Tutorial multisim 11 en español

MANUAL PARA LA SIMULACIÓN DE CIRCUITOS DE CORRIENTE ALTERNA
SENOIDAL HACIENDO USO DEL SOFTWARE MULTISIM 11.0
OSCAR DAVID LONDOÑO OCAMPO
1088279452
JOHN WILMAR RESTREPO GRISALES
1088256433
UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA DE PEREIRA
FACULTAD DE TECNOLOGÍA
PROGRAMA DE TECNOLOGÍA ELÉCTRICA
PEREIRA
2013

MANUAL PARA LA SIMULACIÓN DE CIRCUITOS DE CORRIENTE ALTERNA
SENOIDAL HACIENDO USO DEL SOFTWARE MULTISIM 11.0
OSCAR DAVID LONDOÑO OCAMPO
1088279452
JOHN WILMAR RESTREPO GRISALES
1088256433
Trabajo de grado presentado como requisito para optar el título de
Tecnólogo Electricista
DIRECTOR
POMPILIO TABARES E.
INGENIERO ELECTRICISTA
UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA DE PEREIRA
FACULTAD DE TECNOLOGÍA
PROGRAMA DE TECNOLOGÍA ELÉCTRICA
PEREIRA
2013

3
AGRADECIMIENTOS
Agradecemos a Dios por habernos permitido llegar hasta este punto y habernos
dado salud para lograr nuestros objetivos, además de su infinita bondad y amor.
Agradecemos a nuestros padres y familiares por ese apoyo incondicional, no solo
durante la realización de este proyecto sino también durante todo nuestro proceso
académico, por sus consejos, valores, por esa motivación constante que nos ha
permitido ser unas personas responsables.
Al ingeniero Pompilio Tabares por su gran apoyo y motivación para la culminación
de nuestros estudios y para la elaboración de este proyecto.
Al ingeniero William Jaramillo por su gran aporte en la revisión de este trabajo.

4
TABLA DE CONTENIDO
Pág.
INTRODUCCIÓN.....................................................................................................8
OBJETIVOS.............................................................................................................9
CAPÍTULO 1. FUNCIONAMIENTO DEL SOFTWARE MULTISIM 11.0 ................10
1.1 INICIAR EL PROGRAMA .........................................................................10
1.2 INTERFAZ DE MULTISIM 11.0 ................................................................11
1.2.1 Barra de menús. ....................................................................................12
1.2.2 Herramientas de diseño.........................................................................15
1.2.3 Barra de herramientas de componentes................................................15
1.2.4 Barra de herramientas general. .............................................................17
1.2.5 Barra de herramientas de vista..............................................................18
1.2.6 Barra de herramientas de simulación. ...................................................19
1.2.7 Barra de herramientas principal.............................................................20
1.2.8 Barra de herramientas de instrumentos.................................................21
1.2.9 Ventana de trabajo. ...............................................................................23
1.2.10 Ventana de procesos...........................................................................23
1.3 VENTANA DEL BUSCADOR DE COMPONENTES ....................................24
1.3.1 Base de datos........................................................................................24
1.3.2 Grupo.....................................................................................................25
1.3.3 Familia. ..................................................................................................25
1.3.4 Componente. .........................................................................................25
1.4 PASOS PARA COLOCAR UN COMPONENTE...........................................25
1.5 UNIDADES ACEPTADAS POR EL MULTISIM 11.0 ....................................27
1.6 COLOCAR COMPONENTES DE MULTISECCIÓN.....................................28
1.7 CABLEADO DE COMPONENTES...............................................................30
1.7.1 Modificar la ruta del cableado. ...............................................................32
1.7.2 Modificar el color del cableado. .............................................................33
1.8 COLOCAR ELEMENTOS Y CAMBIAR PARAMETROS..............................33

5
1.8.1 Modificación de rótulos de un dispositivo...............................................35
1.9 COLOCAR BLOQUE DE TÍTULO ................................................................40
1.10 COLOCAR COMENTARIO ........................................................................42
1.11 LECTURA DE INSTRUMENTOS ...............................................................43
1.11.1 Multímetro............................................................................................43
1.11.2 Vatímetro. ............................................................................................45
1.11.3 Osciloscopio. .......................................................................................46
1.11.4 Osciloscopio de cuatro canales. ..........................................................47
1.11.5 Contador de frecuencias......................................................................49
1.12. PROTOBOARD 3D ...................................................................................51
1.13 PASOS PARA REALIZAR UNA SIMULACIÓN EN AC ..............................55
CAPÍTULO 2.CARACTERÍSTICAS DE LA ONDA SENOIDAL..............................63
2.1 CONVERSIÓN DE SENOS Y COSENOS....................................................65
2.2 RESPUESTA FORZADA Y NATURAL.........................................................66
CAPÍTULO 3. NÚMEROS COMPLEJOS...............................................................74
3.1 OPERACIONES MATEMÁTICAS ................................................................75
3.2 IDENTIDADES ÚTILES................................................................................77
3.3 POTENCIAS ENTERAS DE UN NÚMERO COMPLEJO .............................77
3.4 RAÍCES DE UN NÚMERO COMPLEJO ......................................................78
CAPÍTULO 4. FASORES.......................................................................................84
4.1 RELACIONES FASORIALES DE R, L Y C ..................................................89
4.2 LA RESISTENCIA ........................................................................................89
4.3 EL INDUCTOR.............................................................................................90
4.4 EL CAPACITOR...........................................................................................92
CAPÍTULO 5. LEY DE KIRCHHOFF EN EL DOMINIO FRECUENCIAL .............102
5.1 IMPEDANCIA.............................................................................................103
5.2 ADMITANCIA .............................................................................................106
5.3 COMBINACION DE IMPEDANCIAS..........................................................107
CAPÍTULO 6. ANALISIS SENOIDAL EN ESTADO ESTABLE ............................136
6.1 ANALISIS NODAL......................................................................................136
6.2 ANÁLISIS DE MALLA.................................................................................162
6.3 TEOREMA DE SUPERPOSICIÓN.............................................................177
6.4 TRANSFORMACIONES DE FUENTES.....................................................209

6
6.5 CIRCUITOS EQUIVALENTES DE THÉVENIN Y NORTON ......................228
CAPÍTULO 7. ANÁLISIS DE POTENCIA AC.......................................................254
7.1 POTENCIA INSTANTÁNEA.......................................................................254
7.2 POTENCIA PROMEDIO.............................................................................256
7.3 MÁXIMA TRANSFERENCIA DE POTENCIA PROMEDIO ........................278
7.4 VALOR EFICAZ O RMS.............................................................................300
7.5 POTENCIA APARENTE Y FACTOR DE POTENCIA ................................310
7.6 POTENCIA COMPLEJA.............................................................................315
7.7 CORRECIÓN DEL FACTOR DE POTENCIA.............................................333
CAPÍTULO 8. CIRCUITOS TRIFÁSICOS............................................................341
8.1 TENSIONES TRIFÁSICAS BALANCEADAS .............................................343
8.2 ANÁLISIS DE LA CONEXIÓN Y-Y BALANCEADA....................................349
8.3 ANALISIS DE LA CONEXIÓN Y-∆ BALANCEADA....................................370
8.4 ANÁLISIS DE LA CONEXIÓN ∆-Y BALANCEADA....................................385
8.5 ANÁLISIS DE LA CONEXIÓN ∆-∆ BALANCEADA ....................................393
8.6 POTENCIA EN SISTEMAS TRIFÁSICOS..................................................410
8.6.1 Potencia promedio en una carga balanceada en Y .............................411
8.6.2 Potencia compleja en una carga balanceada en Y..............................412
8.6.3 Cálculos de potencia para carga balanceada en Δ..............................413
8.6.4 Potencia instantánea en circuitos trifásicos .........................................415
8.7 MEDICIÓN DE LA POTENCIA TRIFÁSICA ...............................................415
8.7.1 Método de los dos vatímetros..............................................................417
APENDICE A .......................................................................................................434
EJERCICIOS PROPUESTOS..........................................................................434
A.1 CARACTERISTICAS DE LA ONDA SENOIDAL........................................434
A.2 NÚMEROS COMPLEJOS..........................................................................436
A.3 FASORES..................................................................................................437
A.3.1 RELACIONES FASORIALES R, L y C....................................................439
A.4 IMPEDANCIAS Y ADMITANCIAS .............................................................440
A.5 ANÁLISIS NODAL .....................................................................................444
A.6 ANÁLISIS DE MALLAS..............................................................................447
A.7 TEOREMA DE SUPERPOSICIÓN ............................................................450
A.8 TRANSFORMACIÓN DE FUENTES .........................................................453

7
A.9 TEOREMA DE THÉVENIN Y NORTON ....................................................455
A.10 POTENCIA PROMEDIO ..........................................................................460
A.11 MÁXIMA TRANSFERENCIA DE POTENCIA PROMEDIO......................463
A.12 VALOR EFICAZ O RMS ..........................................................................466
A.12 POTENCIA COMPLEJA ..........................................................................469
A.13 CORRECCIÓN DEL FACTOR DE POTENCIA........................................471
A.14 SISTEMA Y-Y BALANCEADO.................................................................472
A.16 SISTEMA Δ-Y BALANCEADO.................................................................474
A.17 SISTEMA Δ-Δ BALANCEADO.................................................................476
A.18 POTENCIA EN SISTEMAS TRIFÁSICOS ...............................................477
BIBLIOGRAFÍA....................................................................................................479

8
INTRODUCCIÓN
El software MULTISIM 11.0, resulta muy útil para el análisis de circuitos de
corriente alterna senoidal, dando así una perspectiva más clara y única referente a
los desafíos que plantea la teoría de Circuitos II al utilizar los diferentes métodos
para la solución de circuitos de corriente alterna senoidal como: Análisis Nodal,
Análisis de Malla, Superposición, Transformaciones de fuentes, Teorema de
Thévenin y Norton, Análisis de Potencia y Circuitos Trifásicos.
Este proyecto está orientado al uso del software MULTISIM 11.0 como
herramienta fundamental para la simulación, solución y demostración de circuitos
de corriente alterna senoidal, con el fin de complementar los temas desarrollados
en la asignatura de Circuitos II del programa de Tecnología Eléctrica.

9
OBJETIVOS
Elaborar un manual para la simulación de circuitos de corriente alterna senoidal
haciendo uso del software MULTISIM 11.0.
OBJETIVOS ESPECIFICOS
 Explicar el manejo del software MULTISIM 11.0
 Aprender los diferentes métodos para la solución de circuitos de corriente
alterna senoidal.
 Dar solución a los circuitos de forma manual.
 Simular los circuitos.
 Comparar los resultados obtenidos de forma manual y simulada.

10
CAPÍTULO 1. FUNCIONAMIENTO DEL SOFTWARE MULTISIM 11.0
La finalidad de este capítulo es brindarle a los lectores unas bases sólidas en el
manejo del software MULTISIM 11.0, guiado a la elaboración y simulación de
circuitos de corriente alterna senoidal, describiendo de forma sencilla el uso de los
componentes básicos, el manejo del espacio de trabajo, herramientas y la
construcción de los circuitos en la plataforma en 3D.
ULTIBOARD 11.0 y MULTISIM 11.0 son los dos elementos del software que
aparecerán después de su instalación. Para este manual se trabajará con el
MULTISIM 11.0, que es el software especialista en la simulación de circuitos.
1.1 INICIAR EL PROGRAMA
Después de instalar el software en el equipo, se podrá acceder a éste por medio
de los siguientes pasos:
1. Abra el menú inicio.
2. Todos los programas.
3. Situarse en NATIONAL INSTRUMENTS.
4. Situarse en CIRCUIT DESIGN SUITE 11.0.
5. Dar clic en MULTISIM 11.0.
Figura 1.1.Inicio del programa
Para generar un acceso directo del software es necesario dar clic derecho sobre
MULTISIM 11.0 y arrastrarlo al escritorio y seleccionar copiar aquí.

11
1.2 INTERFAZ DE MULTISIM 11.0
La interfaz de usuario del software MULTISIM 11.0 se puede observar en la figura
1.2, la cual contiene los siguientes elementos básicos:
Figura 1.2. Interfaz de usuario

12
1.2.1 Barra de menús.
Es donde se encuentran todos los comandos para todas las funciones de
configuración del espacio de trabajo.
Tabla 1.1. Barra de menús
Ilustración Descripción
Archivo: En este menú se pueden
realizar procesos que corresponden a
la administración de archivos de
MULTISIM 11.0, como guardar,
imprimir, abrir un proyecto, abrir un
ejemplo, etc.
Edición: Permite editar el área de
trabajo, posee opciones como cortar
un dispositivo, pegar, seleccionar
todos los componentes en el área de
trabajo y también se pueden realizar
cambios al área de trabajo en la
opción propiedades.

13
Tabla 1.1. (Continuación)
Vista: Permite cambiar la visualización del
área de trabajo del MULTISIM 11.0,
alejamiento, acercamiento, pantalla
completa, etc.
Colocar: Permite colocar dispositivos en
el área de trabajo, el modo de conexión
entre los dispositivos, comentarios,
textos, etc.
Simular: Muestra las opciones que
permiten controlar la simulación de un
proyecto, como ejecutar, pausar, detener,
configurar la simulación, etc.

14
Transferir: Muestra las opciones que
permiten transferir el proyecto
realizado a ULTIBOARD 11.0, el cual
permite crear PCB o diagrama de un
circuito impreso.
Herramientas: Contiene opciones que
permiten mostrar la protoboard en 3D,
editar el símbolo de un componente,
crear una base de datos de
dispositivos electrónicos, etc.
Opciones: Muestra las opciones que
permiten configurar el área de trabajo,
la experiencia con el software, hacer
restricciones en un circuito, etc.

15
Ventana: Contiene las opciones para
interactuar con las ventanas de
simulación, se pueden controlar dos
ventanas paralelas para comparar dos
circuitos y para que al hacerle
cambios a uno de ellos no se pierda el
diseño inicial, etc.
Ayuda: contiene las opciones que
permiten saber acerca del producto.
La ayuda de MULTISIM 11.0 para
saber cómo utilizar alguna opción en
la cual no se tenga claridad, buscar
ejemplos, etc.
1.2.2 Herramientas de diseño.
Ventana donde se puede navegar y visualizar los diferentes tipos de archivos
creados durante la realización de un circuito ya sea un esquema o PCBs o
reportes, etc.
1.2.3 Barra de herramientas de componentes.
Contiene botones que se usan para la selección de componentes que se
encuentran en la base de datos de MULTISIM 11.0.

16
Tabla 1.2. Barra de herramientas de componentes
Herramienta Nombre Descripción
Colocar fuente
Selecciona el grupo de componentes
fuente en el navegador.
Colocar básico
básicos como resistencias, capacitores e
inductancias en el navegador.
Colocar diodo
Selecciona el grupo de componentes diodo
en el navegador.
Colocar
transistor
transistor en el navegador.
Colocar
analógico
análogo en el navegador.
Colocar TTL
Selecciona el grupo de componentes TTL
en el navegador.
Colocar CMOS
CMOS en el navegador.
Colocar misc
digital
misceláneo digital en el navegador.
Colocar mixto
Selecciona el grupo de componentes mixto
en el navegador
Colocar
indicador
Selecciona el grupo indicador de
componente digital en el navegador.
Colocar
componente de
potencia
Selecciona el grupo de componentes de
potencia en el navegador.
Colocar
misceláneo
misceláneo en el navegador.
Colocar
periféricos
avanzados
Selecciona el grupo de componentes de
periféricos avanzados en el navegador.

17
Colocar RF
Selecciona el grupo de componentes RF
en el navegador.
Colocar
electromecánico
electromecánicos en el navegador.
Colocar
componente NI
Selecciona el grupo de componentes NI en
el navegador.
Colocar MCU
Selecciona el grupo de componentes MCU
en el navegador.
Colocar bus
Coloca un bus con segmentos creados al
hacer clic en el área de trabajo.
1.2.4 Barra de herramientas general.
Contiene botones que se usan para realizar funciones comunes como cortar,
pegar, guardar, imprimir, etc.
Tabla 1.3. Barra de herramientas general
Nuevo
Crea un nuevo archivo de circuito.
Abrir archivo
Abre un archivo de circuito
existente.
Abrir un ejemplo de
diseño
Abre una carpeta que contiene
ejemplos.
Guardar archivo
Guarda el circuito activo.
Imprimir circuito
Imprime el circuito activo.

18
Vista de impresión
Vista previa del circuito de cómo
será este impreso.
Cortar
Elimina los elementos
seleccionados y los coloca en el
portapapeles de Windows.
Copiar
Copia los elementos
seleccionados y los coloca en el
portapapeles de Windows.
Pegar
Pega un elemento o circuito que
se encuentra en el portapapeles
de Windows.
Deshacer
Deshace la acción más reciente
realizada.
Rehacer
Rehace la última acción de
deshacer al proyecto.
1.2.5 Barra de herramientas de vista.
Contiene botones que permiten modificar la forma de ver la ventana de trabajo.
Tabla 1.4. Barra de herramientas de vista
Mostrar pantalla
completa
Permite ver el circuito en pantalla
completa.
Incrementar vista
Hace un acercamiento al área de
trabajo.
Reducir vista
Permite visualizar el proyecto a
menor escala.
Ampliar
Amplia la área seleccionada.
Ajustar
Ajusta el área de trabajo a la
página.

19
1.2.6 Barra de herramientas de simulación.
Contiene botones que permiten iniciar la simulación, detenerla, pausarla, etc.
Tabla 1.5. Barra de herramientas de simulación
Ejecutar/ continuar
simulación
Inicia/reanuda la simulación de
un circuito activo.
Pausar simulación
Pausa la simulación.
Detener simulación
Detiene la simulación.
Pausar
Pausa la simulación en el
próximo límite de instrucción
MCU
Paso por dentro
La simulación se inicia y se
ejecuta hasta que llega a la
siguiente instrucción.
Paso por encima
La simulación se inicia para una
subrutina y se detiene al final de
ésta.
Paso por fuera
La simulación ejecuta todas las
instrucciones restantes y se
detiene en la primera
instrucción.
Ejecutar a cursor
La simulación se ejecuta hasta
que el MCU llega a la instrucción
que se ha hecho clic en el
interior de la subrutina, se
detiene y coloca la flecha
amarilla al lado de esa línea.
Alternar punto de
interrupción
Puede colocar puntos de
interrupción en el código fuente
de cualquiera de los dos puntos
de vista o de depuración.
Remover todos los
puntos de interrupción
Elimina todos los puntos de
interrupción en el código fuente.

20
1.2.7 Barra de herramientas principal.
Contiene botones para modificar la forma de trabajo y diferentes funciones
comunes en la simulación.
Tabla 1.6. Barra de herramientas principal
Encontrar ejemplos
Herramienta para la búsqueda
de archivos de ejemplos.
Visor de Netlist Spice
Da una mirada detrás de las
escenas en la simulación y
construye y edita una lista de
conexiones.
Mostrar/ocultar
herramientas de diseño
Cambia la caja de herramientas
de diseño muestra/oculta.
Hoja de cálculo
Utilizada para una rápida
visualización y edición de
parámetros que incluye detalles
de los componentes.
Administrador de base de
datos
Permite editar características de
los elementos.
Protoboard
Muestra la protoboard y sus
componentes en 3D.
Crear
Asistente para crear
componentes para uso en la
captura esquemática.
Graficador
Herramienta de visualización de
usos múltiples donde se puede
ver, ajustar, guardar gráficos.
Postprocesador
Calcula los resultados de las
ecuaciones, gráficos y los
representa en gráficas y tablas.
Capturar
Captura el área de pantalla y lo
copia como mapa de bits en el
portapapeles.

21
Ir a la hoja fuente
Muestra la hoja de nivel superior
en un diseño jerárquico.
Volver a la anotación de
Ultiboard
Incorpora los cambios que se
hicieron en un archivo de diseño
Ultiboard PCB en el archivo de
diseño correspondiente
MULTISIM.
Avanzar a la anotación
Remite una anotación para
incorporar los cambios
realizados en un archivo de
diseño MULTISIM en el archivo
de diseño correspondiente
Ultiboard PCB.
Lista en uso
Contiene la lista de
componentes que están en uso
durante un diseño.
Ayuda
Abre el archivo de ayudas
1.2.8 Barra de herramientas de instrumentos.
Contiene botones para la selección de un instrumento de medición.
Tabla 1.7. Barra de herramientas de instrumentos
Multímetro
Se utiliza para medir voltaje AC
o DC, corriente, resistencia o
pérdida de decibelios entre dos
nodos de un circuito
Generador de funciones
Es una fuente de tensión que
suministra ondas senoidales,
triangulares o cuadradas
Vatímetro
Mide la magnitud de la potencia
activa, es decir, el producto de la
tensión y la corriente que fluye a
través de los terminales en un
circuito.

22
Osciloscopio
Muestra las variaciones de
magnitud y frecuencia de las
señales electrónicas. Puede
proporcionar un gráfico de una o
dos señales en el tiempo, o
permitir la comparación de una
forma de onda con otra.
Osciloscopio de cuatro
canales
Igual que el osciloscopio pero
con la capacidad de medir cuatro
señales.
Trazador de Bode
Produce un gráfico a la
respuesta de frecuencia de un
circuito y es muy útil para el
análisis de circuitos de filtro.
Contador de frecuencia
Se utiliza para medir la
frecuencia de la señal.
Generador de palabra
Envía palabras digitales (o
patrones de bits) en circuitos
digitales.
Analizador lógico
Usado para la adquisición rápida
de datos de estados lógicos y
análisis de tiempo avanzada.
Convertidor lógico
Realiza varias transformaciones
de una representación circuito
digital o señal digital.
Analizador de IV
Mide las curvas de corriente-
voltaje de los siguientes
dispositivos: diodo, PNP BJT,
NPN BJT, PMOS, NMOS.
Analizador de distorsión
Mide distorsión, Distorsión
Armónica Total (THD) o señal
más ruido y distorsión (SINAD)
Analizador de espectro
Mide la amplitud versus la
frecuencia.
Analizador de red
Se utiliza para medir los
parámetros de dispersión de un
circuito, comúnmente utilizados
para caracterizar un circuito
diseñado para funcionar a
frecuencias más altas.

23
Generador de funciones
Agilent
Es un generador de funciones de
alto rendimiento, con capacidad
para generar una forma de onda
arbitraria.
Multímetro Agilent
Multímetro digital de alto
rendimiento.
Osciloscopio Agilent
Tiene 2-canales de medición y
16 canales lógicos.
Osciloscopio tektronix
Osciloscopio digital que contiene
4canales de medición.
Probador de corriente
Se utiliza para medir la corriente
en un conductor.
Instrumentos de Labview
Contiene Instrumentos de
medida.
Probador de medidas
Sirve para comprobar las
lecturas de tensión, corriente y
frecuencia en diferentes puntos
en el circuito.
1.2.9 Ventana de trabajo.
Espacio de trabajo donde se puede diseñar de un circuito.
1.2.10 Ventana de procesos
Ventana que permite visualizar si una simulación contiene errores y datos de los
componentes utilizados.

24
1.3 VENTANA DEL BUSCADOR DE COMPONENTES
Al dar clic sobre una de las viñetas de la barra de componentes, se desplegará
una ventana de navegación de componentes, en la cual se seleccionará el
componente deseado como lo muestra la figura 1.3, en este caso por ejemplo se
dio clic a la viñeta básico:
Figura 1.1. Ventana del buscador de elementos
La ventana desplegada anteriormente se compone de las siguientes partes:
1.3.1 Base de datos.
Es la base donde se encuentra el listado de todos los componentes, existen dos
tipos de bases de datos:
 Base de datos maestra: Es la base de datos que viene por defecto con el
software y la cual contiene todos los componentes que se necesitan.

25
 Base de datos de usuario: Es una base de datos previamente creada por el
usuario con los componentes que desee tener en su base.
1.3.2 Grupo.
Hace referencia al grupo al que pertenece el componente; en este caso resistencia
está en el grupo de básico.
1.3.3 Familia.
Es donde se muestra los componentes que pertenecen al tipo grupo escogido.
1.3.4 Componente.
Donde se escribe el nombre del componente que se quiere buscar. Para
seleccionar los dispositivos de las bases de datos de componentes y colocarlos en
un circuito utilice el Explorador de componentes. Los componentes están
organizados por base de datos, grupo y familia (por ejemplo, base de datos
principal, grupo fuentes, familiafuentes de alimentación). El recuadro componente
permite escribir unos pocos caracteres del nombre para saltar al componente que
busca. Las capacidades de búsqueda le permiten encontrar componentes
mediante búsquedas generalizadas en todas las bases de datos.
1.4 PASOS PARA COLOCAR UN COMPONENTE
El procedimiento demostrado en este caso es muy similar para cualquier otro tipo
de componentes. Al colocar cualquiera de estos componentes, se puede realizar
una configuracion del elemento relacionado con la fabricación de éste como: el
valor del componente (por ejemplo, resistencia), tipo (por ejemplo, carbón), la
tolerancia,la huella yel fabricante.
 Haga clic en la viñeta colocar Básico en la barra de herramientas de
componentes o dar clic en la viñeta colocar en la barra de menus y elige
componente o dar clic derecho en el espacio de trabajo y seleccionar
colocar componente. En la ventana desplegada con nombre“seleccionar
componentes”,aparece el “grupo”, en este caso básico.

26
 En el cuadro de diálogo de base de datos, seleccione “base de datos
maestra”.
 En el cuadro de diálogo “familia” seleccione la pestaña resistor.
 En el cuadro de dialogo “componente” puede colocar el valor del
componente, no importa si no aparece en la lista, cuando sea ubicado en el
área de trabajo estará con el valor indicado.
 Opcionalmente, se puede activar la casilla “guardar componente único en
colocación”. Cuando está activada la casilla, cualquier componente con una
configuracion única de valores se guarda para una utilización futura.
 Seleccionar el tipo de componente que desee. Si no encuentra el tipo
deseado en la lista desplegable, puede escribir el nombre manualmente en
el recuadro “componente”.
 Si desea puede seleccionar un valor para la tolerancia (%). Esta opción no
está activa para potenciómetros variables, inductores o condensadores
variables.
 Otra opción es seleccionar el fabricante y el tipo huella. Si no tiene
preferencia solo seleccione <sin huella>. Si va a exportar el esquema a
PCB, es recomendable que seleccione una opción en la lista.
 El recuadro de “hipervínculo” contiene una dirección de Internet, por
ejemplo, el sitio web del fabricante del componente. El contenido de este
campo se puede editar en la ficha “Componentes del Administrador de
Base de Datos”. Si se desea acceder al enlace, sitúe el cursor sobre él,
mantenga pulsada la tecla <Ctrl> y haga clic.
 Haga clic en aceptar para confirmar que este es el componente que desea
colocar. El navegador se cierra y el elemento queda con una imagen
transparente, esto indica que el componente está listo para ser colocado.
 Mueva el cursor a la ubicación en la que desea colocar el componente. El
área de trabajo se desplaza automáticamente si mueve el cursor por fuera
de los bordes.
 Si desea cambiar la direccion del dispositivo de forma horizontal a vertical
basta con apretar <Ctrl-R> antes de ubicar el componente en el área de
trabajo.

27
 Finalmente dar clic sobre el área de trabajo para colocar el elemento en el
lugar deseado.
1.5 UNIDADES ACEPTADAS POR EL MULTISIM 11.0
Algunos fabricantes no utilizan unidades estándar para describir su R, L, C o
componentes en las listas de precios y especificaciones. Para adaptarse a esto, se
puede introducir cualquier número en notación científica con o sin un exponente,
seguido por una letra que será la unidad, esto es opcional para el valor de las
resistencias, inductores y condensadores.
Tabla 1.8. Unidades sistema internacional
Unidad Descripción
f o F femto (1e-15)
p pico (1e-12)
n o N nano (1e-9)
u o U o µ micro (1e-6)
m mili (1e-3)
k o K kilo (1e+3)
M or MEG or meg mega (1e+6)
g o G giga (1e+9)
t o T Tera (1e+12)
P peta (1e+15)
También se puede utilizar la letra de la unidad para sustituir el punto decimal en un
número, por ejemplo: 1M3=1,3M. En este caso no se utiliza un exponente.El
software MULTISIM 11.0 tiene una función de auto-corregido para que el valor que
se digite erroneamente coincida con el estándar para esa unidad. Por ejemplo, si
se escribiera 1.3g el sistema lo corrige a 1.3 G.
Existe una excepcióncon la unidad “k”, si se utiliza en lugar de un punto decimal
como a continuación “1k3”, ésta se convierte en mayúscula “1K3”. Las letras

28
después del sufijo son ignoradas. Por ejemplo, “1.4kohms” = “1.4K” y “1.3me”=
“1,3 m”. Los valores aceptables incluidos son: 1.8, 1.8k, 1k8, 1.8kohms, 1.8e3,
1.8e-3, 1.8e-3meg.
Figura 1.2. Componentes con sus respectivas unidades
1.6 COLOCAR COMPONENTES DE MULTISECCIÓN
Algunos símbolos de ciertos componentes “reales” no tienen una correspondencia
uno a uno con una huella. Más bien, varios símbolos de componentes pueden
corresponder a un paquete físico. Un ejemplo es el 74LS00D Texas Instruments.
Para éste dispositivo en particular, posee hasta cuatro símbolos de componentes
en un diagrama esquemático que puede corresponder a un único componente
para los fines de diseño de PCB.
Para colocar un componente multi-sección, seleccione el componente individual,
en este caso, una compuerta NAND como se muestra en la figura 1.5.
Inmediatamente antes de colocar el componente, un selector de sección aparece
que enumera los componentes que tienen secciones libres, o le permite iniciar la
colocación de un nuevo componente. Usted debe seleccionar una de estas
secciones para la colocación. Un cuadro de control de compuertas está disponible
para mostrar las secciones no utilizadas en componentes de múltiples secciones
en el circuito.
Además de ser disponible en componentes con secciones individuales como se
describe anteriormente, algunos componentes multi-sección TTL y CMOS están
disponibles en un formato de una sola huella que contiene todos los dispositivos.
La familia en estos componentes se encuentra en el navegador de componente, y
se anexan con “_IC”, como en la familia de componentes “74LS_IC.

29
Figura 1.3. Componentes multisección
En la figura 1.5, se muestra un 74LS00D con compuertas colocadas como
secciones individuales. Estas cuatro compuertas figura 1.5 (1) eran componentes
de la Familia 74LS y se combinan en un paquete de componentes cuando el
circuito se exporta a disposición de PCB. La figura 1.5 (2) muestra una huella
única 74LS00D_IC que contiene cuatro compuertas NAND. Esto se realiza desde
la familia de componentes 74LS_IC.
Para colocar un elemento multi-sección se deben realizar los siguientes pasos:
 Abra la ventana del buscador de componentes como se indicó
anteriormente y navegue hasta el grupo deseado y seleccione la familia de
componentes.
 De clic en el área de trabajo para ubicar el componente.
 Haga clic en Aceptar. Si esta es la primera multisección de este tipo de
componente por ejemplo 74LS00D que está colocando en el circuito,
aparecerá un cuadro de diálogo como se muestra en la figura 1.6.

30
Figura 1.4. Colocar primer componente multisección
Si ya hay otras secciones múltiples de componentes colocados, el cuadro de
diálogo será similar al siguiente:
Figura 1.5. Colocar segundo componente multisección
Donde dice Nuevo indica las secciones disponibles para su colocación. La letra
opaca indica que el componente de esta sección ya ha sido colocado en el área
de trabajo.
 Haga clic en cualquiera de las secciones disponibles. El cuadro de diálogo
se cierra y una imagen opaca del componente aparece para ser ubicada en
el área de trabajo.
 Dar clic en el área de trabajo para colocar el componente en el lugar
deseado.
 Si ha seleccionado la colocación continua de componentes multisección el
cuadro de dialogo no desaparecerá hasta que usted desee dar clic en
cancelar.
1.7 CABLEADO DE COMPONENTES
Este capítulo esta diseñado para que el lector se familiarice con la forma de
diseñar un esquema en el área de trabajo, como realizar el cableado, la ubicación

31
de componentes, modificar los valores de los componentes. Las propiedades para
el cableado se obtiene cada vez que se da una conexion entre dos dispositivos, se
crea una red o se une a una ya existente.
Figura 1.6. Cableado de componentes
El siguiente es el procedimiento para realizar el cableado manualmente como se
muestra en la figura 1.8, que permite al usuario seleccionar la ruta precisa que
debe tomar el cable en un diseño:
 Haga clic en un pin del primer componente para iniciar la conexión. El
puntero se convierte en una cruz ( ), indicando que está listo para realizar
la conexión de ese pin con otro.
 Al mover el mouse se va generando una especie de cable negro el cual
debe dirigir hasta el pin donde se va a conectar.
 Para finalizar la conexión debe dar clic sobre el pin del siguiente
componente y el cable que era negro cambiará de color a rojo indicando
que la conexión está hecha.
 Si la trayectoria que está realizando no es la deseada, basta con dar clic
derecho para desaparecerla e iniciar una nueva trayectoria.
 Si ya terminó la trayectoria entre dos dispositivos pero después cambia de
opinión, para eliminarla basta con dar clic derecho y escoger borrar o
seleccionar el cable y apretar la tecla <Supr>.

32
1.7.1 Modificar la ruta del cableado.
Realice los siguientes pasos para modificar la ubicación del cable una vez este
colocado:
Haga clic sobre el cable. Un número de cuadros aparecerán en el cable, como se
muestra en la siguiente figura1.9.
Figura 1.7. Ubicar ruta del cable
 Haga clic en cualquiera de los cuadros para arrastrarlo y modificar su forma
como se muestra en la figura 1.10.
Figura 1.8. Arrastre del cable

33
 También al dar clic izquierdo sobre el cable y después posicionarse sobre el
cursor cambia a una doble flecha, hacer clic y arrastrar en la dirección de
las flechas, para modificar la forma.
1.7.2 Modificar el color del cableado.
Para cambiar el color de un cable colocado, o un segmento de cable, complete los
siguientes pasos:
 Haga clic derecho en la conexión y seleccione “cambiar color” o “color
segmento” en el menú contextual que aparece y se abrirá una paleta de
colores.
 Elija un color y haga clic en aceptar para aplicar el color al elemento
seleccionado.
1.8 COLOCAR ELEMENTOS Y CAMBIAR PARAMETROS
 Para ingresar la fuente de tensión AC que se muestra en el circuito de la
figura 1.11, basta con dar clic en la viñeta de colocar fuente , seleccionar
la fuente de tensión, dar clic en aceptar y ubicarla en el sitio deseado dando
clic en el área de trabajo.
 Para modificar sus parámetros basta con dar doble clic sobre el elemento y
desplegará una ventana como se muestra en la figura 1.11.

34
Figura 1.9. Ventana de parámetros
Si se quiere cambiar las propiedades de uno de los componentes, como por
ejemplo: orientación, copiarlo, eliminarlo, etc., se debe dar clic con el botón
derecho del mouse sobre el componente y se desplegará el siguiente menú:
Figura 1.10. Ventana de propiedades del dispositivo

35
1.8.1 Modificación de rótulos de un dispositivo.
En el MULTISIM 11.0 los dispositivos muestran una designación la cual
corresponde al nombre del dispositivo utilizado, en éste caso se utilizó una
resistencia la cual tiene una designación de R1 y un valor de 90Ω como se
muestra en la figura 1.13.
Figura 1.11. Descripción de un dispositivo
Para editar los valores del dispositivo seleccionado es necesario completar los
siguientes pasos:
1. Dar doble clic en el dispositivo y seleccionar la viñeta valor.
2. Cambiar los parámetros como se desee y dar clic en O.K.
Al dar doble clic se desplegará una ventana con toda la información del dispositivo
como se muestra en la siguiente figura:
Figura 1.12. Viñeta de valor

36
En la viñeta “valor” se muestran todas las opciones que hacen referencia a los
valores numéricos del dispositivo en la cual se puede editar:
 El valor de la resistencia en el recuadro que tiene como nombre
Resistencia.
 El valor de la tolerancia de la resistencia.
 Parámetros opcionales como la temperatura, coeficiente de temperatura,
etc.
Al dar clic sobre la viñeta “despliegue” como se muestra en la figura 1.15, se
desplegara otro tipo de información que podrá ser modificada.
Figura 1.13. Viñeta de despliegue
 Aquí se muestran todas las opciones para activar la información de
identificación que se desea mostrar para este componente y desactivar la
información de identificación que no se desea mostrar. Por ejemplo, si
desea ocultar el indicador de referencia de componente, desactive Mostrar
RefDes. Aparte de esto tiene otras opciones como:
 Mostrar el valor del dispositivo.
 La designación.

37
 los atributos.
 Mostrar los nombres de los terminales.
 Mostrar etiquetas.
Al dar clic sobre la viñeta “etiqueta” se desplegará una ventana donde se podrá
realizar cambios al nombre del dispositivo y editar una etiqueta si es necesario.
Figura 1.14. Viñeta de etiqueta
 En las opciones de esta viñeta se pueden introducir o modificar los
atributos. Estos pueden ser cualquier nombre o valor que elija para darles.
Por ejemplo, usted podría dar el nombre del fabricante del componente o un
nombre que sea significativo para usted, como “resistencia de nuevo” o
“revisado 15 de mayo”.

38
Al dar clic sobre la pestaña falla, se desplegará una ventana con las opciones para
habilitar el tipo de fallo que desea asignar a los terminales seleccionados como se
muestra en la figura 1.17.
Figura 1.15. Viñeta de falla
 Ninguno: no hay fallo.
 Abrir: asigna una muy alta resistencia a los terminales seleccionados, como
si el cable que conduce a los terminales estuviera roto.
 Corto: asigna una resistencia muy baja a los terminales seleccionados, por
lo que el componente no tiene un efecto medible en el circuito.
 Fuga: asigna el valor de la resistencia especificada en los campos bajo la
opción, en paralelo con los terminales seleccionados. Esto hace que la
corriente de fugas vaya más allá de los terminales en vez de ir a través de
ellos.
Al dar clic en la viñeta de terminales se puede seleccionar que terminales o pines
de un componente se quiere incluir o excluir durante la realización del diseño.

39
Establecidos estos terminales, durante el diseño y la simulación no se podrán
conectar a estos terminales que se excluyeron.
Figura 1.16. Viñeta de terminales
Al dar clic en la viñeta Campos de usuario como se muestra en la figura 1.19 se
pueden modificar los campos que desee el usuario sobre un componente. Los
componentes tienen un máximo de 20 campos de usuario que proporcionan
información específica al usuario sobre el componente por ejemplo, vendedor,
fabricante, hipervínculo.

40
Figura 1.17. Viñeta de campos de usuario
1.9 COLOCAR BLOQUE DE TÍTULO
El editor de bloques de título se emplea para crear bloques personalizados del
título. Si se desea, un bloque de título se puede incluir en cada página de cada
diseño.
Varios campos en el bloque de título se completan automáticamente en función
del contexto y de las diversas propiedades del documento. Al diseñar el bloque de
título, usted puede elegir un campo predefinido o crear uno propio.

41
Figura 1.18. Bloque de titulo
Realizar los siguientes pasos para agregar un bloque de título a su diseño:
1. Dar clic en colocar y seleccionar bloque de título.
2. Se desplegará una ventana de búsqueda con varios archivos los cuales
son los bloques de título, escoja el que desee y de clic en abrir.
3. El bloque de título aparecerá unido al cursor, mueva el cursor sobre el área
del diseño para ubicar el bloque en el lugar que desee y de clic sobre el
área de trabajo.
4. Para personalizar el bloque de título, basta con dar clic derecho sobre el
bloque y seleccionar editar símbolo/bloque de título.

42
1.10 COLOCAR COMENTARIO
Se pueden añadir comentarios a los elementos de un diseño para mostrar las
órdenes de cambio de ingeniería, para facilitar el trabajo colaborativo entre los
miembros del equipo o para permitir que la información de fondo que debe
atribuirse a un diseño sea visible.
Usted puede “fijar” un comentario en el espacio de trabajo o directamente a un
componente. Cuando un componente posee un comentario “denominado clavada”,
y el componente se mueve, el comentario también se mueve.
Para colocar un comentario a un componente que se encuentra en el área de
trabajo se deben seguir los siguientes pasos:
1. Dar clic en colocar y seleccionar comentario.
2. Mover el cursor hasta la ubicación deseada y dar clic.
3. Para que el comentario sea visible después de haberlo colocado, se debe
ubicar el cursor sobre el icono “denominado clavada”.
Figura 1.19. Colocar comentario

43
1.11 LECTURA DE INSTRUMENTOS
En esta sección se explican todas las características que se describen en las
ventanas de los instrumentos de medición.
1.11.1 Multímetro.
Utilizar el multímetro para medir tensión AC o DC, corriente, resistencia o pérdida
de decibelios entre dos nodos de un circuito. El multímetro es auto-rango, por lo
que no es necesario especificar un rango de medición. Su resistencia interna y la
corriente son valores predefinidos para ser casi ideal, los cuales se pueden
cambiar.
Para colocar el instrumento, haga clic en el botón Multímetro en la barra de
herramientas de Instrumentos y haga clic en al área de trabajo para colocar el
instrumento. Utilice el icono, como se muestra en la siguiente figura, para conectar
el multímetro al circuito.
Figura 1.20. Multímetro
Cuando la simulación este corriendo haga doble clic en el icono para abrir la
ventana del instrumento como se muestra en la siguiente figura. Aquí es donde
puede introducir los ajustes y ver las mediciones.

44
Figura 1.21. Ventana del multímetro
Al dar clic en configurar se abrirá la ventana de configuración del multímetro como
se muestra en la figura 1.24, donde se podrá cambiar la configuración interna del
multímetro en aspectos como:
 Configuración electrónica
 Configuración de despliegue.
Figura 1.22. Ventana de configuración

45
1.11.2 Vatímetro.
El vatímetro mide la magnitud de la potencia activa, es decir, el producto de la
tensión y la corriente que fluye a través de los terminales en un circuito. Los
resultados se muestran en vatios y también se muestra el valor del factor de
potencia.
Para utilizar el instrumento, haga clic en el botón vatímetro en la barra de
herramientas de instrumentos y haga clic para colocar su icono en el área de
trabajo. Utilice el icono, como se muestra a continuación, para conectar el
vatímetro al circuito.
Figura 1.23. Vatímetro
ventana del instrumento como se muestra en la siguiente figura. Aquí es donde se
pueden ver las mediciones.
Figura 1.24. Ventana del vatímetro

46
1.11.3 Osciloscopio.
El osciloscopio de doble canal muestra las variaciones de magnitud y frecuencia
de las señales electrónicas. Se puede proporcionar un gráfico de una o dos
señales en el tiempo o permitir la comparación de una forma de onda con otra.
Para colocar el instrumento, haga clic en el botón osciloscopio en la barra de
herramientas de instrumentos y haga clic para colocar su icono en el área de
trabajo. El icono se utiliza para conectar el osciloscopio al circuito. No es necesario
conectar a tierra el osciloscopio, siempre y cuando el circuito al que está
conectado está conectado a tierra.
Figura 1.25. Osciloscopio
ventana del instrumento como se muestra en la figura 1.28. Aquí es donde se
pueden ver las mediciones.

47
Figura 1.26. Ventana del osciloscopio
Visualización de los resultados del osciloscopio.
El área de lectura por debajo de la pantalla gráfica, muestra el tiempo y la tensión
en las conexiones de la sonda y la diferencia entre los dos. Para mostrar los
valores exactos de la onda, arrastre el cursor vertical a la ubicación deseada en el
área de visualización gráfica. Los valores aparecen por debajo de la lectura.
También puede mover el cursor a una ubicación precisa haciendo clic derecho
sobre él y usando el menú contextual que aparece.
1.11.4 Osciloscopio de cuatro canales.
Utilice el osciloscopio de cuatro canales para controlar simultáneamente hasta
cuatro entradas diferentes.
Para colocar el instrumento, haga clic en el botón de osciloscopio de cuatro
canales en la barra de herramientas Instrumentos y haga clic para colocar su
icono en el área de trabajo. El icono se utiliza para conectar el osciloscopio de
cuatro canales al circuito.

48
Figura 1.27. Osciloscopio de cuatro canales
ventana del instrumento como se muestra en la figura 1.30. Aquí es donde se
pueden observar las mediciones.
Figura 1.28. Ventana osciloscopio de cuatro canales
La conexión del osciloscopio de cuatro canales es igual como para el de dos
canales, complete los pasos siguientes para conectar el osciloscopio de cuatro
canales:

49
1. Haga clic en el botón de osciloscopio de cuatro canales en la barra de
herramientas Instrumentos y haga clic para colocar su icono en el área de
trabajo.
2. Conecte el icono a los puntos deseados en su circuito utilizando los
terminales siguientes según sea necesario:
 A, B, C, D: canales de entrada
 G:tierra
 T: activación externa
3. Seleccione los colores para los cables que van a los cuatro canales de
entrada del osciloscopio.
 Haga clic derecho en el cable que va al canal de entrada A y seleccione
Segmento de color en el menú contextual que aparece.
 Haga clic en el color deseado para el cable y haga clic en Aceptar.
 Repita el procedimiento para los canales B - C - D.
 De acuerdo a los colores escogidos para cada conductor que van a las
entradas del osciloscopio, la gráfica en la ventana del osciloscopio será de
estos colores.
1.11.5 Contador de frecuencias.
Utilice el contador de frecuencia para medir la frecuencia y el valor del periodo de
la señal.
Para colocar el instrumento, haga clic en el botón contador de frecuencia en la
barra de herramientas instrumento y haga clic para colocar su icono en el área de
trabajo. El icono se utiliza para conectar el contador de frecuencia al circuito.

50
Figura 1.29. Contador de frecuencias
Haga doble clic en el icono para abrir la ventana del instrumento. Aquí es donde
se pueden introducir los ajustes y ver las mediciones del instrumento.
Figura 1.30. Ventana contador de frecuencias

51
1.12. PROTOBOARD 3D
Una de las principales características que posee el MULTISIM 11.0 es una réplica
de la protoboard en 3D como se muestra en la siguiente figura.
Figura 1.31. Protoboard en 3D
El espacio de trabajo posee dos ventanas de color morado, la inferior es donde se
encuentran todos los componentes reales que fueron utilizados en el diseño
realizado en el área de trabajo y la ventana superior muestra las características
del elemento al posicionar el cursor sobre uno de los elementos en la ventana
inferior.
Para poder mostrar esta protoboard con los elementos de un diseño, se deben
seguir los siguientes pasos:
1. Realizar un diseño de un circuito en el espacio de trabajo.

52
Figura 1.32. Diseño del circuito
2. Dar clic en la viñeta mostrar protoboard y se abrirá la siguiente ventana con
la protoboard en 3D y los respectivos elementos.
Figura 1.33. Diseño de la protoboard y componentes

53
3. Ubicar los componentes en la protoboard.
Figura 1.34. Diseño en la protoboard
Durante el diseño en la protoboard, el cursor del computador cambia de figura y se
convierte en dos flechas indicando que se puede girar la protoboard en cualquier
sentido.
Al dar clic en la viñeta de cambiar configuración de la protoboard, se abrirá una
ventana con opciones para modificar el diseño de la protoboard como se muestra
en la siguiente figura:
Figura 1.35. Configuración de protoboard

54
Figura 1.36. Protoboard con dos tablillas
Para regresar al diseño del circuito en el espacio de trabajo normal, basta con dar
clic sobre el icono diseño 1 el cual se encuentra en la parte inferior de la ventana y
que se muestra en la siguiente figura.
Figura 1.37. Icono para abrir espacio de trabajo
Igualmente para regresar a la protoboard en 3D, se tiene que dar clic sobre el
icono Vista 3D- Diseño1- protoboard, el cual se encuentra en la parte inferior de la
ventana y que se muestra en la siguiente figura
Figura 1.38. Icono del diseño en la protoboard 3D

55
1.13 PASOS PARA REALIZAR UNA SIMULACIÓN EN AC
En los circuitos de corriente alterna es importante saber la respuesta de la tensión
o la corriente que fluye a través de un elemento y en este caso ese resultado debe
ser hallado en forma polar o rectangular. Por eso para realizar una simulación de
este tipo es necesario realizar una serie de pasos que se explicarán a
continuación para que el usuario esté en toda la capacidad de realizar cualquier
simulación.
El ejemplo que se describirá a continuación sirve tanto para un circuito que
contiene elementos en el dominio del tiempo como en el dominio de la frecuencia.
1. Seleccionar los dispositivos en el buscador de elementos y realizar el
cableado correspondiente al diseño como se muestra en la siguiente figura.
Figura 1.39. Circuito de CA con elementos en el dominio de la frecuencia.
2. Las impedancias se encuentran en la viñeta básico y en la familia Z_load.
Para la impedancia Z=A+jB se refiere que es una resistencia en serie con
una inductancia y para Z=A-jB se refiere a una resistencia en serie con un
capacitor.
3. El siguiente paso es realizar los cambios en los valores de los elementos.

56
Para la fuente:
Figura 1.42. Ventana de valores
Lo mínimo que se debe colocar son los cuadros que están resaltados y las
magnitudes de análisis CA y fase de análisis CA son los mismos datos que se
colocan en la parte superior en voltaje (Pk) y fase.

57
Para la impedancia:
Z= A+jB
Figura 1.403. Ventana de configuración de Z=A+jB
En resistencia se coloca el valor correspondiente a ésta, en reactancia de nodo
(XL-XC) se coloca el valor de la inductancia y luego especificar la frecuencia de
operación, que en este caso sería el mismo valor de la frecuencia de operación de
la fuente de tensión AC.

58
Para la impedancia:
Z= A - jB
Figura 1.414. Ventana de configuración de Z=A-jB
En resistencia se coloca el valor correspondiente a ésta, en reactancia de nodo
(XC-XL) se coloca el valor del capacitor y luego especificar la frecuencia de
operación, que en este caso sería el mismo valor de la frecuencia de operación de
la fuente de tensión AC.

59
4. Después de haber digitado todos los valores de todos los elementos del
circuito se debe seguir la siguiente secuencia simular/análisis/análisis de
frecuencia única.
Figura 1.425. Secuencia para realizar análisis CA

60
5. Después se desplegará la siguiente ventana donde se debe seleccionar la
frecuencia de operación del circuito y el formato que se quiere de la
respuesta ya sea magnitud/fase o real/imaginario. Para este caso
seleccionaremos magnitud/fase.
Figura 1.46. Ventana de parámetros de frecuencia
El icono auto-detectar sirve para que el software coloque el valor de la frecuencia
de operación del circuito que se está utilizando en el diseño.

61
6. Luego se selecciona la variable que se quiere medir y se da clic en agregar,
si por algún motivo se selecciona la variable equivocada se puede dar clic
en el icono remover y para finalizar dar clic en simular.
En este caso se hallará la corriente que fluye a través de R1.
Figura 1.437. Ventana de selección de variables
Se debe tener claro que el simulador no hace ningún tipo de cálculo sobre las
impedancias, por lo tanto si se requiere hallar algún dato sobre la resistencia que
se encuentra dentro del Z_load basta con poner una resistencia por fuera de éste
y el valor de la resistencia dentro del Z_load seria cero.

62
La respuesta se da de la siguiente manera:
Figura 1.448. Ventana de respuesta

63
CAPÍTULO 2.CARACTERÍSTICAS DE LA ONDA SENOIDAL
Se considera la siguiente expresión como una tensión variable senoidal:
(2.1)
La gráfica que representa esta expresión se muestra en la figura 2.1.Donde Vm
representa la amplitud de la onda sinusoidal, ω representa la frecuencia angular
en (radianes/s). En la figura 2.1 (a), (Vm senωt) se grafica en función del
argumento (ωt), donde se muestra que la onda senoidal es periódica. Se ve que la
función se repite cada (2π) radianes y por lo tanto su periodo es (2π) radianes. En
la figura 2.1 (b), (Vm senωt) se grafica en función de t y por eso ahora el periodo es
T. Una onda senoidal con periodo T, debe recorrer 1/T periodos cada segundo; la
frecuencia f es 1/T Hertz (Hz), de manera que,
(2.2)
Ya que
(2.3)
De esta manera, la relación entre la frecuencia y la frecuencia radian es:
(2.4)
Figura 2.1. Función senoidal. (a)En función de ωt y (b) en función de t

64
Esta es una expresión más general para representar la onda senoidal:
(2.5)
En la cual se incluye en el argumento el ángulo de fase . En la figura 2.2, se
muestra la gráfica en función de ωt, correspondiente a la ecuación 2.5, en la que
se muestra como la onda se desplaza unos grados con respecto a otra onda
senoidal de referencia. En este caso se indica que adelanta a
en radianes. De esta manera también es válido afirmar que
esta retrasado respecto a en radianes.
Figura 2.2. Adelanto o retraso de ondas senoidales
De cualquier manera, ya sea adelantada o retrasada, se describen las ondas
como fuera de fase o que están desfasadas. Por el contrario, si los ángulos de
fase de ambas ondas son iguales se dice que están en fase. Para evitar
confusiones es recomendable siempre indicar lo ángulos de fase en grados con su
respectivo símbolo y no en radianes.
Para comparar las fases de dos ondas sinusoidales se deben cumplir los
siguientes requerimientos:

65
1. Ambas expresiones deben ser escritas como ondas seno u ondas coseno.
2. Deben expresarse con amplitudes positivas.
3. Deben tener la misma frecuencia angular o radián.
2.1 CONVERSIÓN DE SENOS Y COSENOS
Se tiene claro que el seno y coseno son funciones iguales, pero con una diferencia
de 90° de fase. Con esta aclaración es sencillo demostrar que utilizando las
siguientes identidades trigonométricas se pueden obtener las relaciones entre el
seno y el coseno.
(2.6)
Con estas identidades es sencillo determinar que,
(2.7)
Con estas relaciones se puede transformar una onda seno a un coseno y
viceversa.
Otra opción paralela a las identidades trigonométricas es el método gráfico, el cual
también es aplicado para relacionar y comparar ondas senoidales. Considere el
par de ejes que se muestran en la figura 2.3; se observa que el eje horizontal
representa la magnitud del coseno, mientras que el eje vertical representa la
magnitud del seno. Los ángulos se toman positivos en sentido contrario al
movimiento de las manecillas del reloj.
A diferencia de las relaciones, este método resulta muy práctico al aplicarse, ya
que no es necesario memorizar las relaciones, pero si se debe tener mucho
cuidado con el sentido de los ejes y no confundirlos con los ejes para números
complejos.

66
Figura 2.3. Método gráfico
Haciendo referencia al método gráfico, un ejemplo seria determinar sencillamente
que .
2.2 RESPUESTA FORZADA Y NATURAL
Teniendo claro las características matemáticas de las ondas senoidales, se está
preparado para la aplicación de una función forzada a un circuito simple y obtener
la respuesta forzada. Lo primero que se debe escribir es la ecuación diferencial
que se aplica al circuito dado. La respuesta completa debe contener dos partes: la
solución complementaria (respuesta natural) y la solución particular (respuesta
forzada)
La primera hace referencia a la respuesta transitoria de corta vida o respuesta
natural de un circuito ante un cambio repentino en su condición y la segunda es la
respuesta de estado permanente - a largo plazo de un circuito - a cualquier fuente
independiente presente. De acuerdo a lo anterior la única respuesta forzada es
aquella que se debe a las fuentes de corriente contínua.
La respuesta natural es independiente de la forma matemática de la función de
excitación y solo depende del tipo de circuito, de los valores de los elementos y de
las condiciones iníciales. Se encuentra igualando a cero todas las funciones de
excitación, reduciendo con ésto la ecuación a una ecuación diferencial lineal
homogénea más sencilla.

67
Considérese que en el siguiente circuito RL, la respuesta natural ha desaparecido
por completo debido a que se conmutó la fuente de tensión senoidal VS y se busca
la respuesta forzada o respuesta particular, la cual debe satisfacer la ecuación
diferencial.
Figura 2.4. Circuito RL
La ecuación diferencial es,
(2.8)
A continuación se obtiene la respuesta forzada por integración y derivación
repetida de la función de excitación sen (ωt) y cos (ωt). De acuerdo con lo
anterior, se podría esperar que la expresión de la respuesta forzada deba tener la
siguiente forma en general.
(2.9)
Donde e son constantes cuyos valores dependen de , R, L y ω. Al sustituir
en la ecuación diferencial se obtiene:
(2.10)

68
Agrupando términos seno y coseno queda que:
(2.11)
Haciendo cos (ωt) y sen (ωt) iguales a cero se obtiene:
(2.12)
Entonces
(2.13)
Por ende, la respuesta forzada para el circuito de la figura sería:
(2.14)
La respuesta forzada también puede ser representada como una sola señal
senoidal o cosenoidal con un ángulo de fase,
(2.15)
Igualando las ecuaciones 2.14 y 2.15 se obtiene,
(2.16)
Factorizando e igualando a cero los coeficientes se tiene que:
(2.17)
Al dividir una ecuación por la otra se obtienen A y θ:
(2.18)

69
Después se elevan al cuadrado ambas ecuaciones y se suman los resultados.
(2.19)
Entonces,
(2.20)
Y
(2.21)
Y la forma alternativa de la respuesta forzada se convierte en:
(2.22)
Ejercicio 2.1
Dada la onda senoidal , hallar:
a) La amplitud Vm.
b) El periodo T.
c) La frecuencia f.
d) La Frecuencia angular.
e) La fase.

70
Solución
a. La amplitud es:
b. El periodo es:
c. La frecuencia es:
d. La frecuencia angular es:
e. La fase es:
Ejercicio 2.2
Se tiene una fuente de corriente , hallar:
a) La amplitud de la corriente.
b) La frecuencia angular.
c) La frecuencia de la corriente.
d) La fase.
Solución
a. La amplitud de la corriente es:
b. La frecuencia angular es:
c. La frecuencia de la corriente es:
d. La fase es:

71
Ejercicio 2.3
Expresar las siguientes funciones en forma de coseno.
a)
b)
c)
Solución
a.
b.
c.
Ejercicio 2.4
Sean R=200 Ω, L=8mH y en el circuito de la figura 2.4,
encontrar la respuesta forzada de . Después hallar:
a) VR (t), la tensión en R, con referencia positiva en terminales de R.
b) VL (t), la tensión en L, con referencia positiva en terminales de L.
c) PS (t), la potencia suministrada por la fuente.
Solución
Ahora

72
Simulación
Para verificar los resultados se simuló el circuito en el software MULTISIM 11.0.
Para obtener en la simulación los resultados de la magnitud y fase se debe seguir
el siguiente procedimiento:
1. Diseñar el circuito en el espacio de trabajo.
2. Después de haber colocado la fuente de tensión en el espacio de trabajo,
se deben especificar los valores de la magnitud de la tensión, y la fase en el
recuadro magnitud de análisis CA y fase de análisis CA, esto para que al
realizar la simulación el software detecte los valores.
3. Colocar el nombre de los nodos dando doble clic sobre el cable.
4. Dirigirse a la viñeta Simular, luego situarse en la opción Análisis y
seleccionar Análisis de frecuencia única.
5. En parámetros de frecuencia especificar la frecuencia a la que opera el
circuito o dar clic en el recuadro auto - detectar para que el software detecte
por si solo la frecuencia de operación.
6. En la parte de abajo seleccione el formato que se desea para la respuesta.
Las opciones son: real/imaginario o magnitud/fase. Esto depende de la
necesidad del usuario.
7. Debido a que el software en este análisis no calcula la tensión sobre los
elementos sino sobre los nodos, para hacer el cálculo sobre la resistencia
se debe ingresar manualmente una expresión dando clic en el cuadro
Añadir expresión. Selecciona los nodos sobre los que se encuentra la
resistencia separados por un guion y dar aceptar.

73
8. Seleccionar las variables a medir y dar clic en el cuadro agregar y simular.
Figura 2.5. Circuito del ejercicio 2.1 simulado
El valor de se calcula con la multiplicación de:

74
CAPÍTULO 3. NÚMEROS COMPLEJOS
Un número complejo puede escribirse en forma rectangular como:
(3.1)
Donde , es la parte real de , en tanto es la parte imaginaria de , es
decir:
(3.2)
Una segunda manera de representar el número complejo Z, es especificando su
magnitud y el ángulo que forma con el eje real. Esta forma es conocida como la
forma polar y está dada por: , donde ,
.
(3.3)
Con esto se tiene que:
(3.4)
La tercera forma de representar es la forma exponencial:
(3.5)
Las tres formas de representar un número complejo Z se resume del modo
siguiente:
(3.6)

75
La relación que existe entre la forma rectangular y la forma polar se muestra en la
siguiente figura, donde el eje representa la parte real y el eje la parte imaginaria
de un número complejo.
Figura 3.1. Representación gráfica de un número complejo
3.1 OPERACIONES MATEMÁTICAS
Dos números complejos son iguales y , si y solo si,
sus partes reales e imaginarias son iguales, y .
La suma y resta de números complejos son más sencillas de hacer en la forma
rectangular, las multiplicaciones y divisiones se hacen mejor en forma polar.
Dado los números complejos:
(3.7)
Suma:
(3.8)

76
Resta:
(3.9)
Multiplicación:
(3.10)
División:
(3.11)
Inverso:
(3.12)
Raíz cuadrada:
(3.13)
Conjugado de un número complejo:
(3.14)

77
3.2 IDENTIDADES ÚTILES
Al trabajar con números complejos y magnitudes complejas, resultan muy útiles
las siguientes identidades:
(3.15)
(3.16)
(3.17)
(3.18)
(3.19)
Si , entonces tendremos que:
(3.20)
(3.21)
(3.22)
(3.23)
3.3 POTENCIAS ENTERAS DE UN NÚMERO COMPLEJO
Para elevar un número complejo a una potencia entera (k), lo más fácil es escribir
primero el número complejo en forma polar, Así:
(3.24)

78
3.4 RAÍCES DE UN NÚMERO COMPLEJO
Para hallar la raíz k-ésima de un número complejo, se debe tener en cuenta que
se está resolviendo la ecuación
(3.25)
Que es una ecuación de grado (k) y tiene, por tanto, k raíces. Para hallar las
raíces se observa primero que:
(3.26)
De las ecuaciones 3.25 y 3.26se obtiene que:
(3.27)
(3.28)
(3. 29)
Se puede continuar el proceso indicado por las ecuaciones 3.27, 3.28y 3.29 hasta
que las raíces comiencen a repetirse. Esto sucederá cuando el factor que
multiplica a sea igual a 2 . Por ejemplo a continuación se hallarán las cuatro
raíces de . En este caso se tiene:

79
En este caso ( ) es igual a ( ), por eso las raíces han comenzado a repetirse, de
esta manera se sabe que las cuatro raíces de son los valores dados por
. Conviene resaltar que las raíces de un número complejo están
situadas, en un círculo dentro del plano de los números complejos. El radio de
dicho circulo es igual a . Las raíces están distribuidas uniformemente
alrededor del círculo, siendo el ángulo entre las raíces adyacentes igual a
radianes, o grados, en la siguiente figura se muestran las 4 raíces de
.
Figura 3.2. Las 4 raíces de

80
Ejercicio 3.1
Convierta los siguientes números complejos a las formas polar y exponencial.
a)
b)
c)
d)
Solución
a)
b)
c)
d)
Ejercicio 3.2
Convierta los siguientes números complejos en la forma rectangular.
a)
b)
c)
Solución
a)
b)
c)

81
Ejercicio 3.3
Determinar la forma rectangular de los siguientes números complejos.
a)
b)
c)
d)
Solución
a)
b)
c)
d)
Ejercicio 3.4
Si y determine:
a)
b)
Solución
a) Si ,
Entonces
Y

82
De este modo tenemos que:
b) Se sabe que
Entonces
Ejercicio 3.5
Sean los números complejos A= 8+j2 y B= 5+j3 realizar las siguientes operaciones
matemáticas:
a) Suma
b) Resta
c) Multiplicación
d) División
Solución
a. A+B= 13+j5
b. A-B= 3-j1
c. y
d.

83
Ejercicio 3.6
Sean los números y realizar las siguientes operaciones
matemáticas:
a) Suma
b) Resta
c) Multiplicación
d) División
Solución
a. A= 8,66+j5 y B= 2,9+j0,8
A+B= 11,55+j5,8
b. A-B= 5,76+4,2
c.
d.

84
CAPÍTULO 4. FASORES
Una función senoidal ya sea de tensión o de corriente puede ser representada
como un fasor, el cual es un número complejo que se caracteriza por tener dos
parámetros: amplitud y ángulo de fase de una senoide. Al expresar los senoides
en términos de fasores se hace más fácil trabajar que con las funciones seno y
coseno.
El análisis de circuitos lineales excitados por fuentes senoidales se hace más
sencillo debido a que los fasores ofrecen un medio más simple para realizarlo; ya
que utilizando otro medio de análisis sería muy complejo su desarrollo.
La representación fasorial es una idea que se basa en la identidad de Euler. En
general:
(4.1)
En la ecuación anterior se observa que tanto cos θ como sen θ son considerados
respectivamente como las partes reales e imaginarias de . Lo anterior puede
ser representado como:
(4.2)
(4.3)
Teniendo claridad sobre el capítulo anterior de números complejos. De las
ecuaciones 4.2 y 4.3, donde Re e Im representan la parte real e imaginaria de las
expresiones. Dada una tensión senoidal real
(4.4)
Al recurrir a la ecuación 4.2 donde se separa la parte real de la parte compleja en
v (t), la expresión queda de la siguiente manera:
(4.5)
O
(4.6)

85
De esta manera:
(4.7)
Dónde:
(4.8)
Esta forma de ecuación es la representación fasorial de ; no se debe olvidar
que los fasores son cantidades complejas, que contienen magnitud y fase de una
senoide y por lo tanto se deben escribir con negrilla. Las ecuaciones 4.2 y 4.3
pueden ser utilizadas para desarrollar el fasor, pero la convención normal es
utilizar la ecuación 4.8.
Una manera de examinar las expresiones 4.7 y 4.8, es a través de la gráfica del
sinor en el plano complejo. En el transcurso de aumento del
tiempo, el sinor rota en un círculo de radio Vm a una velocidad angular ω, en
sentido contrario a la rotación que realizan las manecillas de un reloj. Como se
muestra en la figura 4.1 (a). Se puede tomar v (t) como la proyección del sinor
en el eje real, como se recalca en la figura 4.1 (b). El valor que toma el sinor
en el tiempo t =0 es el fasor de la senoide v (t). El sinor puede considerarse
como un fasor rotatorio. De esta manera la expresión está implícitamente
presente siempre que una senoide se exprese como un fasor.
Figura 4.1. Representación de : a) sinor que rota en sentido contrario a las manecillas del
reloj, b) su proyección en el eje real, como función de tiempo.

86
Con la ayuda de la ecuación 4.5 se puede calcular la senoide a partir de un fasor
dado, lo cual se logra con una simple multiplicación entre el fasor y el factor de
tiempo y se toma la parte real. Como se comentó anteriormente, los fasores
son cantidades complejas, y deben escribirse con negrilla como por ejemplo
e . Estos pueden ser representados gráficamente sobre un
plano cartesiano, el cual toma el nombre de diagrama fasorial como se muestra en
la figura 4.2.
Figura 4.2. Diagrama fasorial de e
Las ecuaciones 4.5 a la 4.8, demuestran que para determinar el fasor
correspondiente a una senoide, el primer paso es expresar la senoide en forma de
coseno para que de esta forma sea posible escribirla como la parte real de un
número complejo. Luego se tiene que eliminar el factor de tiempo , y lo que
queda es el fasor propio de la senoide. Al eliminar el factor de tiempo se logra que
la senoide que está en el dominio del tiempo pase al dominio fasorial. Este cambio
se resume de la siguiente manera:
(4.9)
Dominio del tiempo Dominio de la frecuencia
Dada la senoide , el fasor correspondiente a la senoide
es . La ecuación 4.9 está expresada en la tabla 4.1, donde se tiene en
cuenta no solo la función seno y también la función coseno. Con la ecuación 4.9,
se demuestra que para obtener la representación fasorial de una senoide, es

87
necesario expresar ésta en forma de coseno y tomar la magnitud y fase. Es
importante expresar la información en diferentes dominios sobre todo en áreas de
la ingeniería, por eso, cuando se tiene un fasor, la representación en el dominio
fasorial se obtiene como la función coseno con la misma magnitud y la expresión
más la fase del fasor.
Tabla 4.1. Transformación senoide-fasor
Representación en el dominio del
tiempo
Representación en el dominio fasorial
Nótese que en la ecuación 4.9 el factor de frecuencia (o tiempo) ha sido
eliminado y por lo tanto en la representación fasorial no se encuentra claramente,
ya que la designación ω es constante. Sin embargo la respuesta depende de ω.
Por tal razón, la expresión en el dominio fasorial también se denomina como
dominio frecuencial.
Con las ecuaciones 4.7 y 4.8) , se tiene que:
(4.10)
Lo anterior demuestra que la derivada de se convierte al dominio fasorial
como .
(4.11)
De lo anterior se tiene que:
, es el dominio del tiempo.
, es el dominio fasorial.

88
Del mismo modo, se demuestra que la integral de se convierte al dominio
fasorial como .
(4.12)
De lo anterior se tiene que:
, es el dominio del tiempo.
, es el dominio fasorial.
La ecuación 4.11 permite reemplazar una derivada respecto al tiempo por una
multiplicación de y en el dominio fasorial. De modo similar la ecuación 4.12
permite reemplazar una integral respecto al tiempo por una división entre y en
el dominio fasorial. Las ecuaciones 4.11 y 4.12 sirven para determinar la solución
en estado estable, en la cual no es necesario conocer el valor inicial de las
variables implicadas. Esta es una de las aplicaciones más importantes de los
fasores. Otro uso importante de los fasores aparte de la derivación e integración,
es la suma de senoides de la misma frecuencia.
A continuación se destacaran algunas diferencias entre y :
1. es la representación en el dominio temporal o instantánea, mientras
que es la representación en el dominio fasorial o frecuencia.
2. es dependiente del tiempo, mientras que no.
3. siempre es real y no posee ningún término complejo, mientras que si
es generalmente compleja.
Finalmente, se debe tener claro que el análisis fasorial solo se puede aplicar
cuando la frecuencia es constante; este análisis se aplica al manipular dos o más
señales senoidales, solo si éstas tienen la misma frecuencia.

89
4.1 RELACIONES FASORIALES DE R, L Y C
Hasta ahora se tiene claro como es la representación de una tensión o una
corriente en el dominio fasorial o frecuencial. Ahora la pregunta es, ¿cómo aplicar
lo visto anteriormente a circuitos que contengan elementos R, L y C?
Ya que se tiene la habilidad de transformar dentro y fuera del dominio de la
frecuencia, ésto hace que se simplifique el análisis del estado senoidal, lo único
que se necesita hacer es transformar la relación de tensión – corriente del dominio
del tiempo al dominio de la frecuencia para cada elemento.
4.2 LA RESISTENCIA
La resistencia es el caso más sencillo. Si una corriente circula
a través de una resistencia R, el voltaje a través de ella está dada por la Ley de
Ohm como:
(4.13)
La representación fasorial de esta tensión es:
(4.14)
Ya que la corriente está definida como:
(4.15)
Se tiene finalmente, que la representación fasorial de la tensión es:
(4.16)
La relación tensión – corriente en el dominio fasorial en una resistencia tiene la
misma forma que la relación tensión – corriente en el dominio del tiempo. Por lo
tanto la Ley de Ohm se cumple en el dominio del tiempo como en el dominio de la
frecuencia. Esto indica que, la tensión en la resistencia está dada por el valor de la
resistencia multiplicado por el valor de la corriente que fluye a través del elemento.
La figura 4.3 muestra las relaciones voltaje – corriente en una resistencia. Con
respecto a la ecuación 4.16, se debe aclarar que la tensión y la corriente están en
fase, como se muestra en la figura 4.4.

90
Figura 4.3.Tensión y corriente en una resistencia: a) dominio del tiempo; b) dominio de la
frecuencia
Figura 4.4.Diagrama fasorial de resistencia. y están en fase.
4.3 EL INDUCTOR
Suponiendo que la corriente que circula por el inductor está dada por la siguiente
ecuación , la expresión que define la tensión a través del
inductor es:
(4.17)

91
Recordando una de las identidades . Se puede expresar la
tensión como:
(4.18)
Tomando la expresión y transformándola en el fasor nos queda que:
(4.19)
Tomando , y . Se tiene:
(4.20)
Como se observa la ecuación diferencial 4.17 se ha convertido en una ecuación
algebraica como se muestra en la ecuación 4.20, la cual está expresada en el
dominio de la frecuencia. La relación tensión – corriente en un inductor se muestra
en la figura 4.5. Observando que el ángulo del término es exactamente +90°,
esto indica que la corriente está retrasada 90° con respecto a la tensión en un
inductor, como se muestra en la figura 4.6 en el diagrama fasorial.
Figura 4.5. Tensión y corriente de inductor: a) dominio del tiempo; b) dominio de la frecuencia

92
Figura 4.6.Diagrama fasorial de inductor, está retrasada 90° con respecto a la tensión
4.4 EL CAPACITOR
El último elemento por estudiar es el capacitor. Suponiendo que la tensión en
terminales del capacitor está dada por la corriente que fluye a
través del capacitor está determinada por:
(4.21)
Al repetir los pasos realizados en el caso del inductor se obtiene:
(4.22)
De esta manera, la corriente esta adelantada 90° con respecto a la tensión en un
capacitor, como se muestra en la figura 4.8 en el diagrama fasorial. La relación
tensión – corriente en un capacitor se muestra en la figura 4.7. Después de haber
obtenido las relaciones tensión – corriente de los tres elementos pasivos, los
resultados en el dominio del tiempo y fasorial se resumen en la tabla 4.2.

93
Figura 4.7.Tensión y corriente de capacitor: a) dominio del tiempo; b) dominio de la frecuencia
Figura 4.8.Diagrama fasorial de capacitor, está adelantada 90° con respecto a la tensión

94
Tabla 4.2.Ecuaciones de la relación tensión - corriente
Elemento Dominio del tiempo Dominio de la frecuencia
A continuación se muestra una serie de ejercicios que muestran el trabajo con
fasores.
Sección 4. Fasores
Ejercicio 4.1
Hallar los fasores correspondientes a las siguientes señales:
a)
b)
c)
d)
Solución
a.
b.
c.
d.

95
Ejercicio 4.2
Transformar las siguientes senoides en fasores:
a)
b)
c)
Solución
a.
La forma del fasor es
b.
c.
Ejercicio 4.3
Obtener las senoides correspondientes para cada uno de los siguientes fasores.
a)
b)
c)
d)
Solución
a.
b.
c.

96
d.
Sección 4.1. Relaciones fasoriales de R, L y C.
Ejercicio 4.4
Determinar la corriente que fluye a través de una resistencia de 8Ω conectada a
una fuente de tensión .
Solución
Simulación
Por medio del software MULTISIM 11.0 se verificó el resultado de la corriente, los
pasos que se siguieron fueron los siguientes:
1. Se diseñó el circuito en el espacio de trabajo.
2. Se dieron los valores a los dispositivos y se especificó la frecuencia de
operación de la fuente de tensión, que en este caso es de 60 Hz.
3. Se ingresó en la viñeta simular, se ubica el cursor sobre análisis y se
selecciona análisis de frecuencia única.
4. Se especifica la frecuencia de operación del circuito, en este caso es la
frecuencia a la que opera la fuente de tensión y se selecciona
magnitud/fase para la respuesta de la corriente.
5. En la viñeta de salida se selecciona la variable a medir, se da clic en
agregar y después en simular.
Realizando los pasos anteriores se obtuvieron los siguientes resultados:

97
Figura 4.9. Circuito para el ejercicio 4.4
Ejercicio 4.5
Determinar la tensión instantánea a través de un capacitor de 2µF si la corriente a
través de él es .
Solución
Por lo tanto
.
Simulación
Por medio del software MULTISIM 11.0 se verificó el resultado de la tensión, los
pasos que se siguieron fueron los mismos del ejercicio anterior, la única diferencia
radica en seleccionar la variable que se desea medir, en este caso fue la tensión
en el nodo 1.

98
Ejercicio 4.6
Se aplica una tensión , a una combinación en paralelo
de una resistencia de 40KΩ y un capacitor de 50µF. Determinar el valor de la
corrientes a través de la resistencia y el capacitor.
Solución

99
Simulación
Por medio del software MULTISIM 11.0 se verificó el resultado de la corriente para
ambos elementos. Los pasos realizados para la simulación son los mismos que
los realizados en los ejercicios anteriores.

100
Ejercicio 4.7
Determinar la corriente que fluye por la carga en el circuito de la siguiente
figura:
Solución
Simulación
Mediante el software MULTISIM 11.0 se comprobó el valor de la corriente que
fluye a través de la carga, pero en este caso el diseño en el espacio de trabajo
cambia un poco ya que el circuito del ejercicio posee una impedancia.
La única novedad en el diseño es la impedancia y este elemento dentro del
software se encuentra en la viñeta básico y se selecciona z load. Si se tiene una
resistencia en serie con una inductancia se selecciona Z=A+jB y si se tiene una
resistencia en serie con un capacitor se selecciona Z=A-jB.
Se debe tener en cuenta que si se requiere tener una medida ya sea de corriente
o de tensión sobre la impedancia, ésta no podrá ser realizada ya que el software
no posee esta capacidad. Pero lo que se puede realizar es colocar una resistencia
en serie al z load y colocar el valor de la resistencia dentro del z load igual a cero.
Como el z load representa los elementos en el dominio de la frecuencia se debe
especificar ésta dentro de los parámetros.
A continuación se muestra la simulación del circuito con su respectiva respuesta.

101

102
CAPÍTULO 5. LEY DE KIRCHHOFF EN EL DOMINIO FRECUENCIAL
Es necesario determinar las leyes de corrientes y tensiones de Kirchhoff para
realizar un análisis de circuitos en el dominio frecuencial, ya que sin éstas no se
podría realizar tal análisis. Por esto, es de suma importancia expresarlas en el
dominio de la frecuencia.
La ley de tensiones de Kirchhoff (LTK), sean las tensiones a lo largo
de un lazo cerrado, se tiene que:
(5.1)
En el estado estable senoidal, cada una de las tensiones puede ser escrita en la
forma de coseno, de esta manera la ecuación 5.1 se transforma en:
(5.2)
Lo anterior puede escribirse como:
(5.3)
O
(5.4)
Si , entonces:
(5.5)
Debido a que :
(5.6)
Lo que determina que la Ley de Tensiones de Kirchhoff se puede aplicar a las
tensiones fasoriales. Mediante un argumento similar, se puede determinar que la
Ley de Corrientes de Kirchhoff también se puede aplicar a las corrientes

103
fasoriales. Si son las corrientes que salen y entran a un nodo en el
tiempo , entonces:
(5.7)
Si son las formas fasoriales de las senoides , entonces:
(5.8)
Esta ecuación se denomina la Ley de Corriente de Kirchhoff en el dominio de la
frecuencia.
De esta manera queda demostrado que las Leyes de Kirchhoff (LTK) y (LCK) son
aplicables en el dominio de la frecuencia. Con estas ecuaciones es fácil de realizar
los análisis de circuitos aplicando diferentes métodos como: Análisis de Nodos,
Análisis de Malla, Superposición y Transformación de fuentes.
5.1 IMPEDANCIA
Las relaciones tensión – corriente obtenidas anteriormente para los tres elementos
pasivos en el dominio de la frecuencia son:
(5.9)
Si estas ecuaciones son expresadas en términos de tensión fasorial y corriente
fasorial se tiene:
(5.10)
De estas tres expresiones se obtiene la ley de ohm en forma fasorial para
cualquier tipo de elemento como:
(5.11)
El término es una cantidad compleja que depende de la frecuencia conocida
como impedancia, que se mide ohm.

104
La impedancia, simbolizada con la letra y la cual se mide en ohm (Ω), se define
en un circuito como la razón entre la tensión fasorial y la corriente fasorial .
La impedancia representa en un circuito la oposición al flujo de la corriente
senoidal. La impedancia no es un fasor a pesar de que es el resultado de una
operación algebraica entre dos fasores, ésto se debe a que la impedancia no es
una cantidad senoidal que varíe en el tiempo. Las expresiones de impedancia para
la resistencia, el inductor y el capacitor se pueden obtener fácilmente tomando la
ecuación 5.9. La tabla 5.1 resume las expresiones de impedancias y admitancias
para los tres elementos pasivos.
Tabla 5.1. Impedancias y admitancias de elementos pasivos
Elemento Impedancia Admitancia
De la tabla se tiene que y . Considerando ambos casos
extremos de frecuencia angular. Cuando , esto en el caso de fuentes cd
, por lo tanto . Lo que demuestra que el inductor actúa como
cortocircuito mientras que el capacitor lo hace como circuito abierto. Cuando
, como en el caso de altas frecuencias , por lo tanto , lo
que demuestra que en altas frecuencias el inductor se comporta como un circuito
abierto, mientras que el capacitor lo hace como un cortocircuito. Estos
comportamientos son ilustrados en la figura 5.1.

105
Figura 5.1. Circuitos equivalentes en cd y altas frecuencias de un: a) Inductor, b) Capacitor
Debido a que la impedancia es una cantidad compleja, su expresión en forma
rectangular será:
(5.12)
Donde , es la resistencia y , es la reactancia. La reactancia puede
tomar un valor negativo o positivo. Se determina que cuando es positiva la
impedancia es inductiva y cuando es negativa la impedancia es capacitiva. De
esta manera, se dice que la impedancia es inductiva o de retraso,
debido a que la corriente está retrasada con respecto a la tensión, mientras que la
impedancia es capacitiva o de adelanto, debido a que la corriente está
adelantada con respecto a la tensión. La impedancia, la resistencia y la reactancia
se miden en ohm (Ω).
La expresión de la impedancia en forma polar es:
(5.13)
Realizando una comparación entre ecuaciones 5.12 y 5.13, se determina que:
(5.14)

106
Donde
(5.15)
Y
(5.16)
En ocasiones, se observa que el inverso de la impedancia es una cantidad más
conveniente para trabajar, ésta se conoce como admitancia.
5.2 ADMITANCIA
Se define la admitancia de un elemento de circuito como la razón entre la
corriente fasorial y la tensión fasorial, de tal manera que:
(5.17)
Las expresiones de las admitancias para resistores, capacitores e inductancias
son obtenidas de la ecuación 5.11, las cuales están resumidas en la tabla 5.1.
La expresión de la admitancia como una cantidad compleja, puede ser escrita
como:
(5.18)
Donde , es la parte real de la admitancia la cual se llama conductancia y
la cual es la parte imaginaria de la admitancia se conoce como
susceptancia. La admitancia, la conductancia y la susceptancia se miden en
siemens. De las ecuaciones 5.12 y 5.18 se obtiene que:
(5.19)
Racionalizando,
(5.20)

107
Al igualar las partes reales e imaginarias entre sí, se obtiene como resultado que:
(5.21)
En donde se indica que como en los circuitos resistivos. Desde luego que
si se tendrá que .
5.3 COMBINACION DE IMPEDANCIAS
En la figura 5.2, en la cual se encuentran N impedancias conectadas en serie y
que a través de ellas se encuentra circulando una corriente . Se debe recordar
que el valor de la corriente para elementos conectados en serie es el mismo,
mientras que la tensión no lo es.
Figura 5.2. N impedancias en serie
Aplicando Ley de Tensiones de Kirchhoff (LTK) a través del lazo cerrado se tiene
que:
(5.22)

108
La expresión para la impedancia equivalente en los terminales de entrada es:
(5.23)
Entonces,
(5.24)
De lo anterior se concluye que la impedancia total o el equivalente de impedancias
conectadas en serie solo es la suma de cada una de las impedancias. Lo que es
similar a la conexión de resistencias en serie.
En la figura 5.3 se muestran dos impedancias en serie.
Figura 5.3. Divisor de tensión
Si N=2 como se muestra en la figura 5.3, la corriente que circula por las
impedancias se obtiene con la siguiente expresión:
(5.25)
Como y , entonces:
; (5.26)

109
Las ecuaciones del numeral 5.26 representan el cálculo de la tensión por medio
del divisor de tensión.
De la misma forma, se puede obtener la expresión para la impedancia o
admitancia equivalente de las N impedancias conectadas en paralelo, este modo
de conexión se encuentra ilustrado en la figura 5.4. Se debe recordar que la
tensión en cada impedancia es la misma en este tipo de conexión, mientras que la
corriente no lo es.
Figura 5.4. N impedancias en paralelo
Si se aplica la ley de corrientes de Kirchhoff (LCK) al nodo superior se tiene que:
(5.27)
La expresión para la impedancia equivalente es:
(5.28)
Y la expresión para la admitancia equivalente seria:
(5.29)

110
Lo que indica que el cálculo de una admitancia total o equivalente de un número
de admitancias conectadas en paralelo, solo es la suma de cada una de las
admitancias.
En la siguiente figura 5.5 se muestran dos impedancias en paralelo:
Figura 5.5. Divisor de corriente
Si N=2 como se muestra en la figura 5.5, la expresión de impedancia equivalente
se transforma en:
(5.30)
Debido a que:
(5.31)
La expresión para las corrientes en las impedancias es:
; (5.32)
Las ecuaciones del numeral 5.32 representan el cálculo de la corriente por medio
del divisor de corriente.

111
De igual manera las transformaciones delta (Δ) - estrella (Y) y estrella (Y) – delta
(Δ) son válidas para las impedancias como son para los circuitos resistivos. De la
siguiente figura 5.6 se obtiene todas las conversiones que son:
Figura 5.6. Redes (Y) y (Δ) adaptadas
 Conversión (Y) – (Δ)
(5.33)
 Conversión (Δ) – (Y)
(5.34)

112
Se entiende que un circuito delta o estrella están equilibrados si el valor de las
impedancias de sus tres ramas son iguales.
Cuando un circuito delta – estrella está equilibrado, las ecuaciones 5.33 y 5.34 se
expresan de la siguiente manera:
o (5.35)
Dónde: y .
A continuación se muestra una serie de ejercicios resueltos por medio de las
Leyes de Kirchhoff y también de combinación de impedancias.
Sección 5. Leyes de Kirchhoff
Ejercicio 5.1
Determinar la corriente en el circuito de la figura, siendo
Figura 5.7 (a). Circuito para el ejercicio 5.1

113
Solución
Elementos en el dominio de la frecuencia
Por lo tanto la corriente será:
Simulación
pasos que se siguieron fueron los siguientes:
operación de la fuente de tensión.
3. Se ingresó en la viñeta simular, se ubica el cursor sobre análisis y se
selecciona análisis de frecuencia única.
4. Se especifica la frecuencia de operación del circuito, en este caso es la
frecuencia a la que opera la fuente de tensión y se selecciona

114
Figura 5.7 (b). Circuito del ejercicio 5.1 simulado
Ejercicio 5.2
Determinar en el circuito de la figura, siendo

115
Solución
Se asigna a Z como la impedancia de la entrada a la fuente.

116
Simulación
pasos que se siguieron son los mismos que se utilizaron para el ejercicio 5.1.
En la simulación se puede observar que el resultado es completamente correcto y
que la solución manual está correcta.

117
Ejercicio 5.3
Hallar y en el circuito de la figura.
Solución
Elementos en el dominio de la frecuencia:
Por medio del divisor de corriente
Por lo tanto
La tensión en el capacitor se calcula de la siguiente manera:

118
Por lo tanto
Simulación
Por medio del software MULTISIM 11.0 se verificó el resultado de la corriente y la
tensión, los pasos que se siguieron fueron los mismos que en los ejercicios
anteriores.

119
Ejercicio 5.4
Hallar y en el circuito de la figura.
Solución
Por lo tanto
Por medio del divisor de tensión se tiene que:
Por lo tanto

120
Simulación
Por medio del software MULTISIM 11.0 se verificó el resultado de la corriente y la
tensión, los pasos que se siguieron fueron los mismos que en los ejercicios
anteriores.

121
Ejercicio 5.5
Calcular en el circuito de la figura.
Solución
El paralelo entre R y C es:
Por medio del divisor de tensión se tiene que:
Por lo tanto

122
Simulación
Por medio del software MULTISIM 11.0 se verificó el resultado de la tensión, los
pasos que se siguieron fueron los mismos que en los ejercicios anteriores.

123
Sección 5.1. Impedancias y admitancias
Ejercicio 5.6
Para , hallar la impedancia de entrada del circuito de la siguiente
figura.
Solución
El circuito queda de la siguiente manera:

124
Figura 5.12 (b). Circuito en el dominio de la frecuencia
Ahora se realiza el paralelo entre R y L:
El circuito queda:
Figura 5.12 (c). Circuito equivalente
Como todos los elementos están en serie la impedancia de entrada es igual a
la suma de todos los elementos como se muestra a continuación.

125
Simulación
Mediante el software MULTISIM 11.0 se verificó el resultado de la impedancia de
entrada del circuito.
Figura 5.12 (d). Circuito del ejercicio 5.6 simulado

126
Ejercicio 5.7
Para obtener la admitancia de entrada para el circuito de la siguiente
figura.
Solución
El circuito queda de la siguiente forma.

127
La se obtiene de la siguiente manera:
Ahora
Simulación
entrada del circuito y con ésta se verifico la admitancia.
Figura 5.13 (c). Circuito del ejercicio 5.7 simulado

128
Ejercicio 5.8
Hallar en el circuito de la figura.
Solución
Como todas las impedancias están en paralelo se tiene que:

129
Simulación

130
Ejercicio 5.9
Hallar en el circuito de la figura siendo .
Solución
El circuito en el dominio de la frecuencia queda de la siguiente manera:

131
Para el cálculo se añade una fuente de corriente de 1 A en la entrada del circuito.

132
Simulación

133
Ejercicio 5.10
Hallar el valor de en el circuito de la figura.
Solución
Primero se reemplazará la conexión en estrella compuesta por R2, R3 y L1 por
una delta compuesta por Z1, Z2 yZ3.
El circuito resultante queda de la siguiente manera:

134
Figura 5.16 (b). Circuito resultante
Ahora lo que se debe realizar es combinación de impedancias:
Por lo tanto:
( + )

135
Simulación

136
CAPÍTULO 6. ANALISIS SENOIDAL EN ESTADO ESTABLE
Con los temas tratados previamente, el objetivo de este capítulo es abordar la
solución de circuitos de corriente alterna senoidal por diferentes métodos como:
Análisis Nodal, Análisis de Malla, Teorema de Thévenin y Norton, Superposición y
Transformaciones de Fuente.
Los pasos a seguir para el análisis de circuitos CA son:
1. Transformar el circuito al dominio fasorial o de frecuencia.
2. Resolver el circuito utilizando cualquiera de los métodos de solución
(Análisis Nodal, Análisis de Malla, Superposición, etc.)
3. Transformar el fasor resultante al dominio del tiempo.
El paso 1 puede ser omitido siempre y cuando el problema sea especificado en el
dominio de la frecuencia.
6.1 ANALISIS NODAL
La Ley de Corrientes de Kirchhoff (LCK) es la base para el análisis nodal. Ya que
para el manejo de fasores esta ley es completamente válida como se demostró
anteriormente. A continuación se muestran algunos ejemplos para la solución de
circuitos de corriente alterna por medio del Análisis Nodal
El análisis de circuitos de corriente alterna en el dominio de la frecuencia sigue el
mismo procedimiento que el utilizado en los circuitos resistivos, sin embargo se
emplean impedancias y fasores en lugar de resistencias y funciones en el tiempo.
De la misma manera la Ley de Ohm puede usarse en el domino de la frecuencia,
se emplea la relación para los elementos pasivos y se utilizan las técnicas
de tensiones de nodo y de corrientes de malla.
Los métodos generales de análisis de nodos se pueden utilizar aquí teniendo
cuidado de no olvidar que se emplean impedancias y admitancias complejas y
tensiones y corrientes fasoriales. Una vez determinadas las corrientes y tensiones
fasoriales se transforman de nuevo al dominio del tiempo para obtener las
corrientes y tensiones senoidales de estado estable que se buscan.

137
Procedimiento para el Análisis de Nodos:
1) Convertir las fuentes independientes a la forma fasorial
2) Identifique los nodos y seleccione el nodo de referencia, designe las
tensiones de nodo en el dominio del tiempo Va, y las tensiones fasoriales
correspondientes VA.
3) Si el circuito sólo contiene fuentes independientes de corriente prosiga al
paso 5, de no ser así prosiga al paso 4.
4) Si el circuito contiene una fuente de tensión seleccione uno de los casos
siguientes y el método a asociado.
Tabla 6.1. Casos y métodos asociados al Análisis Nodal
Casos Método
La fuente de tensión conecta al nodo
de referencia.
Hacer y continuar
La fuente de tensión se encuentra
entre dos nodos.
Crear un supernodo incluyendo ambos
nodos
5) Usando la frecuencia de las fuentes, determine la impedancia de cada
elemento del circuito.
6) Halle la admitancia equivalente, de cada rama en el nodo dado.
7) Aplique la LCK en cada nodo.
8) Despeje la tensión del nodo deseado, usando la regla de Crámer.
9) Convierta la tensión fasorial a la forma del dominio temporal.
A continuación se muestran algunos ejercicios para la solución de circuitos de
corriente alterna senoidal por medio del Análisis Nodal.

138
Ejercicio 6.1
Usando análisis nodal, encuentre en el circuito de la figura.
Figura 6.1 (a). Circuito del ejercicio 6.1
Solución
Redibujando el circuito de la figura 6.1 (a) y enumerando sus nodos queda:
Figura 6.1 (b). Circuito redibujado
Realizando el análisis en el nodo V1.
Simplificando.
(1)

139
Realizando el análisis en el nodo V2.
Simplificando.
(2)
Resolviendo el sistema de ecuaciones (1) y (2) se obtiene:
Del circuito de la figura 6.1 (b) se tiene que:
Simulación
Mediante el software MULTISIM 11.0 se comprobó el valor de la corriente . Los
pasos realizados para la simulación son los siguientes:
operación de las fuentes, que en este caso es de 0,159 Hz.
3. El dispositivo de la impedancia se encuentra en la viñeta básico en la
familia Z load.
4. Se ingresó en la viñeta simular, se ubicó el cursor sobre análisis y se
seleccionó análisis de frecuencia única.
5. Se especifica la frecuencia de operación del circuito y se selecciona

140
Ejercicio 6.2
Encuentre en el circuito de la figura usando el método de Análisis Nodal.
Figura 6.2 (a).Circuito del ejercicio 6.2

141
Solución
Redibujando el circuito de la figura 6.1 y enumerando sus nodos queda:
Figura 6.2 (b).Circuito redibujado
Analizando el nodo V1:
Simplificando
(1)

142
Simplificando:
(2)
Resolviendo el sistema de ecuaciones (1) y (2) se tiene:
Del circuito de la figura 6.2 (b) se puede deducir que:
Simulación
operación de las fuentes, que en este caso es de 0,159 Hz.
familia Z load.

143
Figura 6.2 (c).Circuito del ejercicio 6.2 simulado
Ejercicio 6.3
Usando el método de Análisis Nodal encuentre V1 y V2 para el circuito de la figura.

144
Transformando los elementos al dominio de la frecuencia se tiene:
Redibujando el circuito en el dominio de la frecuencia:
Analizando el nodo 1 se tiene:
Simplificando:
(1)
Analizando el nodo 2:

145
Simplificando:
(2)
Resolviendo el sistema de ecuaciones (1) y (2) se obtienen los siguientes valores:
En el dominio del tiempo se tiene que:
Simulación
Mediante el software MULTISIM 11.0 se comprobó el valor de las tensiones y
.Los pasos realizados para la simulación son los siguientes:
operación de la fuente de corriente, que en este caso es de 0,318 Hz.
3. La fuente dependiente de tensión lógicamente se conecta en paralelo a la
tensión de la que depende.

146
Ejercicio 6.4
Usando análisis nodal encontrar la corriente en el circuito de la figura, si
.

147
Simplificando:
(1)
Simplificando
(2)
Se obtiene de la siguiente manera:

148
Simulación
3. La fuente de corriente dependiente de corriente se conecta en serie al par
de puntos por donde circula la corriente de la que depende.

149
Ejercicio 6.5
Use el método de Análisis Nodal para determinar (Vo) en el circuito de la figura.
Solución
Transformando los elementos del circuito al dominio de la frecuencia se tiene:

150
Simplificando:
(1)
Reemplazando Io y simplificando se obtiene:
(2)
Por medio del divisor de tensión se obtiene V0.

151
En función del tiempo se tiene que:
Simulación
Mediante el software MULTISIM 11.0 se comprobó el valor de la tensión . Los
operación de la fuente de tensión, que en este caso es de 159,15 Hz.

152
Ejercicio 6.6
Calcule y en el circuito de la figura.

153
Solución
Redibujando el circuito se tiene:
Analizando la fuente de tensión se tiene que:
(1)
Analizando el supernodo de y se tiene:
(2)
Resolviendo el sistema de ecuaciones se obtienen los siguientes valores:

154
Simulación
Mediante el software MULTISIM 11.0 se comprobó el valor de las tensiones y
. Los pasos realizados para la simulación son los siguientes:
operación de las fuentes de tensión, que en este caso es de 0,159 Hz.
familia Z load.

155
Ejercicio 6.7
Usando el método de Análisis Nodal, encontrar Io en el circuito de la figura.
Solución
Transformando los elementos del circuito al dominio de la frecuencia:

156
Por lo tanto:
Reemplazando Io y simplificando se obtiene:
(1)

157
(2)
El valor de I0 se obtiene con la siguiente expresión:
En función del tiempo se tiene que:
Simulación
Mediante el software MULTISIM 11.0 se comprobó el valor de la corriente .Los

158
Ejercicio 6.8
Obtener Vo en el circuito de la figura usando Análisis Nodal.

159
Solución
Redibujando el circuito se tiene:
Analizando la fuente de tensión:
(1)
Analizando el supernodo de V1 y V2:
(2)

160
Si
Reemplazando Vo y simplificando se tiene:
(3)
Resolviendo el sistema de ecuaciones (1), (2) y (3) obtenemos los siguientes
valores:
De acuerdo con la figura 6.8 (b):
Entonces:
Simulación
Mediante el software MULTISIM 11.0 se comprobó el valor de la tensión .Los
3. La fuente de corriente dependiente de tensión se conecta en paralelo al par
de puntos de la tensión que depende.

161
4. La impedancia se encuentra la viñeta básico y se selecciona z load en la
familia.

162
6.2 ANÁLISIS DE MALLA
El método de Corrientes de Malla también se puede usar para analizar circuitos en
el dominio de la frecuencia. Los procedimientos empleados en el dominio de la
frecuencia son iguales a los utilizados para analizar circuitos resistivos.
A continuación se muestran algunos ejercicios para la solución de circuitos de
corriente alterna senoidal por medio del Análisis de Malla.
Ejercicio 6.9
Use el Análisis de Mallas para determinar la corriente en el circuito de la figura.
Solución
Aplicando LTK en la malla 1 se obtiene:
(1)

163
(2)
(3)
Resolviendo el sistema de ecuaciones (1), (2) y (3) se obtienen los siguientes
valores:
El valor de Io es igual al de la corriente de malla I2:
Simulación
operación de las fuentes de tensión, que en este caso es de 0,159 Hz.
3. Se debe aclarar que durante la simulación es necesario colocar una
resistencia de un valor muy pequeño, debido a que el software no calcula
el valor de la corriente que atraviesa la impedancia Z, pero si por cualquier
otro elemento.

164

165
Ejercicio 6.10
Calcule Vo en el circuito de la figura usando el método de Análisis de Mallas.
Solución
Analizando el circuito se puede afirmar que:

166
Para encontrar el valor de la tensión Vo se deduce la siguiente ecuación.
Simulación
operación de las fuentes de tensión y corriente, que en este caso es de
0,159 Hz.
3. Para ingresar una impedancia basta con dar clic en la viñeta básico y en la
familia seleccionar Z load.

167
Ejercicio 6.11
Usando Análisis de Mallas obtenga el valor de Io en el circuito mostrado en la
figura.

168
Solución
Redibujando el circuito de la figura 6.11 (a), se tiene:
Figura 6.11 (b). Circuito del ejercicio 6.11 redibujado
Las fuentes de corriente suministran las siguientes ecuaciones:
(1)
Aplicando LVK en la malla 2 se obtiene:
(2)
Aplicando LVK en la supermalla se obtiene:

169
(3)
Resolviendo el sistema de ecuaciones (1), (2) y (3) se obtienen los siguientes
valores:
Con el fin de hallar el valor de I0, se deduce su ecuación del circuito de la figura
6.11 (b).
Simulación
operación de las fuentes de tensión y de corriente, que en este caso es de
0,159 Hz.

170

171
Ejercicio 6.12
Determine Vo e Io en el circuito de la figura usando el método de Análisis de
Mallas.
Solución
Analizando el circuito se puede determinar que:
Aplicando LVK para la malla 2 se obtiene:
Aplicando LVK para la malla 3 se obtiene:

172
De la figura 6.12se puede deducir la ecuación correspondiente a Vo:
De igual forma se puede determinar cuál es el valor correspondiente a I0:
Simulación
Mediante el software MULTISIM 11.0 se comprobaron los valores de e . Los
operación de las fuentes de tensión y de corriente, que en este caso es de
0,159 Hz.
4. Se debe aclarar que durante la simulación es necesario colocar una
resistencia de un valor muy pequeño, debido a que el software no calcula el
valor de la corriente que atraviesa por la impedancia Z, pero si por cualquier
otro elemento.

173

174
Ejercicio 6.13
Encuentre Io en el circuito de la figura usando el método de Análisis de Malla.
Solución
Redibujando el circuito de la figura 6.13 (a) se tiene:
Figura 6.13 (b). Circuito del ejercicio 6.13 redibujado

175
La fuente de corriente suministra la siguiente ecuación:
(1)
Aplicando LTK para la malla 1 se obtiene:
(2)
Aplicando LTK para la supermalla:
(3)
Resolviendo el sistema de ecuaciones (1), (2) y (3) obtenemos los siguientes
valores:
De la figura del circuito es fácil deducir la ecuación de la corriente , entonces
tenemos:
Simulación

176
operación de la fuente de tensión y de corriente, que en este caso es de
0,159 Hz.

177
6.3 TEOREMA DE SUPERPOSICIÓN
El teorema parte de la idea de que el efecto que tienen dos o más fuentes de
tensión sobre una resistencia es igual a la suma de cada uno de los efectos de
cada fuente por separado en el dominio del tiempo. Este teorema es muy
importante para circuitos que tienen varias fuentes de tensión que operan a
diferentes frecuencias y puede ser utilizado de la misma manera en los circuitos
de CA como en los circuitos de DC.
El análisis se hace para cada fuente por separado, lo que indica que se deben
eliminar las demás fuentes independientes. El término “eliminar las fuentes” se
asocia a que se deben igualar a cero, de acuerdo con esto, la diferencia de
potencial entre los terminales de la fuente debe ser igual a cero y se logra
reemplazando las fuentes por un cortocircuito o circuito abierto como se muestra
en las siguientes figuras.
Figura 6.14. Fuente de tensión igual a cero
Del mismo modo, eliminar una fuente independiente de corriente, es decir, que
sobre los terminales pasa una corriente igual a cero, esto se logra reemplazando
la fuente de corriente independiente por un circuito abierto como se muestra en la
siguiente figura.

178
Figura 6.15. Fuente de corriente igual a cero
De acuerdo al principio del teorema de Superposición, se muestran una serie de
ejercicios resueltos a través de este teorema
Ejercicio 6.14
Encuentre en el circuito de la figura usando el teorema de Superposición.

179
Solución
Debido a que en el circuito se encuentran dos fuentes de tensión operando a
diferentes frecuencias, es necesario resolver el circuito seleccionando cada una de
ellas por aparte.
Antes de seleccionar las fuentes se asume que , donde se debe
a la fuente de tensión de 8V e a la fuente AC.
 Para la corriente se tiene el circuito de la siguiente figura:
Figura 6.16 (b). Circuito solo con la fuente de 8V
En el circuito anterior se muestra el resultado después de haber tomado como
referencia la fuente DC, el cual se obtuvo realizando los siguientes pasos:
 Se igualo la fuente de tensión AC a cero.
 El inductor en estado estable se representa como un cortocircuito.
Claramente se tiene que:

180
 Para , se considera el circuito de la siguiente figura:
Figura 6.16 (c). Circuito solo con la fuente AC en el dominio de la frecuencia
El circuito anterior se obtuvo realizando los siguientes pasos:
 Se igualó la fuente DC a cero.
 Se transformó el circuito al dominio de la frecuencia:
Al transformar la fuente de tensión en serie con la resistencia de 4Ω por una
fuente de corriente en paralelo con la resistencia se tiene:
Figura 6.16 (d). Circuito resultante de la transformación de fuente
Realizando el paralelo entre las resistencias de 4Ω y 2Ω se tiene:

181
Por divisor de corriente se obtiene a :
En el dominio del tiempo:
Simulación 1
Mediante el software MULTISIM 11.0 se comprobó el valor de la corriente .
Figura 6.16 (e). Circuito de la figura 6.16 (b) simulado
Simulación 2

182
Mediante el software MULTISIM 11.0 se comprobó el valor de . Los pasos
realizados para la simulación en AC son los siguientes:
2. Se digitó los valores de los dispositivos y se especificó la frecuencia de
4. Se especificó la frecuencia de operación del circuito y se selecciona
5. En la viñeta de salida se seleccionó la variable a medir, se dio clic en
Figura 6.16 (f). Circuito de la figura 6.16 (c) simulado
Sumando los dos valores en el dominio del tiempo se obtiene el valor de
calculado matemáticamente.
Ejercicio 6.15

183
Usar el teorema de Superposición para calcular Vx en el circuito de la figura.
Solución
Debido a que el circuito tiene dos fuentes que operan a diferentes frecuencias, se
debe tomar un circuito diferente para cada una de ellas de tal forma que:
Al tomar la fuente de tensión de 6V y asumir que se debe a ésta y al aplicar el
concepto de que en estado estable el capacitor se representa como un circuito
abierto se tiene:
Figura 6.17 (b). Circuito resultante para la fuente DC de 6V.
Por medio del divisor de tensión:

184
 Para la segunda fuente , se convierten los elementos
al dominio de la frecuencia y se asigna para obtener a VX2.
Figura 6.17 (c). Circuito resultante para la fuente AC.
Al realizar el paralelo entre R1 y C1 se obtiene:
Aplicando el divisor de tensión:
Por lo tanto, en el dominio del tiempo:
Simulación 1

185
Mediante el software MULTISIM 11.0 se comprobó el valor de la tensión .
Figura 6.17 (d). Circuito de la figura 6.17 (b) simulado
Simulación 2
Mediante el software MULTISIM 11.0 se comprobó el valor de VX2. Los pasos
4. Se especificó la frecuencia de operación del circuito y se seleccionó
Figura 6.17 (d). Circuito de la figura 6.17 (c) simulado

186
Sumando los dos valores en el dominio del tiempo se obtiene el valor de
calculado matemáticamente.
Ejercicio 6.16
En el circuito de la figura, calcule usando el teorema de Superposición donde
e .

187
Solución
Como el circuito posee dos fuentes que operan a diferentes frecuencias se
determina que , donde e son generadas por y
respectivamente.
 Al transformar los elementos al dominio de la frecuencia tomando la fuente
se tiene:
El circuito para la primera fuente se muestra en la siguiente figura:
Figura 6.18 (b). Circuito resultante tomando la fuente de corriente
De esta manera:
Por lo tanto:

188
 Para se toma la fuente de tensión y se transforman los elementos al
dominio de la frecuencia:
El circuito para la segunda fuente se muestra en la siguiente figura:
Figura 6.18 (c). Circuito resultante tomando la fuente de tensión
De esta manera:
Por lo tanto:
Finalmente:

189
Simulación 1
pasos realizados para la simulación en AC son los siguientes:

190
Simulación 2
Mediante el software MULTISIM 11.0 se comprobó el valor de VX2. Los pasos
Figura 6.18 (e). Circuito de la figura 6.18 (c) simulado
Sumando ambos resultados en el dominio del tiempo se obtiene Vx.

191
Ejercicio 6.17
En el circuito de la figura determine por Superposición.
Solución
Se observa que el circuito posee dos fuentes operando a la misma frecuencia,
pero para sumar dos senoides de la misma frecuencia se procede a llevar la onda
seno de la fuente de tensión a coseno. Este proceso se realiza de la siguiente
manera:
Al poseer el circuito dos fuentes se determina que , donde es
generada por la fuente de tensión e es generada por la fuente de corriente.
Para la corriente de se transforman los elementos al dominio de la frecuencia:

192
 Para , se considera el circuito de la siguiente figura:
Figura 6.19 (b). Circuito equivalente tomando la fuente de tensión
La inserción de se realiza para evitar hacer una transformación de fuente, ya
que el procedimiento sería más.
El paralelo entre L1 y C1:
Luego se calcula :
Ahora usando el divisor de corriente:

193
 Para , se tomó la fuente de corriente y se consideró el circuito de la
siguiente figura:
Figura 6.19 (c). Circuito equivalente tomando la fuente de corriente
El paralelo entre R1 y C1:
Usando el divisor de corriente:
Por lo tanto:
De esta manera:

194
Simulación 1

195
Simulación 2
Figura 6.19 (e). Circuito de la figura 6.19 (c) simulado
Sumando ambos resultados en el dominio del tiempo se obtiene .

196
Ejercicio 6.18
Determinar en el circuito de la figura usando Superposición.
Solución
 Se determina que , donde son relacionadas
respectivamente a la fuente DC de 24V, la fuente de voltaje AC y la fuente
de corriente AC.
 Para , considérese el circuito de la figura (a):
Figura 6.20 (b). Circuito resultante tomando la fuente de tensión DC
En estado estable el capacitor representa es un circuito abierto y la inductancia
representa un cortocircuito, por lo tanto:

197
 Para considérese el circuito de la figura 6.20(c):
Figura 6.20 (c). Circuito resultante tomando la fuente de tensión AC.
Para la malla 1:
Simplificando:
(1)
Para la malla 2:
Simplificando:
(2)
Sustituyendo (2) en (1), se tiene:

198
Por lo tanto:
 Para considérese el circuito de la figura 6.20 (d):
Figura 6.20 (d). Circuito equivalente tomando la fuente de corriente
Al realizar el paralelo entre R2 y (R1+C1) se tiene:
Por lo tanto:
Finalmente:

199
Simulación 1
Simulación 2

200
Simulación 3

201
Figura 6.20 (g). Circuito de la figura 6.20 (d) simulado
Sumando los tres resultados en el dominio del tiempo se obtiene .
Ejercicio 6.19
Encuentre en el circuito de la figura usando Superposición

202
Solución
Basándose en la figura 6.21 (a), se debe contar con un circuito para cada
frecuencia, de esta manera se asume que , donde es
debido a la fuente de tensión AC, es debido a la fuente de tensión DC y es
debido a la fuente de corriente.
 Para se considera el circuito de la figura 6.21 (b):
Figura 6.21 (b). Circuito equivalente tomando la fuente de tensión
Al realizar el paralelo entre las resistencias de 80Ω y (100Ω+60Ω) queda:
El cálculo de esta corriente se hizo para hallar a por medio de un divisor de
corriente y no por transformación de fuentes que sería un procedimiento más
largo.

203
Por lo tanto:
 Para , se tomó la fuente de tensión DC de 24V y se consideró el circuito
de la figura 6.21 (c):
Figura 6.21 (c). Circuito equivalente tomando la fuente de tensión DC de 24V
Así:
 Para , se tomó la fuente de corriente y se consideró el circuito de la
figura 6.21 (d):

204
Figura 6.21 (d). Circuito equivalente tomando la fuente de corriente
Para la malla 1:
(1)
Para la malla 2:
(2)
Para la malla 3:
=0 (3)
Simplificando y sustituyendo la ecuación (1) en (2), se tiene:
(4)
Simplificando y sustituyendo (1) en (3), se tiene:
(5)
Sustituyendo (5) en (4) se tiene:
(6)
Simplificando:

205
Analizando el sentido de las corrientes del circuito se concluye que:
Por lo tanto, en el dominio del tiempo es:
Finalmente:
Simulación 1

206
Para asemejar al resultado encontrado manualmente solo basta con sumar 180° al
valor del ángulo de fase.

207
Simulación 2
Simulación
2. Se digitó los valores de los dispositivos y se especificó la frecuencia de

208
Figura 6.21 (g). Circuito de la figura 6.21 (d) simulado
La suma de los tres resultados en el dominio del tiempo es igual a la solución
propuesta manualmente.

209
6.4 TRANSFORMACIONES DE FUENTES
El objetivo principal para utilizar el método de transformaciones de fuentes,
consiste en terminar con todas las fuentes de tensión o con todas las fuentes de
corriente en el circuito final, siempre y cuando esto sea posible. Este método será
válido si la aplicación del teorema al circuito nos conlleva a una solución más
sencilla.
Antes de solucionar algún circuito por medio de la transformación de fuentes, se
debe tener claro su concepto, el cual se basa en la transformación de una clase de
fuente en el dominio de la frecuencia por otra, conservando las características de
la fuente original. Lo que indica que se puede transformar una fuente de tensión
en serie con una impedancia por una fuente de corriente en paralelo con la misma
impedancia; esta transformación también se puede realizar en sentido inverso,
transformar una fuente de corriente en paralelo con una impedancia a una fuente
de tensión en serie con la impedancia. Para esto se debe tener en cuenta la
siguiente relación:
(6.1)
A continuación se muestra los circuitos equivalentes según la teoría de la
transformación de fuentes, con su respectiva nomenclatura en el dominio de la
frecuencia
Figura 6.22. Transformación de fuentes

210
Existen unas series de observaciones específicas en cuanto a transformaciones
de fuentes.
 Primero, antes de transformar una fuente de tensión, es indispensable
asegurarse de que la fuente está, en realidad, en serie con la resistencia en
consideración. Este primer caso se muestra en el circuito de la figura 6.23.
Este circuito es completamente válido para realizar una transformación de
fuente en la fuente de tensión, utilizando la resistencia de 20 Ω debido a
que están en serie. Pero el error se presenta al querer realizar la
transformación de fuente utilizando la fuente de 60 V y la resistencia de 30
Ω, lo cual es un error muy común.
 De la misma manera, cuando se va a transformar una combinación de
fuente de corriente y resistencia, se debe asegurar que si estén en paralelo.
Tomando la fuente de corriente que se muestra en la figura 6.24, está claro
que se puede realizar una transformación de fuente que incluya la
resistencia de 3 Ω debido a que se encuentra en paralelo, pero después de
la transformación, se puede generar una confusión al decidir el lugar de
ubicación de la resistencia. Para evitar estos inconvenientes es de mucha
ayuda redibujar el circuito tomando primero los componentes a transformar,
como se indica en la figura 6.25. Después de realizar la transformación la
fuente de tensión en serie con la resistencia se dibujan correctamente como
se muestra en la figura 6.26.
Figura 6.23. Circuito ejemplo para transformaciones de fuentes

211
Figura 6.24. Circuito ejemplo para la transformación de la fuente de corriente
Figura 6.25. Circuito anterior redibujado
Figura 6.26. Circuito resultante
Comprendida la teoría de transformación de fuentes se procede a explicar su
aplicación con algunos ejercicios prácticos:

212
Ejercicio 6.20
Use el método de Transformación de Fuentes para encontrar en el circuito de la
figura.
Se transforma la fuente de tensión en serie con la resistencia de 2Ω y la
inductancia de j4Ω, por una fuente de corriente en paralelo con la misma
resistencia e inductancia.
El nuevo circuito se muestra en la siguiente figura:

213
De esta manera:
Con los cálculos de y , se transformó la fuente de corriente ubicada en el
lado izquierdo del circuito por una fuente de tensión, lo cual se muestra en el
siguiente circuito:
Figura 6.27 (c). Circuito resultante
Así:
Con esto, se transformó la fuente de tensión VS de la figura (c) por una fuente de
corriente, como lo indica el circuito de la figura (d).

214
Figura 6.27 (d). Circuito resultante
Usando divisor de corriente:
Simulación
0,159 Hz.

215
Figura 6.27 (e). Circuito del ejercicio 6.20 simulado
Ejercicio 6.21
Usando Transformaciones de Fuentes, encontrar en el circuito de la figura.
Figura 6.28 (a).Circuito para el ejercicio 6.21

216
Solución
Transformando los elementos al dominio de la frecuencia:
A continuación se transforma la fuente de corriente en paralelo con R1 por una
fuente de tensión en serie con R1
Figura 6.28 (b). Circuito transformado y en el dominio de la frecuencia
La corriente se calcula de la siguiente manera:
Expresando la corriente en el dominio del tiempo es:

217
Simulación
Figura 6.28 (c). Circuito de la figura 6.28 (a) simulado

218
Ejercicio 6.22
Usando Transformación de Fuentes encontrar V0 en el circuito de la figura.
Transformando los elementos al dominio de la frecuencia:
Transformando la fuente de tensión en serie con R1 por una fuente de corriente en
paralelo con R1 se tiene:
Después de transformar la fuente de tensión se muestra el circuito en la siguiente
figura en el dominio de la frecuencia.

219
Figura 6.29 (b). Circuito transformado y en el dominio de la frecuencia
Ahora se realiza el paralelo entre la resistencia de y el capacitor:
Después se transforma la fuente de corriente en paralelo con Z por una fuente de
tensión en serie con Z:

220
El circuito se muestra en la siguiente figura:
Figura 6.29 (d). Circuito equivalente
Por divisor de tensión:
Por lo tanto:
Simulación
operación de la fuente de tensión, que en este caso es de 15,915KHz.

221
Figura 6.29 (e). Circuito de la figura 6.29 (a) simulado
Ejercicio 6.23
Utilice el concepto de Transformación de Fuentes para encontrar V0 en el circuito
de la figura.
Se transforma la fuente de tensión por una fuente de corriente con la siguiente
relación y se obtiene el circuito de la figura 6.30 (b):

222
Ahora se define ZS como el paralelo entre la resistencia de 4Ω y la inductancia j2Ω:
Con la siguiente relación se transforma la fuente de corriente IS a una fuente de
tensión denominada VS y se muestra el circuito en la figura 6.30 (c):
Figura 6.30 (c). Circuito resultante
Ahora ZX es la suma de ZS y –j3Ω por estar en serie y queda:
Con la siguiente relación se transforma la fuente de tensión VS en una fuente de
corriente IX como se muestra en la figura 6.30 (d):

223
Figura 6.30 (d). Circuito resultante
Ahora ZY es el paralelo entre ZX y la resistencia de 2Ω:
Con la siguiente relación se transforma la fuente de corriente IX a una fuente de
tensión denominada VY y se muestra el circuito en la figura 6.30 (e):
Figura 6.30 (e). Circuito equivalente

224
Simulación
Figura 6.30 (f). Circuito de la figura 6.30 (a) simulado

225
Ejercicio 6.24
Encontrar V en el circuito de la figura por transformaciones de fuentes.
Realizando el paralelo entre la resistencia de 50Ω y el capacitor:
Con la siguiente relación se transforma la fuente de corriente a una fuente de
tensión denominada VY y el circuito se muestra en la figura 6.31 (b):
Aplicando LTK sobre todo el circuito se tiene:

226
Ahora se calcula I como:
Aplicando LTK sobre el circuito interno con V se tiene:
Despejando V queda:
Simulación
0,159 Hz.

227
Figura 6.31 (c). Circuito de la figura 6.31 (a) simulado

228
6.5 CIRCUITOS EQUIVALENTES DE THÉVENIN Y NORTON
La aplicación de los teoremas de Thévenin y Norton en circuitos que se
encuentran en el dominio de la frecuencia se realiza de la misma manera que en
circuitos de cd. La única diferencia es el manejo de números complejos al realizar
los cálculos; la representación gráfica del circuito equivalente de Thévenin en el
dominio de la frecuencia se hace a través de la figura 6.32 (a), donde se determina
que, un circuito lineal se representa por medio de una fuente de tensión en serie
con una impedancia. En la figura 6.32 (b), se muestra el circuito equivalente de
Norton en el dominio de la frecuencia, donde se muestra que un circuito lineal se
representa por medio de una fuente de corriente en paralelo con una impedancia.
Figura 6.32. a) Equivalente de Thévenin. b) Equivalente de Norton

229
La relación entre estos dos circuitos equivalentes es de la siguiente manera:
(6.2)
De la misma manera que en transformación de fuentes Vth representa la tensión
de circuito abierto, mientras que IN representa la corriente en cortocircuito.
Si un circuito posee varias fuentes de tensión que operan a diferentes frecuencias,
el circuito equivalente de Thévenin o de Norton debe determinarse para cada
frecuencia. Esto conduce a circuitos equivalentes completamente diferentes, uno
para cada frecuencia y no a un circuito equivalente con fuentes e impedancias
equivalentes.
A continuación se muestran una serie de ejercicios que ayudaran a comprender
más la utilización de estos métodos.
Ejercicio 6.25
Encontrar los circuitos equivalentes de Thévenin y Norton en los terminales a-b
para cada uno de los siguientes circuitos.
Figura 6.33 (a). Circuito para el primer ejercicio

230
Figura 6.34 (a). Circuito para el segundo ejercicio
Solución para el circuito de la figura 6.33 (a).
Para hallar Zth Considerar el circuito de la figura 6.33 (b):
Figura 6.33 (b). Circuito para hallar Zth

231
Para encontrar Vth considerar el circuito de la figura 6.33 (c)
Figura 6.33 (c). Circuito para hallar Vth
Aplicando el divisor de tensión:
Simulación
Mediante el software MULTISIM 11.0 se comprobó el valor de la tensión y ZN.
Los pasos realizados para la simulación en AC son los siguientes:
3. Entre los terminales a y b se conectó una resistencia de un valor muy alto
con el fin de hallar la tensión entra a y b. Esto es necesario ya que el
software utiliza el método de nodos para realizar los cálculos, de modo que
si ésta no se coloca la tensión seria cero por estar conectado a tierra.

232
Figura 6.33 (d). Circuito de la figura 6.33 (a) simulado

233
Figura 6.33 (e). Circuito simulado para hallar ZN

234
Solución en relación con el circuito de la figura 6.34 (a).
Para encontrar Vth considerar el circuito de la figura 6.34 (c):
Por divisor de corriente:

235
Simulación
3. Entre los terminales a y b se conectó una resistencia de un valor muy alto
con el fin de hallar la tensión entre a y b. Esto es necesario ya que el
software utiliza el método de nodos para realizar los cálculos, de modo que
si ésta no se coloca la tensión seria cero por estar conectado a tierra.
Figura 6.34 (d). Circuito simulado para hallar VTh

236
Figura 6.34 (e). Circuito simulado para hallar Zth

237
Ejercicio 6.26
Para cada uno de los circuitos de la figura, obtener los circuitos equivalentes de
Thévenin y Norton en los terminales a-b.
Figura 6.35 (a). Circuito para el primer ejercicio
Figura 6.36 (a). Circuito para el segundo ejercicio
Figura 6.35 (b). Circuito para el cálculo de Zth

238
Realizando un corto circuito en los terminales a-b tenemos que:
Simulación
pasos realizados para la simulación son los mismos que en los ejercicios
anteriores.
Figura 6.35 (c). Circuito simulado para hallar Vth

239
Figura 6.35 (d). Circuito simulado para hallar Zth

240
Para hallar Zth Considerar el circuito de la figura 6.36 (b).
Realizando el paralelo entre la resistencia de 30Ω y la de 60Ω:
Para encontrar Vth e IN se transforma la fuente de tensión por una de corriente y se
coloca con el resultado del paralelo entre las resistencias de 30Ω y la de 60Ω. El
circuito resultante se muestra en la figura 6.36(c):
Figura 6.36 (c). Circuito para hallar IN

241
Por divisor de corriente:
Simulación
pasos para la simulación son los mismos que en los ejercicios anteriores
Figura 6.36 (d). Circuito simulado para hallar Vth

242

243
Ejercicio 6.27
Encontrar los equivalentes de Thévenin y Norton para el circuito mostrado en la
figura 6.37 (a).
Para hallar Zth considerar el circuito de la figura 6.37 (b)

244
Para hallar Vth considerar el circuito de la figura 6.37 (c).
Por divisor de tensión

245
Simulación
Mediante el software MULTISIM 11.0 se comprobó el valor de .
Figura 6.37 (d). Circuito simulado para halla Vth

246
Figura 6.37 (e). Circuito simulado para hallar Zth

247
Ejercicio 6.28
Para el circuito mostrado en la figura, encontrar el circuito equivalente de Norton
en los terminales a-b.
ZN es obtenida del circuito de la figura 6.38 (b).
Figura 6.38 (b). Circuito para hallar ZN

248
Para encontrar IN se considera el circuito de la figura (c).
Figura 6.38 (c). Circuito para calcular IN
Para la malla 1:
Así:
Para la malla 2:
Simplificando:

249
Así:
Simulación
Mediante el software MULTISIM 11.0 se comprobó el valor de , e IN.
Figura 6.38 (d). Circuito simulado para hallar Vth entre 1 y 2

250

251
Ejercicio 6.29
Encontrar I0 usando el teorema de Norton.
Pasar los elementos al dominio de la frecuencia:
Para hallar ZN considerar el circuito de la figura 6.39 (b):
Figura 6.39 (b). Circuito para hallar ZN

252
Para hallar IN considerar el circuito de la figura 6.39 (c)
Figura 6.39 (c). Circuito para hallar IN
El circuito equivalente de Norton se muestra en la figura 6.39 (d):
Figura 6.39 (d). Circuito equivalente de Norton
Por lo tanto:

253
Simulación
Mediante el software MULTISIM 11.0 se comprobó el valor de .
Figura 6.39 (e). Circuito simulado para hallar I0

254
CAPÍTULO 7. ANÁLISIS DE POTENCIA AC
INTRODUCCIÓN
La potencia eléctrica es la relación de paso de energía por unidad de tiempo; es
decir, la cantidad de energía entregada o absorbida por un elemento en un tiempo
determinado. La unidad en el Sistema Internacional de Unidades es el vatio (watt).
Una parte importante de los circuitos de corriente alterna senoidal es la
determinación de la potencia entregada o la potencia absorbida por los elementos
de un circuito. Por eso se iniciará tomando en cuenta que la potencia instantánea
es el producto de la tensión y la corriente, ambas en el dominio del tiempo que se
asocia con el elemento.
La energía consumida por un dispositivo eléctrico se mide en vatios-hora (W/h), o
en kilovatios-hora (kW/h). La potencia en vatios (W) o kilovatios (kW) de todos los
aparatos eléctricos debe figurar junto con la tensión de alimentación en una placa
metálica ubicada, generalmente, en la parte trasera de dichos equipos. En los
motores, esa placa se halla colocada en uno de sus costados y en el caso de las
bombillas de alumbrado el dato viene impreso en el cristal o en su base.
7.1 POTENCIA INSTANTÁNEA
La potencia instantánea que absorbe un elemento es el producto de la
tensión instantánea en los terminales del elemento y la corriente instantánea
atreves de él. La potencia instantánea puede determinarse como la potencia
absorbida por el elemento en un instante de tiempo, las cantidades instantáneas
se denotan con letras minúsculas. Utilizando el acuerdo de signos pasivos, la
potencia en cualquier instante de tiempo es:
(7.1)
Imaginémonos el caso general de la potencia instantánea, absorbida por una
combinación arbitraria de elementos de circuito de excitación senoidal con una
tensión:

255
Figura 7.1. Representación de un circuito para el cálculo de la potencia
La potencia instantánea se mide en vatios siempre y cuando la tensión este
descrita en voltios y la corriente en amperios. A continuación se muestran las
expresiones correspondientes para e :
(7.2)
(7.3)
Donde e son los valores pico, es el ángulo de fase de la tensión y es
el ángulo de fase de la corriente. Con base en esto se puede decir que la potencia
absorbida para este circuito será:
(7.4)
Si se aplica la siguiente identidad trigonométrica:
(7.5)
La ecuación 7.4 podrá ser expresada de la siguiente manera:
(7.6)
De esta manera se concluye que la potencia instantánea tiene dos partes. La
primera parte es constante o independiente del tiempo, su valor depende

256
principalmente de la diferencia de fase entre la tensión y la corriente, la segunda
parte es la senoidal cuya frecuencia es , obsérvese que es el doble de la
frecuencia angular de la tensión o la corriente.
Si se quisiera una gráfica de de la expresión 7.6, sería la figura 7.2, donde
lo que se denomina el periodo de la tensión o la corriente. También se
puede concluir que es una función periódica de manera que
y que posee un periodo de debido a que su frecuencia es dos veces la
de la tensión o la corriente. También se puede concluir que es positiva en
cierta parte de cada ciclo y negativa en el resto del ciclo, cuando es positiva el
circuito absorbe la potencia, es decir que se transfiere potencia de la fuente al
circuito y viceversa cuando es negativa.Esto puede deberse en la mayoría de
los casos por los elementos de almacenamiento (capacitores e inductores) en el
circuito.
Figura 7.2. Gráfica de la potencia en el tiempo.
Se puede concluir que la potencia instantánea cambia con el tiempo y por esto es
difícil de medir.
7.2 POTENCIA PROMEDIO
Ahora se hablará de la potencia promedio en watts, como su nombre lo indica es
el promedio de la potencia instantánea a lo largo de un periodo. De esta manera la
potencia promedio estará dada por la ecuación:

257
(7.7)
Si se sustituye de la ecuación 7.6 en la ecuación 7.7 se obtiene que:
(7.8)
Como se puede observar el primer integrando es constante y el promedio de una
constante es la misma constante y el segundo integrando es una senoide. Se tiene
claridad de que el promedio de una senoide a lo largo de su periodo es de cero,
por lo cual el área bajo la senoide durante medio ciclo positivo es cancelado por el
área bajo ella durante el siguiente medio ciclo negativo. Por ende la ecuación
resultante será:
(7.9)
No se debe olvidar que es variable en el tiempo, mientras que no depende
del tiempo. A la hora de hallar la potencia instantánea se debe conocer al menos
e en el dominio del tiempo, al contrario de la potencia promedio puede
encontrarse cuando la tensión y la corriente se encuentren en el dominio temporal
o cuando se expresan en el dominio de la frecuencia. Se puede calcular
mediante la ecuación 7.9 o empleando los fasores V e I de tal forma que:
(7.10)

258
La parte real de la ecuación representa la potencia promedio o activa P, de
manera que la ecuación 7.9 seria:
(7.11)
Se consideran dos casos especiales con respecto a la ecuación anterior. Cuando
, se dice que la tensión y la corriente están en fase, esto quiere decir que el
circuito es puramente resistivo o posee una carga resistiva .
(7.12)
Donde la ecuación 7.12 demuestra que un circuito puramente
resistivo absorbe potencia todo el tiempo. Cuando se dice que se
tiene un circuito reactivo de tal manera que:
(7.13)
Lo que indica que la potencia promedio o activa entregada a un circuito
puramente reactivo (que no posee resistencias) no absorbe potencia promedio o
activa por lo tanto es igual a cero. Mientras que una resistencia es el elemento que
absorbe potencia en todo momento.
A continuación se muestran una serie de ejercicios los cuales demuestran la
manera de hallar la potencia instantánea y promedio en un determinado circuito.

259
EJERCICIO 7.1
Calcule la Potencia Instantánea y la Potencia Promedio absorbidas por la red
lineal pasiva de la figura 7.3, Si:
Figura 7.3. Ejercicio 7.1
Solución
Hallando la potencia instantánea:
La potencia promedio está dada por la ecuación:

260
Ejercicio 7.2
Una corriente fluye a través de una impedancia .
Halle la potencia promedio suministrada a la carga .
Solución
Aplicando la ecuación general:
Despejando la tensión será:
Aplicando la ecuación de la potencia promedio sería:
Reemplazando valores se tiene:

261
Simulación
Mediante el software MULTISIM 11.0 se verificó el valor de la Potencia Promedio
suministrada a la carga. Los pasos para la realización de la simulación son los
siguientes:
1. Se realizó el diseño en el espacio de trabajo.
2. Se digitó los valores para todos los elementos del circuito incluyendo la
frecuencia de operación, que en este caso es de 0,159 Hz.
3. Finalizada la conexión de los elementos, se da clic sobre simular, se ubica
el cursor en análisis y se selecciona la opción análisis de frecuencia única.
4. En el primer recuadro se digitó la frecuencia de operación del circuito y se
seleccionó el tipo de respuesta para la potencia, ya sea real/imaginario o
magnitud/fase.
5. En la ventana de salida se selecciona la variable a medir y seda clic en
adicionar y luego en simular.

262
En la respuesta se puede apreciar la potencia compleja S la cual está compuesta
por la parte real que es la potencia promedio P y la parte imaginaria que es la
potencia reactiva Q. La fuente de corriente está entregando a la carga una
potencia promedio de 927 W, lo que fue demostrado a partir de la solución
manual.
Ejercicio 7.3
Determinar la Potencia Promedio entregada a los elementos del circuito:
Solución
 Hallando la Potencia Promedio en a, b, c, d:

263
Ejercicio 7.4
Suponiendo que en el circuito de la figura7.6 (a), hallar la
Potencia Promedio suministrada a todos los elementos del circuito.
Figura 7.6 (a).Ejercicio 7.4
Vs
1Ω 2Ω
3H 0.25F

264
Solución
Transformando los elementos al dominio de la frecuencia.
 Redibujando el circuito en el dominio de la frecuencia:
 Potencia disipada por la resistencia de 1 Ω:
Así:
 Potencia disipada por la resistencia de 2Ω:

265
 La Potencia Promedio en el inductor y el capacitor es:
Simulación
suministrada a todos los elementos del circuito. Los pasos para la realización de la
simulación son los siguientes:
3. Finalizada la conexión de los elementos, se dio clic sobre simular, se ubicó
el cursor en análisis y se seleccionó la opción análisis de frecuencia única.
seleccionó el tipo de respuesta para la Potencia, ya sea real/imaginario o
magnitud/fase.
5. En la ventana de salida se seleccionó la variable a medir y se dio clic en

266
Como se aprecia en las respuestas, los únicos elementos que consumen potencia
promedio o activa son las resistencias, mientras que la potencia promedio en el
inductor y capacitor son cero.
Ejercicio 7.5
En la figura 7.7 se presenta un circuito R-L-C con una fuente de tensión
a) Determine la Potencia Instantánea entregada al circuito por la fuente de
tensión.
b) Obtener la Potencia entregada al inductor.
Figura 7.7 (a). Ejercicio 7.5
Vf 4Ω 50mF
0.3H

267
Solución
 Redibujando el circuito:
 Hallando la impedancia Z:
Así:
a) La potencia instantánea entregada al circuito por la fuente será:
 La potencia promedio entregada por la fuente
4Ω -j2 [Ω]
VL
j3 [Ω]
+ -
7 0˚ [V]

268
b) La tensión en el inductor será:
 En el dominio del tiempo será:
 La Potencia Instantánea entregada por el inductor está dada por:
Simulación
Mediante el software MULTISIM 11.0 se verificó el valor de la Potencia promedio
suministrada por la fuente de tensión. Los pasos para la realización de la

269
magnitud/fase.
Como se puede apreciar en las respuestas la fuente está entregando tanto
Potencia Promedio como Potencia Reactiva la cual es consumida una parte por el
inductor, ya que este elemento no consume activa pero si reactiva.
La Potencia Promedio entregada por la fuente es igual a la calculada
manualmente.
V1
7 Vpk
1.59 Hz
0°
R1
4Ω
C1
50mF
L1
0.3H

270
Ejercicio 7.6
Aplique análisis nodal para determinar la Potencia Promedio absorbida por la
resistencia de 20Ω en el circuito de la figura7.8.
Solución
 Redibujando y Transformando al dominio fasorial:
3Ix [A]
0.0333F10Ω
Ix20Ω 10Ω

271
 Analizando nodo V1:
(1)
 Analizando nodo V2:
(2)
Resolviendo las ecuaciones (1) y (2):
Hallando IX tenemos:
Hallando la Potencia Promedio absorbida por la resistencia de 20Ω:

272
Simulación
absorbida por R2. Los pasos para la realización de la simulación son los
siguientes:
magnitud/fase.

273
Ejercicio 7.7
Encuentre la Potencia Promedio de la resistencia y las dos fuentes de tensión en
el circuito de la figura 7.9 usando el método de análisis de mallas.
Solución
 Aplicando Ley de Tensiones de Kirchhoff sobre la malla 1:
(1)
 Aplicando Ley de Tensiones de Kirchhoff sobre la malla 2:
(2)
 Resolviendo el sistema de ecuaciones (1) y (2):

274
 Potencia Promedio en la fuente de :
 Potencia Promedio en la fuente de :
 Potencia Promedio en la resistencia de :
Simulación:
en R1 y las fuentes de tensión. Los pasos para la realización de la simulación son
los siguientes:
magnitud/fase.

275
Como se observa en los resultados la resistencia es el elemento que está
consumiendo toda la Potencia Promedio generada por las dos fuentes de tensión.
Ejercicio 7.8
Determine la Potencia Promedio absorbida por la resistencia de 600Ω y la
Potencia Promedio suministrada por la fuente de corriente en el circuito.

276
Solución
 Hallando la corriente I:
 Hallando la Potencia disipada por la resistencia de 600Ω:
 Hallando la Potencia suministrada por la fuente:
Simulación
en R2 y la fuente de tensión. Los pasos para la realización de la simulación son
los siguientes:

277
magnitud/fase.

278
7.3 MÁXIMA TRANSFERENCIA DE POTENCIA PROMEDIO
Dada una fuente con una resistencia de fuente fijada de antemano, la resistencia
de carga que maximiza la transferencia de potencia es aquella con un valor
óhmico igual a la resistencia de la fuente.
El teorema establece cómo escoger (para maximizar la transferencia de potencia)
la resistencia de carga, una vez que la resistencia de fuente ha sido fijada. No
indica cómo escoger la resistencia de fuente, una vez que la resistencia de carga
ha sido fijada. Dada una cierta resistencia de carga, la resistencia de fuente que
maximiza la transferencia de potencia es siempre cero, independientemente del
valor de la resistencia de carga.
Considérese el circuito de la figura 7.11 (a) en el cual un circuito de corriente
alterna se conecta a la carga , la figura 7.11 (b) representa un circuito con su
equivalente de Thévenin, la carga se suele representar como una impedancia.
Figura 7.11. Representación de la máxima transferencia de potencia. a) Circuito con carga, b)
equivalente de Thévenin

279
(7.14)
(7.15)
La corriente que fluye atreves de la carga es:
(7.16)
La Potencia Promedio suministrada a la carga será:
(7.17)
El objetivo de la anterior expresión es ajustar los parámetros de la carga y ,
de manera que sea máxima. Para hacerlo se fija en cero y , de la
ecuación anterior se obtiene:
(7.18 (a))
(7.18 (B))
Si tenemos que en cero produce:
(7.19)
Y que en cero produce:
(7.20)
Al combinar las ecuaciones 7.19 y 7.20 se llega a la conclusión que para la
máxima transferencia de Potencia Promedio, se debe seleccionar de tal forma
que y , entonces:
(7.21)

280
Para obtener una Máxima Transferencia de Potencia Promedio la impedancia de
carga debe ser igual al conjugado de la impedancia compleja de Thévenin .
De igual manera cuando , se dice que la carga está equilibrada con la
fuente.
Este resultado es conocido como el teorema de la Máxima Transferencia de
Potencia Promedio para el estado estable senoidal. Se dice que y
entonces se tiene que:
(7.22)
Si se está en una situación en la cual la carga es puramente real, la condición para
una máxima transferencia de potencia sería la siguiente ecuación, asumiendo
:
(7.23)
Lo anterior quiere decir que para obtener una máxima transferencia de Potencia
Promedio en una carga puramente resistiva, la impedancia o resistencia de la
carga debe ser igual a la magnitud de la impedancia de Thévenin.
A continuación se muestran una serie de ejercicios donde se demuestra el
procedimiento para el cálculo de la Máxima Transferencia de Potencia.

281
Ejercicio 7.9
Determine la impedancia para la Máxima Transferencia de Potencia Promedio y
el valor de la máxima transferencia de potencia de ésta.
Solución
 En la figura 7.12 (b) se muestra el circuito para hallar Zth:
Figura 7.12 (b). Circuito equivalente
 Para una máxima transferencia de potencia:
j1 [Ω]
1Ω
Zth

282
Figura 7.12 (c). Circuito equivalente redibujado
 Hallando el valor de la corriente I:
 La Máxima Transferencia de Potencia Promedio será:

283
Simulación
en la carga. Los pasos para la realización de la simulación son los siguientes:
magnitud/fase.
Figura 7.12 (d). Circuito simulado para hallar

284
Ejercicio 7.10

285
Solución
 Redibujando el circuito sin la impedancia y Hallando el equivalente de
Thévenin:
Figura 7.13 (b). Circuito equivalente para Zth
Sumando los valores de los elementos:
Figura 7.13 (c). Circuito equivalente para Vth
V

286
La Máxima Transferencia de Potencia Promedio será:
Simulación
Mediante el software MULTISIM 11.0 se verificó el valor de la potencia promedio
magnitud/fase.
Figura 7.13 (d). Circuito simulado para hallar

287

288
Ejercicio 7.11
Solución
2 [A]
(8-j4) [Ω] (5+j10) [Ω]I1 I2
Supermalla
+
-
Vth
5Ω8Ω
j10 [Ω]-j4 [Ω]
ZL
2 [A]

289
 La ecuación que se obtiene debido a la fuente de corriente es:
(1)
 Aplicando Ley de Tensiones de Kirchhoff a la supermalla se tiene:
(2)
 Resolviendo el sistema de ecuaciones (1) y (2):
 Hallando el equivalente de Thévenin Vth:
 Hallando Zth:
Figura 7.14 (c). Circuito para hallar Zth
 La Zth será:
5Ω(8+j6) [Ω] Zth

290
 Equivalente de Thévenin:
Figura 7.14 (d). Circuito equivalente de Thévenin
 Máxima Potencia Promedio Transferida:
Simulación
en R2. Los pasos para la realización de la simulación son los siguientes:

291
magnitud/fase.

292
Ejercicio 7.12
En la figura 7.15 (a) la resistencia (RL) se ajusta hasta que absorbe la Máxima
Potencia Promedio. Calcule (RL) y la máxima potencia promedio absorbida por
ella.

293
Solución
 Para hallar Zth se tiene el circuito de la figura 7.15 (b).
Figura 7.15 (b). Circuito equivalente para hallar Zth
 Para hallar Vth se tiene el circuito de la figura 7.15 (c).
(80+j60) [Ω]
(17.18-j24.57) [Ω]
120 60˚ [V]
I
+
-
Vth

294
 la Potencia máxima transferida será:
Simulación
en R2. Los pasos para la realización de la simulación son los siguientes:
magnitud/fase.

295

296
Ejercicio 7.13
Encuentre ZL para una máxima transferencia de potencia promedio y la potencia
máxima transferida a la carga en la red de la figura 7.16 (a).
Solución
En la figura 7.16 (b) se muestra el circuito para hallar Zth.
Figura 7.16 (b). Circuito equivalente para Zth

297
Aplicando LTK a la malla1:
Aplicando LTK a la malla 2:
Ecuaciones:
(1)
(2)
Resolviendo el sistema de ecuaciones (1) y (2):
Para una Máxima Transferencia de Potencia tenemos:

298
Simulación
3. Finalizada la conexión de los elementos con la fuente dependiente
conectada sobre los nodos mostrados, se da clic sobre simular, se ubica el
cursor en análisis y se selecciona la opción análisis de frecuencia única.
magnitud/fase.
adicionar y luego en simular
Figura 7.16 (c). Circuito simulado para hallar Zth

299
Figura 7.16 (d). Circuito del ejercicio7.13 simulado

300
7.4 VALOR EFICAZ O RMS
El concepto de valor eficaz surge por la necesidad de conocer cuál es la eficacia
de una fuente de tensión o de corriente en el suministro de potencia a una carga
puramente resistiva, el valor eficaz de una fuente periódica de corriente es igual a
la potencia promedio que suministra una fuente de corriente alterna a una
resistencia.
Figura 7.17. Determinación de la corriente eficaz. a) Circuito de corriente alterna, b) Circuito de
corriente directa

301
Se tomó como referencia los circuitos de la figura 7.71 (a) y (b), el objetivo del
proceso es hallar la la cual transferirá la misma potencia que la senoide . La
Potencia Promedio absorbida por el resistor en el circuito de (CA) será:
(7.24)
Por otra parte laPpotencia absorbida por el resistor en un circuito de corriente
directa será:
(7.25)
Si se igualan las ecuaciones 7.24 y 7.25 y se despeja se obtendrá la ecuación
de la corriente eficaz:
(7.26)
De la misma manera la ecuación para el valor de la tensión eficaz será:
(7.27)
Las ecuaciones anteriores nos quieren decir que el valor eficaz es la raíz
(cuadrada) de la medida o (promedio) del cuadrado de la raíz periódica, de esta
misma manera el valor eficaz también se conoce como valor cuadrático medio o
valor rms entonces:
(7.28)
Entonces la ecuación general para cualquier función periódica esta dado por:

302
(7.29)
Para concluir el procedimiento anterior podemos afirmar que el valor eficaz de una
señal periódica es su valor medio cuadrático (rms). El valor rms de una constante
es la propia constante. En el caso de una senoide llámese , el
valor eficaz o rms será:
(7.30)
De la misma manera para el caso de la tensión seria:
(7.31)
Tener en cuenta que las ecuaciones 7.30 y 7.31 únicamente son válidas para
señales senoidales, también se puede expresar la Potencia Promedio como un
valor rms así:
(7.32)
Siguiendo el mismo procedimiento se puede hallar la Potencia Promedio
absorbida por un resistor R con la siguiente expresión:
(7.33)

303
En conclusión cuando se tiene una tensión o corriente senoidal, la mayoría de las
veces se refiere a su valor máximo (pico) o de su valor rms, debido a que su valor
promedio es de cero. Para dar un ejemplo de esto imaginémonos los
tomacorrientes de nuestras casas en sus terminales podemos medir 110V
estaríamos hablando del valor rms. Con el análisis de potencia lo que se busca es
expresar estas cantidades en términos de sus valores rms, asimismo los
voltímetros y amperímetros analógicos están diseñados para leer valores rms en
forma directa de la tensión y la corriente alterna.
Ejercicio 7.14
Encuentre el valor (rms) de la onda senoidal rectificada de la figura 7.18, calcule la
potencia promedio o activa disipada en una resistencia de 6Ω.
Solución

304
 Y la potencia disipada en la resistencia de 6Ω.
Simulación
Mediante el software MULTISIM 11.0 se verificó el valor de la potencia disipada en
una resistencia de 6Ω. Los pasos para la realización de la simulación son los
siguientes:
conectada sobre los nodos mostrados, se da clic sobre simular, se ubica el
cursor en análisis y se selecciona la opción análisis de frecuencia única.
magnitud/fase.

305

306
Ejercicio 7.15
Calcular el valor (rms) de la forma de onda de la tensión que se muestra en la
figura.
Solución

307
Ejercicio 7.16
Encuentre el valor (rms) con T=8 s de la figura.
Solución

308
Ejercicio 7.17
Calcule el valor (rms) de la tensión dada por la forma de onda mostrada en la
figura, Con T=5s.
Ejercicio 7.18
Hallar la corriente Irms y la potencia si R=9Ω, con un tiempo T=2s.

309
Solución
Ecuación de la recta de 0 a 1:
Ecuación de la recta de 1 a 2:
Hallando la corriente Irms:
Hallando la potencia en la resistencia de 9Ω:

310
7.5 POTENCIA APARENTE Y FACTOR DE POTENCIA
La Potencia Compleja de un circuito eléctrico de corriente alterna senoidal cuya
magnitud se conoce como Potencia Aparente y se identifica con la letra (S), es la
suma vectorial de la potencia que disipa dicho circuito y se transforma en calor o
trabajo conocida como Potencia Promedio, Activa o Real, que se designa con la
letra P y se mide en vatios(W). La potencia utilizada para la formación de los
campos eléctrico y magnético, es la que fluctuará entre los componentes y la
fuente de energía conocida, ésta potencia es conocida como Potencia Reactiva, la
cual se identifica con la letra Q y se mide en voltamperios reactivos(Var).
La Potencia Aparente se llama así debido a que tradicionalmente la potencia
debería ser el producto tensión-corriente debido a los circuitos de corriente
continua (DC), esta potencia se mide en voltamperios o VA con el fin de
distinguirla de la Potencia Promedio o Real la cual es medida en watts. Debido a
que el factor de potencia es adimensional ya que es el promedio de la Potencia
Promedio y la Potencia Aparente, su ecuación viene dada por:
(7.34)
Con base en la ecuación anterior se puede decir que , se conoce como el
ángulo del factor de potencia y se llama así debido a que es el ángulo cuyo
coseno es igual al factor de potencia. Se puede afirmar que el ángulo del factor de
potencia es igual al ángulo de la impedancia de la carga si (V) es la tensión entre
los terminales de la carga e (I) la corriente que fluye por ella, entonces:
(7.35)
Y debido a que los valores de la tensión y la corriente son los valores rms
entonces se puede afirmar que la ecuación de la impedancia podría reescribirse
de la siguiente manera:
(7.36)
El factor de potencia es el coseno de la diferencia de fase entre la tensión y la
corriente, también es igual al coseno del ángulo dela impedancia de la carga. Con
base en la ecuación del factor de potencia se podría hacer una interpretación

311
un poco más clara, como el factor por el cual debemos multiplicar la Potencia
Aparente para obtener la potencia Real o Promedio. También es importante
aclarar que el factor de potencia va desde cero hasta la unidad, de tal manera que
en el caso en el cual el factor de potencia sea uno entonces se puede deducir que
y por ende . En el caso de una carga puramente reactiva
y , entre estos casos extremos se dice que el factor de
potencia esta adelantado o atrasado, un factor de potencia adelantado significa
que la corriente se adelanta a la tensión, lo cual nos habla de una carga
capacitiva. Por el contrario un factor de potencia atrasado significa que la corriente
se atrasa de la tensión lo cual implica una carga inductiva. Un impacto notable del
factor de potencia afecta directamente a nuestra factura de energía como se verá
más adelante.
Ejercicio 7.19
Calcule el factor de potencia de todo el circuito de la figura, como se ve desde la
fuente, ¿cuál es la Potencia Promedio o Activa proporcionada por la fuente?
Solución
10Ω
-j6 [Ω]j4 [Ω]
8Ω
40 0˚ [Vrms]

312
 Hallando el tenemos:
 Hallando la corriente que circula por la fuente aplicando la Ley de Ohm:
 Hallando la Potencia Aparente:
Simulación
Mediante el software MULTISIM 11.0 se verificó el valor de la potencia total del
circuito. Los pasos para la realización de la simulación son los siguientes:
conectada sobre los nodos mostrados, se dio clic sobre simular, se ubicó el
cursor en análisis y se seleccionó la opción análisis de frecuencia única.
magnitud/fase.
adicionar y luego en simular

313
Ejercicio 7.20
Obtenga el factor de potencia de la figura y especifique si está en atraso o
adelanto.

314
Solución
Ejercicio 7.21
Obtenga el factor de potencia de la figura y especifique si está en atraso o
adelanto.
Solución

315
7.6 POTENCIA COMPLEJA
Considérese la siguiente figura la cual posee una fuente de tensión alterna (CA),
recordar que la forma fasorial de e . De la tensión y la
corriente la potencia compleja S recibida por la carga de la fuente (CA) será el
producto de la tensión por el conjugado de la corriente.
(7.37)
Figura 7.27. Fasores de tensión y corriente relacionados a la carga
Si se expresa la ecuación 7.37 en términos de los valores (rms):
(7.38)
Dónde:
(7.39)
Y
(7.40)

316
De esta manera la ecuación de S podría escribirse de la siguiente manera:
(7.41)
No olvidar que la magnitud de la Potencia Compleja es la Potencia Aparente, de
ahí que la Potencia Compleja se mida en (VA), de la misma manera se puede
decir que el ángulo de la Potencia Compleja es el ángulo del factor de potencia.
También puede ser expresada a partir de la impedancia de carga Z como:
(7.42)
De esta manera si , entonces la ecuación de S se remplaza por:
(7.43)
Teniendo en cuenta que , la ecuación anterior se convierte en:
(7.44)
Como P y Q son las partes reales e imaginarias de la Potencia Compleja, por ende
P es la Potencia Promedio o Real y depende enteramente de la resistencia de la
carga R, y Q depende de la reactancia de la carga X y se conoce con el nombre
de Potencia Reactiva. Si se comparan estas ecuaciones se obtiene que:
(7.45)
(7.46)
Se puede concluir que la potencia real P es la Potencia Promedio en (watts) que
es suministrada a una carga, se dice que es la única potencia útil y por ende es la
única disipada en la carga. Por otra parte la Potencia Reactiva Q es una medida
del intercambio de energía entre la fuente y la parte reactiva de la carga. La
unidad que se maneja para Q es el voltiamperio reactivo y se mide en (VAR), con
el fin de distinguirla de la Potencia Promedio la cual se mide en (W).
Adicionalmente se puede afirmar que la Potencia Compleja es el producto del
fasor de la tensión rms y el conjugado del fasor complejo de la corriente rms, como

317
variable compleja su parte real representa la Potencia Real P y su parte imaginaria
representa la Potencia Reactiva Q. A continuación se muestra un cuadro con el
resumen de ecuaciones que se refieren a la potencia en general.
Tabla 7.1. Resumen de las ecuaciones de potencia
Potencia compleja
Potencia aparente
Potencia real
Potencia reactiva
Factor de potencia
Con el fin de obtener una mejor comprensión acerca de este tema, surge un
método para recordar las ecuaciones de las potencias llamado Triángulo de
Potencias. Este triángulo contiene: la Potencia Aparente/Compleja, la Potencia
Real, la Potencia Reactiva y el ángulo del Factor de Potencia, lo único que se
requiere es conocer los valores de dos elementos de estos para obtener los
demás valores fácilmente deducibles del triángulo. Como se puede ver en la
siguiente figura, cuando S se sitúa en el primer cuadrante se tiene una carga
inductiva y un fp atrasado, cuando S está situado en el cuarto cuadrante se tiene
una carga capacitiva y el fp está adelantado. También es un escenario totalmente
posible que la Potencia Compleja se ubique en el segundo o tercer cuadrante,
para lo cual se necesita que la impedancia de carga tenga una resistencia
negativa, lo cual solo es válido para circuitos activos.

318
Figura 7.28. a) Triángulo de potencia, b) triángulo de impedancia
Figura 7.29. Triángulo de potencia sobre el eje

319
Ejercicio 7.22
Para una carga, y , determine:
a) Las Potencias Complejas y Aparentes.
b) Las Potencias Reales o Activas y Reactivas.
c) El factor de potencia y la impedancia de la carga
Solución
a)
b)
c)
Ejercicio 7.23
Una carga Z extrae 12KVA con un factor de potencia de 0,856 en atraso, de una
fuente senoidal rms de 120 V. Calcule:
a) Las Potencias Promedio o Activas y Reactivas suministradas a la carga.
b) La corriente pico.
c) La impedancia de carga.

320
Solución
a) Las Potencias Promedio o Activas y Reactivas suministradas a la carga:
Figura 7.30. Triángulo de potencia para el ejercicio 7.23
Figura 7.31. Circuito equivalente
b) La corriente pico.

321
Entonces tenemos que, y la corriente pico será:
c) Impedancia de la carga:
Ejercicio 7.24
Para cada uno de los siguientes casos, encuentra la Potencia Compleja, Potencia
Promedio y la Potencia Reactiva.
a) si y
b) si y
c) si y
Solución
a.

322
b.
c.
Ejercicio 7.25
Determine la Potencia Compleja para los siguientes casos:
a) si ;
b) si ;
c) si ;
d) si , y ,
Solución
a.
b.

323
Figura 7.32. Triangulo para la potencia reactiva
c.
d.

324
Figura 7.33. Triángulo de potencia para el ejercicio d
Por el teorema de Pitágoras hallamos Q:
Hallando S:
Ejercicio 7.26
Dado el circuito de la figura 7.33 (a), encuentre la tensión en la fuente Vs.

325
Solución
Redibujando el circuito en función de las cargas conectadas.
Realizando el triángulo de potencia para la carga 1:
Figura 7.34 (c). Triángulo de potencia para la carga 1

326
Realizando el triángulo de potencia para la carga 2:
Figura 7.34 (d). Triangulo de potencia para la carga 2
Realizando la suma de los valores de ambos triángulos se obtiene un triángulo
total como se muestra en la figura 7.33 (e):
Figura 7.34 (e). Triangulo total de potencias

327
Hallando la corriente :
Entonces Vs será:
 Existen dos formas de resolver el ejercicio una de ellas es la que se acaba
de realizar y la otra forma de resolverlo la veremos a continuación:
Para la carga 1:
Para la carga 2:

328
Hallando la corriente total tenemos:
Ejercicio 7.27
Encuentre Vs y el en el circuito de la figura

329
Solución
Redibujando el circuito en función de las cargas conectadas:
Para la carga 2:
Para la carga 1:

330
Hallando la corriente total ,
Hallando a tensión Vs
Ejercicio 7.28
Encuentre la Potencia Compleja suministrada por la fuente Vs y el factor de
potencia de la fuente si la frecuencia es f=60 Hz, encuentre Vs (t).

331
Solución
Redibujando el circuito en función de las cargas conectadas:
Para la carga 1:
Para la carga 2:

332
Para la carga 3,
Hallando la corriente total ,
Hallando la tensión total Vs,

333
7.7 CORRECIÓN DEL FACTOR DE POTENCIA
El factor de potencia influye directamente en nuestra vida cotidiana, por ejemplo
en nuestras casas donde se tienen muchas cargas como por ejemplo (lavadoras,
aparatos de aire acondicionado, refrigeradores, etc.) y en la industria existen
cargas como (los motores de inducción); estas cargas acarrean cambios en la
distribución de la corriente eléctrica debido a que inyectan reactivos a la red y en
muchas ocasiones no es deseable este efecto porque los transformadores
comienzan a deteriorarse. Con el fin de dar solución a este problema surge el
concepto de corrección del factor de potencia.
Figura 7.37. Corrección del factor de potencia a) carga inductiva original, b) carga inductiva con
factor de potencia mejorado por la implementación de un capacitor en paralelo con la carga.
Debido a que la gran mayoría de las cargas figura 7.37 (a) son de naturaleza
inductiva, el factor de potencia puede corregirse implementando bancos de
capacitores en paralelo con la carga figura 7.37 (b), en la figura 7.38 se ilustra el
efecto del capacitor con el triángulo de potencia, donde se puede observar que al
adicionar el capacitor el ángulo de fase entre la tensión y la corriente cambia de
a , por lo cual se dice que el factor de potencia se ha incrementado. Observando
las magnitudes de los vectores en la figura 7.38, se puede concluir que con la
misma tensión suministrada, el circuito de la figura 7.39 (a) tiene mayor corriente
que la corriente tomada por el circuito de la figura 7.37 (b).

334
Figura 7.38. Efecto producido por un capacitor en paralelo a una carga inductiva
Las compañías electrificadoras cobran más por las corrientes mayores debido a
que estas provocan mayores pérdidas de potencia (debido a que ),
debido a esto es una buena idea para ambos (la empresa y el consumidor
industrial) debido a que es más recomendable mantener el factor de potencia lo
más cercano a la unidad, mediante la elección correcta de un capacitor que
solucione este problema.
Con el fin de ilustrar el concepto de corrección de potencia obsérvese el triángulo
de potencia de la figura 7.39 si la carga inductiva original tiene la potencia
aparente ,
Figura 7.39. Triángulo de potencia para la corrección del factor de potencia

335
(7.47)
Para incrementar el factor de potencia de a sin alterar la potencia real,
la expresión para la Potencia Reactiva será:
(7.48)
La reducción de la Potencia Reactiva es causada por el efecto del capacitor como
se muestra a continuación:
(7.49)
Para calcular el valor de la capacitancia:
(7.50)
Aunque el caso más común es el de una carga inductiva, también existen
situaciones donde se dispone de cargas capacitivas, es decir, que operan con
factor de potencia adelantado, para resolver este problema se debe colocar una
inductancia en la carga y de esta manera resolver el problema, la ecuación de la
inductancia seria:
(7.51)
Donde , es la diferencia entre la nueva y la antigua Potencia
Reactiva.
A continuación se muestran una serie de ejercicio donde se aplica la corrección
del factor de potencia.

336
Ejercicio 7.29
Cuando se conecta a una línea de potencia de 120 V (rms) a 60 Hz. una carga
que absorbe 4 kW con factor de potencia atrasado de 0.8. Halle el valor de la
capacitancia necesaria para aumentar el fp a 0.95.
Solución
Con fp=0.8,
Hallando la potencia aparente:
Hallando la potencia reactiva:
Con fp=0.95,
Hallando la potencia aparente:
Hallando la potencia reactiva:

337
Para hallar el valor de la capacitancia,
El capacitor será:
Ejercicio 7.30
Una carga con una potencia de 4 KW y 100 Vrms tiene un factor de potencia
fp=0.82 en atraso. Determine el valor del capacitor en paralelo que corregirá el
factor de potencia a 0.95 en atraso cuando .
Solución
 Dibujando el circuito tenemos:

338
 El triángulo de potencias para este circuito será:
Figura 7.40 (b). Triángulo de potencias del circuito
 No se puede olvidar que:

339
Ejercicio 7.31
Dos cargas en paralelo se conectan a través de una fuente de 1000 Vrms a 60HZ.
Una carga absorbe 500 KW de con un factor de potencia de 0.6 en retraso y la
segunda carga absorbe 400 KW y 600 KVAR. Determine el valor del capacitor que
deberá agregarse en paralelo con las dos cargas para mejorar el factor de
potencia global a 0.9 en retraso.
Solución
 Dibujando el circuito tenemos:
 Los triángulos de potencia serán:
Figura 7.41 (b). Triángulos de potencia de cada carga

340
Figura 7.41 (c). Triángulo de potencia total

341
CAPÍTULO 8. CIRCUITOS TRIFÁSICOS
INTRODUCCIÓN
Un circuito monofásico de potencia AC senoidal, es un sistema que tiene una
fuente con un par de terminales denominados (conductores) conectados a una
carga, tal como se muestra en la figura 8.1, donde Vp representa la magnitud de la
tensión de la fuente y ø el ángulo de fase. En la figura 8.2, se muestra un sistema
monofásico de tres terminales, el cual es más utilizado en la práctica. Este sistema
tiene dos fuentes de tensión con igual valor en magnitud y fase, las cuales se
encuentran conectadas a dos cargas por medio de una línea superior e inferior y
otra en el medio la cual se denomina neutro.
Figura 8.1. Circuito monofásico de dos conductores
Figura 8.2. Circuito monofásico de tres conductores

342
Los circuitos polifásicos se conocen como aquellos que tienen fuentes de tensión
con tres terminales (sin tener en cuenta la conexión a tierra o neutro), la medición
entre dos terminales mostrará la presencia de tensiones senoidales, las cuales
operan a igual frecuencia pero desfasadas una con respecto a la otra 120º y el
signo que acompaña al valor del ángulo de fase, depende del sentido de giro de
las tensiones. En la figura 8.3, se muestra un circuito trifásico de tres conductores,
el cual a diferencia de un monofásico o bifásico, opera con tres fuentes de tensión
senoidales de igual magnitud y frecuencia, pero desfasadas entre si 120º. Este
desfase se muestra en la figura 8.4.
Figura 8.3. Sistema trifásico de tres conductores
Figura 8.4. Respuesta del circuito trifásico

343
Los sistemas trifásicos se definen como los más importantes debido a que:
 La potencia eléctrica es generada y distribuida en forma trifásica a una
frecuencia de operación de 60 Hz (ω= 377rad/s).
 Cuando se requiere para alguna aplicación entradas monofásicas o
bifásicas, basta con obtenerlas del sistema trifásico en vez de generarlas
de forma independiente.
 En un sistema trifásico la potencia instantánea puede ser constante y no
variante, lo cual es una gran ventaja para la transmisión de potencia y
menos vibración de las maquinas trifásicas como se verá más adelante.
 La cantidad de conductor para un sistema trifásico es mucho menor que la
demandada por un sistema monofásico, esto es favorable para la parte
económica.
8.1 TENSIONES TRIFÁSICAS BALANCEADAS
Un generador es una fuente de tensión trifásica que posee tres devanados los
cuales están distribuidos al rededor del estator. Cada devanado representa una
fase del generador. El generador consta básicamente de un electroimán giratorio
(rotor), el cual se mueve a una velocidad síncrona por efecto de algún tipo de
mecanismo, como por ejemplo una turbina de vapor. Tres devanados o bobinas
independientes las cuales poseen los índices de a-a`, b-b` y c-c´, están
distribuidas físicamente alrededor del estator 120º de distancia entre sí. Los
devanados de fase son estáticos con respecto al rotor, debido a esto la frecuencia
de la tensión inducida en cada devanado es igual. En la figura 8.5, se muestra el
esquema de una fuente trifásica.

344
Figura 8.5. Fuente trifásica
El sistema de tensiones trifásicas está compuesto por tres tensiones senoidales de
igual magnitud y frecuencia, pero que a su vez están desfasadas entre si 120º. A
estas tres fases normalmente se les asigna los índices de a, b, c, donde la fase a
es la tomada como referencia. Las tres tensiones se conocen como: tensión de
fase a, tensión de fase b, tensión de fase c.
Existen solo dos posibles desfases entre la tensión de la fase a y las tensiones de
fase b y c. Una de estas posibilidades se presenta cuando la tensión de fase b
está retrasada 120º con respecto a la tensión de fase a. Por lo tanto la tensión de
fase c esta adelantada 120º con respecto a la tensión de fase a. Esta relación de
fase se conoce como relación de fase abc o positiva. La otra posibilidad se
presenta cuando la tensión de fase b está adelantada 120º con respecto a la
tensión de fase a. Por lo tanto la tensión de fase c está atrasada 120º con
respecto a la tensión de fase a. Esta relación de fase se conoce como relación de
fase acb o negativa. En las expresiones matemáticas el valor de Vp se denomina
valor eficaz o rms de las tensiones de fase.
A continuación se muestran las expresiones matemáticas en notación de fasores
para los dos posibles casos de tensiones de fase balanceadas:

345
Figura 8.6. Secuencia positiva con sus respectivas expresiones matemáticas
Figura 8.7. Secuencia negativa con sus respectivas expresiones matemáticas
El esquema de un sistema trifásico normalmente está comprendido por tres
fuentes de tensión conectadas a tres cargas a través de tres o cuatro conductores,
con relación a esto, un sistema trifásico es el resultado de la interconexión de tres
circuitos monofásicos. Las fuentes de tensión tienen dos conexiones básicas que
pueden ser en estrella (Y) o en delta (∆), tal como se muestra en la siguiente figura
8.8 y 8.9:

346
Figura 8.8. Fuentes conectadas en estrella (Y)
Figura 8.9. Fuentes conectadas en delta (Δ)
Teniendo en cuenta las tensiones conectadas anteriormente en (Y), como se
muestra en la figura 8.8, las tensiones Van, Vbn y Vcn se encuentran posicionadas

347
entre las líneas a, b, c, y la línea neutro n. Si estas fuentes de tensión poseen la
misma amplitud, frecuencia ω y están desfasadas 120º entre sí, se determina que
las tensiones están balanceadas. Por lo tanto se concluye que:
(8.1)
(8.2)
De esta manera las tensiones de fase balanceadas son de igual magnitud y están
desfasadas 120º entre sí.
Dependiendo de la aplicación final, las cargas pueden conectarse de igual manera
en delta (Δ) o en estrella (Y). En las siguientes figuras 8.10 y 8.11 se muestran las
conexiones las cargas:
Figura 8.10. Conexión de cargas en estrella (Y)

348
Figura 8.11. Conexión de cargas en delta (Δ)
En la figura 8.10 el conductor neutro aparecerá dependiendo de si el sistema es
de tres o cuatro conductores. En una conexión en delta (Δ) es imposible que el
conductor de neutro aparezca debido a su topología. Si las impedancias de fase
no son iguales en magnitud y fase se concluye que la carga conectada ya sea en
estrella (Y) o delta (Δ) esta desbalanceada.
Una carga balanceada es aquella donde las impedancias de fase tienen igual
magnitud y fase. Se tiene una carga balanceada conectada en estrella (Y) donde:
(8.3)
Es la impedancia de carga por fase.
En una carga balanceada conectada en delta (Δ), se tiene:
(8.4)
De manera que es la impedancia de carga por fase en este caso. Retomando
la ecuación 5.22 la cual hacía referencia a:
(8.5)

349
Una carga conectada en estrella se puede transformar en una carga conectada en
delta y viceversa, sólo utilizando la ecuación 8.5. Tanto la carga trifásica como la
fuente trifásica tienen la posibilidad de conectarse en delta o en estrella, a
continuación se muestra un cuadro con las cuatro posibles conexiones:
Tabla 8.1. Conexiones de fuentes y cargas
8.2 ANÁLISIS DE LA CONEXIÓN Y-Y BALANCEADA
A continuación se realizará el análisis del circuito Y-Y, debido a que las otras tres
configuraciones pueden ser reducidas a un circuito equivalente Y-Y, por lo tanto el
análisis de este sistema es la clave para dar solución a todas las configuraciones
trifásicas balanceadas.
Un circuito conectado de forma Y-Y balanceado, es la representación de un
sistema trifásico con fuente balanceada conectada en (Y) y carga balanceada
conectada en (Y).
En la figura 8.12 se muestra un circuito general Y-Y balanceado, al cual se le ha
incluido un cuarto conductor, el cual interconecta el neutro de la fuente con el de la
carga, este sistema ilustra como una carga conectada en Y se conecta a una
fuente conectada en Y. Se asume una carga balanceada, por lo tanto las
impedancias de la carga son iguales. Teniendo claro que la impedancia es la
impedancia de carga total por fase, se puede referir a ella también como la suma
de la impedancia de fuente ( ), más la impedancia de la línea ( ), más la
impedancia de la carga ( ) de cada fase, debido a que estas impedancias están
conectadas en serie como se muestra en la siguiente figura:

350
Figura 8.12. Sistema Y-Y balanceado, indicando las impedancias de fuente, línea y carga
En la figura anterior se hacen referencias a las impedancias:
 La impedancia representa la impedancia interna del devanado de fase
del generador.
 La impedancia representa la impedancia de la línea la cual une una fase
de la fuente con una fase de la carga.
 La impedancia representa la impedancia de la carga por cada fase.
 La impedancia representa la impedancia de la línea de neutro.
Por lo tanto:
(8.6)

351
Las impedancias y son muy pequeñas en comparación a la impedancia ,
por lo tanto se puede decir que si no se especifica algún valor de las
impedancias de fuente o de línea. A continuación se muestra una simplificación
del sistema trifásico Y-Y mediante la agrupación de impedancias.
Figura 8.13. Sistema Y-Y balanceado con neutro
Con base en la figura anterior se supone la secuencia positiva, por lo tanto las
tensiones de fase o tensiones de línea – neutro son:
(8.7)
La relación entre las tensiones de línea , , y las tensiones de fase ,
, se realiza de la siguiente manera:

352
(8.8 (a))
De esta misma manera se puede obtener:
(8.8 (b))
(8.8 (c))
Si la amplitud rms de las tensiones de línea se representa por VL, entonces de lo
anterior se tiene que la tensión de línea es la magnitud de la tensión de fase,
que en forma matemática se expresa de la siguiente manera:
(8.9)
Donde
(8.10)
Y
(8.11)
Al observar la figura 8.12, se concluye que en una secuencia positiva adelanta
a , adelanta a exactamente 120º en cada caso; de esta misma manera
adelanta a y adelanta a exactamente los 120º. En el caso de la
secuencia negativa esta afirmación es cierta si se cambia la palabra “adelanta” por
la palabra “retrasa”

353
Figura 8.14. Diagrama fasorial de la relación entre las tensiones de línea y fase
Las tres corrientes de línea se calculan de manera sencilla ya que el sistema
contiene tres circuitos monofásicos que poseen una línea de conexión en común,
por eso al aplicar la Ley de Tensiones de Kirchhoff (LTK) a cada fase de la figura
(sistema Y-Y balanceado), estas se obtienen de la siguiente manera:
(8.12)
Debido a que las corrientes de fase forman un conjunto balanceado:
(8.13)
El análisis de un sistema trifásico Y-Y balanceado puede ser llevado a cabo solo
con analizar una de las fases.

354
Figura 8.15. Circuito monofásico equivalente
A continuación se realizan una serie de ejercicios los cuales muestran la forma de
analizar un sistema trifásico conectado en Y-Y balanceado.
Ejercicio 8.1
Obtener las corrientes de línea para el circuito trifásico de la figura 8.16 (a).

355
Solución
Como este es un circuito Y-Y balanceado se puede obtener el circuito equivalente
y analizarlo como una sola fuente y una sola carga, como se muestra en la figura
8.16 (b).
Simulación
Por medio del software MULTISIM 11.0 se comprobaron las corrientes del circuito.
El procedimiento realizado para la simulación es:
1. Diseñar el circuito en el espacio de trabajo.
2. Digitar los valores de la fuentes de tensión y los valores de la impedancias
con su respectiva frecuencia.
3. Dar clic en la viñeta simular, situarse sobre el titulo análisis y seleccionar
análisis de frecuencia única.

356
4. Digitar la frecuencia a la que opera el circuito y seleccionar el tipo de
respuesta de las corrientes ya sea real/imaginario o magnitud/fase.
5. Se da clic en la viñeta salida y se seleccionan las variables a medir y se da
clic en simular.

357
Ejercicio 8.2
Tomando como referencia el circuito Y-Y de la siguiente figura, hallar las
corrientes de línea, las tensiones de línea y las tensiones de carga
Solución
Al ser un circuito Y-Y balanceado se tiene que:
Las corrientes de línea son:

358
Las tensiones de línea son:
Las tensiones de cargar son:
Simulación
Mediante el software MULTISIM 11.0 se comprobó todas las variables a medir
como se ve a continuación y los pasos realizados son iguales a los del ejercicio
anterior.

359
Ejercicio 8.3
Determinar la corriente de la línea neutra para el circuito de la siguiente figura.
Solución
Desde que la línea neutra esté presente, el circuito puede ser resuelto tomando
cada una de las fases.

360
Para la fase a:
Para la fase b:
Para la fase c:
La corriente en la línea neutra es:
O
Por lo tanto:
Simulación
Mediante el software MULTISIM 11.0 se comprobó el valor de la corriente que
circula por la línea de neutro. Para obtener ésta corriente se tuvo que colocar una
resistencia de un muy bajo valor sobre la línea neutro para que el software haga el
respectivo cálculo.

361
Ejercicio 8.4
Un sistema Y-Y balanceado de 4 hilos tiene las siguientes tensiones de fase:
La impedancia de carga por fase es 19+j13Ω y la impedancia de línea por fase es
1+j2Ω. Determinar las corrientes de línea y la corriente neutra.

362
Solución
Como el sistema es balanceado
Simulación
Mediante el software MULTISIM 11.0 se comprobó el valor de las corrientes de
línea. Para obtener éstas corrientes se tuvo que colocar la resistencia por fuera de
la impedancia de línea, el resto es el mismo procedimiento que en los ejercicios
anteriores.

363
Ejercicio 8.5
a. Determinar en el circuito triásico de la figura si es un sistema trifásico
balanceado o desbalanceado. Explique.
b. Encuentre .
Figura 8.19.1. Circuito para el ejercicio 8.5.

364
Solución
a. El circuito es desbalanceado, debido a que la impedancia de cada fase de
la carga es distinta.
b.
Simulación

365
Ejercicio 8.6
Encuentre en el circuito de la figura:
a.
b.
c.
d. El circuito es un sistema trifásico desbalanceado o balanceado.
Figura 8.19.2. Circuito para el ejercicio

366
Solución
a.
b.
c.
d.
El circuito es un sistema trifásico desbalanceado.

367
Simulación
Mediante el software MULTISIM 11.0 se comprobó el valor de las variables a
medir.

368
Ejercicio 8.7
Encuentre el valor rms de en el circuito trifásico desbalanceado de la figura.
Figura 8.19.3. Circuito para el ejercicio 8.7
Solución

369
Solución

370
8.3 ANALISIS DE LA CONEXIÓN Y-∆ BALANCEADA
Esta conexión se realiza conectando la fuente en (Y) y la carga en (∆). Este tipo de
configuración no posee una conexión neutra y las cargas conectadas en ∆ son
más usuales que las conectadas en Y.
Figura 8.20. Conexión Y-Δ balanceada
Se considera una carga balanceada conectada en delta la que está compuesta por
una impedancia colocada entre cada par de las líneas. Analizando la figura, se
supone que se conocen las tensiones de línea:
(8.14)
O que se conocen las tensiones de fase
(8.15)
Donde
(8.16)

371
Como se conocen las tensiones en cada rama de la ∆, obtener las corrientes de
fase no supondrá inconveniente alguno:
(8.17)
Y para obtener las corrientes de línea basta con realizar la diferencia, de la
siguiente manera:
(8.18)
Debido a que se está trabajando con un sistema balanceado, las tres corrientes de
fase tienen igual amplitud:
(8.19)
De igual forma las corrientes de línea tienen igual amplitud:
(8.20)
E
(8.21)
Examinando sólo la carga, la cual está conectada en ∆, resulta difícil distinguir
entre la tensión de fase y la de línea, aunque la corriente de línea es mayor que la
corriente de fase por un factor de .
Recordar que si la carga en un circuito trifásico está conectada en ∆, puede ser
transformada en una carga en estrella utilizando la relación entre la impedancia
trifásica con conexión en triángulo y conexión en estrella. Cuando la carga está
equilibrada, la impedancia de cada rama de la estrella será igual a un tercio de la
impedancia de cada arista de la delta, es decir:
(8.22)

372
Ejercicio 8.5
Determine las corrientes de línea en el circuito Y-Δ de la siguiente figura. Tome
Solución
Convirtiendo las cargas en delta a una carga en Y aplicando el análisis por fase
queda que:
El circuito equivalente queda de la siguiente manera:

373
Simulación
línea. Es el mismo procedimiento que en los ejercicios anteriores.

374
Ejercicio 8.6
En el circuito de la figura calcular las corrientes de línea , e .Con
.

375
Solución
Convirtiendo las cargas en delta a una carga en Y aplicando el análisis por fase:
El circuito equivalente queda de la siguiente manera:

376
Simulación
línea. El procedimiento de simulación es el mismo que en los ejercicios anteriores.

377
Ejercicio 8.7
Obtener las corrientes de línea en el circuito trifásico de la figura 8.22 (a) con
.

378
Solución
Aplicando el concepto de mallas se obtiene el siguiente circuito:
Para la malla 1:
Simplificando:
Para la malla 2:

379
Simplificando:
Para la malla 3:
El sistema de ecuaciones queda:
Solucionando el sistema de ecuaciones que da que:
De esta manera:

380
Simulación
línea. El procedimiento es el mismo que para los ejercicios anteriores.

381
Ejercicio 8.8
El circuito de la figura se alimenta por una fuente trifásica con una tensión de línea
de 210 V. Si , y , determinar la
magnitud de la corriente de línea de las cargas combinadas.
Solución
Convirtiendo las cargas en delta a una carga equivalente en Y se tiene:
Ahora, al realizar el paralelo entre y se tiene:
Ahora se realiza un análisis del circuito equivalente por fase:

382
Donde:
Simulación
Mediante el software MULTISIM 11.0 se comprobó el valor de la corriente de línea.
El procedimiento es el mismo que para los ejercicios anteriores.

383
Ejercicio 8.9
Si en el circuito de la figura, encontrar las corrientes de fase en
la carga , e .
Solución

384
Simulación
fase en las cargas. El procedimiento es el mismo que para los ejercicios
anteriores, además se deja la resistencia por fuera de la impedancia debido a que
el software no hace ningún cálculo sobre las impedancias pero si sobre cualquier
otro elemento.

385
8.4 ANÁLISIS DE LA CONEXIÓN ∆-Y BALANCEADA
La conexión de este sistema se basa en conectar la fuente balanceada en (∆) y la
carga balanceada en (Y), como se muestra en la siguiente figura:
Figura 8.26. Sistema Y-Δ balanceado
Las tensiones de línea son iguales a las correspondientes tensiones de fase en la
fuente.
(8.23)
Las corrientes de carga son iguales a las corrientes de línea y además la suma de
las corrientes de carga debe ser cero debido a que la carga es balanceada.
(8.24)

386
A partir de este cálculo se pueden obtener las otras corrientes de línea aplicando
la secuencia de fase positiva, es decir, .
La relación entre las correspondientes tensiones de fase y las tensiones de línea
es:
(8.25)
Para realizar la obtención de las corrientes de línea de otra forma es transformar la
fuente conectada en delta por la fuente conectada en estrella, utilizando como
base la siguiente figura:
Figura 8.27. Triangulo para transformar fuentes
De esta forma los valores de las tensiones de la fuente conectada en estrella se
obtienen:
(8.26)

387
Si en la fuente conectada en delta se especifica que tiene un valor de impedancia
de fuente por fase, esta será especificada en la conexión resultante estrella
como por fase. Ya con la fuente convertida en estrella el sistema queda Y-Y,
sistema que ya fue analizado anteriormente.
Ejercicio 8.10
Hallar las corrientes de la línea en el circuito de la figura, si ,
, .
Solución
Convirtiendo la fuente conectada en delta a una fuente equivalente conectada en
Y y considerando todas las fases equivalentes se tiene que:

388
Donde
Simulación
línea. El procedimiento es el mismo que para los ejercicios anteriores, además se
deja la resistencia por fuera de la impedancia debido a que el software no hace
ningún cálculo sobre las impedancias pero si sobre cualquier otro elemento.

389
Ejercicio 8.11
Teniendo en cuenta el circuito balanceado de la siguiente figura, con
. Hallar las corrientes de línea , e .
Solución
Transformando la fuente en delta por una fuente equivalente en Y queda que:
Ahora analizando el circuito equivalente por fase se tiene que:

390
Donde:
Por lo tanto:
Simulación

391
Ejercicio 8.12
En un circuito Δ-Y balanceado, una fuente conectada en secuencia positiva, con
y . Determinar las corrientes de línea.
Solución
Transformando la fuente en delta por una fuente equivalente en Y queda que:
Por lo tanto

392
Simulación

393
8.5 ANÁLISIS DE LA CONEXIÓN ∆-∆ BALANCEADA
Un sistema conectado en ∆-∆, es aquel que tanto la fuente como la carga están
conectadas en delta, tal como se muestra en la siguiente figura:
Figura 8.31. Sistema Δ-Δ
Analizando el sistema, es claro que las tensiones de fase de la fuente son iguales
a las tensiones de línea e iguales a las tensiones de carga. De esta manera las
tensiones de fase para la fuente conectada en delta se hallan de la siguiente
manera:
(8.27)
Las corrientes de fase son:

394
Para un análisis más sencillo o alternativo, seria transformar tanto la fuente como
la carga en sus equivalentes Y-Y. Sabiendo que .
Tabla 8.2. Resumen de ecuaciones para cálculo de tensiones y corrientes en sistemas trifásicos
balanceados
Conexión
Tensiones de fase/ corrientes
de fase
Tensiones de línea/ corrientes de
línea
Y-Y
Y-∆
∆-Y

395
∆-∆
Ejercicio 8.13
Teniendo en cuenta el circuito Δ-Δ de la siguiente figura, calcular las corrientes de
fase y línea.

396
Solución
Sabiendo que:
Las corrientes de línea son,

397
Simulación
fase y de línea. El procedimiento es el mismo que para los ejercicios anteriores. La
resistencia se deja por fuera de la impedancia para que el software pueda obtener
las respuestas de las corrientes. La fuente en delta tuvo que ser transformada en
estrella para su respectiva simulación.

398
Ejercicio 8.14
Para el circuito Δ-Δ de la siguiente figura, hallar las corrientes de línea y de fase.
Suponer que la impedancia de carga es por fase.
Solución

399
Las corrientes de línea son,
Simulación
fase y de línea. El procedimiento es el mismo que para los ejercicios anteriores. La
resistencia se deja por fuera de la impedancia para que el software pueda obtener
las respuestas de las corrientes. La fuente en delta tuvo que ser transformada en
estrella para su respectiva simulación.

400
Ejercicio 8.15
Se tienen tres generadores 230V que forman una fuente conectada en delta que a
su vez está conectada a una carga balanceada conectada en delta de
por fase, como se muestra en la siguiente figura.
a) Determinar el valor de .
b) ¿Cuál es el valor de ?

402
Simulación
Mediante el software MULTISIM 11.0 se comprobó el valor de las corrientes. El
procedimiento es el mismo que para los ejercicios anteriores. La resistencia se
deja por fuera de la impedancia para que el software pueda obtener las respuestas
de las corrientes. La fuente en delta tuvo que ser transformada en estrella para su
respectiva simulación.

403
Ejercicio 8.16
Encontrar las corrientes de línea , e en el circuito trifásico de la siguiente
figura, con , y .
Solución
Convirtiendo la fuente conectada en delta a una fuente conectada en Y se tiene:
Convirtiendo la carga conectada en delta a una carga conectada en Y se tiene:
El circuito equivalente se muestra en la siguiente figura:

404

405
Simulación
Mediante el software MULTISIM 11.0 se comprobó el valor de las corrientes. El
procedimiento es el mismo que para los ejercicios anteriores. La resistencia se
deja por fuera de la impedancia para que el software pueda obtener las respuestas
de las corrientes. La fuente en delta tuvo que ser transformada en estrella para su
respectiva simulación.

406
Ejercicio 8.17
Un sistema trifásico balanceado con una tensión de línea de 208 Vrms, alimenta
una carga conectada en delta con
a) Hallar la corriente de línea.
b) Determinar la potencia total suministrada a la carga
Solución
a)
Por lo tanto:
b)

407
Simulación
Mediante el software MULTISIM 11.0 se comprobó el valor de la corriente. El
procedimiento es el mismo que para los ejercicios anteriores. La fuente en delta
tuvo que ser transformada en estrella para su respectiva simulación.
En la simulación del circuito, para determinar la potencia total suministrada a la
carga, se debe sumar la potencia entregada por cada fuente.

408
Ejercicio 8.18
Una carga balanceada en delta está conectada a una fuente que tiene una tensión
por fase y secuencia de fase positiva. Encontrar las corrientes de
línea y fase, considerando la impedancia de carga por fase como y la
impedancia de línea por fase como .
Solución
Convirtiendo la fuente y la carga a sus equivalentes en Y se tiene:
Ahora usando el análisis por fase,
Figura 8.37 (a). Circuito equivalente Y

409
Pero:
Simulación
fase y línea. El procedimiento es el mismo que para los ejercicios anteriores. La
fuente en delta tuvo que ser transformada en estrella para su respectiva
simulación.

410
8.6 POTENCIA EN SISTEMAS TRIFÁSICOS
Hasta este momento se ha analizado todo lo relacionado con las tensiones y
corrientes de los sistemas trifásicos balanceados, desde ahora los análisis se
centrarán en lo que respecta al cálculo de la potencia trifásica. Considérese la
potencia media suministrada a una carga balanceada conectada en estrella (Y).
Figura 8.38. Carga balanceada en Y

411
8.6.1 Potencia promedio en una carga balanceada en Y
Analizando la fase a, la potencia promedio para esta fase puede ser asociada
como:
(8.28)
Donde son los ángulos de fase de e respectivamente. De igual
manera se puede hallar la potencia asociada a las fases b y c.
(8.29)
(8.30)
Se debe tener en cuenta que los fasores de tensión y de corriente están escritos
en función del valor rms de la función senoidal de la fuente que representan.
En un sistema trifásico balanceado, la magnitud de las tensiones de línea son las
mismas, al igual que la magnitud de cada corriente de fase. El argumento de las
funciones coseno también es el mismo para las tres fases. De esta forma se tiene
que:
(8.31)
Y
(8.32)
También, en un sistema trifásico balanceado, la potencia entregada a cada una de
las fases de la carga es la misma, lo que indica que:
(8.33)
Donde representa la potencia promedio por cada fase.
La potencia promedio total suministrada a la carga balanceada en Y, es
simplemente 3 veces la potencia promedio por fase.
(8.34)

412
También es de gran utilidad expresar la ecuación de la Potencia Promedio Total
en términos de las magnitudes rms de la tensión y la corriente de línea. Si las
magnitudes rms de la tensión y la corriente se expresan mediante e
respectivamente, la ecuación 8.31 queda de la siguiente manera:
(8.35)
La anterior ecuación representa la Potencia Promedio Total en una carga trifásica
balanceada.
8.6.2 Potencia compleja en una carga balanceada en Y
También puede ser calculada la Potencia Reactiva y Compleja asociada a
cualquiera de las fases de una carga conectada en Y. De esta manera las
ecuaciones correspondientes a la Potencia Reactiva son:
(8.36)
La Potencia Reactiva total en una carga trifásica balanceada es:
(8.37)
La expresión de la Potencia Compleja asociada a cualquiera de las fases en una
carga balanceada es:
(8.38)
Donde e representan la tensión y la corriente de una misma fase, por lo
tanto, en general se tiene que:
(8.39)
De manera que la Potencia Compleja total en una carga trifásica balanceada es:

413
(8.40)
8.6.3 Cálculos de potencia para carga balanceada en Δ
Para una caga conectada en ∆ el cálculo de las Potencias Reactiva y Compleja, es
básicamente el mismo procedimiento que para una carga conectada en Y. La
siguiente figura muestra una carga conectada en ∆.
Figura 8.39. Carga balanceada en Δ
La Potencia Promedio asociada a cada una de las fases es:
(8.41)
Para una carga balanceada,
(8.42)
(8.43)

414
(8.44)
Y
(8.45)
Si se observa la ecuación 8.45 es igual a la ecuación 8.33, de esta manera, se
tiene que para una carga balanceada independientemente esté conectada en Y o
en delta, la Potencia Promedio por fase es igual al producto de la magnitud rms de
la tensión de fase, la magnitud rms de la corriente de fase y el coseno del ángulo
existente entre la tensión y la corriente de fase.
La Potencia Total entregada a una carga balanceada conectada en delta es:
(8.46)
Observe que la ecuación 8.46 es igual a la ecuación 8.35, esto indica que la
Potencia Total entregada a la carga ya sea delta o estrella, se calcula de misma
manera. Las expresiones para las Potencias Reactiva y Compleja también son
iguales a las deducidas para una carga conectada en Y:
(8.47)
(8.48)
(8.49)
(8.50)

415
8.6.4 Potencia instantánea en circuitos trifásicos
Existe también otra potencia que es importante tener en cuenta y es la Potencia
Instantánea Total. Esta potencia posee una propiedad importante dentro de los
circuitos trifásicos de ser invariante con el tiempo. Debido a esto, el par motor
desarrollado en el eje de un motor trifásico es constante, lo que implica menos
vibraciones en las maquinas que incorporan dichos motores.
Si se toma como referencia la tensión instantánea línea-neutro y como antes,
sea el ángulo de fase . Así, para una secuencia de fases positiva, la
potencia instantánea para cada una de las fases será:
(8.51)
Donde representa la amplitud máxima de la tensión fase y la corriente de
línea respectivamente. La Potencia Instantánea total es la suma de las potencias
instantáneas de las fases, que es igual a:
(8.52)
8.7 MEDICIÓN DE LA POTENCIA TRIFÁSICA
El vatímetro es el instrumento que puede medir la potencia promedio (activa) en
un sistema trifásico balanceado donde ( ); la potencia total es 3 veces
la lectura del vatímetro. Sin embargo es necesario la utilización de otros dos
vatímetros monofásicos para medir la potencia si el sistema esta desbalanceado.
El método de los tres vatímetros para la medición de potencia, funciona
independientemente de que la carga este balanceada o desbalanceada o esté
conectada en estrella o en delta. El método de los tres vatímetros es bastante
adecuado para la medición de potencia en un sistema trifásico donde el factor de
potencia cambia constantemente. La Potencia Promedio Total es la suma
algebraica de las tres lecturas del vatímetro ( ).
Donde corresponden a las lecturas de los vatímetros
respectivamente. El punto común o de referencia 0 se selecciona arbitrariamente.
Si la carga se conecta en estrella, el punto 0 puede conectarse al punto neutro n.

416
Para una carga conectada en delta es posible conectar el punto 0 a cualquier
punto. Si el punto 0 se conecta al punto b por ejemplo, la bobina de voltaje en el
vatímetro W2 lee cero y P2=0, lo que indica que el vatímetro W2 no es necesario,
de tal modo que los dos vatímetros son suficientes para medir la Potencia
Promedio Total.
Figura 8.40. Método de los tres vatímetros

417
8.7.1 Método de los dos vatímetros
Este método se usa comúnmente para la medición de la potencia trifásica. Los dos
vatímetros deben estar conectados adecuadamente a cualquiera de las dos fases,
tal y como se muestra en la siguiente figura:
Figura 8.41. Método de los dos vatímetros
El terminal ± de la bobina de tensión está conectado a la línea a la cual se conecta
la bobina de corriente correspondiente. Los vatímetros individuales no registran la
potencia tomada por cualquier fase particular, la suma algebraica de las dos
lecturas de los vatímetros es igual a la Potencia Promedio (Activa) Total que
absorbe la carga, sin que importe si está conectada en delta o en estrella, o si esta
balanceada o desbalanceada. La Potencia Real Total es igual a la suma
algebraica de las dos lecturas del vatímetro.
De aquí se toma que:
(8.53)
(8.54)

418
En la ecuación W1, es el ángulo de fase entre e y en la ecuación de W2,
es el ángulo de fase entre e .
Para el cálculo de W1 y W2, se expresa y por medio del ángulo , que
también es igual al ángulo entre la tensión y la corriente de fase. Para la secuencia
de fases positiva:
(8.55)
Al sustituir las ecuaciones 8.55 en las ecuaciones 8.56 respectivamente, se
obtiene que:
(8.56)
Para hallar la potencia total basta con sumar W1 y W2:
(8.57)
Esta es la ecuación correspondiente para calcular la Potencia Total Promedio en
un circuito trifásico. Por lo tanto la suma de las lecturas de los dos vatímetros da
como resultado la Potencia Promedio Total.
A continuación una serie de curiosidades que surgen acerca de las lecturas de los
dos vatímetros al examinar las ecuaciones.
 Cuando el factor de potencia es superior a 0.5, los dos vatímetros darán
una lectura positiva.
 Cuando el factor de potencia es igual a 0.5, la lectura de uno de los
vatímetros dará cero.
 Cuando el factor de potencia es inferior a 0.5, la lectura de uno de los dos
vatímetros dará cero.
 Si se invierte la secuencia de fases, se intercambiaran la lectura de los dos
vatímetros.

419
Ejercicio 8.19
El valor rms de la tensión de línea es de 208 V. Encontrar la potencia promedio
entregada a la carga.
Solución
Desde este sistema balanceado, se puede obtener un circuito equivalente por
fase, como se muestra en la siguiente figura:

420
La corriente de línea será,
Simulación
Mediante el software MULTISIM 11.0 se comprobó el valor de la potencia en la
carga. Los pasos para la realización de la simulación son los siguientes:
1. Se diseñó el circuito en el espacio de trabajo
2. Se digitó los valores de los elementos.
3. Se utilizó el método de los dos vatímetros para el cálculo de la potencia.
4. Luego se ejecutó la simulación para obtener el resultado.

421
Con la suma de las dos lecturas de potencia se obtiene la potencia total
suministrada a la carga.

422
Ejercicio 8.20
En el circuito de la figura calcular la potencia promedio, la potencia reactiva y la
potencia compleja en la fuente y en la carga.
Solución
Basta con hallar la Potencia Compleja (S) ya que su estructura se basa en la
Potencia Activa y Reactiva.
Solución para la fuente
Por lo tanto:

423
Del cálculo de la potencia compleja se tiene que:
Solución para la carga:
Donde,
Simulación
Mediante el software MULTISIM 11.0 se comprobó el valor de la potencia en la
fuente y en la carga. Los pasos para la realización de la simulación son los
siguientes:
3. Se dio clic en la viñeta simular, se posicionó el cursor sobre análisis y se
4. En la primera ventana se digito la frecuencia de operación del circuito y se
seleccionó real/imaginario para las respuestas de las potencias.
5. En la ventana de salida se seleccionó las variables a medir y se dio clic en
simular.

424
Observando las soluciones que brinda el simulador se puede concluir que:
La potencia que entrega el simulador es la potencia compleja (S). Analizando la
potencia de la fuente, se puede decir que esta es la potencia de una de las fases,
por lo tanto para encontrar la potencia compleja total de la fuente basta con
multiplicar por 3 que es el número de fases.
Por lo tanto queda comprobado el valor de la potencia compleja que se halló
manualmente.
De esta respuesta se puede comprobar el valor de la potencia activa y reactiva:

425
El signo menos en las respuestas indica que la fuente está suministrando tanto
potencia activa como potencia reactiva a la carga.
La potencia compleja en la carga se da por separado, como se observa en las
respuestas la resistencia consume potencia activa pero no reactiva. Y la
inductancia consume potencia reactiva pero no activa. Recordar que estas
respuestas corresponden a una de las fases para encontrar la respuesta total se
debe multiplicar por el número de fases como se muestra a continuación:
Por lo tanto
Ejercicio 8.21
Una carga balanceada conectada en estrella con una impedancia de fase de 10-
j16 Ω se conecta a una fuente trifásica balanceada con una tensión de línea de
220V. Determinar la potencia absorbida por la carga.
Solución
La corriente de línea será,

426
La potencia compleja por fase será
Para hallar el valor de la potencia compleja total que absorbe la carga, basta con
multiplicar el valor obtenido por fase por el número de fases en este caso por tres.
Simulación
Mediante el software MULTISIM 11.0 se comprobó el valor de la potencia
absorbida por la carga. Los pasos para la realización de la simulación son los
siguientes:
simular.

427
La respuesta de la simulación es la potencia compleja de la fase A que genera la
fuente.
El dato de la parte real es la potencia activa que genera la fuente y la cual
consume la resistencia y la parte imaginaria es la potencia reactiva que consume
la fuente generada por el capacitor.

428
Ejercicio 8.22
Se tienen tres impedancias de igual valor 60+j30 Ω, las cuales se conectan en
delta a un circuito trifásico de 230 V rms. Otras tres impedancias de igual valor
40+j10 Ω se conectan en estrella al mismo circuito entre los mismos puntos.
Determinar:
a. La potencia compleja total suministrada a las dos cargas.
b. El factor de potencia de las dos cargas combinadas.
Solución
a.
Este es un sistema trifásico balanceado y por lo tanto se puede usar un circuito
equivalente por fase. La carga conectada en delta es convertida a su equivalente
conectada en estrella
El circuito equivalente queda de la siguiente forma:
Figura 8.45 (a). Circuito equivalente

429
Por lo tanto
Por lo tanto la potencia compleja total suministrada a las dos cargas es,
b.
Para el cálculo del factor de potencia se utiliza la siguiente expresión:
Simulación
Mediante el software MULTISIM 11.0 se comprobó el valor de la potencia
compleja total suministrada a las dos cargas. Los pasos para la realización de la
simular.

430
El signo menos indica que la fuente está suministrando tanto potencia activa como
potencia reactiva, las cuales son absorbidas por la resistencia y la inductancia
respectivamente.

431
Ejercicio 8.23
a. Determinar la lectura de cada vatímetro en el circuito mostrado en la
siguiente figura cuando Z=13,44+j46,08Ω.
b. Verifique que la suma de os dos vatímetros es igual a la potencia total
suministrada a la carga.
c. Verifique que es igual al número total de vars magnetizantes
suministrados a la carga.
Solución
a.

432
b.
c.
Simulación
Mediante el software MULTISIM 11.0 se comprobó el valor de las variables
halladas manualmente.

434
APENDICE A
EJERCICIOS PROPUESTOS
A.1 CARACTERISTICAS DE LA ONDA SENOIDAL
1. Determinar la amplitud y la frecuencia de las siguientes ondas:
a.
b.
c.
d.
2. Escribir la expresión correspondiente para la forma de onda de la figura A.1.
Figura A.1. Ejercicio 2

435
3. Escribir la expresión correspondiente para la forma de onda de la figura A.2.
4. Expresar las siguientes funciones en forma de coseno:
a.
b.
c.
5. Determinar el ángulo de fase entre las siguientes formas de onda:
6. Determinar el ángulo de fase entre las siguientes formas de onda:

436
A.2 NÚMEROS COMPLEJOS
1. Convierta los siguientes números de la forma rectangular a la forma polar:
a.
b.
c.
d.
e.
f.
2. Convierta los siguientes números de la forma polar a la forma rectangular:
a.
b.
c.
d.
e.
3. Realizar la adiciones de los siguientes números:
a.
b.
c.
4. Realizar las sustracciones de los siguientes números:
a.
b.
c.
5. Realizar la multiplicación en forma rectangular de los siguientes números:
a.
b.
c.

437
6. Realizar las siguientes divisiones en forma polar:
a.
b.
c.
A.3 FASORES
1. Representar en forma fasorial las siguientes expresiones:
a.
b.
c.
2. Representar en forma fasorial las siguientes expresiones:
a.
b.
c.
3. Expresar las siguientes tensiones y corrientes fasoriales como ondas seno
si la frecuencia es de 60 Hz:
a.
b.
c.
d.
4. Para el circuito de la figura A.3, determinar la expresión senoidal para la
tensión si:

438
5. Para el circuito de la figura A.4, determinar la expresión senoidal de la
corriente si:

439
A.3.1 RELACIONES FASORIALES R, L y C.
1. Determinar la expresión senoidal para la corriente, si la tensión que pasa
por una resistencia de 3Ω es como se indica a continuación:
a.
b.
c.
2. Determinar la expresión senoidal para la tensión, si la corriente que pasa
por una resistencia de 7kΩ es como se indica a continuación:
a.
b.
3. Cuál es la expresión senoidal para la tensión, si se da la corriente que fluye
a través de una inductancia de 0,1 H.
a.
b.
4. Cuál es la expresión senoidal para la corriente, si se da la tensión que fluye
a través de una reactancia inductiva de 50Ω.
a.
b.
a través de una reactancia capacitiva de 2,5Ω.
a.
b.
a través de un capacitor de 1µF.
a.
b.

440
A.4 IMPEDANCIAS Y ADMITANCIAS
1. Calcular la impedancia total de los circuitos de la figura A.5 y expresar su
respuesta en forma polar y rectangular:
Figura A.5 (a). Ejercicio 1
Figura A.5 (b). Ejercicio 1

441
2. Calcular la admitancia total de los circuitos de la figura A.6 y expresar su
respuesta en forma polar y rectangular:
Figura A.6 (a). Ejercicio 2
Figura A.6 (b). Ejercicio 2

442
3. Calcular en el circuito de la figura A.7.
4. Para el circuito de la figura A.8, hallar , si la corriente a través de la
resistencia de 1Ω es

443
5. Para el circuito de la figura A.9:
a. Determinar la impedancia y admitancia total en forma polar.
b. Encontrar los valores de C en microfaradios y L en henrios.
c. Determinar la tensión V y las corrientes , e en forma fasorial.
d. Verificar la ley de corrientes de Kirchhoff en un nodo.
e. Determinar las expresiones senoidales para la tensión y la corriente.
6. Repetir el problema 5 para el circuito de la figura A.10, excepto el punto b.

444
A.5 ANÁLISIS NODAL
1. Calcule las tensiones y en el circuito de la figura A.11.
R/ ;
2. Determine VX en el circuito de la figura A.12.
R/

445
3. Use el método de análisis nodal para encontrar V en el circuito de la figura
A.13. R/
4. Use el método de análisis nodal para encontrar Vo(t) en el circuito de la
figura con . R/

446
5. Usando el método de análisis nodal encuentre Io (t) en el circuito de la figura
A.15. R/
6. Usando el método de análisis nodal obtenga , e en el circuito de la
figura A.16.
R/ ; ;

447
A.6 ANÁLISIS DE MALLAS
1. Determine la corriente Io en el circuito de la figura usando análisis de
mallas. R/
2. Usando análisis de mallas encuentre Ioen el circuito de la figura.
R/

448
3. Determine las corrientes de malla en el circuito de la figura si
y .
R/ ;
4. Usando análisis de mallas encuentre I1 e I2en el circuito de la figura.
R/ ;

449
5. Encuentre I1, I2, I3, e IX en el circuito de da figura.
R/ ; ; ;

450
A.7 TEOREMA DE SUPERPOSICIÓN
1. Encuentre la corriente Io en el circuito de la figura usando el teorema de
superposición. R/
2. Usando el teorema de superposición encuentre el valor de Io en el circuito
de la figura. R/

451
3. Usando el teorema de superposición encuentre el valor de Vo en el circuito
de la figura. R/
4. Usando el teorema de superposición encuentre el valor de Io en el circuito
de la figura. R/

452
5. Usando el teorema de superposición encuentre el valor de VX en el circuito
de la figura. R/

453
A.8 TRANSFORMACIÓN DE FUENTES
1. Encuentre en el circuito de la figura utilizando el concepto de
transformación de fuente. R/
2. Calcule en el circuito de la figura utilizando el método de transformación
de fuentes. R/

454
3. Encuentre e por transformaciones de fuentes. R/ ;

455
A.9 TEOREMA DE THÉVENIN Y NORTON
1. Encuentre el equivalente de Thévenin en los terminales a-b para el circuito
de la figura. R/ ;
2. Obtenga el equivalente de Thévenin en los terminales a-b para el circuito de
la figura. R/ ;

456
3. Determine el equivalente de Thévenin para el circuito de la figura, según se
observa desde los terminales a-b. R/ ;
.
4. Determine el equivalente de Thévenin para el circuito de la figura, según se
observa desde los terminales a-b. R/ ;
.

457
5. Determine el equivalente de Norton para el circuito de la figura, según se
observa desde los terminales a-b. Use el equivalente para encontrar .
R/ ; ;
6. Obtenga la corriente .en el circuito de la figura, utilizando el teorema de
Norton. R/

458
7. Encuentre los equivalentes de Thévenin en los terminales a-b en el circuito
de la figura. R/ ;
8. Encuentre los equivalentes de Thévenin en los terminales a-b en el circuito
de la figura. R/ ;

459
9. Determine en el circuito de la figura por el teorema de Thévenin.
R/

460
A.10 POTENCIA PROMEDIO
1. Encuentre la potencia promedio absorbida por la resistencia de 10Ω en el
circuito de la figura. Los valores de las corrientes de las fuentes son:
R/

461
2. Encuentre la potencia promedio absorbida por la resistencia de 1Ω en el
circuito de la figura A.38. Los valores de las tensiones son:
R/
Figura A.38, Ejercicio 2
3. Determine la potencia promedio absorbida por la resistencia de 4Ω en el
circuito de la figura A.39. R/

462
4. Determine la potencia promedio suministrada por la fuente en el circuito de
la figura A.40. R/
5. Determine la potencia promedio total absorbida y suministrada por cada
elemento de la red de la figura A.41. R/ ; ;
;

463
A.11 MÁXIMA TRANSFERENCIA DE POTENCIA PROMEDIO
1. Determine la impedancia ZL para una máxima transferencia de potencia
promedio y el valor de la máxima potencia transferida a ZL para el circuito
de la figura A.42.R/ ;

464

465

466
A.12 VALOR EFICAZ O RMS
1. Calcule el valor rms de la forma de onda mostrada en la figura A.47.
R/
2. Calcule el valor rms de la forma de onda mostrada en la figura A.48. R/

467
3. Calcule el valor rms de la forma de onda mostrada en la figura A.49. R/
R/

468
R/

469
A.12 POTENCIA COMPLEJA
1. Una fábrica consume 20 KW de potencia de una línea de 240 Vrms. Si el
factor de potencia de una carga es 0.9, ¿cuál es el ángulo por el cual la
tensión de la carga se adelanta a la corriente de carga? Cuál es el fasor de
corriente de la carga si la tensión de línea tiene un fasor de Vrms?
R/ El ángulo será: ;fasor de corriente:
2. La compañía de potencia suministra 80 KW a una carga industrial, la carga
toma 220 Arms de una línea de transmisión. Si la tensión de la carga es
440 Vrms y el factor de potencia de la carga es 0.8 en atraso, encuentre las
pérdidas de potencia en la línea de transmisión. R/ La potencia será:
3. Dado el circuito de la figura encuentre la potencia compleja suministrada
por la fuente y el factor de potencia de la fuente Si f=60Hz, encuentre Vs (t).
R/ ; ;
Adelanto

470
4. En el circuito de la figura A.53 encuentre la potencia compleja suministrada
al circuito si la potencia aparente de V1 es y su tensión es
Vrms, encuentre V2. R/
5. Una carga industrial consume 100 KW a 0.707 Fp en retraso. La línea de
tensión de 60 Hz es la carga de Vrms. La resistencia de la línea de
transmisión entre el transformador de la compañía de potencia y la carga es
0.1Ω. Determine los ahorros de potencia que se pueden obtener si el factor
de potencia se cambia a 0.94 en retraso. R/

471
A.13 CORRECCIÓN DEL FACTOR DE POTENCIA
1. Una planta consume60 KW a un Fp de 0.75 en retraso de una línea de 240
Vrms a 60Hz. Determine el valor del condensador que al ser colocado en
paralelo con la carga cambiara el Fp de la carga a 0.9 en retraso.
R/ C=1.1mF
2. Una carga particular tiene un factor de potencia de 0.8 en retraso. La
potencia entregada a la carga es 40 KW de una línea de 220 Vrms a 60 Hz.
¿Qué valor de capacitancia colocado en paralelo con la carga elevará el
factor de potencia a 0.9 en retraso? R/ C=586 µF.
3. Una carga industrial consume 44 KW a 0.82 Fp en retraso de una línea de
60 Hz a Vrms. Un banco de condensadores totalizado 600µF está
disponible. Si esos condensadores se colocan en paralelo con la carga
¿cuál es el nuevo factor de potencia de la carga total? R/ Fp=0.928 en
retraso.
4. Un banco de motores consume 36 KW a 0.78 Fp en retraso de una línea de
60 Hz a 220 0 Vrms. Si 500µF de condensadores se colocan en paralelo
con la carga, encuentre el nuevo factor de potencia de la carga combinada.
R/ Fp=0.87 en retraso.

472
A.14 SISTEMA Y-Y BALANCEADO
1. En un sistema Y-Y trifásico balanceado, la fuente es un conjunto de
tensiones de secuencia abc. Las impedancias de línea y de carga son
y respecitvamente. La tensión de
carga en la fase a es . Encuentre la tensión de línea
.R/ .
2. En un sistema trifásico Y-Y balanceado, la impedancia de la carga es 8+j4
Ω. La fuente tiene una secuencia de fase abc y . Si la
tensión en la carga es . Determine la impedancia
de la línea.R/ 0,5+j0,5 Ω.
3. En un sistema trifásico Y-Y balanceado, la impedancia de la carga es 10+j1
Ω. La fuente tiene una secuencia de fase abc y (tensión
de línea). Si la tensión en la carga es . Determine la
impedancia de la línea. R/ 0,5+j0,585 Ω.
4. En un sistema trifásico Y-Y balanceado, la impedancia de la carga es
20+j12 Ω. La fuente tiene una secuencia de fase abc y .
Si la tensión en la carga es , determine la
magnitud de la corriente de la línea si la carga es súbitamente
cortocircuitada. R/ .
5. En un sistema trifásico Y-Y balanceado, la fuente es un conjunto de
tensiones de secuencia abc y . Si la corriente y la
impedancia de línea de la fase a son conocidas y de valor
y (0,8+j10) Ω respectivamente, encuentre la impedancia de la
carga.R/ 10+j12 Ω
tensiones de secuencia abc y . La tensión de carga en
la fase a es y la impedancia de carga es (16+j20) Ω.
Encuentre la impedancia de la línea.R/ 1,45+j1,82 Ω

473
tensiones de secuencia abc y . Si la corriente de línea
en la fase a y la impedancia de línea son y (1+j1) Ω, encuentre
la impedancia de la carga.R/
8. Un conjunto de tensiones de secuencia abc alimenta un sistema trifásico
balanceado Y-Y. Si , .y
. Encuentre la impedancia de la carga.R/
A.15 SISTEMA Y-Δ BALANCEADO
1. En un sistema trifásico balanceado con secuencia abc conectado en Y a 60
Hz, la fuente alimenta a una carga balanceada conectada en delta. La
impedancia de fase en la carga consiste de una resistencia de 20 Ω en
serie con un inductor de 20mH y la tensión de fase en la fuente es
. Si la impedancia de la línea es cero, encuentre las corrientes
de línea en el sistema.R/ ,
,
2. Una fuente trifásica balanceada con secuencia de fase abc alimenta una
carga balanceada conectada en delta. La impedancia por fase en la carga
delta es (12+j6) Ω. La tensión de línea en la fuente es
.Si la impedancia delinea es cero, encuentre las
corrientes de línea en el sistema Y-Δ balanceado.R/
, ,
3. Una fuente trifásica balanceada con secuencia de fase abc conectada en Y,
alimenta una carga balanceada conectada en delta. La impedancia por fase
en la carga es (14+j7) Ω. Si la fuente de tensión para la fase a es
y la impedancia de la línea es cero, encuentre las corrientes
de fase en la fuente conectada en Y.R/ ,
,
en la carga delta es (20+j4) Ω. Si , encuentre las
corrientes de línea.R/ , ,

474
en la carga delta es (10+j8) Ω. Si la impedancia de línea es cero y la
corriente de línea en la fase a es , encuentre la
tensión en la carga .R/ .
6. En un sistema trifásico balanceado Y-Δ, la fuente tiene una secuencia de
fase abc y . Si la impedancia de la línea es cero y la
corriente de línea es , encuentre la impedancia por fase en
la carga en delta.R/
7. En un sistema trifásico balanceado Y-Δ, la fuente tiene una secuencia de
fase abc y . Las impedancias en la línea y en la carga
son y respectivamente. Encuentre las corrientes
en la carga en delta.R/ , ,
A.16 SISTEMA Δ-Y BALANCEADO
1. En un sistema trifásico balanceado, una fuente conectada en delta alimenta
a una carga conectada en Y. Si la impedancia de línea es (0,2+j0,4) Ω, la
impedancia dela carga es (3+j2) Ω y la fuente de tensión
, encuentre la magnitud de la tensión de línea en la
carga.R/
2. En un sistema trifásico balanceado, una fuente conectada en delta alimenta
a una carga conectada en Y. Si la impedancia de línea es (0,2+j0,4) Ω, la
impedancia dela carga es (6+j4) Ω y la tensión de fase de la fuente es
, encuentre la magnitud de la tensión de línea en la
carga.R/
3. En un sistema trifásico balanceado Δ-Y, la fuente tiene una secuencia de
fase abc. Las impedancias en la línea y en la carga son (0,6+j0,3) Ω y
(12+j7) Ω respectivamente. Si la corriente de línea ,
determine las tensiones de fase de la fuente.R/ ,
,

475
4. Un sistema Δ-Y balanceado tiene una fuente con secuencia abc con
. La carga balanceada tiene una impedancia de fase de
(10+j5) Ω. Encuentre la potencia absorbida por la carga usando el método
de los dos vatímetros. R/ 10.383 W
5. En un sistema trifásico balanceado la fuente tiene una secuencia de fase
abc y se conecta en delta. Hay dos cargas conectadas en Y en paralelo. La
impedancia de fase de la carga 1 y la carga 2 es 4+j4 Ω y 10+j4 Ω,
respectivamente. La impedancia de la línea es 0,3+j0,2Ω. Si la corriente en
la fase a de la carga 1 es , encuentre las corrientes de la
delta en la fuente.
6. En un sistema trifásico balanceado la fuente tiene una secuencia de fase
abc y está conectada en delta. Hay dos cargas conectadas en paralelo. La
línea que conecta la fuente a las cargas tiene una impedancia de 0,2+j0,1Ω
La carga 1 está conectada en Y y la impedancia de fase es 4+j2 Ω. La
carga 2 está conectada en delta y la impedancia de fase es 12+j9 Ω. La
corriente de la carga en delta es , encuentre las
tensiones de fase de la fuente.
7. Una carga Y balanceada que tiene una resistencia de 30 Ω en cada fase y
está conectada a un generador trifásico conectado en delta cuya tensión de
línea es de 208 V. Calcule la magnitud de:
a. La tensión de fase del generador.
b. La tensión de fase de la carga.
c. La corriente de fase de la carga.
d. La corriente de línea.

476
A.17 SISTEMA Δ-Δ BALANCEADO
1. Una cargar delta balanceada tiene una resistencia de 220 Ω en cada fase y
está conectada a un generador trifásico conectado en delta cuya tensión de
línea es de 440 V. Calcule la magnitud de:
a. La tensión de fase del generador.
b. La tensión de fase de la carga.
c. La corriente de fase de la carga.
d. La corriente de línea.
2. Repita el problema 1 si cada impedancia de fase se cambia a una
resistencia de 12 Ω en serie con una reactancia capacitiva de 9 Ω.
3. Repita el problema 1 si cada impedancia de fase se cambia por una
resistencia de 22 Ω en paralelo con una reactancia inductiva de 22 Ω.
4. La secuencia de fases del sistema Δ-Δ de la figura A. 54 es abc.
a. Determine los ángulos y para la secuencia de fases especificada.
b. Determine la tensión que pasa a través de cada impedancia de fase en
forma fasorial.
c. Demuestre que la suma fasorial de las tensiones es cero alrededor del lazo
cerrado de la carga delta.
d. Determine la corriente que fluye a través de cada impedancia de fase en
forma fasorial.
e. Determine la magnitud de las corrientes de línea.
resistencia de 12 Ω en serie con una reactancia inductiva de 16 Ω.

477
resistencia de 20 Ω en paralelo con una reactancia capacitiva de 20 Ω.
A.18 POTENCIA EN SISTEMAS TRIFÁSICOS
1. Un sistema trifásico balanceado Y-Δ tiene y
. Si la impedancia de línea por fase es 0,8+j2,4Ω, Halle la potencia
compleja total suministrada a la carga.
2. Una carga Y balanceada se conecta a una fuente trifásica a 60 Hz con
. La carga tiene un fp atrasado y cada fase toma
5kW.
a. Determina la impedancia de carga .
b. Halle , e .
3. Una carga balanceada conectada en estrella con una impedancia de fase
de 5-j8 Ω se conecta a un generador trifásico balanceado con una tensión
de línea de 220 V. Determine la corriente de línea y la potencia compleja
absorbida por la carga.

478
4. Tres impedancias iguales, de 30+j15 Ω cada una, se conectan en delta con
un circuito trifásico de 230 Vrms. Otras tres impedancias iguales, de
20+j5Ω cada una, se conectan en estrella en el mismo circuito entre los
mismos puntos. Determine:
a. La corriente de línea.
b. La potencia compleja total suministrada las dos cargas.
c. El factor de potencia de las cargas combinadas.
5. Una línea de transmisión trifásica de 4200 V tiene una impedancia de 4+j Ω
por fase. Si alimenta a una carga de 1 MVA con un factor de potencia 0,75
(atrasado), halle:
a. La potencia compleja.
b. La pérdida de potencia de la línea.
c. La tensión en el extremo de alimentación.
6. La potencia total medida en un sistema trifásico que alimenta a una carga
balanceada conectada en estrella es de 12 kW con un factor de potencia
adelantado de 0,6. Si la tensión de línea es de 208 V, calcule la corriente de
línea y la impedancia de la carga .
7. Una fuente balanceada conectada en delta de secuencia abc con una
tensión , alimenta una carga balanceada en delta con una
impedancia de fase de 4-j3 Ω y la impedancia de línea es de 5Ω. Calcule la
potencia total promedio absorbida por la carga.
8. Una carga balanceada conectada en Y de secuencia abc con
alimenta una carga conectada en delta con y la
impedancia de línea es 1+j0,5Ω. Halle la potencia promedio absorbida por
la carga.

479
BIBLIOGRAFÍA
BOYLESTAD, Robert L. Introducción al análisis de circuitos. Decimosegunda
edición. México, Pearson educación, 2011.
CHARLES, Alexander K. y N. O. SADIKU, Matthew. Fundamentos de circuitos
eléctricos. Tercera edición. México D.F., McGraw-Hill, 2002.
DORF, Richard C. y SVOBODA, James A. Circuitos eléctricos. Sexta edición.
México D. F., Alfaomega, 2000.
ESPINOSA ESCOBAR, Julián y CLAVIJO, Oscar A. Proyecto de grado: Análisis
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tecnológica de Pereira. 2010.
FRANCO, Sergio. Electric circuits fundamentals. USA. Saunders college
publishing, 1995.
HAYT, William H.; KEMMERLY, Jack E. y DURBIN, Steven M. Análisis de circuitos
en ingeniería. Séptima edición. México D. F., McGraw-Hill, 2007.
IRWIN, J. David. Análisis básico de circuitos en ingeniería. Quinta edición. México
D. F., Prentice-Hall hispanoamericana S. A. 1991. (621.3192 I72)
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(621.3192 J67)
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Multisim 11.0. USA. 2007
NILLSON, James W. y RIEDEL, Susan A. Circuitos eléctricos. Séptima edición.
México D. F., Pearson Education, 2005.

480
PAUL, Clayton R. Fundamentals of electric circuit analysis. USA. John Wiley &
Sons, Inc. 2001.

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