SISTEMAS NUMÉRICOS
Los circuitos digitales complejos tales como microprocesadores
emplean circuitos aritméticos que realizan operaciones
matemáticas en el sistema de representación binario.
Esto tiene un fundamento físico ya que cada dígito binario se
puede representar con sólo dos estados lógicos 0 y 1, cada
uno asociado a un determinado rango de tensiones.
Las operaciones básicas son las de:
Suma.
Resta.
Multiplicación.
División.
Estas pueden ser (similar al caso del sistema decimal) en formato
punto fijo ó punto flotante (notación científica).
Otras operaciones (raíces cuadradas, integrales, derivadas, etc.)
se realizan empleando combinaciones de las anteriores.
Operaciones matemáticas

SISTEMAS NUMÉRICOS
EJEMPLO:
OPERACIONES MATEMÁTICAS CON NÚMEROS ENTEROS sin signo:
SUMA:
Las regla es la siguiente: 0+0=0; 0+1=1;1+0=1;1+1=0 y me llevo 1.
1011011 = 9110
1111 = 1510
+
1101010 = 10610
1
1 1
1
1 NOTA: Cada uno de los “1” que
aparecen arriba se denominan
“carry” ó acarreo. Son el
resultado del desborde de la
operación realizada en cada
posición de bit cuando se suma
al menos dos “unos”.
111
+011
011
Pueden existir mas de un acarreo en una misma posición de bit,
por ejemplo al sumar 4 “unos”:
Hacer:
En qué posición está
El doble desborde?

SISTEMAS NUMÉRICOS
EJEMPLO:
RESTA:
La regla es la siguiente: 0-0=0;0-1=1 y pido prestado un 1;1-0=1;1-1=0.
1011011 = 9110
1111 = 1510
-
1001100 = 7610
1
1 NOTA: Cada uno de los “1” que
aparecen arriba se denominan
“borrow” ó préstamo. Son el
resultado del desborde de la
operación realizada en cada
posición de bit cuando a un 0 se
le resta un 1.

SISTEMAS NUMÉRICOS
MULTIPLICACIÓN:
1011011 = 9110
1111 = 1510
X
1011011
1011011
1011011
1
1
1 1 1
10101010101 = 136510
1011011
1
1
1
1
1
1 1
1
1
EJEMPLO:

SISTEMAS NUMÉRICOS
DIVISIÓN:
EJEMPLO: 1011011 = 9110
1111 = 1510
1011011 1111
1111 110,0001……
001111
1111
000001
000010
000100
001000
010000
.
.
En este caso el resultado puede
tener infinitas cifras ya que no
da un número divisible por potencia
de 2.
Propuesta: Hacer 111/111000
Porqué el número de decimales es finito?

SISTEMAS NUMÉRICOS
EJEMPLO 1:
OPERACIONES MATEMÁTICAS CON NÚMEROS ENTEROS con signo:
SUMA Y RESTA en Complemento a 1 (Ca1):
Las regla es la siguiente: Siempre se suma; por lo tanto si se tiene que
realizar por ejemplo la operación: 15-4, en realidad se hace 15+(-4).
El -4 se debe hallar haciendo el complemento a 1 de +4.
Porqué dio erróneo
el resultado?
Realizar la operación 15 – 4 en 5 bits en CA1.
+15 = 01111
+4 = 00100 -4 = 2n – 1- (+4) -4 = 11011
01111 = +1510
11011 = - 410
+
01010 = +1010
1
1
1
1
1
1
+
01011 = +1110 CORRECTO..!!
Rta: Se pasó dos veces por la
representación del “0”.
Solución: Sumar un “1”

SISTEMAS NUMÉRICOS
EJEMPLO 2:
OPERACIONES MATEMÁTICAS CON NÚMEROS ENTEROS con signo:
SUMA Y RESTA en Complemento a 2 (Ca2):
Las regla es la siguiente: Siempre se suma; por lo tanto si se tiene que
realizar por ejemplo la operación: 15-4, en realidad se hace 15+(-4).
El -4 se debe hallar haciendo el complemento a 2 de +4.
Porqué dio bien
el resultado?
Realizar la operación 15 – 4 en 5 bits en CA2.
+15 = 01111
+4 = 00100 -4 = 2n – (+4) -4 = 11100
01111 = +1510
11100 = - 410
+
01011 = +1110
1
1
1 Rta: Se pasó sólo una vez por la
representación del “0”.
Sólo es un carry;
no afecta el resultado

SISTEMAS NUMÉRICOS
OPERACIONES MATEMÁTICAS CON NÚMEROS ENTEROS con SIGNO:
RESÜMEN:
Operaciones de suma y resta:
Ca1 tiene la desventaja de tener que analizar si en ciertos casos el
resultado dá mayor o menor que cero para saber si debe sumar o nó el
carry mas significativo.
Ca2 no tiene ese problema lo que simplifica la lógica.
Ca1 tiene la ventaja que permite complementar un número simplemente
invirtiendo el estado lógico de cada bit (se resuelve con una compuerta
OR-Exclusiva).
Ca2 debe complementar con un paso extra: inversión de bits y suma de
un “1”.
Operaciones de multiplicación y división:
No se realizan en Ca1 o Ca2 dado lo complejo de las operaciones.
Se realizan en Signo y Módulo, poniendo el signo al resultado en
paralelo con la operación realizada.

SISTEMAS NUMÉRICOS
Formato BCD:
Sistema de representación de números decimales donde
cada dígito se empaqueta en formato binario de 4 bits.
Útil en sistemas de visualización con display.
EJEMPLO:
987,02310 = 100110000111,000000100011
9 8 7 0 2 3

SISTEMAS NUMÉRICOS
Código de Gray:
Código que emplea dígitos binarios (0 y 1) pero con una secuencia
particular.
1 bit 2 bits 3 bits etc….
0
1
00
01
11
10
000
001
011
010
110
111
101
100
Se rebaten las columnas
sobre el la línea de trazos
como en un espejo.
Gran utilidad para implementar
sensores de posición angular
ya que de un número al
siguiente sólo cambia un bit.

SISTEMAS NUMÉRICOS
Representación de números en punto flotante:
Método de representación para números con signo en notación
científica.
Formato IEEE P754: Normalizado por la IEEE tiene a su vez
diferentes subformatos:
+ Precisión simple.
+ Precisión doble.
+ Precisión extendida.
+ Representación en BCD.
+ etc.

SISTEMAS NUMÉRICOS
Formato IEEE P754: Precisión simple.
Se divide el número a representar en 3 campos:
+ Signo del número (1 bit).
+ Fracción del significando (23 bits).
+ Exponente con signo incluído (8 bits).
Signo: “1” si el número es negativo, “0” si es positivo.
Fracción del significando: Se representa sólo la parte decimal de la
mantisa ó significando. Se asume que la parte entera es igual a 1.
Exponente: Con 8 bits (desde 0 a 255) se fija el número 127 como
el “bias” tal que representa al exponente “0”.
Todo exponente positivo será mayor a 127 y negativo menor a 127.
Ejemplos:
Si el exponente dá +15 se debe poner 127+15 = 10001110.
Si el exponente dá -15 se debe poner 127 – 15 = 11100000.
NOTA: Se reservan las combinaciones del exponente 0….0 y 1…1
que Junto con otras del campo de fracción del significando sirven
para avisar al sistema de ciertas condiciones alcanzadas.

SISTEMAS NUMÉRICOS
EJEMPLO:
Representar el número - 13,62510
Paso 1: Llevar el número a una notación en punto fijo:
13,625 = 1101,101.
Paso 2: Expresarlo tal que la mantisa quede con parte entera
igual a “1” 1,101101 x 2+3.
Paso 3: En el campo de fracción de significado poner:
10110100000000000000000 (23 bits en total).
Paso 4. En el campo del exponente sumar 3 a 01111111 ya
que es positivo 10000010.
Paso 5: Poner el campo del signo del número en “1”.
RESULTADO:
-13,62510 = 1|10000010|10110100000000000000000
Formato IEEE P754: Precisión simple.
Fracción del significando
SIGNO
Exponente

SISTEMAS NUMÉRICOS
Formato IEEE P754: Precisión doble.
Se divide el número a representar en 3 campos:
+ Signo del número (1 bit).
+ Fracción del significando (52 bits).
+ Exponente con signo incluído (11 bits).
Es similar al de precisión simple, salvo que tiene mayor rango para
representar números mas chicos y/o mas grandes.
Signo: “1” si el número es negativo, “0” si es positivo.
Fracción del significando: Se representa sólo la parte decimal de la
mantisa ó significando. Se asume que la parte entera es igual a 1.
Exponente: Con 11 bits (desde 0 a 2047) se fija el número 1023
como el “bias” tal que representa al exponente “0”.
NOTA: Se reservan las combinaciones del exponente 0….0 y 1…1
que Junto con otras del campo de fracción del significando sirven
para avisar al sistema de ciertas condiciones alcanzadas.

SISTEMAS NUMÉRICOS
Bibliografía:
Apuntes de teoría:
• “Sistemas de Representación Numéricos”. S. Noriega.
• “Operaciones matemáticas con números binarios”. S. Noriega.
• “Representación de números binarios en punto fijo y punto flotante”.
S. Noriega.
Libros:
• “Sistemas Digitales”. R. Tocci, N. Widmer, G. Moss. Ed. Prentice Hall.
• “Diseño Digital”. M. Morris Mano. Ed. Prentice Hall. 3ra edición.
• “Diseño de Sistemas Digitales”. John Vyemura. Ed. Thomson.
• “Diseño Lógico”. Antonio Ruiz, Alberto Espinosa. Ed. McGraw-Hill.
• “Digital Design:Principles Practices”. John Wakerly. Ed. Prentice Hall.
• “Diseño Digital”. Alan Marcovitz. Ed. McGraw-Hill.
• “Electrónica Digital”. James Bignell, R. Donovan. Ed. CECSA.
• “Técnicas Digitales con Circuitos Integrados”. M. Ginzburg.
• “Fundamentos de Diseño Lógico y Computadoras”. M. Mano, C. Kime.
Ed. Prentice Hall.
• “Teoría de conmutación y Diseño lógico”. F. Hill, G. Peterson. Ed. Limusa

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