Tranf fourier
Descargar como PPT, PDF0 recomendaciones1,253 vistas
Este documento trata sobre la transformada de Fourier y sus propiedades. Explica cómo representar señales no periódicas mediante series de Fourier y define la transformada directa e inversa de Fourier. También describe propiedades como la simetría, el corrimiento en el tiempo y la frecuencia, y la convolución en el tiempo y la frecuencia. Finalmente, explica cómo una señal se ve afectada al pasar por un canal de transmisión.
![Cont............
• La TF G (ω) es una función compleja por
lo tanto tiene magnitud y fase.
• La Magnitud | G(ω ) | es una función par de ω
• La Fase θ (ω ) es una función impar de ω
• EXISTENCIA DE LA TRANSF. FOURIER
∞
G (ω ) ≤ ∫ | g (t ) | dt
−∞
G (ω ) = finito
Si el 2do término es finito entonces la existencia
de la TF queda garantizada.
ℑ[ g (t )] = G (ω )
g (t ) ↔ G (ω )](https://image.slidesharecdn.com/tranf-fourier-140111232239-phpapp01/85/Tranf-fourier-5-320.jpg)
![CONT....Ejemplos
• Determinar la TF de la función compuerta:
τ /2
t
ℑ[∏( )] = ∫ e − jωt dt
τ
−τ / 2
• En general
1..... | t | 1 / 2
∏ (t ) = 0..... | t | 1 / 2
t
sen(ωτ / 2)
∏ (τ ) ↔ τ ωτ / 2 = τ sin c(ωτ / 2)
2
1
1
.
5
|Π(t)|
1
0
.
5
t
-τ/2
τ/2
0
- .
0
5
- 0
2
- 5
1
Si τ=1
- 0
1
5
0
5
1
0
1
5
2
0](https://image.slidesharecdn.com/tranf-fourier-140111232239-phpapp01/85/Tranf-fourier-7-320.jpg)
![Cont...Ejemplos
• Hallar la TF de la función signum [sgn(t)]:
1.....t > 0
sgn(t ) =
− 1...t < 0
sgn(t ) = lim a → 0 [e − at .µ (t ) − e at µ (− t )]
0
∞ −at − jωt
at − jωt
sgn(t ) ↔ lim a →0 ∫ e e dt − ∫ e e dt
−∞
0
1
1 2
sgn(t ) ↔ lim
−
=
a → 0 a + jω a − jω jω](https://image.slidesharecdn.com/tranf-fourier-140111232239-phpapp01/85/Tranf-fourier-9-320.jpg)
![Cont...Propiedades TF
• Corrimiento en frecuencia
g (t )e
jω 0 t
g (t ) ↔ G (ω )
↔ G (ω − ω 0 )
TEOREMA DE LA MODULACIÓN
1
g (t ) cos ω 0t ↔ [ G (ω + ω 0 ) + G (ω − ω 0 ]
2
j
g (t ) senω 0t ↔ [ G (ω + ω 0 ) − G (ω − ω 0 ]
2
• Demostrar
g (t − t0 ) + g (t + t0 ) ↔ 2G (ω ) cos t0ω](https://image.slidesharecdn.com/tranf-fourier-140111232239-phpapp01/85/Tranf-fourier-16-320.jpg)
![TF de la función coseno y seno
cos ω0t
senω0t
↔ π [ δ (ω − ω 0 ) + δ (ω + ω 0 )]
↔ jπ [ δ (ω + ω 0 ) − δ (ω − ω 0 )]](https://image.slidesharecdn.com/tranf-fourier-140111232239-phpapp01/85/Tranf-fourier-18-320.jpg)
![Cont......Propiedades de la TF
• DERIVACIÓN
g (t ) ↔G (ω)
dg (t )
↔ jωG (ω )
dt
A/(b-a)
n
d g
n
↔ ( jω ) G (ω )
n
dt
2 A cos aω − cos bω
G (ω ) =
2
(b − a )
ω
2
d g
A
=
[δ (t + b) − δ (t + a) − δ (t − a) + δ (t − b)]
2
dt
(b − a)](https://image.slidesharecdn.com/tranf-fourier-140111232239-phpapp01/85/Tranf-fourier-20-320.jpg)
![Cont.....Propiedades TF
• Convolucionar
G1 (ω ) * G2 (ω )
ω + ω0
ω −ω0
G1 (ω ) * G2 (ω ) = A[∆ (
) + ∆(
)] * K [δ (ω + ω 0 ) + δ (ω − ω 0 )]
a2
a2
= AK [ ∆(
ω + 2ω0
a/2
)] + 2 AK [∆(
ω
a/2
)] + AK [ ∆(
ω − 2ω0
a/2
)]](https://image.slidesharecdn.com/tranf-fourier-140111232239-phpapp01/85/Tranf-fourier-25-320.jpg)
![Trasmisión de una señal atraves de un canal
• Un SLIT tiene una respuesta de impulso
unitario h(t).
•
y (t ) = g (t ) * h(t )
Y (ω ) = G (ω ) H (ω )
y (t ) = ℑ [ G (ω ) H (ω )]
−1
Un SLIT actúa como
un filtro que cambia el
espectro de G(w) a
G(w)H(w).](https://image.slidesharecdn.com/tranf-fourier-140111232239-phpapp01/85/Tranf-fourier-26-320.jpg)
Tranf fourier
- 1. Curso de Introducción a las telecomunicaciones Transformada de Fourier
- 2. Representación exponencial de señales no periódicas-TF • Dada la señal no periódica g(t) limT → ∞ g p (t ) = g (t ) La serie de Fourier quen representa a gp(t) tambien representará a g(t), en el límite. g p (t ) = ∑ Gn e jnω 0t 1 Gn = T T /2 g p (t )e − jnω0t dt ∫ −T / 2 T0 = 2π ω 0 = 2π ∆ ω T0 → ∞ ⇒ ω 0 → ∆ω
- 3. Continuación......... Vemos que T /2 T0Gn = ∫g p (t )e − jnω0 t dt = G ( n∆ω) −T / 2 G ( n∆ω) jn∆ωt g p (t ) = ∑n =−∞ e T0 n =∞ G ( n∆ω) jn∆ωt g p (t ) = ∑n =−∞ ∆ωe 2π n =∞ 1 g p (t ) = 2π ∑G (n∆ω)e jn∆ωt ∆ω
- 4. Cont.... g (t ) = limT → ∞ g p (t ) • Aplicando limites g (t ) = lim ∆ω→0 1 g (t ) = 2π 1 2π ∞ ∫ G (ω )e −∞ G (n∆ω ) = limT →∞ G (ω ) = ∞ ∫ g (t )e −∞ ∑G (n∆ω)e jωt dω T /2 ∫g p (t )e jn∆ωt ∆ω Transf. Inversa de Fourier − jn∆ωt dt −T / 2 − jnωt dt Transf. Directa de Fourier
- 5. Cont............ • La TF G (ω) es una función compleja por lo tanto tiene magnitud y fase. • La Magnitud | G(ω ) | es una función par de ω • La Fase θ (ω ) es una función impar de ω • EXISTENCIA DE LA TRANSF. FOURIER ∞ G (ω ) ≤ ∫ | g (t ) | dt −∞ G (ω ) = finito Si el 2do término es finito entonces la existencia de la TF queda garantizada. ℑ[ g (t )] = G (ω ) g (t ) ↔ G (ω )
- 6. Ejemplos • Determine la TF de ∞ G (ω ) = ∫ e µ (t )e − at −∞ | G(ω ) |= 1 a +ω 2 2 ω θ (ω ) = − arctg ( ) a g (t ) = e − j ωt ∞ − at dt = ∫ e 0 µ(t ) − ( a + jω ) t 1 dt = a + jω
- 7. CONT....Ejemplos • Determinar la TF de la función compuerta: τ /2 t ℑ[∏( )] = ∫ e − jωt dt τ −τ / 2 • En general 1..... | t | 1 / 2 ∏ (t ) = 0..... | t | 1 / 2 t sen(ωτ / 2) ∏ (τ ) ↔ τ ωτ / 2 = τ sin c(ωτ / 2) 2 1 1 . 5 |Π(t)| 1 0 . 5 t -τ/2 τ/2 0 - . 0 5 - 0 2 - 5 1 Si τ=1 - 0 1 5 0 5 1 0 1 5 2 0
- 8. Cont....T.F. ∏ ( ) = τ sin c(ωτ / 2) t τ • Ejemplos: τ=2 τ=4 4 2 3.5 3 1.5 2.5 1 2 1.5 0.5 1 0.5 0 0 -0.5 -0.5 -20 -15 -10 -5 0 5 10 15 20 -1 -20 -15 -10 -5 0 5 10 15 20
- 9. Cont...Ejemplos • Hallar la TF de la función signum [sgn(t)]: 1.....t > 0 sgn(t ) = − 1...t < 0 sgn(t ) = lim a → 0 [e − at .µ (t ) − e at µ (− t )] 0 ∞ −at − jωt at − jωt sgn(t ) ↔ lim a →0 ∫ e e dt − ∫ e e dt −∞ 0 1 1 2 sgn(t ) ↔ lim − = a → 0 a + jω a − jω jω
- 10. Función Impulso ∞ δ ∫ (t ) dt • El impulso se define δ (t ) = 0 ∀t ≠ 0 − ∞ ∞ ∫ϕ(t )δ (t )dt =ϕ(t ) | t =0 −∞ = 1 ∞ ∫ϕ(t − t )δ (t − t 1 2 = ϕ(0) ∞ ( ∫ϕ t )δ(t −t 0 − ∞ )dt = ϕ(t 2 − t1 ) −∞ δ (t ) ↔ ∫ δ (t )e − jωt dt = e − jωt |t =0 = 1 −∞ ) dt = (t 0 ) ϕ
- 11. Cont....función impulso • si δ (t ) = 1 2π 1 δ (t ) = 2π ∞ ∞ 1e jωt dω ∫ −∞ ω=x ∞ e − jtx dx ⇒ 2πδ (t ) = ∫ e − jtx dx ∫ −∞ −∞ ∞ 1 ↔ ∫1.e − jωt dt = 2πδ (ω ) −∞ ∞ 2πδ (ω ) = ∫ e − jω t dt −∞
- 12. Función escalón • Sabemos: 2 sgn(t ) ↔ jω 1 + sgn(t ) = 2 µ (t ) 1 µ (t ) ↔ πδ (ω ) + jω µ (t )
- 13. Propiedades de la transformada de fourier • SIMETRÍA g (t ) ↔ G (ω ) G (t ) ↔ 2πg (−ω )
- 14. Cont...Propiedades TF g (t ) ↔ G (ω ) 1 ω g ( at ) ↔ G( ) |a| a • ESCALAR expansion compresion
- 15. EJERCICIOS g ( − t ) ↔ G ( −ω ) • Demostrar que • CORRIMIENTO EN EL TIEMPO g (t ) ↔ (ω G ) g (t − t0 ) ↔ G (ω )e − jωt 0 g (t + t0 ) ↔ G (ω )e jωt 0
- 16. Cont...Propiedades TF • Corrimiento en frecuencia g (t )e jω 0 t g (t ) ↔ G (ω ) ↔ G (ω − ω 0 ) TEOREMA DE LA MODULACIÓN 1 g (t ) cos ω 0t ↔ [ G (ω + ω 0 ) + G (ω − ω 0 ] 2 j g (t ) senω 0t ↔ [ G (ω + ω 0 ) − G (ω − ω 0 ] 2 • Demostrar g (t − t0 ) + g (t + t0 ) ↔ 2G (ω ) cos t0ω
- 17. Ejemplo de corrimiento en frecuencia • APLICANDO EL TEOREMA DE LA MODULACIÓN
- 18. TF de la función coseno y seno cos ω0t senω0t ↔ π [ δ (ω − ω 0 ) + δ (ω + ω 0 )] ↔ jπ [ δ (ω + ω 0 ) − δ (ω − ω 0 )]
- 19. TRANSFORMADA DE FOURIER DE UNA SEÑAL PERIÓDICA • Toda señal periódica: ∞ • Entonces g (t ) = Gn e jnω 0t ∑ ∞ n = −∞ g (t ) ↔ 2π ∑ Gnδ (ω − nω 0 ) • −∞ ∞ 1 ∞ jnω 0t g (t ) = ∑ δ (t − nT0 ) = ∑ e T n= −∞ n = −∞ La TF es una secuencia de impulsos en ±nw0. Hallar la TF de una secuencia de tren de impulsos unitarios ∞ 2π ∞ ∑−∞ δ (t − nT0 ) ↔ T n∑−∞ δ (ω − nω 0 ) = ω 0 n∑−∞δ (ω − nω 0 ) n= = 0 = ∞
- 20. Cont......Propiedades de la TF • DERIVACIÓN g (t ) ↔G (ω) dg (t ) ↔ jωG (ω ) dt A/(b-a) n d g n ↔ ( jω ) G (ω ) n dt 2 A cos aω − cos bω G (ω ) = 2 (b − a ) ω 2 d g A = [δ (t + b) − δ (t + a) − δ (t − a) + δ (t − b)] 2 dt (b − a)
- 21. Cont......TF • DERIVACIÓN CON RESPECTO A LA FRECUENCIA d g (t ) ↔ G (ω ) ⇒ − jtg (t ) ↔ G (ω ) dω • CONVOLUCIÓN.- La integral de convolución de 2 señales se representa por g1 (t ), g 2 (t ) ∞ g1 (t ) * g 2 (t ) = ∫ g1 ( x) g 2 (t − x)dx −∞ g1 (t ) * g 2 (t ) = g 2 (t ) * g1 (t )
- 22. Cont.....convolución • La propiedad de convolución establece: • Si g1 (t ) ↔ G1 (ω ) y g 2 (t ) ↔ G2 (ω ) • Convolución en el tiempo g1 (t ) * g 2 (t ) ↔ G1 (ω )G2 (ω ) • Convolución en frecuencia 1 g1 (t ) g 2 (t ) ↔ G1 (ω ) * G2 (ω ) 2π
- 23. CONVOLUCIÓN GRAFICA 1.ae −at ........(0, t ) g1 ( x ) g 2 (t −x ) 0... fuera.....(0, t ) ∞ t −∞ 0 g1 (t ) * g 2 (t ) = ∫ g1 ( x) g 2 (t − x)dx = a ∫ e − at dx = 1 − e − at ...t > 0
- 24. CONVOLUCIÓN CON LA FUNCIÓN IMPULSO • Determine g (t ) * δ(t ) ∞ g (t ) * δ (t ) = ∫ g ( x)δ (t − x)dx = g (t ) −∞ g (t ) * δ(t ) ↔G (ω) g (t ) * δ(t −T ) = g (t −T ) g (t −t1 ) * δ(t −t 2 ) = g (t −t1 −t 2 )
- 25. Cont.....Propiedades TF • Convolucionar G1 (ω ) * G2 (ω ) ω + ω0 ω −ω0 G1 (ω ) * G2 (ω ) = A[∆ ( ) + ∆( )] * K [δ (ω + ω 0 ) + δ (ω − ω 0 )] a2 a2 = AK [ ∆( ω + 2ω0 a/2 )] + 2 AK [∆( ω a/2 )] + AK [ ∆( ω − 2ω0 a/2 )]
- 26. Trasmisión de una señal atraves de un canal • Un SLIT tiene una respuesta de impulso unitario h(t). • y (t ) = g (t ) * h(t ) Y (ω ) = G (ω ) H (ω ) y (t ) = ℑ [ G (ω ) H (ω )] −1 Un SLIT actúa como un filtro que cambia el espectro de G(w) a G(w)H(w).
- 27. Correlación en tiempo y energía • La correlación de dos señales g1 (t ) ∞ ∞ −∞ y g 2 (t ) −∞ ψ g1g 2 (τ ) = ∫ g1 (t ) g 2 (t + τ )dt = ∫ g1 (− x) g 2 (τ − x)dx ψ g1g 2 (τ ) ↔ G1 (ω )G2 (ω ) ψ g1g 2 (τ ) = g1 (−τ ) * g 2 (τ ) • La función de auto correlación se define: ∞ ψg (τ ) = ∫ g (t ) g (t +τ )dt −∞ ψ g (τ ) = g (−τ ) * g (τ ) • Teor. Parseval ψ g (τ ) ↔ G (− ω )G (ω ) = G (ω ) 1 ∫−∞ g (t )dt = 2π ∞ 2 ∞ ∫ −∞ 2 G (ω) dω 2
- 28. Pares Básicos de Transformadas de Fourier • .
- 29. Pares Básicos de Transformadas de Fourier • .