Aplicaciones funciones vectoriales
- 2. FUNCIONES VECTORIALES • Una función vectorial es una función que transforma un número real en un vector: F : R → R3, definida como F(t) = (x(t), y(t), z(t)), donde x(t), y(t) y z(t) son funciones reales de variable real. Así, se dice que F es continua, derivable o integrable, si lo son x(t), y(t) y z(t).
- 3. DERIVADA E INTEGRAL DE UNA FUNCION VECTORIAL
- 4. Reglas de derivación de funciones vectoriales relacionadas con las operaciones entre vectores
- 6. Movimiento en el espacio Cuando una función vectorial definida en un intervalo abierto de R es derivable indefinidamente y su primera derivada no se anula, decimos que se trata de una curva regular. Al vector F(t) se le llama vector de posición de la curva Al vector F´(t) se le llama vector velocidad . Al vector F´´(t) se le llama vector aceleración. De modo que la velocidad en un instante t es F´(t) y la aceleración es kF(t)k. . Al vector F´(t) también se le llama vector tangente a la curva F(t) en t.
- 8. Vector unitario normal • Cuando los dos vectores unitarios T y N están trazados por el punto de la curva f(t), determinan un plano llamado osculador de la curva. • El plano osculador es el plano que mejor se adapta a la curva en cada uno de sus puntos. Si la curva es plana, el plano osculador coincide con el plano de la curva.
- 9. Componentes Tangencial y Normal de la aceleración • El vector velocidad v es tangente a la trayectoria. • El vector aceleración a puede descomponerse en dos componentes (llamadas componentes intrínsecas)mutuamente perpendiculares: una componente tangencial (en la direcciónde la tangente a la trayectoria), llamada aceleración tangencial, y una componente normal (en la dirección de la normal principal a la trayectoria), llamada aceleración normal o centrípeta (este último nombre en razón a que siempre está dirigida hacia el centro de curvatura).
- 10. o • at=a.T= 푣.푎 푣 aN=a.n= 푣푥푎 푣 = 푎 2 − 푎푡2
- 11. Vector Binormal unitario • Es El producto cruz entre los vectores tangentes y normales unitarios.퐵(푡) = 푇(푡)푥푁(푡) • Este vector es ortogonal tanto a T´(t) como a N´(t).
- 12. Longitud de arco de curva La longitud de un arco de curva entre dos puntos F(a) y F(b) viene dada por la formula.
- 13. Curvatura Se define la curvatura como “la variación del vector tangente con respecto a la longitud del arco. La curvatura viene a medir como se ”tuerce“ la curva respecto de su longitud. Para curvas, no necesariamente parame trizadas por el arco, se puede calcular como:
- 14. Componentes de la aceleración • Componente normal 푎푁 = 푘 푣 2= 푟´ 푡 푥 푟´´(푡) 푟´(푡) • Componente tangencial aT= 푣 ´= 푣.푎 푣 = 푟´ 푡 .푟´´(푡) 푟´(푡) • La componente tangencial de la aceleración es la responsable de que cambie la rapidez, mientras que la componente normal es responsable por la curvatura de la trayectoria. 푎 = 푎푡푇+푎푁푁
- 15. • Si la curva está en el espacio, también se “retuerce” y para medir esto se define la torsión como: