Sudoku

Algoritmos Gen´ticos para la Resoluci´n de
e o
Sudokus
Luciano Bello
111863-8
luciano (at) linux.org.ar

Inteligencia Artiﬁcial
Profesora: Mar´ Florencia Pollo
ıa

Luciano Bello Algoritmos Gen´ticos para la Resoluciń de Sudokus
e o

´
Indice
1. Enunciado 2

2. Introducciń, Definiciones y Convenciones
o 2
2.1. El cromosoma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
2.2. El flujo del algoritmo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
2.2.1. Generaciń de la poblaciń inicial .
o o . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
2.2.2. Selecciń - Funciń de aptitud . . .
o o . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
2.2.3. Cruzamiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
2.2.4. Mutaciń . . . . . . . . . . . . . .
o . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2.2.5. Condiciń de finalizaciń . . . . . .
o o . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

3. Pruebas y An´lisis Param´trico
a e 5
3.1. An´lisis 1: Tamaõ de la poblaciń y cantidad de padres . . . . . . . . . .
a n o 6
3.2. An´lisis 2: Elecciń del algoritmo de cruzamiento . . . . . . . . . . . . . .
a o 7
3.3. An´lisis 3: Cantidad de inc´gnitas del enunciado . . . . . . . . . . . . . . .
a o 9

4. Conclusiń Final
o 10

1. Enunciado
Se solicita definir un problema, que sea apropiado para ser resuelto con Algoritmos
Gen´ticos, para luego implementarlo y ejecutarlo para encontrar la combinaciń de
e o
par´metros que haga el mejor resultado en la menor cantidad de generaciones.
a

2. Introducciń, Definiciones y Convenciones
o
El problema que se propone abordar en este trabajo prćtico es la resoluciń
a o
automatizada del juego Sudoku1 . Sudoku es un pasatiempo que se populariz´ en Japń
o o
en 1986, aunque es originario de Estados Unidos, y se dio a conocer en el ambito
´
internacional en el 2005[3]. El objetivo es rellenar una cuadr´
ıcula de 9x9 celdas (81
casillas en total) subdividida en sectores de 3x3 (tambiń llamadas cajas o regiones) con
e
cifras de 1 a 9 partiendo de algunos n´meros ya dispuestos en algunas de las celdas. No
u
se requiere operar con los n´meros y podr´ ser reemplazados por colores, letras,
u ıan
figuras o cualquier conjunto de nueve elementos diferenciados. El motivo de usar
n´meros es que se memorizan mejor. No se debe repetir ninguna cifra en una misma fila,
u
columna o regiń. Un sudoku est´ bien planteado si la soluciń es unica[1].
o a o ´
El programa que aborda el problema acompaã a este documento y se llama
n
miSudoku.py. Est´ desarrollado en Python y en el archivo README.txt se encuentran
a
las instrucciones para correrlo en diferentes sistemas operativos. Adem´s, se adjunta
a
informaciń adicional como ser los gr´ficos de todos los an´lisis y casos de pruebas.
o a a
1
del japones n´mero unico (su=n´mero, duko=ńico)
u ´ u u

Inteligencia Artificial 2

e o

2.1. El cromosoma
Las soluciones candidatas (poblaciń) es una cadena de valores de largo n, donde n es la
o
cantidad de celdas inc´gnita. Cada posiciń de la cadena es un valor entre 1 y 9, de
o o
manera que las soluciones (individuo) coinciden con la siguiente expresiń regular:
o
[1-9]n.
Existe una ineficiencia intr´ınseca en manejar los cromosomas a nivel bit. Como se
necesita representar 9 valores posibles en cada celda, la cantidad m´
ınima de bits
4
necesario es de 4. Esto genera 16 (2 ) valores posibles, de los cuales solo se utilizar´ el
ıa
56 %, teniendo que descartar el resto. Esta es la razń por la que se considera at´mico al
o o
valor de la celda (gen).
Dado que las soluciones se representan como una larga cadena, se considera genotipo a
las diferentes porciones de ´sta que completan una fila del sudoku dado. N´tese que un
e o
enunciado distinto impacta en el tamaõ de cada genotipo. Por ejemplo, dado el sudoku
n
de la figura 1, el cromosoma esta compuesto por 53 genes que completan las 53
inc´gnitas. El primer genotipo est´ formado por los primeros 4 genes del cromosoma
o a
porque la primer fila tiene 4 celdas vac´ An´logamente, el segundo genotipo
ıas. a
est´ compuesto por los siguiente 7 genes y as´ siguiendo.
a ı

2 5 3 9 1
1 4
4 7 2 8
5 2
9 8 1
4 3
3 6 7 2
7 3
9 3 6 4

Figura 1: Ejemplo de sudoku con 53 celdas inc´gnitas
o

2.2. El flujo del algoritmo
En la figura 2 se representa el flujo del algoritmo a utilizar. A continuaciń se detalla
o
cada una de las funciones.

2.2.1. Generaciń de la poblaciń inicial
o o
El par´metro puede ser modificado en la variable population del archivo de
a
configuraciń sudoku.conf. La poblaciń inicial se genera mediante la funciń
o o o
genPopulation(n), donde n es la cantidad de individuos a generar. Basńdose en la
a
cantidad de celdas inc´gnita como largo, crea cromosomas con valores al azar y entre 1 y
o
9 para cada gen. La cantidad de individuos se mantiene constante durante toda la
ejecuciń.
o


e o

Figura 2: Flujo del algoritmo gen´tico
e

2.2.2. Selecciń - Funciń de aptitud
o o
La selecciń se realiza en base a la valorizaciń de la soluciń segń la funciń de
o o o u o
aptitud. La misma est´ definida en el c´digo como funcion de aptitud(m), donde m es
a o
el individuo a evaluar. Para obtener este valor se suman la cantidad de repeticiones en
todas las filas, columnas y regiones. A menor valoraciń, m´s apto el individuo.
o a
La poblaciń es ordenada luego del m´s apto al menos. En caso de empate, se
o a
reorganizan al azar. De la cima de esta lista ordenada se toma la poblaciń elegida para
o
el cruzamiento segń la variable selected paterns del archivo sudoku.conf.
u

2.2.3. Cruzamiento
Con los individuos seleccionados de la parte superior de la poblaciń ordenada se
o
proceder´ al cruzamiento. Tomados de a pares, cada pareja generar´ dos nuevos
a a
individuos que reemplazarń a los menos aptos de la poblaciń. As´ la m´xima cantidad
a o ı a
de cromosomas elegidos como padres es la mitad de la poblaciń total. Los m´todos de
o e
cruzamiento que pueden definirse son:

1. cruzamiento simple: Una parte de la madre, otra del padre. Corta el cromosoma en
dos al azar.

2. binomial puro: No tiene en cuenta los genotipos. Usa genes del padre y de la madre
al azar y en orden.

3. binomial impuro: Corta teniendo en cuenta los genotipos. Toma genotipos de la
madre o del padre al azar y en orden.

4. multipunto: Corta teniendo en cuenta los genotipos. Toma genotipos de la madre o
del padre de forma alternada.

5. operar: Para producir m´s variedad se opera con los genes sumńdolos, restńdolos
a a a
o multiplicńdolos.
a


e o

Los algoritmos a usar son seleccionados por medio de la variable crossover algorithms
del archivo de configuraciń y van entre corchetes, referenciados por su n´mero o
o u
nombre y separados por comas. Si se requiere utilizar m´s un algoritmo que otro, se lo
a
puede repetir. Se selecciona al azar con distribuciń uniforme. Por ejemplo, si
o
crossover algorithms=[1,1,5] el algoritmo de cruzamiento simple se usar´ en 2 de
a
cada 3 casos y el algoritmo operar las veces restantes.

2.2.4. Mutaciń
o
La funciń mutarIndividuo(x), donde x es el individuo a mutar, se corre al azar, con
o
una distribuciń uniforme dada por la variable mutation. Los individuos que pueden
o
mutar son aquellos no seleccionados para padres y no hijos. Se toman al azar y se
modifica alguno de sus genes de forma aleatoria.

2.2.5. Condiciń de finalizaciń
o o
Dado que el objetivo, m´s all´ de solucionar el sudoku, es estudiar el comportamiento y
a a
evoluciń de la poblaciń, el programa se detendr´ cuando se hayan hecho 300
o o a
iteraciones. Luego se imprimir´ la soluciń m´s apta. Si su valorizaciń es 0,
a o a o
entonces es la respuesta al sudoku.

3. Pruebas y An´lisis Param´trico
a e
Se realizaron 3 tipos de pruebas, cada una enfocada a un aspecto distinto del algoritmo.
Las pruebas se ejecutaron 3 veces independientes en diferentes m´quinas. Los resultados
a
de estas pruebas estń almacenados en el directorio pruebas/corridas y puede ser
a
consultados para m´s informaciń. Los gr´ficos generados por las mismas se encuentran
a o a
almacenados en pruebas/graficos. Estos gr´ficos se expresan en funciń de la cantidad
a o
de generaciones. Como las evoluciones tienden a estabilizarse (los gr´ficos que incluyen
a
las 300 vueltas se encuentran en pruebas/graficos/completos) solo se reproducen las
primeras iteraciones. En cada caso se representa en forma de barra los valores m´s bajos
a
y m´s altos obtenidos para esa muestra. La l´
a ınea que cruza el bloque lo hace por el
promedio de los datos obtenidos en las diferentes corridas.
En todos los casos se mut´ una de cada 10 veces.
o
De cada ejecuciń se obtuvieron como resultado las siguientes caracterizaciones:
o
Poblaciń unica: La cantidad de individuos de la poblaciń sin contar los individuos
o ´ o
iguales.
Mejores de la media: Dado la valorizaciń media, que cantidad de individuos est´ por
o a
encima de ´sta.
e
Aptitud media: La valorizaciń promedio de toda la poblaciń.
o o
El mejor: La valorizaciń del individuo m´s apto.
o a
El peor: La valorizaciń del individuo menos apto.
o
El 20 % mejor: La valorizaciń promedio del 20 % de la poblaciń m´s apta.
o o a


e o

3.1. An´lisis 1: Tama˜ o de la poblaciń y cantidad de padres
a n o
Este an´lisis busca estudiar el efecto del tamaõ de la poblaciń y de la cantidad de
a n o
individuos elegidos para padres de la siguiente generaciń. Para esto, se intent´ resolver
o o
el sudoku de la figura 3 y utilizando el m´todo de cruzamiento simple el 67 % de las
e
veces y operar el 33 % restante.

6 8 4 2 3 5 1
7 6 2
2 5 7
6 3 8 9 2
3 2 4 9
4 9 6 5 3
5 1 7 9
1 6 5 4 3
2 6 9 1

Figura 3: Enunciado propuesto para el an´lisis param´trico 1
a e

Con respecto a los par´metros sobre la poblaciń se hicieron 4 variaciones:
a o

1. Poblaciń de 500 individuos y seleccionando los mejores 50 (population=500, selected patern
o

2. Poblaciń de 500 individuos y seleccionando la mitad m´s apta (population=500,
o a
selected paterns=population/2)

3. Poblaciń de 200 individuos y seleccionando los mejores 50 (population=200, selected patern
o

4. Poblaciń de 200 individuos y seleccionando la mitad m´s apta (population=200,
o a
selected paterns=population/2)

Los resultados finales, despu´s de 300 iteraciones, son:
e

Caso poblaciń
o mayores a aptitud me- el mejor el peor el 20 % me-
unica
´ la media dia jor
1.1 15 20 16 14 18 14 42 35 34 41 33 33 104 98 98 41 33 33
1.2 89 83 85 96 96 88 36 26 40 25 12 30 99 108 101 25 12 30
1.3 16 16 11 14 14 10 43 42 38 40 39 36 99 101 102 40 39 36
1.4 35 34 45 34 34 36 35 42 37 24 34 27 104 108 102 24 34 27
Cada uno de los 3 valores corresponde a cada una de las corridas. En las figuras 4 puede
verse el promedio de cada caso (a excepciń de el peor ). N´tese que los mejores
o o
resultados se consiguieron en los casos 1.2 y 1.4, donde la cantidad de individuos
seleccionados para la siguiente generaciń fue la mitad de la poblaciń total.Tambiń
o o e
puede obserbarse una leve mejor´ cuando la poblaciń es mayor, como en los casos 1.1
ıa o
y 1.2. Puede deducirse que una mayor variedad de individuos unicos (en rojo de la figura
´


e o

Figura 4: An´lisis 1 de la poblaciń y su aptitud en el estado final (promedio de las
a o
corridas)

4 de la izquierda) permite alcanzar mejores resultados. La figura 5 ilustra la evoluciń
o
durante las primeras 100 iteraciones. Obs´rverse c´mo el caso 1.2 mejora la aptitud (es
e o
decir, se hace m´s baja) cuando logra estabilizar la variedad de individuos, entre la
a
vuelta 30 y 60.

Figura 5: Evoluciń de la poblaciń unica y de la aptitud media en el an´lisis 1
o o ´ a

3.2. An´lisis 2: Elecciń del algoritmo de cruzamiento
a o
Para este an´lisis se utilizar´ el mismo enunciado de la figura 3 con una poblaciń de
a a o
500 individuos y seleccionando la mitad m´s apta (population = 500,
a
selected paterns = population/2). Se estudiar´ el efecto que produce el algoritmo
a
de cruzamiento en el resultado y evoluciń de la poblaciń.
o o
Para ello se utilizarń las siguiente configuraciones:
a

1. Utilizando unicamente m´todos de transposiciń que ignoran los genotipos: cruza-
´ e o
miento simple y cruzamiento binomial puro (crossover algorithms=[1,2])


e o

2. Utilizando unicamente m´todos de transposiciń que tengan en cuenta los genotipos:
´ e o
cruzamiento binomial impuro y cruzamiento multipunto (crossover algorithms=[3,4])

3. Utilizando unicamente el m´todo operar que realiza operaciones matem´ticas sobre
´ e a
los padres, haciendo que los hijos no se les parezcan (crossover algorithms=[5])

4. Utilizando una combinaciń entre transposiciń y operados matem´ticamente en
o o a
proporciones desiguales: 67 % de las veces cruzamiento simple y 33 % operar (crossover algori

e

Caso poblaciń
unica
´ la media dia jor
2.1 1 29 4 0 20 0 6 16 11 6 16 11 6 20 11 6 16 11
2.2 111 000 30 30 24 30 30 24 30 30 24 30 30 24
2.3 481 485 477 233 231 234 63 63 63 48 49 49 89 94 92 53 53 54
2.4 110 109 86 104 88 86 34 30 26 22 18 14 104 104 106 22 18 14

a o
corridas)

En la figura 6 de la izquierda puede observarse como los algoritmos de cruzamiento por
transposiciń (los casos 2.1 y 2.2) terminaron con poblaciones extremadamente
o
homogńeas, condiciń que se consolid´ totalmente en la iteraciń 50 (ver figura 7). El
e o o o
cruzamiento operar gener´ poblaciones con altos ´
o ındices de diferenciaciń, pero sus
o
resultados en t´rminos de adaptabilidad no fueron buenos. El mejor de los individuos
e
mejor´ de forma depreciable durante las sucesivas iteraciones.
o
A su vez, los algoritmos que tuvieron en cuenta los genotipos tampoco resultaron
particularmente eficientes y el caso de prueba 1.2 agot´ toda posibilidad al converger la
o
totalidad de la poblaciń a una unica soluciń, hacia la iteraciń 35. El hecho de
o ´ o o
transponer bloques m´s grandes solo provoc´ el adelantamiento de la convergencia en
a o
casi 20 vueltas, como puede observarse en la figura 7 de la izquierda de la comparaciń o
de los casos 2.1 y 2.2.


e o

Figura 7: Evoluciń de la poblaciń unica y del individuo m´s apto en el an´lisis 2
o o ´ a a

De manera totalmente opuesta al an´lisis 1 (ver secciń 3.1), mayor heterogeneidad en
a o
la poblaciń no solo no asegur´ mejores resultados, sino que la adaptabilidad result´ ser
o o o
inversamente proporcional a la variedad de individuos. As´ mismo, el caso 2.1
ı
elabor´ buenos resultados mientras la poblaciń se mantuvo diferenciable pero e
o o
asent´ cuando la taza de respuestas gemelsa alcanz´ el 70 % en la vuelta 40.
o o
Por otra parte, la opciń 2.3 tuvo un comportamiento diametralmente distinto,
o
generando desigualdad entre los individuos, pero no mejorando en absoluto su calidad.
Un mejor balance puede observarse en 2.4, cuando se utiliz´ una combinaciń de los
o o
algoritmos de transposiciń con el de operaciń matem´tica, el cual mantuvo una
o o a
diversidad cercana al 20 % de la poblaciń y, aunque su mejora en la calidad se vio
o
estancada, fue el ultimo en deterner su progreso.
´

3.3. An´lisis 3: Cantidad de inc´gnitas del enunciado
a o
En 1986, Nikoli2 introdujo como consigna en el armado de sudokus que el n´mero de u
cifras que dadas est´ restringido a un m´ximo de 30[2]. Esto significa que las inc´gnitas
e a o
sean, como m´ ınimo, 51. En el pr´ximo y ultimo an´lisis se flexibilizar´ dicha restricciń,
o ´ a a o
con el objetivo de facilitarle el trabajo al algoritmo. Para ´ste an´lisis se utilizarń a una
e a a
poblaciń inicial de 500 individuos y seleccionando la mitad m´s apta (population =
o a
500, selected paterns = population/2). El algoritmo de cruzamiento ser´ la a
combinaciń estudiada en el caso 2.4 del an´lisis anterior, compuesto por 66 % de las
o a
veces de cruzamiento simple y el 33 % del cruzamiento operar
(crossover algorithms=[1,1,5]). El enunciado es el mismo sudoku, aunque con
diferentes niveles de completitud, a saber:

1. con 45 inc´gnitas (representado en la figura 8)
o
o
o
2
editor japon´s que se especializa en juegos, y especialmente, en enigmas de l´gica, dueõ de una
e o n
editorial homńima que import´ el Sudoku a Japń en 1984
o o o


e o

o
o

4 7 3 9 4 7 3 9 5 4 2 7 3 8 9
2 8 3 6 2 8 4 9 3 6 2 8 4 9 3 6
7 8 6 2 7 8 6 2 7 8 6 2
2 3 4 5 2 3 4 5 2 3 4 5
3 6 4 2 7 3 6 4 2 7 8 3 6 4 2 7 8
4 2 7 4 2 7 4 2 7
5 4 1 2 7 5 4 1 2 7 5 4 1 2 7
4 6 8 3 4 6 8 3 4 6 8 3
8 1 6 8 1 7 3 6 9 8 1 7 3 6 4

Figura 8: caso 3.1 Figura 9: caso 3.2 Figura 10: caso 3.3

5 4 2 7 3 8 9 5 4 2 7 3 8 9
2 8 4 9 5 3 6 2 8 4 9 5 3 6
7 3 8 6 5 2 7 3 8 6 5 2
2 1 3 8 4 5 2 1 3 8 4 5
3 6 4 2 7 8 3 6 1 4 2 7 8
4 2 7 4 5 2 7 9 1
5 4 1 2 7 5 6 4 1 2 7
4 6 8 3 4 6 8 3
9 8 1 7 3 6 4 9 8 1 7 3 6 4

Figura 11: caso 3.4 Figura 12: caso 3.5

e

Caso poblaciń
unica
´ la media dia jor
3.1 106 79 74 104 80 74 42 35 28 30 24 17 110 109 112 30 24 17
3.2 67 102 99 66 90 88 31 30 35 24 19 26 98 96 98 24 19 26
3.3 58 80 85 64 80 88 18 27 22 11 19 11 79 83 83 11 19 11
3.4 85 87 84 86 88 84 18 19 17 9 10 8 73 76 72 9 10 8
3.5 83 83 85 84 86 88 12 10 13 304 68 66 66 304
Tal como pod´ preverse, a menor cantidad de inc´gnitas, mejores soluciones. Los
ıa o
resultados y progresos referidos a la poblaciń se encuentran parejos en todos los casos.
o
La evoluciń de la poblaciń se mantuvo constante y su mejora se realiz´ con la misma
o o o
intensidad de forma pareja. Por otra parte, las pruebas 3.1 y 3.2 finalizan muy
superpuestas (ver figura 14 a la derecha), lo que puede significar que no hay una real
diferencia entre 40 y 45 inc´gnitas o que el azar as´ lo dispuso.
o ı
Por primera vez, una de las corridas logr´ alcanzar una soluciń, durante el caso 3.5. Se
o o
trata de pruebas/corridas/mariano 3 5.txt, y lo hizo de forma relativamente
temprana, durante la iteraciń 49 (ver figura 15)
o


e o

a o
corridas)

Figura 14: Evoluciń de la cantidad de individuos mejores a la media y de la aptitud del
o
20 % m´s apto de la poblaciń en el an´lisis 3
a o a

4. Conclusiń Final
o
De los distintos an´lisis realizados se pueden deducir, para este problema y algoritmo
a
particular, que:
La cantidad de individuos de la poblaciń tiene incidencia en el resultado pero no
o
es un factor esencial.
Seleccionar una mayor cantidad de individuos para cruzar genera mayor heteroge-
neidad en la poblaciń.
o
Mayor diversidad en la poblaciń ayuda a evitar el estancamiento en el progreso
o
hacia una mejor calidad de las soluciones.
Menos celdas inc´gnita hacen al problema m´s resoluble.
o a
Los m´s aptos tienden a homogeneizarse en una soluciń que no suele ser la optima.
a o ´


e o

Si no se logr´ una soluciń para la iteraciń 60, posiblemente nunca se logre.
o o o

Estas conclusiones estń basadas en las pruebas realizadas y, por tratarse de un
a
algoritmo probabil´ ıstico, pueden tener cierto corrimiento.
La ultima de las conclusiones, referidas a la cantidad de iteraciones donde se estabiliza el
´
progreso en la calidad de la poblaciń puede observarse ejemplificada en la figura 15.
o
Este mismo comportamiento se apreci´ en todos y cada uno de los casos analizados.
o

Figura 15: Evoluciones de las aptitudes en el an´lisis 3.5
a

Por otro lado, la dificultad presentada en la resoluciń de este problema tiene relaciń
o o
con la naturaleza del mismo y la forma en la que se busca llegar a su soluciń. Al
o
tratarse de un asunto determin´ ıstico como es la mutua exclusiń de las posibilidades en
o
el resultado, es sumamente ineficiente abordarlo desde el punto de vista probabil´ ıstico[4].
En el directorio backtracking/ que acompaã a este documento, hay un programa3 que
n
aborda el problema desde las restricciones y utiliza una tćnica llamada backtracking.
e
Esta tćnica alcanza la soluciń recorriendo un arbol, volviendo atr´s cuando alguna
e o ´ a
restricciń no permite continuar, y logra llegar al sudoku resuelto en fracciones de
o
segundo.
3
desarrollado por Ignacio Marambio Catń, estudiante de la Facultad de Ingenier´ de la UBA. Ad-
a ıa
juntado con su permiso.


e o

Referencias
[1] Colecci´n Sudoku Mini. Sudoku, un juego de l´gica e ingenio. Colibr´ 2006.
o o ı,

[2] SudokuMan´ıa.com.ar. Origen del sudoku. Website. http://www.sudokumania.com.
ar/historia-sudoku.htm.

[3] Wikipedia. Sudoku. Website. http://es.wikipedia.org/wiki/sudoku.

[4] Wikipedia. Sudoku backtracking. Website. http://es.wikipedia.org/wiki/
Sudoku_backtracking.


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