![La determinaciónde loselementosde lasmatricesLy U se realizaneficientementeaplicando
una formamodificadadel métodode eliminaciónde Gauss.
Factorización De Cholesky
Una matriz simétricaesaquelladondeAij = Aji para todai y j, En otras palabras,[A] =[A] T
. Tales
sistemasocurrencomúnmenteenproblemasde amboscontextos:el matemáticoyel de
ingeniería.Ellosofrecenventajascomputacionalesyaque sólose necesitalamitadde
almacenamientoy,enlamayoría de los casos,sólo se requiere lamitaddel tiempode cálculo
para su solución.Al contrariode laDescomposiciónLU,norequiere de pivoteo.El métodode
Factorizaciónde Choleskyse basaendemostrarque si unamatriz A es simétricaydefinida
positivaenlugarde factorizarse comoLU, puede serfactorizadacomoel productode una
matriztriangularinferiorylatraspuestade la matriztriangularinferior,esdecirlosfactores
triangularesresultantessonlatraspuestade cadauno.
Ejemplo:
Obtenerlafactorizaciónde Choleskyde lasiguientematriz(entrarsóloloselementosde U,la
triangularsuperior)
5 7 −8
7 14 −14
−8 −14 24
Entrar el valor del determinante
√5 7/5 √5 −8/5 √5
0 1/5 1051/2 −2/15 1051/2
0 0 2/3 211/2
Resolverel sistemalineal Ax=bcuandobes el vectorsiguiente
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Factorización:
En cada etapa de la resoluciónse muestranlosvaloresactualesde lamatriz.](https://image.slidesharecdn.com/universidadfermintor2-160604022438/85/Universidad-fermin-tor2-6-320.jpg)
Universidad fermin tor2
- 1. UNIVERSIDAD FERMIN TORO VICERRECTORADO ACADEMICO FACULTAD DE INGENIERIA CABUDARE, LARA ANALISIS NUMERICO ALUMNO: CESAR HERRERA, 26261720 CABUDARE 03 DE ABRIL DEL 2016
- 2. MétodosDe EliminaciónGaussiana En forma general este métodopropone laeliminaciónprogresivade variablesenel sistemade ecuaciones,hastatenersólounaecuaciónconuna incógnita.Unavezresueltaesta,se procede porsustituciónregresivahastaobtenerlosvaloresde todaslasvariables.Seapor ejemploel siguiente sistemade ecuaciones: Lo que buscamosson 3 números, que satisfaganalas tresecuaciones.El métodode solución será simplificarlasecuaciones,de tal modoque lassolucionesse puedanidentificarcon facilidad.Se comienzadividiendolaprimeraecuaciónentre2,obteniendo: Se simplificaráel sistemasi multiplicamospor -4ambosladosde laprimeraecuacióny sumandoestaa la segunda.Entonces: sumándolasresulta: La nuevaecuaciónse puede sustituirporcualquierade lasdos.Ahoratenemos: Luego,la primerase multiplicapor -3 y se le suma a la tercera,obteniendo: Acto seguido,lasegundaecuaciónse divide entre -3.
- 3. Ahorase multiplicapor5 y se le sumaa latercera: En este momentoyatenemosel valorde x3,ahora simplementese procede ahacerla sustituciónhaciaatrás,y automáticamente se vanobteniendolosvaloresde lasotras incógnitas.Se obtendrá: Métodode Gauss-Jordan El Métodode Gauss – Jordano tambiénllamadoeliminaciónde Gauss – Jordan,esun método por el cual puedenresolverse sistemasde ecuacioneslinealesconnnúmerosde variables, encontrarmatricesy matricesinversas,eneste casodesarrollaremoslaprimeraaplicación mencionada. Para resolversistemasde ecuacioneslinealesaplicandoeste método,se debe enprimerlugar anotar loscoeficientesde lasvariablesdel sistemade ecuacioneslinealesensunotación matricial: Entonces,anotandocomomatriz(tambiénllamadamatrizaumentada):
- 4. Una vez hechoesto,a continuaciónse procede aconvertirdichamatrizenunamatriz identidad,esdecirunamatrizequivalente alaoriginal, la cual es de la forma: Esto se logra aplicandoalas distintasfilasycolumnasde lasmatricessimplesoperacionesde suma,resta,multiplicaciónydivisión;teniendoencuentaque unaoperaciónse aplicaraa todosloselementosde lafilaode lacolumna,seael caso. Obsérvese que endichamatrizidentidadnoaparecenlostérminosindependientes,estose debe a que cuandonuestramatrizoriginal alcance laformade lamatriz identidad,dichos términosresultaranserlasolucióndel sistemayverificaranlaigualdadparacada una de las variables,correspondiéndose de lasiguienteforma: d1 = x d2 = y d3 = z DescomposiciónLU El métodode descomposiciónLUpara la soluciónde sistemasde ecuacioneslinealesdebe su nombre a que se basa en ladescomposiciónde lamatrizoriginal de coeficientes(A) enel productode dos matrices(L y U). Esto es: Donde: L - Matriz triangularinferior U - Matriz triangularsuperiorcontodosloselementosde ladiagonal principal igualesa1. De loanterior,para matricesde 3x3 se escribe:
- 5. Si efectuamoslamultiplicaciónde LyU, igualandoloselementosde ese productoconlosde la matrizA correspondientes,se obtiene: De aquí que loselementosde Ly U son,eneste caso: Si el sistemade ecuacionesoriginalse escribe como: A x = b locual resultalomismoescribir: L U X = b Definiendoa: U X = Y podemosescribir: L Y = b ResolviendoparaY,encontramos: El algoritmode solución,unavezconocidasL,U y b, consiste enencontrarprimeramentelos valoresde "Y" por sustituciónprogresivasobre "LY = b". En segundolugarse resuelve "Ux = y " por sustituciónregresivaparaencontrarlosvaloresde "x",obteniendo:
- 6. La determinaciónde loselementosde lasmatricesLy U se realizaneficientementeaplicando una formamodificadadel métodode eliminaciónde Gauss. Factorización De Cholesky Una matriz simétricaesaquelladondeAij = Aji para todai y j, En otras palabras,[A] =[A] T . Tales sistemasocurrencomúnmenteenproblemasde amboscontextos:el matemáticoyel de ingeniería.Ellosofrecenventajascomputacionalesyaque sólose necesitalamitadde almacenamientoy,enlamayoría de los casos,sólo se requiere lamitaddel tiempode cálculo para su solución.Al contrariode laDescomposiciónLU,norequiere de pivoteo.El métodode Factorizaciónde Choleskyse basaendemostrarque si unamatriz A es simétricaydefinida positivaenlugarde factorizarse comoLU, puede serfactorizadacomoel productode una matriztriangularinferiorylatraspuestade la matriztriangularinferior,esdecirlosfactores triangularesresultantessonlatraspuestade cadauno. Ejemplo: Obtenerlafactorizaciónde Choleskyde lasiguientematriz(entrarsóloloselementosde U,la triangularsuperior) 5 7 −8 7 14 −14 −8 −14 24 Entrar el valor del determinante √5 7/5 √5 −8/5 √5 0 1/5 1051/2 −2/15 1051/2 0 0 2/3 211/2 Resolverel sistemalineal Ax=bcuandobes el vectorsiguiente 51 84 −90 Factorización: En cada etapa de la resoluciónse muestranlosvaloresactualesde lamatriz.
- 7. Los nuevoselementoscalculadosaparecenconsuvalordefinitivoencolor diferente. Calculandoel elemento(1,1) 5^(1/2) 7 -8 7 14 -14 -8 -14 24 Tratando lafila/columna1 5^(1/2) 7/5*5^ (1/2) -8/5*5^(1/2) 7/5*5^ (1/2) 14 -14 -8/5*5^ (1/2) -14 24 Calculandoel elemento(2,2) 5^(1/2) 7/5*5^(1/2) -8/5*5^(1/2) 7/5*5^(1/2) 1/5*105^(1/2) -14 -8/5*5^(1/2) -14 24 Tratando lafila/columna 5^(1/2) 7/5*5^(1/2) -8/5*5^(1/2) 7/5*5^(1/2) 1/5*105^(1/2) -2/15*105^(1/2) -8/5*5^(1/2) -2/15*105^(1/2) 24 Calculandoel elemento(3,3 5^(1/2) 7/5*5^(1/2) -8/5*5^(1/2) 7/5*5^(1/2) 1/5*105^(1/2) -2/15*105^(1/2)
- 8. -8/5*5^(1/2) -2/15*105^(1/2) 2/3*21^(1/2) La factorizaciónfinal eslasiguiente,enlaque aparecenlasmatricesUT y U, y el vector de permutaciones: √5 0 0 7/5 √5 1/5 1051/2 0 −8/5 √5 −2/15 1051/2 2/3 211/2 5 7/5 √5 −8/5 √5 0 1/5 1051/2 −2/15 1051/2 0 0 2/3 211/ El valordel determinanteviene dadoporel productode loselementosde ladiagonal principal de U y coincide conla diagonal principal de UT.Portanto, es: 196 Factorización de QR, Householder El objetivode estamatrizesusarlapara producircerosen lamatriz que queremos factorizar.Para hacerlo,debemosconsiderarel problema: Dados losvectores xy y, ¿cómocalculmos P tal que Px= y? • Puestoque Prealizauna reflexión,se debe cumplirque ‖ 𝑦‖2= ‖ 𝑥‖2 para poder calcularP. • Hay que notar que P es invariante alaescalade v. x - y tiene ladireccióndel vectorque queremos. Así, podemosdefinirv= x - y