Transformada fourier

 
( ) 1 ( ) exp( )
f t F  i t d

  
F() f (t) exp( it) dt

2



La transformada
de
Fourier

La transformada de Fourier
Sea f(t) una función localmente integrable cuya integral valor absoluto esta
acotada en R.
Se define su transformada de Fourier como:
F()  f (t)eitdt

Siendo la anti-transformada o transformada inversa




 f (t) F( )ei td 2
   

1
Estas expresiones nos permiten calcular la
expresión F() (dominio de la frecuencia) a
partir de f(t) (dominio del tiempo) y viceversa.

Notación: A la función F() se le llama
transformada de Fourier de f(t) y se
denota por F o , es decir

F[ f (t)]  F()  fˆ ()  f (t)eitdt
En forma similar, a la expresión que nos
permite obtener f(t) a partir de F() se le
llama transformada inversa de Fourier y
se denota por F –1 ,es decir


 F [F( )] f (t) F( )ei td 2
      

1 1


fˆ

Transformadas integrales
F K t f t dt b
a ( )   ( , ) ( )
– K(,t): núcleo o kernel.
– Asocia a cada función f(t) en el
espacio t, directo o real, otra función
F() en el espacio  o recíproco.
–Ejemplos: de Fourier, Wavelet,
transformada Z, de Laplace, de
Hilbert, de Radon, etc

Un problema que es difícil de resolver en sus
"coordenadas" (espacio t) originales, a menudo,
es más sencillo de resolver al transformarlo a
espacio .
Después, la transformada inversa nos devuelve la
solución en el espacio original.
Problem in
Transform space
Original
problem
Solution in
Transform space
Solution of
original problem
Integral transform
Relatively easy solution
Difficult solution
Inverse transform

Ejemplo. Calcular F() para el pulso
rectangular f(t) siguiente:
-p/2
1 f(t)
0 p/2
t
Solución. La expresión en el dominio del
tiempo de la función es:

0



p p
 
2 2

 

t
t
t
f t
p
p
2
2
1
0
( )

Integrando:
F   f t e  itdt 
e itdt
 

1 ( i p / 2 i p / 2
  ) Usando la fórmula
de Euler:
 




/ 2
/ 2
( ) ( )
p
p
/ 2
/ 2
1 p
p
i t
i e 
   

i e  e 
i p i p
sen p e e
F p sen p 
( ) ( / 2) p p
sinc( / 2)

  
/ 2
p

i
2
( / 2)
 / 2  / 2

 




p p
 
2 2
0
1
En forma gráfica,
la transformada es:
-50 0 50
1
0.5
0
F(w) con p=1
w
F(w)
p =1



 

t
t
t
f t
p
p
2
2
0
( )
F()  p sinc(p / 2)

Algunas funciones no poseen
transformada de Fourier
La condición de suficiencia para que la transformada de
Fourier de f(x), F() exista es:



g x dx   2 ( )
es decir, que f(x) sea de cuadrado sumable. Funciones
que no vayan asintóticamente a cero cuando x tiende a
+ y – en general no tienen transformadas de Fourier.

La transformada de Fourier es en general compleja
La transformada de Fourier F(k) y la función originial f(x) son
ambas en general complejas.
Ff (x) F (k) iF (k) r i  
De modo que la transformada de Fourier puede escribirse como:
 
  
F f x F k A k e
( ) ( ) ( )
A F k F F
( )
2 2
( )
  
r i
amplitud o magnitud espectral
fase espectral

 
2 2 2 2
A    
espectro de potencia
r i
i k
F F F
A

La transformada de Fourier cuando f(x) es real
La TF F(k) es particularmente simple cuando f(x) es real:


F ( k ) f ( x ) cos( kx )
dx






r
F k f x kx dx
i
( ) ( )sin( )

Propiedades de las transformadas de Fourier:
1. Linealidad:


f (t)F.T. fˆ  
g(t) F.T. gˆ  


 f (t)  g(t) F.T .fˆ    gˆ  
f (t) F.T.fˆ   (a  ib) f (t) F.T.(a  ib) fˆ 

La transformada de Fourier de la
combinación lineal de dos funciones.
f(t)
g(t)
t
t
t



F()
G()
f(t) + g(t)
F() + G()
F af t bg t
{ ( )  ( )}

aF f t bF g t
{ ( )} 
{ ( )}

Calcular la transformada de Fourier de la siguiente función:
f (t) 
0 , t  a
2



1 ,
b
2
 t  a
2



2 , t  b
2



; a  b  0
La función f(t) se puede escribir también del siguiente modo:
f (t)  g(t)  h(t)
donde g(t) 
0 , t  a
2
1 , t  a
2






; h(t) 
0 , t  b
2
1 , t  b
2







Luego:
fˆ ( )  gˆ ()  hˆ ()
sen b

f a 
2
)
2
(
sen a
  
2
)
2
(
ˆ ( )
b
a b



Calcular la transformada de Fourier de la siguiente función:
1
0
-a -b 0 b a

Tenemos que calcular la transformada de Fourier de la siguiente función:
f t  

0, t  a
1,  a  t  b
0,  b  t  b
1, b  t  a
0, t  a











g(t) 
; h(t) 
 

0 , t  b
1 , t  b


0 , t  a
1 , t  a
f t   g(t)  h(t)

F T g a sen a

. . ˆ( )  2 ( )
a

h(t) 








0 , t  b
1 , t  b
g(t) 
0 , t  a
1 , t  a
F T h b sen b
. .ˆ( 
 (  )  2 )
b

b sen b
ˆ (  )  ˆ(  )  ˆ(  )  2 ( )  2 ( 
)
b

f g h a sen a
a



F f at 1 ˆ 
 
2. Escalado:    
Ff t fˆ ()
  

F f at f at e dt
( )
 



1 ( ) ( )
 













a
f
a

( )
f t e dt
a
f at e d at
a
t
a
i
at
a
i
i t
 
1 '
( ') ' 1 ˆ


a
f
a
Propiedades

Efecto de
la propiedad
de escalado
f(t) F()
Pulso
corto
Pulso
medio
Pulso
largo
Mientra más
corto es el
pulso, más
ancho es el
espectro.
Esta es la esencia
del principio de
incertidumbre en
mecánica cuántica.



t
t
t

3. Traslación en el dominio de tiempos
f (t)F.T . fˆ  f (t  a)F.T .eia fˆ 

  
gˆ   g(t) eit dt 


 f (t  a) eit dt


  
gˆ   f (u) ei (ua) du 


 eia f (u) eiu du

gˆ  eia fˆ ()
f (t  a)  g(t)

4. Producto por exponencial compleja
f (t)F.T . fˆ   f (t)eitaF.T . fˆ   a
f (t)eita  g(t)

  
gˆ   g(t) eit dt 


 f (t)eita eit dt


  
gˆ   f (t)ei( a)t dt  fˆ (  a)


5. Producto por cos(at) o sin(at)
( )cos( ) ( ˆ ( ) ˆ ( ))
 f t at f a f 
a
2
( )sin( ) ( ˆ ( ) ˆ ( ))
f  f t at a  f 
a i
2

  

 
6. Producto por t
ˆ
f t t i d f
( )  
n
   
n
n n
d
ˆ
f t t i df
d
, ( )
 

ˆ
dt df f f t e it it
    i tf t e dt
 ( )




d

ˆ ( ) ;


7. Identidad de Parseval : f *(t)g(t)dt


 fˆ *()gˆ ( )d


  
 

  
 
 
 






 f e d g e d dt i t i t ˆ * ()  ˆ(') ' '  


ˆ * i( t )   d  f (  )  d '  ˆg ( 
') '
dt e 


 



 
 
 ( '  )

f (t)  g(t)  f (t) 2 dt


 fˆ ( )

 fˆ * ()gˆ()d
2
d

Teorema de Rayleigh


En particular:

8. Transformadas de Fourier de funciones pares, f(t) = f(-t):


  
   
ˆ  it f   f ( t ) e dt 





 it 
it
f (t)e dt f (t)e dt 0
0
it it 
fˆ(  ) f (t)e dt f (t)e dt   


   

 

0 0

  
0
f (t) e e dt it it

  
fˆ  
2 f (t) cos(t)dt
0

9. Transformadas de Fourier de funciones impares, f(t) = -f(-t):

it it
  
  f (t)e dt  
f (t)e dt  f  f t e dt it  ) ( ˆ 





    
fˆ( ) f (t)e dt f (t)e dt it it 

 

0 0




 
0
0
  

   
0
f (t) e e dt it it

  
fˆ  
2i f (t)sen(t)dt
0

10. Transformadas de Fourier de la derivada, f’(t)
( ) ( )  
( )
df t
F df t


   



    

i f t e dt i f
dt f t
dt
dt
i t
i t i t e e
( ) ˆ
 









Convolución
Se define la integral de convolución de dos funciones
f(t) y g(t) del siguiente modo:

 f  g(t)   f (u)g(t  u)du


 f (t u)g(t)du
 


Ejemplo visual:
rect(x) * rect(x) = (x)

El teorema de convolución o
teorema de Wiener-Khitchine
F f (t)* g(t)  F(w) G(w)
Convolución en el espacio real es equivalente a
multiplicación en el espacio recíproco.

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