Tema 4 (Parte 1)
- 1. Tema 4. Integrales Fundamentos matemáticos en Arquitectura I Jesús Hernández Benito UNIDAD 2: Funciones reales de una variable real. Tema 4.- Integrales. (8 sesiones, 12 horas) Concepto de primitiva y de integral indefinida de una función. Cálculo de primitivas. Concepto de integral definida e interpretación geométrica. Aplicaciones de la integral definida: cálculo de longitudes, áreas y volúmenes. Objetivos específicos : - Adquirir habilidad en el cálculo de integrales de funciones de una variable. - Resolver problemas de cálculo de longitudes, áreas y volúmenes utilizando la integral y analizar su posible aplicación al ámbito arquitectónico.
- 2. Primitiva de una función. Integral indefinida Una primitiva de una función f ( x ), definida en un conjunto A, es otra función F ( x ), definida también en A, tal que F ´( x ) = f ( x ) para todo punto x de A. Proposición: Si F ( x ) es una primitiva de f ( x ), entonces todas las primitivas de f ( x ) son de la forma F ( x ) + c , siendo c una constante. El conjunto de todas las primitivas de una función f ( x ) se denomina integral indefinida de f ( x ), y se representa por Entonces, si F ( x ) es una primitiva de f ( x ), tendremos que donde c es una constante arbitraria. Fundamentos matemáticos en Arquitectura I Jesús Hernández Benito
- 3. Propiedades operativas de la integral indefinida Si y se verifica que: cualesquiera que sean los números reales y . Fundamentos matemáticos en Arquitectura I Jesús Hernández Benito Tabla de integrales inmediatas Obsérvese que:
- 4. Integración de funciones Todas las técnicas de integración o cálculo de primitivas consisten en transformar la integral en otra u otras donde las funciones que aparezcan tengan ya una primitiva inmediata. Fundamentos matemáticos en Arquitectura I Jesús Hernández Benito Integración inmediata Consiste en aplicar la tabla de integrales inmediatas. Algunas veces la aplicación es directa y otras requiere una pequeña transformación elemental o reordenamiento de la expresión a integrar, como, por ejemplo, multiplicar o dividir por una número, sumar o restar una misma expresión, etc. Ejemplos:
- 5. Integración de funciones Fundamentos matemáticos en Arquitectura I Jesús Hernández Benito Integración por cambio de variable Emplearemos este método cuando, respecto de la nueva variable, la función resultante tenga ya una primitiva inmediata. Ejemplos: Integración por partes Este método se basa en la siguiente igualdad: Ejemplos:
- 6. Integración de funciones Integración de funciones racionales - Inmediatas: 1. Como potencia: 2. Como logaritmo: 3. Como arcotangente: Fundamentos matemáticos en Arquitectura I Jesús Hernández Benito
- 7. Integración de funciones - No inmediatas: si gr P ( x ) > gr Q ( x ) se divide, y entonces: donde es una integral racional de fracción irreducible. Ejemplo: - Integración de fracción irreducible (gr P ( x ) < gr Q ( x )): se descompone el denominador en factores primos y se expresa la función racional como suma de fracciones cuyos denominadores sean esos factores primos. Ejemplos: Fundamentos matemáticos en Arquitectura I Jesús Hernández Benito